1 引言
本文在区域$\Omega_{T}=\left\{(t,x,y)| 0\leq t\leq T, 0\leq x\leq L, 0\leq y<\infty \right\}$
(1.1) $\begin{matrix} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}u+u\partial_{x}u+v\partial_{y}u-\frac{1}{\rho}\partial^{2}_{y}u=-\frac{\partial_{x}P(\rho)}{\rho},\\[2mm] \partial_{x}(\rho u)+\partial_{y}(\rho v)=-\partial_{t}\rho,\\ u|_{y=0}=v|_{y=0}=0, \quad \lim\limits_{y\to \infty}u=U(t,x),\\ u|_{t=0}=u_{0}(x,y),\quad u|_{x=0}=u_{1}(t,y), \end{array}\right. \end{matrix}$
这里$u(t,x,y)$ $v(t,x,y)$ $\rho(t,x),U(t,x),P(\rho)$ $\left\{y=0\right\}$
(1.2) $\begin{matrix}\label{Bernoulli} \partial_{t}U+U\partial_{x}U+\frac{\partial_{x}P(\rho)}{\rho}=0. \end{matrix}$
流体的压力$P(\rho)$ $\rho$ $0<\rho_{0}\leq\rho$ $\rho_{0}$ $\partial_{x}P>0$ $\partial_{x}\rho>0$ .
Ludwig Prandtl于1904年在文献[21 ]中首次提出边界层的相关理论, Prandtl得到一个退化的抛物方程与椭圆方程耦合的方程组, 即著名的Prandtl方程. 至今为止, 许多学者建立了Prandtl边界层的数学理论. 在文献[19 -20 ]中, Oleinik和Samokhin假设初始值$u_{0}$ $u_{1}$
(1.3) $\begin{matrix}\label{initial} u_{0}(x,y)>0,\quad u_{1}(t,y)>0, \quad \forall t\in[L], y\in[0,+\infty) \end{matrix}$
(1.4) $\begin{matrix}\label{monotonic} \partial_{y}u_{0}(x,y)>0,\quad \partial_{y}u_{1}(t,y)>0, \quad \forall t\in[L], y\in[0,+\infty), \end{matrix}$
然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ].
二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ].
边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
因为(1.1)式是一个退化的抛物方程与椭圆方程耦合的方程组, 因此不能直接利用抛物型方程的极值原理, 所以需要在单调性假设(1.4)下, 利用Crocco变换
将方程(1.1)变为在区域$\Omega^{*}_{T}=\left\{0\leq\tau\leq T, 0\leq\xi \leq L, 0\leq\eta<1\right\}$
(1.5) $\begin{matrix}\label{Crocco} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{\tau}\omega+\eta U\partial_{\xi}\omega+A\partial_{\eta}\omega+B\omega= \frac{1}{\rho}\omega^{2}\partial_{\eta}^{2}\omega,\\[3mm] \omega\partial_{\eta}\omega|_{\eta=0}=\frac{\partial_{\xi}P}{U}, \quad \omega|_{\eta=1}=0,\\[3mm] \omega|_{\tau=0}=\omega_{0}=\frac{\partial_{y}u_{0}}{U},\quad \omega|_{\xi=0}=\omega_{1}=\frac{\partial_{y}u_{1}}{U}, \end{array}\right. \end{matrix}$
${\bf定理1.1}$ $(\rho,U)$
若单调性条件(1.4)成立, 函数$(u, v)\in C^{2}(\Omega_{T})$ $\partial_{y} u(t,x,y)$ $t\in(0,T)$ $\left\{y=0\right\}$
(1.6) $\begin{matrix}\label{comm} \partial_{x}P>0,\quad \forall t\in[T], x\in[L], \end{matrix}$
(1.7) $\begin{matrix}\label{first} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{L}\frac{(L-x)^{\frac{3}{2}}\partial_{y}u_{0}}{\sqrt{(\partial_{y}u_{0})^{2}+ u_{0}^{2}}}{\rm d}x{\rm d}y\geq C^{*}, \end{matrix}$
这里$C^{*}$ $L, T, U, \rho $ $\partial_{x}P$ $(t_{*}, x_{*})\in(0,T)\times[L]$
并且有$\partial_{y}^{2}u(t_{*}, x_{*}, 0)\ne0.$
${\bf注1.1}$
(1) 相对于经典的二维非稳态Prandtl方程而言, 可压流不再有$\partial_{x}u+\partial_{y}v=0$ $B$ $\eta^{3}$ $D_{4}$ 31 ]中经典Prandtl方程得到的结果有所提升.这是因为本文在证明$\omega$ $H(\tau, \xi, \eta)$ 31 ]构造的函数$f(\tau, \xi, \eta)=e^{-N\tau}\omega^{2}$
(2) 此外, 定理第二部分说明即使对于可压缩边界层, 只要压力满足逆压梯度条件和初始值满足一定的增长条件, 就有可能发生倒流, 并且这里有$\partial_{y}^{2}u(t_{*}, x_{*}, 0)=\partial_{x}P(t_{*}, x_{*})\ne0$
本文随后几节的安排如下: 在第2节中将利用极值原理证明如果倒流点出现, 那么一定先出现在边界. 然后在第3节将在(1.6)和(1.7)式的假设下, 通过构造Lyapunov泛函来证明倒流点的存在性. 最后在第4节将给出倒流点存在的实例.
2 倒流点首次出现的位置
本节将通过构造适当的函数, 然后利用抛物型方程的极值原理来证明倒流点如果出现, 那么一定先出现在边界.
${\bf定理2.1}$ $(u,v)\in C^{2}(\Omega_{T})$ $\partial_{y}u(t,x,y)=0$ $\left\{y=0\right\}$ .
${\bf证}$ $(t_{0}, x_{0}, y_{0})(0<t_{0}<T, 0\leq x\leq L, 0<y_{0}<\infty$ ) , 即有
上式意味着在$(\tau_{0}, \xi_{0}, \eta_{0})$ $\left\{\eta=1\right\}$ $\Omega_{0}$
(2.1) $\begin{matrix}\label{com} \inf_{(\tau, \xi, \eta)\in\Omega_{0}}\omega(\tau, \xi, \eta)=0. \end{matrix}$
此外, 对于任意的$0\leq t< t_{0}$
(2.2) $\begin{matrix} \omega(\tau, \xi, \eta)>0, \mbox{在}\left\{(\tau, \xi, \eta)|0\leq \tau<\tau_{0}, 0\leq\xi\leq L, 0\leq \eta <1\right\}, \end{matrix}$
此时Crocco变换是有意义的.下面利用极值原理得到与(2.1)矛盾, 从而证明定理.
设函数$\phi$
这里$\eta_{1}\in(0,1)$ $\eta\in[\eta_{1}]$ $\phi(\eta)>0$ . 为了能用极值原理, 在区域$\Omega_{\varepsilon}=\left\{(\tau, \xi, \eta) | 0\leq \tau<\tau_{0}, 0\leq\xi\leq L, 0\leq \eta <1\right\}$ $F(\tau, \xi, \eta)$
此时$F$ $\Omega_{\varepsilon}$
(2.3) $\begin{matrix}\label{F} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{\tau}F+\eta U\partial_{\xi}F+A\partial_{\eta}F+BF=\frac{1}{\rho} \omega^{2}\partial_{\eta}^{2}F+\varepsilon{\cal F},\\ F|_{\eta=0}=\omega(\tau, \xi, 0)-\varepsilon e^{-M\tau},\quad F|_{\eta=1}=0,\\ F|_{\tau=0}=\omega_{0}-\varepsilon\phi(\eta),\quad F|_{\xi=0}=\omega_{1}-\varepsilon\phi(\eta)e^{-M\tau}, \end{array}\right. \end{matrix}$
下面来证明只要选取合适的$M$ ${\cal F}\geq0$ $\Omega_{\varepsilon}$
(1)若$\eta\in[\eta_{1}]$ $\phi(\eta)$ $\omega$ $M$
(2)若$\eta\in(\eta_{2},1]$ $A$ $A=(1-\eta)\left((1+\eta)\partial_{x}U+\frac{\partial_{\tau}U}{U}\right)$ $\partial_{\eta}^{2}\phi(\eta)=0$
只要取$M$ $ {\cal F}(\tau,\xi,\eta)\geq0.$
因此结合上面的讨论, 只要取合适的$M$ ${\cal F}(\tau,\xi,\eta)\geq0.$ $M$ $G=e^{-N\tau}F(\tau, \xi, \eta)$ $N+B\geq0$ $G$ $\Omega_{\varepsilon}$
(2.4) $\begin{matrix}\label{G} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{\tau}G+\eta U\partial_{\xi}G+A\partial_{\eta}G+(N+B)G=\frac{1}{\rho}\omega^{2}\partial_{\eta}^{2}G+\varepsilon{\cal F}e^{-N\tau},\\[2mm] G|_{\eta=0}=[\omega(\tau, \xi, 0)-\varepsilon e^{-M\tau}]e^{-N\tau},\quad G|_{\eta=1}=0,\\ G|_{\tau=0}=\omega_{0}-\varepsilon\phi(\eta),\quad G|_{\xi=0}=[\omega_{1}-\varepsilon\phi(\eta)e^{-M\tau}]e^{-N\tau}, \end{array}\right. \end{matrix}$
此外, $G|_{\eta=0}=\omega(\tau, \xi, 0)e^{-N\tau}>0$ $G$ $\left\{\tau=0\right\}, \left\{\xi=0\right\}, \left\{\eta=0\right\}$ $\left\{\eta=1\right\}$ $(\tau, \xi, \eta)\in\Omega_{\varepsilon}$
进而有$\omega(\tau, \xi, \eta)\geq\varepsilon\phi(\eta)e^{-M\tau}, $
(2.5) $\begin{matrix} \inf_{(\tau, \xi, \eta)\in\Omega_{0}}\omega(\tau, \xi, \eta)\geq\inf_{(\tau, \xi, \eta)\in\Omega_{0}}\varepsilon\phi(\eta)e^{-M\tau}>0, \end{matrix}$
这与(2.1)式产生了矛盾, 因此若有倒流点出现, 则一定先出现在边界$\left\{y=0\right\}$ .
接下来, 我们通过下面这个引理证明$\omega$
${\bf引理2.1}$ $0\leq\tau<t_{0}$ $\omega(\tau,\xi,\eta)\in C^{1}(\Omega^{*}_{t_{0}})$ $U, \rho, \partial_{\xi}U, \partial_{\xi}\rho, \partial_{\tau}U, \partial_{\tau}\rho$ $N$ $R$
(2.6) $\begin{matrix}\label{R} R\geq\max\left\{\lambda^{-1}, \|\frac{\omega_{0}}{1-\eta}\|_{L^{\infty}([L]\times[T]\times[0,1 ))}\right\}, \end{matrix} $
其中$\lambda$ $\Omega^{*}_{t_{0}}$
(2.7) $\begin{matrix}\label{wbound} \omega(\tau,\xi, \eta)\leq R(1-\eta)e^{N\tau}. \end{matrix}$
${\bf证}$ $(t_{0}, \xi_{0}, \eta_{0})$ $[t_{0}]\times [L]$ $\partial_{y}u(t,x,0)>0$ $\lambda$ $\Omega^{*}_{t_{0}}$
(2.8) $\begin{matrix}\label{ww} \omega(\tau, \xi, 0)\in[\lambda, \lambda^{-1}]. \end{matrix}$
为证明(2.7), 我们定义函数$H(\tau, \xi, \eta)$
则$H(\tau, \xi, \eta)$ $\Omega^{*}_{t_{0}}$
(2.9) $\begin{matrix} \left\{ \begin{array}{ll} &\partial_{\tau}H+\eta U\partial_{\xi}H+A\partial_{\eta}H+(B+N)\omega=\frac{1}{\rho}\omega^{2}\partial_{\eta}^{2}H-{\cal H},\\ &H|_{\eta=0}=\omega(\tau, \xi, 0)e^{-N\tau}-R, \quad H|_{\eta=1}=0,\\ &H|_{\tau=0}=\omega_{0}-R(1-\eta), \quad H|_{\xi=0}=\omega_{1}e^{-N\tau}-R(1-\eta), \end{array} \right. \end{matrix}$
因此由极值原理可知, $H(\tau, \xi, \eta)$ $\Omega^{*}_{t_{0}}$
这就证明了$\omega(\tau, \xi, \eta)$
3 倒流点的存在性
本节将利用反证法以及Lyapunov泛函方法来证明倒流点的存在性. 由定理2.1可知, 如果$\partial_{y}u(t,x,y)=0$ $\partial_{y}u>0$ $\Omega_{T}$ $\Omega_{T}$ $\omega=\frac{\partial_{y}u}{U}>0$ .
令$W(\tau, \xi, \eta)=(\omega^{2}+\eta^{2})^{-\frac{1}{2}}$ $W$ $\Omega^{*}_{T}=\left\{0\leq\tau\leq T, 0\leq\xi \leq L, 0\leq\eta<1\right\}$
(3.1) $\begin{matrix}\label{W} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{\tau}W+\eta U\partial_{\xi}W+A\partial_{\eta}W= BW-\frac{\omega^{3}}{\rho(\omega^{2}+\eta^{2})^{\frac{3}{2}}}\partial_{\eta}^{2}\omega+\left(\eta\frac{\partial_{\xi}P}{\rho U}+\frac{\partial_{\tau}\rho}{\rho}\eta^{2}+\frac{\partial_{\xi}\rho}{\rho}\eta^{3} U\right)W^{3},\\[3mm] \left(\partial_{\eta}W+\frac{\partial_{\xi}P}{U}W^{3}\right)|_{\eta=0}=0,\quad W|_{\eta=1}=1,\\[2mm] W|_{\tau=0}=(\omega_{0}^{2}+\eta^{2})^{-\frac{1}{2}},\quad W|_{\xi=0}=(\omega_{1}^{2}+\eta^{2})^{-\frac{1}{2}}. \end{array}\right. \end{matrix}$
接下来, 我们通过证明下面这个引理来证明主定理的第二部分.
${\bf引理3.1}$ $(2)$ $(\tau_{*},\xi_{*})\in(0,T)\times[L]$
${\bf证}$ 31 ]类似定义Lyapunov泛函为
其中$\Omega=[L]_{\xi}\times[0,1)_{\eta}, \varphi(\xi)=(L-\xi)^{\frac{3}{2}}$
(3.2) $\begin{matrix}\label{GG} \frac{\rm d}{{\rm d}\tau}{\cal G}&=&-\int_{\Omega}\eta U \partial_{\xi}W\varphi {\rm d}\xi {\rm d}\eta-\int_{\Omega}(A\partial_{\eta}W-BW)\varphi {\rm d}\xi {\rm d}\eta+\int_{\Omega}\eta\frac{\partial_{\xi}P}{\rho U}W^{3}\varphi {\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ &&+\int_{\Omega}\eta^{2}\left(\frac{\partial_{\tau}\rho}{\rho}+\frac{\partial_{\xi}\rho}{\rho}\eta U\right)W^{3}\varphi {\rm d}\xi {\rm d}\eta-\int_{\Omega}\frac{\omega^{3}}{\rho (\omega^{2}+\eta^{2})^{\frac{3}{2}}}\partial_{\eta}^{2}\omega\varphi {\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ &=&\sum_{i=1}^{5}D_{i}. \end{matrix}$
(1)对$D_{1}$
(3)对于$D_{3}$
(4)对于$D_{4}$ $W=(\omega^{2}+\eta^{2})^{-\frac{1}{2}}$
这里利用了边界条件$\omega\partial_{\eta}\omega|_{\eta=0}=\frac{\partial_{\xi}P}{U}$ .
由$D_{1}-D_{5}$
(3.3) $\begin{matrix}\label{fin} \frac{\rm d}{{\rm d}\tau}{\cal G}\geq C_{3}(\tau){\cal G}^{3}-(2C_{2}(\tau)+\frac{3}{2\rho_{0}}){\cal G}-C_{4}(\tau), \end{matrix}$
这里$C_{2}(\tau), C_{3}(\tau), C_{4}(\tau)=C_{1}(\tau)-C_{0}(\tau)$ $[T]$ $\tau$
由(3.3)式可知, 只要${\cal G}$ ${\cal G}(\tau)$ $(0,T)$ $(t_{*},\xi_{*},0)\in(0,T)\times[L]$ $W(t_{*},\xi_{*},0)=+\infty$ $\omega(t_{*},\xi_{*},0)=0$
4 倒流点存在的实际例子
本节我们将给出二维可压缩Prandtl方程倒流点存在的实际例子. 这个例子将说明逆压梯度越大, 倒流点越早出现.
${\bf例4.1}$ $P(t,x)=\rho(t,x)$ $a,b$ $a<b$ $L=a$ $x\in[a]$ $U(x)=\kappa(b-x), $ $\kappa$
${\bf证}$ $\frac{\partial_{x}P}{\rho}=\kappa^{2}(b-x), $ 31 ]一样, 选取任意$\tilde{u}_{0}(x,y)$
再取(1.1)式的初始值为$u_{0}(x,y)=\kappa\tilde{u}_{0}(x,y)$ $u_{0}$ $C_{0}$
所以进一步可知${\cal G}(\tau)$
(4.1) $\begin{matrix}\label{G2} \frac{\rm d}{{\rm d}\tau}{\cal G}\geq \frac{25}{32a^{5}}\kappa{\cal G}^{3}-(2b^{2}+\frac{3}{2\rho_{0}}){\cal G}-\frac{b^{\frac{5}{2}}-(b-a)^{\frac{5}{2}}}{5}\kappa, \end{matrix}$
由上面这个不等式可知, 存在一个正常数$C^{*}$ ${\cal G}(0)\geq C^{*}$ ${\cal G}(\tau)$
因此只需要取$M_{0}\geq C^{*}$ $\kappa$ ${\cal G}$
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2
2015
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
Well-posedness of the Prandtl equation with monotonicity in Sobolev spaces
1
2018
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Separation for the stationary Prandtl equation
1
2019
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
Global existence of weak solution to the compressible Prandtl equations
1
2017
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
Boundary layer theory and the zero-viscosity limit of the Navier-Stokes equation
1
2000
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
Blowup of solutions of the unsteady Prandtl's equation
1
1997
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Local well-posedness of solutions to the boundary layer equations for 2D compressible flow
1
2021
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
Boundary layer problems for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations
1
2016
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
On a global weak solution and back flow of the mixed Prandtl-Hartmann boundary layer problem
1
2021
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
Stability and back flow of boundary layers for wind-driven oceanic current
1
2020
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
On the local existence of analytic solutions to the Prandtl boundary layer equations
1
2013
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
The van Dommelen and Shen singularity in the Prandtl equations
1
2017
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Well-Posedness in Gevrey Function Space for 3D Prandtl Equations without structural assumption
1
2022
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
On the ill-posedness of the Prandtl equations in three space dimensions
1
2016
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
A well-posedness theory for the Prandtl equations in three space variables
1
2017
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
MHD boundary Layers theory in Sobolev spaces without monotonicity I: Well-Posedness theory
1
2019
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Local-in-time existence and uniqueness of solutions to the Prandtl equations by energy methods
2
2015
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
Three-dimensional boundary layer theory
2
1956
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
... ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
On the system of Prandtl equations in boundary-layer theory
1
1963
... Ludwig Prandtl于1904年在文献[21 ]中首次提出边界层的相关理论, Prandtl得到一个退化的抛物方程与椭圆方程耦合的方程组, 即著名的Prandtl方程. 至今为止, 许多学者建立了Prandtl边界层的数学理论. 在文献[19 -20 ]中, Oleinik和Samokhin假设初始值$u_{0}$ $u_{1}$
Mathematical models in boundary layer theory
2
2018
... Ludwig Prandtl于1904年在文献[21 ]中首次提出边界层的相关理论, Prandtl得到一个退化的抛物方程与椭圆方程耦合的方程组, 即著名的Prandtl方程. 至今为止, 许多学者建立了Prandtl边界层的数学理论. 在文献[19 -20 ]中, Oleinik和Samokhin假设初始值$u_{0}$ $u_{1}$
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung
1
1904
... Ludwig Prandtl于1904年在文献[21 ]中首次提出边界层的相关理论, Prandtl得到一个退化的抛物方程与椭圆方程耦合的方程组, 即著名的Prandtl方程. 至今为止, 许多学者建立了Prandtl边界层的数学理论. 在文献[19 -20 ]中, Oleinik和Samokhin假设初始值$u_{0}$ $u_{1}$
Global existence and the decay of solutions to the Prandtl system with small analytic data
1
2021
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier-Stokes equation on a half-space. I. Existence for Euler and Prandtl equations
1
1998
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier-Stokes equation on a half-space. II. Construction of the Navier-Stokes solution
1
1998
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
1
2000
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Boundary-layer separation in unsteady flow
1
1975
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
Boundary layer separation and local behavior for the steady Prandtl equation
1
2021
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
The inviscid limit and stability of characteristic boundary layers for the compressible Navier-Stokes equations with Navier-friction boundary conditions
1
2013
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
Local well-posedness of Prandtl equations for compressible flow in two space variables
1
2015
... 二维非稳态可压缩Prandtl方程(1.1)最早由Wang和Williams在文献[28 ]中提出. 关于方程(1.1)的适定性最近有一部分研究结果, 在文献[8 ]中, 作者利用Oleinik在文献[20 ]中提出的方法, 通过von Mises变换和Crocco变换分别研究了稳态和非稳态情形的局部适定性. 在文献[1 ,17 ]的基础上, 文献[7 ,29 ]利用能量方法在加权Sobolev空间中建立了局部适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 关于弱解的全局存在性可以参见文献[4 ]. ...
Well-posedness of thermal boundary layer equation in two-dimensional incompressible heat conducting flow with analytic datum
1
2020
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Back flow of the two-dimensional unsteady Prandtl boundary layer under an adverse pressure gradient
6
2020
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
... ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
... (1) 相对于经典的二维非稳态Prandtl方程而言, 可压流不再有$\partial_{x}u+\partial_{y}v=0$ $B$ $\eta^{3}$ $D_{4}$ 31 ]中经典Prandtl方程得到的结果有所提升.这是因为本文在证明$\omega$ $H(\tau, \xi, \eta)$ 31 ]构造的函数$f(\tau, \xi, \eta)=e^{-N\tau}\omega^{2}$
... 与文献[31 ]构造的函数$f(\tau, \xi, \eta)=e^{-N\tau}\omega^{2}$
... ${\bf证}$ 31 ]类似定义Lyapunov泛函为 ...
... ${\bf证}$ $\frac{\partial_{x}P}{\rho}=\kappa^{2}(b-x), $ 31 ]一样, 选取任意$\tilde{u}_{0}(x,y)$
On back flow of boundary layers in two-dimensional unsteady incompressible heat conducting flow
1
2022
... 边界层分离是物理上非常重要的一个现象, 对于稳态边界层而言, 倒流点就是分离点, 关于稳态边界层的分离问题已有一部分数学理论, 参见文献[3 ,5 ,27 ]. 对于非稳态边界层而言, 边界层分离是一个非常复杂的问题, 正常情况下倒流点就不再是分离点[26 ] , 倒流点作为研究非稳态边界层分离的切入点意义重大, 关于二维非稳态Prandtl方程倒流问题最早由Wang和Zhu 在文献[31 ]提出, 他们利用极值原理和Lyapunov泛函方法分别证明了倒流点首次出现的位置和倒流点的存在性. 在逆压梯度条件的作用下, Oleinik单调性条件将可能会被破坏, 即有可能出现倒流点, 这时候二维非稳态Prandtl方程将可能不再适定. 最近他们在文献[32 ]中研究了二维不可压热传导黏性流体边界层的倒流问题, 在温度的影响下顺压也有可能产生倒流点. 关于其他边界层倒流问题的数学理论可以参见文献[9 -10 ]. 到目前为止, 还没有关于二维可压缩非稳态Prandtl 方程倒流点的相关数学理论, 本文将在文献[31 ]基础上来研究可压缩边界层的倒流点存在性. 倒流点$(t_{*}, x_{*},0)$
On the global existence of solutions to the Prandtl's system
1
2004
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Global well-posedness and regularity of weak solutions to the Prandtl's system
1
2022
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Long time well-posedness of Prandtl equations in Sobolev space
1
2017
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
Long time well-posedness of Prandtl system with small and analytic initial data
1
2016
... 然后通过引入von Mises变换和Crocco变换分别得到了稳态和非稳态Prandtl方程的局部适定性. 最近, 在单调性假设条件下, 文献[1 ,17 ]通过引入一种新变量来克服导数损失的困难, 然后利用能量方法在加权Sobolev空间中建立二维非稳态Prandtl方程的局部适定性. 在文献[2 ]中, 作者利用Littlewood-Paley理论在各向异性Sobolev空间中得到了适定性, 有望为无粘极限问题提供一种新的可能途径. 当初始值是一些单调剪切流的小扰动时, 文献[35 ]用能量方法证明了在加权Sobolev空间中解的长时间适定性. 在单调性假设以及顺压条件下, 文献[33 ]利用粘性拆分的方法得到了弱解的全局存在性, 最近在[34 ]中又进一步利用双变量方法得到了弱解的唯一性和在常外流条件下弱解在区域内部的光滑性. 在无单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在解析函数或者Gevrey函数框架下也有一部分学者进行了研究. 最早由Sammartino和Caflisch在文献[23 -24 ]中利用Cauchy-Kowalevski理论, 在初始值满足一定的相容性条件以及关于$x,y$ 36 ]用能量的方法讨论了解析解的局部存在性, 更多关于在解析框架下的结果可以参见[11 ,22 ]及文中的参考文献. 关于解的爆破相关结果可以参见文献[6 ,12 ], 这说明在没有单调性假设时, 二维非稳态Prandtl方程在Sobolev空间中可能就不再适定. 目前为止, 关于三维边界层的数学理论还很少, 因为当三维Prandtl边界层中出现二次流时, 其非线性稳定性和不稳定性非常复杂, 这在物理上有比较多刻画[18 ] . 在文献[15 ]中, 作者通过构造三维非稳态Prandtl方程的一种特殊结构的解, 避免了有可能出现促使三维边界层不稳定的“二次流”, 进而利用能量方法得到了适定性, 更多关于三维边界层的研究可以参见[13 -14 ,18 ]及参考文献. 最近关于MHD和热传导黏性流体边界层等更加复杂边界层的适定性也有一些讨论, 参见文献[16 ,30 ]及参考文献. 更多关于边界层的理论可以参见Schlichting的专著[25 ]. ...
