乙型肝炎病毒(HBV)可导致健康肝细胞感染进而引发肝脏疾病, 如肝炎, 肝硬化和肝癌等. 据世界卫生组织报告, 目前全世界慢性乙肝病毒感染者约有3.5 亿人, 其中我国有近1.3 亿人, 乙型肝炎是我国发病率最高且危害最大的传染病之一^[1]. 基于HBV感染机制, Nowak等^[2]首次提出了三维常微分方程的HBV 感染模型, 此后更多学者开始关注HBV 感染模型, 并考虑不同因素使得所建立的模型更加符合实际背景. Min等^[3]指出用非线性发生率函数刻画病毒感染过程更加符合实际, 李喜玲等^[4]建立了一类具有免疫时滞和非线性发生率函数的分数阶HBV感染模型,利用泛函微分方程、Caputo分数阶导数和Lyapunov稳定性理论对模型进行了稳定性分析.

事实上, HBV主要活动区域是肝脏, 且病毒颗粒在肝脏内是可以自由移动的.假设病毒的扩散服从Fickian扩散原理, 王开发等^[5]建立了病毒颗粒具有空间依赖的HBV感染模型, 并研究了模型行波解的存在性, 且在此基础上建立了一类具有胞内时滞的HBV扩散模型^[6], 并研究了模型的稳定性; 甘庆涛等^[7]利用交叉迭代和Schauder 不动点理论, 深入分析文献[6]中所建模型行波解的存在性. 进一步考虑不同的非线性发生率函数, 如饱和反应函数^[8], Beddington-DeAngelis反应函数^[9,10]和一般发生率函数^[11]等, 学者们建立并分析HBV扩散模型的动力学性态. 需要注意上述工作均假设病毒与健康肝细胞接触, 然后引起细胞感染. 但研究表明^[12,13]: 感染肝细胞与健康肝细胞接触后, 通过病毒性突触、奈米管等向健康肝细胞内释放大量病毒, 进而引发健康肝细胞被感染, 这种感染方式被称为“细胞-细胞”感染. 杨翠兰等^[14]建立并分析了一类具有细胞-细胞感染和时滞的病毒感染模型的全局稳定性. Sun等^[15]分析了一类具有一般非线性发生率反应函数、细胞-细胞感染和时滞的HBV扩散模型的全局稳定性, 并结合Matlab数值模拟验证了理论结果.

众所周知, HBV病毒属DNA病毒科, 且DNA遗传物质被包含在核衣壳中, 其浓度对病毒颗粒的浓度水平有着重要的影响. 鉴于此, Manna等^[16]在经典HBV 病毒模型^[2]的基础上增加病毒DNA核衣壳仓室, 从而建立了一个四维常微分方程模型, 并分析了模型的稳定性. 考虑染病肝细胞的感染年龄, Liu等^[17]建立并分析了一个具有感染年龄和核衣壳的HBV 模型的稳定性. 进一步考虑时滞^[18]、一般发生率函数^[19]及免疫反应^[20], 学者们建立并分析了具有核衣壳的HBV扩散模型的动力学行为.

本文将考虑病毒DNA核衣壳和细胞-细胞感染, 并考虑病毒DNA 核衣壳和病毒颗粒的自由扩散, 建立具有非线性发生率函数的HBV 扩散模型并对其进行研究.

本文综合考虑病毒DNA核衣壳和细胞-细胞传播的影响, 建立了一类一般性的HBV扩散模型

上述反应-扩散系统(2.1)具有以下的初始条件

其中$\Omega\subset {\Bbb R}^n$是有界区域且具有光滑的边界${\rm \partial}\Omega$. 系统(2.1)具有以下齐次的Neumann边界条件

系统(2.1)中$T(x,t)$, $I(x,t)$, $D(x,t)$和$V(x,t)$分别表示在时刻$t$ 位置$x$处的健康肝细胞、感染肝细胞、病毒DNA核衣壳和病毒颗粒的浓度. 其他参数的生物学意义参见表1.

非线性一般发生率函数$h_1(T,V)$和$h_2(T,I)$满足下面的假设.

假设2.1 (i) 对于所有的$T, I, V\geq 0$, $h_1(T,0) = h_1(0,V) = h_2(T,0) = h_2(0,I) = 0$; 并且对于所有$T, I, V> 0$, 存在$\eta_1,\eta_2>0,$ 都有$0<h_1(T,V)\leq \eta_1T$和$0<h_2(T,I)\leq \eta_2T$;

(ii) 对于所有的$T, I, V\geq 0$, ${{\rm \partial} h_1(T,V)}/{{\rm \partial} V}\geq0$和${{\rm \partial} h_2(T,I)}/{{\rm \partial} I}\geq0$; 并且对于所有的$T\geq0$和$I, V>0$, 都有${{\rm \partial} h_1(T,V)}/{{\rm \partial} T}>0$和${{\rm \partial} h_2(T,I)}/{{\rm \partial} T}>0$;

(iii) 对于所有$T, I, V\geq 0$, 都满足$V \frac{{\rm \partial}h_1(T,V)}{{\rm \partial} V}-h_1(T,V)\leq0$和$I \frac{{\rm \partial} h_2(T,I)}{{\rm \partial} I}-h_2(T,I)\leq0$.

定义系统 (2.1)满足的向量空间为${\Bbb X}:=C(\overline\Omega,{\Bbb R}^4),$ 且该空间的范数定义为

定义线性算子$A_i:C^2(\overline\Omega,{\Bbb R})\rightarrow C^2(\overline\Omega,{\Bbb R})$$( i=1,2)$, 满足以下条件

由文献[21]得, 算子$A_i$是强连续半群$\{e^{A_i t}\}_{t\geq0}(i=1,2)$ 在$C(\overline\Omega,{\Bbb R})$ 上的一个无穷小生成元. 故定义算子${\cal A}:{\Bbb X}\rightarrow {\Bbb X}$ 为

显然, ${\cal A}$也是强连续半群$\{e^{{\cal A} t}\}_{t\geq0}$在${\Bbb X}$上的一个无穷小生成元. 接下来定义一个非线性算子${\cal F}:{\Bbb X}^+\rightarrow {\Bbb X}^+,$

其中$\phi=(\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4)^T\in {\Bbb X}^+.$ 因此, 我们将系统(2.1)转化为具有向量形式的柯西问题

其中$u(t)=(T(t),I(t),D(t),V(t))^{T}$和$u_0=(T_0,I_0,D_0,V_0)^{T}$. 关于上述柯西问题(3.3)解的存在性, 我们给出如下结论.

引理 3.1 对于任意$u_0\in D({\cal A}),$ 存在常数$T_{\max}>0,$ 使得柯西问题(3.3)存在唯一的局部解

其中$T_{\max}<+\infty.$ 此外, 若$T_{\max}=\infty,$ 则$\lim\limits_{t\rightarrow T_{\max}}\|u(x,t;u_0)\|=\infty.$

证 显然, 算子${\cal F}$在${\Bbb X}$上是Fréchet可微, 其导数形式

其中

结合文献[引理2.1]. 证毕.

定理 3.1 若初始条件$u_0=(T_0,I_0,D_0,V_0)$非负, 系统(2.1)的解$u(x,t;u_0)$在$[0,T_{\max})\times {\Bbb X}^+$上也是非负的.

证 记$0=(0,0,0,0)^T,$ 对于任意非负的初始条件$u_0$和非负数$\rho$, 可以得到

根据假设2.1, 可以得到对于所有的$T,I,V\geq0,$ 有$0\leq h_1(T,V)\leq\eta_1T$和$0\leq h_2(T,I)\leq\eta_2T$. 取$0\leq\rho\leq\min\{1/(\mu+\eta_1+\eta_2),1/\delta,1/(\alpha+\delta),1/c\},$ 可以得到

选择充分小的$\rho,$ 则有$u_0+\rho{\cal F}(u_0)\in {\Bbb X}^+.$ 特别地,

证毕.

为了证明系统(2.1)解的存在性, 现定义如下空间

其中$M_1$和$M_2$分别在式(3.5)和(3.7)给出定义.

引理 3.2$\Gamma$是系统(2.1)的正不变集.

证 假设$u_0=(T_0,I_0,D_0,V_0)^T\in\Gamma.$ 定义一个新变量$H(x,t)=T(x,t)+I(x,t),$ 显然$H(x,0)=H_0(x)=T_0(x)+I_0(x)\in\Gamma.$$H(x,t)$两边同时对$t$求偏导, 得到

解上述微分不等式, 可以得到

进一步地, 可以得到$I(x,t)\leq s/\mu.$ 将$I(x,t)\leq s/\mu$带入到系统(2.1)的第三个方程, 得到下述系统

通过系统(3.4)可以构造下述系统

通过解微分方程, 对于任意的$t\in[0,T_{\max}),$ 可以得到

由比较原理^[23], 显然$D(x,t)\leq\widetilde{D}(t).$ 因此, 对任意$(x,t)\in\overline\Omega\times[0,T_{\max}),$ 都有$D(x,t)\leq M_1.$ 将其代入系统(2.1)的第四个方程, 得到以下系统

同样地, 依据系统(3.6)构造下述系统

解得

应用比较原理^[23], $V(x,t)\leq\widetilde{V}(t)\leq M_2.$ 因此, 对于任意$(x,t)\in\overline\Omega\times[0,T_{\max}),$ 有$V(x,t)\leq M_2.$ 得证.

由引理3.1和定理3.1, 对于任意的初始条件$u_0\in\Gamma,$ 系统(2.1)存在唯一的全局解$u\in\Gamma.$ 故定义系统由(2.1) 生成的连续半流$\{\Phi_t\}_{t\geq0}: {\Bbb X}^+\rightarrow {\Bbb X}^+,$ 且$\Phi_t(u_0):=u(\cdot,t;u_0), t\geq0.$ 引理3.2表明对于任意$t\geq0$和$u_0\in\Gamma,$ 都有$\Phi_t(u_0)\in\Gamma.$

对任意的$t\geq0,$ 定义$\Phi(t):\Gamma\rightarrow\Gamma$为$\Phi(t)\phi=u(\cdot,t;u_0),$ 其中

是系统(2.1)过初值$\phi\in\Gamma$上的解. 令$\Phi:=\Phi(\omega)$是系统(2.1)的Poincaré映射. 显然, $\Phi(t)$不紧, 因此本文需要引入Kuratowski 非紧性测度的概念. 具体地, 对$\Gamma$上的任意有界子集$B,$ 定义$B$的Kuratowski非紧性测度为

引理 3.3^[24] 对于任意$t>0,$$\Phi(t)$在$\Gamma$上是$\kappa$ -压缩的, 且具有压缩函数$e^{-mt}.$ 另外, $\Phi$在$\Gamma$上有一个连通的全局吸引子.

证 系统(2.1)的无感染平衡点为$E_0=(s/\mu,0,0,0),$ 则可在$E_0$处线性化为

根据系统(3.8), 可将$\Phi(t)$分解为$\Phi(t)=\Phi_1(t)+\Phi_2(t), \, t\geq0,$ 其中

由假设, 可以得到

因为$I>0,$ 故总存在一个$\varepsilon>0,$ 使得$I>\varepsilon>0.$ 由于${\partial h_2(T,I)}/{\partial I}<{\eta_2}/{\varepsilon}\triangleq k,$ 故$\delta-{\partial h_2(T,I)}/{\partial I}\geq\delta-k\triangleq m.$ 因此, 可以得到

另一方面, 由$\Phi(t)$的有界性和$C_0$ -半群的紧性, 显然得到对于任意的$t>0,$ 算子$\Phi_2(t)$是压缩的. 因此, 对$\Gamma$中的任意有界集$B,$ 都有

综上所述, $\{\Phi(t)\}_{t\geq0}$ 在$\Gamma$上是$\kappa$ -压缩的, 且其压缩函数为$e^{-mt}.$ 进而得到, $\Phi$在$\Gamma$中有一个连通的全局吸引子^[25].证毕.

由下一代矩阵法可以定义系统(2.1)的基本再生数$\mathfrak{R}e_0$如下

显然, 系统(2.1)总有一个无感染平衡态$E_0=(s/\mu,0,0,0).$ 接下来, 我们将通过数学推导验证感染平衡态$E^*=(T^*,I^*,D^*,V^*)$ 的存在唯一性.

定理 4.1 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 系统(2.1)存在唯一的感染平衡态$E^*.$

证 已知系统(2.1)的平衡态满足方程组

通过简要计算, 可以得到

由$T^*=(s-\delta I^*)/\mu\geq0,$ 解不等式得到$I^*\leq s/\delta.$ 现将式(4.2)代入到方程组(4.1)的第二个方程中, 得到

在区间$[s/\delta]$上构造如下函数

根据假设2.1, 显然有$f(0)=0,$$f(s/\delta)=-s<0.$ 下面将通过$f'(0)$的正负判断$f(I)$ 在$I=0$附近的变化趋势. 又因为$h_1(s/\mu,0)=h_2(s/\mu,0)=0,$ 则显然有

故

当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 得到$f_+'(0)>0.$ 应用极限的局部保号性, 存在一个充分小的$\varepsilon>0,$ 使得对任意$I\in(0,\varepsilon)$都有$[f(I)-f(0)]/(I-0)>0.$取$I_1\in(0,\varepsilon),$ 化简得到$f(I_1)>0.$ 由连续函数的零点定理, 至少存在一个$I^*\in[I_1,s/\delta]\subset[s/\mu],$ 使得$f(I^*)=0.$ 根据(4.2) 式, 可以得到$T^*,D^*,V^*$也存在, 即系统(2.1)的感染平衡态$E^*$存在.

下面证明$E^*$的唯一性. 根据假设2.1, 我们推导出对于所有的感染平衡态$E^*$都有下式

假设$f(I)=0$在区间$(0,s/\mu)$上至少有两个根, 由于$f(I)$连续可微, 则必然存在另一个正零点$\tilde{I}^*,$ 使得$f'(\tilde{I}^*)\geq0.$ 显然这是矛盾的, 故当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 系统 (2.1)的感染平衡态$E^*$存在且唯一.证毕.

在本章节, 我们将讨论无感染平衡态的局部以及全局稳定性, 并且证明系统 (2.1)的一致持续性和感染平衡态的全局稳定性.

令$0=\mu_0<\mu_1<\cdots<\mu_n<\cdots$是拉普拉斯算子$-\Delta$在$\overline\Omega$上满足齐次Neumann边界条件的一组特征值, 定义$E(\mu_i)$是对应于特征值$\mu_i$的特征空间, 其中$\mu_i\in C^1(\Omega)(i=0,1,2\cdots ).$ 定义$\{\phi_{ij}: j=1,2,\cdots,\dim E(\mu_i)\}$表示特征空间$E(\mu_i)$下的一组标准正交基, ${\Bbb Y}=[C^1(\overline\Omega)]^4,$ 并且${\Bbb Y}_{ij}=\{a\phi_{ij}: a\in {\Bbb R}\}.$ 那么

定理5.1 若$\mathfrak{R}e_0<1,$ 系统(2.1)的无感染平衡态$E_0$是局部渐近稳定的. 若$\mathfrak{R}e_0>1,$$E_0$是不稳定的.

证 系统(2.1)在$E_0$处的线性化形式为

其中$u=(T,I,D,V)^T,$$\Lambda={\rm diag}(0,0,d_1,d_2)^T,$ 并且

显然, $X_i(i=0,1,2,\cdots )$在线性化下都是不变的. 我们使用指数形式的解$u(x,t)=e^{\lambda t}\Psi(x),$ 其中$\Psi\in X_i,$ 并且满足$\Delta\Psi=-\mu_i\Psi.$ 对指数形式的解两边关于$t$求偏导, 得到

将其代入(5.1)式得到$\lambda u=-\mu_i\Lambda u+{\cal J}_0u.$简要整理, 我们得到

考虑到方程组(5.2)有非平凡解, 根据克拉默法则, (5.2)的系数行列式$\det(\lambda E-{\cal J}_0+\mu_i\Lambda)=0$. 通过计算行列式得到系统(2.1)在$E_0$处的特征方程为

其中

显然, 特征方程(5.3)有一个负实特征根. 由$\mathfrak{R}e_0<1,$ 得到$\frac{\alpha\theta}{\delta c(\alpha+\delta)}\frac{{\rm \partial} h_1(\frac{s}{\mu},0)}{{\rm \partial} V}<1$和$\frac{1}{\delta}\frac{{\rm \partial} h_2(\frac{s}{\mu},0)}{{\rm \partial} I}<1.$ 可将其分别变形为$\alpha\theta\frac{{\rm \partial} h_1(\frac{s}{\mu},0)}{{\rm \partial} V}<\delta c(\alpha+\delta)$ 和$\delta-\frac{{\rm \partial} h_2(\frac{s}{\mu},0)}{{\rm \partial} I}>0.$ 显然得到$A_1,A_2>0.$

根据Routh-Hurwitz判据, 当$\mathfrak{R}e_0<1$时, 特征方程(5.3)的所有根都有负实部, 故无感染平衡态$E_0$是局部渐近稳定的. 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 考虑到$i$确定了扩散特征值$\mu_i,$ 故定义

显然, 我们有$g(0,0)=A_0<0$和$\mathop{\lim}\limits_{\lambda\rightarrow+\infty}g(\lambda,0)=+\infty.$ 根据广义的零点存在性定理, $g(\lambda,i)=0$至少存在一个$\lambda_0>0,$ 使得$g(\lambda_0,0)=0.$ 因此,当$\mathfrak{R}e_0>1$时, $E_0$是不稳定的.证毕.

定理5.2 当$\mathfrak{R}e_0<1$时, 系统(2.1)的无感染平衡态$E_0$是全局渐近稳定的.

证 定义一个Lyapunov泛函

对${\cal L}(t)$沿着系统(2.1)的轨线求导数, 得到

根据高斯散度定理和齐次Neumann边界条件(2.3), 可以得到

由假设2.1, 得到${h_1(s/\mu,V)}/{V}$是关于$V$的减函数, 同理${h_2(s/\mu,I)}/{I}$是关于$I$的减函数. 因此

因此, 当$\mathfrak{R}e_0<1$时, 我们有${\rm d}{\cal L}(t)/{\rm d}t\leq 0.$显然$\{E_0\}$是$\Gamma$中的最大不变集. 根据Lyapunov-LaSalle不变集原理^[26], 无感染平衡态$E_0$ 是全局渐近稳定的. 证毕.

定义5.1 若具有初始条件$u_0\in {\Bbb X}^+$的解$u(x,t;u_0)$是有界的并且远离零点, 即对任意$u_0\in {\Bbb X}^+$都有

则称系统(2.1)在${\Bbb X}^+$上是一致持续的.

定义

其中$\omega(\phi)$表示轨$O^+(\phi):=\{\Phi_t(\phi):t>0\}$的极限集, 其中$\{\Phi_t\}_{t\geq0}$定义为系统(2.1)的解半流.

引理5.1^[22] 若$\sigma$和$\alpha$都是$\Omega$内的非负常数, 则下述系统

在$C(\overline\Omega,{\Bbb R})$上有一个恒为正的平衡态$\alpha/\sigma,$ 同时该平衡态在$C(\overline\Omega,R)$上是全局渐近稳定的.

定理5.3 对于系统(2.1), 有下述的三条结论成立.

(I) 对于任意$u_0 \in M_\partial,$ 都有$\omega(u_0)=\{E_0\}.$

(II) 当$x\in \overline\Omega,t>0$时, 对于任意$u_0 \in\Gamma_0,$ 都有以下四个不等式成立

(III) 若$\mathfrak{R}e_0<1,$ 则无感染平衡态$E_0=(s/\mu,0,0,0)$在$\Gamma_0$上是全局吸引的. 若$\mathfrak{R}e_0>1,$ 则无感染平衡态$E_0$是$\Gamma_0$的一致弱排斥子. 即存在一个任意小的$\varepsilon>0,$ 使得

证 (I) 假设$u_0\in M_{\rm \partial},$ 则系统(2.1)退化为

对(5.5)式积分, 则

因此, 当$t\rightarrow +\infty,$ 对于任意$x\in \overline\Omega,$ 都有$T(x,t)\rightarrow s/\mu.$ 即$\omega(u_0)=\{(s/\mu,0,0,0)\}=\{E_0\}.$

(II) 首先证明对于任意$t>0,x\in\overline\Omega,$ 存在常数$\xi>0,$ 使得$\mathop{\lim}\limits_{t\rightarrow+\infty}\inf T(x,t;T_0)\geq\xi.$ 根据假设2.1和系统(2.1)的第一个方程, 我们有

由引理5.1, 令$\Psi(x,t)=\overline{T}(x,t),$ 取$\alpha=s, \sigma=\mu+\eta_1+\eta_2,$ 得到了新的系统

则系统(5.7)存在唯一正平衡态$s/(\mu+\eta_1+\eta_2),$ 并且在空间$C(\overline\Omega,\mathbb{R})$上是全局渐近稳定的. 根据比较原理和式(5.6), 存在常数$\xi>0,$ 使得$\mathop{\lim}\limits_{t\rightarrow+\infty}\inf T(x,t;T_0)\geq\xi.$

接下来分三种情形证明不等式成立. 若$I_0(x)\not\equiv0.$ 由系统(2.1) 的第二个方程得到

显然对于任意$t>0,x\in\overline\Omega,$$I(x,t)>0.$ 由系统(2.1)的第三个方程, $D(x,t)$可写成

其中$\{T_3(t)\}_{t\geq0}$表示由$d_1\Delta-(\alpha+\delta)$生成的$C_0$ -半群. 根据拉普拉斯算子生成的$C_0$ -半群的性质得到, $T_3(t)$是非负的, 故对所有的$t>0,x\in\overline\Omega,$ 都有$D(x,t)>0.$ 同样地, 由系统(2.1)的第四个方程, $D(x,t)$可写成如下形式

其中$\{T_4(t)\}_{t\geq0}$表示由$d_2\Delta-\alpha$生成的$C_0$ -半群, 故$T_4(t)$ 是非负的, 即对所有的$t>0,x\in\overline\Omega,$ 都有$V(x,t)>0.$

若$D_0(x)\not\equiv0.$ 根据系统(2.1)的非负性与第三个方程, ${{\rm \partial} D}/{{\rm \partial} t}\geq d_1\Delta D-(\alpha+\delta)D,$ 则$D(x,t)$为下述系统的上解

由最大值原理和比较原理^[23], 对于所有的$t>0,x\in\overline\Omega,$$D(x,t)\geq\widehat{D}(x,t)>0.$ 同理, 对任意$t>0,x\in\overline\Omega,$ 可得到$V(x,t)>0.$ 对于系统(2.1)的第二个方程, ${{\rm \partial} I}/{{\rm \partial} t}\geq h_1(T,V)-\delta I,$$h_1(T,V)$是严格正的, 故对所有的$t>0,x\in\overline\Omega,$ 都有$I(x,t)>0.$

若$V_0(x)\not\equiv0.$ 由等式(5.9),有

结合$T(x,t)$和$V(x,t)$的正性, 再根据等式(5.8), 显然得到对任意的$t>0,x\in\overline\Omega,$$I(x,t)>0.$ 将结果代入系统(2.1)的第三个方程, 得到

由最大值原理和Hopf边界引理^[23], 对所有的$t>0,x\in\overline\Omega,$ 得到$D(x,t)>0.$

(III) 根据文献[推论4.3.2], $\lambda(s/\mu)=\max\{{\rm Re}\lambda|\lambda\in\sigma({\cal J}_0-\mu_i\Lambda)\}$

是矩阵${\cal J}-\mu_i\Lambda$的主特征值, 其中$\sigma({\cal J}_0-\mu_i\Lambda)$是矩阵所有特征值的集合.

由定理5.1, 当$\mathfrak{R}e_0<1$时, 主特征值$\lambda(s/\mu)<0,$ 则存在一个充分小的$\varepsilon>0,$ 使得$\lambda(s/\mu+\varepsilon)<0.$ 进一步地, $T(x,t)$ 满足

由比较原理, 存在$t_0>0,$ 使得

故, 对所有的$t\geq t_0$都有

可以得到下述的比较系统

令$\widehat{\xi}:=(\widehat{\xi}_2,\widehat{\xi}_3,\widehat{\xi}_4)$ 是系统(5.10)对应于主特征值$\lambda(s/\mu+\varepsilon)$的正特征向量, 则对于所有的$t\geq t_0,x\in\overline\Omega,$ 系统(5.10)的解

由于对于任意给定的$u_0\in \Gamma_0,$ 存在$\varsigma>0,$ 使得

根据比较原理, 可以得到

由$\lambda(s/\mu+\varepsilon)<0,$ 得到

并且系统(2.1)的第一个方程渐近于系统

由渐近自治半流理论(见文献[推论4.3]), 得到

下证当$\mathfrak{R}e_0>1$时, $E_0$在$\Gamma_0$上是弱排斥的. 反证法. 对$\forall \, u_0\in\Gamma_0$和充分小的$\epsilon>0,$ 假设 $\mathop{\lim}\limits_{t\rightarrow +\infty}\|\Phi_t(u_0)-E_0\|<\epsilon.$ 这意味着存在$t_1>0,$ 使得

接下来, 构造一个新的系统

令$\widetilde{\xi}:=(\widetilde{\xi}_2,\widetilde{\xi}_3,\widetilde{\xi}_4)$ 是系统(5.11)对应于主特征值$\lambda(s/\mu-\epsilon)$的正特征向量, 则系统(5.11)的解为$(\widetilde{I}(x,t),\widetilde{D}(x,t),\widetilde{V}(x,t))=e^{\lambda(s/\mu-\epsilon)t}(\widetilde{\xi}_2,\widetilde{\xi}_3,\widetilde{\xi}_4).$ 根据定理5.1, 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 主特征值$\lambda(s/\mu)>0,$ 由主特征值的连续性以及充分小的数$\epsilon$, 可得到$\lambda(s/\mu-\epsilon)>0.$ 对于任意给定的$u_0\in \Gamma_0,$ 存在$\zeta>0,$ 使得$(I(\cdot,t_1),D(\cdot,t_1),V(\cdot,t_1))\geq\zeta\widehat{u}(\cdot,t_1).$ 再根据比较原理^[23], 得到

显然, $I(x,t),D(x,t),V(x,t)$都是无界的, 与假设矛盾. 故原命题成立.

定理5.4 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 系统(2.1)在$\Gamma_0$上是一致持续的.

证 令$M=\{(s/\mu,0,0,0)\},$ 根据引理5.1, 我们得到$M_{\rm \partial}$是${\rm \partial} \Gamma_0$的最大紧集, 由定理5.3中(III)得到$E_0=(s/\mu,0,0,0)$在$\Gamma$上是孤立的, 并且$\Gamma_0\bigcap W^s(E_0)=\emptyset,$ 其中$W^s(E_0)$表示$E_0$的稳定流形. 故在$M_{\rm \partial}$中不存在$E_0$到自身的循环. 根据文献[定理3], 存在一个常数$\eta>0,$ 使得

即对所有的$u_0\in\Gamma_0,$ 都有

因此, 系统(2.1)是一致持续的.证毕.

本小节我们将通过构造Lyapunov函数证明当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 系统(2.1)的感染平衡态$E^*$的全局渐近稳定的. 为此需要引入函数$G(x)=x-1-\ln x.$ 显然$x=1$是$G(x)$唯一的极值点, 并且对于任意$x>0,$ 都有$G(x)\geq0.$ 进一步地, 我们做如下假设.

假设5.1 非线性一般发生率函数$h_1(T,V)$和$h_2(T,I)$分别满足下述不等式

定理5.5 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 系统(2.1)的感染平衡态$E^*$是全局渐近稳定的.

证 定义一个Lyapunov泛函

且平衡态满足以下等式

对$\widetilde{{\cal L}}(t)$沿着系统(2.1)的轨线求导数, 得到

其中

使用齐次Neumann边界条件(2.3)和散度定理, 可以推出

同样地, 我们得到

故

最后根据假设2.1以及$G(x)$在$x=1$两侧的单调性, 可以得到

因此

故, 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 我们有${\rm d}\widetilde{{\cal L}}(t)/{\rm d}t\leq 0.$ 显然$\{E^*\}$是$\Gamma$中的最大不变集. 根据Lypunov-LaSalle不变集原理^[26], 感染平衡态$E^*$是全局渐近稳定的.证毕.

下面, 我们将通过数值模拟验证定理5.2和5.5 的正确性, 并探索扩散系数对HBV感染的影响. 取抽象函数$h_1={\beta_1TV}/{1+aV},$$h_2=\beta_2TI.$ 将函数代入基本再生数$\mathfrak{R}e_0$中, 可得

结合文献[1], 我们假设病毒的活动范围为有界区域$\Omega=(0,5)\times(0,5),$ 取初值 $(T_0,I_0,D_0,V_0)=(10,0,0.1,0.1).$ 取扩散系数$d_1=d_2=1.0\times10^{-4},$ 其他参数$\mu=0.01,$$\beta_1=0.01,$$a=0.05,$$\beta_2=0.01,$$\delta=1,$$\alpha=0.1,$$\delta=1,$$\theta=1,$$c=0.02.$

取$s=0.14$时, 通过计算可得$\mathfrak{R}e_0=0.7764<1.$ 如图1展示了各状态变量的空间分布情况, 图2分别取三组不同的位置研究了各状态变量的时间序列图, 图1和图2 分别从空间和时间角度验证了无感染平衡态是全局渐近稳定的. 当取$s=0.75,$ 计算得到$\mathfrak{R}e_0=4.1591>1.$ 如图3展示了各状态变量的空间分布情况, 图4 中我们取三组不同的位置, 得到各状态变量的三组时间序列图, 结合图3和图4显然可以观察到感染平衡态$E^*$ 是全局渐近稳定的.

为了进一步探究扩散系数对各个状态变量的影响, 我们设置了对照组进行研究. 假设$d_1=d_2=d,$ 并取三组扩散系数分别为: $0,$$1.0\times10^{-6},$$1.0\times10^{-4},$ 其他参数取值和图3相同. 图5 -图8显示了各状态变量取三组扩散系数下的空间分布图, 显然可以发现, 随着扩散系数的增大, 扩散区域也在逐渐增大, 感染的最终状态受空间的影响也更为明显. 这表明扩散系数越大, HBV感染的最终状态越严重.

本文建立了一类具有病毒DNA核衣壳和细胞间传播的一般HBV扩散模型,依据下一代矩阵法定义了模型的基本再生数, 证明了模型的一致持续性, 且证明了当$\mathfrak{R}e_0<1$时,无感染平衡态是全局渐近稳定的; 当$\mathfrak{R}e_0>1$时, 感染平衡态是全局渐近稳定的. 模型的全局稳定性排除了震荡或分支等复杂动力学行为的存在, 这表明空间上的局部扩散并不会影响模型的稳定性. 数值模拟的结果显示扩散影响着HBV感染, 扩散系数越大, HBV感染的空间区域越大.