众所周知, 如果没有控制系统, 就不可能有制造业、车辆、计算机和环境调节. 近年来, 控制理论在工程、经济、计算机和生态学中得到了广泛的应用, 尤其是在最优控制系统中. 在现代科学和工程计算中, 最优控制问题在各种实际问题中经常遇到. 发展方程的最优控制问题在科学和工程计算中有着广泛的应用. 在过去的几十年中, 对发展方程最优控制问题的研究引起了数学家的极大兴趣. 在许多文献中致力于发展这类问题的数学理论和数值分析. 例如, Ahmed^[1⇓-3] 和Papageorgiou^[4⇓-6]研究了由发展方程和包含构成的最优控制系统的存在性. 此外, Cesari^[7,8]利用不动点技术和抽象算子方程建立了拟线性无限维控制系统解和最优解的存在性. 更多细节, 参见文献[9⇓⇓-12]及其里面的相关文献.

近年来, 非线性发展方程作为在许多物理系统和电磁现象的动力学建模中是一个有用的工具, 已经被数学、科学和工程领域的许多研究人员呈现出来了(参见文献[13⇓⇓⇓-17]). 与线性发展方程相比, 非线性发展方程可以为许多复杂系统提供更真实、更精确的描述. 尽管在线性发展方程的最优控制问题方面已经做了大量的工作, 但在非线性情况还有许多工作需要做. 因此, 建立研究非线性问题的方法是合理和有意义的. 近年来, 非线性发展方程构成的最优控制问题受到越来越多的关注 (参见文献[18⇓⇓⇓⇓-23]). 应该提到的是, 空间的无限维特性使得与非线性发展方程相关的最优控制问题与线性情况相比更难处理. 基于这些事实, 该文主要研究一类非线性发展方程的最优控制问题.

考虑发展三元组框架 $(V,H,V^*)$,即, $V$ 是一个可分自反Banach空间,$H$ 是一个可分Hilbert空间,嵌入 $V\subset H$ 连续,且 $V$ 在 $H$ 中稠密.此外, 假设嵌入 $V\subset H$ 是紧的. 对于 $0 < T < \infty$,令

显然 ${\cal W}$ 是一个Banach空间, 其范数为 $\|u\|_{{\cal W}}=\|u\|_{{\cal V}}+\|u'\|_{{\cal V}}$, $u\in {\cal W}$.另外, 令 $Y$ 为一个可分自反Banach空间, ${\cal Y}=L^2(0,T;Y)$, ${\cal Y}^*=L^2(0,T;Y^*)$.

给定两个非线性算子 $A,B \colon V \to V^*$, 一个线性有界算子 $C \colon Y \to V^*$, 及 $f\in {\cal V}^*,u_0\in V$, 考虑如下发展问题.

问题1.1 对于 $y\in {\cal Y}$, 寻找 $u\in {\cal W}$ 使得

在这个工作中, 处理问题1.1解的存在性, 并给出其最优控制问题的结果. 主要创新之处如下.

首先, 为了得到非线性发展方程解的存在性, 考虑具有弱连续算子的方程, 而不是用文献中广泛运用的线性、单调性和伪单调性. 尽管弱连续算子不像 $M$ 类算子那样一般, 它也覆盖很多技术上重要的情形(参见文献[24,25]).第二, 考虑问题1.1中参量比其它文献(参见文献[26,27])更少限制的假设. 例如, 不需要算子 $B$ 的强制性假设.第三, 利用具有足够小的时间步长的Rothe方法来建立方程解的存在性, 这允许忽略关于常数的小条件. 第四, 我们将抽象的存在性结果应用于研究非平稳的Navier-Stokes-Voigt方程.

本文结构如下. 第2节回忆一些预备知识并研究发展方程解的存在性.在这里, 定理2.2是主要定理, 它的证明是涉及弱连续算子的静态方程基于Rothe方法的满射结果.第3节考虑一个最优控制问题. 第4节把前面的主要结果应用到给出非平稳的Navier-Stokes-Voigt方程的存在性结果.

首先介绍一些有用的预备知识.

令 $(X, \|\cdot\|_{X})$ 为一个Banach空间. 记 $X^*$ 为其对偶空间, 并记 $\langle\cdot,\cdot\rangle_{X^*,X}$ 为 $X^*$ 和 $X$ 之间的对偶积. 给定 $0 < T < \infty$, 令 $L^2(0,T; X)$ 为从 $(0,T)$ 到 $X$ 的所有平方可积函数构成的空间, $C([T];X)$ 为从 $[T]$ 到 $X$ 的所有连续函数构成的空间, 它们的范数分别为

本文将利用如下弱连续算子的概念及其满射定理.

定义2.1^[24,25] 令 $X,Y$ 为Banach空间. 一个算子 $F \colon X \to Y$ 叫做弱连续的, 如果对于任何序列 $\{u_{n}\}_{n\geq 1}\subset X$ 满足 $u_{n}\rightharpoonup u$ 在$X$ 中, 有 $Fu_{n}\rightharpoonup Fu$ 在 $Y$ 中.

定义2.2 令 $X$ 为一个Banach空间. 一个算子 $F\colon X \to X^*$ 叫做强制的, 如果

定理2.1^[24] 令 $X$ 为一个可分自反的Banach空间, $F : X \to X^*$ 为弱连续和强制的. 那么 $F$ 是满射的, 即, 对于每个 $f\in X^*$, 存在 $u\in X$ 使得 $Fu= f$.

以下结果在计算中起着关键作用.

引理2.1 [引理2] 令 $\{u_n\}$ 和 $\{w_n\}$ 为非负序列满足

其中常数 $c>0$. 则

现在开始研究主要问题.

给定非线性算子 $A\colon V \to V^*, B \colon V \to V^*$, 和 $f\in {\cal V}^*, u_0\in V$,考虑如下发展问题.

问题2.1 寻找 $u\in {\cal W}$ 使得

这一章的目的是证明问题2.1解的存在性.

需要如下关于问题2.1中参量的假设.

$H(f)$:$f\in C([T];V^*)$.

$H(A)$:$A\colon V\to V^*$ 弱连续, 且存在 $\alpha_A,\beta_A> 0$ 使得

$H(B)_1$:$B\colon V\to V^*$ 弱连续, 且存在 $b_0$, $b_1\ge 0$ 使得

$H(B)_2$:$B\colon V\to V^*$ 弱连续, 且存在 $\overline{b}_0$, $\overline{b}_1$, $\overline{b}_2\ge 0$ 及 $\alpha_B>0$ 使得

和

本文的主要结果之一如下.

定理2.2 如果 $H(f), H(A)$ 成立, 且 $H(B)_1$ 或者 $H(B)_2$ 其中之一满足, 那么问题$2.1$有一个解 $u\in {\cal W}$.

以如下与问题2.1相关联的辅助问题开始定理2.2的证明.

问题2.2 寻找 $w\in {\cal V}$ 使得

对于a.e. $t \in (0, T)$, 令 $w(t)=u'(t)$. 则

利用上面的记号, 容易观察到 $w\in {\cal V}$ 是问题2.2的解当且仅当定义为(2.1)式的 $u\in {\cal W}$ 是问题2.1的解. 因此, 在下文中, 为了证明定理2.2, 建立问题2.2解的存在性就够了.

下面通过应用Rothe方法来说明问题2.2的可解性.需要如下记号(见文献[25,29]).固定 $N\in {\Bbb N}$,$\tau=\frac{T}{N}$ 为时间步长, 对于 $k=1$, $2,\cdots,N$, $t_k=k\tau$.对于任何函数 $g\in {\cal V}$, 定义其近似

此外, 对于足够小的步长 $\tau$, 考虑如下给出的 $\int_0^tg(s){ d}s$ 的近似

现在, 考虑如下相应于问题2.2的离散问题, 称为Rothe问题.

问题2.3 寻找一个序列 $\{w_\tau^k\}_{k=1}^{N}\subset V$ 使得

对于 $k=1,\cdots,N$, 其中 $v_\tau^k \in V$ 定义为$v_\tau^k=u_0+\tau\sum\limits_{j=1}^{k}w_\tau^j.$

有如下Rothe问题的存在性结果.

定理2.3 如果定理2.2的假设都满足, 那么存在 $\tau_0>0$ 使得对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$, 问题2.3有一个解 $\{w_\tau^k\}_{k=1}^{N}\subset V$.

证 首先, 注意到问题$2.3$可以等价地表述如下:寻找 $w_\tau^{k}\in V$ 使得

其中算子 $F\colon V \to V^*$ 定义为

接下来将通过说明 $F$ 是满射的来证明方程(2.3)对于足够小的 $\tau$ 是可解的. 由定理2.1, 只要说明 $F$ 是弱连续和强制的就够了. 显然, 假设 $H(A)$ 和 $H(B)_1$ 或 $H(B)_2$ 推出 $F$ 弱连续.

下面将证明 $F$ 强制. 在 $H(B)_1$ 和 $H(B)_2$ 下分别证明. 首先, 假设 $H(B)_1$ 成立. 对于所有的 $v\in V$, 由 $H(A),H(B)_1$ 得

其中

现在, 取 $\tau_0=\frac{\alpha_A}{b_1}$. 那么对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$, 算子 $F$ 是强制的.

其次, 在假设 $H(B)_2$ 下证明 $F$ 的强制性.令$z_{\tau}= u_0+\tau\sum\limits_{j=1}^{k-1}w_\tau^j$和 $v_\tau=z_{\tau}+\tau v$. 那么 $v= \frac{1}{\tau}(v_\tau-z_{\tau})$,并且由 $H(B)_2$, 有

从而推出

易证, 可以取 $\tau_0$ 足够小使得对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$, $\alpha_A-\overline{b}_2\tau K_{\tau}> 0$, 从而对于所有的$\tau\in (0,\tau_0)$, 算子 $F$ 是强制的.

因此, 通过利用定理2.1推出对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$ 问题$2.3$可解. 证毕.

接下来, 建立Rothe问题中出现的序列估计.

引理2.2 如果定理$2.2$的假设都成立, 那么存在 $\tau_0>0$ 使得对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$, 如下估计满足

其中 $C > 0$ 不依赖于 $\tau$.

证 先开始(2.5)式的证明.

首先, 假设 $H(B)_1$ 成立. 对于所有的 $1\le k\le N$, 有

方程(2.7)两边乘上 $w_\tau^k$, 与定理2.3的第一部分证明类似, 得到

从而得到

其中 $K_\tau$ 定义为(2.4)式. 现在, 取 $\tau_0=\frac{\alpha_A}{2b_1}$, 这表明对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$$\alpha_A-b_1\tau>\frac{\alpha_A}{2}$. 因此, 推出

由假设 $H(f)$, 存在一个常数 $\alpha_f > 0$ 使得 $\|f_\tau^k\|_{V^*}\le \alpha_f$ 对于所有的 $\tau>0$ 和 $k\in {\Bbb N}$. 记

由定理2.1知

这证明了当 $H(B)_1$ 满足的情况下估计(2.5)成立.

然后, 假设 $H(B)_2$ 成立. 方程(2.7)两边乘上 $w_\tau^k$, 与定理2.3证明的第二部分类似, 得到

从而得到

可以取 $\tau_0>0$ 使得 $\alpha_A-\overline{b}_2\tau K_\tau>\frac{\alpha_A}{2}$ 对于所有的 $\tau\in (0,\tau_0)$. 由 $\tau_0$ 的选取, 对于 $\tau\in (0,\tau_0)$, 考虑如下两种情形

(i) $\overline{b}_0\|u_0\|_V+\overline{b}_1\|u_0\|_{V}^2 +\overline{b}_2\|u_0\|_{V}^3\ge \alpha_B\|v_\tau\|_V^2$;

(ii) $\overline{b}_0\|u_0\|_V+\overline{b}_1\|u_0\|_{V}^2 +\overline{b}_2\|u_0\|_{V}^3< \alpha_B\|v_\tau\|_V^2$.

如果(i)成立, 那么 $\{v_\tau\}$ 有界. 则有

从而

这表明 $\{w_\tau^k\}$ 有界.

如果(ii)成立, 那么

其中 $m_0=\overline{b}_0+2\overline{b}_1\|u_0\|_V+3\overline{b}_2\|u_0\|_{V}^2$. 利用基本事实: “如果对于$a,b,x \ge 0$, $x^2\le ax+b$, 那么 $x\le a+\sqrt{b}$,” 得

其中

此外, 对于 $w_\tau^1$, 有

即

显然, 对于所有的 $\tau\in(0,\tau_0)$, $\alpha_A-\overline{b}_2\tau \|u_0\|_V>\frac{\alpha_A}{2}$. 则

这表明 $w_\tau^1$ 有界. 由归纳法可以推出在假设 $H(B)_2$ 下估计(2.5)式成立.

接着, 条件(2.6)是(2.5) 式的一个推论. 这就完成了引理的证明. 证毕.

Rothe方法的最后一步, 证明合适定义的逼近函数序列趋于问题2.2的一个解的收敛性.

考虑逐点常数插值 $\overline{w}_\tau,\overline{v}_\tau\in {\cal V}$ 和 $\overline{f}_\tau\in {\cal V}^*$,它们分别定义为

对于a.e. $t\in (t_{k-1}, t_k]$, $k=1,\cdots,N$.

定理2.4 如果定理$2.2$的所有假设都满足, 那么对于一个子序列,有

其中 $w\in {\cal V}$ 是问题2.2 的一个解.

证 考虑分别关于 $A$ 和 $B$ 的Nemytski算子 ${\cal A}\colon {\cal V} \to {\cal V}^*$ 和 ${\cal B}\colon {\cal V} \to {\cal V}^*$,即

那么方程(2.7)变为满足

由引理2.2得到的有界性(2.5)式, 序列 $\{\overline{w}_\tau\}$ 在 ${\cal V}$ 中仍有界. 利用 ${\cal V}$ 的自反性, 如果需要, 通过取一个子列, 得到

接下来, 将说明 $w\in {\cal V}$ 是问题2.2的一个解.显然对于a.e. $t\in (0,T)$ 序列 $\{\overline{w}_\tau(t)\}$ 在 $V$ 中有界. 由于 $V$ 自反, 那么对于 $\{\overline{w}_\tau(t)\}$ 一个子列, 也记为 $\{\overline{w}_\tau(t)\}$,有 $\overline{w}_\tau(t)\rightharpoonup {\widetilde{w}}(t)$在 $V$中 a.e. $t\in (0,T)$.这样, 可以推出 $w(t) = {\widetilde {w}}(t)$ 对于 a.e. $t\in (0,T)$. 因此, 有 $\overline{w}_\tau(t)\rightharpoonup w(t)$ 在 $V$中 a.e. $t\in (0,T)$.由于 $A$ 弱连续, 有 $A\overline{w}_\tau(t)\rightharpoonup Aw(t)$ 在 $V^*$中对于a.e. $t\in (0,T)$. 那么对于任何 $v \in {\mathcal V}$ 和a.e. $t\in (0,T)$, 有

应用Fatou引理得到

由于 $v \in {\mathcal V}$ 任意, 推断出

此外, 对于a.e. $t \in (0,T)$, 令 $(I_0v)(t)=\int_0^tv(s){d}s$.由于算子 $I_0\colon {\cal V}\to C([T];V)$ 是线性连续的, 它也是弱连续的.因此, 由(2.9)式推出

从而也可以得到

对于所有的 $t\in [T]$.实际上, 令 $v^*\in V^*$ 和 $t\in [T]$.选取 $\varphi\in (C([T];V))^*=M_{ca}(\sum\limits_I,V^*)$ 定义为 $\varphi(y)=\langle v^*,y(t)\rangle_{V^*,V}$ 对于 $y\in C([T];V)$. 有

由于 $v^* \in V^*$ 任意, 推出(2.11)式满足.

另一方面,由有界性(2.5)式知, 存在一个常数 $C>0$ 使得 $\|\overline{w}_\tau(s)\|\le C$对于a.e. $s\in (0,T)$.那么, 对于 $t\in (t_{k-1},t_k]$, 有

由于当 $\tau\rightarrow 0$时$t\rightarrow t_k$, 推出对于所有的 $t\in [T]$, 当 $\tau\rightarrow 0$ 时 $\overline{v}_\tau(t)-u_0-I_0\overline{w}_\tau(t) \to 0$.

联立(2.11)和(2.12)式, 有

对于所有的 $t\in [T]$.类似地可以推出

另外,文献[引理3.3]推出, 当 $\tau \to 0$ 时 $\overline{f}_{\tau}\rightarrow f$ 在 ${\cal V}^*$中. 从而由收敛性(2.9)和(2.14)式, 通过在(2.8)式中取极限得到

这表明 $w\in {\cal V}$ 是问题2.2的一个解. 证毕.

这一章最后, 给出问题2.1的一个特殊情形.

问题2.4 寻找 $u\in {\cal W}$ 使得

定理2.5 如果 $H(f)$ 成立, 以及 $H(B)_1$ 或者 $H(B)_2$ 其中之一满足, 那么问题$2.4$有一个解 $u\in {\cal W}$.

证 由于对偶算子 ${\cal J}:V\rightarrow V^*$, 定义为 ${\cal J}v=v$ 对于 $v\in V$, 是线性连续的, 它也是弱连续的. 这个结果是定理2.2的一个推论. 证毕.

这一章考虑限制Lagrange最优控制问题的最优状态-控制对的存在性, 它的成本泛函受问题1.1 约束.

令 ${\cal Y}_{ ad}$为 ${\cal Y}$ 中的一个非空闭凸子集. 记 $u^{y}\in {\cal W}$ 为问题1.1关于控制 $y\in {\cal Y}_{ ad}$ 的解. 对于每个 $y \in {\cal Y}_{ ad}$, 令

考虑如下Lagrange问题.

问题3.1 寻找 $y^0\in {\cal Y}_{{ ad}},u^0\in {\cal S}(y^0)$ 使得

其中 $J(u,y):= \int _0^T{\mathfrak L}(t,u(t),y(t)){ d}t$.

一对 $(u,y)\in {\cal W}\times {\cal Y}_{ad}$ 叫做可行的如果它满足问题1.1. 若 $(u,y)$ 可行, 则 $u\in {\cal S}(y)$.

需要如下关于 ${\mathfrak L}$ 的条件.

$H({\mathfrak L}):$ 函数 ${\mathfrak L}:[T]\times V\times Y\rightarrow \mathbb{R} \bigcup \{\infty \}$ 满足

(i) 函数 ${\mathfrak L}:[T]\times V\times Y\rightarrow \mathbb{R} \bigcup \{\infty \}$ Borel可测;

(ii) 对于a.e. $t\in [T]$, ${\mathfrak L}(t,\cdot,\cdot )$ 在 $V\times Y$ 上是序列下半连续的;

(iii) 对于每个 $x\in X$ 和a.e. $t\in [T]$, ${\mathfrak L}(t,x,\cdot )$ 在 $Y$ 上是凸的;

(iv) 存在一个常数 $d>0$ 和一个函数 $\psi \in L^1([T], \mathbb{R} _+)$ 使得

需要如下关于 $A$ 的条件.

$H(A)_1$:$A\colon V\to V^*$有界弱连续, 且存在 $\overline{\alpha}_A,\overline{\beta}_A,\lambda_1,\lambda_2>0$使得

和

定理3.1 如果定理2.2的条件和 $H({\mathfrak L}),H(A)_1$ 都成立, 那么问题$3.1$至少有一个最优可行对.

证 定义 $J_0(y)=\displaystyle \inf\limits_{u^y\in {\cal S}(y)}J(u^y,y), \forall y\in {\cal Y}_{ ad}$. 若 ${\cal S}(y)$ 只有有限元素, 则存在某个 $\tilde{u}^y\in {\cal S}(y)$ 使得 $J(\tilde{u}^y,y)=\displaystyle \inf\limits_{u^y\in {\cal S}(y)}J(u^y,y)=J_0(y)$. 若集合 ${\cal S}(y)$ 有无限元素且 $\displaystyle \inf\limits_{u^y\in {\cal S}(y)}J(u^y,y)=+\infty$, 则无需证明. 现在, 假设$J_0(y)=\displaystyle \inf\limits_{u^y\in {\cal S}(y)}J(u^y,y)<+\infty$. 由 $H({\mathfrak L})$, 有 $J_0(y)>-\infty$. 现在把证明分成几步.

第1步 由下确界的定义, 存在一个序列 $\{u_n^y\}\!\subseteq\! {\cal S}(y)$ 满足当 $n\rightarrow \infty$ 时, $J(u_n^y,y)\!\rightarrow \!J_0(y)$. 考虑一个可行对序列 $\{u_n^y,u\}$, 有

第2步 现在说明存在某个 $\tilde{u}^y\in {\cal S}(y)$ 使得 $J(\tilde{u}^y,y)=\displaystyle \inf\limits_{u^y\in {\cal S}(y)}J(u^y,y)=J_0(y)$.

实际上, 对于 $t\in[\frac{jT}{k},\frac{(j+1)T}{k}),~0\leq j\leq k-1$, 有

那么

易证存在 $r_{0}>0$ 使得

类似地, 可以得到 $\{(u_n^y)'\}$ 在 ${\cal V}$ 中有界. 因此, $\{u_n^y\}$ 在 ${\cal W}$ 中有界.

不失一般性, 可以假设当 $n\rightarrow \infty$ 时 $u_n^y\rightharpoonup \tilde{u}^y$ 在 ${\cal W}$中对于 $y\in {\cal Y}_{ad}$. 在(3.1)式两边令 $n\rightarrow \infty$, 由Lebesgue控制收敛定理得到

这表明 $\tilde{u}^y\in {\cal S}(y)$. 现在验证对于任何 $y\in {\cal Y}_{ ad}$, $J(\tilde{u}^y,y)=\displaystyle \inf\limits_{u^y\in {\cal S}(y)}J(u^y,y)=J_0(y)$. 实际上, 由于 ${\cal W}$ 连续嵌入到 $L^1(0,T;V)$ 中, 通过可行对的定义, 假设 $H({\mathfrak L})$ 和Balder定理^[30], 有

即 $J(\tilde{u}^y,y)=J_0(y)$. 这表明对每个 $y\in {\cal Y}_{ad}$, $J_0(y)$ 在 $\tilde{u}^y\in {\cal W}$ 达到最小.

第3步 证明存在 $y^0\in {\cal Y}_{ad}$ 使得对于所有的 $u\in {\cal Y}_{ ad}$, $J(y^0)\!\le\! J_0(y)$. 若 $\inf\limits_{u\in Y_{{ ad}}}J_0(y)\!=\!+\infty$, 则无需证明. 假设 $\inf\limits_{u\in {\cal Y}_{ ad}}J_0(y)<+\infty$. 与第1步类似, 可以证明 $\inf\limits_{y\in {\cal Y}_{ ad}}J_0(y)>-\infty$, 且存在一个序列 $\{y_n\}\subseteq {\cal Y}_{ ad}$ 使得当 $n\rightarrow \infty$ 时, $J(u_n)\rightarrow \inf\limits_{u\in {\cal Y}_{ ad}}J_0(y)$. 由 $H({\mathfrak L})$(iv) 得到集合 $\{y_n\}$ 在 ${\cal Y}$ 中有界, 由于 ${\cal Y}$ 是一个自反Banach空间, 存在一个子列, 还记为 $\{y_n\}$, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 弱收敛于某个 $y^0\in {\cal Y}$. 注意到 ${\cal Y}_{ ad}$ 是闭凸的, 得到 $y^0\in {\cal Y}_{ ad}$.

假设 $\tilde{u}^{y_n}$ 是问题1.1关于 $y_n$ 的解, 其中 $J(y_n)$ 达到最小值. 那么, $(\tilde{u}^{y_n},y_n)$ 是一个可行对且能验证对于 $t\in (0,T)$,有

类似可以得到集合 $\{\tilde{u}^{y_n}\}\subset {\cal W}$ 有界, 且存在子列, 还记为 $\{\tilde{u}^{y_n}\}$, 和 $\tilde{u}^{y^0}\in {\cal W}$, 使得当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\tilde{u}^{y_n}\rightharpoonup \tilde{u}^{y^0}$ 在 ${\cal W}$里. 若(3.2) 式两边 $n\rightarrow \infty$, 则

这表明 $(\tilde{u}^{y^0},y^0)$ 是一个可行对. 由于 ${\cal W}$ 连续嵌入到 $L^1(0,T;V)$ 中, 由假设$H({\mathfrak L})$ 和Balder定理^[30], 有

因此, $J(\tilde{u}^{y^0},y^0)=J(y^0)=\displaystyle \inf\limits_{x^{y^0}\in {\cal S}{(y^0)}}J(x^{y^0},y^0)$. 此外, $J(y^0)=\displaystyle \inf\limits_{y\in {\cal Y}_{ ad}}J_0(y),$ 即 $J$在 $y^0\in {\cal Y}_{ ad}$ 达到最小值. 证毕.

定理3.2 假设定理2.2的假设和 $H(A)$ 都成立. 若 $H({\mathfrak L})(iv)$ 被替换为

(iv)$'$ 存在常数 $c,d>0$ 和一个函数 $\psi \in L^1([T], \mathbb{R} _+)$ 使得

那么问题3.1至少有一个最优可行对.

证 与定理3.1的证明类似, 由 (iv)$'$ 得到 $\{u_k\}$ 在 ${\cal V}$ 中有界. 其余证明略.

这一章把定理2.2中主要结果应用到证明Navier-Stokes-Voigt方程解的存在性.

过去一些年, Navier-Stokes-Voigt方程解的存在性吸引了许多数学家的注意(参见文献[32⇓⇓⇓⇓-37]). 注意到在很多实际情况中, Navier-Stokes-Voigt方程中的一阶时间导数可以经常被忽略不计, 之后一些时间流体流动变为几乎静止. 因此, 一些应用只研究稳态解, 另一方面, 这可能是不够的和不准确的.用这个办法, 得到一个发展方程, 它是一个Kelvin-Voigt粘弹性不可压缩流体动力学的弱形式.该方程整体解的存在性定理在许多方面得到了推广, 在文献[32]中得到了Navier-Stokes-Voigt 方程的一些结果.

考虑如下Navier-Stokes-Voigt方程.

下面, 首先给出方程(4.1)的变分形式, 它是一个发展方程, 然后说明怎样利用定理2.2证明发展方程解的存在性.

定义如下两个内积

和

及其对应的范数$\|v\|_1:=\sqrt{(v,v)_1},\|v\|_2:=\sqrt{(v,v)_2}$. 令

记 $H$ 为 $V_0$ 在 $(L^2(\Omega))^3$ 中的闭包, 记 $V$ 为 $V_0$ 在 $(H_0^1(\Omega))^3$ 中的闭包. 显然,$H$ 和 $V$ 是Hilbert空间, 内积分别为 $(\cdot,\cdot)_1$ 和 $(\cdot,\cdot)_2$. 因此 $V\subset H \subset V^*$, 其中的嵌入是稠密、连续、紧的. 那么存在一个常数 $\overline{c}>0$ 使得 $\|v\|_H\le \overline{c}\|v\|_V$. 显然空间 $V$ 是一个自反Banach空间, 范数为$\| v \| = \| v \|_{H^{1}(\Omega;\mathbb{R} ^d)},v \in V$.令

众所周知, 嵌入 ${\cal W}\hookrightarrow C([T];V)$ 是连续, 且嵌入 ${\cal W}\hookrightarrow (L^2(Q))^3$ 是紧的(参见文献[38]). ${\cal V}^*$ 和 ${\cal V}$ 之间的对偶积为

现在定义三线性形式 $b:V\times V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ 为

其中的积分有意义. $b$ 的性质可以参见文献[39]第II章引理1.1和引理1.3或者文献[40,41].

现在给出方程(4.1)弱解的定义.

定义4.1^[31,32] 对于 $f\in C([T];V^*),u_0\in V$, $u\in {\cal W}$ 叫做方程(4.1)在 $(0,T)$ 的一个弱解, 如果

下面想要给出一个方程的等价形式.为此, 介绍一个线性连续算子 $E:V\rightarrow V^*$

和一个非线性算子 $F:V\rightarrow V^*$

现在, 有定义4.1的等价形式.

定义4.2 一个函数 $u\in {\cal W}$ 叫做方程$(4.1)$在区间 $(0,T)$ 上的一个弱解, 如果

如下方程(4.1)的存在性结果是定理2.2的一个推论.

定理4.1 方程$(4.1)$有一个弱解.

证 用如下泛函结构来应用定理2.2:

接下来验证 $H(f),H(A),H(B)_2$.

$H(f)$显然. 易知 $J$ 是有界弱连续的. $E,F$ 的有界性和弱连续性的验证可以参见文献[31,41], 从而 $A,B$ 是有界弱连续的. 此外, 对于 $v\in V,w \in {\cal W}$, 有

这表明 $H(A),H(B)_2$ 成立且$\alpha_A=\alpha^2,\beta_A=0,\alpha_B=\nu$. 证毕.

考虑如下二次目标泛函的最小化

其中 $u_Q\in (L^2(Q))^3$, 系数 $\alpha_Q$ 是一个正常数, 正则参数 $\gamma$ 用来调节控制的损耗, 也是一个正常数.

容许控制集记为 ${\cal Y}_{ ad}$, 在 $(L^2(Q))^3$ 中是非空凸闭的. 考虑如下最优控制问题:

问题4.1 最小化上面的泛函 $J(u,y)$, 满足方程(4.1)和限制 $y\in {\cal Y}_{ ad}$.

最后有如下结果, 它是定理3.1的一个推论.

定理4.2 问题4.1最少有一个最优可行对.

证 令

易知 $H({\mathfrak L})$ 成立. 现在验证 $H(A)_1$.

对于 $w \in {\cal W}$, 有

这表明 $H(A)_1$ 成立, 且$\overline{\alpha}_A=\alpha^2,\overline{\beta}_A=0,\lambda_1=\frac{\alpha^2}{2},\lambda_2=\frac{\overline{c}^2}{2}+\frac{\alpha^2}{2}$.然后, 通过应用定理3.1, 问题4.1最少有一个最优可行对.证毕.