一类拟单调变分不等式的惯性投影算法
Inertial Projection Algorithms for Quasimonotone Variational Inequalities
通讯作者:
收稿日期: 2022-01-23 修回日期: 2022-05-27
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Received: 2022-01-23 Revised: 2022-05-27
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作者简介 About authors
杨蓝翔,E-mail:
陈艺,E-mail:
2020 年, Liu 和 Yang 在 Hilbert 空间中提出了一种求解拟单调变分不等式的投影算法. 该文介绍了一种新的惯性系数来加速 Liu 和 Yang 文中的算法, 并在相同的假设条件下得到了算法的全局弱收敛性. 数值实验表明适当选取参数后的惯性方法比 Liu 和 Yang 文中的算法有更少的迭代步数和计算机耗时.
关键词:
In 2020, Liu and Yang proposed a projection algorithm (LY for short) for solving quasimonotone variational inequality in Hilbert Space. In this paper, by taking a new inertia coefficient, we present an inertial technique to accelerate LY. Under the same assumptions, the global weak convergence of the sequence generated by this algorithm is obtained. Numerical experiments show that the new algorithm can accelerate LY from the point view of iterate number steps and the point view of CPU time cost by taking suitable parameters.
Keywords:
本文引用格式
杨蓝翔, 陈艺, 叶明露.
Yang Lanxiang, Chen Yi, Ye Minglu.
1 引言
设
本文考虑如下的经典变分不等式问题, 记为 VI(
记
由于
参见文献[引理 2.1]. 在
最近,Ye[15] 给出了一种在
选取
其中
注意到惯性算法的生成点与解集的距离没有 Fejer 单调性. 因此, 当惯性系数为一个固定常数并且算法所生成的迭代点趋近于变分不等式的解时, 迭代点到变分不等式解集的距离会出现反复震荡的情形, 参见文献[21]. 因此, 本文中的惯性系数没有取常数, 而是把惯性系数修改为随着迭代步数单调递减趋于 0.
2 预备知识
本节中我们用
定义2.1 (i)若映射
则称
(ii)若映射
则称
(iii)若映射
则称
(iv)若存在常数
则称映射
引理2.1[22] 设
引理2.2[23] 对任意的
引理2.3[23] 设
(i) 对任意的
(ii) 序列
引理2.4[24] 设
那么有以下结论成立
(a)
(b) 存在一个
为了考虑变分不等式问题, 本文还做了如下假设
(A) 映射
(B)
(C) 映射
(D) 映射
(E) 集合
3 算法与收敛分析
在这一节里, 我们主要介绍算法及其收敛性分析. 我们先介绍算法如下.
算法 3.1 步骤1 选取初始点
步骤2 选取
步骤3
如果
步骤4
步骤5
步骤6 令
注3.1 注意到惯性算法的生成点与解集的距离没有 Fejer单调性. 因此, 本文的惯性系数
引理 3.1 设
证 见文献[引理 3.1].
引理 3.2 假设条件 (a), (b) 成立,
(a) 对于任意固定
(b)
证 (a)对于任意固定的
由
于是结合(3.6)式, 可以得到如下不等式关系
这里的第二个不等式的成立是依据
结合(3.7)式可知, 存在一个正整数
另一方面, 由 (3.2) 式中
结合(3.9)式通过变形可以得到, 对于任意的
在(3.1)式中, 根据
那么
最后由引理 2.4 以及 (3.11), (3.13) 式可以推出结论 (a) 成立. 下面证明结论 (b) 成立.
通过利用 (3.9), (3.10) 式可以观察到对于任意的
因此, 由结论 (a) 以及
再结合 (3.7) 和 (3.8) 式可得
接下来, 由 (3.4)式, 引理 3.1 以及
再由 (3.15)式, 则
此外, 通过利用 (3.15), (3.16)式, 以及三角不等式
可得
另外, 由(3.2)式中
那么
再由 (3.17)式,
最后, 利用(3.16),(3.18)式和三角不等式
引理 3.3 假设条件 (A)-(D) 成立,
证 由引理 3.2(a) 可知, 序列
情形1 当
情形2 当
那么对于任意固定的
由引理 3.1, 引理 3.2(b) 以及
当
这意味着存在一个正整数
再由
当
设
那么
取
则
由
这意味着
因此
下面说明
由此, 结合
即
由
引理 3.4 假设条件 (A)-(E) 成立,
证 设
情况1 若存在
4 数值实验
YCY1:
YCY2:
YCY3:
YCY4:
YCY与 LY 的终止条件分别为
例4.1 本例被文献[14]用于拟单调变分不等式问题的算法检验. 设
例4.2 本例被文献[25] 用于单调变分不等式问题的算法检验. 设
这里的向量
例4.3 本例在
其中
因此, VI(
参考文献
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On a method for convex programs using asymmetrical modification of the Lagrange function
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求解伪单调变分不等式的修正投影收缩算法
Modified projection and contraction algorithm for solving pseudomonotone variational inequality problems
关于伪单调变分不等式与不动点问题的新投影算法
A new projection algorithm for solving pseudo-monotone variational inequality and fixed point problems
解变分不等式的一种二次投影算法
A double projection algorithm for solving variational inequalities
求解变分不等式的一种双投影算法
A double projection method for solving variational inequalities
A double projection method for solving variational inequalities without monotonicity
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An infeasible projection type algorithm for nonmonotone variational inequalities
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Inertial projection and contraction algorithms with larger step sizes for solving quasimonotone variational inequalities
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New strong convergence theorem of the inertial projection and contraction method for variational inequality problems
一类伪单调变分不等式与不动点问题的自适应惯性投影算法
A Self-adaptive inertial projection algorithm for a class of pseudomonotone variational inequalities and fixed-point problems
A new inertial two-subgradient extragradient algorithm for variational inequality problems
Projection methods with alternating inertial steps for variational inequalities: Weak and linear convergence
DOI:10.1016/j.apnum.2020.06.009 URL [本文引用: 2]
Weak convergence of a relaxed and inertial hybrid projection-proximal point algorithm for maximal monotone operators in Hilbert Space
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Modified hybrid projection methods for finding common solutions to variational inequality problems
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