本文主要研究由定义在区间 $I=(0,1)$ 上的微分方程

以及 Dirichlet 边界条件

所确定的 $m$ 维向量型 Sturm-Liouville 问题. 这里 $\lambda \in {\mathbb C}$ 是谱参数, 并且 $y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{m})^{T}$ 是 $m$ ($m\geq 2$) 维向量值函数. $Q\in L(I,{\mathbb R}^{m\times m})$, 且 $Q=Q^{\ast }$, 本文中用 $\theta $ 表示 $m$ 维零向量.

向量型 Sturm-Liouville 问题在许多领域都有重要应用, 对于研究量子力学中的多粒子运动(参考文献[1-2]), 氢分子的运动^[3]等都非常重要. 大部分经典的 Sturm-Liouville 理论及逆谱理论都可以推广到向量型, 但是情况十分复杂, 其中最主要的困难来源于特征值的重数. 1999 年, Shen 和 Shieh 在文献[4]中研究了二维向量型 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.3) 的特征值重数问题. 他们考虑的势函数 $Q$ 是连续的 $2\times 2$ 阶 Jacobian 矩阵值函数. Kong^[5], Yang 和 Huang 等^[6]将他们的结果推广至更加一般的情形. 随后, Veliev^[7-8]证明了如果矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的特征值都是单重的, 那么除有限多个特征值外, 问题 (1.1)-(1.3) 的特征值都是单重的. 令 $Q(x)=\{q_{i,j}(x)\}$. 文献[5]中的主要结论如下.

${\bf定理 A}$ 令 $m\geq 2.$ 假设对某 $i,j\in \{1,\cdots,m\}$ 并且 $i\neq j,$

那么除了有限个特征值, 问题(1.1)-(1.3)的特征值重数至多为 $m-1.$

受文献[4-5,8]的启发, 我们得到如果矩阵 $\int_{0}^{1}Q(x){\rm d}x$ 的特征值重数至多为 $k$$(1\leq k\leq m-1)$, 则除了有限个特征值外, 向量型边值问题 (1.1)-(1.3) 的特征值重数至多为 $k$ (详见定理 3.1). 从而得到除了有限个特征值, 向量型问题 (1.1)-(1.3) 有无穷多单重特征值的条件(参考推论 3.1). 另一方面, 得到和 Kong 的结论等价的条件(见推论 3.2). 本文所得结果涵盖了文献[5,8]的结果. 与此同时, 得到了比特征值的基本估计(见引理 2.4)更精确的一个估计(参考推论3.3和3.4), 并且本文的估计并没有对特征值的重数作出假设.

基于重数结果, 考虑问题 (1.1)-(1.3) 的逆结点问题. 1988 年, McLaughlin 首次对纯量型 Schrödinger 算子的逆结点问题进行研究^[9]. 他指出可以利用特征函数结点的稠密子集来唯一确定势函数. 随后, 大批学者对该问题进行了一系列研究并取得了丰硕的成果(参考[10⇓⇓⇓-14]及这些文献的参考文献). 然而与纯量情形不同, McLaughlin 的唯一性定理对于向量型逆结点问题并不成立^[15]. 为方便读者, 我们先给出以下定义^[15-16]. 令 $y(x)$ 是一定义在区间 $(0,1)$ 上的 $m$ 维向量值函数, 若 $y(x_{0})=\theta,$$x_{0}\in (0,1),$ 则 $x_{0}$ 称作 $y(x)$ 的结点(也称为零点). 如果分量函数的孤立零点都是这个向量值函数 $y(x)$ 的结点, 则称向量值函数 $y(x)$ 具有性质 (CZ) (common zero property). 如果存在一个常值酉矩阵 $U$ 使得 $U^{\ast }Q(x)U$ 是对角矩阵值函数, 则称 $Q(x)$$(x\in (0,1))$ 是可同时对角化的(simultaneously diagonalizable). 2000 年, Shen 和Shieh^[15]首次研究了二维($m=2$) 向量型 Dirichlet 问题 (1.1)-(1.3) 的逆结点问题. 其主要结果如下

${\bf定理 B}$ ([15,定理 2.5]) 若向量型 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.3) 有无穷多个具有性质 (CZ) 的特征函数 $\{y_{n_{j}}(x)\}_{j=1}^{\infty }$, 则矩阵值函数 $Q(x)$ 是可同时对角化的.

随后, Cheng, Shieh 和 Law 在文献[16]中将[15]的结果(定理 B)推广至具有一般分离型边界条件的 Sturm-Liouville 算子. 本文将采用不同于文献 [15] 的方法继续研究向量型 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.3) 的逆结点问题. 假设问题 (1.1)-(1.3) 有无穷多个具有性质 (CZ) 的特征函数, 利用微分方程 (2.1) 和初始条件 (2.2) 的矩阵值解的渐近展开式, 首先得到矩阵$\int_{0}^{x}Q(t){\rm d}t$$(x\in (0,1))$ 是可同时对角化的, 进而得到矩阵 $Q(x)$ 也是可同时对角化的. 相反地, 如果矩阵 $Q(x)$ 是可同时对角化的, 证明了问题的所有特征函数具有性质 (CZ).

本文共分为4节. 第1节简介之后, 在第2节给出了一些主要引理. 第3节给出关于特征值重数的主要结果和证明.第4节研究了逆结点问题.

令 $\Phi (x,\lambda )$ 和 $\Psi (x,\lambda )$ 是方程

满足初始条件

的矩阵值解. 那么向量型方程 (1.1) 的任意解可以表示为

其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意 $m$ 维常数向量并且 $c_{1}^{T}c_{1}+c_{2}^{T}c_{2}\neq 0$.

${\bf引理2.1}$$\lambda $ 是向量型问题 (1.1)-(1.3) 的特征值当且仅当 $\det \Phi (1,\lambda )=0$.

${\bf证}$ 如果 $\lambda $ 是向量型问题 (1.1)-(1.3) 的一个特征值, 由边界条件 (1.2) 可知

由 (2.2)式可得 $c_{2}=\theta $.因此, $c_{1}\neq \theta $ 且

另外, 由边界条件 (1.3) 可知,

因为 $c_{1}\neq \theta $, 可得

相反地, 如果 $\lambda $ 满足 $\det \Phi (1,\lambda )=0$, 则线性方程组$\Phi (1,\lambda )c_{1}=\theta$有非零解 $c_{1}$. 显然, $y(x,\lambda )=\Phi (x,\lambda )c_{1}$$(c_{1}\neq \theta )$ 满足条件 (1.3),因此, 它是相应于 $\lambda $ 的特征函数. 因此, $\lambda $是问题的特征值.

${\bf注2.1}$ 记 $\Delta (\lambda ):=\det \Phi (1,\lambda )$. 称 $\Delta (\lambda )$ 为问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 的特征判别式.特征值 $\lambda$ 的代数重数是 $\lambda $ 作为 $\Delta(\lambda )$ 的零点的阶数. 特征值 $\lambda$ 的几何重数是指 $\lambda$ 所对应的边值问题的线性无关解的个数. 在该文中重数指几何重数.

${\bf引理2.2}$ 向量型 Sturm-Liouville 问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 的线性无关解 $y(x,\lambda )$ 的个数为 $ m-{\rm Rank}(\Phi (1,\lambda )). $

${\bf证}$ (2.4)式中线性无关函数 $y(x,\lambda )$ 的个数等于(2.5)式中线性无关的向量 $c_{1}$ 的个数, 结论显然.

从上面的引理可知问题 (1.1)-(1.3) 的特征值 $\lambda _{\ast }$ 的重数至多是 $m$, $\lambda _{\ast }$ 的重数是 $m$ 当且仅当 $\Phi (1,\lambda _{\ast })$ 是零矩阵.

由常数变易法, 可得

由文献 [17] 可知, $\Phi (x,\lambda)$ 有如下渐近公式

令 $\lambda =s^{2}$, $s=\sigma +i\tau $, $\sigma $, $\tau \in {\mathbb R} $. 在给出主要结果前先证明下面的引理.

${\bf引理2.3}$ 函数 $\Phi (x,s^{2})$ 是变量 $s$ 的矩阵值整函数. 另外

其中 $0\leq x\leq 1$.

${\bf证}$ 参考文献[17,p.17] 和文献 [18,引理2.1].

众所周知问题 (1.1)-(1.3) 有无穷多个特征值, 它们都是实的, 下有界上无界的, 没有有限聚点^[19-20]. 记问题 (1.1)-(1.3) 的所有特征值为

${\bf引理2.4}$ 当 $n\rightarrow \infty $ 时, $\lambda _{n,r}$$ (r=1,2,\cdots,m)$ 有下面的渐近式

${\bf证}$ 参考文献[8].

${\bf引理2.5}$ 当 $|s|\rightarrow \infty $ 时, 矩阵值函数 $\Phi(x,s^{2})$ 有下面的渐近展开式

${\bf证}$ 将(2.8)式代入方程 (2.7)进行迭代可得

由 Riemann-Lebesgue 引理

因此, 当 $|s|\rightarrow\infty $ 时, 可得 (2.11)式.

${\bf引理2.6}$ 当 $|s|\rightarrow \infty $ 时, 特征判别式 $\Delta (\lambda )$ 有渐近表达式

其中, $\mu _{1},\mu _{2},\cdots,\mu _{m}$ 是矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的 $m$ 个特征值.

${\bf证}$ 因为 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 是实对称矩阵, 所以存在可逆矩阵 $T$ 使得

注意到 $\lambda $ 是实的, 由引理 2.1, (2.11) 和 (2.13)式可得

对上式求行列式, 可得

化简即得公式 (2.12).

本节中, 寻找矩阵值势函数 $Q$ 满足的条件, 使得问题 (1.1)-(1.3) 有无穷多个特征值 (除了有限个) 的重数至多为 $k$$(1\leq k\leq m-1)$. 同时, 还得到了特征值 $\lambda _{n,r}$ 的一个改进的估计.

${\bf定理3.1}$ 如果矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的特征值重数至多为 $k$$(1\leq k\leq m-1)$, 那么, 除了有限个特征值, 向量型 Sturm-Liouville 问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 的特征值重数也至多为 $k$.

${\bf证}$ 如果对于某一 $1\leq r\leq m$, $\lambda _{n,r}$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的一个特征值, 记 $s_{n,r}:=\sqrt{\lambda _{n,r}}$, 注意到所有特征值都是实的, 由引理 2.1 和公式 (2.11), 当 $|s_{n,r}|\rightarrow \infty $ 时, 可得

由引理 2.4 可知

将(3.2)式代入到(3.1)式中, 可得

由 (2.13)式可得

假设, 相反地, 问题 (1.1)-(1.3) 的特征值重数大于 $k$, 不妨令 $\lambda _{n,r}$ 的重数是 $k+1$. 那么, 由引理 2.2, 矩阵 $\Phi (1,s_{n,r}^{2})$ 的秩为 $m-k-1.$ 不失一般性, 假设最后 $m-k-1$ 行向量 $r_{k+2},r_{k+3}, \cdots,r_{m}$ 是线性无关的. 那么任意其它行向量 $ r_{1},r_{2},\cdots,r_{k+1}$ 可由 $ r_{k+2},r_{k+3},\cdots,r_{m}$ 线性表出. 因此, 矩阵 (3.4) 对角线上的前 $k+1$ 个元素是 $o\left( \frac{1}{n}\right)$. 那么有

上面公式中第一个等式减去其余等式可得

因为 $\mu _{j}$$(1\leq j\leq m)$ 重数至多为 $k$, $\mu _{1}-\mu _{2},$$\mu _{1}-\mu _{3},\cdots,\mu _{1}-\mu _{k+1}$ 中至少一个是非零的. 不妨令 $\mu _{1}-\mu _{2}\neq 0 $, 这与(3.6)式中 $\frac{\mu _{1}-\mu _{2}}{2n\pi }=o\left( \frac{1}{n}\right) $ 相矛盾. 因此, 问题 (1.1)-(1.3) 的特征值除有限个, 重数至多为 $k$.

下面的推论可由定理3.1直接得到.

${\bf推论3.1}$ 如果矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的特征值都是单重的, 那么, 除了有限个, 问题(1.1)-(1.3) 的特征值都是单重的.

${\bf推论3.2}$ 如果矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的特征值重数至多为$m-1$, 那么, 除了有限个, 问题 (1.1)-(1.3) 的特征值重数至多为 $m-1$.

${\bf推论3.3}$ 如 $\lambda _{n,r}$ 是问题 (1.1)-(1.3) 的一个特征值 (不管重数是多少), 那么

${\bf证}$ 如果 $Q$ 满足定理 3.1 中的条件, 那么由定理3.1, 式 (3.5) 中至少有一个成立. 通过直接计算, 可得 $\varepsilon _{n,r}=O\left(\frac{1}{n}\right) $. 如果 $\lambda _{n,r}$ 是 $m$ 重的, 结论在文献 [18] 中已证.

给定两个实数序列 $\{\alpha _{n}\}$ 和 $\{\beta _{n}\}$, 如果 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\alpha _{n}-\beta _{n}|^{2}<\infty $, 则称 $\alpha _{n}=\beta_{n}+l^{2}(n).$

${\bf推论3.4}$ 如果矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的特征值都是 $m$ 重的, 那么特征值 $\lambda _{n,r}$$(r=1,2,\cdots,m)$ 有下面展开式

这里 $\mu $ 是矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的 $m$ 重特征值.

${\bf注3.1}$ Shen^[18]在所有特征值都是 $m$ 重的假设下得到了一个类似的渐近公式(参见文献[18,定理 2.2]). 该推论表明只需要矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的信息就可得到(3.7)式.

${\bf推论3.5}$ 假设除了有限个, 问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 的特征值都是 $m$ 重, 那么矩阵 $\int_{0}^{1}Q(t){\rm d}t$ 的特征值都是 $m$ 重的, 也就是

${\bf证}$ 对充分大的 $n$, 如果问题 (1.1)-(1.3) 的特征值都是 $m$ 重的, 记不同特征值为 $\lambda _{n}$, 也就是

这里, 由推论 3.3 可知, $\varepsilon _{n}=O\left( \frac{1}{n}\right) $. 此时, 有 $\Phi (1,\lambda _{n})=O_{m}$, 公式 (3.1) 变为

注意到 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\cos \varepsilon _{n}=1,$ 因此

因为序列 $\{n\tan \varepsilon _{n}\}$ 是有界的, 我们有 $\mu_{1}=\mu _{2}=\cdots =\mu _{m}$.

${\bf例3.1}$ 考虑四维向量型 Sturm-Liouville 问题

这里

因为存在常数酉矩阵

使得

由定理 $3.1,$ 如果对任意的 $i\neq j$$(i,j=1,2,3),$有

那么, 除了有限个, 问题 (3.10) 的特征值至多是2重. 事实上, 通过变换 $ y=Tz,$ 问题 (3.10) 化为

也就是

向量型问题 (3.11) 化简为以下三个纯量型 Sturm-Liouville 问题

记 $\mu _{n}^{(i)}(i=1,2,3,$$n\in {\mathbb N}_{0})$ 表示问题 (3.12) 的特征值, $z_{i}(x,\mu _{n}^{(i)})$ 表示相应的特征函数. 注意到 $ T[z_{1}(x,\mu _{n}^{(1)}),0,0,0]^{T}$ 和 $T[\mu _{n}^{(1)}),0,0]^{T}$ 是相应于 $\mu _{n}^{(1)}$ 的两个线性无关的特征函数, 因此 $\mu _{n}^{(1)}(n\in {\mathbb N}_{0})$ 是向量型问题 (3.10) 的$2$重特征值, $T[\mu _{n}^{(2)}),0]^{T}$ 和 $T[\mu _{n}^{(3)})]^{T}$ 是相应于向量型问题 (3.10) 的特征值 $\mu _{n}^{(2)}$ 和 $\mu_{n}^{(3)}$ 的特征函数.

本节中, 先给出相应于 $\lambda _{n,r}$ 的特征函数 $y_{n,r}(x,\lambda _{n,r})$ 的零点(结点)个数的结论以及结点的性质,然后讨论向量型问题 (1.1)-(1.3) 的逆结点问题.

${\bf引理4.1}$ 相应于特征值 $\lambda _{n,r}$$(n\in {\mathbb N}_{0},$$r=1,2,\cdots,m)$ 的特征函数 $y_{n,r}(x,\lambda _{n,r})$

在区间 $(0,1)$ 内恰有 $n$ 个零点.

${\bf证}$ 参考文献[15-16].

${\bf引理4.2}$ 假设 $y_{n,r}(x,\lambda _{n,r})$ 是向量型问题 $(1.1)$-$(1.3)$ 的相应于特征值 $\lambda _{n,r}$ 的特征函数, 并且具有性质 $(CZ)$, $\{x_{k}^{n,r}\}$ 是特征函数 $y_{n,r}(x,\lambda _{n,r})$ 的结点集. 那么, 对充分大的 $n$ 有

${\bf证}$ 令 $\Phi (x,\lambda _{n,r})$ 是 (2.1)-(2.2) 的解, $v_{n,r}\in {\mathbb R}^{m}-\{\theta \}$ 是方程 $\Phi (1,\lambda _{n,r})$ 的单位零向量并且 $y_{n,r}(x,\lambda _{n,r}):=\Phi (x,\lambda _{n,r})v_{n,r}$ 是问题 (1.1)-(1.3 ) 的具有性质 (CZ) 的特征函数. 那么由 (2.8)式, 有

和

令 $y_{n,r,j}(x)$ 是 $y_{n,r}(x,\lambda _{n,r})$ 的第 $j$$(1\leq j\leq m)$ 个分量. 因为 $\sin (k-\frac{1}{4})\pi \sin (k+\frac{1}{4})\pi <0,$ 由介值定理, 在 $(\frac{(k-\frac{1}{4})\pi }{\sqrt{\lambda _{n,r}}},\frac{(k+\frac{1}{4})\pi }{\sqrt{ \lambda _{n,r}}})$ 内存在 $x_{k,j}^{n,r}$ 使得 $y_{n,r,j}(x_{k,j}^{n,r})=0$. 那么, 由性质 (CZ), $m$ 个结点 $x_{k,j}^{n,r}$ 在点 $x_{k}^{n,r}$ 处重合. 因此 $ y_{n,r}(x_{k}^{n,r},\lambda _{n,r})=\theta.$ 令

这里 $0\leq C_{k}^{n,r}\leq \frac{\pi }{4\sqrt{\lambda _{n,r}}}$. 那么

因此

利用三角公式直接化简得

进而 $C_{k}^{n,r}=O(\frac{1}{n^{2}}).$ 由推论 3.3, 对于 $r=1,2,\cdots,m,$ 有

其中 $k=0,1,\cdots,n-1.$ 证毕.

${\bf推论4.1}$ 在引理$4.2$的假设下, 有

(i) $l_{k}^{n,r}=x_{k+1}^{n,r}-x_{k}^{n,r}=\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^{2}}),$

(ii) $\sqrt{\lambda _{n,r}}(x_{k+1}^{n,r}-x_{k}^{n,r})=\pi +O(\frac{1}{n}), $

(iii) $\sqrt{\lambda _{n,r}}x_{k}^{n,r}=k\pi +O(\frac{1}{n}),$

(iv) $\{x_{k}^{n,r}:1\leq k\leq n\}_{n=0}^{\infty }$ 在区间 $(0,1)$ 内是稠密的.

${\bf定理4.1}$ 假设向量型 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.3) 存在具有性质 $(CZ)$ 的特征函数序列 $\{y_{n_{j},r}(x,\lambda _{n_{j},r})\}_{j=1}^{\infty }$, 那么矩阵 $Q(x)$ 是可同时对角化的; 相反地, 如果 $Q(x)$ 是可同时对角化的, 那么问题 (1.1)-(1.3) 的特征函数具有性质 (CZ).

${\bf证}$ 记 $v_{n_{j},r}$ 是 $\Phi (1,\lambda_{n_{j},r})$ 的单位零向量, 这里 $\Phi (x,\lambda _{n_{j},r})$ 是矩阵初值问题 (2.1)-(2.2) 相应于 $\lambda_{n_{j},r}$ 的解. 那么

是向量型问题 (1.1)-(1.3) 相应于特征值 $\lambda _{n_{j},r}$ 的特征函数. 由引理 4.1, $ y_{n_{j},r}(x,\lambda _{n_{j},r})$ 在 $(0,1)$ 内有 $n_{j}$ 个结点 $x_{k}^{n_{j},r}$ ($k=1,2,\cdots,n_{j}$). 假设 $y_{n_{j},r}(x,\lambda _{n_{j},r})$ 是具有性质 (CZ) 的特征函数, 由推论 4.1, $\{x_{k}^{n_{j},r}|$$j\in {\mathbb N},$$k=1,2,\cdots,n_{j}\}$ 在 $(0,1)$ 内稠密, 因此对于 $(0,1)$ 内固定的 $x_{0}$, 存在结点 $x_{k_{j}}^{n_{j},r}$ 使得

因为

记 $s_{n_{j},r}=\sqrt{\lambda _{n_{j},r}},$ 由引理 2.5 可得

因此

因为 $||v_{n_{j},r}||=1,$$v_{n_{j},r}$ 收敛于单位向量 $v$. 因此, 对上面方程 (4.4) 两边取极限 $j\rightarrow \infty $, 可得

这里 $c_{1}(x_{0})$ 是与 $x_{0}$ 有关的一个数. 因为 $x_{0}$ 在 $(0,1)$ 内是任意的, 在 $(0,1)$ 内可选取 $x_{1}\neq $$x_{0}$, 并且对 $x_{1}$ 使用上面的论断使得 $v$ 也是 $\int_{0}^{x_{1}}Q(t){\rm d}t$ 的特征向量. 那么 $\int_{0}^{x_{0}}Q(t){\rm d}t$ 和 $ \int_{0}^{x_{1}}Q(t){\rm d}t$ 有共同的特征向量 $v$, 即 $v$ 的选取与 $x$ 无关.

另外, 利用施密特正交化方法, $v$ 可以扩充为标准正交基, 记作 $u_{1},u_{2},\cdots,u_{m}.$ 因为对于任意的 $x\in (0,1)$, $ \int_{0}^{x}Q(t){\rm d}t$ 是可对角化的, $ u_{2},u_{3},\cdots,u_{m}$ 也是 $\int_{0}^{x}Q(t){\rm d}t$ 的特征向量. 因此存在依赖于 $x$ 的数 $c_{i}(x)$$(i=2,3,\cdots,m)$ 使得

因此, $\int_{0}^{x}Q(t){\rm d}t$ 是可同时对角化的. 事实上, 记

那么有

对上面公式两边关于 $x$ 求导, 可得矩阵 $Q(x)$ 也是被同一酉矩阵 $U$ 同时对角化的. 也就是

这里 $\mu _{i}(x)=c_{i}^{\prime }(x)$$(i=1,2,\cdots,m).$

相反地, 如果 $Q(x)$ 是可同时对角化的, 由变换 $y=Uz,$ 问题 (1.1)-(1.3) 变为

记 $\Lambda (x)=U^{-1}Q(x)U$, 则

注意到问题 (1.1)-(1.3) 和 (4.5) 具有相同的特征值和重数. 令 $z=(z_{1},z_{2},\cdots,z_{m})^{T}$, 向量型问题 (4.5) 等价于纯量型 Sturm-Liouville 问题

问题 (4.5) 的特征值是问题 (3.4) 的特征值的并集. 如果 $\lambda _{\ast }^{(i)}$ 是问题 (3.4) 中的第 $i$ 个问题的特征值, 并且 $z_{\ast,i}(x,\lambda _{\ast }^{(i)})$ 是相应于特征值 $ \lambda _{\ast }^{(i)}$ 的特征函数, 那么

是原问题 (1.1)-(1.3) 的相应于 $ \lambda_{\ast }^{(i)}$ 的特征函数. 显然, $y_{\ast }(x,\lambda _{\ast }^{(i)})$ 具有性质 (CZ).