曲面增长, 或者增积生长是指质量在物体表面的沉积. 当质量沉积在不易变形的物体表面时,这种现象称为硬物体的吸积^[1]. 通过硬体增长的生物体有贝壳, 骨头, 鹿角和牙齿等. 它们的生长是通过在结构边界局部增加质量来实现的, 而且在质量增长过程中材料不会发生形变. 曲面增长经常出现在物理学, 生物学和工业设计中, 例如行星吸积, 细胞活性, 树木的次生长和工业表面涂层等^[2⇓-4].

从数学的角度描述曲面增长可以追溯到1838年Moseley以及1942年Thompson的代表性工作, 他们均描述了若干螺旋状生物体的线圈结构^[5-6] (如图 1).

近些年来, 许多学者开始研究生物进化问题. 例如, Illert在实空间中描述了海洋贝壳的几何结构^[7], 并将其理解为一类增长模型; Skalak 等人详细解释了增长曲面模型的运动学特征; Moulton和Goriely用某些生物体, 如贝壳和角的中心曲线构建了增长曲面的数学模型; Cowin, Hollister和Huiskes通过定义一个垂直于增长曲面的生长速度向量场来描述曲面增长的几何特征^[8-9]. 后来, Illert和Reverberi等人将实空间中增长曲面的研究工作推广到了复空间, 他们结合物理学的运动规律, 利用复坐标讨论了贝壳、角、牙齿等生物结构的生成机制^[10], 相关研究结果与欧氏空间相比十分简洁和美观. 为了深入探索和发现不同类型的生物结构, 尤其是它们的生成机制, 本文在三维复空间中定义并讨论由一类特殊的复曲线, 即迷向曲线, 生成的增长曲面的结构表达式, 将由迷向曲线演化而得到的增长曲面与迷向曲线的基本性质关联起来, 进而对增长曲面进行局部内在的描述.

设${\Bbb C}^{3}$是具有标准度量的三维复空间, 即满足 $\langle \cdot,\cdot\rangle=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},$ 这里($x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$)是复坐标. 如果一个非零复向量 $v\in{\Bbb C}^{3}$ 满足 $\langle v,v\rangle=0$, 则称该向量为迷向向量. 如果${\Bbb C}^{3}$空间中的一条曲线$a(t)$在任意一点的切向量都是迷向向量, 则称其为一条迷向曲线, 其满足如下向量微分方程, 即 $\big\langle \frac{da}{dt}, \frac{da}{dt}\big\rangle=0.$

由曲线$a(t)$的一个不变量, 即^[11]$ds=-\big\langle \frac{d^{2}a}{dt^{2}}, \frac{d^{2}a}{dt^{2}}\big\rangle^{\frac{1}{4}}{\rm d}t,$ 可以定义迷向曲线的伪弧长参数$s$. 今后除非另作说明, 本文总是假定迷向曲线以伪弧长为参数, 即满足$\langle a''(s), a''(s)\rangle=-1$, 这里$'$ 表示变量关于伪弧长参数$s$求导.

在正则迷向曲线$a(s)$上的任意一点可以构造E. Cartan标架$\{e_1, e_2, e_3\}$如下

这里

且 $e_j\times e_k=ie_{j+k-2},\quad \det(e_{1},e_{2},e_{3})=i,\quad (j,k=1,2,3).$

由方程组(2.1)可得到如下命题.

${\bf命题2.1}$^[12] 设$a(s):{\Bbb C}\to{\Bbb C}^{3}$是一条迷向曲线, 则$a(s)$的E. Cartan标架$\{e_1, e_2, e_3\}$满足如下的Frenet公式

这里$e_1, e_2, e_3$分别称为$a(s)$的切向量, 主法向量和副法向量, 函数$\kappa(s)=\frac{1}{2}\langle a''', a'''\rangle$称为曲线$a(s)$的伪曲率.

${\bf注2.1}$ 本文假设所讨论迷向曲线的伪曲率均不为零.

2015年, 作者在[13]中定义了一个非常值解析函数, 类似Weierstrass表示, 给出了任意一条迷向曲线的参数表达式.

${\bf命题2.2}$^[13] 设$a(s)$是${\Bbb C}^{3}$中的任意一条迷向曲线, 则其可以由非常值解析函数$f=f(s)$表示为 $a(s)=\frac{i}{2}\int \frac{1}{f_{s}}\big(f^{2}-1,2f,-i(f^{2}+1)\big){\rm d}s;$ 同时, $a(s)$的伪曲率$\kappa(s)$可以表示为 $\kappa(s)=-S(f)(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{f_{ss}}{f_{s}}\right)^{2}-\left(\frac{f_{ss}}{f_{s}}\right)_{s},$ 这里$f(s)$称为$a(s)$的结构函数, $(Sf)(s)$是结构函数的Schwarzian导数.

${\bf定义2.1}$^[13] 设$a(s)$是${\Bbb C}^{3}$中的任意一条迷向曲线, 其E. Cartan标架为$\{e_1,e_2,e_3\}$. 若存在一个非零常向量场$V\in{\Bbb C}^{3}$使得$\langle e_1,V\rangle$$\big(\langle e_2,V\rangle$, $\langle e_3,V\rangle \big)$是一个非零复常数, 则称$a(s)$为一条$1$ -型$(2$ -型, $3$ -型)迷向螺线.

本节首先构造由迷向曲线生成的增长曲面, 然后研究该类增长曲面的一般结构表达式.

${\bf定义3.1}$ 设$a(s)$是${\Bbb C}^{3}$中的一条正则迷向曲线, 将$a(s)$上每点在$t$时刻沿着$\rho(s,t)$的方向移动$\lambda(s)$距离得到的曲面$r(s,t)$称为迷向增长曲面. 它可以表示为

其中$r(s,0)=a(s)$, $\rho(s,t)$和$\lambda(s)$分别称为$r(s,t)$的生成曲线, 生长速度和生长因子.

${\bf注3.1}$ 迷向增长曲面的生长速度$\rho(s,t)$可以由生成曲线$a(s)$的E. Cartan标架$\{e_1, e_2,$$e_3\}$ 线性表出, 于是$r(s,t)$可以进一步表示为

其中$\rho_{i}(s,t), (i=1,2,3)$是关于$s$和$t$的解析函数. 迷向增长曲面的生成过程如图 2所示.

由命题2.1和命题2.2, $a(s)$的E. Cartan标架$\{e_1, e_2, e_3\}$可以表示为

结合命题2.2和方程(3.1), 我们有下面的结论.

${\bf定理3.1}$ 设$r(s,t)=\{r_ {1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$是${\Bbb C}^{3}$中的迷向增长曲面, 则其可表示为

其中$f=f(s)$是生成曲线$a(s)$的结构函数, $\lambda=\lambda(s)$, $\rho_i=\rho_i(s,t)$, $(i=1,2,3)$分别是它的生长因子和生长速度向量的分量.

${\bf例3.1}$ 设$a(s)$是一条伪曲率$\kappa(s)=\frac{1}{2}(3\csc^2s-1)$的迷向曲线. 根据命题$2.2$, 通过解方程可得$f(s)=\cos s$. 若取生长因子$\lambda(s)=\sin s$, 同时生长速度向量的分量为

则根据定理$3.1$, 迷向增长曲面$r(s,t)=\{r_1(s,t),r_2(s,t),r_3(s,t)\}$可以表示为(如图 3, 图 4)

本节研究由$1$ -型$(3$ -型)迷向螺线生成的迷向增长曲面的结构表达式. 首先回顾一条迷向曲线是$1$ -型$(3$ -型)迷向螺线的充要条件.

${\bf定理4.1}$^[13] 一条迷向曲线是$1$ -型$(3$ -型)迷向螺线当且仅当它的伪曲率是复常数.

设$a(s)$是一条$1$ -型$(3$ -型)迷向螺线, 其伪曲率$\kappa(s)=d^2$, 其中$d$是非零复常数. 由命题2.2, 其结构函数满足

通过变量代换, $a(s)$的结构函数$f=f(s)$满足

这里$A_{1}$, $A_{2}$是不同时为零的复常数.

解上述微分方程, 并经过适当的平移变换, 有下列三种情况.

情况 1 当$A_{1}$为零, $A_{2}$不为零时, 结构函数$f(s)$为 $f(s)=A_{3}e^{\sqrt{2}s};$

情况 2 当$A_{1}$不为零, $A_{2}$为零时, 结构函数$f(s)$为 $f(s)=A_{4}e^{-\sqrt{2}s};$

情况 3 当$A_{1}$不为零, $A_{2}$不为零时, 结构函数$f(s)$为

这里$A_{3}$, $A_{4}$, $A_{5}$, $A_{6}$ 是非零复常数, $_2F_{1}(1,1-\frac{1}{d},1+\frac{1}{d},-\frac{e^{\sqrt{2}{\rm d}s}}{A_{6}})$ 是超几何函数.

根据以上3种情况, $1$ -型$(3$ -型)迷向螺线可以进一步分为如下三类.

${\bf定义4.1}$ 设$a(s)$是一条伪曲率为$\kappa(s)=d^2$的1 -型(3 -型)迷向螺线.

$\bullet$ 如果$a(s)$的结构函数$f(s)=ce^{\sqrt{2}s}$, 则称它为1-1 -型(3-1 -型)迷向螺线;

$\bullet$ 如果$a(s)$的结构函数$f(s)=ce^{-\sqrt{2}s}$, 则称它为1-2 -型(3-2 -型)迷向螺线;

$\bullet$ 如果$a(s)$的结构函数

则称它为1-3 -型(3-3 -型)迷向螺线. 这里$c$, $d$, $c_{1}$, $c_{2}$是非零复常数, $_2F_ {1}(1,1-\frac{1}{d},1+\frac{1}{d},-\frac{e^{\sqrt{2}{\rm d}s}}{A_{6}})$ 是超几何函数.

根据定理3.1和定义4.1, 可以得到下面的结论.

${\bf定理4.2}$ 设$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$是由1-1 -型(3-1 -型)迷向螺线生成的迷向增长曲面, 则它可以表示为

这里$\lambda=\lambda(s)$, $\rho_{i}=\rho_i(s,t)$, $(i=1,2,3)$分别是它的生长因子和生长速度向量的分量.

${\bf例4.1}$ 设$a(s)$是一条1-1 -型(3-1 -型)迷向螺线, 在定理$4.2$中, 令$c=1$, $\lambda(s)=s$, 同时

则迷向增长曲面$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$可以表示为(如图 5, 图 6)

${\bf定理4.3}$ 设$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$是由1-2 -型(3-2 -型)迷向螺线生成的迷向增长曲面, 则它可以表示为

这里$\lambda=\lambda(s)$, $\rho_{i}=\rho_i(s,t)$, $(i=1,2,3)$分别是它的生长因子和生长速度向量的分量.

${\bf例4.2}$ 设$a(s)$是一条1-2 -型(3-2 -型)迷向螺线, 在定理$4.3$中, 令$c=1$, $\lambda(s)=s^{\sqrt{2}}$, 同时

则迷向增长曲面$r(s,t)=\{r_1(s,t),r_2(s,t),r_3(s,t)\}$可以表示为(如图 7, 图 8)

${\bf定理4.4}$ 设$r(s,t)$是由1-3 -型(3-3 -型)迷向螺线生成的迷向增长曲面, 则它可以表示成定理$3.1$的形式, 其中

这里$d$, $c_{1}$, $c_{2}$是非零复常数, $_2F_ {1}(1,1-\frac{1}{d},1+\frac{1}{d},-\frac{e^{\sqrt{2}{\rm d}s}}{A_{6}})$是超几何函数.

${\bf例4.3}$ 设$a(s)$是一条1-3 -型(3-3 -型)迷向螺线, 在定理$4.4$中, 令$d=c_1=c_2=1$, $\lambda(s)=1$, 同时

则迷向增长曲面$r(s,t)=\{r_1(s,t),r_2(s,t),r_3(s,t)\}$可以表示为(如图 9, 图 10)

本节研究由$2$ -型迷向螺线生成的迷向增长曲面的结构表达式. 首先回顾一条迷向曲线是$2$ -型迷向螺线的充要条件.

${\bf定理5.1}$^[13] 一条迷向曲线是$2$ -型迷向螺线当且仅当它的伪曲率$\kappa(s)=as^{-2},$ 这里$a$是非零复常数.

由命题2.2, 其结构函数满足

通过变量代换, $a(s)$的结构函数$f=f(s)$满足

这里$B_{1}$, $B_{2}$是不同时为零的复常数.

解上述微分方程, 并经过适当的平移变换, 有下列三种情况.

情况 1 当 $a\neq -\frac{1}{2}$, $B_1$为零时, 结构函数$f(s)$为 $f(s)=\frac{s^{2\sqrt{1+2a}}}{2\sqrt{1+2a}B^2_2};$

情况 2 当 $a\neq -\frac{1}{2}$, $B_1$不为零时, 结构函数$f(s)$为 $f(s)=-\frac{1}{2\sqrt{1+2a}B_1(B_1s^{2\sqrt{1+2a}}+B_2)};$

情况 3 当$a= -\frac{1}{2}$时, 结构函数$f(s)$为 $f(s)=\frac{\ln s}{(B_1+B_2)^2}.$

根据以上3种情况, $2$ -型迷向螺线可以进一步分为如下三类.

${\bf定义5.1}$ 设$a(s)$是一条伪曲率为$\kappa(s)=as^{-2}$的$2$ -型迷向螺线.

$\bullet$ 如果$a(s)$的结构函数$f(s)=cb^{-1}s^b$, $(b=2\sqrt{1+2a})$, 则称它为2-1 -型迷向螺线;

$\bullet$ 如果$a(s)$的结构函数$f(s)=cb^{-1}s^{-b}$, $(b=2\sqrt{1+2a})$, 则称它为2-2 -型迷向螺线;

$\bullet$ 如果$a(s)$的结构函数$f(s)=c\ln s$, 则称它为2-3 -型迷向螺线.

这里$a$, $b$, $c$是非零复常数.

根据定理3.1和定义5.1, 可以得到下面的结论.

${\bf定理5.2}$ 设$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$是由2-1 -型迷向螺线生成的迷向增长曲面, 则它可以表示为

这里$b$, $c$是非零复常数, $\lambda=\lambda(s)$, $\rho_{i}=\rho_i(s,t)$, $(i=1,2,3)$分别是它的生长因子和生长速度向量的分量.

${\bf例5.1}$ 设$a(s)$是一条2-1 -型迷向螺线, 在定理$5.2$中, 令$b=\sqrt{2}$, $c=1$, $\lambda(s)=s^{\sqrt{2}}$, 同时

则迷向增长曲面$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$可以表示为(如图 11, 图 12)

${\bf定理5.3}$ 设$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$是由2-2 -型迷向螺线生成的迷向增长曲面, 则它可以表示为

这里$b$, $c$是非零复常数, $\lambda=\lambda(s)$, $\rho_{i}=\rho_i(s,t)$, $(i=1,2,3)$分别是它的生长因子和生长速度向量的分量.

${\bf例5.2}$ 设$a(s)$是一条2-2 -型迷向螺线, 在定理$5.3$中, 令$b=\sqrt{2}$, $c=-1$, $\lambda(s)=s^{\sqrt{2}}$, 同时

则迷向增长曲面$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$可以表示为(如图 13, 图 14)

${\bf定理5.4}$ 设$r(s,t)=\{r_{1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)\}$是由2-3 -型迷向螺线生成的迷向增长曲面, 则它可以表示为

这里$c$是非零复常数, $\lambda=\lambda(s)$, $\rho_{i}=\rho_i(s,t)$, $(i=1,2,3)$分别是它的生长因子和生长速度向量的分量.

${\bf例5.3}$ 设$a(s)$是一条2-3 -型迷向螺线, 在定理$5.4$中, 令$c=1$, $\lambda(s)=1$, 同时

则迷向增长曲面$r(s,t)={r_ {1}(s,t),r_{2}(s,t),r_{3}(s,t)}$可以表示为(如图 15, 图 16)

本文在三维复空间中, 利用迷向曲线的E. Cartan活动标架定义了迷向增长曲面的一般结构, 并根据生成迷向曲线的结构函数研究了此类增长曲面的类Weirstrass表达式. 考虑螺线在曲面增长中的重要地位和作用, 讨论了由三类迷向螺线生成的迷向增长曲面的一般结构表达式并给出相应的实例. 本文的研究属于复空间中迷向增长曲面的初始性工作, 所得结论可以为在复空间中讨论相关问题提供很好的研究思路和办法, 如复空间中迷向曲线流, 可积系统或孤立子方程等.