设$\omega$是$\mathbb{R} ^{n}$的一个非空可测子集, $\chi_{\omega}$是$\omega$的特征函数, ${\Bbb N}^{+}$为全体正整数, $\mathbb{R} ^{+}\triangleq(0,+\infty)$. 本文考虑如下带位势的热方程采样控制系统的时间最优控制问题

其中

$\triangle$为拉普拉斯算子, $c>0$和$\delta>0$为给定常数.

在阐述系统(1.1)的时间最优控制问题之前, 我们先给出一些必要的定义和记号.

对任意给定的$\delta>0$, 采样控制$u_{\delta}$来自空间

其范数采用$L^{2}(\mathbb{R} ^{+};L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$空间的范数. 对每一个$i \in {\Bbb N}^{+}$, $\chi_{[(i-1)\delta,i\delta)}(t)$是时间区间$[(i-1)\delta,i\delta)$上的特征函数, $i\delta$称为一个采样时刻, $\delta$称为采样周期. 对任意$u_{\delta}\in L_{\delta}^{2}(\mathbb{R} ^{+};L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$和任意$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 记$y(\cdot;y_{0},u_{\delta})$为采样控制系统(1.1)的解.

在本文中, 我们记$\|\cdot\|$和$\langle\cdot,\cdot\rangle$分别为$L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$空间的范数和内积; $B_{r}$为$L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$空间内中心为原点, 半径为$r>0$的闭球, $intB_{r}$和$\partial B_{r}$分别为其全体内点和全体边界点构成的集合; $\tilde{B}_{1}$为$\mathbb{R} ^{n}$中以原点为中心的单位闭球, $Q$为$\mathbb{R} ^{n}$中以原点为中心的单位开立方体; 对任意实数$k$, $[k]$是使得$k-1 <[k]\leq k$成立的整数. 给定$f\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 记${\cal F}(f)$为其Fourier变换. 给定一个$\mathbb{R} ^{n}$上的可测函数$f(x)$, 记supp$f(x)$为其支撑集, 即supp$f(x) = \overline{\lbrace x \vert f(x)\neq 0\rbrace}$. 对于任意可测集$E \subset \mathbb{R} ^{n}$, 记$| E| $为它在$n$维欧式空间下的Lebesgue测度. 对于Hilbert空间$A$和$B$, 记${\cal L}(A,B)$和${\cal L}(A)$分别为$A$到$B$上和$A$到自身的有界线性算子的全体.

于是, 系统(1.1)的时间最优控制问题可定义为: 对任意给定的$\delta>0$, 对任意初值$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\setminus B_{r}$, 给定$M \geq 0$, 考虑

其中

关于$(TP)_{\delta}^{M,y_{0}}$问题, 我们介绍以下必要的概念.

定义1.1 (i) 称$T_{\delta}(M,y_{0})$为最优时间, 若它是存在的; 称$u_{\delta}\in U_{\delta}^{M}$是一个允许控制, 若存在$k_{0}\in {\Bbb N}^{+}$使得$y(k_{0}\delta;y_{0},u_{\delta})\in B_{r}$; 全体允许控制组成的集合称为允许控制集; 称$u_{\delta}^{*}\in U_{\delta}^{M}$是一个最优控制, 若$y(T_{\delta}(M,y_{0});y_{0},u_{\delta}^{*})\in B_{r}$.

(ii) 称一个最优控制$u_{\delta}^{*}$是最小范数最优控制, 若其对任意最优控制$v_{\delta}^{*}$满足

本文的研究目标有二: 一是建立系统(1.1)的采样时间最优控制的存在性, 为此, 我们要先考查使得最优控制存在的控制限制集合$U_{\delta}^{M}$应满足的条件; 二是建立最小范数最优控制所满足的Pontryagin最大值原理, 继而对其形式进行刻画.

在现有的文献中, 大多数关于发展方程时间最优控制问题的研究都是基于持续控制系统^[1,4,9,15], 也就是说其输入的控制是随时间连续变化的函数. 但随着计算机技术和数字控制器的发展, 控制非持续变化的系统在应用中会更加便捷和实用, 因此对这类系统的研究也就颇具意义. 近年来, 一些类型的非持续控制系统得到了广泛的研究, 例如: 脉冲控制系统^[3,11,20]、采样控制系统^[2,14,19], 其中前者指的是系统的控制只在有限个时刻取到不为零的值, 后者指的是控制在作用时间内取分段常值且只进行有限次变化, 二者都是具有很强现实意义的非持续控制系统.

关于发展方程的采样时间最优控制的研究, 我们这里着重提到文献[19]的工作, 该文章对有界域中的热方程的采样时间最优控制进行了研究, 得到时间最优控制的存在唯一性, 并对采样最优控制和持续最优控制关于采样间隔做了上下界的误差分析. 与有界域中的热方程可以通过算子谱信息得到解的指数衰减性类似, 在很多发展方程的时间最优控制问题的研究中, 一般会有方程的解具有能量衰减性的条件^[8,15,19], 解的能量衰减保证了对于给定的初值, 状态总会在某个时刻达到闭球$B_{r}$, 这样零控制自然就是一个允许控制, 从而很容易有允许控制集非空的结论. 正是因为如此, 很多对抽象方程时间最优控制的研究也作了方程的解具有能量衰减性假设^[3]. 不过, 对于很多具体的发展方程而言, 解并不具有能量衰减性, 例如本文研究的系统(1.1), 它的解不仅不具有能量衰减性, 甚至对于某些初值, 还会随着时间发散到无穷. 对于这类控制系统的时间最优控制问题, 我们希望通过建立与能控性之间的联系来解决.

如上文所述, 系统(1.1)的解不一定能量衰减, 这导致其时间最优控制问题的允许控制不是自然存在的, 因此, 我们首先要考查其允许控制集非空的条件. 对此, 我们的思路是先建立系统(1.1)的渐近零能控, 得到允许控制存在的定性结论, 然后利用Fenchel 对偶理论^[5,10,13]对允许控制的最小代价进行刻画, 进一步得出为保证允许控制存在, 控制限制$M$应满足的条件. 值得一提的是, Wang等^[17]对全空间中的热方程建立了几类H{ö}lder型的插值不等式, 从插值不等式出发我们将能够推导全空间中热方程采样控制系统的渐近零能控, 进一步得到本文系统(1.1)的渐近零能控.

本小节我们给出本文的主要结论, 为了阐述这些结论, 这里我们先介绍一些概念和记号.

定义 1.2 令$(\delta,k)\in \mathbb{R} ^{+}\times {\Bbb N}^{+}$, 称系统(1.1)在$[k\delta]$上有带有代价的$L^{2}$渐近零能控性, 若对任意 $\varepsilon>0$, 存在$C(\varepsilon,\delta,k)>0$, 使得对任意 $y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 存在$u_{\delta}^{y_{0}}\in L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$ 满足

全空间中控制系统的渐近零能控是否成立依赖于控制作用区域$\omega$, 所以为了得到渐近零能控成立的条件, 我们引入厚度集合的概念.

定义 1.3 对于给定的$\gamma>0$和$L>0$, 称可测集$E\subset \mathbb{R} ^{n}$关于标度$L$是$\gamma$ -厚度的, 若

回到系统(1.1), $(-H)$是一个自伴算子且在$L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$上生成一个解析半群$\lbrace e^{-Ht}\rbrace_{t\geq 0}$满足

给定初始状态$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$和控制$u_{\delta}\in L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$, (1.1)的解可以表示为

其中$L_{k}\in {\cal L}(L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n})),L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$ 为

可以验证$L_{k}$的共轭算子$L^{*}_{k}\in {\cal L}(L^{2}(\mathbb{R} ^{n}),L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n})))$ 为

接着, 我们定义Gramian算子$G_{k}\in {\cal L}(L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$如下

则有如下关系式成立

对任意的$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n}), k\in {\Bbb N}^{+}, \delta>0, \alpha>0$, 定义

为了通过得到最大值原理来刻画最小范数最优控制的形式, 对任意的$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\setminus B_{r}$, 我们定义

且约定$\inf \emptyset=+\infty$. 对任意的$\delta\in(0, T_{y_{0}}^{*}/2)$, 记

基于以上的定义介绍, 本文的主要结论可以阐述为下面三个定理.

定理 1.1 对任意给定的$\delta>0$和$k \geq 2$, 若对于某 $\gamma>0$和$L>0$, 集合$\omega$ 关于标度$L$是$\gamma$ -厚度的, 那么系统(1.1)在$[k\delta]$上有带有代价的$L^{2}$渐近零能控性.

定理 1.2 对任意给定的$\delta>0$, $y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\setminus B_{r}$, 有如下结论成立

(i) $\inf\limits_{k\geq 2} \mu_{y_{0}, r/\|y_0\|}^{k\delta}<+\infty$;

(ii) 若对于某 $\gamma>0$和$L>0$, 集合$\omega$ 关于标度$L$是$\gamma$ -厚度的, 且

则系统(1.1)的$(TP)_{\delta}^{M,y_{0}}$问题存在时间最优控制, 且有唯一的最小范数最优控制.

定理 1.3 给定$y_0\in L^2(\mathbb{R} ^{n})\setminus B_{r}, \delta\in(0, T_{y_{0}}^{*}/2)$. 若$(TP)_{\delta}^{M,y_{0}}$问题的最优时间$T_{\delta}(M,y_{0})=k^{*}\delta$, $k^{*}\in {\cal P}^\delta_{T_{y_{0}}^{*}}$, 最小范数最优控制为$u_{\delta}^{*}$. 则

(i) $\|u_{\delta}^{*}\|_{L^2(0, k^*\delta;L^2(\mathbb{R} ^{n})}=N\triangleq \mu_{y_{0}, r/\|y_0\|}^{k^*\delta}>0$;

(ii) $u_{\delta}^{*}$ 满足Pontryagin最大值原理, 也即存在函数$\varphi\in L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$和$\xi_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\setminus \lbrace0\rbrace$满足方程

且使得

从而

关于主要结论, 下面给出一些说明.

$\bullet$ 渐近零能控(1.2)式说明的是, 对于给定的采样时刻$k\delta$, 对任意的初值$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 总存在一个有界的采样控制$u_{\delta}^{y_{0}}$使得系统(1.1)的状态能任意地小.

$\bullet$ 由(1.3)式可以看出, 关于标度$L$是$\gamma$ -厚度的集合$E$, 在空间任意一个边长为$L$的立方体中, 其测度均大于等于该立方体体积的$\gamma$倍, 因此$E$是一个测度为无穷的集合, 其空间分布由$\gamma$和$L$来刻画. 定理1.1得到的渐近零能控和定理1.2得到的最优控制的存在性都是基于控制作用在一个厚度集合上的结论.

$\bullet$ 定理1.2说明对于系统(1.1)的时间最优控制问题, 给定初值$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\setminus B_{r}$, 若控制限制$M$ 的取值大于一个下界, 则时间最优控制存在. 这一结论基于定理1.1建立的渐近零能控和Fenchel对偶理论. 我们将在后文中利用Fenchel 定理证明$\mu_{y_{0}, r/\|y_0\|}^{k\delta}$是使得方程的解在$k\delta$时刻达到$B_r$的所有可能控制的范数的最小值. 直观上来看, 条件(1.5)能保证时间最优控制的存在性。

$\bullet$ 定理1.2说明本文考虑的时间最优控制问题与能量随时间衰减的系统中的结论是不同的, 后者的$M$ 是可以任意选取的, 而对于前者, 条件(1.5)一定程度上是必要的. 事实上, 对于系统(1.1), 确实存在$M$ 的选取太小而导致时间最优控制不存在的情况. 例如, 对任意给定的$\delta>0$, 当我们取$M=0$ 以及初值$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\setminus B_{r}$ 满足条件

时(显然满足条件(1.9)的$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$是存在的, 如抽样函数$\sin ax/ax$, $0<a\leq 2\sqrt{c}$), 由Parseval等式有

由(1.9)(1.10)式再次利用Parseval等式可以推出

另一方面, $M=0$使得允许控制集$U_{\delta}^{M}$中仅有控制$u_{\delta}\equiv 0$, 而根据(1.11), 零控制下系统(1.1)的解$y(k\delta;y_{0},0)=e^{-Hk\delta}y_{0}$对任意的$k\in {\Bbb N}^{+} $都无法到达闭球$B_{r}$. 因此, 对于满足(1.9)的$y_{0}$, 这里预先给定的$M=0$使得系统(1.1)的采样时间最优控制不存在.

$\bullet$ 在定理1.3中, 条件$\delta\in(0, T_{y_{0}}^{*}/2)$ 和 $k^{*}\in {\cal P}^\delta_{T_{y_{0}}^{*}}$ 是为了保证最小范数的时间最优控制非零. 事实上, 若 $T_{y_{0}}^{*}<+\infty$, 则系统的解在零控制作用下在$T_{y_{0}}^{*}$时刻可以达到$B_r$. 进一步, 若 $\delta$ 太大, 或者 $k^{*}\delta >T_{y_{0}}^{*}$, 则零控制就是最小范数的时间最优控制.

$\bullet$ 定理1.3只针对最小范数的时间最优控制进行了刻画. 因为本文考虑的是采样控制, 最优时间又是离散形式的,一般来说, 我们只能保证最小范数的时间最优控制是唯一的. 我们粗略解释一下$(TP)_{\delta}^{M,y_{0}}$ 问题的最优控制未必是唯一的, 最优控制也未必有bang-bang 性的原因. 假设最优时间为 $2\delta$ 的最小范数的时间最优控制的范数为 $M_1$, 而最优时间为 $3\delta$ 的最小范数的时间最优控制的范数为 $M_2$. 显然 $M_1>M_2$. 当$M\in(M_2, M_1)$ 时, 最优时间仍然是 $3\delta$, 但控制未必是唯一的, 除了最小范数的时间最优控制(其范数严格小于 $M$, 故没有bang-bang性), 可能有范数更大的控制使得系统的解在 $3\delta$ 时刻之前到达$B_r$, 并在$3\delta$ 时刻仍然在$B_r$上. Wang等^[19]讨论过此类问题, 其中的定理3.2证明了有界域上的热方程的时间最优控制问题可能有无穷多个最优控制.

在第1节中, 我们已经对本文的问题和主要结论做了介绍, 因此在后续的第2,3,4节中我们依次给出定理1.1, 定理1.2, 定理1.3的证明过程.

为了证明定理1.1, 我们需要先证明一个重要的引理2.2, 引理2.2的证明需要引理2.1, 而引理2.1是文献[17]的定理1.1的直接结论, 因此我们直接给出引理2.1的结果, 然后给出本文引理2.2和定理1.1的证明.

引理 2.1 可测集$E\subset \mathbb{R} ^{n}$对于系统

满足H{ö}lder型插值不等式, 即对任意$\theta \in (0,1)$, 存在$C_{H}=C_{H}(n,\omega,\theta)$使得对任意$T>0$和系统(2.1)零控制输入下的状态$y(\cdot;y_{0},0)$, 满足

当且仅当存在$\gamma>0$ 和$L>0$, 使得$\omega$关于标度$L$是$\gamma$ -厚度的.

引理 2.2 给定$\delta>0$和$k \geq 2$, 若对于某 $\gamma>0$和$L>0$, 集合$\omega$ 关于标度$L$是$\gamma$ -厚度的, 那么系统(2.1)在$[k\delta]$上有带有代价的$L^{2}$渐近零能控性.

证 基于本引理假设, 结合引理2.1可知, 此时对系统(2.1)成立H{ö}lder型插值不等式(2.2). 这里对(2.2)式取$\theta=\frac{1}{2}$, 则对于任意$t>0$, 我们可以找到常数$C_{H}=C(n,\omega)$使得

将(2.3)式改写成$C_{0}$半群的形式得到

令$0<S<T$, 任意固定$z\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$. 我们在$\mathbb{R} ^{n}$中定义一个新的函数$f^{z}$如下

显然, $f^{z}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$. 在(2.4)式中令$y_{0}=f^{z}$ 和 $t=T-S$, 得到

利用Parseval等式和Fubini定理, 可以得到以下两个事实: 第一, 对$f^{z}$作Fourier变换得到

因为$\frac{1}{S}\int_{0}^{S}e^{-| \xi | ^{2}(S-t)}{\rm d}t \leq 1$, 我们有

第二, 容易得到

其中$\varphi(\cdot;T,z)$为方程(2.1)的共轭方程

$\left\{\begin{array}{l}\partial_{t} \varphi+\Delta \varphi=0, \quad \text { 在 } \mathbb{R}^{n} \times(0, T) \text { 中 } \\ \varphi(\cdot, T)=z \in L^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right),\end{array}\right.$

的解. 于是对$e^{\triangle (T-S)}f^{z}$作傅里叶变换得到

所以

将(2.6)-(2.8)式代入式(2.5)式中, 得到

对(2.9)式使用Young不等式得到对任意的$\varepsilon>0$成立

在(2.10)式中令$T=k\delta$和$S=[k/2]\delta$, 由于

其中

于是可以得到

为了得到最后的结论, 这里利用文献[18]的引理5.1并采用该引理的框架来证明. 令$X\triangleq L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, $Y\triangleq L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$, $Z\triangleq L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 并定义算子${\cal R}:Z\rightarrow X$和${\cal O}:Z\rightarrow Y$如下

可以验证${\cal R}$和${\cal O}$都是有界线性算子, 且它们的共轭算子为

由文献[18]的引理5.1, 式(2.11)成立等价于其共轭形式

成立, 引理2.2得到证明.

我们现在证明定理1.1.

证 对系统(1.1)作变量替换, 令$y=e^{ct}\tilde{y}$, 则$\tilde{y}$满足如下方程

并且, 系统(1.1)和(2.12)的解满足如下关系式

根据引理2.2, 系统(2.12)满足对任意 $\varepsilon_{1}=e^{-ck\delta}\varepsilon>0$, 存在$C_{1}(n,\omega,\varepsilon,\delta,k)>0$, 使得对任意 $y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 存在$e^{-ct}u_{\delta}^{y_{0}}\in L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$ 成立

将(2.13)式代入(2.14)式得到

由于$e^{-ct}u_{\delta}^{y_{0}}\in L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$, 因而

由此可推出$u_{\delta}^{y_{0}}\in L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$且

令$C(n,\omega,\varepsilon,\delta,k,c)=e^{ck\delta}C_{1}(n,\omega,\varepsilon,\delta,k)$, 则可得到标准的渐近零能控不等式

因此, 我们证明了定理1.1.

本节我们给出定理1.2的证明, 在此之前我们要先证明引理3.1, 该引理是文献[10]中定理1和定理2的推广, 该文献证明了对于持续控制系统的结论, 下面的引理3.1将结论延伸到采样控制系统中.

引理 3.1 给定$\delta>0$, 对于任意的$k\in {\Bbb N}^{+}$, 控制系统(1.1)在$[k\delta]$上具有$L^{2}$渐近零能控等价于对任意的$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 对任意的$\alpha>0$, 有$\mu_{y_{0},\alpha}^{k\delta}<+\infty$.

证 对于系统(1.1), 给定$\delta>0$和$\alpha>0$, 对任意的$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 定义

如果不存在控制使得系统(1.1)的状态在$k\delta$时刻到达$\alpha\| y_{0}\| B_{1}$, 则$ M_{y_{0},\alpha}^{k\delta}=+\infty$. 显然, 系统(1.1)在$[k\delta]$上的渐近零能控等价于$ M_{y_{0},\alpha}^{k\delta}<+\infty$ 对任意的$y_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$和任意的$\alpha>0$都成立.

因此, 为证明本引理, 我们接下来研究$M_{y_{0},\alpha}^{k\delta}$和$\mu_{y_{0},\alpha}^{k\delta}$的关系. 定义两个下半连续的凸函数$f:L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))\rightarrow[0,+\infty)$和$g:L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\rightarrow [+\infty]$为

和

则可以得到关系式

由于$L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$和$L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$都是Hilbert空间, 则根据Fenchel对偶理论, 函数$f$和$g$的Fenchel共轭函数$f^{*}:L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))\rightarrow[0,+\infty)$和$g^{*}:L^{2}(\mathbb{R} ^{n})\rightarrow [+\infty]$为

和

对(3.1)式使用Fenchel对偶定理可以得到

其中

对任意$\psi \in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$, 令$\psi=r\sigma$, 其中$r=\| \psi\|$, $\sigma\in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$且$\| \sigma\| =1$. 那么

因此, 对任意固定的$\sigma \in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$有$^{1}$\footnote{$^1$给定$a\geq 0$和$b\in \mathbb{R} $,有

结合定义(1.4)可知

因而$M_{y_{0},\alpha}^{k\delta}<+\infty$当且仅当$\mu_{y_{0},\alpha}^{k\delta}<+\infty$, 这样我们就证明了引理3.1.

注 3.1 由$M_{y_{0},\alpha}^{k\delta}$和$\mu_{y_{0},\alpha}^{k\delta}$的关系可知, $\mu_{y_{0},\alpha}^{k\delta}$是使得系统(1.1)的状态在$k\delta$时刻到达闭球$\alpha\| y_{0}\| B_{1}$的控制的范数下确界, 也即

下面给出定理1.2的证明过程.

证 (i) 由于定理1.1建立了系统(1.1)的渐近零能控, 我们在引理3.1中令$\alpha=\frac{r}{\| y_{0}\|}$, 可知$0\leq \mu_{y_{0},r/ \| y_{0}\|}^{k\delta}<+\infty$对所有$k\geq 2$成立. 于是

(ii) 根据引理3.1, 条件(1.5)即

由下确界的定义, 对任意满足上式的$M$, 至少存在一个$k\in {\Bbb N}^{+}$和一个控制$u_{\delta}\in U_{\delta}^{M}$, 使得$y(k\delta;y_{0},u_{\delta})\in B_{r}$, 也即

允许控制集合非空, 根据$T_{\delta}(M,y_{0})$的定义, 存在一个$\hat{k}\in {\Bbb N}^{+}$使得

同时, 存在$k_{0}\in {\Bbb N}^{+}$和$u_{\delta}^{0}\in L_{\delta}^{2}(0,k\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$使得

根据(3.2)、(3.3)式可推出$\hat{k}=k_{0}$, 再结合(3.4)式可得到

结合(3.4)、(3.5)式可知$u_{\delta}^{0}$是$(TP)_{\delta}^{M,y_{0}}$的一个时间最优控制.

为说明了最小范数最优控制的存在性, 定义

显然$S_{y_{0}}^{k_{0}\delta}$存在, 则可以取到一列极小化序列$\lbrace u_{\delta}^{n}\rbrace_{n\geq 1}\subset U_{\delta}^{M}$ 使得

因此, 我们可以找到一个$\bar{u}_{\delta}^{y_{0}}\in U_{\delta}^{M}$和$\lbrace u_{\delta}^{n}\rbrace_{n\geq 1}$的一个子列, 仍记为$\lbrace u_{\delta}^{n}\rbrace_{n\geq 1}$使得

在空间$L_{\delta}^{2}(0,k_{0}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$中成立. 根据(3.6)式的第一个式子和(3.7)式可知

另一方面, 由于

因此结合(3.7)式, 并在(3.9)式中令$n\rightarrow +\infty$可以得到

在空间$L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$中成立. 根据(3.6)式的第二个式子和(3.10)式可知

结合(3.8)式和(3.11)式可知, $\bar{u}_{\delta}^{y_{0}}$是系统(1.1)在$k_{0}\delta$时刻的最小范数最优控制.

为了证明其唯一性, 不妨令$u_{\delta}^{1}$和$u_{\delta}^{2}$是上述$(TP)_{\delta}^{M,y_{0}}$问题的两个最小范数最优控制, 则由方程(1.1)的解的形式可知, $y(k_{0}\delta;y_{0},(u_{\delta}^{1}+u_{\delta}^{2})/2) \in B_{r}$, 再利用$u_{\delta}^{1}$和$u_{\delta}^{2}$是最小范数最优控制, 可知

由此可知$(u_{\delta}^{1}+u_{\delta}^{2})/2$也是最小范数最优控制, 根据Hilbert空间$L_{\delta}^{2}(0,T_{\delta}(M,y_{0});L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$的平行四边形法则可以得到

在$L_{\delta}^{2}(0,T_{\delta}(M,y_{0});L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))$中成立, 这也就证明了最小范数最优控制的唯一性.

在本节中, 我们将利用凸集分离定理来得到最小范数最优控制满足的Pontryagin最大值原理, 继而推导出定理1.3的内容, 证明如下.

证 (i) 根据定理1.2可知, $N$是使得状态在$k^{*}\delta$时刻到达闭球$B_{r}$的全体控制的范数下确界, 即

于是

$N\leq \| u_{\delta}^{*}\|_{L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))}$. 同时, 若$N< \| u_{\delta}^{*}\|_{L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))}$, 则由下确界的定义, 可找到一个$u_{\delta}$满足

使得

而这与$u_{\delta}^{*}$满足的最小范数性矛盾. 因此, $\| u_{\delta}^{*}\|_{L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))}=N$.

又因为$k^{*}\in {\cal P}^\delta_{T_{y_{0}}^{*}}$, 可知$e^{-Hk^{*}\delta}y_{0} tin B_{r}$, 即$\| e^{-Hk^{*}\delta}y_{0}\|>r$. 在$N$的定义式(1.4)中取$\psi = e^{-Hk^{*}\delta}y_{0}$, 于是总可以得到

从而, $N\neq 0$成立, 又根据定理1.2, $N< +\infty$. 所以此时

(ii) 定义

则该集合满足

理由如下.

第一, $\lbrace y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta}^{*})\rbrace \subseteq {\cal A}_{k^{*}\delta}\cap \partial B_{r}$. 首先, 显然$\lbrace y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta}^{*})\rbrace \subseteq {\cal A}_{k^{*}\delta}\cap B_{r}$. 而若$\lbrace y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta}^{*})\rbrace \nsubseteq {\cal A}_{k^{*}\delta}\cap \partial B_{r}$, 则必存在常数$r_{0}$满足$0<r_{0}<r$使得$\| y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta}^{*})\| =r_{0}$, 由算子$y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta})$关于$u_{\delta}$的连续性, 可以找到一个$\varepsilon > 0$, 使得当

时, 成立

即$\| y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta})\| < r$, 由于$\| u_{\delta}\|_{L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))} < \| u_{\delta}^{*}\|_{L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))} \leq M$, 故$u_{\delta}$也是$k^{*}\delta$时刻的一个最优控制, 这与$u_{\delta}^{*}$的范数最小性矛盾.

第二, ${\cal A}_{k^{*}\delta}\cap B_{r} \subseteq \lbrace y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta}^{*})\rbrace$. 如若不然, 则必有异于$u_{\delta}^{*}$的$u_{\delta}\in U_{\delta}^{N}$使得$y(k^{*}\delta;y_{0},u_{\delta})\in B_{r}$, 如果$\| u_{\delta}\|_{L^{2}(0,k^{*}\delta;L^{2}(\mathbb{R} ^{n}))}=N$, 则与$u_{\delta}^{*}$的唯一性矛盾; 而如果

则与$u_{\delta}^{*}$的范数最小性矛盾.

结合以上两点, (4.2)、(4.3)式得证.

由于$intB_{r}$是一个开的凸集, ${\cal A}_{k^{*}\delta}$是一个凸集, 结合(4.3)式, 利用凸集分离定理, 可知存在$\xi_{0} \in L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$且$\xi_{0}\neq 0$和常数$c$使得

再结合(4.2)、(4.4)式可知此时

于是

记

$L_{k^{*}}u_{\delta}=\int_{0}^{k^{*}\delta}e^{-H(k^{*}\delta-t)}(\chi_{\omega}\cdot u_{\delta}(t)){\rm d}t$, 则可得到最小范数最优控制$u_{\delta}^{*}$满足的最大值原理

这里

其中$\varphi(\cdot;k^{*}\delta,\xi_{0})$为方程(1.6)的解. 将(4.6)式代入(4.5)式中, 由于$u_{\delta}^{*}$和$u_{\delta}$都是关于时间的分段常值函数, 我们得到(1.7)式的最大值原理.

为证明(1.8)式, 我们还需证明

为此, 我们证明(4.7)式的一个充分条件

如若不然, 则存在$i_{0}\in \lbrace 1,2,\cdots,k^{*}-1 \rbrace$使得

根据对热方程的共轭方程成立的(4.9)式可知, 对原方程(1.1)的共轭方程成立

在(4.10)式中取$T=(k^{*}+1-i_{0})\delta, S=\delta, z=\xi_{0}$得到

又由于

所以

结合(4.9)和(4.11)式可知

再由原方程的倒向唯一性得到$\xi_{0}=0$, 矛盾. 这样, 我们就证明了(4.8)式, 从而(4.7)式成立. 于是 结合(4.1)、(4.5)、(4.6)式和(4.7)式, 我们给出最小范数最优控制的表达式如(1.8)式所示.

至此, 我们证明了定理1.3的全部内容.