Nash^[1]首次引入了 $n$ 人非合作博弈模型, 尽管如此, 很多情况下博弈并不存在纯策略Nash均衡. 为了得到均衡的存在性结果, 混合策略的概念被提出, 一个混合策略被认为是一个纯策略空间的概率分布. 考虑到参与人通常都是随机选取策略的, Nash^[2]使用了生物群体的思想来解释混合策略. 他假设博弈中的每个参与人都是一个群体, 且这个群体中有大量的个体, 每一个个体都能够从相同的纯策略集中选取策略, 一个混合策略就是这个群体的状态分布. 受Nash^[1-2]的启发, 群体博弈被建立起来. 2010 年, Sandholm^[3]详细介绍了群体博弈的模型和相关理论, 并且还给出了群体博弈Nash均衡的存在性定理. 在现实活动中, 代理人之间的行动通常会出现相互依赖的现象, 如交通拥堵现象: 汽车驾驶员在道路上行驶, 其经历的延误不仅依赖于他自己选择的路线, 也依赖于其他驾驶员在该路线上造成的拥堵情况. Sandholm^[3]给出的群体博弈模型为分析诸如上述交通拥堵现象中出现的拥有大量个体的群体之间策略互动问题提供了一个有力的工具. 近来, Yang和Yang^[4]将文献[3]中单目标群体博弈模型推广到了多目标群体博弈, 并且定义了该多目标群体博弈弱Pareto-Nash均衡的概念, 研究了该多目标群体博弈弱Pareto-Nash的均衡存在性和通有稳定性. Yang和Zhang^[5]又在文献[3]的单目标群体博弈模型基础上通过假设某些群体存在合作行为定义了该群体博弈合作均衡的概念, 并且利用了Kajii^[6]中的命题2证明了此合作均衡的存在性定理, 同时还研究了此合作均衡的本质稳定性. 关于群体博弈方面的研究还可参见文献[7⇓⇓⇓-11]等.

从上述文献可以看出, 过去关于群体博弈方面的研究主要关注参与人具有有限个目标的情形, 而对参与人具有无限个目标的群体博弈研究还很少, 这类群体博弈也可以被用来分析很多重要的现实问题. 尤其是在当群体中的参与人面临无限个决策目标, 而他在做决策时又需要顾及到每个目标时, 显然已有的参与人具有有限个目标的群体博弈模型在分析此类问题时就存在局限性, 因此有必要借助新的群体博弈模型. 近来, 文献[12]给出了一个参与人具有无限个目标的选举博弈的例子, 并在正规型博弈模型基础上引入了一个参与人具有无限个目标的博弈模型, 同时证明了此类博弈均衡的存在性. 受文献[12]的启发, 本文构建一个参与人具有无限个目标的群体博弈模型, 并且定义此类群体博弈弱有效Nash均衡的概念, 进而证明该均衡解的存在性.

另一方面, 在博弈论研究中, 通常假定博弈中的参与人都是完全理性的, 都能在约定的条件下实现其效用最大化, 显然这种假设太严格, 在现实中也很难得到应用, 因此, 完全理性的假设逐渐被博弈论学者们质疑, 进而他们提出了有限理性的概念. Anderlini和Canning^[13]利用博弈论的思想建立了一个带抽象理性函数的有限理性模型, 并且分析了该模型的结构稳定性和鲁棒性. 考虑到文献[13]中的假设条件太强, 一些经济模型或博弈模型很难满足, 因此, Yu和Yu^[14]将文献[13]中的假设条件进行了减弱, 并得到了一些深刻的结果, 而后这些结果被分别应用在单目标博弈^[14], 多目标博弈和广义多目标博弈^[15], 不确定性下博弈^[16], 参数最优化问题^[17]以及变分不等式问题^[18]等均衡解的稳定性研究中. 在文献[19]中, 俞建教授对有限理性模型下各类非线性问题解的稳定性研究进行了全面的总结. 由于有限理性模型对于均衡解的稳定性研究具有重要的意义, 因此本文也将采用文献[19]的研究框架, 构建有限理性模型研究有限理性下参与人具有无限个目标的群体博弈中弱有效Nash 均衡的稳定性.

本文剩余部分安排如下: 第2节先回顾文献[3]中的群体博弈模型及相关概念, 接着构建参与人具有无限个目标的群体博弈模型; 第3节证明参与人具有无限个目标的群体博弈模型中弱有效Nash 均衡的存在性; 第4节研究有限理性下上述弱有效Nash均衡的稳定性; 第5节是本文结论部分.

我们先回顾文献[3]中的群体博弈模型.

设 $P=\{1,\cdots,p_{0}\}$表示由 $p_{0}$ 个群体组成的集合, 对每个群体$p\in P$ 来说, 它里面的所有参与人构成一个总量为 $m_{p}$ ($m_{p}>0$)的连续统, 并且这些参与人都是从相同的有限纯策略集$S_{p}=\{1,\cdots,n_{p}\}$ 中选取策略, 群体 $p$ 的状态集定义为

这里$R_{+}^{k}=\{(x_{1},\cdots,x_{k})\in R^{k}: x_{i}\ge0, \forall i\}$, 状态 $x_{p}=(x_{p,1},\cdots,x_{p,n_{p}})$ 中的分量 $x_{p,i}$ 代表群体 $p$ 中选择纯策略 $i\in S^p$ 时的参与人数量. 记 $X=\prod\limits_{p\in P}X_{p}$ 为所有群体组成的社会状态集, $F_{p,i}:X\rightarrow R$ 表示群体 $p$ 中参与人选择纯策略 $i$ 时的支付函数, 记 $F_{p}=(F_{p,i})_{i\in S_{p}}$, 这样, 一个群体博弈可以表示成如下一个序列的形式

以下是文献[3]中给出的群体博弈Nash均衡的定义及其存在性结果.

定义 2.1^[3] 如果对每个 $p\in P$ 有

则称社会状态 $x^*=(x_{1}^*,\cdots,{x^*_{p_{0}}})\in X$ 是群体博弈 $\Gamma$ 的一个Nash均衡.

定理 2.1^[3] 如果对每个$p \in P$和$i\in S_{p}$, $F_{p,i}$是连续的, 则群体博弈 $\Gamma$ 至少存在一个Nash均衡.

定理 2.2^[3] 一个社会状态 $x^*=(x_{1}^*,\cdots,{x^*_{p_{0}}})\in X$ 是群体博弈 $\Gamma$ 的Nash均衡当且仅当

这里 $y_{p}\bullet F_{p}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n_{p}}y_{p,i}F_{p,i}(x)$.

文献[4]通过考虑了向量值支付函数给出了如下多目标群体博弈模型

这里 $P,(m_{p},S_{p},X_{p})_{p\in P}$ 与文献[3]所给出的一致, $F_{p,i}:X\longrightarrow R^{k_{p}}$为群体 $p$ 中选择纯策略$i\in S_{p}$时的向量值支付函数. 文献[4]还提供了该多目标群体博弈的弱Pareto-Nash均衡的定义和存在性定理.

定义 2.2^[4] 如果对每个 $p\in P$ 有

则称社会状态 $x^*=(x_{1}^*,\cdots,{x^*_{p_{0}}})\in X$ 是多目标群体博弈 $\Gamma^{\prime}$ 的一个弱Pareto-Nash均衡.

定理 2.3^[4] 如果对任意 $p\in P$ 和$i\in S_{p}$, $F_{p,i}:X\longrightarrow R^{k_{p}}$ 在 $X$ 上是连续的, 则 $\Gamma^{\prime}$ 至少有一个弱Pareto-Nash均衡.

下面引入参与人具有无限个目标的群体博弈模型, 并且定义其弱有效Nash均衡的概念.

一个参与人具有无限个目标的群体博弈是序列

其中$P,(m_{p},S_{p},X_{p})_{p\in P}$ 与文献[3]所给出的一致, $T_{p}$ 是群体 $p$ 中参与人的目标集, 这里假设 $T_{p}$ 对任意 $p\in P$ 都是无限集. 对任意$t\in T_{p},F_{p,i}(t,\bullet):X\longrightarrow R$表示群体 $p$ 中参与人选取纯策略 $i\in S_{p}$ 且对应于目标 $t$ 时的支付函数, 因此, $F_{p}=(F_{p,1}(t,\bullet),\cdots,F_{p,n_{p}}(t,\bullet))$ 表示群体 $p$ 的对应于目标 $t$ 时的支付函数.

定义 2.3 如果对任意 $p\in P$ 和 $i\in S_{p}$, 有

这称社会状态 $x^{*}\in X$ 是

的一个弱有效Nash均衡.

注 2.1 (1) 如果对任意 $p\in P$, $T_{p}$ 是单点集, 则定义2.3就退化为文献[3]中Nash 均衡的概念.

(2) 如果对任意 $p\in P,$$T_{p}=\{1,\cdots,k_{p}\}$, 则定义2.3就退化为文献[4]中弱Pareto-Nash均衡的概念.

文献[3]给出了群体博弈Nash定义的一个等价性表述, 采用与文献[3]类似的证明方法很容易得到上述弱有效Nash均衡定义的一个等价性表述, 即定理2.4.

定理 2.4 一个社会状态 $x^*=(x_{1}^*,\cdots,{x^*_{p_{0}}})\in X$ 是参与人具有无限个目标的群体博弈 $\Gamma^{\prime\prime}$ 的弱有效Nash均衡当且仅当 $\forall p\in P, \forall y_{p}\in X_{p}$, 存在 $t\in T_{p}$, 使得

这里 $y_{p}\bullet F_{p}(t,x)=\sum\limits_{i=1}^{n_{p}}y_{p,i}F_{p,i}(t,x)$.

下面分别介绍本文将要用到的一个引理和定理.

引理 2.1^[15] 设 $X$, $Y$, $Z$ 是三个度量空间, 并且 $Z$ 是紧集, $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $X$ 中的一列非空紧子集, $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $Y$ 中的一个序列且满足 $y_n \rightarrow y \in Y$. $\{\varphi^n(x, y, z)\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $X \times Y\times Z$ 上的一个连续函数序列, $A$ 是 $X$ 的一个非空的紧子集, $h$ 是表示 $X$ 上的 Hausdorff 距离, $\varphi$ 是 $X \times Y \times Z$ 上的连续函数. 如果

且 $h(A_n, A) \rightarrow 0$, 则有

定理 2.5^[20] 设 $I$ 是一个指标集, 如果对任意$i\in I$,有

(1) $X_{i}$ 是 Hausdorff 拓扑向量空间 $E_{i}$ 的一个非空凸的紧子集;

(2) $A_{i}:X\Longrightarrow X_{i}$ 是一个对应, 使得

(i)对任意 $y_{i}\in X_{i}$, $A^{-1}_{i}(y_{i})=\{x\in X\mid y_{i}\in A_{i}(x)\}$ 是 $X$ 中的开集;

(ii)对所有的 $x\in X$, 有 $xtin coA_{i}(x)$.

则存在 $x^{*}\in X$, 使得对每个 $i\in I$, 有 $A_{i}(x^{*})=\emptyset$.

下面给出参与人具有无限个目标的群体博弈$\Gamma^{\prime\prime}$ 的弱有效Nash均衡存在性定理及其证明.

定理 3.1 假设一个参与人具有无限个目标的群体博弈

满足下面的条件

(i)对任意 $p\in P,T_{p}$ 是Hausdorff拓扑空间的一个非空紧子集;

(ii)对任意 $p\in P$ 和 $i\in S_{p},F_{p,i}$ 在 $T_{p}\times X$ 上是连续的.

则 $\Gamma^{\prime\prime}$ 至少有一个弱有效Nash均衡.

证 对任意 $p\in P,$ 定义对应 $A_{p}:X\Longrightarrow X_{p}$ 如下

下面证明 $\{A_{p}\}_{p\in P}$ 满足定理2.5中的所有条件.

(1)对任意 $x\in X$,有

是凸的, 且 $x_{p}t\in A_{p}(x).$ 因此, 对任意 $x\in X$ 和 $p\in P$, 有 $x_{p}t\in co A_{p}(x)$.

(2)给定 $p\in P$. 让 $\{(x^{\alpha},y^{\alpha}_{p})\}$ 是 $X\times X_{p}$ 中的一个网, 使得 $y^{\alpha}_{p}t\in A_{p}(x^{\alpha})$ 且 $(x^{\alpha},y^{\alpha}_{p})\longrightarrow (x,y_{p}),$ 则对任何 $\alpha,$ 都存在 $t^{\alpha}\in T_{p}$, 使得

由于 $T_{p}$ 是紧的, 这意味着存在 $\{t^{\alpha}\}$ 的一个子网 $\{t^{\alpha_{\lambda}}\}$ 使得 $t^{\alpha_{\lambda}}\longrightarrow t\in T_{p}.$ 从而可以得出$(x^{\alpha_{\lambda}},y^{\alpha_{\lambda}}_{p})\longrightarrow (x,y_{p}),t^{\alpha_{\lambda}}\longrightarrow t\in T_{p}$且

另外, 由于 $F_{p}$ 是连续的, 所以 $y_{p}\bullet F_{p}(t,x)\le x_{p}\bullet F_{p}(t,x),$ 这意味着 $y_{p}t \in A_{p}(x).$ 因此, $A_{p}$ 的图在 $X\times X_{p}$ 中是开的. 显然, 对任意 $p\in P$ 和 $y_{p}\in X_{p}$, $A^{-1}_{p}(y_{p})$ 在 $X$ 中也是开的.

因此, 根据定理2.5, 存在 $x^{*}\in X$ 使得 $A_{p}(x^{*})=\emptyset$ 对任何 $p\in P$ 都成立, 这意味着对任意 $p\in P$ 和 $y_{p}\in X_{p}$, 存在 $t\in T_{p}$, 使得

故 $x^{*}$ 是 $\Gamma^{\prime\prime}$ 的一个弱有效Nash均衡.证毕.

注 3.1 (1)如果 $T_{p}$ 是单点集时, 则本文定理3.1退化为文献[3,定理2.2.1].

(2)如果 $T_{p}=\{1,\cdots,k_{p}\}$, 则本文定理3.1退化为文献[4,定理3.1].

注 3.2 注意到, 本文定理3.1采用的证明方法与文献[4,定理3.1]的证明方法不同.

下面我们给出一个简单的例子来验证参与人具有无限个目标的群体博弈中弱有效Nash均衡的存在性.

例 3.1 设一个参与人具有无限个目标的单群体博弈 $\Gamma^{\prime\prime}=(P,(m_{p},S_{p},X_{p},T_{p},F_{p})_{p\in P})$, 这里 $P=\{1\}, m_{1}=1$, $X_{1}=\{(x_{11},x_{12})\in R_{+}^{2}\mid x_{11}+x_{12}=1\}$, $S_{1}=\{1,2\}, T_{1}=[0,1]$, $F_{11}(t,x)=x_{11}-2t, F_{12}(t,x)=x_{12}-t$.

显然 $\Gamma^{\prime\prime}$ 满足定理3.1的所有条件, 且容易验证 $x^{*}=(x^{*}_{11},x^{*}_{12})=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 是 $\Gamma^{\prime\prime}$ 的一个弱有效Nash均衡.

文献[19]给出了如下具有抽象结构的有限理性模型, 并且介绍了$\varepsilon$ 均衡集的鲁棒性和结构稳定性概念.

记有限理性模型 $M=\{\Lambda,X,F,R\}$, 这里 $\Lambda$ 为问题空间或参数空间(以下统称为博弈空间), $\Lambda$ 中的每一个元素 $\lambda$ 表示一个博弈, $X$ 是行为空间, $X$ 中的每一个元素 $x$ 表示一个策略. $F:\Lambda\times X\rightarrow 2^{X}$ 是可行集值映射, $f:\Lambda\rightarrow 2^{X}$ 是由 $F$ 诱导出的行为映射, 这里 $\forall \lambda\in \Lambda, f(\lambda)=\{x\in X: x\in F(\lambda,x)\}$. 集值映射 $f$ 的图 $Graph(f)=\{(\lambda,x)\in \Lambda\times X: x\in f(\lambda)\}$, 理性函数 $R:Graph(f)\rightarrow R_{+}$. $\forall \lambda\in \Lambda, \forall \varepsilon \ge 0, E(\lambda,\varepsilon)=\{x\in f(\lambda):R(\lambda,x)\le \varepsilon\}$ 定义为博弈 $\lambda$ 的 $\varepsilon$ 均衡点集. 当 $\varepsilon$ 越小时, 博弈 $\lambda$ 越接近完全理性, 特别地, 当 $\varepsilon=0$ 时, $E(\lambda,\varepsilon)=E(\lambda,0)=E(\lambda)=\{x\in f(\lambda): R(\lambda,x)=0\}$ 为博弈 $\lambda$ 的均衡集, 它对应于博弈 $\lambda$ 完全理性下的均衡集. 这样, $x\in f(\lambda)$ 且 $R(\lambda,x)=0$ 当且仅当 $x\in E(\lambda)$.

定义 4.1^[19]$\lambda\in \Lambda$, 如果 $\forall \delta >0, \exists \bar{\varepsilon}>0,$ 当 $\varepsilon< \bar{\varepsilon}$, $\rho(\lambda,\lambda')<\bar{\varepsilon}$ 时, 有

则称 $M$ 在 $\lambda$ 对 $\varepsilon$ 均衡集是鲁棒的, 其中 $h$ 表示 $X$ 上的Hausdorff距离.

定义 4.2^[19]$\lambda\in \Lambda$, 如果均衡集值映射 $E:\Lambda\rightarrow 2^{X}$ 在 $\lambda$ 是连续的, 则称 $M$ 在 $\lambda$ 是结构稳定的.

基于上述概念, 文献[19]得到了如下有限理性下稳定性结果.

定理 4.1^[19] 设 $\Lambda$ 是一个完备的度量空间, $X$ 是一个紧度量空间, 集值映射 $f:\Lambda\rightarrow 2^{X}$ 是上半连续的, 且对任意 $\lambda\in \Lambda$, $f(\lambda)$ 是非空紧集, 理性函数 $R:Graph(f)\rightarrow R_{+}$ 是下半连续的, 则

(1) 均衡集值映射 $E:\Lambda\rightarrow 2^{X}$ 是上半连续的且是紧值的映射;

(2) $\Lambda$ 中存在一个稠密剩余子集 $Q$, 使得 $\forall \lambda\in Q, M$ 在 $\lambda$ 是结构稳定的;

(3) 如果 $M$ 在 $\lambda\in \Lambda$ 是结构稳定的, 则 $M$ 在 $\lambda\in \Lambda$ 对 $\varepsilon$ 均衡集必是鲁棒的, 从而 $\forall \lambda\in Q, M$ 在 $\lambda$ 对 $\varepsilon$ 均衡集也必是鲁棒的;

(4) $\forall \lambda\in Q, \forall \lambda_{n} \rightarrow \lambda, \forall \varepsilon_{n}\rightarrow0$, 有 $h(E(\lambda_{n},\varepsilon_{n}),E(\lambda))\rightarrow0$;

(5) $\forall \lambda\in \Lambda$, 且 $E(\lambda)$ 是单点集, 则 $M$ 在 $\lambda$ 是结构稳定的, 且在 $\lambda$ 对 $\varepsilon$ 均衡集也是鲁棒的.

下面我们借鉴文献[19]中的研究框架来研究有限理性下 $\Gamma^{\prime\prime}$ 的弱有限Nash均衡的稳定性.

设 $\Lambda$ 是由满足下列条件的参与人具有无限个目标的群体博弈 $\lambda=(F_{p})_{p\in P}$ 组成的博弈空间:

(A1) $\forall p\in P$, $T_{p}$ 是紧集, 且 $\forall i\in S_{p},$$F_{p,i}$在 $T_{p}\times X$ 上是连续的;

(A2) 存在 $x^{*}\in X$, 使得 $\forall p\in P, \forall y_{p}\in X_{p},$ 存在 $t\in T_{p}$, 使得

$\forall \lambda\in \Lambda$, 记 $E(\lambda)$ 为参与人具有无限个目标的群体博弈 $\lambda$ 的弱有效Nash均衡集, 根据 $\Lambda$ 的定义, 有 $E(\lambda)\ne \emptyset$.

$\forall \lambda, \lambda^{\prime} \in \Lambda$, 定义两者之间的距离为

引理 4.1$(\Lambda,\rho)$ 是一个完备的度量空间.

证 设 $\{\lambda^m\}_{m=1}^{\infty}$ 是 $\Lambda$ 中的一个 Cauchy 序列, 则 $\forall \varepsilon >0$, 存在 $N=N(\varepsilon) >0$, 使得 $\forall m, n> N$ 有 $\rho(\lambda^m, \lambda^n) < \varepsilon$, 即

于是 $\forall p\in P$, $\forall i\in S_{p}$, $\forall (t,x)\in T_{p}\times X$, 存在 $F_{p,i}(t,x)$ 使得 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}F^{n}_{p,i}(t,x)=F_{p,i}(t,x)$, 同时 $\forall m\ge N$, 有

容易证得, $\forall p\in P$, $\forall i\in S_{p}$, $F_{p,i}$ 在 $T_{p}\times X$ 上是连续的. 因此, 条件(A1)满足.

由于 $\lambda^m=(F^{m}_{p})_{p\in P}\in \Lambda$, 因此存在 $x^{m}\in X$, 使得 $\forall p\in P$, $\forall y_{p}\in X_{p}$, 存在 $t\in T_{p}$, 有

由于 $X$ 是紧集, 因此我们不妨假设 $x^m\rightarrow x\in X$.

下面证明 $x\in E(\lambda)$, 利用反证法, 假设 $xtin E(\lambda)$, 则存在 $p\in P$ 和 $y_{p}\in X_{p}$, 使得 $\forall t\in T_{p}$, 有

于是存在某个$\varepsilon >0$, 满足

所以对任意充分大的 $m$, 有

$\begin{equation} \min_{t\in T_{p}}\Big[y_{p}\bullet F_{p}(t,x^m)-x^{m}_{p}\bullet F_{p}(t,x^m)\Big]> \varepsilon. \end{equation}$ (4.3)

再根据

可知 $\forall p\in P$, $\forall i\in S_{p}$, 有

从而, 对任意充分大的 $m$, 有

即

显然这与 $x^{m}\in E(\lambda^{m})$ 矛盾, 所以, $x\in E(\lambda).$ 因此条件(A2)也满足, 即 $\lambda=((F_{p})_{p\in P})\in \Lambda$.

故 $(\Lambda,\rho)$ 是一个完备的度量空间. 证毕.

下面构建有限理性模型 $M=\{\Lambda,X,D,R\}$, 其中, $\forall \lambda\in \Lambda, \forall x\in X,D(\lambda,x)=X, f(\lambda)=\{x\in X: x\in D(\lambda,x)\}=X.$

显然, $\forall \lambda\in \Lambda$, 集值映射 $f(\lambda)$ 是上半连续的, 且 $f(\lambda)$ 是非空紧集. $\forall \lambda\in \Lambda$, $\forall x\in f(\lambda)$, 定义理性函数 $R(\lambda,x)$

引理 4.2 $\forall \lambda\in \Lambda, x\in f(\lambda)$, 有(i) $R(\lambda,x)\ge0$; (ii) $R(\lambda,x)=0$ 当且仅当 $x\in E(\lambda)$.

证 (i)显然

(ii) 若$R(\lambda,x)=0$, 则 $\forall p\in P$, $\forall y_{p}\in X_{p}$, 有

这意味着 $\forall p\in P$, $\forall y_{p}\in X_{p}$, 存在 $t\in T_{p}$, 使得

可得 $x\in E(\lambda)$.

若 $x\in E(\lambda)$, 则$\forall p\in P$, $\forall y_{p}\in X_{p}$, 存在$t\in T_{p}$, 有

这意味着

再根据(i)知 $R(\lambda,x)\ge0$, 因此 $R(\lambda,x)=0$.证毕.

引理 4.3$R(\lambda,x)$ 在 $(\lambda,x)$ 上是连续的.

证 只需证明 $\forall \lambda^{m}\in \Lambda,x^{m}\in X,$ 当 $(\lambda^{m},x^{m})\rightarrow (\lambda,x)$ 时有

由于 $\lambda^{m}\in \Lambda$, $\lambda^{m}\rightarrow\lambda$, 即 $\forall p\in P$, $\forall i\in S_{p}$, 有

所以

由于$x^{m}\rightarrow x,$, 且 $\forall p\in P$, $\forall i\in S_{p}$, $F^{m}_{p,i}$ 和 $F_{p,i}$ 都是连续的, 从而, 根据引理2.1, 有

所以

因此 $R(\lambda,x)$ 在 $(\lambda,x)$ 上是连续的.证毕.

定理 4.2 (1)弱有效Nash均衡集值映射 $E:\Lambda\rightarrow 2^{X}$ 是上半连续的紧值映射;

(2) $\Lambda$ 中存在一个稠密剩余子集 $Q$, 使得 $\forall \lambda\in Q, M=\{\Lambda,X,D,R\}$ 在 $\lambda$ 是结构稳定的;

(3)如果 $M=\{\Lambda_,X,D,R\}$ 在 $\lambda\in \Lambda$ 是结构稳定的, 则 $M=\{\Lambda,X,D,R\}$ 在 $\lambda\in \Lambda$ 对 $\varepsilon$ 弱有效Nash均衡集必是鲁棒的, 从而 $\forall \lambda\in Q$, $M=\{\Lambda,X,D,R\}$ 在 $\lambda$ 对 $\varepsilon$ 弱有效Nash均衡集也必是鲁棒的;

(4) $\forall \lambda\in Q, \forall \lambda_{n} \rightarrow \lambda, \forall \varepsilon_{n}\rightarrow0$, 必有 $h(E(\lambda_{n},\varepsilon_{n}),E(\lambda))\rightarrow0$;

(5)如果 $\lambda\in \Lambda$, 且 $E(\lambda)$ 是单点集, 则 $M=\{\Lambda,X,D,R\}$ 在 $\lambda$ 是结构稳定的, 在 $\lambda$ 对 $\varepsilon$ 弱有效Nash均衡集也是鲁棒的.

证 由于 $(\Lambda,\rho)$ 完备, 且 $X$ 是紧度量空间, $f:\Lambda\rightarrow 2^{X}$ 上半连续, 此外根据引理4.3可知 $R(\lambda,x)$ 在 $(\lambda,x)$ 上连续的, 这样定理4.1的条件均满足, 因此上述五个结论成立.证毕.

注 4.1$\forall \varepsilon > 0$, $\lambda$ 的 $\varepsilon$ 弱有效Nash均衡集定义为 $E(\lambda,\varepsilon)=\{x\in f(\lambda):R(\lambda,x)\le \varepsilon\}$.

注 4.2 定理4.2表示: (i)当 $\lambda\in Q$, 可以利用有限理性下的弱有效Nash均衡集 $E(\lambda_{n},\varepsilon_{n})$来近似代替完全理性下的弱有效Nash均衡集 $E(\lambda)$, 这表明弱有效Nash均衡集 $E(\lambda)$ 是稳定的; (ii)在Baire分类意义下, 对大多数的 $\lambda \in \Lambda$, $M$ 在 $\lambda$ 是结构稳定的, 对 $\varepsilon$ 弱有效Nash 均衡集也是鲁棒的, 而 $\Lambda$ 中使 $M$ 结构不稳定的点很少, 仅构成第一纲集.

本文结合前人的研究, 构建了一个参与人具有无限个目标的群体博弈模型, 定义了新模型的弱有限Nash均衡的概念, 并证明了该均衡的存在性定理. 而后又进一步构建了参与人具有无限个目标的群体博弈有限理性模型, 得到了该均衡的稳定性结果, 本文的研究结果是新的, 丰富了群体博弈已有的理论.