拟线性Schrödinger方程

可以用来描述等离子体物理、非线性光学和流体力学中的一些现象, 参见文献[3⇓-5]等. 这里$\phi$ 表示波函数, $N\geqslant 1$.

考虑方程(1.1)形如$\phi_\lambda(t,x)=u_\lambda(x)e^{-i\lambda t}$的驻波解, 其中$\lambda \in \mathbb{R}$为固定的参数. 代入方程(1.1)式可得一类含变分结构的拟线性方程

其中$g(u)=f(u^2)u$.

对于给定的$\lambda$, 关于方程(1.2)非平凡解的存在性, 目前已有大量的结果, 如文献[6,7]. 本文关注的是方程(1.2)正规化解的存在性, 即解$u$ 满足(1.2)且有

其中$a>0$是固定的常数.

关于方程(1.2)正规化解的研究, 近期吸引了很多学者的关注. 当$g(u)=|u|^{p-2}u$时, 文献[8]考虑了在限制(1.3)式下, 极小解的存在和不存在性. 准确地讲, 作者证明了, 当$2<p<2+\frac{4}{N}$时, 限制极小$m(a)<0,\ \forall a>0$; 当$2+\frac{4}{N}\leqslant p<4+\frac{4}{N}$时, 存在一个常数$C(p,N)>0$, 使得当$0<a<C(p,N)$时, $m(a)=0$且不可达; 当$a>C(p,N)$ 时, $m(a)<0$ 且可达. 借助于限制上的山路定理和摄动方法^[9], 文献[10]进一步考虑了$2+\frac{4}{N}\leqslant p<4+\frac{4}{N}$ 时, 多重解的存在性. 近期, 在文献[1]中, 同样采取摄动方法, 得到了$L^2$临界, 即$p=4+\frac{4}{N}$ 时, 基态解的存在性和不存在性, 以及$L^2$ 超临界, 即$4+\frac{4}{N}<p<\frac{N+2}{N-2}$时, 解的存在性. 另外,文献[11]研究了方程(1.2)含有位势项$V(x)u$的情况. 当$2<p<4+\frac{4}{N}$时, 他们得到了基态解在$L^2$临界时的存在性,以及$q$趋于$L^2$临界时的渐近行为.

本文考虑方程(1.2)的一种混合情形, 即非线性项包含$L^2$ 临界和次临界指数的情形

其中$\lambda,\mu\in \mathbb{R},\ 2<q<p=\overline{p}\triangleq 4+\frac{4}{N},\ N\geq 3$. 这种情况是文献[2]关于NLS方程结果在拟线性Schrödinger方程上的推广, 也是文献[1]中拟线性Schrödinger方程非线性项的推广. 需要指出的是, 此时方程(1.4)对应能量泛函的结构更复杂, 故要进行更精细的估计.

定义 1.1 称$\tilde{u}$是方程(1.4)式在$S_a$上的基态解, 若它是方程(1.4)在$S_a$ 上有最小能量的解

其中泛函为

限制在$L^2$球

上, 这里

并记

同时令$a^*=\left|Q_{\overline{p}}\right|_1$为临界质量(具体定义见下节).

下面是本文的主要结论.

定理 1.1 当$a<a^*$时,有

(i)当指标处于以下范围之一

时, 有$-\infty<m(a,\mu)<0$, 此时下确界可达. 其中$\mu_1,\mu_2>0$为常数, 其值见(3.2),(3.3)式. 记达到函数为$\tilde{u}$, 则$\exists \lambda_a <0$, 使$(\lambda_a,\tilde{u})$是方程(1.4)的基态解.

(ii)当$\mu<0$时, 有$m(a,\mu)=0$, 此时方程(1.4)无解.

定理 1.2 当$a=a^*$时,有

(i) 当$\mu>0,\ 2<q<2+\frac{4}{N}$ 时, 有$-\infty<m(a,\mu)<0$, 此时下确界可达. 记达到函数为$\tilde{u}$, 则$\exists \lambda_a <0$, 使$(\lambda_a,\tilde{u})$ 是方程(1.4)的基态解.

(ii) 当指标处于以下范围之一

时, 有$m(a,\mu)=-\infty$, 其中$\mu_3>0$为常数, 其值见(5.1)式.

(iii) 当$\mu<0$时, 有$m(a,\mu)=0$, 此时方程(1.4)无解.

定理 1.3 当$a>a^*$时, 有$m(a,\mu)=-\infty$.

研究该问题的首要困难在于: 能量泛函中如下的积分项$\int_{\mathbb{R} ^N}\left|u\right|^2\left|\nabla u\right|^2$ 在$H^1(\mathbb{R} ^N)$上不可微, 受文献[9,10]的启发, 本文采取添加扰动项的办法解决该问题.另一方面, 相比于不含拟线性项的问题^[2], 本文中指标$p,q$取值范围更大. 而泛函下确界的性质, 以及原问题的可解性, 与$p,q,\mu$的取值密切相关, 因此需要细致地划分多种情形.

注 1.1 本文用$\left| \cdot \right|_p$表示$L^p(\mathbb{R} ^N)$空间中的通常范数,即$\left|u\right|_p \triangleq \left(\int_{\mathbb{R} ^N}\left|u\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}$. $C, C_1, C_2,\cdots$通常指的是一些变化的常数, 对主要结论没有影响.

为了证明主要结论, 需要用到下列的Gagliardo-Nirenberg不等式.

引理 2.1 (文献[Gagliardo Nirenberg不等式]) 设$2<p<2(2^*)$, $u\in L^1(\mathbb{R} ^N)$且$\nabla u\in L^2(\mathbb{R} ^N)$, 则有

其中

和

$Q_p$为下列问题的唯一非负径向对称解

取$u\in X$, 在不等式(2.1)中用$u^2$替换$u$, 可得

其中$K(p,N)=\frac{C(p,N)}{p\left|Q_p\right|^{\frac{p-2}{N+2}}_1}\cdot4^{\frac{p\gamma_p}{N+2}}$.

当$p=\overline{p}$时, (2.2)式化为

于是定义$a^*=\left|Q_{\overline{p}}\right|_1$为临界质量. 且由文献[11,引理2.1]知, $Q_p$与临界质量还具有如下关系

下面以$\mu=0$的情况为例, 观察临界质量如何影响泛函结构. 由(1.5)和(2.2)式得

注意到

显然, 当$2<p<\overline{p}$时, $E_0$在$S_a$上有下界; 当$p=\overline{p},\ a\leqslant a^*$时,有

故$E_0$在$S_a$上也有下界.

下面说明其它情形时, $E_0(u)$在$S_a$上无下界. 为此, 对于$\forall s\in \mathbb{R},\ u\in S_a$, 引入保$L^2$ 范数的变换

直接计算得

显然, 当$p>\overline{p}$时, $\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}E_0(s\star u)=-\infty$;

当$p=\overline{p},\ a>a^*$时, 由(2.3)式等号可达知, 存在$\overline{u}\in S_a$使

则$\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}E_0(s\star \overline{u})=-\infty$.

在引言中提到, 拟线性项对应的能量泛函可微性的不足是寻找问题(1.4)基态解的首要阻碍. 为此, 本节采取添加扰动项的方式解决该问题. 且由于证明过程十分相似, 本节将一并说明定理1.1和1.2(i).

令

其中$0<\delta \leqslant 1$.

其中$\tilde{X}\triangleq W^{1,4}(\mathbb{R} ^N)\cap W^{1,2}(\mathbb{R} ^N)$是自反的Banach空间, 具有如下范数

同时由文献[9]知, $E_\mu^\delta \in C^1(\tilde{X})$.

引理 3.1 在定理$1.1$和$1.2$的(i)所述的指标范围内, 有$-\infty<\tilde{m}(a,\mu)<0$.

证 当$a<a^*$时, 利用(2.2)式和Cauchy不等式, 注意到$\frac{q\gamma_q}{N+2}<1$, 则对$\forall u \in \tilde{S_a}$ 有

当$a=a^*,\ 2<q<2+\frac{4}{N}$时, 利用Sobolev不等式

注意到$\frac{q\gamma_q}{2}<1$, 则对$\forall u \in \tilde{S_a}$ 有

上述$C>0$与$u$无关, 故总有$\tilde{m}(a,\mu)>-\infty$.

另一方面, 对于$a\leqslant a^*,\ 2<q<2+\frac{4}{N}$, 直接计算得

注意到$q\gamma_q<2$, 将$u$固定, 将$s$视为自变量, 上式即可简记为

注意到

则当$s\ll -1$充分小时, 有$E_\mu^\delta(s\star u)<0$.

对于$a<a^*,\ q\geqslant 2+\frac{4}{N}$, 取

显然有$w,w_t\in \tilde{S_a}$, 代入$E_\mu^\delta$计算得

当$q=2+\frac{4}{N}$时, 有

令

则$\mu>\mu_1$时,有

同理得, 当$t\ll -1$充分小时, 有$E_\mu^\delta(w_t)<0$.

当$q>2+\frac{4}{N}$时, 考察$\varphi'(t)=0$, 即

注意到$N+4-q\gamma_q>N+2-q\gamma_q>0>2-q\gamma_q$, 则上式左侧关于$t\geqslant 0$ 从$0$单增到$+\infty$, 而右侧关于$t$是正常数. 故存在唯一$\overline{t}>0$, 使$\varphi'(\overline{t})=0$, 且$\overline{t}$是$\varphi$的极小值点.

令$\varphi(\overline{t})<0$得

故$\mu>\mu_2$时, $E_\mu^\delta(w_{\overline{t}})=\overline{t}^2\left(\frac{a}{a^*}\right)^2\varphi(\overline{t})<0$.

上述过程证明了总有$\tilde{m}(a,\mu)<0$. 综上, 证毕.

注 3.1 若记$u^*$为$u$的\rm Schwarz对称化,则由文献[8,引理4.3]知

且还有

因此在之后的证明中, 若出现$E_\mu^\delta$的极小化序列, 则始终默认其是\rm Schwarz 对称的.

引理 3.2 任意给定$0<\delta \leqslant 1$, 设$\{u_n\}\subset \tilde{S}_a$ 满足 $E_\mu ^\delta(u_n)\rightarrow \tilde{m}(a,\mu)$, 则在定理$1.1$和$1.2$的(i)所述的指标范围内, $\{u_n\}\subset \tilde{X}$有界.

证 当$a<a^*$时, 由(2.2)式得

注意到$\frac{q\gamma_q}{N+2}<1$, 由$E_\mu ^\delta(u_n)\rightarrow \tilde{m}(a,\mu)$知

即$\{u_n\}\subset \tilde{X}$有界.

当$a=a^*,\ q<2+\frac{4}{N}$时, 由(3.1)式得

注意到$\frac{q\gamma_q}{2}<1$, 由$E_\mu ^\delta(u_n)\rightarrow \tilde{m}(a,\mu)$和(3.1)式得

注意到$q<\overline{p}<4^*=\frac{4N}{N-4}$, 由Hölder不等式得

将上述四项有界性直接带入$E_\mu^\delta(u_n)$, 立得$\int_{\mathbb{R} ^N}\left|u_n\right|^2\left|\nabla u_n\right|^2<C$, 即$\{u_n\}\subset \tilde{X}$有界.证毕.

引理 3.3 设$a_1,a_2>0$满足$a_1+a_2=a\leqslant a^*$. 则$\tilde{m}(a,\mu)<\tilde{m}(a_1,\mu)+\tilde{m}(a_2,\mu).$

证 任取$0<c<a^*,\theta>1$使$\theta c\leqslant a^*$. 设$\{u_n\}\subset \tilde{S_c}$ 满足$E_\mu ^\delta(u_n)\rightarrow \tilde{m}(c,\mu)$, 直接计算得

令$n\rightarrow +\infty$, 得$\tilde{m}(\theta c,\mu)\leqslant \theta \tilde{m}(c,\mu)$. 注意到等号成立当且仅当

显然这不可能. 故有

取$\theta=\frac{a}{a_1}>1,\ c=a_1<a^*$, 得$\tilde{m}(a_1,\mu)>\frac{a_1}{a}\tilde{m}(a,\mu)$. 同理, $\tilde{m}(a_2,\mu)>\frac{a_2}{a}\tilde{m}(a,\mu)$. 两式相加即得结论, 证毕.

命题 3.1 设$\{u_n\}\subset \tilde{S}_a$满足$E_\mu ^\delta(u_n)\rightarrow \tilde{m}(a,\mu)$. 则在平移意义下, $\{u_n\}$ 存在子列在$\tilde{X}$中相对紧, 即, $\exists \{u_{n_k}\}\subset \{u_n\},\ \{y_k\}\subset \mathbb{R},\ {u}_\delta\in \tilde{S}_a$, 使$u_{n_k}(x+y_k)\rightarrow{u}_\delta(x)$在$\tilde{X}$中.

证 利用集中紧原理, 以下三条结论有且仅有一条成立

(i)消失性: $\forall R>0,$有

(ii)二分性: $\exists a_1\in (0,a),\ \{u_n^1\},\ \{u_n^2\}\subset \tilde{X}$有界, 使

(iii)紧性: $\exists \{y_k\}\subset\mathbb{R} ^N$, 使$\forall \epsilon >0,\ \exists R>0$, 有

若(i)成立, 则由文献[12,引理I.1]知: $u_n\rightarrow 0$于$L^r(\mathbb{R} ^N),\forall r\in (2,2(2^*))$中. 则$\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}E_\mu ^\delta(u_n)\geqslant 0$, 与引理$3.1$矛盾!

若(ii)成立, 则有

与引理$3.3$矛盾!

因此必有(iii)成立. 令$\tilde{u}_k(x)\triangleq u_{n_k}(x+y_k)$, 则$\tilde{u}_k\rightarrow{u}_\delta$在$L^2(\mathbb{R} ^N)$中且${u}_\delta \in \tilde{S}_a$.

由Hölder不等式和引理$3.2$, 易得$\tilde{u}_k\rightarrow{u}_\delta$于$L^r(\mathbb{R} ^N),\forall r\in (2,2(2^*))$中. 再由Fatou引理得

故$\left|\left|\tilde{u_k}\right|\right|_{\tilde{X}}\rightarrow \left|\left|u_\delta\right|\right|_{\tilde{X}}$, 证毕.

在本文中, 文献[10]中的定理4.1可写为如下引理.

引理 3.4 给定$a>0$, 任取$\{\delta_n\}\rightarrow 0$. 设\rm Schwarz对称序列$\{u_n\}\subset \tilde{S_a}$和$\{\lambda_n\}\subset \mathbb{R}$满足

其中$C>0$与$n$无关.

则$\exists \tilde{u}\in W^{1,2}\cap L^{\infty}(\mathbb{R} ^N)\setminus \{0\},\ \lambda_a \in \mathbb{R}$, 使

特别的, 若$\lambda_a<0$, 则$u_n\rightarrow \tilde{u}$在$W^{1,2}(\mathbb{R} ^N)$ 中; $u_n\nabla u_n\rightarrow \tilde{u}\nabla \tilde{u}$在$L^2(\mathbb{R} ^N)$中; $\delta_n\int_{\mathbb{R} ^N}\left|\nabla u_n\right|^4\rightarrow 0$. 即$\tilde{u}$ 是$E_\mu$在$S_a$上的临界点.

定理1.1和1.2的(i)的证明 由命题$3.1$, 有$E_\mu ^\delta(u_\delta)= \tilde{m}(a,\mu)$, 这里$u_\delta$ 是$E_\mu^\delta$在$\tilde{S_a}$上的临界点, 即$(E_\mu ^\delta|_{\tilde{S_a}})'(u_\delta)=0$. 由文献[引理3], 这等价于$\exists \lambda_\delta \in \mathbb{R}$, 使

任取$\{\delta_n\}\rightarrow 0$, 记$v_n\triangleq u_{\delta_n},\ \lambda_n \triangleq \lambda_{\delta_n}$, 则有

其中$C>0$与$\delta,N$无关. 以及

由引理$3.4$知, $\exists \tilde{u} \in W^{1,2}(\mathbb{R} ^N)\cap L^\infty(\mathbb{R} ^N)\setminus \{0\}$以及$\lambda_a\in \mathbb{R}$, 使

故有Pohozaev恒等式

代入$E_\mu(\tilde{u})$化简得

显然有$\lambda_a<0$, 故$\tilde{u}$是$E_\mu$在$S_a$上的临界点, 即为方程(1.4)的基态解.

综上, 定理$1.1$和$1.2$的(i)证毕.

在引言中提到, 问题(1.4)的可解性既与临界质量有关, 又与扰动系数有关. 本节将说明问题无解的情形, 证明定理$1.1$的(ii)和定理$1.2$的(iii).

若$u$是方程(1.4)的解, 则有(3.4)式成立. 又在(1.4)式左右乘$u$并积分得

将上式与(3.4)式联立, 消去$\lambda$, 并利用(2.2)式得

但显然$\mu \gamma_q\int_{\mathbb{R} ^N}\left|u\right|^q<0$, 矛盾! 则方程(1.4)无解.

另一方面,利用(2.2)式得, 对$\forall u\in \tilde{S_a}$有

且$\lim\limits_{s\rightarrow -\infty}E_\mu(s\star u)=0$, 故$m(a,\mu)=0$.

综上, 定理$1.1$的(ii)和定理1.2的(iii)证毕.

寻找问题(1.4)的基态解, 重点在能量泛函的下确界. 而如果泛函无下界, 则问题的可解性是不明确的. 本节将说明能量泛函无下界的情形, 证明定理$1.2$的(ii)和定理$1.3$.

定理1.2的(ii)的证明 对于$q=2+\frac{4}{N}$, 仿照引理$3.1$的方法. 这时$a=a^*$, 故取

直接计算得

令

则$\mu>\mu_3$时, 有$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}E_\mu(w_t)=-\infty$.

对于$q>2+\frac{4}{N}$, 记(2.2)式的达到函数为$w$, 注意到(2.2)式关于$u$齐次, 则不妨设$w\in S_{a^*}$. 直接计算得

注意到$q\gamma_q>2$, 显然有$\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}E_\mu(s\star w)=-\infty$.定理$1.2$的(\romannumeral2)证毕.

定理1.3的证明 由文献[8,定理1.9]知, $m(a,0)=-\infty$. 故$\exists u_0\in S_a$, 使$E_0(u_0)<0$. 直接计算得

注意到$q\gamma_q<N+2$, 显然有$\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}E_\mu(s\star u_0)=-\infty$.定理$1.3$证毕.