1966 年, Fujita^[4] 开始研究以下柯西问题

对于 $N>1$ 和 $p>1,$ 以及柯西初值条件

他证明了上述问题存在一个临界指数(今天被称为Fujita指数)

使得方程 (1.1)对所有 $p>p^*(N)$ 存在一个全局解, 并且当 $1<p<p^*(N)$ 且满足一定初值假设下不存在全局解. 之后, Hayakawa^[5] 和 Sugitani^[10] 证明了在临界情形下$p=p^*(N)$上述问题的爆破结果. 最近, 在文献[1,6⇓-8] 中几位作者分别考虑了海森堡群和分层李群上 sub-Laplacian 算子的情况.

特别地, 在作者最近的工作文献[11]中, 我们考虑了 Rockland 热方程的柯西问题

与文献[4]中的结果相似, 我们也得到了 Fujita 指数 $p^*(Q,\alpha)\doteq1+\frac{\alpha}{Q}$, 其不仅依赖于群的齐次维数而且依赖于 Rockland 算子的阶数, 使得柯西问题 (1.2) 对于 $1<p<p^*(Q,\alpha)$ 不存在全局非平凡解.

因此, 存在一个非常自然的问题: 临界 Fujita 指数的爆破行为如何? 正如我们在文献[11] 中可以看到, 实验函数方法此时不起作用. 为了克服这一困难, 我们借用文献[10]中的想法来证明方程 (1.1) 对应的积分方程对于次临界和临界情况下的爆破分析, 其中热核起着重要作用. 此外, 目前还没有结果表明方程 (1.2) 和其积分方程之间的关系, 本文将填补此处空白.

实际上, 利用压缩映像原理相对容易证得方程 (1.2) 对于初值$(u_{0} \in L^{1} \cap L^{\infty})$ 和充分小时间$(T>0)$ 有一个唯一解 $(u \in C\left([0, T), L^{1} \cap L^{\infty}\right))$. 使用热核 $h(t,x)$ (见第二节) 的相关性质, 我们可以转化方程(1.2) 为 Duhamel 积分方程

但问题是"上述解在什么意义下满足原始 Rockland 热方程 (1.2)?" 换句话说, 方程 (1.3) 的解能获得多大程度的正则性? 我们将在第三节回答该问题.

我们的主要结果是给出了一个保证方程(1.2)的解在有限时间内爆破的条件.

${\bf定理1.1}$ 设分级李群 ${\Bbb G}$ 的齐次维数为 $Q \geq 2$. 假设 $u_{0}$ 是 ${\Bbb G}$ 上的一个非平凡的非负连续函数且 $1<p\leq p^*(Q,\alpha)$. 则柯西问题 (1.2) 的非负解 $u(x, t)$ 对某个时间$T_{0}>0$ 爆破, 即对每个 $t \geq T_{0}$ 和 $x \in {\Bbb G}$ 有 $u(t,x)=+\infty$.

我们首先回顾 ${\Bbb G}$ 是一个分级李群如果它对应的李代数 ${\mathfrak g}$ 拥有一个分级结构

其中 ${\mathfrak g}_{l}, l=1,2, \cdots,$ 是 ${\mathfrak g}$ 的向量子空间且几乎有限多等于$\{0\},$ 并且满足

如果 ${\mathfrak g}_1$ 通过李括号积的作用生成整个李代数 ${\mathfrak g}$ 则此时该群被称为分层李群. 固定李代数 ${\mathfrak g}$ 关于其分级结构的基底 $\left\{X_{1}, \cdots, X_{n}\right\}$. 根据指数映射 $\exp _{{\Bbb G}}: {\mathfrak g} \rightarrow {\Bbb G}$ 我们得到群 ${\Bbb G}$ 中的元素

一类如下形式的线性映射

被称为一族 ${\mathfrak g}$ 的扩张. 其中 $ A$ 是 ${\mathfrak g}$ 上具有正特征值的对角化线性算子. 每个 $D_{r}$ 都是李代数 ${\mathfrak g}$ 的同态, i.e., $D_{r}$ 是从 ${\mathfrak g}$ 到自身的线性映射且满足

这里和往常一样 $[X, Y]:=X Y-Y X$ 是李括号积. 我们可以通过指数映射延拓这些扩张到群 ${\Bbb G}$ 上

其中 $\nu_{1}, \cdots, \nu_{n}$ 是扩张的权重. 这些权重的和

被称为群 ${\Bbb G}$ 的齐次维数. 下面我们给出一些分级李群的例子.

${\bf例2.1}$ (阿贝尔群) 欧式空间 ${\Bbb R}^n$ 是一个分级李群, 其扩张由标量乘法给出: 它的李代数 ${\Bbb R}^n$ 是平凡分级的, i.e. $V_1 = {\Bbb R}^n$.

${\bf例2.2}$ (海森堡群) 令 $n$ 是一个正整数, 海森堡群 ${\Bbb H}^{n}$ 的底层流行为 ${\Bbb C}^{n} \times {\Bbb R} $ 并满足如下运算

海森堡群 ${\Bbb H}^{n}$ 是一个分级李群, 其扩张为

它的李代数 ${\mathfrak g}_{n}$ 可以被分解为

我们也回顾 ${\Bbb R} ^{n}$ 上的标准勒贝格测量 ${\rm d} x$ 是群 ${\Bbb G}$ 上的哈尔测度. 同时, 我们可以在齐次群 ${\Bbb G}$ 上定义一个齐次拟范数为从 ${\Bbb G}$ 到 $[0, \infty)$ 的连续函数 $x \mapsto|x|$ 并且满足对所有 $x \in {\Bbb G}$ 和 $r>0$, 有

(a) (对称性) $\left|x^{-1}\right|=|x|$,

(b) (齐次性) $|r x|=r|x|$,

(c) (非退化性) $|x|=0 $当且仅当 $ x=0$.

在本文后续, 我们定义 $r x=D_{r} x$ 为 $x$ 的扩张. 注意到群 ${\Bbb G}$ 的齐次维数, 我们有

${\bf定义2.1}$ 分级李群 ${\Bbb G}$ 上的 Rockland 算子是一个左不变微分算子 ${\cal R}$, 具有正齐次阶数并满足如下 Rockland 条件

(R) 对于 ${\Bbb G}$ 上的每个非平凡不可约酉表示 $\pi$, 算子 $\pi({\cal R}):= {\rm d}\pi({\cal R})$ (无穷小表示) 是 ${\cal H}_{\pi}^{\infty}$ 上的单射, 即

其中 ${\cal H}_{\pi}^{\infty}$ 是 $\pi$ 的所有光滑向量的空间, 意味着 $\pi(x)v\in{\cal H}_{\pi}$ 是 $C^{\infty}$ 类的.

${\bf例2.3}$ (1) 对于群 ${\Bbb G}={\Bbb R} ^{n}$, ${\cal R}$ 可以为任意常系数正齐次椭圆微分算子. 例如可以取

(2) 对于海森堡群 ${\Bbb G}={\Bbb H}^{n}$, 可以取

其中 ${\cal L}:=\sum\limits_{j=1}^{n}\left(X_{j}^{2}+Y_{j}^{2}\right)$, $X_{j}:=\partial_{x_{j}}-\frac{y_{j}}{2} \partial_{t}, Y_{j}:=\partial_{y_{j}}+\frac{x_{j}}{2} \partial_{t}$ 是左不变向量场;

(3) 对于由向量场 $X_{1}, \cdots, X_{k}$ 张成第一层的分层李群, 可以取

特别地, 对于 $m=1$, ${\cal R}$ 是一个正的二阶 sub-Laplacian 算子;

(4) 对于任意分级李群 ${\Bbb G}$ 以及扩张权重 $v_{1}, \cdots, v_{n}$, 固定李代数 ${\mathfrak g}$ 的基 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 并满足

其中 $D_{r}$ 为李代数的扩张. 如果 $v_{0}$ 是 $v_{1}, \cdots, v_{n}$ 的任意公倍数, 则算子

是一个 $2 v_{0}\doteq\alpha$ 阶的齐次 Rockland 算子.

${\bf注2.1}$ 从例子2.3 的构造中, 我们可以部分地回答为什么 Rockland 算子是有趣的. 事实上, 在欧式空间 ${\Bbb R} ^n$ 中, 我们有向量场 $\{\partial x_1,\cdots,\partial x_n\}$ 形成基底并且可以定义算子为 $\Delta=\sum\limits_{j=1}^{n}\partial x_j^2$, 这描述了在不同方向上的扩散具有相同的速率. 之后在由向量场 $X_{1}, \cdots, X_{k}$ 张成第一层的分层李群中, 我们可以定义 sub-Laplacian 算子${\cal L}=\sum\limits_{j=1}^{k}X_{j}^{2},$ 它描述了不同方向的扩散速度依赖于向量场. 进而对于更一般的带有扩张的分级李群 ${\Bbb G}$, Rockland 算子 ${\cal R}_x$ 可以描述不同方向的扩散具有不同的行为. 因此, 我们可以用 Rockland 算子通过热方程 $\partial_tu(t,x)={\cal R}_xu(t,x)$ 更精确地描述热的扩散.

在下文中, 我们将主要考虑例 2.3 $(4)$ 中所构造的 $\alpha$ 阶 Rockland 算子. ${\cal R}_{x}$ 的谱含于 $[0, \infty)$ 并且有

根据泛函分析的内容, 我们可以定义乘子

因此 $\left\{e^{-t {\cal R}_{x}}\right\}_{t>0}$ 是 $L^{2}({\Bbb G})$ 上的收缩半群算子且相关卷积核 $h_{t} \in {\cal S}^{\prime}(G), t>0$ 被称为热核. 我们总结其主要的性质如下.

${\bf命题2.1}$^[3] 令 ${\cal R}_x$ 是分级李群 ${\Bbb G}$ 上的 $\alpha$ 阶 Rockland 算子. 则 ${\cal R}_x$ 的热核 $h_{t}$ 满足如下性质. 每个函数 $h_{t}$ 是 Schwartz 并且有

(1) $h_th_s=h_{t+s},\quad t,s>0$;

(2) $h_{r^{\nu} t}(r x)=r^{-Q} h_{t}(x),\quad t,r>0,x\in{\Bbb G}$;

(3) $\int_{{\Bbb G}}h_{t}(x){\rm d}x=1$;

(4) 函数 $h: {\Bbb G} \times {\Bbb R} \rightarrow {\Bbb C}$ 定义为

在 $({\Bbb G}\times {\Bbb R} ) \backslash\{(0,0)\}$ 上光滑且满足

其中 $\delta_{0,0}$ 是在 $(0,0) \in {\Bbb G} \times {\Bbb R} $ 点的delta 分布, 这也被称为基本解;

(5) 固定 ${\Bbb G}$ 上的齐次范数 $|\cdot|$, 对任意的 $N \in {\Bbb N}_{0}, \alpha \in {\Bbb N}_{0}^{n}$ 和 $\ell \in {\Bbb N}_{0}$ 有

${\bf命题2.2}$ 令 $h(t,x)$ 为方程 (2.1) 的基本解, 则

(a) $h(ts,x)=t^{-\frac{Q}{\alpha}} h\big(s,t^{-\frac{1}{\alpha}}x\big)$;

(b) $h(t,x)\geq\left(\frac{s}{t}\right)^{-\frac{Q}{\alpha}}h(s,x)$,对所有 $t \geq s$;

(c) 若 $h(t,0) \leq 1$ 且 $\tau \geq 2,$ 则 $h\left(t,\frac{1}{\tau}(y^{-1}x)\right) \geq h(t,x)h(t,y)$.

${\bf注2.2}$ 注意到 $h(t,0)$ 是关于 $t$ 的衰减函数且 $h(t,x)$ 是关于 $|x|$ 的衰减函数, 尽管我们还不知道其确切的衰减率, 但这也是分级李群热核的一个非常有趣的公开问题.

${\bf引理3.1}$ 令 $\varphi \in C_{0}\left({\Bbb G}\right) $, $S(t)\varphi=\varphi\ast h_t$. 则有

此外若令 $\varphi \in L^{p}\left({\Bbb G}\right), 1 \leq p<\infty $, 则有

${\bf证}$ 令 $\varphi \in C_{0}\left({\Bbb G}\right).$ 则 $\varphi$ 在 ${\Bbb G}$ 上一致连续. 因此对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得若 $\rho\left(w^{\prime}\right) \leq \delta$, 则有

另一方面, 根据命题 2.1, 有

因此利用 (3.1) 和 (3.2)式有

因为 $\varepsilon>0$ 是任意的且

我们证得第一条性质.

令 $\varphi \in L^{p}\left({\Bbb G}\right).$ 因为空间 $C_{0}\left({\Bbb G}\right)$ 在 $L^{p}\left({\Bbb G}\right)$ 中稠密, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\psi \in C_{0}\left({\Bbb G}\right)$ 使得 $\|\varphi-\psi\|_{p}<\varepsilon.$ 通过三角不等式有

利用 Young 不等式, 我们可以估计(3.3)式右边的第一项

因此根据 (3.3)式有

因为 $\varepsilon>0$ 是任意的且根据第一条性质第二项当 $t \rightarrow 0+$ 时亦趋于零.引理证毕.

${\bf定理3.1}$ 设 $1<p, q<\infty$ 且 $T>0$ 或 $T=\infty.$ 假设在非齐次 Rockland 热方程的Cauchy问题中

$u_{0}$ 和 $f$ 满足 $u_{0} \in L^{p}\left({\Bbb G}\right)$ 和 $f(t) \in C\left((0, T), L^{p}\left({\Bbb G}\right)\right) \cap L^{q}\left((0, T), L^{p}\left({\Bbb G}\right)\right).$ 如果我们令

则 $u$ 满足如下条件

(i) $u(x, t) \in C\left([0, T), L^{p}\left({\Bbb G}\right)\right)$,

(ii) $u(x, t)$ 是 $u_{t}+{\cal R}_x u=f$ 分布意义下的解,

(iii) $\lim\limits_{t \rightarrow 0+}\left\|u(\cdot, t)-u_{0}\right\|_{p}=0$.

${\bf证}$ (i) 我们仅考虑非线性项, 第一项是显然的. 设

\begin{eqnarray*} v(w, t)=\int_{0}^{t} S(t-\sigma) f(\sigma) {\rm d}\sigma. \end{eqnarray*}

根据 Minkowski 不等式有

利用控制收敛定理可得

和

我们考虑 I 中 $t_{2} \rightarrow t_{1}$ 的情形. 利用 Young 不等式有

事实上, 如果我们取 $q^{\prime}=\frac{q}{q-1}$, 则根据 Hölder 不等式对 $0<t_{1}<T$ 有

利用控制收敛定理可得

接下来考虑 I 中 $t_{1} \rightarrow t_{2}$ 的情形. 令

则我们可以表示 I 为

因为 $0 \leq \chi_{\left(t_{1}, t_{2}\right)}(\sigma) \leq 1$, 对 $0<\sigma \leq t_{1}<t_{2}$ 我们有

且

利用控制收敛定理可得

因此有 $\lim\limits_{t_{1} \rightarrow t_{2}} I=\lim\limits_{t_{2} \rightarrow t_{1}} I=0$. 另一方面, 因为

我们有 $\lim\limits_{t_{1} \rightarrow t_{2}} {\rm II}=\lim\limits_{t_{2} \rightarrow t_{1}} {\rm II}=0.$ 因此可得

从而得证第一个结论.

(ii) 设

根据 Minkowski 不等式有

因此对任意 $\varphi \in C_{0}^{\infty}\left({\Bbb G} \times(0, T)\right)$ 可得

另一方面, 利用 Hölder 不等式 $\big(\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1\big)$ 和命题 2.1(5) 可得

因此

从而

利用散度定理^[9], 对于 $\varphi \in C_{0}^{\infty}\left({\Bbb G} \times(0, T)\right)$ 有

因此

从而

利用 (3.4) 和 (3.5)式可得

设

根据命题 2.1(4) 有

利用 (3.5) 和 (3.6)式有

从而完成 (ii) 的证明.

(iii) 由引理 3.1 有

根据 Minkowski不等式和 Hölder 不等式, 可得

因此

从而完成定理 3.1 的证明.

本节中我们开始处理如下 Rockland 热方程柯西问题正解的爆破分析

其中 ${\cal R}_{x}$ 是定义于例 2.3 (4) 中的 $\alpha$ 阶 Rockland 算子. 假设初值 $u_0$ 是定义在群 ${\Bbb G}$ 上的连续函数. 我们首先给出该方程弱解的定义及相关性质.

${\bf定义4.1}$ 一个局部可积函数 $u \in L_{{\rm loc }}^{p}(\Omega_T)\left(\Omega_T=(0, T)\times{\Bbb G}\right)$ 被称为方程 (4.1) 在 $\Omega_T$ 中关于初值 $u_{0} \in L_{{\rm loc }}^{1}({\Bbb G})$ 的弱解如果有等式

对于如下正则函数成立

其中 $H^{\alpha}\left({\Bbb G}\right)$ 是关于 Rockland 算子 ${\cal R}_{x}$ 的标准齐次 Sobolev 空间, $\varphi(x, T)=0, \varphi \geq 0.$ 如果 $T=+\infty$ 则该解被称为全局解.

利用热核 $h(t,x)$, 我们可以转化 (4.1) 为 Duhamel 积分方程

我们的主要结果给出了一个保证 (4.1) 的解在有限时间内爆破的条件.

${\bf定理4.1}$ 设分级李群 ${\Bbb G}$ 的齐次维数 $Q \geq 2$. 假设 $u_{0}$ 是 ${\Bbb G}$ 上非平凡非负连续函数, $0<p\leq p^*(Q,\alpha)\doteq\frac{\alpha}{Q}$$(0<\frac{pQ}{\alpha}\leq1)$. 则柯西问题 (4.1) 的非负解 $u(x, t)$ 关于时间 $T_{0}>0$ 爆破, 即对 $t \geq T_{0}$ 和 $x \in {\Bbb G}$ 有 $u(t,x)=+\infty$.

该定理证明的思路是先证明如下函数

在有限时间内爆破, 这由下面的引理给出.

${\bf引理4.1}$ 设 $u(t,x)$ 为方程 (4.1) 的非负解. 则下面两个结论等价

(i) $u(t,x)$ 爆破;

(ii) $f(t)$ 爆破.

${\bf证}$ 只需要证 (ii) 蕴含 (i). 假设 $h\left(T_{1}, 0\right)$$\leq 1$. 则由命题 2.2 可知对任意 $t \geq T_{1}$ 有 $h(t, 0) \leqq 1$. 如果 $T_{1} \leq t \leq s \leq \frac{8}{2^{\alpha}+1} t$ 且 $\tau=\left(\frac{8t-s}{s}\right)^{\frac{1}{\alpha}}\geq2$, 则

因此

另一方面, 根据(4.3)式有

最后, 应用 Jensen 不等式可得

因此对任意的 $t \geq8T_{1}$ 和 $x \in {\Bbb G}$ 有 $u(t,x)=+\infty$.证毕.

${\bf引理4.2}$ 设 $u(t,x)$ 为 (4.1)式的非负解, 则存在 $t_{0}>0, c>0$ 和 $\delta>0$ 使得

${\bf证}$ 设 $t_{0}>0$ 使得 $h\left(t_{0},0\right) \leq 1.$ 由命题 2.2 有

因此

从而

其中 $\delta=\frac{t_{0}}{2^{\alpha}}>0$ 且 $c=\int{{\Bbb G}} 2^{-Q} h\left(t_{0},2y\right) u_{0}(y){\rm d}y$. 证毕.

${\bf 定理4.1 的证明}$ 根据引理 4.1, 只需要研究 $f(t)$ 的大时间行为. 设 $t_{0}$ 使得引理 4.2 成立, 由 (4.3)式可知对于 $t>0, x \in{\Bbb G}$ 有

由引理 4.2可得

通过比较只需要证明如下方程

的解 $v(t,x)$ 爆破或者根据引理 4.1有 $f(t)=\int_{{\Bbb G}}h(t,x) v(t,x) {\rm d} x$ 在有限时间内爆破.

在 (4.4)式两边乘以 $h(t,x)$ 并积分有

令 $\theta>0$ 为一固定常数. 如果对于 $t \geq \theta$ 令

则有

令 $f_{2}$ 为一个解

等价于

于是有

其中

因为 $\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} H(t)=+\infty$, by $\frac{pQ}{\alpha}<1$, 所以存在 $T_{0}$ 使得

于是有

并且 $u(t,x)$ 在有限时间内爆破. 因此定理 4.1的证明完成.