数学物理学报, 2023, 43(3): 743-753

相对论 Nordström-Vlasov 方程解的正则性

陈蕊娟,1, 何映羲,2, 肖梅霞,1,*

1武汉纺织大学数理科学学院, 非线性研究中心 武汉 430200

2Business School, University of Essex Wivenhoe Park, Colchester CO4 3SQ

Regularity of the Solutions to the Nordström-Vlasov System

Chen Ruijuan,1, He YingXi,2, Xiao Meixia,1,*

1Research Center of Nonlinear Science, School of Mathematical and Physical Sciences, Wuhan Textile University, Wuhan 430200

2Essex business school, University of essex Wivenhoe Park, Colchester CO4 3SQ

通讯作者: *肖梅霞, E-mail: xiao_meixia@163.com

收稿日期: 2022-01-26   修回日期: 2022-10-28  

基金资助: 国家自然科学基金(12001406)
湖北省教育厅科学技术研究项目(B2021095)

Received: 2022-01-26   Revised: 2022-10-28  

Fund supported: NSFC(12001406)
Science and Technology Research Project of Education Department of Hubei Province(B2021095)

作者简介 About authors

陈蕊娟,E-mail:ruijuanchen@hust.edu.cn;

何映羲,E-mail:yh20602@essex.ac.uk

摘要

该文研究的是相对论 Nordström-Vlasov 方程整体解的正则性问题. 这个动力学模型是经典的 asov-Poisson 方程在引力情况下的相对论推广, 描述了无碰撞粒子通过自身诱导的向量引力场之间的相互作用. 通过傅里叶分析和低速粒子的光滑效应, 该文得到了一个弱解正则性结果.

关键词： Nordström-Vlasov 方程; 正则性; 傅里叶分析

Abstract

In this paper, we investigate the Nordström-Vlasov system in the whole space. The kinetic model is a relativistic generalization of the classical Vlasov-Poisson system in the gravitational case and describes the ensemble motion of collisionless particles interacting by means of a self-consistent scalar gravitational field. With the Fourier analysis and the smoothing effect of low velocity particles, we get a regularity of weak solutions for the field.

Keywords： Nordström-Vlasov system; Regularity; Fourier analysis

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本文引用格式

陈蕊娟, 何映羲, 肖梅霞. 相对论 Nordström-Vlasov 方程解的正则性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(3): 743-753

Chen Ruijuan, He YingXi, Xiao Meixia. Regularity of the Solutions to the Nordström-Vlasov System[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(3): 743-753

1 引言

假定 $\Psi=\Psi(t,x,v)\geq0$ 是粒子在相空间的概率密度, 其中 $t\in{\Bbb R} $, $x\in{\Bbb R} ^{N}$, $v\in{\Bbb R} ^{N}$ 分别表示时间, 位置, 动量. Vlasov 方程就是 $\Psi(t,x,v)$ 所满足的一类非线性微分积分方程, 它与其他动力学方程不同之处在于粒子之间的碰撞很少, 以至于这个影响可以忽略不计. 粒子只受到它们自身产生的场的作用, 场的不同取决于不同的物理问题, 从而产生不同的数学模型.

这类无碰撞的动力学模型经常被用在等离子体和天体物理方面. 如果粒子之间受到的是引力场的作用, 在非相对论意义下得到的是经典 Vlasov-Poisson 方程[1-2], 在相对论意义下获得的是 Einstein-Vlasov 方程[3]. 然而, 对于经典 Vlasov-Poisson 方程已经研究得比较透彻, 但是 Einstein-Vlasov 方程一直是一个难题, 没有太大的进展. Einstein-Vlasov 方程的难点在于 Einstein 向量场方程是双曲的和高度非线性的, 为了克服这一难点, Calogero S[4]考虑用 Nordström G 标量场[5]来取代复杂的 Einstein 向量场, 得到了一个不同的相对论模型, 即 Nordström-Vlasov 方程

$\begin{equation}\label{VKG} \left\{ \begin{array}{l} \partial_{t}\Psi+{\rm p}\cdot\nabla_{x}\Psi-[(S\Theta)v+\frac{\nabla_x \Theta}{\sqrt{1+|v|^2}}]\cdot\nabla_{v}\Psi=4\Psi S\Theta,\\ \partial_{t}^{2}\Theta-\Delta_{x}\Theta=-\int\frac{\Psi}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v, \end{array} \right. \end{equation}$

其中 $\Psi=\Psi(t, x, v)$ 表示粒子的密度分布函数, $\Theta=\Theta(t, x)$ 表示的是由粒子自身诱导的向量引力场. 且 ${\rm p}=\frac{v}{\sqrt{1+|v|^2}}$ 是相对速度, $S=\partial_t+{\rm p}\cdot\nabla_{x}$ 是自由传输算子. 本文考虑的是初值为

$\begin{equation}\label{VKG1} \Psi(0, x, v)=\Psi^{in}(x, v), \hspace{4mm} \Theta(0, x)=\Theta^{in}_{0}(x), \hspace{4mm} \partial_{t}\Theta(0, x)=\Theta^{in}_{1}(x) \end{equation}$

的相对论 Nordström-Vlasov 方程柯西问题弱解的正则性.

由于相对论 Nordström-Vlasov 方程的建立相对较晚, 所以它的研究结果还很少, 但是也已经得到了部分研究成果. Calogero S[4]提出该方程, 介绍了其背景, 为后面研究相对论 Nordström-Vlasov 方程奠定了基础, 同时得到了标量引力下该方程球对称稳态解的存在性。2003 年 Calogero S 和 Rein G[6]采用 Calogero S 和 Rein G[7]的思想证明了三维情况下, 初值满足 $ \Psi^{in}\in C_{c}^{1}({\Bbb R} ^{6})$, $\Theta_{0}^{in}\in C_{b}^{3}({\Bbb R} ^{3})$, $\Theta_{1}^{in}\in C_{b}^{2}({\Bbb R} ^{3})$, 古典解的局部存在和唯一, 同时建立了解能延拓的一个充分条件: $P(t)+Q(t)<\infty $ (其中 $P(t)=\sup\{|p|:0\leq s<t,(x,p)\in {\rm supp}\Psi(s)\},Q(t)=\sup\{|\Theta(s,x)|:0\leq s<t,(x,p)\in {\rm supp}\Psi(s)\}$); 很有意思的是, 当改变场方程中右端项的符号（即斥力）时, 在大初值的条件下, 解是爆破的; 最后还得到了一维的全局古典解的存在和唯一性.

2006 年, Pallard C[8]在三维情况下, 证明了局部古典解延拓到全局的一个充分条件:$P(t)<\infty$. 同时当初值满足 $ \Psi^{in}\in C_{c}^{1}({\Bbb R} ^{6})$, $\Theta_{0}^{in}\in C_{b}^{3}({\Bbb R} ^{3})\cap H^{1}({\Bbb R} ^{3})$, $\Theta_{1}^{in}\in C_{b}^{2}({\Bbb R} ^{3})\cap L^{2}({\Bbb R} ^{3})$, Calogero S[9]得到了古典解的全局存在性. 全局存在性问题还有一些其它的结果, 如小初值问题[10], 球对称解[11], 二维情况古典解[12]和三维弱解[13]. 关于一维的情形, Bostan M[14]得到了一维的温和解. Nordström-Vlasov 方程和经典 Vlasov-Poisson 方程虽然是两个不同的系统, 但是在文献 [15]中可以看到, 当光速趋于无穷时, Nordström-Vlasov 方程的解逐点收敛到经典 Vlasov-Poisson 方程的解, 得到了类似于相对论意义下的 Vlasov-Maxwell 系统的结果[16]. 对于 Nordström-Vlasov 方程还有一些相关的研究, 如静态的边值问题[17]及其 Virial 不等式[18].

本文中, 我们得到了关于场的一个正则性结果, 具体内容如下.

${\bf定理1.1}$ 假设 $(\Psi^{in}, \Theta^{in}_{0}, \Theta^{in}_{1})$ 满足

$ 0\leq \Psi^{in}\in L_{kin}^{1}({\mathbb R}^{6})\cap L^{\infty}({\mathbb R}^{6}), \hspace{4mm} \Theta^{in}_{0}\in H^{2}({\mathbb R}^{2}), \hspace{4mm} \Theta^{in}_{1}\in H^{1}({\mathbb R}^{3}). $

设 $(\Psi, \Theta)$ 是方程 (1.1)-(1.2) 的弱解, 使得 $\Psi\in L^{\infty}([0, \infty)$, $ L^{\infty}\cap L_{kin}^{1}({\mathbb R}^{6}))$, $ \Theta\in L^{\infty}([0, \infty)$, $H^{1}({\mathbb R}^{3}))$, $ \partial_{t}\Theta, \nabla_{x}\Theta\in L^{\infty}([0, \infty)$, $ L^{2}({\mathbb R}^{3}))$. 如果动能密度满足 $ s\in(1, \frac{4}{3}]$,

$ \int_{{\Bbb R} ^{3}}\sqrt{1+|v|^2}\Psi {\rm d}v\in L_{loc}^s({\Bbb R} _+\times{\Bbb R} ^{3}), $

则场有正则性

$ \Theta\in L_{loc}^{2}([0, \infty), H^{1+\theta}_{loc}({\mathbb R}^{3}))\cap H_{loc}^{1}([0, \infty), H^{1}_{loc}({\mathbb R}^{3})), $

其中 $\theta<\frac{3s-3}{2+3s}$.

2 定理1.1的证明

${\bf证}$ 根据波算子的基本解[19], 可以得到关于场的基本表达式

$\begin{matrix}\label{field1} \Theta(t,x)&=&\int_{{\Bbb R} ^{3}} e^{ix\cdot\xi}\Big(\cos(|\xi|t)\widehat{\Theta_0^{in}}(\xi)+\frac{\sin(|\xi|t)}{|\xi|}\widehat{\Theta_1^{in}}(\xi)\Big){\rm d}\xi\nonumber\\ &&+\int_{{\Bbb R} ^{3}}e^{ix\cdot\xi}\int_{0}^{t}\frac{\sin(|\xi|(t-\tau))}{|\xi|}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\frac{\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v{\rm d}\tau {\rm d}\xi, \end{matrix}$

其中 $\widehat{\Theta_0^{in}}$, $\widehat{\Theta_1^{in}}$ 和 $\widehat{\Psi}$ 是 $\Theta_0^{in}$, $\Theta_1^{in}$ 和 $\Psi$ 关于 $x$ 的傅里叶形式, 对于 $g\in L^1({\mathbb R}^{3})$ 傅里叶变换定义为

$ \widehat{g}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{{\mathbb R}^{3}}g( y)e^{-iy\cdot\xi}{\rm d}y, \ \ g(y)=\int_{{\mathbb R}^{3}}\widehat{g}(y)e^{iy\cdot\xi}{\rm d}\xi. $

由于需要得到关于时间和空间的局部估计, 于是在方程(2.1)两边同时乘以测试函数 $\eta=\eta(t, x)\in {\cal D}({\mathbb R}_+\times{\mathbb R}^{3})$, 可以得到

$\begin{eqnarray*} \Theta_\eta(t,x)=:\Theta_{0}-\Pi^{-}+\Pi^{+}+\Xi, \end{eqnarray*}$

其中

$ \Theta_{0}=\int_{{\Bbb R} ^{3}} \eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}\Big(\cos(|\xi|t)\widehat{\Theta_0^{in}}(\xi)+\frac{\sin(|\xi|t)}{|\xi|} \widehat{\Theta_1^{in}}(\xi)\Big){\rm d}\xi, $
$ \Pi^{-}=\int_{{\Bbb R} ^{3}}\int_{0}^{t}\eta(t,x)\frac{e^{ix\cdot\xi-i(|\xi|(t-\tau))}}{2i|\xi|}\int_{|v|\leq R}\frac{\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v{\rm d}\tau {\rm d}\xi, $

$ \Pi^{+}=\int_{{\Bbb R} ^{3}}\int_{0}^{t}\eta(t,x)\frac{e^{ix\cdot\xi+i(|\xi|(t-\tau))}}{2i|\xi|}\int_{|v|\leq R}\frac{\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v{\rm d}\tau {\rm d}\xi, $v

$ \Xi=\int_{{\Bbb R} ^{3}}\int_{0}^{t}\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}\frac{\sin(|\xi|(t-\tau))}{|\xi|}\int_{|v|> R}\frac{\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v{\rm d}\tau {\rm d}\xi. $

下面分别做这四个部分的估计.

对于初值的部分, 注意到

$\begin{eqnarray*} \Theta_{0} =\int_{{\Bbb R} ^{3}} \eta(t,x)\cos(|\xi|t)e^{ix\cdot\xi}\widehat{\Theta_0^{in}} (\xi){\rm d}\xi +\int_{{\Bbb R} ^{3}}\eta(t,x)\frac{\sin(|\xi|t)}{|\xi|}e^{ix\cdot\xi}\widehat{\Theta_1^{in}}(\xi){\rm d}\xi \end{eqnarray*}$

和其中两个拟微分算子的象征分别属于 $S^{0}$ 和 $S^{-1}$, 则由拟微分算子的标准结论[20]知

$\begin{equation}\label{fc00190} \|\Theta_{0}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))} \leq C(T, \eta,\| \Theta^{in}_{0}\|_{H^{2}({\mathbb R}^{3})}, \| \Theta^{in}_{1} \|_{H^{1}({\mathbb R}^{3})}). \end{equation} $

于是 $\Theta_{0}$ 关于时间 $t$ 求导得

$\begin{eqnarray*} \partial_t\Theta_{0} &=&\int_{{\Bbb R} ^{3}} \partial_t\eta(t,x)\cos(|\xi|t)e^{ix\cdot\xi}\widehat{\Theta_0^{in}} (\xi){\rm d}\xi -\int_{{\Bbb R} ^{3}}\eta(t,x)\sin(|\xi|t)|\xi|e^{ix\cdot\xi}\widehat{\Theta_0^{in}}(\xi){\rm d}\xi\\ &&+\int_{{\Bbb R} ^{3}} \partial_t\eta(t,x)\frac{\sin(|\xi|t)}{|\xi|}e^{ix\cdot\xi}\widehat{\Theta_1^{in}} (\xi){\rm d}\xi +\int_{{\Bbb R} ^{3}}\eta(t,x)\cos(|\xi|t)e^{ix\cdot\xi}\widehat{\Theta_1^{in}}(\xi){\rm d}\xi. \end{eqnarray*}$

由于 $\partial_t\Theta_{0}$ 中的四个拟微分算子分别属于 $S^{0}$, $S^{1}$, $S^{-1}$ 和 $S^{0}$, 则有

$\begin{equation}\label{fc001} \|\partial_t\Theta_{0}\|_{L^2((0, T);H^{1}({\mathbb R}^3))} \leq C(T, \eta,\| \Theta^{in}_{0}\|_{H^{2}({\mathbb R}^{3})}, \| \Theta^{in}_{1} \|_{H^{1}({\mathbb R}^{3})}). \end{equation} $

由于 $\Pi^{-}$ 和 $\Pi^{+}$ 处理方法类似, 令 $\Pi=\Pi^{-}$, 下面求 $\Pi$ 的估计. 已知

$ \Pi=\frac{1}{2i}\int_{{\Bbb R} ^{3}}\int_{|v|\leq R}\int_{0}^{t}e^{i|\xi|\tau}\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v){\rm d}\tau \frac{e^{ix\cdot\xi-i|\xi|t}}{|\xi|\sqrt{1+|v|^2}}\eta(t,x){\rm d}v {\rm d}\xi, $

由分部积分, 我们有

$\begin{eqnarray*}\label{fourier00} \int_{0}^{t}e^{i|\xi|\tau}\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v){\rm d}\tau =\frac{1}{i|\xi|}\Big(\widehat{\Psi}e^{i|\xi|\tau}\Big|_0^t -\int_0^te^{i|\xi|\tau}\partial_\tau\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v){\rm d}\tau\Big). \end{eqnarray*}$

对方程(1.1) 中 Vlasov 方程关于 $\xi$ 做傅里叶变换有

$\begin{equation}\label{fourier0011} \partial_t\widehat{\Psi}=-i\xi\cdot {\rm p}\widehat{\Psi}+\Big(v\cdot\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \nabla_v\widehat{\Psi}+\sqrt{1+|v|^2}\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \nabla_v\widehat{\Psi}\Big) +\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}+{\rm p}\cdot\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}. \end{equation}$

从而易得到

$\begin{eqnarray*}\label{fangcheng001} &&\int_{0}^{t}e^{i|\xi|\tau}\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v){\rm d}\tau\nonumber\\ &=&\frac{1}{i|\xi|(1- w\cdot {\rm p})}\Big[(\widehat{\Psi}e^{i|\xi|\tau})\Big|_0^t-\int_0^te^{i|\xi|\tau}\Big(\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}+{\rm p}\cdot\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}\Big)(\tau,\xi,v){\rm d}\tau\nonumber\\ &&-\int_0^te^{i|\xi|\tau}\Big(v\cdot\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \nabla_v\widehat{\Psi}+\sqrt{1+|v|^2}\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \nabla_v\widehat{\Psi}\Big)(\tau,\xi,v){\rm d}\tau\Big]. \end{eqnarray*}$

将上式代入 $\Pi$, 由分部积分知

$\begin{eqnarray*}\label{fangcheng0872} \Pi &=&-\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\widehat{\Psi}e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi}\Big|_0^t{\rm d}v{\rm d}\xi\nonumber\\ &&+\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2(1- w\cdot {\rm p})}e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi}\nu(v){\rm p}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}(\tau,\xi,v){\rm d}\tau {\rm d}\xi {\rm d}S_v\nonumber\\ &&+\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2(1- w\cdot {\rm p})}e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi}\nu(v)\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}(\tau,\xi,v){\rm d}\tau {\rm d}\xi {\rm d}S_v\nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}\frac{2(1- w\cdot {\rm p})+{\rm p}(w-{\rm p})}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2} {\rm d}\tau {\rm d}\xi {\rm d}v\nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi}\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}\frac{w-{\rm p}}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2} {\rm d}\tau {\rm d}\xi {\rm d}v\nonumber\\ &=:&\Pi_{1}+\Pi_{2}+\Pi_{3}+\Pi_{4}+\Pi_{5}, \end{eqnarray*}$

其中 $\nu(v)=\frac{v}{|v|}$ 是单位向量.

下面分别估计 $\|\Pi_{i}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}$ 和 $\|\partial_t\Pi_{i}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}$, 其中 $i=1,2,3,4$. 设

$ \widehat{g_{*}}(\xi,\tau)=\int_{|v|\leq R}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)\frac{2(1- w\cdot {\rm p})+{\rm p}(w-{\rm p})}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2} {\rm d}v $

和 $\varphi(t,\tau,x,\xi)=|\xi|(t-\tau)-x\cdot\xi$, 则有

$\begin{eqnarray*}\label{fangcheng00400} \Pi_{4}=-\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{-i\varphi(t,\tau,x,\xi)} \widehat{g_{*}}(\xi,\tau){\rm d}\xi {\rm d}\tau. \end{eqnarray*}$

依据傅里叶积分算子的标准结论[20], Plancherel 定理和柯西不等式有

$\begin{eqnarray*}\label{fangcheng004} &&\|\Pi_{4}(t)\|^2_{H^2({\mathbb R}^3)}\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta)\int_0^t\|g_{*}(\tau)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}{\rm d}\tau \leq C(T, \eta)\int_0^t\|\widehat{g_{*}}(\tau)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}{\rm d}\tau\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta)\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}|\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}|^2{\rm d}v{\rm d}\xi\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\Big|\frac{2(1- w\cdot {\rm p})+{\rm p}(w-{\rm p})}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2}\Big|^2 {\rm d}v{\rm d}\tau\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta)\int_0^t\|\partial_t \Theta(\tau) \|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\|\Psi^{in} \|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}R^3\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{3}{(1+|v|^2)(1- w\cdot {\rm p})^2} {\rm d}v{\rm d}\tau\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta)\|\partial_t \Theta \|^2_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}\|\Psi^{in} \|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}R^{\frac{20}{3}}, \end{eqnarray*}$

从而可以得到

$ \|\Pi_{4}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}\leq C\left(T, \eta, \|\partial_t \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\right)R^{\frac{10}{3}}. $

对 $\Pi_{4}$ 关于 $t$ 求导, 有

$ \partial_t\Pi_{4}=-\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{ix\cdot\xi} \widehat{g_{*}}(\xi,t){\rm d}\xi -\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\Big(\frac{\partial_t\eta}{|\xi|^2}-\frac{i\eta}{|\xi|}\Big)e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi} \widehat{g_{*}}(\xi,\tau){\rm d}\xi {\rm d}\tau. $

由拟微分算子和傅里叶积分算子的理论结果[20], Plancherel 定理和柯西不等式知

$\begin{eqnarray*} \|\partial_t\Pi_{4}\|^2_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))} &\leq& C(T, \eta)\int_0^t\|g_{*}(\tau)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}{\rm d}\tau\\ &\leq& C(T, \eta)\|\partial_t \Theta \|^2_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}\|\Psi^{in} \|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}R^{\frac{20}{3}}, \end{eqnarray*}$

其蕴含着

$ \|\partial_t\Pi_{4}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\partial_t \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^{\frac{10}{3}}. $

类似于 $\Pi_{4}$ 的方法, 我们有

$ \|\Pi_{5}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\nabla_x \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^{\frac{10}{3}} $

和

$ \|\partial_t\Pi_{5}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\nabla_x \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^{\frac{10}{3}}. $

如果记

$ \widehat{g_{\flat}}(\tau,\xi)=\int_{|v|= R}\nu(v)\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)\frac{1}{1-w\cdot {\rm p}}{\rm d}S_v, $

则有

$ \Pi_{3} =\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi} \widehat{g_{\flat}}(\tau,\xi){\rm d}\tau {\rm d}\xi. $

由傅里叶积分算子的理论结果[20]和 Plancherel 定理有

$\begin{eqnarray*} \|\Pi_{3}(t)\|^2_{H^2({\mathbb R}^3)} &\leq& C(T, \eta)\int_0^t\|g_{\flat}(\tau)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}{\rm d}\tau \leq C(T, \eta)\int_0^t\|\widehat{g_{\flat}}(\tau)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}{\rm d}\tau\\ &\leq& C(T, \eta)\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}|\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}|^2{\rm d}S_v{\rm d}\xi\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}\frac{1}{(1- w\cdot {\rm p})^2 }{\rm d}S_v{\rm d}\tau\\ &\leq& C(T, \eta)\|\nabla_x \Theta \|^2_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}\|\Psi^{in} \|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}R^{6} \end{eqnarray*}$

和

$ \|\Pi_{3}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\nabla_x \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^{3}. $

由 $\Pi_{3}$ 的表达式, 我们可以得到

$ \partial_t\Pi_{3}=\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{ix\cdot\xi} \widehat{g_{\flat}}(\xi,t){\rm d}\xi +\frac{1}{2}\int_0^t\int_{{\mathbb R}^3}\Big(\frac{\partial_t\eta}{|\xi|^2}-\frac{i\eta}{|\xi|}\Big)e^{-i|\xi|(t-\tau)+ix\cdot\xi} \widehat{g_{\flat}}(\xi,\tau){\rm d}\xi {\rm d}\tau. $

由拟微分算子和傅里叶积分算子的理论结果[20], Plancherel 定理和柯西不等式知

$ \|\partial_t\Pi_{3}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\nabla_x \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^{3}. $

类似于 $\Pi_{3}$, 可以得到

$ \|\Pi_{2}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}+\|\partial_t\Pi_{2}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\partial_t \Theta \|_{L^2((0,T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in} \|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^{3}. $

接下来是 $\Pi_{1}$ 的估计. 首先

$\begin{eqnarray*} \Pi_{1} &=&-\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\widehat{\Psi}(t,\xi,v)e^{ix\cdot\xi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\widehat{\Psi}^{in}(\xi,v)e^{-i|\xi|t+ix\cdot\xi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &=:&-\Pi_{11}+\Pi_{12}. \end{eqnarray*}$

记 $\widehat{g_{\natural}}(t,\xi)=\int_{|v|\leq R}\frac{\widehat{\Psi}(t,\xi,v)}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}{\rm d}v $, 则

$ \Pi_{11}=\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\widehat{g_{\natural}}(t,\xi)e^{ix\cdot\xi}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}{\rm d}\xi. $

根据拟微分算子, Plancherel 定理和 Cauchy-Schwarz 不等式有

$\begin{eqnarray*} \|\Pi_{11}(t)\|^2_{H^2({\mathbb R}^3)} &\leq&C(\eta)\|g_{\natural}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\leq C(\eta)\|\widehat{g_{\natural}}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\\ &\leq&C(\eta)\|\widehat{\Psi}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^6)}\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{1}{(1+|v|^2)(1- w\cdot {\rm p})^2 }{\rm d}v\\ &\leq&C(\eta,\|\Psi^{in}\|^2_{L^2({\mathbb R}^6)})R^\frac{11}{3}, \end{eqnarray*}$

其蕴含着

$\begin{equation}\label{fangcheng081} \|\Pi_{11}\|_{L^2((0,T); H^2({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta,\|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)}\Big)R^\frac{11}{6}. \end{equation}$

基于(2.4)式, 可以得到

$\begin{eqnarray*} \partial_t\Pi_{11} &=&\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\partial_t\eta(t,x)}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\widehat{\Psi}(t,\xi,v)e^{ix\cdot\xi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &&-\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}i{\rm p}\cdot \xi \widehat{\Psi}(t,\xi,v)e^{ix\cdot\xi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2(1- w\cdot {\rm p})}\Big({\rm p}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \nabla_v\widehat{\Psi}+\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \nabla_v\widehat{\Psi}\Big){\rm d}v{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\Big(\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}+{\rm p}\cdot\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}\Big){\rm d}v{\rm d}\xi\\ &=:&{\cal I}_1+{\cal I}_2+{\cal I}_3+{\cal I}_4. \end{eqnarray*}$

注意到 ${\cal I}_1$ 的拟微分算子的象征是属于 $S^{-2}$, 利用类似于(2.5)式的分析方法可以得到

$ \|{\cal I}_1\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)}\Big)R^{\frac{11}{6}}. $

${\cal I}_2$ 定义的拟微分算子的象征属于, 类似于 ${\cal I}_1$ 有

$\begin{eqnarray*} \|{\cal I}_2\|^2_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))} &\leq&C(T, \eta)\|\Psi(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^6)}\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{{\rm p}}{(1+|v|^2)(1- w\cdot {\rm p})^2} {\rm d}v\\ &\leq& C(T, \eta)\|\Psi^{in}\|^2_{L^2({\mathbb R}^6)}R^\frac{11}{3}. \end{eqnarray*}$

利用分部积分, 有

$\begin{eqnarray*} {\cal I}_3 &=&\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2}\frac{v}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\nu(v)\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}S_v{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2}\frac{1}{1- w\cdot {\rm p}}\nu(v) \widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}S_v{\rm d}\xi\\ &&-\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2}\frac{3(1- w\cdot {\rm p})+{\rm p}(w-{\rm p})}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &&-\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2}\frac{w-(w\cdot {\rm p}){\rm p}}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2}\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &=:&{\cal I}_{31}+{\cal I}_{32}+{\cal I}_{33}+{\cal I}_{34}. \end{eqnarray*}$

记 $ {\cal I}_{31} =\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{ix\cdot\xi} \widehat{g_{\dagger}}(\tau,\xi) {\rm d}\xi, $ 其中 $ \widehat{g_{\dagger}}(\tau,\xi)=\int_{|v|= R}\frac{v}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})} \nu(v)\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}S_v. $ 根据拟微分算子, Plancherel 定理和 Cauchy-Schwarz 不等式有

$\begin{eqnarray*} \|{\cal I}_{31}(t)\|^2_{H^1({\mathbb R}^3)} &\leq&C(\eta)\|g_{\dagger}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\leq C(\eta)\|\widehat{g_{\dagger}}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\\ &\leq&C(\eta)\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}|\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}|^2{\rm d}S_v{\rm d}\xi\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|= R}\frac{1}{(1- w\cdot {\rm p})^2 }{\rm d}S_v\\ &\leq&C(\eta)\|\Psi^{in}\|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\|\partial_t\Theta(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}R^6 \end{eqnarray*}$

和

$ \|{\cal I}_{31}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^3. $

对于 ${\cal I}_{32}$, 类似于 $\|{\cal I}_{31}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}$ 的方法可以得到

$ \|{\cal I}_{32}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^3. $

定义

$ \widehat{g_{\dagger}}(\tau,\xi)=\int_{|v|\leq R}\frac{3(1- w\cdot {\rm p})+{\rm p}(w-{\rm p})}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}v. $

由标准拟微分算子的结论[20], Plancherel 定理, Cauchy-Schwarz 不等式有

$\begin{eqnarray*} \|{\cal I}_{33}(t)\|^2_{H^1({\mathbb R}^3)} &\leq&C(\eta)\|g_{\dagger}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\leq C(\eta)\|\widehat{g_{\dagger}}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\\ &\leq&C(\eta)\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}|\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}|^2{\rm d}v{\rm d}\xi\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\Big|\frac{3(1- w\cdot {\rm p})+{\rm p}(w-{\rm p})}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})^2}\Big|^2 {\rm d}v\\ &\leq&C(\eta)\|\Psi^{in}\|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\|\partial_t\Theta(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}R^\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

和

$ \|{\cal I}_{33}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^\frac{10}{3}. $

类似于 ${\cal I}_{33}$ 知

$ \|{\cal I}_{34}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C\Big(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big)R^\frac{10}{3}. $

因此有

$ \|{\cal I}_3\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)})R^\frac{10}{3}. $

直接地, 有

$\begin{eqnarray*} {\cal I}_4&=&\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{\eta(t,x)e^{ix\cdot\xi}}{|\xi|^2\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}{\rm p}\cdot\widehat{\nabla_x \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}v{\rm d}\xi\\ &=:&{\cal I}_{41}+{\cal I}_{42}. \end{eqnarray*}$

令

$ \widehat{g_{*}}(\tau,\xi)=\int_{|v|\leq R}\frac{1}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}{\rm d}v, $

有

$ {\cal I}_{41} =\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{ix\cdot\xi} \widehat{g_{*}}(\tau,\xi) {\rm d}\xi. $

根据拟微分算子的标准结论[20], Plancherel 定理和 Cauchy-Schwarz 不等式有

$\begin{eqnarray*} \|{\cal I}_{41}(t)\|^2_{H^1({\mathbb R}^3)} &\leq&C(\eta)\|g_{*}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\leq C(\eta)\|\widehat{g_{*}}(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\\ &\leq&C(\eta)\int_{{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}|\widehat{\partial_t \Theta}\ast_{\xi} \widehat{\Psi}|^2{\rm d}v{\rm d}\xi\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\Big|\frac{1}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}\Big|^2 {\rm d}v\\ &\leq&C(\eta)\|\Psi^{in}\|^2_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\|\partial_t\Theta(t)\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}R^\frac{20}{3}, \end{eqnarray*}$

从而有

$ \|{\cal I}_{41}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)})R^\frac{10}{3}. $

类似地, 有

$ \|{\cal I}_{42}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C(T, \eta, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)})R^\frac{10}{3}. $

因此, 可以得到

$ \|{\cal I}_4\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^\frac{10}{3})}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)})R^\frac{10}{3}. $

综上所述, 有

$\begin{eqnarray*}\label{fangcheng083} &&\|\partial_t\Pi_{11}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)},\|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)})R^\frac{10}{3}. \end{eqnarray*}$

记

$ \widehat{g_{£}}(\xi)=\int_{|v|\leq R}\frac{\widehat{\Psi}^{in}(\xi,v)}{\sqrt{1+|v|^2}(1- w\cdot {\rm p})}{\rm d}v, $

则有

$ \Pi_{12}=\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\widehat{g_{£}}(\xi)\frac{\eta(t,x)}{|\xi|^2}e^{ix\cdot\xi-i|\xi|t}{\rm d}\xi. $

根据傅里叶积分算子的结论[20], Plancherel 定理和 Cauchy-Schwarz 不等式知

$\begin{eqnarray*} \|\Pi_{12}(t)\|^2_{H^2({\mathbb R}^3)} &\leq&C(\eta)\|g_{£}\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\leq C(\eta)\|\widehat{g_{£}}\|^2_{L^2({\mathbb R}^3)}\\ &\leq&C(\eta)\|\Psi^{in}\|^2_{L^2({\mathbb R}^6)}\sup\limits_{\xi\in{\mathbb R}^3}\int_{|v|\leq R}\frac{1}{(1- w\cdot {\rm p})^2} {\rm d}v\\ &\leq&C(\eta)\|\Psi^{in}\|^2_{L^2({\mathbb R}^6)}R^5 \end{eqnarray*}$

和

$\begin{equation}\label{fangcheng082} \|\Pi_{12}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}\leq C(T, \eta, \|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)})R^\frac{5}{2}. \end{equation}$

对 $\Pi_{12}$ 关于时间求导得

$ \partial_t\Pi_{12} =\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}^3}\widehat{g_{£}} %\int_{{\mathbb R}^3}\widehat{g_£} (\xi)\frac{\partial_t\eta-i|\xi|\eta}{|\xi|^2}e^{ix\cdot\xi-i|\xi|t}{\rm d}\xi. $

类似于 $\|\Pi_{12}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}$ 知

$\begin{equation}\label{fangcheng084} \|\partial_t\Pi_{12}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))} \leq C(T, \eta, \|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)})R^\frac{5}{2}. \end{equation} $

结合 (2.5)-(2.7)式知

$ \|\Pi_{1}\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}\leq C(T, \eta, \|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)})R^\frac{5}{2} $

和

$\begin{eqnarray*} &&\|\partial_t\Pi_{1}\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\\ &\leq &C(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)},\|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)})R^{\frac{5}{2}}. \end{eqnarray*}$

综上有

$\begin{matrix}\label{cf003} &&\|\Pi\|_{L^2((0, T);H^2({\mathbb R}^3))}+\|\partial_t\Pi\|_{L^2((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta, \|\partial_t\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\nabla_x\Theta\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)},\|\Psi^{in}\|_{L^2({\mathbb R}^6)})R^\frac{10}{3}\nonumber\\ &\leq& C(T, \eta,\| \Theta^{in}_{0}\|_{H^{2}({\mathbb R}^{3})}, \| \Theta^{in}_{1} \|_{H^{1}({\mathbb R}^{3})}, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)},\|\Psi^{in}\|_{L_{kin}^{1}({\mathbb R}^{6})})R^\frac{10}{3}. \end{matrix}$

接下来将要估计 $\Xi$. 首先 $\Xi$ 可以写成

$\begin{eqnarray*} \Xi =\int_{{\Bbb R} ^{3}}\int_{0}^{t}e^{ix\cdot\xi}\frac{\sin(|\xi|(t-\tau))}{|\xi|}\widehat{b}(t,\tau,x,\xi){\rm d}\tau {\rm d}\xi, \end{eqnarray*}$

其中 $\widehat{b}(t,\tau,x,\xi)=\int_{|v|> R}\frac{\widehat{\Psi}(\tau,\xi,v)\eta(t,x)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v$. $\Xi$ 可以看成是下面向量方程的解

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \partial_{t}^{2}\Xi(t,x)-\Delta_{x}\Xi(t,x)=b(t,x),\\ \Xi(0, x)=0,\\ \partial_{t}\Xi(0, x)=0.\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

假设 $b\in L^2((0, T); L^2({\Bbb R} ^3))$, 由文献[21]知, 上面的波方程存在唯一的弱解使得 $\Xi\in L^2((0, T);$$H^1({\mathbb R}^3))\cap L^\infty((0, T); H^1({\mathbb R}^3))$, $\partial_t\Xi\in L^2((0, T);L^2({\mathbb R}^3)) \cap L^\infty((0, T);L^2({\mathbb R}^3))$ 和

$ \|\Xi\|^2_{H^1((0, T)\times{\Bbb R} ^3)}\leq\int_0^T\int_0^t\|b(s)\|^2_{L^2({\Bbb R} ^3)}{\rm d}s{\rm d}t. $

下面将做 $ b$ 在 $L^2((0, T); L^2({\Bbb R} ^3))$ 上的估计. 根据 Plancherel 定理和柯西不等式, 对 $\varphi(\xi)\in L^2({\Bbb R} ^3)$ 有

$\begin{matrix}\label{fangcheng02090} \langle b(\sigma), \varphi \rangle_{L^2, L^2}=\langle \widehat{b}(\sigma), \widehat{\varphi} \rangle_{L^2, L^2} \leq C(\eta)\|\varphi\|_{L^2({\mathbb R}^3)}\Big\|\int_{|v|> R}\frac{\Psi(\tau,x,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v\Big\|_{L_{x}^2({\mathbb R}^3)}. \end{matrix} $

由于

$\begin{eqnarray*} \int_{{\Bbb R} ^3}\frac{\Psi(\tau,x,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v &=&\int_{|v|\leq R}\frac{\Psi(\tau,x,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v+\int_{|v|> R}\frac{\Psi(\tau,x,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v\\ &\leq&C\|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}R^2+\frac{1}{R^\alpha}\int_{|v|> R}(\sqrt{1+|v|^2})^{\alpha-1}\Psi {\rm d}v\\ &\leq&C\|\Psi^{in}\|^{\frac{\alpha}{\alpha+2}}_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big(\int_{{\Bbb R} ^3}(\sqrt{1+|v|^2})^{\alpha-1}\Psi {\rm d}v\Big)^{\frac{2}{\alpha+2}}, \end{eqnarray*}$

则对 $\alpha \in[1, 2)$ 有

$\begin{matrix}\label{yinli03} &&\Big\|\int_{|v|\geq R}\frac{\Psi(\tau,x,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v\Big\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}\nonumber\\ &\leq&C\|\Psi^{in}\|^{\frac{\alpha}{\alpha+2}}_{L^\infty({\mathbb R}^6)}\Big\|\int_{|v|\geq R}(\sqrt{1+|v|^2})^{\alpha-1}\Psi {\rm d}v\Big\|^{\frac{2}{\alpha+2}}_{L^{\frac{4}{\alpha+2}}((0, T)\times{\mathbb R}^3)}\nonumber\\ &\leq&C\|\Psi^{in}\|^{\frac{\alpha}{\alpha+2}}_{L^\infty({\mathbb R}^6)}R^{\frac{2(\alpha-2)}{\alpha+2}}\Big\|\int_{|v|\geq R}\sqrt{1+|v|^2}\Psi {\rm d}v\Big\|^{\frac{2}{\alpha+2}}_{L^{\frac{4}{\alpha+2}}((0, T)\times{\mathbb R}^3)}. \end{matrix}$

利用(2.9)和(2.10)式知

$\begin{eqnarray*} \|b\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)} &\leq&C(\eta)\Big\|\int_{|v|\geq R}\frac{\Psi(\tau,x,v)}{\sqrt{1+|v|^2}}{\rm d}v\Big\|_{L^2((0, T)\times{\mathbb R}^3)}\\ &\leq&C\Big(\eta, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}, \Big\|\int_{|v|\geq R}\sqrt{1+|v|^2}\Psi {\rm d}v\Big\|_{L^{\frac{4}{\alpha+2}}((0, T)\times{\mathbb R}^3)}\Big)R^{\frac{2(\alpha-2)}{\alpha+2}}. \end{eqnarray*}$

于是有

$\begin{matrix}\label{fc002} \|\Xi\|_{H^1((0, T)\times{\mathbb R}^3)} &\leq& C\Big(T, \eta, \|\Psi^{in}\|_{L^\infty({\mathbb R}^6)}, \Big\|\int_{|v|\geq R}\sqrt{1+|v|^2}\Psi {\rm d}v\Big\|_{L^{\frac{4}{\alpha+2}}((0, T)\times{\mathbb R}^3)}\Big)R^{\frac{2(\alpha-2)}{\alpha+2}}\nonumber\\ &\leq& C R^{\frac{2(\alpha-2)}{\alpha+2}}, \end{matrix}$

其中 $C$ 仅依赖初值.

因此, 将 $\Theta_\eta$ 分成 $\Theta_{0}-\Pi^{-}+\Pi^{+}$ 和 $\Xi$ 两部分. 根据 (2.2), (2.3)和(2.8)式有

$ \|\Theta_{0}-\Pi^{-}+\Pi^{+}\|_{L^2((0, T);H^{2}({\mathbb R}^3))}+\|\partial_t\Theta_{0}-\partial_t\Pi^{-}+\partial_t\Pi^{+}\|_{L^2((0, T);H^{1}({\mathbb R}^3))}\leq CR^\frac{10}{3}, $

其中 $C$ 仅依赖初值. 利用(2.11)式和插值定理[22]有 $ \|\Theta_\eta\|_{L^2((0, T);H^{1+\theta}({\mathbb R}^3))}\leq CR^{\frac{10}{3}\theta+2(1-s)(1-\theta)}, $ 由 (2.3), (2.8), (2.11)式和 $\theta<\frac{3s-3}{2+3s}$ 有 $ \|\Theta_\eta\|_{H^1((0, T);H^1({\mathbb R}^3))}\leq C. $ 证毕.

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