围绕着一个刚体流动的不可压非稳恒粘滞流体可以表述为一个3维Navier-Stokes方程初、边值问题的强解, 即

这里$\Omega\subseteq\mathbb{R} ^{3}$是刚体的外部区域, 其边界$\partial\Omega$假设是光滑的. $u_{0}(x)$表示流体的初始速度, $u(t,x)$表示流体在时刻$t>0$点$x\in\Omega$ 处的速度, 而$p(x,t)$则表示流体的内压. 为方便起见, 我们总假设刚体包含在单位球中, 即$\overline{\Omega^{C}}\subseteq B_{1}(0)$, 而空间的坐标原点则含于$\bar{\Omega}^{C}$中. 我们还假设流体的粘滞指数$\nu=1$, 这可以通过无量纲化的方式得到.

在过去的二十多年中, Navier-Stkoes方程初、边值问题(1.1)强解的存在唯一性及其渐近行为得到广泛的研究. Kato^[16], Giga-Miyakama^[7]以及 Iwashita^[15]在不同的空间区域上研究了具有小初值(即$\|u_{0}\|_{L^{n}(\Omega)}$充分小)强解的整体存在性与唯一性, He-Miyakama^[11], Han^[8-9], Zhang-Zhu^[21]等研究了外区域上Navier-Stkoes流的$L^{q}$ -模按时间衰减的现象, 并对衰减指数进行了估计.

Navier-Stkoes流的加权模估计一直受到学者的关注. 在该问题中, 对边界上流体内压的加权$L^{q}$ -模的估计是一直是难以处理的. 通过构造一个合适的向量场并用它点乘方程(1.1)的两端, He-Xin^[14]在导出的积分方程中成功的移除了内压这一项, 并得到了如下的估计

和

这里流体的初始速度$u_{0}$落在空间$L^{1}(\Omega)\cap L_{\sigma}^{q}(\Omega)$中, 其范数$\|u_{0}\|_{q}$充分小, 还满足$(1+|x|^{2})^{\frac{\alpha}{2}}u_{0}\in L_{\sigma}^{q}(\Omega)$或者$(1+|x|^{2})^{\frac{\beta}{2}}u_{0}\in L^{q}(\Omega)$.

Bae-Jin^[2,3]对于$n=2,3$将该估计进行了推广, Bae-Roh^[4]针对$n=3$的情形做了进一步的改进, 并推得

这里$0<\alpha<n$, $\frac{n}{n-\alpha}<q<\infty$且$1<r<n$. 初始速度满足$u_{0}\in L_{\sigma}^{n}(\Omega)\cap L^{r}(\Omega)$, 并具有小范数$\|u_{0}\|_{n}$, 而且 $|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$. 不久后, Bae-Roh^[5]将上面的假设修正为: $\frac{nr}{n-r\alpha}<q<\infty$, $\frac{1}{q}>\frac{1}{r}-\frac{7}{9}$若$0<\alpha\leq1$以及$n=3$, 并且$|x|^{\sigma}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$. 其中

并推导出一个最优估计

利用外区域上3维Navier-Stokes流的表达式, He-Miyakama ^[12]建立了如下的估计

这里$1\leq r<\infty$, $\max\{r,3\}<q<\infty$. 初始条件为$u_{0}\in L^{1}(\Omega)\cap L_{\sigma}^{3}(\Omega)\cap D_{a}^{1-\frac{1}{b},b}$, 其中$\frac{6}{5}\leq a<\frac{3}{2}$, $1<b<2$满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$. 另外还需要$|x|^{3(1-\frac{1}{r})}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$. 这一结果反映了流体在权重为$|x|^{3(1-\frac{1}{r})}$的$L^{q}$空间中按时间衰减的规律.

本文继续研究外区域上3维Navier-Stokes流的加权模估计. 将文献[2⇓⇓-5,14]所使用的技术稍作改进后, 我们将推出如下的估计

这里, $0<\alpha<3$, $u_{0}\in L_{\sigma}^{3}(\Omega)$并具有很小的范数, 还需要$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\alpha)$, 其中

本文将文献[5]的初始条件: $|x|u_{0}\in L^{r}(\Omega)$若$0<\alpha\leq1$, $|x|^{2}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$若$1<\alpha\leq2$都减弱为 $|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$. 由于$\Omega$是一个外区域, 文献[5]对$r$的限制与本文一致. 又$\frac{3}{3-\alpha}<\frac{3r}{3-\alpha r}$, 因此本文在情形$2<\alpha<3$中对$q$的限制较为宽松. 关于$0<\alpha\leq1$, 尽管下限$ \max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-\alpha r}\}<q$比$1<r<\frac{3}{2+\alpha}$强一些, 上限$q<\frac{9r}{9-7r}$在本文中已经舍弃了. 进一步的, 文献[2⇓⇓-5]中的估计只能刻画流体在$t\rightarrow\infty$时的渐近行为, 本文的估计对$t\rightarrow\infty$与$t\rightarrow0$时流体的状态都进行了描述.

关于半空间上不可压黏滞流体的加权模估计, 可以参考文献[10,13,20]等.

首先对函数空间及Navier-Stokes的强解进行简要的回顾. 给定$1<q<\infty$, 我们将$\Omega$上数值型或向量型$q$幂可积函数空间统统记为$L^{q}(\Omega)$, 其范数为$\|f\|_{q}=(\int_{\Omega}|f(x)|^{q}{\rm d}x)^{\frac{1}{q}}$或$\|u\|_{q}=(\sum\limits_{k=1}^{n}\int_{\Omega}|u_{i}(x)|^{q}{\rm d}x)^{\frac{1}{q}}$. 对于正整数$k$, $k$阶Sobolev 空间记为$W^{k,q}(\Omega)$, 其范数为$\|f\|_{k,q}=\sum\limits_{|\alpha|\leq k}\|\partial^{\alpha}f\|_{q}$, 这里$\partial^{\alpha}f$表示$f$的$\alpha$阶弱导数, 其中$\alpha=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\in {\Bbb N}^{n}$. 对于$\Omega$上 给定的非负可测函数$w$, 定义加权$L^{q}$空间为$L_{w}^{q}(\Omega):=\{u\in L_{{\rm loc}}^{1}(\Omega):wu\in L^{q}(\Omega)\}$.

记$C_{0,\sigma}^{\infty}(\Omega):=\{u\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R} ^{n}):\nabla\cdot u=0\}$, 并用$L_{\sigma}^{q}(\Omega)$表示$C_{0,\sigma}^{\infty}(\Omega)$在 $L^{q}(\Omega)$中的完备化子空间. Helmholtz投影$P_{q}:L^{q}(\Omega)\rightarrow L_{\sigma}^{q}(\Omega)$是定义在$L^{q}(\Omega)$上的有界线性算子, 对任意的$u\in L_{\sigma}^{q}(\Omega)$, 满足$P_{q}u=u$ (见文献[18]). 将算子${\rm Id}-P_{q}$的值域记为$G^{q}(\Omega)$, 则有Helmholtz分解

并且$G^{q}(\Omega)$可以刻画为

进一步的, 若$1<q<n$, 则存在常数$C>0$, 使得对任意的$\nabla p\in G^{q}(\Omega)$, 有

这里$q^{*}=\frac{nq}{n-q}$是$q$的Sobolev共轭指数 (参考文献[19]).

给定向量场$u_{0}\in L_{\sigma}^{n}(\Omega)$, 我们称向量值函数$u=u(x,t)$是Navier-Stokes方程(1.1)的强解, 或称$u$为具有初始速度$u_{0}$的Navier-Stokes流, 若$u$属于函数空间$C([0,\infty);L_{\sigma}^{n}(\Omega))\cap C^{1}((0,\infty);L_{\sigma}^{n}(\Omega))\cap C((0,\infty);D(A_{n}))$, 满足初始条件$u(0)=u_{0}$, 并在空间$L_{\sigma}^{n}(\Omega))$中满足抽象积分方程

这里$A_{q}=-P_{q}\Delta$为外区域$\Omega$上的Stokes算子, 其定义域为$D(A_{q})=L_{\sigma}^{q}(\Omega)\cap W_{0}^{1,q}(\Omega)\cap W^{2,q}(\Omega)$. 利用Helmholtz 分解(2.1)以及Navier-Stokes方程强解正则性的经典理论, 容易看出相应于Navier-Stokes流$u$, 一定存在一个梯度场$\nabla p\in C((0,\infty);L^{n}(\Omega))$, 使得函数对$(u,\nabla p)$ 在时空区域$\Omega\times(0,+\infty)$内处处满足Navier-Stokes方程(1.1).

下面的引理涉及Navier-Stokes流的整体存在唯一性以及$L^{q}$模估计(参考文献[6,11,15]).

引理 2.1 存在充分小的正数$\eta_{0}>0$, 使得当$u_{0}\in L^{n}(\Omega)$满足$\|u_{0}\|_{n}\leq\eta_{0}$时, Navier-Stokes方程(1.1)在整个区间$[0,\infty)$上存在唯一的强解$u$. 若还有$u_{0}\in L^{r}(\Omega)$, 其中$1<r\leq n$,

则该强解还满足下面的估计

若$r\leq q\leq\infty$;

若$r\leq q\leq n$.

下面的定理刻画了3维空间的外区域上Navier-Stokes流在加权$L^{q}$空间中的渐近行为.

定理 2.1 假设$0<\alpha\leq1$, $u_{0}\in L_{\sigma}^{3}(\Omega)$并且$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$, 这里$1<r<\frac{3}{1+\alpha}$. 还假设$\|u_{0}\|_{L_{\sigma}^{3}(\Omega)}\leq\eta_{0}$, 且$u$是由引理2.1确定的Navier-Stokes方程初、边值问题(1.1)的强解. 则对每一个$\max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-\alpha r}\}<q<\infty$, 存在小正数$0<\eta=\eta(q,\alpha)\leq\eta_{0}$以及常数$C=C(q,\alpha)>0$, 使得当$\|u_{0}\|_{L_{\sigma}^{3}(\Omega)}\leq\eta$时, 总有

注 2.1 从估计式(2.5)中我们既可以看出流体的加权$L^{q}$模在初始时刻$t=0$的奇性, 又可以看出它随时间增加而不断衰减的特性. 这是本文所导出的估计式的共同特征.

定理 2.2 假设$1<\alpha\leq2$, $1<r<\frac{3}{\alpha}$,$u_{0}\in L_{\sigma}^{3}(\Omega)$, 且有$\|u_{0}\|_{L_{\sigma}^{3}(\Omega)}\leq\eta_{0}$, 以及$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$, 其中$\max\{\frac{3r}{3-r(\alpha-1)},\frac{3}{3-\alpha}\}<q<\infty$. 假设$u$是由引理2.1确定的(1.1)式的强解. 则存在$0<\eta\leq\eta_{0}$以及$C>0$, 使得当$\|u_{0}\|_{L_{\sigma}^{3}(\Omega)}\leq\eta$时, 有

定理 2.3 假设$2<\alpha<3$, $1<r<\frac{3}{\alpha-1}$以及$\frac{3}{3-\alpha}<q<\infty$. 假设$u_{0}\in L_{\sigma}^{3}(\Omega)$以及$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$, 并满足 $\|u_{0}\|_{L_{\sigma}^{3}(\Omega)}\leq\eta_{0}$. 若$u$是Navier-Stokes方程(1.1)相应的强解. 则存在$0<\eta\leq\eta_{0}$以及$C>0$, 使得对于$\|u_{0}\|_{L_{\sigma}^{3}(\Omega)}\leq\eta$, 总有

注 2.2 显然本文对指数$\alpha,r,q$取值范围的限制要比文献[14]宽松. 与文献[5]所使用的条件: $|x|^{1}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$若$0<\alpha\leq1$, 以及$|x|^{2}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$若$1<\alpha\leq2$相比, 这里的条件$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$也要弱一些. 本文对指数$q$的限制也比文献[5]弱. 实际上, 在情形$0<\alpha\leq1$下, 这里对$q$的取值没有设上限.

先利用文献[14]与^[2⇓⇓-5]中的方法给出外区域上3维Navier-Stokes流的积分表达式. 取函数$\varphi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R} ^{3})$ 满足$0\leq\varphi\leq1$, 并且当$|x|\leq1$时$\varphi(x)=1$, 当$|x|\geq2$时$\varphi(x)=0$. 对于$\alpha>0$与$R>2$, 令$h_{R}(x)=|x|^{\alpha}(1-\varphi(x))\varphi(x/R)$. 显然, $h_{R}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R} ^{3})$, 并在$\Omega$的边界上取值为0. 简单的计算可知, 对每一个$k=0,1,2,\cdots$, 都存在常数$C=C(k)>0$, 使得 $|\nabla^{k}h_{R}(x)|\leq C|x|^{\alpha-k}$.

引入两个向量场

这里$e_{i}=(0,\cdots,1,\cdots,0)$是第$i$个坐标轴上的单位向量, $N(x)=(4\pi|x|)^{-1}$是牛顿势函数的积分核,$G(x,t)=(4\pi t)^{-\frac{3}{2}}\exp\big\{-\frac{|x|^{2}}{4t}\big\}$是高斯积分核, 并记$G(t):=G(\cdot,t)$.

容易验证

以及

直接计算可知除了$\|V^{i}(t)\|_{1}$与$\|\nabla^{2}\omega^{i}(t)\|_{1}$外, 下列不等式成立

其中$1\leq r\leq\infty$, $k\in {\Bbb N}$.

假设$\|u_{0}\|_{3}\leq\eta_{0}$使得以$u_{0}$为初值的Navier-Stokes流$u$是整体存在的. 对每一个$t>0$以及$0<\delta<t$, 用下面的向量场

去点乘Navier-Stokes方程(1.1)的两边, 并在区间$[t-\delta]\times\Omega$实施分部积分, 得

与文献[2]类似, 再定义两个辅助函数

与

则积分方程(3.2)变为

注意到

这里$\tilde{u}=\nabla\times [h_{R}(y)\nabla\times u],$以及

于是在方程(3.3)两边都令$\delta\rightarrow0$, 则得下列等式

定理2.1的证明

情形1 $\max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-\alpha r}\}<q<\bar{q}$, 这里

为方便起见, 首先令$0<\varepsilon<\varepsilon_{1}$, 其中

在下面的讨论中, 我们将选取指数$q_{0}=\frac{3q}{3+q}$, $r_{0}=\frac{3r}{3+\varepsilon r}$,

以及$q_{2}=\frac{3}{2-\alpha-\varepsilon}$, $q_{3}=\frac{3}{3-\alpha-\varepsilon}$.

由于$\max\{1,\frac{3r}{3+\alpha r}\}<r_{0}\leq r$, 从初始条件$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$可知$u_{0}\in L^{r_{0}}(\Omega)$.于是利用不等式(2.2), (2.3)以及$|\nabla h_{R}(y)|\leq C|y|^{\alpha-1}$, 我们有

本文中, $C>0$表示一个普适常数, 它可能在不同的估计式中去不同的值, 但总是与时间$t$和半径$R$无关.

关于$\|I_{1}^{i}(t)\|_{q}$与$\|I_{2}^{i}(t)\|_{q}$, 我们应用Young不等式, 并结合不等式(2.2)与(3.1), 得到

以及

这里$q'_{j}=\frac{q_{j}}{q_{j}-1}$表示$q_{j}$的共轭指数.

利用分部积分, 可将第五项$I_{5}^{i}$变形为

这样由估计$\|u(\tau)\|_{3}\leq C$得

并且由于$\frac{1}{r}-\frac{1}{q}<\frac{2}{3}$, 我们可以选取满足$3<s<\infty$以及$\frac{1}{s}+\frac{1}{3}>\frac{1}{r}-\frac{1}{q}$的指数$s$, 并应用引理2.1推出

这里

关于$I_{6}^{i}(x,t)$, 由分部积分可以导出如下的分解

这里

与$\|I_{5,1}^{i}(t)\|_{q}$的估计类似, 我们有

再来看第三项$I_{3}^{i}(x,t)$, 由初始条件$|x|^{\alpha}u_{0}\in L^{r}(\Omega)$可以推得

这里, $q_{4}=(1-\frac{1}{r}+\frac{1}{q})^{-1}$.

注意到在目前的条件下, 总有$1+\frac{\alpha}{3}+\frac{1}{q}-\frac{1}{r}<1$. 于是取指数$q_{5}=(\frac{2+\alpha}{3}+\frac{1}{q}-\frac{1}{r})^{-1}$,可以得到

将上面推得的关于$\|I_{j}^{i}(t)\|_{q}$($1\leq j\leq6$)以及$\|R_{3}^{i}\|_{q}$的估计放在一起, 我们有

这样, 如果取$0<\eta\leq\min\big\{\eta_{0},\frac{1}{2M}\big\},$并假设$\|u_{0}\|_{3}\leq\eta$, 我们就能推得

从而有

因为这里的常数$C>0$与$R>2$无关, 故可令$R\rightarrow+\infty$, 从而得到

记$\Omega_{0}=\{x\in\Omega:|x|<2\}$, 在其上我们有

将(3.9)与(3.10)这两个估计合在一起, 就可以推出估计式(2.5).

情形2 $1<r<\frac{3}{2}$且$\bar{q}\leq q<\infty$.

仍用向量场$H_{i}(x,y,t-\tau)$点乘方程(1.1)的两边, 然后在区域$[\frac{t}{2},t-\delta]\times\Omega$上实施分部积分, 并令$\delta\rightarrow0$, 就得到与(3.4)类似的积分方程, 即

要在情形2中证明(2.5)式, 只需重新处理$\|J_{5,2}^{i}(t)\|_{q}$, $\|J_{3}^{i}(t)\|_{q}$与$\|J_{4}^{i}(t)\|_{q}$这三项, 其余各项的处理与情形1相同.

取$q_{6}=\frac{3}{2+\varepsilon}$, $q_{7}=\frac{3}{1-\varepsilon}(<\bar{q})$以及$q_{8}=(\frac{2+\varepsilon}{3}+\frac{1}{q})^{-1}(>1)$, 并在(2.5)中将 $q$替换成$q_{7}$, 就可以得到

与

关于$ \|J_{4}^{i}(t)\|_{q}$, 我们有

利用这些新的估计, 我们就可在情形2中证明(2.5)式. 定理2.1证毕.

注 3.1 在定理2.1的证明中用到了下面的不等式(见文献[1])

其中, $0\leq\beta<1$, $0<\gamma<1-\beta$, $f(t)$是一个非负可测函数, 而$g(t)$则是非负不减的. 容易验证在条件$0<\varepsilon\leq(2C{\cal B}(\gamma,1-\beta-\gamma))^{-1}$下, 不等式

对于$t>0$成立, 从而有

根据这一点, 我们认为文献[5]引理2中所用的条件

是可以省去的.

定理2.2的证明

情形1 $\max\{\frac{3r}{3-r(\alpha-1)},\frac{3}{3-\alpha}\}<q<\bar{q}$.

令

并假设$0<\varepsilon<\varepsilon_{2}$.

取

以及$s_{3}=\frac{3}{\alpha-\varepsilon}$, $q_{10}=(\frac{1}{q}+\frac{2\varepsilon}{3})^{-1}$.将这些指数应用到Yong不等式中, 可以推出

以及

与定理2.1的证明类似, 取$3<s<\infty$满足$\frac{1}{s}+\frac{1}{3}>\frac{1}{r}-\frac{1}{q}$, 可得

其中

再次应用Young不等式, 可以推得

以及

由初始条件可知$|y|^{\alpha-1}u_{0}\in L^{r_{4}}(\Omega)$, 从而有

这里

再取$s_{5}=(\frac{1}{q}+\frac{\alpha}{3})^{-1}$以及$r_{5}=(\frac{1}{r}+\frac{\delta}{3})^{-1}$, 其中

于是利用内插不等式, 得

将关于$\|I_{j}^{i}(t)\|_{q}$的估计式与估计式(3.7)以及(3.18)合在一起, 可得

若令$R\rightarrow\infty$, 则该估计对$\||y|^{\alpha}(1-\varphi)u(t)\|_{q}$仍成立.将它与估计式(3.10)汇合, 则得

类似的, 如果取

则在条件$\|u_{0}\|_{3}\leq\eta$下, 则对所有的$t>0$, 我们有

这一不等式自然衍生出估计式(2.6).

情形2 $1<r<\frac{3}{2}$且$\bar{q}<q<\infty$.

在该情形中, 我们仍用表达式(3.11)进行推导, 并且只有$\|J_{5,2}^{i}(t)\|_{q}$, $\|J_{3}^{i}(t)\|_{q}$, $\|J_{4}^{i}(t)\|_{q}$以及$\|R_{3}^{i}(t)\|_{q}$ 这几项需要重新估计. 其余的项$\|J_{k}^{i}(t)\|_{q}$与$\|I_{k}^{i}(t)\|_{q}$的估计方法一致.

取$s_{6}=\frac{3}{2+\varepsilon}$, $s_{7}=(\frac{1}{q}+\frac{2+\varepsilon}{3})^{-1}$以及$q_{11}=\frac{3}{1-\varepsilon }$. 在条件$0<\varepsilon<3(1-\frac{1}{r})$以及$q>\bar{q}$下, 容易验证$s_{7}>1$以及$\max\{\frac{3r}{3-r(\alpha-1)},\frac{3}{3-\alpha}\}<q_{11}<\bar{q}$, 这样我们可以在(2.6)中用$q_{11}$替换$q$, 并推得

以及

进一步的, 由于$q\geq\bar{q}$, 故有$q_{0}>\max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-r(\alpha-1)}\}$. 这样我们取$0<\delta<3(\frac{1}{r}-\frac{2}{3}-\frac{1}{q})$, 并令 $s_{7}=\frac{3}{2-\delta}>\frac{3}{2}$以及$q_{12}=(\frac{1+\delta}{3}+\frac{1}{q})^{-1}(>\max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-r(\alpha-1)}\})$, 就得到

以及

这些估计与(3.10)式结合在一起, 就可推出(2.6)式.

情形3 $1<r<\frac{3}{2}$且$q=\bar{q}$.

取$\bar{q}<s<\infty$与$0<\theta<1$满足$\frac{1}{\bar{q}}=\frac{1-\theta}{3}+\frac{\theta}{s}$, 利用内插不等式就可以推出

这样我们就完成了定理2.2的证明.

定理2.3的证明 我们仍用(3.4)式去推导所需的估计. 与前面的证明类似, 我们令$0<\varepsilon<\min\{3(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})-\alpha+2,3(1-\frac{1}{r}),\alpha-2,3-\alpha\}$.

取

以及$\varsigma_{k}=(1+\frac{1}{q}-\frac{1}{\varrho_{k}})^{-1}$, $k=1,2$. 在这些限定下, 我们有$\max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-r(\alpha-2)}\}<\varrho_{1}<q$, $\max\{\frac{3r}{3-r(\alpha-2)},\frac{3}{4-\alpha}\}<\varrho_{2}<q$, 以及$\frac{1}{r}-\frac{1}{\varrho_{k}}<\frac{2}{3}$, $k=1,2$. 我们在(2.5)与(2.6)两式中分别取权函数为$|y|^{\alpha-1}$与$|y|^{\alpha-2}$就可以推出

以及

这里, $s_{1}=\frac{3}{3-\varepsilon}$, $q_{9}=(\frac{1}{q}+\frac{\varepsilon}{3})^{-1}$与$\varrho_{3}=\frac{3}{\alpha-1+\varepsilon}$满足$\max\{\frac{3}{2},\frac{3r}{3-r(\alpha-2)}\}<q_{9}<q$且$\frac{1}{r_{0}}-\frac{1}{\varrho_{3}}<\frac{2}{3}$.

关于$\|I_{5,1}^{i}(t)\|_{q}$, $\|I_{6,1}^{i}(t)\|_{q}$以及$\|I_{6,2}^{i}(t)\|_{q}$, 用类似的方法进行估计, 得

以及

取$r<r_{6}<3$满足$\frac{1}{r_{6}}=\frac{1}{2r}+\frac{1}{6}$, 由内插不等式得 $\||y|^{\frac{\alpha}{2}}u_{0}\|_{r_{6}}\leq\||y|^{\alpha}u_{0}\|_{r}^{\frac{1}{2}}\|u_{0}\|_{3}^{\frac{1}{2}}<\infty$.再令$\varsigma_{3}=(\frac{1}{6}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2r}+\frac{\alpha}{6})^{-1}$ 和$\varrho_{4}=(\frac{1}{2r}+\frac{5}{6}-\frac{\alpha}{6})^{-1}$. 在此条件下, 有$2\varrho_{4}>\max\{(1-\frac{\alpha}{6})^{-1},$$(\frac{1}{r_{6}}-\frac{1}{3}(\frac{\alpha}{2}-1))^{-1}\}$以及$\frac{1}{r_{6}}-\frac{1}{2\varrho_{4}}<\frac{1}{3}$. 这样利用(2.6)式, 其中$\||y|^{\frac{\alpha}{2}}u(\tau)\|_{2\varrho_{4}}$, 我们可以推出

这里函数$\nu_{\alpha,q}(t)$的定义由(3.16)式给出.

进一步的, 选取由(3.17)以及(3.18)确定的指数, 可以推得

以及

上面的估计与估计式(3.7)及(3.10)结合起来, 就可以推出(3.19)式以及最终的估计(2.7)式.定理2.3得证.