数学物理学报, 2023, 43(4): 1179-1196

波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子

彭青青,1,2, 张志飞,1,2,*

1华中科技大学数学与统计学院 武汉 430074

2湖北省工程建模与科学计算重点实验室华中科技大学 武汉 430074

Global Attractor for a Coupled System of Wave and Euler-Bernoulli Plate Equation with Boundary Weak Damping

Peng Qingqing,1,2, Zhang Zhifei,1,2,*

1School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074

2Hubei Key Laboratory of Engineering Modeling and Scientific Computing, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074

通讯作者: *张志飞, E-mail: zhangzf@hust.edu.cn

收稿日期: 2022-04-26   修回日期: 2023-02-6  

Received: 2022-04-26   Revised: 2023-02-6  

作者简介 About authors

彭青青，E-mail:pengqq@hust.edu.cn

摘要

该文研究了黎曼流形上半线性波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的长时间性态, 该系统具有边界耗散结构. 在逃逸向量场存在性假设下利用乘子方法证明了原耦合系统全局紧吸引子的存在性, 该存在性与黎曼度量的曲率性质有关.

关键词： 全局吸引子; 波/板耦合; 几何乘子法; 非线性边界耗散.

Abstract

In this paper, we consider the longtime behavior for a coupled system consisting of the semi-linear wave equation with nonlinear boundary dissipation and the Euler-Bernoulli plate equation on a Riemannian manifold. It is shown that the existence of global and compact attractors depends on the curvature properties of the metric on the manifold by using the multiplier method and the hypothesis of escape vector field.

Keywords： Global attractor; Coupled wave/plate equation; Geometric multiplier method; Nonlinear boundary dissipation

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本文引用格式

彭青青, 张志飞. 波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子[J]. 数学物理学报, 2023, 43(4): 1179-1196

Peng Qingqing, Zhang Zhifei. Global Attractor for a Coupled System of Wave and Euler-Bernoulli Plate Equation with Boundary Weak Damping[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(4): 1179-1196

1 引言

设 $M$ 是一个 $C^3$ 类的具有 $C^3$ 度量$g(\cdot,\cdot)=\langle\cdot,\cdot\rangle$ 的完备 $n$ 维黎曼流形, 记作 $(M,g)$. 设 $\Omega\subset M$ 是一个有界连通集, 具有光滑边界$\partial \Omega =\Gamma$. 我们考虑定义在 $\Omega$上的半线性波方程与定义在边界 $\Gamma$ 上的欧拉伯努利板方程的强耦合系统如下

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{tt}-\Delta u+f(u)=0, &(x,t)\,\in\, \Omega\times [0,+\infty),\\ v_{tt}+\Delta^2v+(1-\mu)\mbox{div}({\cal K}Dv)+b(v_t)+\kappa u_t=0, &(x,t)\,\in\, \Gamma\times [0,+\infty),\\\partial_{\nu}u+u+h(u_t)=\kappa v_t, &(x,t)\,\in\, \Gamma\times [0,+\infty),\\ u(x,0)=u_0,uad u_t(x,0)=u_1, &x\,\in\, \Omega,\\v(x,0)=v_0,uad v_t(x,0)=v_1, &x\,\in\, \Gamma, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$\Delta$ 表示 Laplace-Beltrami 算子, $(1-\mu)\mbox{div}({\cal K}Dv)$ 表示黎曼度量 $g$ 的弯曲度, $\nu$ 表示 $\Gamma$ 上的单位外法向量, ${\cal K}$ 表示 $\Gamma$ 上的高斯曲率函数, $0<\mu<\frac{1}{2}$ 表示泊松系数, 引入常数 $\kappa\geq0$ 是为了包含波板不耦合的情况, 即 $\kappa=0$.

近年来,有许多研究半线性发展方程渐进行为的文献, 参见文献[6-7,9-10,13,21]及其参考文献. 这些文献中大部分研究的系统具有内部线性耗散, 这些问题更为一般的解决方法可以参考文献[6,9], 其研究了带有非线性耗散项的波动方程的全局吸引子. 关于非线性边界耗散的常系数波方程的全局吸引子问题可以参见文献[6]. 王和姚[23]研究了在黎曼几何的框架下具有非线性边界耗散结构的变系数波方程的全局吸引子, 他们主要运用了几何乘子法, 这种方法在文献[25]中首次出现, 然后在文献[12,22,26]和一些其他的文献中得到了广泛应用.

耦合系统在过去的几十年里受到了广泛的关注, 用于描述复合化学反应、耦合梁振动、热弹性系统、电磁耦合和许多其他耦合现象.由不同方程组成的耦合系统得到了广泛的研究. 例如, 文献[3]研究了具有内部非线性耗散结构的波与伯格板方程的强耦合系统的有限维全局紧吸引子的存在性. 在文献[4]中, 作者研究了具有非线性耗散结构的波方程与不具有任何耗散项的非线性热弹性板方程的耦合系统, 并且证明了系统的全局紧吸引子的存在性. 文献[1]讨论了路基与张拉电缆有共点的桥梁问题的数学模型, 证明了相应动力系统生成的非线性半群的吸收集的存在性和渐进紧性, 并证明了该非线性半群具有全局最小吸引子. 更多关于耦合系统的吸引子的文献可以参考文献[18,20]等.

受上述文章的启发, 本文采用几何方法来研究耦合系统(1.1)的渐进行为. 其中流形上逃逸向量场的存在性假设对证明系统的全局紧吸引子的存在性起着关键作用.

1.1 一些记号

我们介绍一些本文中用到的符号和定义, 可以参考文献[24]. 设 $M$ 是一个 $C^3$ 类的具有 $C^3$ 度量 $g(\cdot,\cdot)=\langle\cdot,\cdot\rangle$ 的 $3$ 维完备黎曼流形, 我们把它记作 $(M,g)$. 对每一个 $x\in M$, $M_x$ 表示 $M$ 在 $x$ 点处的切向空间. 用 $T^2(M)=\bigcup\limits_{x\in M}T_x^2(M)$ 表示 $M$ 上所有 $2$ 阶张量场的集合, 并且 $T_x^2(M)$ 在 $M_x$ 上的二阶张量是一个内积空间, 其内积定义如下

$\left\langle T_{1}, T_{2}\right\rangle_{T_{x}^{2}}=\sum_{i, j=1}^{3} T_{1}\left(e_{i}, e_{j}\right) T_{2}\left(e_{i}, e_{j}\right)$ 在 $x$ 点处

对任意 $T_1,T_2\in T_x^2(M)$, 其中 $e_1,e_2,e_3$ 是 $M_x$ 的一组标准正交基对于 $x\in M$. 对任意 $T\in T^2(M)$, $T$ 的迹定义如下

$trT=\sum\limits_{i=1}^{3}T(e_i,e_i).$

此外, 我们用 $\nabla$ 表示梯度, 用 $D$ 表示Levi-Civita 联络, 用$D^2$ 表示Hessian 矩阵. 对 $M$ 上的任意向量场 $H$, $DH$ 表示 $H$ 的二阶协变微分向量, 具有下面的意义

$D H(X, Y)=D_{Y} H(X)=\left\langle D_{Y} H, X\right\rangle$, 对所有的 $X, Y \in M_{x}, x \in M$.

对于标量函数 $u$ 我们有 $Du=\nabla u$.

1.2 一些假设和主要的结果

我们对系统中波方程相关的非线性函数 $h(s)$, $f(s)$ 以及板方程中的非线性函数 $b(s)$ 给出以下基本假设.

假设 1.1$\bullet$ 内部非线性项 $f\in C^2(\mathbb{R} )$ 满足

$\begin{equation} |f''(s)|\,\leq\,c(1+|s|^p),uaduad\mbox{对任意的 $s\in \mathbb{R} $}, \end{equation}$

其中 $c>0$ 为常数, 当 $n=3$ 时 $0<p\leq 1$. 此外 $f(s)$ 满足下面的耗散条件

$ \begin{equation} \tilde{\mu}= \lim\limits_{|s|\rightarrow \infty}\inf\frac{f(s)}{s}>-\lambda, \end{equation}$

其中 $\lambda$ 是下面 Poincáre 类型不等式的最优常数

$ \begin{equation} \int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{\Gamma}\vert u\vert^2{\rm d}\Gamma\geq \lambda \int_{\Omega}\vert u\vert^2{\rm d}x. \end{equation}$

$\bullet$ 边界非线性项 $h(s)\in C^1(\mathbb{R} )$ 是一个递增函数, $h(0)=0$ 并且存在两个正常数 $m_1>0$ 和 $m_2>0$ 使得 $m_1\leq h'(s)\leq m_2<\infty$ 对任意的 $|s|>\tilde{R}$ 成立, 其中 $\tilde{R}$ 充分大.

$\bullet$ 边界耗散项 $b(s)\in C(\mathbb{R} )$ 是一个非减函数使得 $b(0)=0$, 并且存在常数 $a_2\geq a_1>0$ 使得

$\begin{equation} a_1|s_1-s_2|\,\leq\,|b(s_1)-b(s_2)|\leq a_2|s_1-s_2|,uaduad s_1,\,s_2\in\mathbb{R}. \end{equation}$

问题(1.1) 转换成一阶系统后在空间 $Y= H^1(\Omega)\times L^2(\Omega)\times H^2(\Gamma)\times L^2(\Gamma)$ 中生成一个强连续的半群 $S(t)$, $t\geq0$. 本文的主要目的是分析这个半群的渐进行为(当 $t\rightarrow\infty$).

接下来我们引入关于黎曼流形 $(M, g)$ 的几何假设.

假设 1.2$\bullet$ 在 $\overline{\Omega}$ 上存在一个 $C^1$ 的逃逸向量场 $H_1$, 即对任意 $x\in \overline{\Omega}$, $X\in \mathbb{R} _x^3$,有

$\begin{equation} DH_1(X,X)\,\geq\, \delta|X|^2 \end{equation}$

成立, 其中 $\delta>0$ 是一个常数.

$\bullet$ 在 $\overline{\Gamma}$ 上存在一个 $C^1$ 的逃逸向量场$H_2$, 即对任意 $x\in \overline{\Gamma}$, $X\in \mathbb{R} _x^2$,有

$\begin{equation} DH_2(X,X)\,\geq\, \rho|X|^2 \end{equation}$

成立, 其中$\rho>0$ 是一个常数.

为了证明全局紧吸引子的存在性, 我们需要以下唯一性假设.

假设 1.3 问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} w_{tt}-\Delta w+q(x,t)w=0, &(t,x)\,\in\, (0,T)\times\Omega,\\ \partial_{\nu}w=w=0, &(t,x)\,\in\, (0,T)\times\Gamma \end{array}\right. \end{equation}$

和

$ \begin{equation} z_{tt}+\Delta^2z+(1-\mu)\mbox{div}({\cal K}Dz)+p(x,t)z=0, (t,x)\,\in\, (0,T)\times\Gamma, \end{equation}$

对充分大的 $T>0$ 有唯一的零解.

将几何乘子法应用于系统(1.1)时, 需要唯一性假设 $1.3$ 来消除能量估计中的低阶项. 如果在度量 $g$ 中, $\overline{\Omega}$ 和 $\overline{\Gamma}$ 上都存在一个凸函数, 则假设 1.3 成立, 参见文献[16,22].

我们得到了能量空间 $Y=H^1(\Omega)\times L^2(\Omega)\times H^2(\Gamma)\times L^2(\Gamma)$ 上一个全局紧吸引子的存在性, 主要结果如下.

定理 1.1 令假设 1.1, 1.2 和 1.3 成立, 系统(1.1)存在全局紧吸引子 ${\cal B}\subset Y$.

$\overline{\Omega}$ 上的函数 $u$ 在度量 $g$ 中被称为是凸函数, 如果

$\begin{equation} \nabla^2u(X,X)\geq c_1|X|^2uad\mbox{对任意 $X\in \mathbb{R} _x^3,x\in \bar{\Omega}$ 成立}, \end{equation}$

其中 $c_1>0$ 是一个常数.

$\overline{\Gamma}$ 上的函数 $v$ 在度量 $g$ 中被称为是凸函数, 如果

$\begin{equation} \nabla^2v(X,X)\geq c_2|X|^2uad\mbox{对任意 $X\in \mathbb{R} _x^2,x\in \bar{\Gamma}$ 成立}, \end{equation}$

其中 $c_2>0$ 是一个常数. 一般来说, 凸函数在度量 $g$ 中的延拓受到 $g$ 的曲率的影响. 一些相关的示例可参见文献[26].

由文献[定理1] 和[22,定理9.1] 可知,(1.10)和(1.11)式中凸函数 $u$ 和 $v$ 的存在性可以保证假设1.3成立. 同时, 我们可以令 $H_1 = Du$, $H_2 = Dv$ 分别作为 $\bar{\Omega}$ 和 $\bar{\Gamma}$ 上的逃逸向量场, 因此, 我们有以下推论.

推论 1.1 假设在度量 $g$ 中, $\bar{\Omega}$ 和 $\bar{\Gamma}$ 上各自都存在一个凸函数并且假设 1.1 成立, 那么定理 1.1 的结果成立.

本文主要内容组织如下, 在第2节中, 我们主要引入一些符号来简化系统(1.1), 并利用极大单调算子理论来建立全局适定性. 在第3节中, 我们证明了吸收集的存在性. 第4节证明了系统的渐进光滑性. 最后, 我们完成了定理 1.1 的证明.

2 适定性

2.1 系统(1.1)的抽象形式

我们发现用抽象半群的形式来表示系统(1.1)会使得计算更加简便, 为了实现这一点, 我们引入以下空间和算子.

设 $A:D(A)\subset L^2(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)$ 是一个正定自共轭算子定义如下

$A u=-\Delta u, \quad D(A)=\left\{u \in H^{2}(\Omega): \partial_{\nu} u+u=0\right.$ 在 $\Gamma$ 上 $\}$.

此外, 通过 $(-\Delta u,v)_{\Omega}=(\nabla u,\nabla v)_{\Omega}+\left<u,v\right>_{\Gamma}$ 可知 Laplace-Beltrami算子可延拓为连续算子 $\tilde\Delta:\,H^1(\Omega)\rightarrow\,H^1(\Omega)'$ 对任意的 $v\in H^1(\Omega)$. 当空间 $H^1(\Omega)$ 装备范数 $\vert\vert u\vert\vert_{H^1(\Omega)}=\sqrt{(\nabla u,\nabla u)_{\Omega}+\left<u,u\right>_{\Gamma}}$ 时, 这个延拓是从 $H^1(\Omega)$ 到 $H^1(\Omega)'$ 的对偶映射, 其中 $(\cdot,\cdot)_{\Omega}$ 表示 $L^2(\Omega)$ 上的内积, $\left<\cdot,\cdot\right>_{\Gamma}$ 表示 $L^2(\Gamma)$ 上的内积. 为了方便书写, 我们把 $\tilde\Delta$ 仍然记作 $\Delta$. 上面的计算表明 $-\Delta$ 是正定算子, 所以我们可以定义它的分数阶算子 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, 并且根据文献[11] 我们可以得到 $D((-\Delta)^{\frac{1}{2}})\equiv H^1(\Omega)$.

接下来我们引入 Robin 映射, 其定义如下

$R p=q \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}\Delta q=0, & \text { 在 } \Omega \text { 内, } \\ \partial_{\nu} q+q=p, & \text { 在 } \Gamma \text { 上. }\end{array}\right.$

利用椭圆方程理论(参见文献[17]), 可以证明对所有 $s\in \mathbb{R} $, $R:\, H^s(\Gamma)\rightarrow H^{s+\frac{3}{2}}(\Omega)$ 是连续嵌入, 此外 Robin 映射的伴随算子满足

$R^{*} A u=\gamma u=\left.u\right|_{\Gamma} \quad$ 对于 $u \in D(A)$.

由于 $D(A)$ 在 $D(A^{1/2})$ 中稠定, 式(2.1)在 $u\in H^1(\Omega)\equiv D(A^{1/2})$ 时也是成立的.

接下来考虑板方程, 设 ${\cal A}\,:\, D({\cal A})\subset L^2(\Gamma)\rightarrow L^2(\Gamma)$, 其定义如下

$\begin{equation}{\cal A}w=\Delta^2w+(1-\mu)\mbox{div}({\cal K}Dw),uad D({\cal A})= H^4(\Gamma).\end{equation}$

运用上述定义的算子, 系统(1.1)可以被写成下面的抽象形式

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{l}u_{tt}+A(u-\kappa Rv_t)+ARh(\gamma u_t)+f(u)=0,\\ v_{tt}+{\cal A}v+b(v_t)+\kappa R^*Au_t=0,\\ u(x,0)=u_0,\,u_t(x,0)=u_1,\,v(x,0)=v_0,\,v_t(x,0)=v_1. \end{array}\right.\end{equation}$

波分量 $(u,u_t)$ 的状态空间定义为 $Y_1=H^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$, 板分量 $(v,v_t)$ 的状态空间定义为 $Y_2= H^2(\Gamma)\times L^2(\Gamma)$. 抽象系统(2.3)的状态空间定义如下

$\begin{equation} Y=Y_1\times Y_2= H^1(\Omega)\times L^2(\Omega)\times H^2(\Gamma)\times L^2(\Gamma), \end{equation}$

装备如下的范数

$\begin{equation} {\vert\vert y \vert\vert}_Y^2={\vert\vert (u,u_t,v,v_t) \vert\vert}_Y^2\,=\,{\vert\vert (u,u_t) \vert\vert}_{Y_1}^2+{\vert\vert (v,v_t) \vert\vert}_{Y_2}^2. \end{equation}$

我们定义系统(1.1)的线性能量泛函为

$\begin{equation} E(t)=\,E_u(t)+E_v(t) =\,\frac{1}{2}\int_{\Omega}\left(|\nabla u|^2+u_t^2\right){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{\Gamma}|u|^2{\rm d}\Gamma+\frac{1}{2}\int_{\Gamma}\left(v_t^2+a(v,v)\right){\rm d}\Gamma, \end{equation}$

其中

$\begin{equation} a(u,v)=(1-\mu)\left<D^2u,D^2v\right>_{T_x^2}+\mu \mbox{tr}D^2u \mbox{tr}D^2v, \end{equation}$
$E_u(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\left(|\nabla u|^2+u_t^2\right){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{\Gamma}|u|^2{\rm d}\Gamma, E_v(t)=\frac{1}{2}\int_{\Gamma}\left(v_t^2+a(v,v)\right){\rm d}\Gamma.$

定义非线性能量泛函为

$\begin{equation} {\cal E}(t)=E(t)+\int_{\Omega}F(u){\rm d}x,\end{equation}$

其中 $F(u)=\int_{0}^{u}f(s){\rm d}s$.

接下来我们讨论线性能量泛函 $E(t)$ 和非线性能量泛函 ${\cal E}(t)$ 之间的关系. 首先我们证明存在一个和初值有关的常数 $C_0=C(E(0))>0$ 使得

$\begin{equation} {\cal E}(t)\leq C_0E(t). \end{equation}$

应用(1.2)式和连续嵌入 $H^{\frac{3}{4}}(\Omega)\subset L^4(\Omega)$, 我们得到

$\begin{matrix}\int_{\Omega}F(u){\rm d}x&=&\int_{\Omega}\int_0^uf(s){\rm d}s{\rm d}x\leq \int_{\Omega}\int_0^{|u|}(|f(s)|+|f(-s)|){\rm d}s{\rm d}x \leq C\int_{\Omega}\int_0^{|u|}(1+|s|^3){\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq& C\int_{\Omega}(|u|+|u|^4){\rm d}x \leq C({\vert\vert u\vert\vert}_{L^1(\Omega)}+{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac34}(\Omega)}^4)\leq C{\vert\vert u\vert\vert}_{H^1(\Omega)}, \end{matrix}$

这表明(2.9)式成立.

其次, 我们将证明相反的估计, 即

$\begin{equation} E(t)\leq C(1+{\cal E}(t)). \end{equation}$

根据(1.3)式, 存在 $M>0$ 使得 $\frac{f(s)}{s}+\lambda\geq 2\theta$ 对于 $|s|\geq M$ 和一些 $\theta>0$ 成立, 其中 $\lambda$ 由(1.4)式给出.

因此我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} F(s)+\lambda\frac{s^2}{2}&=&\int_{0}^M(\frac{f(z)}{z}+\lambda)z{\rm d}z+\int_M^s(\frac{f(z)}{z}+\lambda)z{\rm d}z\\& \geq&-C+2\theta(\frac{s^2}{2}-\frac{M^2}{2}) \geq \theta\frac{s^2}{2} \mbox{对于}\ s^2\geq M^2+2C/\theta, \end{eqnarray*}$

其中

$C=|\Omega|\max\limits_{|z|\leq M}|F(z)|+\frac{\lambda M^2}{2}.$

对于 $s$ 是负数的情况, 我们进行类似的计算, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega}F(u){\rm d}x=\int_{|u|^2\leq M^2+2C/\theta}F(u){\rm d}x+\int_{|u|^2\geq M^2+2C/\theta}F(u){\rm d}x\geq -\frac{\lambda-\theta}{2}\int_{\Omega}|u|^2{\rm d}x-C, \end{eqnarray*}$

其中 $C=|\Omega|\max\limits_{|z|^2\leq M^2+2C/\theta}|F(z)|$.

利用(1.4)式, 并令 $\varepsilon=\frac{\theta}{\lambda}$ 可得

$ \begin{matrix} number{\cal E}(t)&=&\varepsilon E(t)+(1-\varepsilon)E(t)+\int_{\Omega}F(u){\rm d}x\\ &\geq&\varepsilon E(t)+(1-\varepsilon)\frac{\lambda}{2}\int_{\Omega}|u|^2{\rm d}x-\frac{\lambda-\theta}{2}\int_{\Omega}|u|^2{\rm d}x-C = \varepsilon E(t)-C.number \end{matrix}$

因此(2.11)式成立.

2.2 适定性的证明

在本小节中, 我们利用极大单调算子的理论来证明系统(1.1)的适定性, 有关极大单调算子的理论参见文献[2].

定理 2.1 假设初值 $(u_0,u_1,v_0,v_1)\in Y$, 那么系统(1.1) 存在唯一的广义解 $(u,u_t,v,v_t)\in C([0,\infty); Y)$. 若额外假设初值满足 $u_0\in D(A)$, $u_1\,\in \, H^1(\Omega)$, $v_0\,\in\,D({\cal A})$, $v_1\,\in\,H^2(\Gamma)$ 和 $A[u_0-\kappa Rv_1+Rh(\gamma u_2)]\in L^2(\Omega)$, 那么在区间 $[T]$ 上存在一个强解 $(u,u_t,v,v_t)$ 使得 $(u,v)\in L^{\infty}(0,T;D(A)\times D({\cal A}))$, $(u_t,u_{tt},v_t,v_{tt})\in L^{\infty}(0,T;Y)$ 成立. 此外, 广义解和强解都满足下面的能量恒等式

$\begin{equation} {\cal E}(t)={\cal E}(0)-\int_0^t\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}\tau-\int_0^t\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}\tau. \end{equation}$

证 首先, 我们来定义算子 $T: \,D(T)\,\subset Y\,\rightarrow\, Y$, 即

$\begin{equation} T\left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2\\ v_1\\ v_2 \end{array} \right]=\left[\begin{array}{c} -u_2 \\ Au_1+u_2- \kappa ARv_2+ ARh(\gamma u_2)\\ -v_2\\ {\cal A}v_1+ \kappa R^*Au_2+b(v_2)+v_2 \end{array} \right], \end{equation}$

其中

$\begin{eqnarray*} {D}(T)&=&\Big\{(u_1,u_2,v_1,v_2)\,\in\, D(A^{\frac{1}{2}}) \times H^1(\Omega) \times D({\cal A}) \times H^2(\Gamma), \\&& Au_1-\kappa ARv_2+ARh(\gamma u_2)\in L^2(\Omega)\Big\}, \end{eqnarray*}$

在 $Y$ 中稠密. 因此系统(1.1)等价于下述方程

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} U'+TU=C(U) uad uad \mbox{在}\ (0,\infty), \\ U(0)=U_0=(u_0,u_1,v_0,v_1)^T, \end{array}\right. \end{equation}$

其中 $ U(t)=(u_1,u_2,v_1,v_2)^T$, $C(U)$ 定义如下

$\begin{eqnarray*} C\left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2\\ v_1\\ v_2 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c} 0 \\ -f(u_1)+u_2\\ 0 \\ v_2 \end{array} \right]. \end{eqnarray*}$

我们可以证明(2.13)式中定义的算子 $T$ 是 $m-$增生的, 并且方程 (1.14)是具有 $m$ -增生算子的发展方程的局部 Lipschitz 扰动. 因此, 根据文献[6,定理 7.2], 对于初值 $U_0=(u_0,u_1,v_0,v_1)\in D(T)$, 存在 $U(T) =(u,u_t,v,v_t)$是系统(1.1)的唯一强解. 有兴趣的读者也可以参考文献[3,5] 中详细的证明.证毕.

3 吸收集的存在性

本节的主要结果如下.

定理 3.1 令假设 1.1, 1.2 和 1.3 成立, 那么系统(1.1)存在吸收集. 即存在一个常数 $M>0$, 对任意 $R_0>0$ 和初值 $U(t)=(u_0,u_1,v_0,v_1)\in Y$ 满足 $\vert\vert (u_0,u_1,v_0,v_1)\vert\vert_Y\leq R_0$, 存在 $t_0=t(R_0)$ 使得

$\begin{equation} {\cal E}(t)\leq M,uaduad\mbox{对于} t> t_0. \end{equation}$

定理 3.1 的证明基于以下引理.

引理 3.1[19, 推论 4] 假设 $X\,\hookrightarrow\hookrightarrow\,B\hookrightarrow\, Y$, 其中 $X$, $B$, $Y$ 都是 Banach 空间, 那么下面的两个论述是成立的.

(i) 设 $F$ 在 $L^p(0,T; X)$ 中有界, 其中 $1\leq p<\infty$ 并且 $\partial F/\partial t=\{\partial f/\partial t:f\in F\}$ 在 $L^1(0,T; Y)$ 中有界, 其中 $\partial/\partial t$ 是关于时间的弱导数. 那么 $F$ 是 $L^p(0,T; B)$ 中的相对紧集.

(ii) 设 $F$ 在 $L^{\infty}(0,T; X)$ 中有界并且 $\partial F/\partial t$ 在 $L^r(0,T; Y)$ 中有界, 其中 $r>1$. 那么 $F$ 是 $C(0,T; B)$ 中的相对紧集.

引理 3.2[12,引理 3.1] 设 $u,v\in H^4(\Gamma)$, 那么下面的等式成立

$\begin{equation}\int_{\Gamma} {\cal A}uv{\rm d}\Gamma=\int_{\Gamma}a(u,v){\rm d}\Gamma, \end{equation}$

其中 ${\cal A}u$ 由(2.2)式给出.

引理 3.3[26,引理 2.7] 设 $y\in H^2(\Gamma)$ 且 $H$ 是 $\bar\Gamma$ 上的逃逸向量场, 那么成立

$\begin{eqnarray*} &&\langle D^2y,D^2\big(H(y)\big)\rangle_{T_x^2}\geq \frac12 H\big(|D^2y|^2_{T_x^2}\big)+2\rho|D^2y|^2+\langle D^2y,l(y)\rangle_{T_x^2}\,,\\ &&trD^2 y\cdot trD^2\big(H(y)\big)\geq\frac12 H\big((\Delta y)^2\big)+2\rho(\Delta y)^2+trD^2 l(y)\,,\end{eqnarray*}$

其中 $ \label{low}l(y)=-R(Dy,\cdot,H,\cdot)-D^2H(Dy,\cdot,\cdot)$, $``\cdot"$ 表示变量的位置, $R$ 表示 Levi-Civita 联络 $D$ 的曲率张量, 常数 $\rho$ 由(1.7)式 给出(详细证明可以参考文献[24]).

引理 3.4 在几何假设1.2成立的情况下, 设 $y\in H^4(\Gamma)$, 那么有

$ \int_{\Gamma} a\big(y, H_2( y)\big) {\rm d}\Gamma\geq\int_{\Gamma}\rho a(y, y){\rm d}\Gamma+{L}(y)$

成立, 其中

$\begin{equation}{L}(y)=\mu { tr} D^2l(y)-\frac{1}{4\rho}\int_{\Gamma}|l(y)|_{T_x^2}^2{\rm d}\Gamma\end{equation} $

是 $a(y,y)$ 的低阶项, $l(y)$ 由引理 3.3 给出.

证 利用 Cauchy-Schwartz's 不等式, 我们得到

$\begin{equation}\left|\int_{\Gamma}\left<D^2y,l(y)\right>_{T_x^2}{\rm d}x\right|\leq \rho \int_{\Gamma}\left|D^2y\right|_{T_x^2}^2{\rm d}x+\frac{1}{4\rho}\int_{\Gamma}|l(y)|_{T_x^2}^2{\rm d}\Gamma,\end{equation}$

其中 $\rho$ 由(1.7)式给出. 结合引理3.3,(3.4)式和假设1.2可得

$\begin{eqnarray*} \int_{\Gamma}a(y,H_2(y)){\rm d}x\geq \rho\int_{\Gamma} a(y, y){\rm d}x+\mu tr D^2l(y)-\frac{1}{4\rho}\int_{\Gamma}|l(y)|_{T_x^2}^2{\rm d}\Gamma,\end{eqnarray*}$

其中 $\frac{1}{4\rho}\int_{\Gamma}|l(y)|_{T_x^2}^2{\rm d}\Gamma$ 和 $ tr D^2l(y)$ 都是 $a(y,y)$ 的低阶项. 证毕.

接下来我们对非线性函数 $h(x)$ 做一些估计.

引理 3.5[6] 设 $h(s)$ 满足假设 1.1, 我们可以得到

$ h(s)s\geq \frac{s^2}{2}m_1, \mbox{对于} |s|>2\tilde{R} \mbox{且} h(s)s\geq \frac{s^2}{2}C_{\varepsilon}, \mbox{对于} |s|\geq\varepsilon,$
$[h(s)]^2\leq h(s)s\max\Big\{\sup\limits_{0<|\xi|\leq \tilde{R}}h'(\xi),m_2\Big\},uad \mbox{对于} s>0.$

现在我们做有关系统(2.3)的解的估计.

引理 3.6 令假设1.1和1.2成立. 那么边值问题(1.1)的解满足

$\begin{equation}{\cal E}(T)\leq C(T,{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))})\bigg[\int_{0}^T\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg]+C{\cal L}(u,v)+C, \end{equation}$

在 $T$ 充分大时成立. 其中低阶项

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}(u,v)&=&{\cal L}(u)+{\cal L}(v) =(1+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}^2){\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2+\int_{0}^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{3}{4}}(\Omega)}^4{\rm d}t\\ &&+(1+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}^2)\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{5}{6}+\frac{\varepsilon}{3}}(\Omega)}^6{\rm d}t+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}^2\\ &&+{\vert\vert v\vert\vert}_{L^2(0,T;{H^1(\Gamma)})}^2+\int_0^TL(v){\rm d}t, \end{eqnarray*}$

对充分小的 $\varepsilon>0$. 这里的 $L(v)$ 由引理3.4中(3.3)式给出.

证 我们利用几何乘子法来证明上述引理. 设 $U=(u,u_t,v,v_t)$ 是系统(1.1) 的解并且 $T$ 是一个正实数. 将(1.1)的第一个式子乘以 $H_1(u)$ 并在 $[T]\times\Omega$ 上分部积分可得

\begin{matrix} &&\int_{0}^T\int_{\Gamma}2\partial_{\nu}uH_1(u){\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Gamma}\left( u_t^2-|\nabla u|^2\right)\left<H_1,\nu\right>{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\ &=&2(u_t,H_1(u))\Big|_0^T+\int_{0}^T\int_{\Omega}2f(u)H_1(u){\rm d}x{\rm d}t\\ &&+\int_{0}^T\int_{\Omega}2DH_1(\nabla u,\nabla u){\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Omega}\left(u_t^2-|\nabla u|^2\right)\mbox{div}H_1{\rm d}x {\rm d}t. \end{matrix}

设 $P=P(x)$ 是 $\Omega$ 上的一个函数, 利用乘子 $Pu$, 我们可以得到

$\begin{matrix} \int_{0}^T\int_{\Omega}2\left(u_t^2-|\nabla u|^2\right)P{\rm d}x {\rm d}t & =&\int_{0}^T\int_{\Gamma}u^2\partial_{\nu}P{\rm d}\Gamma {\rm d}t-\int_{0}^T\int_{\Gamma}2Pu\partial_{\nu}u{\rm d}\Gamma {\rm d}t+2(u_t,Pu)\Big|_0^T\\ & &+\int_{0}^T\int_{\Omega}2Puf(u){\rm d}x{\rm d}t-\int_{0}^T\int_{\Omega}u^2\Delta P{\rm d}x{\rm d}t.\end{matrix}$

结合(3.6)和(3.7)式可得

$ \begin{matrix} & &\int_{0}^T\int_{\Omega}\left(u_t^2-|\nabla u|^2\right)(\mbox{div}H_1-2P){\rm d}x {\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Omega}2DH_1(\nabla u,\nabla u){\rm d}x{\rm d}t\\&=&\int_{0}^T\int_{\Gamma}\left[2\partial_{\nu}u(Pu+H_1(u))+\left( u_t^2-|\nabla u|^2\right)\left<H_1,\nu\right>-u^2\partial_{\nu}P\right]{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\ &&-2(u_t,Pu+H_1(u))\Big|_0^T-\int_{0}^T\int_{\Omega}2(Pu+H_1(u))f(u){\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Omega}u^2\Delta P{\rm d}x{\rm d}t. \end{matrix}$

令 $P=\frac{1}{2}(\mbox{div}H_1-\delta)$, 利用假设1.2可得

$ \begin{matrix} & &\delta\int_{0}^T\int_{\Omega}\left(u_t^2+|\nabla u|^2\right) {\rm d}x {\rm d}t\\ &\leq&\int_{0}^T\int_{\Gamma}\left[2\partial_{\nu}u(Pu+H_1(u))+\left( u_t^2-|\nabla u|^2\right)\left<H_1,\nu\right>-u^2\partial_{\nu}P\right]{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\&&-2(u_t,Pu+H_1(u))\Big|_0^T-\int_{0}^T\int_{\Omega}2(Pu+H_1(u))f(u){\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Omega}u^2\Delta P{\rm d}x{\rm d}t. \end{matrix}$

(3.9)式右边的第一项利用 Cauchy's 不等式估计如下

$ \begin{matrix}& &\int_{0}^T\int_{\Gamma}\left[2\partial_{\nu}u(Pu+H_1(u))+\left( u_t^2-|\nabla u|^2\right)\left<H_1,\nu\right>-u^2\partial_{\nu}P\right]{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\ & \leq& C({\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert\nabla u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2),\end{matrix}$

其中 $\Sigma_T=(0,T)\times \Gamma$.

类似的, 我们可以估计(3.9)式右边的第二项如下

$ \begin{equation} -(u_t,Pu+H_1(u))\Big|_0^T\leq C(E_u(0)+E_u(T)). \end{equation}$

接下来, 我们解决 (3.9) 式中涉及 $f(u)$ 的项.

$\begin{matrix}number \int_{\Omega}H_1(u)f(u){\rm d}x&=&\int_{\Omega}H_1\cdot\nabla (F(u)){\rm d}x\\ &=&\int_{\Omega}\mbox{div}(F(u)H_1){\rm d}x-\int_{\Omega}F(u)\mbox{div}H_1{\rm d}xnumber\\ &=&\int_{\Gamma}F(u)H_1\cdot\nu {\rm d}x-\int_{\Omega}F(u)\mbox{div} H_1{\rm d}x,number \end{matrix}$

这表明

$\begin{equation} -2\int_{\Omega}H_1(u)f(u){\rm d}x\leq C\int_{\Gamma}|F(u)|{\rm d}x+C\int_{\Omega}|F(u)|{\rm d}x. \end{equation}$

根据连续嵌入 $H^{\frac{3}{4}}(\Omega)\subset L^4(\Omega)$ 我们可以得到

$ \begin{equation}-\int_0^T\int_{\Omega}f(u)Pu{\rm d}x{\rm d}t\leq C\int_0^T\int_{\Omega}(|u|+|u|^4){\rm d}x{\rm d}t\leq C{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(Q_T)}+C\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{3}{4}}(\Omega)}^4{\rm d}t \end{equation}$

和

$\begin{equation} \int_{0}^T\int_{\Omega}|F(u)|{\rm d}x{\rm d}t\leq C\int_{0}^T\int_{\Omega}(|u|+|u|^4){\rm d}x{\rm d}t\leq C{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(Q_T)}+C\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{3}{4}}(\Omega)}^4{\rm d}t, \end{equation}$

其中 $Q_T=(0,T)\times \Omega$.

利用嵌入 $H^{\frac{1}{2}}(\Gamma)\subset L^4(\Gamma)$ 的连续性和插值不等式估计边界上的积分可得

$\begin{matrix} \int_{0}^T\int_{\Gamma}|F(u)|{\rm d}\Gamma {\rm d}t &\leq &C\int_{0}^T\int_{\Gamma}(|u|+|u|^4){\rm d}\Gamma {\rm d}t \leq C\int_{0}^T\left({\vert\vert u\vert\vert}_{L^1(\Gamma)}+{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}}(\Gamma)}^4 \right){\rm d}t\\ &\leq &C{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}+C\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^1(\Gamma)}^2{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Gamma)}^2 {\rm d}t\\ & \leq &C{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}+C{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}^2{\vert\vert \nabla u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2. \end{matrix}$

将(3.10)-(3.15)式代入(3.9)式可得

$\begin{matrix} \int_{0}^{T}E_u(t){\rm d}t & \leq &C\big(1+\vert\vert u\vert\vert^2_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\big){\vert\vert \nabla u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+C\big({\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\big)\\ & &+C(E_u(0)+E_u(T))+C\big({\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(Q_T)}+C\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{3}{4}}(\Omega)}^4{\rm d}t\big).q \end{matrix}$

为了估计 ${\vert\vert \nabla u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2$, 我们需要估计边界 $\Gamma$ 上切向导数 $\nabla_{\tau}u$ 的积分, 我们将利用文献[15,引理 7.2] 的一个结果, 即对于任意小的 $\alpha>0$ 和 $\varepsilon>0$, 存在常数 $C=C(\alpha,\varepsilon,T)$ 使得

$\begin{equation} \int_{\alpha}^{T-\alpha}{\vert\vert \nabla_{\tau}u\vert\vert}_{L^2(\Gamma)}^2 {\rm d}t\leq C\left({\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2 +{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2+{\vert\vert f(u)\vert\vert} _{H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2\right). \end{equation}$

因为 $L^{\frac{6}{4-2\varepsilon}}\subset H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}$ 和 $H^s(\Omega)\subset L^{\frac{6}{3-2s}}(\Omega)$ 都是连续嵌入, 因此我们有

$\begin{matrix} {\vert\vert f(u)\vert\vert}_{H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2&\leq &\vert\vert f(u)\vert\vert_{L^2(0,T;H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}(\Omega))}^2=\int_0^T{\vert\vert f(u)\vert\vert}_{H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}(\Omega)}^2{\rm d}t\\&\leq & C \int_0^T\left(\int_{\Omega}(1+|u|^3)^{\frac{6}{4-2\varepsilon}}{\rm d}x\right)^{\frac{4-2\varepsilon}{3}}{\rm d}t\leq C\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\frac{18}{4-2\varepsilon}}(\Omega)}^6{\rm d}t+C(T)\\&\leq& C\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{5}{6}+\frac{\varepsilon}{3}}(\Omega)}^6{\rm d}t+C(T).\end{matrix}$

另外, (3.16)式不仅在区间 $(0,T)$ 上成立, 在区间 $(\alpha, T-\alpha)$ 上也是成立的, 考虑到这一点, 我们将(3.17)和(3.18)式代入(3.16)式得到

$\begin{matrix} \int_{\alpha}^{T-\alpha}E_u(t){\rm d}t & \leq &C\left(1+\vert\vert u\vert\vert_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\right)\left({\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\right)\\ & &+C{\cal L}(u)+C(E_u(\alpha)+E_u(T-\alpha))+C(T),\end{matrix}$

其中 \begin{matrix}{\cal L}(u)&=&(1+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}^2){\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2+\int_{0}^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{3}{4}}(\Omega)}^4{\rm d}tnumber\\ &&+(1+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}^2)\int_0^T{\vert\vert u\vert\vert}_{H^{\frac{5}{6}+\frac{\varepsilon}{3}}(\Omega)}^6{\rm d}t+{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}number\end{matrix}

是能量 $E_u(t)$ 的低阶项.

接下来, 我们来解决有关板方程的估计. 将方程 (2.3) 的第二个式子乘以 $H_2(v)$ 并且在 $(0,T)\times\Gamma$ 上积分可得

$\begin{matrix}&&\int_0^T\int_{\Gamma}v_{tt}H_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_0^T\int_{\Gamma}{\cal A}vH_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^T\int_{\Gamma}b(v_t)H_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t\\&& +\kappa \int_{0}^T\int_{\Gamma}u_tH_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t=0.\label{v}\end{matrix}$

利用分部积分以及 $\mbox{div} H_2=\mbox{tr} DH_2\geq 2\rho$ 可得

$\begin{matrix}\int_0^T\int_{\Gamma}v_{tt}H_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t&=&(v_t,H_2(v))_{\Gamma}\Big|_0^T + \frac{1}{2}\int_0^T\int_{\Gamma}v_t^2(\mbox{div} H_2){\rm d}\Gamma {\rm d}t\\&&\geq(v_t,H_2(v))_{\Gamma}\Big|_0^T +\int_0^T\int_{\Gamma}\rho v_t^2{\rm d}\Gamma {\rm d}t.\label{vt} \end{matrix}$

应用引理3.2和引理3.4可知

$\begin{equation} \int_0^T\int_{\Gamma}{\cal A}vH_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t\geq\int_0^T\int_{\Gamma}\rho a(v,v){\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^TL(v){\rm d}t,\end{equation}$

其中 $L(v)$ 由(3.3)式给出. 结合(3.20),(3.21)和(3.22)式可得

$\begin{matrix} \int_{0}^T\int_{\Gamma}\rho(v_t^2+a(v,v)){\rm d}\Gamma {\rm d}t & \leq&-(v_t,H_2(v))_{\Gamma}\Big|_0^T-\int_{0}^T\int_{\Gamma}b(v_t)H_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t\\ & &-\kappa \int_{0}^T\int_{\Gamma}u_tH_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t-\int_{0}^TL(v){\rm d}t. \end{matrix}$

利用 Cauchy's 不等式有

$\begin{equation} -(v_t,H_2(v))_{\Gamma}\Big|_0^T\leq C (E_v(0)+E_v(T)). \end{equation}$

运用 Young's 不等式和(1.5)式可推出

$\begin{equation}\bigg|\int_{0}^T\int_{\Gamma}b(v_t)H_2(v)+\kappa u_tH_2(v){\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg| \leq C({\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2)+C\int_0^T{\vert\vert v\vert\vert}_{H^1(\Gamma)}^2{\rm d}t. \end{equation}$

将 (3.24)式 和 (3.25)式 代入 (3.23)式 得到

$\begin{equation} \int_{0}^T\int_{\Gamma}(v_t^2+a(v,v)){\rm d}\Gamma {\rm d}t \leq C(E_v(0)+E_v(T))+C({\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)})+C{\cal L}(v), \end{equation}$

其中

$\begin{equation}\label{xxx3.1} {\cal L}(v)=\int_0^T{\vert\vert v\vert\vert}_{H^1(\Gamma)}^2{\rm d}t+\int_{0}^TL(v){\rm d}t\end{equation}$

是 $E_v(t)$ 的低阶项. 注意到,(3.26)式在区间 $(\alpha, T-\alpha)$ 上亦成立, 可知

$\begin{equation} \int_{\alpha}^{T-\alpha}E_v(t){\rm d}t \leq C({E}_v(\alpha)+{E}_v(T-\alpha))+C({\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)})+C{\cal L}(v). \end{equation}$

现在我们估计能量在区间 $(0,\alpha)$ 和 $(T-\alpha, T)$ 上的积分. 利用(2.11)和(2.12)式可得

$\begin{equation} \int_{0}^{\alpha}E(t){\rm d}t+\int_{T-\alpha}^{T}E(t){\rm d}t\leq C\bigg(\int_{0}^{\alpha}{\cal E}(t){\rm d}t+\int_{T-\alpha}^{T}{\cal E}(t){\rm d}t+2\alpha\bigg) \leq 2\alpha C( {\cal E}(0)+1). \end{equation}$

结合(2.11),(3.19),(3.28)和(3.29)式推出

$\begin{matrix} \int_{0}^{T}E(t){\rm d}t&\leq &C\left(1+\vert\vert u\vert\vert_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\right)\left({\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\right)\\& &+C{\cal L}(u,v)+C{\cal E}(0)+C[E(\alpha)+E(T-\alpha)]+C\\&\leq &C\left(1+\vert\vert u\vert\vert_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\right)\left({\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\right)\\& &+C{\cal L}(u,v)+C{\cal E}(0)+C[{\cal E}(\alpha)+{\cal E}(T-\alpha)]+C. \end{matrix}$

应用(2.9)和(2.12)式可知

$\begin{matrix}T{\cal E}(T)&\leq& \int_{0}^{T}{\cal E}(t){\rm d}t\leq C\int_{0}^{T}{E}(t){\rm d}t\\&\leq &C\big(1+\vert\vert u\vert\vert_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\big)\big({\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\big) \\&&+ C\bigg(\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)+3C{\cal E}(T) +C{\cal L}(u,v)+C.q\end{matrix}$

这表明, 对于 $T>3C$,有

$\begin{matrix} {\cal E}(T)&\leq &C_1(T)\left(1+\vert\vert u\vert\vert_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\right)\left({\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\right)\\ & &+C_2(T){\cal L}(u,v)+C_3\bigg(\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)+C. \end{matrix}$

考虑系统(1.1)的边界条件和引理3.5, 得到

$\begin{matrix}& &{\vert\vert \partial_{\nu}u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert u_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert v_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2\\ & \leq& 4R^2|\Sigma_B|+C\bigg(\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)+3{\vert\vert u\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2, \end{matrix}$

其中

$\Sigma_B=\{(x,t)\in\Sigma_T, |u_t|\leq 2\tilde{R}, a.e.\},uad \Sigma_A=\Sigma_T\backslash \Sigma_B.$

将(3.33)式代入(3.32)式有

$ \begin{equation} {\cal E}(T)\leq C\left(T,\vert\vert u\vert\vert_{L^{\infty}(0,T;L^2(\Gamma))}\right) \bigg(\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_{0}^{T}\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg) +C{\cal L}(u,v)+C. \end{equation}$

证毕.

下面的引理表明引理3.6中的低阶项可以被吸收. 这里我们列出引理, 其证明可参考文献[6,23]及其参考文献.

引理 3.7 令假设1.1和1.3成立, 设 $U=(u,u_t,v,v_t)\in C([0,t);Y)$ 是系统 (1.1)的解满足 $\vert\vert(u_0,u_1,v_0,v_1)\vert\vert_Y\leq R_0$, 那么存在和初值有关的常数 $C_1=C_1(T,E(0))$ 和与初值无关的常数 $C_2=C_2(T)$ 使得

$\begin{equation} {\cal L}(u,v)\leq C_1\bigg(\int_0^T\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_0^T\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)+C_2(T), \end{equation}$

在 $T$ 和 $C_2$ 充分大时成立.

接下来, 我们证明定理 3.1.

证 利用(3.5)和(3.35)式可得

$\begin{equation}{\cal E}(T)\leq C_0\bigg(\int_0^T\int_{\Gamma}h(u_t)u_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_0^T\int_{\Gamma}b(v_t)v_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)+C(T), \end{equation}$

其中 $T$ 是一个充分大的实数. 设 ${\cal E}^c(t)={\cal E}(t)+c$, 其中 $c$ 是一个常数使得对任意的 $t>0$, ${\cal E}^c(t)>0$ 成立. 将(2.12)式代入(3.36)式有

$\begin{equation} {\cal E}^c(T)\leq C_0\left({\cal E}^c(0)-{\cal E}^c(T)\right)+c+C, \end{equation}$

即

$ \begin{equation} {\cal E}^c(T)\leq \frac{C_0}{1+C_0}{\cal E}^c(0)+\frac{c+C}{1+C_0}. \end{equation}$

不等式(3.38)是区间 $[T]$ 的能量估计值, 类似的估计也适用于区间 $[mT,(m+1)T]$. 考虑到系统的耗散特性, 我们注意到常数 $C_0$ 和 $C$ 在每个时间段的估计是相同的, 因此我们可以得到

$ {\cal E}^c((m+1)T)\leq \frac{C_0}{1+C_0}{\cal E}^c(mT)+\frac{c+C}{1+C_0},$

即

$ \begin{matrix} {\cal E}^c((m+1)T)&\leq &\left(\frac{C_0}{1+C_0}\right)^m{\cal E}^c(0)+\sum_{i=0}^m\left(\frac{C_0}{1+C_0}\right)^i\frac{c+C}{1+C_0} \\ & \leq&\left(\frac{C_0}{1+C_0}\right)^m{\cal E}^c(0)+c+C. \end{matrix}$

这意味着可取 $M=C+1>0$, 存在 $T_0$ 使得${\cal E}(t)\leq M$ 对于任意 $t>T_0$ 和 ${\cal E}(0)\leq R_0$ 都成立. 证毕.

4 渐进光滑性

本节的主要结果如下.

定理 4.1 令假设 1.1, 1.2 和 1.3 成立, 系统 (1.1) 生成的动力系统 $(S(t),Y)$ 是渐进光滑的.

定理 4.1 的证明依赖于以下命题, 这个命题是对文献[14] 中给出的结果的一个推广, 具体证明可参考文献[8].

命题 4.1 设 $(Y,S(t)$)是 Banach 空间 $Y$ 上的一个动力系统, 假设对于 $Y$ 中的任何有界正不变集 $B$, 以及对于任何 $t\geq t_0=t_0(B)\geq 0$, 在 $[0,\infty)$ 上存在一个函数 $K_B(t) $ 以及在 $C(0,t;Y)$ 上的伪度量 $\varrho_B^t$ 使得

(i) $K_B(t)\geq 0$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}K_B(t)=0$;

(ii) 伪度量 $\varrho_B^t$ 关于 $Y$ 的范数是准紧的, 即任何数列 $x_n\subset B$ 存在子列 $x_{n_k}$ 使得数列 $y_k(\tau)=S_{\tau}x_{n_k}$ 且 $y_k\subset C(0,t;Y)$ 关于 $\varrho_B^t$ 是柯西收敛的;

(iii) 下面的估计

$\begin{equation} \vert\vert S_ty_1-S_ty_2\vert\vert \leq K_B(t)\vert\vert y_1-y_2 \vert\vert+\varrho_B^t(S_{\tau}y_1,S_{\tau}y_2),uad t\geq t_0, \end{equation}$

对于任意 $y_1,y_2\subset B$ 成立. 那么动力系统 $(Y,S_t)$ 是渐进光滑的.

这等价于估计两个解的差距. 根据命题4.1, 定理4.1 可以被下面的引理证明.

引理 4.1 设 $h'(0)>0$, 令假设1.1,1.2和1.3成立, 设 $U_1(t)=(u,u_t,v,v_t)$, $U_2(t)=(\eta,\eta_t,\xi,\xi_t)$ 是系统(1.1)的两个解, 对任意的 $t\geq 0$ 满足

$\begin{equation}{\vert\vert (u,u_t,v,v_t)\vert\vert}_Y\leq R_1, uad{\vert\vert (\eta,\eta_t,\xi,\xi_t)\vert\vert}_Y\leq R_1, \end{equation}$

其中 $R_1>0$ 是一个常数. 记 $w(t)\equiv u(t)-\eta (t)$, $z(t)\equiv v(t)-\xi(t)$, 那么存在两个正常数 $C_1$ 和 $\beta$ （依赖于假设 1.1, $R_1$ 和 $\Omega$ 的测度） 使得

$\begin{matrix} E(t)\leq C_1e^{-\beta t}E(0)+lot(w,z), \end{matrix}$

其中

$lot(w,z)\leq C(R_1)\lim\sup\limits_{0\leq \tau\leq T}\{{\vert\vert w\vert\vert}_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2+{\vert\vert w\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(\Omega)}^2+{\vert\vert z\vert\vert}_{H^{1}(\Gamma)}^2+L(z)\}.$

证 不失一般性, 我们可以假设

$\begin{equation}0<m_1\leq h'(s)\leq m_2<\infty, \mbox{对任意的 }\ s\in \mathbb{R}.\end{equation}$

令 $w=u-\eta$, $z=v-\xi$, 那么系统(1.1)可以被写成如下形式

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} w_{tt}-\Delta w+f(u)-f(\eta)=0, &(x,t)\,\in\, \Omega\times [0,+\infty),\\ \partial_{\nu}w+w+h(u_t)-h(\eta_t)=\kappa z_t, &(x,t)\,\in\, \Gamma\times [0,+\infty),\\ w(x,0)=u_0(x)-\eta_0(x),uad w_t(x,0)=u_1(x)-\eta_1(x), &x\,\in\, \Omega,\\ z_{tt}+{\cal A}z+b(v_t)-b(\xi_t)+\kappa w_t|_{\Gamma}=0, &(x,t)\,\in\, \Gamma\times [0,+\infty),\\ z(x,0)=v_0(x)-\xi_0(x),uad z_t(x,0)=v_1(x)-\xi_1(x), &x\,\in\, \Gamma. \end{array}\right. \end{equation}$

我们定义系统(4.5)的能量为

$\begin{equation}E(t)=E_w(t)+E_z(t)=\frac{1}{2}\int_\Omega(|\nabla w|^2+w^2_t){\rm d}x+\frac{1}{2}\int_\Gamma| w|^2{\rm d}\Gamma+\frac{1}{2}\int_\Gamma(z^2_t+a(z,z)){\rm d}\Gamma. \end{equation}$(4.6)

应用 Sobolev's 和 Young's 不等式可得

$\begin{equation} \vert\vert f(u)-f(\eta)\vert\vert_{L^2(\Omega)}\leq C(R_1,\Omega,p)\cdot \vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)},uad t\in [T], \end{equation}$

其中 $p\in(0,1)$ 由假设 1.1 给出.

应用 Holder's 不等式和(4.7)式可得存在 $C_{\varepsilon}$ 使得

$\begin{equation} -\int_{Q_T}(f(u)-f(\eta))H_1(w)\leq C_{\varepsilon}\int_0^T\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2{\rm d}t+\varepsilon \vert\vert \nabla w\vert\vert_{L^{2}(Q_T)}^2, \end{equation}$

对任意的 $\varepsilon>0$. 类似的计算可得

$\begin{equation} \left|(w_t,pw+H_1(w))\Big|_0^T\right| \leq C [E_w(0)+E_w(T)]. \end{equation}$

做类似于(3.16)式的计算, 我们知道

$\begin{matrix} \int_0^TE_w(t){\rm d}t&\leq& C_1 \left(\vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert \nabla w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2 \right) +C[E_w(0)+E_w(T)]\\&&+C(R_1,\varepsilon)\int_0^T\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)} ^2{\rm d}t +\varepsilon\vert\vert \nabla w\vert\vert_{L^{2}(Q_T)}^2. \end{matrix}$

接下来我们估计在 $\Sigma_T$ 上的切向导数 $\nabla_{\tau}w$. 对于 $0<\alpha <\frac{T}{2}$ 和充分小的 $\varepsilon$, 存在一个常数 $C=C(\alpha, T, \Omega)$ 使得

$\begin{matrix} && \int_{\alpha}^{T-\alpha}\int_{\Gamma}|\nabla_{\tau}w|^2{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\&\leq& C\left({\vert\vert \partial_{\nu}w\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert w_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2 +{\vert\vert w\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2+{\vert\vert f(u)-f(\eta)\vert\vert}_{H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2\right). \end{matrix}$

另一方面有

$\begin{equation} \vert\vert f(u)-f(\eta)\vert\vert_{H^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2\leq \vert\vert f(u)-f(\eta)\vert\vert_{L^2(Q_T)}^2\leq C(R_1)\int_0^T \vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2{\rm d}t. \end{equation}$

将(4.11)和(4.12)式代入(4.10)式中得到

$\begin{matrix}\int_{\alpha}^{T-\alpha}E_w(t){\rm d}t&\leq& C \left({\vert\vert \partial_{\nu}w\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2 \right)\\ &&+C(R_1,\varepsilon)\bigg(\int_0^T\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)} ^2{\rm d}t+{\vert\vert w\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2\bigg)\\ &&+C[E_w(\alpha)+E_w(T-\alpha)]+\varepsilon\vert\vert \nabla w\vert\vert_{L^{2}(Q_T)}^2. \end{matrix}$

类似于(3.28)式, 我们可以得到

$\begin{equation} \int_{\alpha}^{T-\alpha}E_z(t) {\rm d}t\leq C(E_z(\alpha)+E_z(T-\alpha))+C({\vert\vert z_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2+{\vert\vert w_t\vert\vert}_{L^2(\Sigma_T)}^2)+C{\cal L}(z), \end{equation}$

其中 ${\cal L}(z)$ 由(3.27)式给出.

将(4.5)式中的第一个方程乘以 $w_t$, 第四个方程乘以 $z_t$, 并进行分部积分, 我们得到

$\begin{aligned} E(s)= & E(t)+\int_{s}^{t} \int_{\Omega}(f(u)-f(\eta)) w_{t} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau \\ & +\int_{s}^{t} \int_{\Gamma}\left(h\left(u_{t}\right)-h\left(\eta_{t}\right)\right) w_{t} \mathrm{~d} \Gamma \mathrm{d} \tau+\int_{s}^{t} \int_{\Gamma}\left(b\left(v_{t}\right)-b\left(\xi_{t}\right)\right) z_{t} \mathrm{~d} \Gamma \mathrm{d} \tau.\end{aligned}$

这意味着

$\begin{matrix}E(s)&\leq &E(t)+\int_s^t\Big(\varepsilon \vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Omega)}^2+C(\varepsilon,R_1)\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2\Big){\rm d}\tau\\& &+\int_s^t\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}\tau+\int_s^t\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}\tau \end{matrix}$

和

$\begin{equation} E(t)\leq E(s)-\int_s^t\int_{\Omega}(f(u)-f(\eta))w_t{\rm d}x{\rm d}\tau \end{equation}$

对于任意的 $\varepsilon>0$ 和 $0\leq s\leq t$ 成立.

在(4.16)式中分别令 $s=\alpha$ 和 $s=T-\alpha$, 可以得到

$\begin{matrix} E(\alpha)+E(T-\alpha)&\leq& 2E(T)+2\int_0^T\Big(\varepsilon \vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Omega)}^2+C(\varepsilon,R_1)\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2\Big){\rm d}t\\&& +2\int_0^T\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+2\int_0^T\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t.q\end{matrix}$

另一方面, 将(4.16)式在区间 $[\alpha]$ 和区间 $[T-\alpha,T]$ 上积分可得

$\begin{matrix} \int_0^{\alpha}E(t){\rm d}t+\int_{T-\alpha}^TE(t){\rm d}t &\leq& 2\alpha E(T)+2\alpha\int_0^T\Big(\varepsilon \vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Omega)}^2+C(\varepsilon,R_1)\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2\Big){\rm d}t\\&& +2\alpha\int_0^T\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\&&+2\alpha\int_0^T\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t.\end{matrix}$

结合(4.13),(4.14),(4.18)和(4.19)式并令 $\varepsilon$ 充分小可得

$\begin{matrix} \int_0^TE(t){\rm d}t & \leq &C(T) \left(\vert\vert \partial_{\nu}w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert z_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2\right)\\ &&+C(T) \bigg(\int_0^T\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_0^T\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)\\ &&+C E(T)+lot(w,z), \end{matrix}$

其中

$lot(w,z)= C(\alpha,R_1,\varepsilon)\bigg(\int_0^T{\vert\vert w\vert\vert}_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2{\rm d}t+{\vert\vert w\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2\bigg)+C{\cal L}(z).$

对(4.17)式在 $[T]$ 上积分并且运用(4.7)式推出

$\begin{equation}TE(T)\leq \int_0^T E(s){\rm d}s+C(R_1,\varepsilon)\int_0^T\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2{\rm d}t+\varepsilon \vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(Q_T)}^2.\end{equation}$

结合(4.20)和(4.21)式, 令 $T>2C$ 可得

$\begin{matrix} && E(T)+\int_0^TE(t){\rm d}t\\ & \leq &C(T)\left(\vert\vert \partial_{\nu}w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert z_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2\right)\\ & &+C(R_1,T) \bigg(\int_0^T\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_0^T\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\bigg)+lot(w,z).\\ \end{matrix}$

接下来我们来估计边界项. 利用假设1.1和(4.4)式可知

$\begin{matrix} & &\vert\vert \partial_{\nu}w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+\vert\vert z_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2\\ & \leq&(1+3m_2^2)\vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+c\vert\vert z_t\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2+3\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2\\&\leq&\frac{(1+3m_2^2)}{m_1}\int_0^T\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+C\int_0^T\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+3\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2.\\ \end{matrix}$

通过迹定理可得

$\begin{equation}\vert\vert w\vert\vert_{L^2(\Sigma_T)}^2\leq C\vert\vert w\vert\vert_{H^{\frac{1}{2}}(Q_T)}^2\leq C\vert\vert w\vert\vert_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(Q_T)}^2.\end{equation}$

此外, 从(4.15)式可知

$\begin{matrix} && \int_0^T\int_{\Gamma}(h(u_t)-h(\eta_t))w_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t+\int_0^T\int_{\Gamma}(b(v_t)-b(\xi_t))z_t{\rm d}\Gamma {\rm d}t\\&\leq& E(0)-E(T)+C(R_1,\varepsilon)\int_0^T\vert\vert w\vert\vert_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2{\rm d}t +\varepsilon \vert\vert w_t\vert\vert_{L^2(Q_T)}^2. \end{matrix}$

将(4.23)-(4.25)式代入(4.22)式得

$\begin{equation} E(T)+\int_0^TE(t){\rm d}t \leq C_1\left(E(0)-E(T)\right)+\varepsilon E(T)+lot(w,z). \end{equation}$

这说明

$\begin{equation} E(T) \leq C\left(E(0)-E(T)\right)+lot(w,z). \end{equation}$

上式在区间 $I_m=[mT,(m+1)T]$ 上仍成立, 即

$\begin{equation} E((m+1)T)\leq \frac{C}{1+C} E(mT)+lot(w,z), \end{equation}$

这意味着

$\begin{equation} {E}(nT)\leq \left(\frac{C}{1+C}\right)^n{E}(0)+\sum_{m=0}^{n-1}\left(\frac{C}{1+C}\right)^{n-m}lot(w,z),uad n=1,2... uad. \end{equation}$

因此我们完成了引理 4.1 的证明. 证毕.

令$\varrho_B^t(S_{\tau}y_1,S_{\tau}y_2)=C(R_1)\lim\sup\limits_{0\leq \tau\leq T}\Big\{{\vert\vert w\vert\vert}_{L^{\frac{6}{2-p}}(\Omega)}^2+{\vert\vert w\vert\vert}_{H^{\frac{1}{2}+\varepsilon}(\Omega)}^2+{\vert\vert z\vert\vert}_{H^{1}(\Gamma)}^2+L(z)\Big\}.$伪度量 $\varrho_B^t$ 是准紧的证明可以参考文献[27]. 根据命题 4.1, 系统(1.1)生成的动力系统 $(Y, \{S(t)\}_{t\geq 0})$ 是渐进光滑的.

引理 4.2[8,定理 2.3] 设 $(Y, \{S(t)\}_{t\geq 0})$ 为耗散动力系统, 其中状态空间 $Y$ 是完备度量空间. 当 $(Y, S(t)_{t\geq 0})$ 渐进光滑时, $(Y, \{S(t)\}_{t\geq 0})$ 具有一个紧的全局吸引子.

结合定理 3.1, 定理 4.1 和引理 4.2, 定理 1.1 得证.

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