非线性水波理论是非线性数学物理领域中一个至关重要的研究课题, 但由于非线性水波模型空间维数多、导数阶数高加之复杂的非线性项使得其难以被求解^[9]. 直到二十世纪初, 水波的研究几乎只限于线性模型. 但是线性模型难以解释一些重要的现象, 如孤立波和破裂现象^[9],于是一些非线性模型被提出来解释非线性行为, 最典型的模型就是KdV 方程^[26], 它是可积的并且能描述孤立子现象. 若假设与振幅相关的参数为$\epsilon:=\frac{a}{h_0}$, 与水深相关的参数为$\delta:=\frac{h_0}{\lambda}$, 其中$h_0$ 表示平均水深, $\lambda$ 为波长, $a$ 为水波的振幅, 那么KdV方程中参数的取值范围为$\delta\ll 1, \varepsilon={\cal O}(\delta^{2})$(记号${\cal O}$表示同阶无穷小), 由此可见KdV方程是一种小振幅长波方程.

KdV方程是BBM型方程族^[3]中唯一完全可积的, 但是KdV和BBM方程都不能模拟破裂现象, 即波在运动过程中保持不变, 但它的斜率却在有限时间内趋于无穷. 因此, 一些模型被提出来捕捉这种现象, 其中一个最具有代表性的模型是Camassa-Holm (CH)方程,

具有中等振幅的(CH)方程取与水深相关的参数$\delta\ll 1$, 取与振幅相关的参数$\varepsilon={\cal O}(\delta)$, 类似于KdV方程, (CH)方程也具有双哈密顿结构^[5], 并且在Lax对文献[5]的意义下是完全可积的. 然而, 与KdV方程不同的是, (CH)方程不仅有尖峰孤立子解, 而且还会出现破裂波现象^[6]. 后来, 许多学者研究了与(CH)方程相关的浅水波方程的适定性、全局存在性、孤立波、渐近行为等(见文献[4,7-8,10-11,13]以及其他参考文献).

2009年, Constantin和Lannes^[9]从Euler方程出发, 推导出了双参数中等振幅的浅水波Constantin-Lannes模型(CL)

它的参数取值和(CH)方程相同, 其中$u(x,t)$表示水平底面到水波自由表面的高度. 他们还证明了(CL)方程解的局部适定性和奇异性, 并且仅在Sobolev空间 $H^s(\mathbb{R}), s>5/2$时出现破裂现象(见文献[9]). 后来, Duruk Mutlubacs^[30-31]将该结果推广到Sobolev空间$H^s(\mathbb{R}), s>3/2$, 而Mi和Mu将此适定性的结果推广到了Besov空间^[29]. 在文献[28,40]中, 作者研究了(CL)方程弱解在Sobolev空间$H^s(\mathbb{R}), 1<s<3/2$中的存在唯一性. 随后, 在文献[18,36]中, 作者给出了弱解的全局存在, 而在文献[33-34] 中, 作者证明了(CL)方程初值到解映射在索伯列夫空间中是非一致连续的. Qiao和其他作者进一步研究了(CL)方程的Hölder连续以及加权空间中强解在无穷远处的渐近行为^[43]. 作者在文献[15,18]中讨论了(CL) 方程的行波解和特殊孤立波. Jiang和Zhou通过对微分方程定性分析, 建立了一类新的在无穷远处代表衰退的尖点孤立波的存在性^[24]. 在文献[16,32]中, 作者考虑了(CL)方程孤立波的轨道稳定性. 最近, 基于爆破准则, 一些关于(CL) 方程的新的爆破现象被提出^[37]. Zhou和Mu研究了(CL) 方程的解在破裂现象之后的连续性^[42]. 在文献[2]中, 作者建立了(CL)方程周期解的破裂现象.

一个自然的问题是, 能否找到一个用于描述大振幅浅水波模型, 这要求方程具有更高阶的非线性的次数, Quirchmayr^[35]从Euler方程出发, 取参数$\delta\ll 1, \varepsilon={\cal O}(\sqrt{\delta})$, 推导出了一组双参数的渐近等价方程, 用于固定各种水深下速度场的水平分量. 为了将$\epsilon^{2}\delta^{2}$ 项写成这个双参数族中的$x$导数, 可以从这个族中选择一个特定的方程, 如下

同时Quirchmayr讨论了方程(1.2)在$H^3(\mathbb{R} )$中解的局部适定性和爆破现象. 随后, Yang和Xu^[38]利用Kato半群定理, 将相应结果推广到Sobolev空间$H^s(\mathbb{R} ), s>3/2$中, Fan和Yan进一步将相应结果推广到Besov空间中^[14]. 同时, 在文献[41]中, Zhou证明了方程(1.2)在Besov空间$B_{2,1}^{3/2}(\mathbb{R}), 1\leq p, r\leq+\infty, s>\max\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\}$中是局部适定的, Fan和Yan^[14]将结果推广到了$B_{2,1}^{3/2}(\mathbb{R} )$ 空间中. 在文献[12]中, 作者证明了(1.2)的弱解在索伯列夫空间 $H^{s}(\mathbb{R} )$, $1<s\leq3/2$中的存在性, 并讨论在加权空间$L_{\phi}^{p}=L^{p}(\mathbb{R},\phi^{p} {\rm d}x )$中强解的持续性. 在文献[14,35]中给出了方程(1.2)的爆破准则, 在文献[16-17,27]中给出了它的行波解.

另一方面, Quirchmayr^[35]还从Euler方程出发, 取参数$\delta\ll 1, \varepsilon={\cal O}(\sqrt{\delta})$, 推导出了水波自由表面的单参数族

Quirchmayr首先把欧拉运动方程和质量守恒方程转化为无量纲的形式, 但是自由表面上的边界条件是未知的, 为了解决这个问题, 他使用泰勒级数展开, 从而使得所有的高阶项都包含在余项中, 得到所需要的方程(1.3), 其中$\eta(x,t)$表示水平底面到水波自由表面的高度, 系数$\epsilon$, $\delta$ 分别表示振幅和浅度参数, 系数$a=\frac{1}{6}-\mu,c=23-108\mu,d=10-36\mu,e=46+72\mu,$$f=10+12\mu,g=19+24\mu$, 其中$\mu$ 表示任意大于零的实数.

该文首先用Kato半群定理得到方程(1.3)解的存在唯一性. 为此得到这个结果, 受文献[19,21,22]的启发, 我们应该先得到一个先验估计. 然而(1.3)式中的非线性项比(CH)方程更复杂并且非线性项的次数更高. 为了使计算更简短, 令$\eta(x,t)=u(\theta x-\bar{a}t,t)-\bar{b}$, 其中$\theta=\frac{1}{\sqrt{\mu}\delta}$. 则得到$u_{x}$ 和 $u_{xxx}$ 项的系数分别为$-\bar{a}+\theta-\frac{3}{2}\theta x-\frac{3}{8}\theta x^{2}-\frac{3}{16}\theta x^{3}+\frac{15}{128}\theta x^{4}-\frac{21}{256}\theta x^{5}-\frac{27}{512}\theta x^{6}$, $a\theta+\mu \bar{a}-\frac{1}{24}{\rm d}x+\frac{1}{32}\theta f{\rm d}x^{2}$, 为了使他们的系数都为零, 联立可得 $g(x)\doteq-\frac{1}{6}-\frac{5}{12}x+\frac{5}{16}x^{2}-\frac{3}{16}\mu x^{3}+\frac{15}{128}\mu x^{4}-\frac{21}{256}\mu x^{5}-\frac{27}{512}\mu x^{6}=0$. 因为$g(x)$是连续的, 并且$g(0)<0, g(-1)>0$, 于是一定存在一个$x_{0}\in(0,-1)$ 使得$g(x_{0})=0$. 因此方程 (1.3)可转化为

或等价形式

其中

定理 1.1 假设初值$u_0\in H^s(\mathbb{R} )$, $s>3/2$. 则存在$T>0$, 使得方程(1.4) 有唯一解$u(x,t)$

进一步, 解到初值的映射$u_0\rightarrow u(\cdot,u_0)$从初值属于$H^s(\mathbb{R} )$映到解空间

是连续的.

接下来, 我们证明方程(1.4)的解只会以波裂的形式产生奇性.

定理 1.2 假设初值$u_{0}\in H^{s}(\mathbb{R} )$, $s>3/2$. 令$T$是方程(1.4)关于初值$u_0$的解$u$的最大存在时间. 则该方程的解在有限的时间内发生爆破当且仅当

接下来证明方程(1.4)的解是非一致连续的. 与(CH)型方程的特征相比较, 上面的目标方程(1.4)的特征是$a_{1}u+a_{2}u^{2}$, 而(CH)型方程的特征是线性的. 于是本文在近似解的估计的时候使用更复杂的高频与低频(见下面的(3.7)式). 然后, 使用常用的索伯列夫空间中的插值定理和交换子估计, 类似于文献[21]中处理近似解的技巧, 我们在${\cal C}([T];H^{s}(\mathbb{R} ))$中选取两个适当的解序列$u_{1,\lambda}(t)$ 和 $u_{0,\lambda}(t)$ 使得

然而, 对于任意的时间$t$满足$0< t\leq T$, 有

即极限$\liminf_{\lambda \to \infty}\|u_{1,\lambda}(t)-u_{0,\lambda}(t)\|_{H^{s}(\mathbb{R} )}$在初始时刻以外的任何时间都不等于零.

我们的结果如下.

定理 1.3 假设初值$u_0(x)\in H^{s}(\mathbb{R} )$, $s>{3/2}$, 则方程(1.4)的解的映射$u_0(x)\rightarrow u(t)$在任何有界集$ H^{s}(\mathbb{R} )$ 到 ${\cal C}([T];H^{s}(\mathbb{R} ))$$\times$${\cal C}([T];H^{s-1}(\mathbb{R} ))$是非一致连续的.

定理1.1告诉我们方程(1.4)在索伯列夫空间$H^{s}(\mathbb{R} ), s>{3/2}$中是适定的, 然而, 定理1.3表明方程(1.4)的解是非一致连续的. 接下来, 我们证明方程(1.4)解的映射在索伯列夫空间中是Hölder连续的.

定理 1.4 假设$s>{3/2}$ 且 $0\leq r<s$. 则方程(1.4)解的映射在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R} )$中是Hölder连续的. 特别地, 考虑方程(1.4)对应于初值$u_0$和$v_0$的两个解$u(t)$和$v(t)$, 并且初值条件满足$B(0,\rho)=\{\psi\in H^s:\parallel \psi \parallel _{H^s}\leq \rho \}$, 则

其中参数 $\alpha$ 由下式给出

最大时间 $T$ 和常数$C$ 仅依赖于 $s$, $r$ 和 $\rho$.

受最近关于(CL)方程在加权索伯列夫空间的研究工作^[43]的启发, 该文将得到方程(1.4)在加权空间$L^{p}_{\phi}$中的持续性. 也就是说, 将找到一大类权函数$\phi$, 使得

它可以帮助我们得到关于方程(1.4)的解到加权空间$L^p_{\phi}:=L^p(\mathbb{R},\phi^p {\rm d}x)$的持续性. 通过对不同权函数的选取可从持续性的结果中获得解关于空间变量的渐近行为. 我们的结果推广了文献[43]中关于方程解的持续性和非持续性的工作, 并且我们的方法侧重于在时频分析理论中有规律出现的中等权函数, 并优化了文献[43]中关于(CL)方程的结果. 为此, 我们首先给出容许权函数的定义. 在文献[43]中可以看到例如$w$ -适中的、次可乘性这样的术语.

定义 1.1 对于方程(1.4), 容许权函数$\phi:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $是一个局部绝对连续函数, 满足

(i)对于某些$x\in\mathbb{R} $, 有$|\phi'(x)|\leq A|\phi(x)|$;

(ii)$\phi$是$v$ -适中的, 其中权函数$v$是次可乘的, 满足

与容许权函数相关的结果如下.

定理 1.5 设 $T >0, s > 3/2$且 $1\leq p\leq\infty$. 对于柯西问题(1.4), 令$u \in {\cal C}([T],H^s(\mathbb{R} ))$是如下初值对应的强解, $u_0\phi,\ u_{0,x} \phi \in L^p(\mathbb{R} ),$ 其中$\phi$表示柯西问题(1.4)可容许权函数. 则对任意的$t\in [T]$, 下面的估计式成立

其中$C>0$为实常数, 只依赖于$\omega$和$\phi$. 另外, 在估计式中$M$记做

如果选取标准权函数

其中$a\geq 0,\,\ c,d\in\mathbb{R},0\leq b\leq1,ab<1$. 那么限制条件$ab<1$ 使得定义(1.6)中的$\omega(x)\geq 1$. 因此, 如若考虑$a, b, c$ 和$d$不同的限制条件, 则有如下两个特殊的持续性质.

注 1.1 (1)设$\phi=\phi_{0,0,c,0}$, 其中$c>0$, 选取 $p=\infty$. 那么定理1.5 给出了如下推论结果:当

时, 如下的一致代数衰减

成立, 其中$C$依赖于初值$u_0, \partial_{x}u_0$ 和解的最大存在时间$T$.

(2)当 $x\geq0$时, 取$\phi=\phi_{a,1,0,0}$, 其中$0\leq a<1$;当 $x\leq0$时, 取$\phi(x)=1$.可以验证此权函数满足定义1.1 中的容许条件. 取$p=\infty$, 可以得到柯西问题(1.4)的点态衰减：如若初值满足条件

则对于$t\in[T]$, 解也满足此衰减估计

类似的, 可以得到$x\rightarrow-\infty$的衰减.

显然, $\phi=\phi_{1,1,c,d}$这种情况未包含在定理1.5中. 在下面的推论中, 我们取权函数 $\phi=\phi_{1,1,c,d}$, 其中 $c<0,d\in\mathbb{R} $ 且 $\frac{1}{|c|}<p\leq\infty$. 基于 $v$ -适中的概念, 我们得到如下推论.

推论 1.1 假设 $2\leq p \leq \infty$, $\phi$ 是局部绝对连续的$v$ -适中的权函数且对于一些常数$A>0,\inf v>0$ 和 $ve^{-|\cdot|}\in L^{p}(\mathbb{R} )$, $\phi'(x)\leq A|\phi(x)|$ 几乎处处成立. 假设初值$u$满足 \begin{eqnarray*} u_0\phi, (\partial_{x}u_{0}) \phi\in L^p(\mathbb{R} ) \,\ \mbox{ 和 } \,\ u_0\phi^\frac{1}{2}, (\partial_{x}u_{0}) \phi^\frac{1}{2}\in L^{2}(\mathbb{R} ). \end{eqnarray*}

那么方程(1.4)在初值条件$u_{0}$下的强解$u$满足

和

注 1.2 推论1.1 中, 取$\phi(x)= \phi_{1,1,0,0}(x)=e^{|x|}$, $p=\infty$. 如果 $|u_0(x)|$ 和 $| u_{0,x}(x)|$ 都被 $Ce^{-|x|}$控制, 则方程的强解满足

$\begin{matrix} |u(x,t)|+| u_x (x,t)| \leq Ce^{-|x|} \end{matrix}$

且在$[T]$中是一致的.

本文的结构如下. 在第2节中, 我们先回顾了一些常用的符号, 给出了关于适定性的简短证明, 并建立方程 (1.4)的爆破场景. 在第3节中, 我们首先运用近似解和适定性的估计方法得到方程(1.4)的先验估计, 从而得到定理3.1, 我们还得到了方程(1.4)在索伯列夫空间$ H^{s}(\mathbb{R} ), s>{3/2}$中是非一致连续的并且证明了定理1.3. 在第4节, 我们证明了方程(1.4)初值到解映射在索伯列夫空间中是Hölder 连续的, 并且证明了方程(1.4)解的持续性.

本文令算子$\Lambda=(1-\partial_x^2)^{1/2}$, 则作用于$L^2(\mathbb{R} )$的算子$\Lambda^{-2}$可以用与它相关的格林函数$G(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$ 表示为

对于任意的 $s\in\mathbb{R} $, 利用算子$\Lambda^s=(1-\partial_x^2)^{s/2}$定义下面的运算

其中 $\hat{f}(\xi)$ 表示傅里叶变换

那么对于任意的 $f\in H^s(\mathbb{R} )$ 有

在本文中, $\|f\|_{H^s}=\|f\|_{H^s(\mathbb{R} )}$, 符号$\lesssim$ 和 $\gtrsim$ 被用来表示相应的包含一个常数的不等式. 例如$f(x)\lesssim g(x)$表示对于某些常数$c>0$, $f(x)\leq cg(x)$.

我们还需要用到以下引理, 第一个引理可以在文献[21]和[32]中找到.

引理 2.1 如果$r>0$, 则$H^r\cap L^\infty$是一个代数. 此外

(i)若$r>0$, 则

(ii)若$r>1/2$, 则

(iii)若$0\leq r\leq 1,\ s>3/2,\ r+s\geq 2$, 则

这里的第二条是Calderon-Coifman-Meyer 型交换子估计.

引理 2.2(文献[引理1]) 如果 $ [\Lambda^r,f]g =\Lambda^r(fg)-f\Lambda^r g$ 且 $\Lambda=(1-\partial_x^2)^\frac{1}{2}$, 则下面的交换子估计成立

(i) 若$r>0$, 则

(ii) 若$r+1\geq0,\ s>3/2,\ r+1\leq s$, 则

引理 2.3[23] 假设 $\sigma_1<\sigma<\sigma_2$ 且 $f\in H^\sigma_1$. 则

接下来, 我们给出定理1.1的一个简短证明.

定理1.1的证明 为了证明适定性, 我们运用文献[25]中的Kato半群定理. 为此, 根据从上述变换中得到的等式(1.4). 设$A(u):=a_{1}uu_{x} +a_{2}u^{2}u_{x}$, $f(u):=\Lambda^{-2}\partial_x[b_{1}u^2+b_{2}u^3+b_{3}u^4+b_{4}u^5 +b_{5}u^6+b_{6}u^7+b_{7}u_{x}^{2}+b_{8}uu_{x}^{2}]+b_{9}\Lambda^{-2}u_{x}^{3}$, $Y=H^s(\mathbb{R} )$, $X=H^{s-1}(\mathbb{R} )$ 和 $Q=\Lambda$. 紧跟文献[7,39]中所做的考虑, 我们得到定理1.1的证明.

现在把注意力转向爆破问题, 首先得到方程(1.4)的精确爆破模式.

定理2.1 令初值$u_{0}\in H^{s}(\mathbb{R} )$. 假设关于初值$u_0$的解的存在时间为$T$. 若存在$M > 0$ 使得

则方程(1.4)的解$u(t,\cdot)$的$H^{s}$范数在$[0,T)$不会爆破.

证 设$u$是方程(1.4)关于初值$u_0\in H^{s}(\mathbb{R} )$, $s>3/2$的解并且$T>0$是解的最大存在时间. 用算子 $\Lambda^{s}$ 作用于方程(1.4), 乘以$\Lambda^{s}u$, 并且在 $\mathbb{R} $上进行积分, 可以得到

其中

首先, 我们估计方程(2.1)右边第一项.

其中用到了引理 2.2(i). 其次, 我们运用同样的方法来估计方程(2.1)右边第二项得到

接下来, 我们估计方程(2.1)的下一项得到

其中用到了$\| u\| _{s}=\| \Lambda^{s}v\| _{L^{2}}$. 最后, 我们估计方程(2.1)右边最后一项.

这里我们取$r=s-1$, 即运用到了引理2.1(ii). 结合(2.3)-(2.5)和 (2.1)式可以得出

利用 Gronwall 不等式可以得出

这就完成了定理的证明. 证明完毕.

接下来给出定理1.2的证明.

定理1.2的证明 利用定理1.1, 令$u$是方程(1.4)关于初值 $u_{0}\in H^{s}$, $s>3/2$ 的解并且 $T>0$ 是解的最大存在时间. 回顾方程(1.4)可以写成以下形式

用 $u$去乘以(2.7) 式并且分部积分可以得到

显然, 如果对于$(t,x)\in [0,T)\times \mathbb{R} $, 这里存在一个 $M>0$ 使得$\| u_{x}\| _{L^{\infty}}<M$, 则

即

利用索伯列夫嵌入定理可以得到

另一方面, 用$u_{xx}$去乘以 (2.7)式 并且进行分部积分, 我们可以得到

假设存在一个$M>0$ 使得对于$(t,x)\in [0,T)\times \mathbb{R} $有$\| u_{x}\| _{L^{\infty}}<M$成立, 则结合 (2.9) 和 (2.10)式 可以得到

结合 (2.8) 和 (2.11)式可以得出

运用索伯列夫嵌入定理有

$\begin{equation} \| u(t)\| _{L^{\infty}}+\| u_{x}\| _{L^{\infty}}\leq \| u(t)\| _{H^{2}}\leq e^{C_{M}t/2}\| u_{0}\| _{H^{2}}. \end{equation}$ (2.12)

定理 2.1 和 (2.12) 式说明解在有限的时间内不发生爆破.

另一方面, 通过定理2.1和索伯列夫嵌入定理, 若

则解一定在有限时间内发生爆破. 这就完成了定理1.2的证明.

接下来, 我们将证明解$u(t)$的存在时间$T$的一个显式估计. 此外, 我们证明在时间间隔$[T]$ 中, 解$u(t)$ 的$H^{s}$范数由初值 $u_{0}$的$H^{s}$范数支配.

定理 3.1 假设$s>3/2$且初值$u_0(x)\in H^{s}(\mathbb{R} )$. $T^*$是方程(1.4)的最大存在时间, 且$T^*$满足

其中$C$ 是仅依赖于$s, |\epsilon|, |\delta|$的常数. 另外, 我们有

证 令$u$是方程(1.4)关于初值$u_0\in H^s, s>3/2$的解,

这里的$T$是关于解的最大存在时间. 如果$u\in H^s$, 则$u_x\in H^{s-1}$, 接下来我们考虑如下系统

其中 $\varsigma\in(0,1]$, 算子 $J_\varsigma$ 被定义为

其中$j_\varsigma(x)=\frac{1}{\varsigma}j(\frac{x}{\varsigma})$且 在$[-1,1]$中, $j(x)$ 是一个 ${\cal C}^\infty$ 函数, 使得$j(x)\geq0, \int_\mathbb{R} j(x){\rm d}x=1$. 用算子$\Lambda^sJ_\varsigma u \Lambda^s$去乘以(1.4)式, 然后, 对结果方程在$x\in \mathbb{R} $上积分, 得到

接下来, 我们估计(3.4)式的右边.

对于(3.4)式右边第一项我们可以得到

利用引理 2.2(i)可得

其中我们用到了$\parallel u\parallel _{H^s}=\parallel \Lambda^su\parallel _{L^2}$. 对于(3.5)右边第二项, 使用分部积分可以得到

因此, 我们有

用相同的方法处理(3.4)式右边第二项我们可以得到

对于(3.4)式的非线性项可以得到

其中第一个不等式我们运用了Hölder 不等式, 第三个不等式我们运用了引理 2.1(i). 将以上不等式整合到 (3.4)式 我们可以得到以下不等式

其中常数$C$仅依赖于$\epsilon, \delta, s$. 让$\varsigma\rightarrow0$ 且对于$s>3/2$ 我们使用索伯列夫不等式可以得到

求解上面不等式可以得到

其中 $t< \frac{1}{6C(1+\parallel u_0\parallel _{H^s})^{6}}$.

令$T_0=\min\left\{\frac{1}{6C(1+\parallel u_0\parallel _{H^s})^{6}},\frac{(1+2\parallel u_0\parallel _{H^s})^{6}-(1+\parallel u_0\parallel _{H^s})^{6}}{6C(1+\parallel u_0\parallel _{H^s})^{6}}\right\} $, 因此方程(1.4)的解满足下面的不等式

这就完成了定理3.1的证明.

现在, 我们首先构造方程(1.4)的一个近似解. 再估计近似解与真实解之间的误差.

方程(1.4)的近似解$u^{\omega,\lambda}=u^{\omega,\lambda}(t,x)$可以写成高频、低频的形式

其中$\omega$是有界集且$\omega\in \mathbb{R} $. 方程(1.4)的近似解的高频形式如下

其中截断函数 $\psi\in {\cal C}^\infty$满足

另一方面, 近似解的低频部分$u_l=u_{l,\omega,\lambda}(t,x)$是下列系统的解

其中

且

接下来, 两个近似解序列将用于证明方程(1.4)的非一致依赖性. 其中

因此, 让我们首先研究$u_l$ 和 $u^h$的性质. 由(3.7)所定义的高频部分满足

由以下结果可以得知.

引理 3.1 (文献[引理4]) 设 $\psi\in {\cal S}(\mathbb{R} )$, $1<\delta<2$ 和 $a,b\in\mathbb{R} $. 那么对于任意 $s\geq 0$, 则有

如果用$\sin$去代替(3.9)式中的$\cos$, 该引理同样成立.

引理表明

显然, 方程(3.8)的零初值条件下, 低频部分 $\omega=0$. 对于$\omega=1$时的情况, $u_l$ 的基本性质总结在下面的引理中.

引理 3.2 (文献[引理5]) 设 $\omega=1$, $0<\delta<2$和$\lambda\gg1$. 则系统(3.8) 有唯一解$u_l\in {\cal C}([T];H^s(\mathbb{R} ))$, $s>3/2$. 并且对于任意的$r\geq0$, (3.8)的解满足下面的估计式

将近似解$u^{\omega,\lambda}=u_l+u^h$带入方程(1.4), 得到以下误差

这里我们应用了$u_l$ 是方程(3.8)的解.

显然, $\partial_t u^h$和$\partial_x u^h$可以分别表示为

和

此外, 我们可以得到

因此, 误差可以写成如下形式

其中

接下来, 我们对误差$F$的$H^{r}$范数进行估计, 这里的 $r>1/2$. 我们可以得到

这里我们运用到了引理 3.1和 不等式(3.10). 即

接下来, 我们估计 $\parallel u_{l}(0)-u_{l}(t)\parallel _{H^{r}}$. 利用积分基本定理可得

则

接下来, 对于任意$\tau\in[T]$, 我们运用(3.8)式可得

对于所有 $r>1/2$, $H^{r}$ 是一个代数并且运用以下估计

得到

其中最后一个不等式运用了不等式(3.10). 再运用不等式(3.13)我们可以得到

因此, 结合(3.12)和(3.14)式可以得到

接下来, 我们估计 $F_{2}$ 如下

估计 $F_{3}$我们可以得到

其中运用到了估计式(3.9)和(3.10). 运用相同的方法, 我们可以得到 $F_{4}-F_{10}$的估计. 联合这些估计可以得到以下结论.

定理 3.2 假设 $\frac{1}{2}<r<s $, $\frac{1}{3} <\delta<1$ 和 $s> \frac{3}{2}$. $\omega\in \mathbb{R} $是一个有界集, 则

其中 $r_s=s-r-\delta+1>0$.

接下来, 我们估计近似解与真实解之间的误差. 设 $u_{\omega,\lambda}(t,x)$是方程(1.4)的解, 即满足下式

由于$u^{\omega,\lambda}(0,x)\in H^s,s>3/2$是方程(1.4)的近似解, 再根据引理3.1 和3.2 可以得到

因此, 根据定理 3.1, 对于任意的有界集 $\omega$且 $\lambda\gg1$, 问题(3.16) 有唯一解 $u_{\omega,\lambda}\in {\cal C}([T];H^s)$ 且解的最大存在时间满足

为了估计近似解与真实解之间的误差, 需设 $v=u^{\omega,\lambda}-u_{\omega,\lambda}.$则$v$满足下面的方程

其中$F$由(3.11)式定义且满足(3.15)式中的$H^r$范数估计.

命题 3.1 如果$\frac{1}{3}<\delta<1$, $\frac{1}{2}<r<s $, $s>3/2$ 且 $r+1\leq s$, 则

其中 $r_s=s-r-\delta+1 >0$.这个命题的证明和文献[引理6]的证明类似, 本文将省略此命题的证明.有了近似解和真实解的误差估计, 接下来我们证明定理1.3.

定理1.3的证明 设$s>3/2$, $u_{1,\lambda}(x,t)$ 和 $u_{0,\lambda}(x,t)$ 分别是方程(3.16)在初值条件$u^{1,\lambda}(x,0)$ 和 $u^{0,\lambda}(x,0)$ 的解. 则根据定理3.1可知, 这两个解属于${\cal C}([T];H^s)$. 由式(3.17)和定理3.1的假设条件知$T$不依赖于$\lambda\gg1$. 让 $s>3/2$ 且$k=[s]+2>2$, 运用(3.2)式可以得到

如果 $\lambda$ 足够大, 则根据(3.9)和(3.10)式我们可以得到

因此, 我们可以得到$H^{k}$范数的估计如下

另一方面, 通过(3.18)式和选择的$\omega\in\{0,1\}$ 可以得到如下结果

运用引理2.3中的索伯列夫插值不等式、(3.19)和(3.20)式, 令 $\sigma_1=r$, $\sigma_2=[s]+2=k$, 则有

其中$\frac{(1-\delta)(k-s)}{k-r}>0$ 等价于$\delta<1.$接下来, 我们将应用估计式(3.20)来证明当$s>3/2$时系统(1.4)的解是非一致连续的.

当$t=0$且$\lambda\rightarrow\infty$时有

其中运用了不等式$\parallel \varphi(\frac{x}{\lambda^{\delta}})\parallel _{H^{s}}\leq\lambda^{\frac{\delta}{2}}\parallel \varphi\parallel _{H^{s}}$.

当$t>0$时, 利用三角不等式有

将(3.21)式运用于(3.21)式的最后两项可得

即

接下来, 我们给出$\parallel u^{1,\lambda}(t)-u^{0,\lambda}(t)\parallel _{H^s}$ 的估计

于是有

则由

可以得到

其中 $0< t< \min \big\{T,\frac{2\pi}{|a_{1}+a_{2}\lambda^{-1}|}\big\}$.这就证明了定理 1.3.

定理1.3说明在$H^s$中方程(1.4)的解映射$ u_0 \in H^s \mapsto u \in {\cal C}([T];H^s) $是连续的但不是一致连续的.在本节中, 我们想进一步研究Hölder空间$H^r, r<s$中解映射的连续性, 其初值仍然属于$H^s$, $s>3/2$. 更确切的说, 我们考虑方程(1.4) 的两个解$u$和$v$, 他们对应的初值分别为$u_{0 }$和$v_{0 }$. 假设初值$u_{0 }$和$v_{0 }$被指定在$H^s$空间中半径为$\rho$ 的球面上. 即

则有

其中 Hölder 指数$\alpha$是我们要求解的.

定理1.4的证明 解在$A_1$空间中是Lipschitz连续的: 设$v$是柯西问题(1.4)在初值为$ v(x,0)=v_0(x)\in H^s(\mathbb{R} )$ 的另外一个解, 即

其中

设$w=u-v$, 用(1.4)式减去(3.23)式可以得到

让$0\leq r \leq s-1$, $r+s>2$, 在(3.24)式左右两边分别乘以算子$\Lambda^rw\Lambda^r$, 然后把所得到的结果再在$x\in \mathbb{R} $上进行积分可以得到如下方程

下面我们先估计(3.25)式右边第一项, 通过引理2.2(ii)我们交换$\Lambda^r\partial_x$ 和 $u+v$ 得到如下估计

其中, 在最后一个不等式中运用到了 $\parallel u(t)\parallel _{H^s}\leq2\parallel u_0\parallel _{H^s}\leq 2\rho$ 和 $\parallel v(t)\parallel _{H^s}\leq 2\parallel v_0\parallel _{H^s}\leq 2\rho$.

对于(3.25)式右边第二个积分

对于(3.25)式右边的非线性项, 利用 Cauchy-Schwarz 不等式可以得到

估计$\parallel f(u,u_x) - f(v,v_x)\parallel _{H^{r}}$项如下

解在$A_1$空间中是Lipschitz 连续的结论. 联合上面的估计式我们可以得到下面的式子

则

显然, 上式也可以写成如下形式

这就证明了方程的解在$A_1$空间中是Lipschitz 连续的.

解在$A_2$空间中是Hölder 连续的: 与解在$A_1$空间中是 Lipschitz连续的相类似, 假设 $r\leq 2-s $可以得到

这里第二个不等式用到了$2-s>1/2$. 因为 $r\leq 2-s<s$, 运用引理2.1中的插值不等式可以得到

满足解在$A_2$空间中的Hölder 连续性.

解在$A_3$空间中是 Hölder 连续的: 对于 $s-1\leq r\leq s$, 在$H^{s-1}$范数和$H^s$范数之间运用插值不等式可以得到

和

其中在最后一个不等式中运用了$\parallel u_{0}\parallel _{H^{s}}\leq \rho$和$\parallel v_{0}\parallel _{H^{s}}\leq \rho$. 因此

因为方程的解在$A_1$空间中是Lipschitz 连续的且 $s-1\leq r $, 则

这就证明了方程的解在$A_3$空间中是Hölder 连续的. 证毕.

在本节中, 我们将讨论方程(1.4)的解在加权空间$L^p$中的持续性. 我们首先给出一些标准定义. 通常权函数都是非负函数. 若权函数$v:\mathbb{R} ^n\rightarrow\mathbb{R} $满足

则称为$v$具有次可乘性. 进一步, 对于给定的具有正的可乘性权函数$\phi$, $\phi$称为$v$ -适中的, 当且仅当

换句话说, 对于具次可乘性的函数$v$, 若$\phi$是$v$ -适中的, 我们就说:$\phi$是适中的. 这是时频分析^[1]中常用的术语. 接下来, 我们来回顾这样一个权函数的例子. 设

则有如下两个条件成立 (见文献[43])

(i) 对于 $a, c,d\geq0$ 和 $0\leq b\leq1$, 这样一个权函数是具次可乘性的.

(ii) 对于 $a, c,d\in\mathbb{R} $ 且 $0\leq b\leq1$, 则 $\phi$ 是适中的.更确切的说, 对于$|a|\leq\alpha$, $|b|\leq\beta$, $|c|\leq\gamma$ 和 $|d|\leq\delta$, $\phi_{a,b,c,d}$ 是$\phi_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ -适中的.

次可乘性和适中的一些基本属性在 文献[43]中可以看到. 接下来我们证明定理1.5.

定理1.5的证明 假设$u\in C([T],H^s)$是方程(1.4)在初值为$u_{0}\in H^{s},s>3/2$ 的解, 则

对于任意 $N\in\mathbb{Z}^+$, 我们考虑$\phi(x):f(x)=f_N(x)=\min\{\phi(x),N\}$的$N$ -截断. 则 $f : \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $ 是一个局部绝对连续的函数且$\| f\| _\infty\leq N,uad |f'(x)|\leq A|f(x)|$ 在$\mathbb{R} $上几乎处处成立. 另外, 设$C_1=\max\{C_0,\alpha^{-1}\}$, 其中 $\alpha=\inf_{x\in\mathbb{R} }v(x)>0$, 则

此外, 回顾作用于$L^2(\mathbb{R} )$的算子$\Lambda^{-2}$, 可以用与它相关的格林函数表示为 $G(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$. 因此, 我们可以把方程 (1.4) 表示为以下非局部形式

其中 $P(u,u_{x})=\partial_{x}(b_{1}u^{2}+b_{2}u^{3}+b_{3}u^{4}+b_{4}u^{5}+b_{5}u^{6}+b_{6}u^{7}+b_{7}u_{x}^{2}+b_{8}uu_{x}^{2})+b_{9}u_{x}^{3}$. 下面我们先考虑 $1\leq p <\infty$的情况. 用$|uf|^{p-1} sgn (uf)f$去乘以方程(4.2) 并对他进行积分可以得到

对于(4.3)式左边第一项有

则(4.3)式左边第二项的估计如下

其中运用了 Hölder's 不等式. 对于非局部项有

其中Hölder's 不等式、文献[4,命题3.2]和条件(1.6)分别用于第一、第二和最后一个不等式, 并且常数$C$ 仅依赖于$v$ 和 $\phi$. 将上面的估计整合到(4.3) 式有

接下来, 我们估计$u_xf$.(4.2)式关于变量$x$进行微分并且乘以$f$得到

对于(4.6)式左边第一项有

$\partial_{x}^{2}G=G-\delta$ 表示

与(4.4)式的估计类似我们可以得到

对于(4.6)式右边第二个积分有

其中运用了不等式 $f_{x}(x)\leq Af(x)$. 则

结合(4.5)和(4.8)式并对他们进行积分可以得到

$\| u(t)f\| _{L^{p}}+\| u_x (t)f\| _{L^{p}}\leq \left(\| u_0f\| _{L^{p}}+\| u_{0,x}f\| _{L^{p}}\right)\exp\left(C(1+M)^6 t\right),\ \mbox{对于所有 }\ t\in [T].$ 在这里, 注意到几乎处处$x\in \mathbb{R} $有:当$N\rightarrow \infty$时, $f(x)=f_N(x)\rightarrow\phi(x)$ 可以得到对于所有$t\in [T]$有 $\| u(t)\phi\| _{L^{p}}+\| u_x (t)\phi\| _{L^{p}}\leq \left(\| u_0\phi\| _{L^{p}}+\| u_{0,x}\phi\| _{L^{p}}\right)\exp\left(C(1+M)^6t\right).$ 在最后一步, 我们考虑$p=\infty$时的情况. 则$u_0, u_{0,x}\in L^1\cap L^\infty$ 和 $f(x)=f_N(x)\in L^\infty$ 成立. 因此我们可以得到

其中不等式右边不依赖于$q$. 由于对于任意$f\in L^\infty\cap L^2$, 令$p\rightarrow\infty$, 有

其中不等式右边不依赖于$N$. 令$N\rightarrow\infty$, 表明估计式(4.9)对$p=\infty$成立. 证毕.

推论1.1 的证明 假设$\phi^{1/2}$是一个$v^{1/2}$ -适中权函数并且$|(\phi^{1/2})'(x)|\leq\frac{A}{2}\phi^{1/2})(x)$. 此外, $\inf_\mathbb{R} v^{1/2}>0$. 由定义 (1.6), $v^{1/2}e^{-|x|/2}\in L^{2p}(\mathbb{R} )$和 Hölder不等式我们可以得到 $v^{1/2}e^{-|x|}\in L^{1}(\mathbb{R} )$. 则定理1.5被用来证明当$p=2$时权函数$\phi^\frac{1}{2}$ 有如下不等式成立

由$f(x)=f_N(x)=\min \{\phi(x),N\}$ 可以得出

对于任意$x,y\in \mathbb{R} $, $f(x)$满足 $f(x+y)\leq C_1 v(x)f(y)$和文献[4,命题3.2]使得这里第二个不等式成立. 与以上相同, $\partial_x^2 G=G-\delta$ 表示

这里不等式(4.11)和(4.12)右边的常数都不依赖于$N$. 与定理1.5的证明过程一样, 我们很容易得到

和

分别把(4.11)和(4.12)式代入(4.13)和(4.14)式, 并把他们整合起来得到

其中, 在$1\leq p <\infty$的情况下, 通过积分和极限$N\rightarrow \infty$得到结论.整个证明过程中的常数不依赖于$p$.因此, 对于$p=\infty$, 我们可以依靠有限指数$q$建立的结果, 然后让$q\rightarrow \infty$. 定理的其余部分类似于定理1.5. 证毕.