近年来, 随着金融市场的快速发展和人口老龄化的趋势不断加强, 养老保险制度在当今生活中发挥着越来越重要的作用. 目前, 确定缴费(DC)型养老金计划和确定收益(DB)型养老金计划是养老保险制度的两种主要表现形式. 由于DC型养老金计划的投资风险和长寿风险是由养老金参与者本身承担, 这比较符合当前的养老金管理机制. 同时, 许多国家都采用了DC型养老金计划. 因此, DC型养老金计划比DB型养老金计划在养老保险制度中更加受欢迎. 近年来, DC型养老金计划的最优投资和管理问题得到了金融界和保险界的广泛研究.

DC型养老金计划在资金积累阶段的投资管理问题主要集中在两种研究目标上. 第一种目标是最大化DC型养老金计划终端财富的期望效用. Guan和Liang^[8]讨论了具有随机波动率风险和随机利率风险的DC型养老金预期CRRA效用最大化问题. Mudzimbabwe^[20] 用跳跃扩散模型描述风险资产, 最大化DC型养老金终端财富的预期指数效用. 第二种目标是在均值-方差准则下研究DC 型养老金计划终端财富期望最大化和方差最小化问题. 目前, 有大量的文献研究了Markowitz^[19]提出的均值-方差投资组合问题. Li和Ng^[14]和Zhou和Li^[27]运用嵌入技术, 将均值-方差问题转化为随机线性二次控制问题, 得到了一个预承诺投资策略. 在多期均值-方差框架下, Yao等^[25]讨论了具有死亡风险和随机工资的养老金计划的最优投资问题. Guan和Liang^[9] 提出了均值回复股价模型, 考虑了具有随机利率的DC型养老金的均值-方差优化问题.

然而, 上述文献忽略了均值-方差优化问题的时间不一致性. 由于均值-方差目标函数中的方差项是关于期望的非线性函数, 它不满足迭代期望性质, Bellman 最优性原理不再成立. 因此, 均值-方差优化问题是时间不一致的. 上述文献中的预承诺策略是全局最优但时间不一致的投资策略, 即它在初始时刻是最优的, 在未来时刻它不一定仍然是最优的. 由于DC 型养老金计划的投资期限较长, 养老金管理者的偏好会随着时间的变化而发生改变, 因此他们更倾向于寻找一个时间一致的投资策略. 在博弈论框架内, Björk和Murgoci^[2]研究了一般的马尔可夫时间不一致随机控制问题, 寻求一个子博弈完美那什均衡投资策略. 随后, 许多学者在此基础上, 通过求解扩展的HJB方程系统, 得到了均值-方差问题的均衡投资策略(即时间一致性投资策略). 因此, 在DC型养老金的投资问题中, 均衡策略已经成为处理时间不一致性问题的主要方法. 在均值-方差框架下, Li 等^[15]考虑了具有违约风险和保费退还条款的DC型养老金计划. Wang等^[24]研究了部分信息下的DC型养老金的均衡投资策略.

由于部分养老金参与者可能在DC型养老金计划的资金积累阶段死亡, 为了保护这些养老金参与者的权利, 许多养老金管理者考虑了保费退还条款. 在保费退还条款中, 在退休前去世的养老金参与者可以提取他缴纳的全部保费或者按照预定利率积累的保费. 因此, 在DC型养老金的最优资产配置问题中, 养老金规模的变化不仅与死亡风险有关, 也与投资风险有关. 在DC型养老金计划的最优投资问题中, He和Liang^[10]首先引入了保费退还条款, 并且研究了均值- 方差问题. 此外, Li等^[15], Bian 等^[1], Chang 和Li^[3]等文献也都在均值-方差准则下考虑了保费退还条款.

在金融市场中, 错误定价现象是普遍存在的. 错误定价是指同一资产在不同的金融市场上具有不同的交易价格. 一些中国公司(例如中国银行和中国农业银行等)的股票在中国证券交易所(例如上海和深圳等)和香港证券交易所分别作为A 股和H股交易, 同时这两支股票的交易价格存在显著差异. 2015年, 中国政府开放了对中国大陆和香港金融市场的同步投资, 这意味着中国个人投资者可以在中国大陆和香港金融市场上同时进行股票交易. 因此, 在这种情况下, 一些投资者可以利用两个市场中的A 股和H股之间的价格差异, 通过做空定价过高的股票并且购买相同数量定价过低的股票来获得套利机会. Gu等^[6-7]考虑了具有错误定价和模糊厌恶的保险公司的最优比例再保险投资问题. Gu等^[6]进一步研究了具有错误定价和均值回归模型的保险公司的最优稳健再保险投资策略. 此外, Wang等^[21]和Wang等^[23]也都考虑了具有错误定价保险公司的投资问题. 上述研究都涉及到保险和再保险投资问题. 还有一些文献考虑错误定价下的DC型养老金问题. 在CRRA 效用函数下, Ma 等^[18]考虑了遵循 Heston 模型的风险资产价格过程, 研究了存在错误定价的DC 型养老金的资产配置问题. Liu等^[17]在HARA效用函数下讨论了存在错误定价的DC 型养老金的最优投资问题. 受上述文献的启发, 我们的目标是在均值-方差准则下, 为存在错误定价的DC型养老金导出时间一致的均衡投资策略.

由于Heston^[11]提出的Heston模型在Feller条件下几乎是处处非负的, 因此它在资产配置和衍生品定价的文献中广受欢迎. 然而, 当Heston模型被校准到真实数据时, Feller条件往往是不满足的. Heston^[12]提出了进一步克服Heston模型的局限性的$3/2$模型, 其中瞬时方差由 Cox-Ingersoll-Ross(CIR)过程的逆来建模. Grasselli^[5]提出的$4/2$模型是 Heston($1/2$) 模型和$3/2$模型的推广, 并且结合了Heston模型和$3/2$模型的优点, 使得新的模型有可能更好地预测隐含波动率曲面的演变. 目前$4/2$波动率模型在投资组合中已有较为广泛的应用. Cheng和Escobar^[4]讨论了$4/2$随机波动率模型的预期CRRA 效用最大化问题. Wang等^[22]考虑了均值-方差准则下具有$4/2$型随机波动率的投资再保险问题. Zhang^[26]考虑了具有$4/2$ 随机波动率和错误定价的动态最优均值-方差问题.

本文在均值-方差框架下, 引入了$4/2$随机波动率模型, 考虑了具有保费退还条款和错误定价的DC 型养老金的时间一致性投资策略. 这里采取的保费退还条款是将缴纳的保费全部退还给在退休前去世的养老金参与者, 并且将退还保费后的投资收益和保费积累之间的差额平均分配给幸存的养老金参与者. 本文在博弈论的框架内, 通过求解扩展的HJB方程系统得到了时间一致的均衡投资策略以及相应的均衡有效前沿的显性表达式. 最后, 通过一些数值模拟结果分析了错误定价, 保费退还和风险厌恶系数对均衡投资策略以及均衡有效前沿的影响. 因此, 本文的主要贡献有以下三个方面. (1) 假设金融市场中存在错误定价现象, 并且引入了一种新的随机波动率模型(即$4/2$模型)来描述市场指数. (2)考虑了保费退还条款, 同时考虑了投资风险和死亡风险. (3)我们得到了时间一致的均衡投资策略和有效前沿, 并且对一些模型参数进行了数值分析.

本文剩余研究内容如下. 在第2节中, 我们介绍了一些金融市场中的资产模型公式, 引入了保费返还条款, 得到了财富过程的表达式. 在第3节中, 我们得到了均值-方差优化问题的均衡投资策略以及相应的均衡有效前沿的表达式. 在第4节中, 我们对一些数值模拟结果进行了分析. 第5节是全文内容的总结.

定义$(\Omega,{\cal F},\left\{{\cal F}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}, P)$是一个满足通常条件的带域流的完备概率空间, 即域流 $\left\{{\cal F}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}$ 是右连续且$P$ -完备的, ${\cal F}_{t}$ 包含金融市场中$t$时刻之前可用的信息. 假设本文中所有随机过程和随机变量都在这个概率空间中定义, 且都适应域流$\left\{{\cal F}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}$, $W_{1}(t),~W_{2}(t),$$Z(t),~Z_{1}(t),~Z_{2}(t)$是五个相互独立的一维标准布朗运动.

假设金融市场上存在三种可连续进行交易的资产: 无风险资产(即现金或银行账户), 市场指数和一对错误定价的股票. 无风险资产$S_{0}(t)$的价格过程满足

其中, 常数$r>0$是无风险利率.

市场指数$S_{m}(t)$的价格过程满足$4/2$随机波动率模型(见Grasselli^[5])

其中, $S_{m}(0)=s_{m}>0$, $V(0)=v_{0}>0$, $c_{1},~c_{2}\geq0$, $\rho\in[-1,1]$. $\lambda>0$是一个常数, 表示超额收益的控制器. $V(t)$ 是股票收益的方差过程, 它由一个均值回复过程控制, $k>0$ 代表均值回复率, $\theta_{v}$ 代表长期均值, $\sigma_{v}$ 代表波动率. 另外, $V(t)$ 还遵循CIR模型, 并且满足Feller 条件, 即$2k\theta\geq\sigma^{2}$, 这保证了$V(t)>0$.

${\bf注2.1}$$4/2$随机波动率模型结合了Heston模型和$3/2$模型. 当$c_{1}=1,~c_{2}=0$时, 这个模型退化为Heston 模型 (见Heston^[11]), 即(2.2)式可以写成

当$c_{1}=0,~c_{2}=1$ 时, 这个模型退化为$3/2$模型(见Heston^[12]), 即(2.2)式可以写成

我们定义定价误差$M(t)$是通过耦合在一起的一对错误定价的股票$S_{1}(t)$, $S_{2}(t)$ 来构造的, 则

其中, $S_{1}(t)$, $S_{2}(t)$是一对错误定价的股票的价格过程, 它们满足下面的随机微分方程

其中，$l_{1}, l_{2}, \beta, \sigma$是常数, $Z(t), Z_{1}(t), Z_{2}(t)$是相互独立的一维标准布朗运动. $\beta(c_{1}\sqrt{V(t)}+\frac{c_{2}}{\sqrt{V(t)}}){\rm d}W_{1}(t)$ 表示市场的系统性风险, $\sigma {\rm d}Z(t)+b{\rm d}Z_{i}(t)$ 表示股票$i$的特殊风险, $i=1, 2$. $\sigma {\rm d}Z(t)$ 表示股票的共同风险, $b{\rm d}Z_{i}(t)$ 表示股票$i$产生的自有风险, $l_{i}M(t)$ 表示定价误差$M(t)$ 对第$i$个股票的影响, $i=1,~2$.

因此, 根据Itô公式, 我们可以得到定价误差$M(t)$满足

${\bf注2.2}$ 定价误差$M(t)$服从高斯均值回复过程(即Ornstein-Uhlenbeck过程), 它的长期均值为$0$, $l_{i}$, $i=1,~2$是控制定价误差均值回复率的流动性参数, 流动性参数越低, 定价误差回归长期均值$0$的速度越慢. 参数$l_{1},~l_{2}$ 不会同时等于$0$, 否则, 金融市场上的资产不会出现错误定价现象, 而这一对股票将会变成预期收益率相同但风险高于市场指数的两种资产, 这是不符合实际的. 如果$l_{1}+l_{2}<0$, 定价误差$M(t)$ 将会指数爆炸. 因此, 为了保障金融市场的稳定性, 我们假设$l_{1}+l_{2}>0$ (见Liu和Timmermann^[16]).

在DC型养老金计划中, 养老金参与者在资金累积期间需要对养老金账户进行连续的缴费. 假设养老金参与者在单位时间内的缴费金额是预先确定的, 记为常数$c$, 我们这里可以把缴款$c$ 看作是养老金的保费. 此外, 缴费期限为$T$ 年, 开始缴费年龄记为$w_{0}$, 退休年龄记为$w_{0}+T$. 假设金融市场中养老金管理者的投资交易活动连续发生, 且没有额外交易成本或税收. 定义一个投资策略$\pi=\{\pi(t)=:(\pi_{m}(t),\pi_{1}(t),\pi_{2}(t))\}_{t\in[T]}$, 其中$\pi_{m}(t),~\pi_{1}(t),~\pi_{2}(t)$ 和$\pi_{0}(t)=1-\pi_{m}(t)-\pi_{1}(t)-\pi_{2}(t)$ 分别为养老金计划管理者在$t$ 时刻投资于市场指数$S_{m}(t)$, 两个错误定价的股票$S_{1}(t)$, $S_{2}(t)$ 和无风险资产$S_{0}(t)$的财富比例. 假设养老金账户的初始财富为$x_{0}>0$, 养老金在$t$时刻关于策略$\pi$的财富过程记为$X^{\pi}(t)$. 考虑到在DC型养老金累积阶段可能会有部分养老金参与者死亡, 我们引入一个保费退还条款来保障他们的利益. 类似于He和Liang^[10], 时间间隔$[t,t+\frac{1}{n}]$ 内的财富过程$X^{\pi}(t+\frac{1}{n})$ 满足

其中

$\frac{c}{n}$表示在时间间隔$[t,t+\frac{1}{n}]$ 内的总保费, $_{\frac{1}{n}}q_{w_{0}+t}$ 是年龄为$w_{0}+t$ 的养老金参与者在接下来的$\frac{1}{n}$ 时间内死亡的概率. $a$是一个取值为1或0 的参数, 当$a=1$ 时, 考虑保费退还条款, 即将全部保费退还给在资金累积期间内死亡的养老金参与者; 当$a=0$ 时, 不考虑保费退还条款. 因此, $act_{\frac{1}{n}}q_{w_{0}+t}$表示从时刻$t$到时刻$t+\frac{1}{n}$ 应该退还给死亡的养老金参与者的总保费. $\frac{1}{1-{_{\frac{1}{n}}q_{w_{0}+t}}}\{X^{\pi}(t) (1+\bigtriangleup\delta^{\frac{1}{n}}_{t})+\frac{c}{n}\}$ 表示在退还保费后, 养老金的投资收益和保费累积之间的差额将由$t+\frac{1}{n}$时幸存的养老金参与者平均分配.

定义$f(t)$为$t$时刻的死亡力函数, ${_{t}p_{x}}$代表养老金参与者从年龄$x$活到年龄$x+t$ 的生存概率, 并且条件死亡概率满足$_{t}q_{x}=1-{_{t}p_{x}}=1-e^{-\int^{\frac{1}{n}}_{0}f(x+s){\rm d}s}$. 因此, 当$n\rightarrow\infty$ 时, 我们可以得到

以及

其中, $f(w_{0}+t)$在资金累积阶段比较小. 显然, 我们有

因此, (2.8)式可以写成

当$n\rightarrow\infty$时, $X^{\pi}(t)$满足

我们引入Abraham De Moivre 模型(Kohler和Kohler^[13])中的死亡力函数$f(t)$和生存函数$s(t)$, 它们的表达式分别为

其中, $w$为最大存活年龄. 因此, 财富过程$X^{\pi}(t)$满足下面的随机微分方程

其中, $u(t)=\pi_{m}(t)+\beta(\pi_{1}(t)+\pi_{2}(t))$.

${\bf定义2.1}$ (容许策略) 如果一个策略$\pi=\{\pi(t):=(\pi_{m}(t),\pi_{1}(t),\pi_{2}(t))\}_{t\in[T]}$满足下面三个条件, 则称$\pi$ 为容许策略,

(1) $\{\pi(t)\}_{t\in[T]}$是${\cal F}_{t}$ -循序可测的;

(2) $E_{t,x,v,m}\{\int^{T}_{0}[X^{\pi}(t)u(t)(c_{1}\sqrt{V(t)}+\frac{c_{2}}{\sqrt{V(t)}})]^{2}{\rm d}t\}<+\infty$, 且

(3) 对于任意的$(t,x,v,m)\in[T]\times {\Bbb R} \times {\Bbb R} ^{+}\times {\Bbb R}$, 随机微分方程(2.11)式有唯一的解.

此外, 我们这里定义DC型养老金计划的所有容许策略构成的集合为$\Pi$, 即$\pi\in\Pi$.

在这一部分, 我们考虑一个DC型养老金在均值-方差准则下的投资问题. DC型养老金管理者的目标是最大化终端财富的期望, 同时最小化终端财富的方差, 使得养老金账户在退休时的财富金额达到最高且投资风险达到最低. 假设养老金的终端财富为$X^{\pi}(T)$, 为了实现DC型养老金管理者的目标, 我们考虑下面的均值-方差优化问题, 即

其中, $E_{t,x,v,m}[\cdot]$和${\rm Var}_{t,x,v,m}[\cdot]$分别为条件期望和条件方差, 即$E_{t,x,v,m}[\cdot]=E_{t,x,v,m}[\cdot\mid X^{\pi}(t)=x,V(t)=v,M(t)=m]$, ${\rm Var}_{t,x,v,m}[\cdot]={\rm Var}[\cdot\mid X^{\pi}(t)=x,V(t)=v,M(t)=m]$, $\gamma$是风险厌恶系数.

在优化问题(3.1)中, ${\rm Var}_{t,x,v,m}[X^{\pi}(T)]=E_{t,x,v,m}[(X^{\pi}(T))^{2}]-(E_{t,x,v,m}[X^{\pi}(T)])^{2}$, 它是关于$E_{t,x,v,m}[X^{\pi}(T)]$的非线性函数, 不满足迭代期望性质. 因此, Bellman 最优性原理不再成立, 即优化问题(3.1)是时间不一致的. 一些研究者忽略了均值-方差优化问题的时间不一致性, 寻求一种预承诺投资策略来解决这个问题. 然而, 由于养老金管理者的风险偏好会随着时间的变化而不断改变, 预承诺投资策略仅在时刻$t$是最优的, 在未来时刻$s(>t)$ 不一定仍然是最优的, 这意味着预承诺投资策略是时间不一致策略. 对于一个理性的养老金管理者来说, 希望得到一个时间一致的投资策略. 在博弈论的框架内, Björk和Murgoci^[2]研究了时间不一致问题, 寻找一个纳什子博弈完美均衡点, 并且找到了一个时间一致的均衡策略.下面, 我们采用Björk和Murgoci^[2]给出的均衡策略和验证定理来求解优化问题(3.1).

${\bf定义3.1}$ (均衡策略) 对于任意给定的状态$(t,x,v,m)\in[T]\times {\Bbb R} \times {\Bbb R} ^{+}\times {\Bbb R}$, 以及一个给定的容许策略$\pi^{*}$, 定义策略如下

其中, $\overline{\pi}_{m}(\tau),~\overline{\pi}_{1}(\tau),~\overline{\pi}_{2}(\tau)\in {\Bbb R}$, 且它们都是容许策略, $\varepsilon\in{\Bbb R} ^{+}$.

如果有下式成立

则称$\pi^{*}$是一个均衡策略. 定义相应的均衡值函数为

定义3.1给出的均衡策略是时间一致的. 我们的目标是求解均值-方差优化问题(3.1), 并且找到均衡投资策略和相应的均衡值函数. 下面, 我们将均值- 方差优化问题(3.1)的目标函数定义为

其中, $F(\xi)=\xi-\frac{\gamma}{2}\xi^{2}$, $G(\xi)=\frac{\gamma}{2}\xi^{2}$. 因此, 优化问题(3.1)的均衡值函数可以写成

对于任意的$\varphi(t,x,v,m)\in C^{1,2,2,2}([T]\times{\Bbb R} \times{\Bbb R} ^{+}\times{\Bbb R} )$, 定义微分算子

其中, $C^{1,2,2,2}([T]\times{\Bbb R} \times{\Bbb R} ^{+}\times{\Bbb R} )=\{\varphi(t,x,v,m)\mid\varphi(t,\cdot,\cdot,\cdot)$ 在$[T]$上一阶连续可微, $\varphi(\cdot,x,v,m)$分别在${\Bbb R},{\Bbb R} ^{+},{\Bbb R}$ 上关于$x,v,m$ 二阶连续可微$\}$.

${\bf定理3.1}$ (验证定理) 假设存在两个实值函数$V(t,x,v,m),~g(t,x,v,m)\in C^{1,2,2,2}([T]\times{\Bbb R} \times{\Bbb R} ^{+}\times{\Bbb R} )$满足下面的扩展HJB方程系统

其中, 对于任意的$t,x,v,m\in [T]\times{\Bbb R} \times{\Bbb R} ^{+}\times{\Bbb R}$, 在策略$\pi^{*}$ 处(3.5)式中第一个方程实现最大值.

分别定义$G\diamond g$ 和${\cal H}g$ 为

其中, $G_{\xi}(\xi)=\frac{{\rm d}G}{{\rm d}\xi}(\xi)=\gamma\xi$. 因此, $g(t,x,v,m)=E_{t,x,v,m}[X^{\pi^{*}}(T)]$, $\pi^{*}$ 是均衡投资策略, $V(t,x,v,m)$ 是相应的均衡值函数.

${\bf证}$ 类似于Björk和Murgoci^[2]的定理4.1, 故这里省略.

在求解具有$4/2$随机波动率模型, 错误定价和保费退还条款的DC型养老金计划的均值-方差问题中, 我们首先简化定理3.1中的扩展HJB方程系统(3.5)式, 然后推导出均值-方差优化问题(3.1)的均衡投资策略和相应的价值函数.

${\bf命题3.1}$ 扩展HJB方程系统(3.5)式可以简化成

以及

其中, 边界条件为

${\bf证}$ 根据(3.4)式定义的微分算子, 我们可以得到

以及

其中, $(G\diamond g)(t,x,v,m)=G(g(t,x,v,m))$.

另外, 我们还可以得到

以及

由定理3.1知, $G_{\xi}(\xi)=\gamma\xi,~G_{\xi\xi}(\xi)=\gamma$. 将(3.9)-(3.12)式代入到定理3.1给出的扩展HJB方程系统(3.5)式中, 我们可以得到(3.6)式和(3.7)式.

${\bf定理3.2}$ 均值-方差优化问题(3.1)的均衡策略为

同时, 相应的均衡值函数$V(t,x,v,m)$为

以及在均衡策略$\pi^{*}$下的预期终端财富为

其中

${\bf证}$ 根据边界条件(3.8)的形式, 假设$V(t,x,v,m)$和$g(t,x,v,m)$是扩展HJB方程系统的解, 它们的表达式分别为

其中, 它们的边界条件为$A_{1}(T)=1,~B_{1}(T)=C_{1}(T)=D_{1}(T)=E_{1}(T)=0$, $A_{2}(T)=1,$$B_{2}(T)=C_{2}(T)=D_{2}(T)=E_{2}(T)=0$.

接下来, 我们分别对(3.24)式和(3.25)式关于$t,x,v,m$求一阶和二阶偏导数, 即

将上述各项偏导代入到(3.6)式和(3.7)式中, 可以得到

以及

根据一阶最优条件, 对(3.26)式分别关于$u,~\pi_{1},~\pi_{2}$求导可以得到

将(3.28)式代入到(3.26)式和(3.27)式, 可以得到

以及

分别分离(3.29)式和(3.30)式变量, 并且结合边界条件, 我们可以得到如下方程

通过求解(3.31)-(3.40)式, 我们可以得到(3.16)-(3.23) 式, 从而得到了$V(t,x,v,m)$, $g(t,x,v,m)$ 的显性表达式. 另外, 由于$u^{*}(t)=\pi^{*}_{m}(t)+\beta(\pi^{*}_{1}(t)+\pi^{*}_{2}(t))$, 则 $\pi^{*}_{m}(t)=u^{*}(t)-\beta(\pi^{*}_{1}(t)+\pi^{*}_{2}(t))$, 从而得到了均衡投资策略$\pi^{*}$的显性表达式.

${\bf注3.1}$ 我们注意到参数$a$只存在于$E_{1}(t)$和$E_{2}(t)$中, 在均衡策略(3.13)中不包含$a$. 因此, 是否考虑保费退还条款对均衡投资策略没有影响. 当$l_{1}=l_{2}>0$ 时, 从定理$3.2$ 中可以看出在$t$时刻养老金管理者对两个错误定价的股票的交易量是相同的, 即$|\pi^{*}_{1}(t)|=|\pi^{*}_{2}(t)|$, 而投资于市场指数的最优财富比例与错误定价无关. 也就是说, 养老金管理者同时买入定价过低的股票$S_{2}(t)$, 并卖出相同数量的定价过高的股票$S_{1}(t)$, 因此市场指数的交易量不发生改变.

${\bf注3.2}$ (无错误定价) 如果在金融市场中不考虑错误定价, 即$M(t)=0$及其相关参数均为$0$, 则养老金管理者只能将财富投资于金融市场中的无风险资产和市场指数. 在这种情况下, 我们将市场指数的投资比例记为$\widetilde{\pi}_{m}(t)$. 采用类似的方法, 我们发现$\widetilde{\pi}_{m}(t)=\frac{v(\lambda-B_{2}(t)\rho\sigma_{v})}{\gamma A_{2}(t)x(c_{1}v+c_{2})}$, 即对定理$3.2$中有关错误定价的参数$m,~l_{1},~l_{2}$取$0$ 时的结果. 特别地, 当$c_{1}=1,$$c_{2}=0$时, 我们可以得到Heston模型下没有错误定价的均衡投资策略; 当$c_{1}=0,$$c_{2}=1$ 时, 我们可以得到$3/2$模型下没有错误定价的均衡投资策略.

${\bf注3.3}$ 如果在金融市场中考虑错误定价, 市场指数的价格过程服从Heston模型, 即$c_{1}=1,~c_{2}=0$, 养老金管理者的目标是最大化终端财富的 CRRA效用函数, 这种情况下的结果与Ma等^[18]类似. 另外, 如果在金融市场中考虑错误定价, 市场指数的价格过程服从几何布朗运动模型, 即${\rm d}S_{m}(t)=S_{m}(t)[(r+\lambda){\rm d}t+\sigma_{m}{\rm d}W(t)]$, 养老金管理者的目标是最大化终端财富的HARA效用函数, 这种情况下的结果与Liu等^[17]类似.

${\bf注3.4}$ (均衡有效前沿) 根据(3.3)式以及定理3.2, 我们可以得到

其中

因此, 由(3.41)式, 我们有

从而有

特别地, 在时间$t=0$时, 对于(3.42)式我们有

在本节中, 我们将通过一些数值算例来展示风险厌恶系数, 错误定价和保费退还条款对上文中得到的均衡投资策略和相应的均衡有效前沿的影响. 除非另有说明, 模型的相关参数值设置为: $T=40,~w=100,~w_{0}=20,~c=1,~r=0.05,$ $\lambda=2.9428,$ $c_{1}=0.9051,$ $c_{2}=0.0023,$ $k=7.3479,~\theta_{v}=0.0328,~\sigma_{v}=0.6612,$ $\rho=-0.7689,~\beta=1.1,~\sigma=0.3,$ $b=0.3,~l_{1}=0.1,$ $l_{2}=0.2,$ $x_{0}=1,~v_{0}=0.02,~m_{0}=0.04,~\gamma=0.8$.

图1表明了风险厌恶系数$\gamma$和错误定价$m$对两只错误定价的股票的最优投资比例$\pi^{*}_{1},~\pi^{*}_{2}$ 的影响. 随着$m$的增加, 两只错误定价的股票的交易量都在不断增加. 养老金管理者通过增加对定价过低的股票$S_{2}(t)$ 的买入比例和定价过高的股票$S_{1}(t)$ 的卖出比例来实现更多套利, 这增加了养老金账户的财富水平. 图2 表明了风险厌恶系数$\gamma$ 和错误定价$m$ 对市场指数的最优投资比例$\pi^{*}_{m}$的影响. 随着$m$的增加, 养老金管理者投资于市场指数的财富比例小幅度的下降. 由于参数$l_{1}<l_{2}$, 这意味着买入股票$S_{2}(t)$ 的比例小于卖出股票$S_{1}(t)$的比例. 同时, 养老金管理者可能为了寻求更高的收益, 增加投资于错误定价的资产的财富量, 减少对于市场指数的交易量. 图1-2 表明, 随着$\gamma$ 的变大, 养老金管理者对风险的厌恶程度增加, 从而减少在风险资产的投资比例.

图3表明了当$l_{1}=l_{2}$时, 参数$l_{1},~l_{2}$和错误定价$m$对两只错误定价的股票的最优投资比例$\pi^{*}_{1},~\pi^{*}_{2}$的影响. 当$l_{1}=l_{2}$时, 定价过低的股票$S_{2}(t)$ 的买入比例和定价过高的股票$S_{1}(t)$ 的卖出比例是相同的. 同时, 随着流动性参数的变大, 定价误差向其长期均值0 的回复速度加快, 养老金管理者会担心失去错误定价股票的交易优势, 从而增加对错误定价的股票的交易量, 以获得更多的财富.

图4表明了风险厌恶系数$\gamma$对均衡有效前沿的影响. 随着风险厌恶系数$\gamma$的增加, 养老金管理者对风险的厌恶程度增加, 从而减少对于风险资产的投资, 并且增加对无风险资产的投资, 以得到相同的预期终端财富. 所以在相同的预期终端财富水平条件下, 终端财富方差会随着风险厌恶系数$\gamma$的增加而降低.

图5表明了无风险利率$r$对均衡有效前沿的影响. 当$r$变大时, 均衡有效前沿是递增的. 在相同的预期终端财富水平下, $r$ 越大终端财富方差越小. 这是由于随着无风险利率的增加, 养老金管理者可以在承担较小的风险的情况下, 增加投资于无风险资产的比例, 获得更多的终端财富.

图6表明了参数$l_{1}$对均衡有效前沿的影响. 当$l_{1}$变大时, 均衡有效前沿向上移动. 由于参数$l_{1}$ 表示控制定价误差均值回复率的流动性参数, 随着$l_{1}$ 的增大, 定价误差向其长期均值0的回复速度加快, 养老金管理者会增加定价过高的股票$S_{1}(t)$的卖出比例, 以获得更多的预期终端财富. 因此, 在相同的终端财富方差条件下, 预期终端财富水平随着$l_{1}$变大而增加.

图7表明了保费退还条款对均衡有效前沿的影响, 考虑保费退还条款(即$a=1$)的有效前沿低于不考虑保费退还条款(即$a=0$)的有效前沿. 由于考虑保费退还条款, 养老金管理者将保费退还给在资金积累期间死亡的养老金参与者, 这降低了养老金账户中的财富水平. 同时, 养老金管理者在未来还面临着更多的财富不确定性. 为了避免更高的投资风险, 养老金管理者倾向于将更多的财富投资于无风险资产, 从而减少对风险资产的投资比例, 这就导致了预期终端财富的下降.

本文在DC型养老金计划的均衡投资问题中引入了$4/2$ 随机波动率模型, 并且考虑了金融市场中的错误定价现象. 此外, 为了保障在资金积累期间死亡的养老金参与者的权利, 我们还考虑了保费退还条款. 本文在博弈论的框架内, 解决了时间不一致的均值-方差优化问题. 通过求解扩展HJB方程系统, 我们得到了考虑错误定价的DC型养老金的时间一致的均衡投资策略和均衡有效前沿的显性表达式. 另外, 我们也分析了一些特殊情况, 例如没有错误定价的情况. 最后, 通过一些数值模拟, 我们可以得出以下几点结论. (1)错误定价现象对养老金投资有着重要的影响. 在养老金累积阶段, 养老金管理者可以通过金融市场中的错误定价现象来获取套利机会, 获得更多的终端财富. (2)在初始时刻, 考虑保费退还条款的有效前沿低于不考虑保费退还条款的有效前沿. 同时, 保费退还条款对投资策略没有影响. (3) 随着风险厌恶系数的增大, 养老金管理者对风险的厌恶程度增加, 风险资产的投资比例也在不断下降. 在未来的研究中, 我们可以假设风险厌恶系数取决于当前财富状态, 将保费退还条款中的保费推广到随机保费.