设 $H$ 为 Hilbert 空间, 用 $\langle{\cdot,\cdot}\rangle$ 表示其内积, $C$ 为 $H$ 中非空闭凸子集. 变分不等式问题就是找 $x^*\in C$ 满足

这里 $A: H\rightarrow H$ 是一个算子. 用 ${\rm VI}(C,A)$ 表示 $(1.1)$式的解集. 变分不等式问题与许多数学问题之间有着密切的联系, 例如分裂可行性问题, 均衡问题等, 同时变分不等式理论也是研究经济学, 工程力学等科学问题的一种重要工具, 参见文献[1⇓⇓⇓-5].

求解变分不等式问题的一个早期方法是超梯度方法. 更确切地说, Korpelevich^[6] 提出了如下的双投影超梯度算法

这里$\tau\in(0, \frac{1}{L})$, $A$ 为单调且 $L$ -利普希茨连续算子. 他们证明了由 $(1.2)$ 式生成的迭代序列是弱收敛的. 注意到这个方法需要计算两次到可行集 $C$ 上的投影, 一般来说当 $C$ 具有复杂的结构时, 会增加算法的计算时间从而影响算法的效率. Censor 等 ^[7] 引入了下述次超梯度算法

这里 $\tau\in(0, \frac{1}{L})$, 他们在适当的条件下建立了所提算法的弱收敛. 注意到次超梯度算法将 $C$ 上的第二个投影替换为半空间上的投影, 近年来这个方法受到了学者们的极大关注, 参见文献[8⇓⇓-11].

在现实的应用中可以发现, 无限维空间中强收敛是优于弱收敛的, 学者们提出了求解变分不等式问题的强收敛定理^[12,13]. 值得指出的是, 惯性项是用于加速基本算法收敛速率的一种技术, 惯性算法求解变分不等式和优化等问题已经受到了学者们的广泛关注, 见文献[14⇓-16]. 最近, Thong 等 ^[17] 提出了下述的自适应惯性次超梯度算法

这里

他们证明了由此算法生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛到 ${\rm VI}(C,A)$ 中的一个元.

受上述事实的启发, 本文提出一个新的自适应次超梯度粘性算法并建立了强收敛定理, 通过数值例子说明了算法的有效性.

用 $x_n\rightharpoonup x$, $x_n \rightarrow x$ 分别表示 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 弱收敛和强收敛到 $x$. 任取 $x, y\in H, \alpha\in {\Bbb R}$, 有

任取 $x\in H$, 众所周知, $C$ 中存在唯一最近点, 记为 $P_Cx$, 满足

$P_C$ 称为 $H$ 到 $C$ 上的度量投影. 易知 $P_C$ 为 $H$ 到 $C$ 上的非扩张映射.

映射 $T:H\rightarrow H$ 称为 $L$ -利普希茨连续的, 若

若 $L=1$, 称 $T$ 为非扩张的. 若 $L\in(0,1)$, 称 $T$ 为严格压缩的.

映射 $T:H\rightarrow H$ 称为伪单调的, 若

映射 $T$ 称为序列弱连续的, 若任给序列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\rightharpoonup x$, 有 $Tx_n\rightharpoonup Tx$.

为了证明主要定理, 需要如下引理.

引理2.1^[18] 设 $C$ 为实 Hilbert 空间 $H$ 中非空闭凸子集. 给定 $x\in H, z\in C$, 则

引理2.2^[18] 设 $C$ 为实 $\rm Hilbert$ 空间 $H$ 中非空闭凸子集. 给定 $x\in H$, 则

(i)$\langle{P_Cx-P_Cy, x-y}\rangle \geq ||{P_Cx-P_Cy}||^2,\,\forall\, y\in H;$

(ii)$||{x-y}||^2\geq||{x-P_Cx}||^2+||{y-P_Cx}||^2,\forall\,y\in C.$

引理2.3^[19] 设 $\{\varphi_n\}, \{\alpha_n\}, \{\delta_n\}$ 为 $[0,+\infty)$ 中的序列满足

存在实数 $\alpha$ 满足 $0\leq \alpha_n\leq \alpha\leq 1,\,\forall n\in {\Bbb N},$ 则下列结论成立

(i) $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}[\varphi_n-\varphi_{n-1}]_+ < +\infty$, 这里 $[t]_+:= \max\{t,0\}$;

(ii) 存在 $\varphi^*\in [0,+\infty)$ 满足 $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \varphi_n= \varphi^*.$

引理2.4^[20] 设 $C$ 为实 Hilbert 空间 $H$ 中非空子集, $\{x_n\}$ 为 $H$ 中的序列满足

(i) 任给 $x\in C$, $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_n-x\|$ 存在;

(ii) $\{x_n\}$ 中所有弱聚点在 $C$ 中, 则 $\{x_n\}$ 弱收敛到 $C$ 中一点.

引理2.5^[21] 设 $C$ 为实 $\rm Hilbert$ 空间 $H$ 中非空闭凸子集, $A:C\rightarrow H$ 是伪单调且连续的, 则 $x^*\in {\rm VI}(A,C)$ 当且仅当

引理2.6^[22] 设 $\{a_n\}$ 是非负实数序列, $\{\alpha_n\}$ 是 $(0, 1)$ 中的实数序列满足 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \alpha_n= \infty$, $\{b_n\}$ 为实数列. 假设

如果 $\lim\sup\limits_{k\rightarrow \infty} b_{n_k}\leq 0$ 对于 $\{a_n\}$ 的每个子列 $\{a_{n_k}\}$ 满足 $\lim\inf_{k\rightarrow \infty}(a_{n_k+1}-a_{n_k})\geq 0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=0$.

为了证明所提出算法的收敛性, 我们先假设以下条件成立.

条件 1 $C$ 为非空闭凸子集.

条件 2 映射 $A: H\rightarrow H$ 是 $L$ -利普希次连续且伪单调的, 在 $C$上是序列弱连续的.

条件 3 ${\rm VI}(C,A)$ 非空, 即 ${\rm VI}(C,A)\neq\emptyset.$

条件 4 $f: H\rightarrow H$ 是 $\rho\in [0,1)$ 的压缩映射, $\{\epsilon_n\}$ 是一个正序列使得 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\epsilon_n}{\beta_n}= 0$, 其中 $\{\beta_n\}$ 为 $(0,1)$ 中的序列满足

现在引入下述算法.

注3.1 下述结果成立

由 $\rm(3.1)$式知 $\alpha_n\|x_n-x_{n-1}\|\leq\epsilon_n$, 再结合 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\epsilon_n}{\beta_n}= 0$ 可得

引理3.1 由 $\rm(3.2)$式生成的序列 $\{\tau_n\}$ 是有定义的, 是一非减序列, 并且有

证 由 $\{\tau_n\}$ 的定义知, 对所有的 $n\in {\Bbb N}$, 有 $\tau_{n+1}\geq\tau_n$, 即 $\{\tau_n\}$ 非减. 因为 $A$ 是 $L$ -利普希次连续的, 则 $\|Aw_n-Ay_n\|\leq L\|w_n-y_n\|.$ 再由 $\rm Cauchy-Schwarz$ 不等式可知

若 $\|w_n-y_n\|^2+\|z_n-y_n\|^2\neq0$, 由 (3.3)式得

于是由归纳法知 $\tau_n\leq\max\{\tau_1,\frac{L}{\mu}\},$ 则 $\{\tau_n\}$ 非减有上界. 因此, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\tau_n=\tau\leq\max\{\tau_1,\frac{L}{\mu}\}.$证毕.

引理3.2 假设条件 1-3 成立. 设 $\{z_n\}$ 为算法 $\rm 3.1$ 所生成的序列, 则

证 因为 $p\in VI(C,A)\subset C\subset T_n$, 根据引理 $\rm 2.2$ 得

从而

注意到 $p\in{\rm VI}(C,A), \{y_n\}\subset C,$ 则有 $\langle Ap, y_n-p\rangle\geq0.$ 由于 A 是伪单调的, 结合 (2.5)式知

于是

通过(3.4)和(3.5)式可得

因为 $y_n=P_{T_n}( w_n-\frac{1}{\tau_n} Aw_n),\,z_{n}\in T_n$, 由引理 2.1 可得

由 $\{\tau_n\}$ 的定义得

结合 $\rm(3.7)$ 和 $\rm(3.8)$式, 有

将(3.9)式代入 (3.6)式得到

证毕.

类似于文献[引理 3.1]的证明, 我们有下述结果.

引理3.3 假设条件 1-3 成立. 设 $\{w_n\}$ 为算法 $\rm 3.1$ 所生成的序列, 若存在子列 $\{w_{n_k}\}$ 弱收敛到 $z\in H$, 并且有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|w_{n_k}-y_{n_k}\|=0$, 则 $z\in {\rm VI}(C,A)$.

定理3.1 假设条件 1-5 成立, 则由算法 $\rm 3.1$ 生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛 $p\in {\rm VI}(C,A)$, 其中 $p=P_{{\rm VI}(C,A)}\circ f(p)$.

证 首先证明 $\{x_{n}\}$ 有界. 根据引理 $\rm 3.3$ 可得

因为 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\mu\frac{\tau_{n+1}}{\tau_n})=1-\mu>0$, 则存在 $n_0\in{\Bbb N}$ 使得

由 (3.10) 式知

由 $\{w_n\}$ 的定义可得

根据注 3.1, 有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\alpha_n}{\beta_n}\|x_n-x_{n-1}\|=0$, 那么存在常数 $M_1>0$ 使得

结合 (3.11), (3.12) 和 (3.13) 式得

由 $\{x_n\}$ 的定义知

由数学归纳法得, $\|x_{n+1}-p\|\leq \max\left\{\|x_n-p\|,\frac{\|f(p)-p\|+M_1}{1-\rho}\right\}$. 因此 $\{x_{n}\}$ 有界. 同时也可以得到 $\{z_{n}\}, \{w_{n}\}, \{f(x_n)\}$ 是有界的.

下面证明存在 $M_4 > 0$, 有如下不等式

根据 (3.14)式得

这里 $M_2:=\sup\limits_{n\geq n_0}\{2M\|x_n-p\|+\beta_nM_1^2\}$. 由 (2.2) 式得

这里 $M_3:=\sup\limits_{n\geq 1}\{2\|x_n-p\|\cdot\|f(p)-p\|+\|f(p)-p\|^2\}$. 将 (3.10) 式代入 (3.17)式, 有

结合 (3.16) 和 (3.18) 式知

于是

这里 $M_4:=M_2+M_3$.

下面证明存在 $M_5 > 0$, 有

由(3.11)和(3.12)式知

这里 $M_5:=\sup\limits_{n\geq n_0}\{\|x_{n+1}-p\|\}$. 于是

下面证明 $\{\|x_n-p\|^2\}$ 收敛到零.

根据引理 $\rm 2.6$ 知, 只要证明当 $\{\|x_n-p\|\}$ 的每一子列 $\{\|x_{n_k}-p\|\}$ 满足$\liminf_{k\rightarrow \infty}(\|x_{n_k+1}-p\|-\|x_{n_k}-p\|)\geq 0$,有 $\limsup_{k\rightarrow \infty} \langle f(p)-p,x_{n_k+1}-p\rangle\leq 0$.

为此, 首先假设 $\{\|x_{n_k}-p\|\}$ 是 $\{\|x_n-p\|\}$ 的子列满足 $\liminf_{k\rightarrow \infty}(\|x_{n_k+1}-p\|-\|x_{n_k}-p\|)\geq 0.$ 于是

由(3.15)式得

于是有

从而

根据注 3.1 和条件 4 可得

由 (3.21), (3.22) 和 (3.23) 式得

因为 $\{x_{n_k}\}$ 是有界的, 则存在子列 $\{x_{n_{k_j}}\}$ 使得 $x_{n_{k_j}}\rightharpoonup z\in H$, 并且满足

根据 $\|x_{n_k}-w_{n_k}\|\rightarrow 0,$ 可知 $w_{n_k}\rightharpoonup z$ 当 $n\rightarrow \infty,$ 再结合 (3.20) 式和引理 3.3 得到 $z\in{\rm VI}(C,A)$.由 (3.25) 式和 $p=P_{{\rm VI}(C,A)}\circ f(p)$ 得

再由 (3.24) 和 (3.26) 式知

因此, 结合注 3.1, (3.27), (3.19) 式和引理 2.6 可得 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_n-p\|=0$. 证毕.

在本节中, 我们提供数值例子来展示本文所提算法的优势, 并将其与其他已知算法进行比较. 我们将我们的算法与文献[17]中的算法3.2,文献[23]中的算法3.4和文献[24]中的算法3.1进行比较, 图1, 图2 和表1 明确地显示出我们算法的优势.

例4.1 设 $H= L^2([01])$, $H$ 中的内积和范数具有如下形式

考虑 $C:= \{x\in H: \|x\|\leq2\}$. 设 $f: C\rightarrow {\Bbb R}$ 的定义如下

观察到 $f$ 是 $L_f$ -利普希茨连续的, 其中 $L_f= \frac{16}{25}, \frac{1}{5}\leq f(u)\leq 1,\forall u\in C.$ 定义 Volterra 积分算子 $F: L^2([01])\rightarrow L^2([01])$ 为

由此可知, $F$ 是有界线性单调的. 定义 $A: C\rightarrow L^2([01])$ 为

因此, $A$ 在 $C$ 上不是单调的而是伪单调的, 是 $L$ -利普希茨连续的, 其中 $L= 82/\pi$. 在算法 3.1 中, 令 $F(x)=\frac{x}{8}$, $T(x)$ 是 $H\rightarrow H$ 的恒等映射. 在所有的算法中, 令 $f(x)=\frac{x}{20}$, 初始函数 $t_0(x)= t_1(x)= x^2$, 选取 $\beta_n=\frac{1}{n+1}, \epsilon_n=\frac{1}{(n+1)^2}$. 为了保证结果的可信度, 当算法包含相同的参数时选择相同的初始数据. 参数选择为

算法3.1:$\tau_1= 0.05, \mu= 0.5, \alpha= 0.1$.

文献[17]中算法 3.2:$\tau_1= 0.05, \mu= 0.5, \alpha= 0.1$.

文献[23]中算法 3.4:$\lambda_1= 0.05, \mu= 0.5, \alpha= 0.1$.

文献[24]中算法 3.1: $\gamma= 1.1, \lambda=\frac{0.9}{L}, a= 0.0001, \alpha= 0.1$.

我们采用 $\|x_{n+1}- x_n\|$ 来测量第 n 步迭代的误差. 当 $\|x_{n+1}- x_n\|< \epsilon(\epsilon=10^{-4}, 10^{-6})$ 时迭代停止, 所得结果如图 1, 图 2 所示. 表 1 显示了算法的迭代次数和计算时间, 可以明显看出我们的算法 3.1 的行为优于其他算法.