球对称 Chaplygin 气体相对论 Euler 方程组的奇性形成

球对称 Chaplygin 气体相对论 Euler 方程组的奇性形成

侍迎春^,, 赖耕^,^*

上海大学数学系上海 200444

Formation of Singularities in Solutions to Spherically Symmetric Relativistic Euler Equations for a Chaplygin Gas

Shi Yingchun^,, Lai Geng^,^*

Department of Mathematics, Shanghai University, Shanghai 200444

通讯作者: *赖耕,E-mail: laigeng@shu.edu.cn

收稿日期: 2022-05-21 修回日期: 2022-10-17

基金资助:

国家自然科学基金(12071278)

Received: 2022-05-21 Revised: 2022-10-17

Fund supported:

NSFC(12071278)

作者简介 About authors

侍迎春,E-mail:shiyc@shu.edu.cn

摘要

该文研究了具有 Chaplygin 气体状态方程的相对论 Euler 方程组经典解的奇性形成. 给出了关于初值的一个充分条件, 使得 Chaplygin 气体相对论方程组的一维 Cauchy 问题经典解的质能密度 $\rho$ 本身在有限时间内发生破裂.

关键词： 相对论Euler方程组; Chaplygin 气体; 奇性形成; 特征分解

Abstract

This paper studies the formation of singularities in smooth solutions to three-dimensional (3D) spherically symmetric relativistic Euler matrixs with a Chaplygin gas matrix of state. We give a sufficient condition on the initial data to obtain that the mass-energy density itself of the classical solutions to the Cauchy problem blows up in finite time.

Keywords： Relativistic Euler matrixs; Chaplygin gas; Singularities formation; Characteristic decomposition

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本文引用格式

侍迎春, 赖耕. 球对称 Chaplygin 气体相对论 Euler 方程组的奇性形成[J]. 数学物理学报, 2023, 43(2): 481-490

Shi Yingchun, Lai Geng. Formation of Singularities in Solutions to Spherically Symmetric Relativistic Euler Equations for a Chaplygin Gas[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(2): 481-490

1 引言

在闵可夫斯基时空中相对论流体的运动由相对论 Euler 方程组来刻画, 它包含能量和动量守恒

$\begin{matrix} (T^{\alpha\beta})_{x_{\beta}}=0,\quad \alpha,\beta=0,1,2,3 \label{URE}\end{matrix}$

(1.1)

和粒子数守恒

$\begin{matrix}\label{par} (nu^{\alpha})_{ x_{\alpha}}=0,\end{matrix}$

(1.2)

其中希腊字母表示的相同的上、下标意味着按该指标从0到3求和. $T^{\alpha\beta}=iu^{\alpha}u^{\beta}-pg^{\alpha\beta}$ 表示能量—动量张量, $(u^{0}, u^{1}, u^{2}, u^{3})=\chi(1, u_1, u_2, u_3 )$ 表示流体的四维速度, $(u_1, u_2, u_3)$ 表示流体的宏观三维速度, $\chi=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}$ 是洛伦兹因子, $u=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}$ 必须小于1, 且

$g=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right).$

其中 $n$ 表示固有粒子密度, $p$ 表示固有压强密度, $e$ 表示单位静止质量的热力学内能, $\rho=n+e$ 表示质能密度, $i=\rho+p$ 表示固有焓密度, 光速记为1^[1].

本文研究三维相对论能量和动量守恒定律方程组

$\begin{matrix} \label{RE}\left\{ \begin{array}{ll} \Big(\frac{iu^2}{1-u^2}+\rho\Big)_t+\Big(\frac{iu_1}{1-u^2}\Big)_{x_1}+ \Big(\frac{iu_2}{1-u^2}\Big)_{x_2}+ \Big(\frac{iu_3}{1-u^2}\Big)_{x_3}=0,\\[3mm] \Big(\frac{iu_1}{1-u^2}\Big)_t+\Big(\frac{iu_1^2}{1-u^2}+p\Big)_{x_1}+ \Big(\frac{iu_1u_2}{1-u^2}\Big)_{x_2}+ \Big(\frac{iu_1u_3}{1-u^2}\Big)_{x_3}=0, \\[3mm] \Big(\frac{iu_2}{1-u^2}\Big)_t+\Big(\frac{iu_1u_2}{1-u^2}\Big)_{x_1}+\Big(\frac{iu_2^2}{1-u^2} +p\Big)_{x_2}+\Big(\frac{iu_2u_3}{1-u^2}\Big)_{x_3}=0, \\[3mm] \Big(\frac{iu_3}{1-u^2}\Big)_t+\Big(\frac{iu_1u_3}{1-u^2}\Big)_{x_1}+ \Big(\frac{iu_2u_3}{1-u^2}\Big)_{x_2} +\Big(\frac{iu_3^2}{1-u^2}+p\Big)_{x_3}=0. \end{array} \right.\end{matrix}$

(1.3)

考虑球对称流动, 即假设流动具有以下性质

$(u_1, u_2, u_3)(x_1, x_2, x_3, t)=u(x, t)\bigg(\frac{x_1}{x}, \frac{x_2}{x}, \frac{x_3}{x}\bigg),\quad \rho(x_1, x_2, x_3, t)=\rho(x, t),$

其中 $x=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ . 通过该变换, 方程组 (1.3) 可化成如下形式

$\begin{matrix} \left\{ \begin{array}{ll} \Big(\frac{iu^{2}}{1-u^{2}}+\rho\Big)_t+\Big(\frac{iu}{1-u^{2}}\Big)_x+\frac{2iu}{(1-u^{2})x}=0,\\[3mm]\Big(\frac{iu}{1-u^{2}}\Big)_t+\Big(\frac{iu^{2}}{1-u^{2}}+p\Big)_x +\frac{2iu^{2}}{(1-u^{2})x}=0, \end{array} \right.\end{matrix}$

(1.4)

其中 $(x, t)\in (0, +\infty)\times(0, +\infty)$ .

考虑如下 Chaplygin 气体状态方程

$\begin{matrix}p=-\frac{1}{\rho}. \end{matrix}$

(1.5)

该状态方程最早是由Chaplygin^[2], 钱学森^[3], 以及von Karman^[4]在近似计算机翼的升力时提出的. 它还在天体物理学中被用来研究暗能量^[5⇓⇓-8]. Brenier^[9]研究了具有Chaplygin气体状态方程 (1.5) 的非相对论 Euler 方程组的一维 Riemann 问题. 他发现当 Riemann 初值满足特定条件时, 会出现质量集中现象, 即会有 $\delta$ 波出现. 最近, Cheng 和 Yang^[10,11]将该结果推广到相对论情形.

近年来, 有许多关于相对论和非相对论 Chaplygin 气体 Euler 方程组的整体经典解的结果. Godin^[12]得到了非等熵球对称 Chaplygin 气体 Euler 方程组在初值为一静止常状态的小扰动时的整体经典解的存在性. 关于二维轴对称 Euler 方程组相似的结果见文献[13]. 最近, Hou 和Yin^[14,15]得到二维非等熵有旋轴对称 Chaplygin 气体 Euler 方程组整体经典解的存在性. Kong 等^[16] 得到了二维等熵无旋 Chaplygin 气体 Euler 方程组的整体经典解. 在文献[17]中, Lei 和 Wei 将文献[12] 结果推广到三维球对称相对论 Euler 方程组.

众所周知, 无论初始数据多么小和光滑, 非相对论和相对论 Euler 方程组 Cauchy 问题的经典解都有可能在有限时间内破裂; 有关这方面的研究可以参见文献 [18 ⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-27]. 虽然 Chaplygin 气体相对论 Euler 方程组是线性退化的, 但它仍然是拟线性双曲方程组. Majda 在专著[p.89]提出了以下猜想:“如果一个双曲守恒定律方程组的所有特征都是线性退化的, 那么当初始数据光滑时, 方程组具有整体光滑解, 除非解本身在有限的时间内破裂. 特别地, 对于任何光滑的初值, 都不会形成激波.”

Qu^[29]给出了一维的一阶线性退化的拟线性双曲方程组奇性形成的机理. 他使用能量方法说明解的所有范数应该是破裂的. 我们关心 Chaplygin 气体方程组的奇性形成, 特别是质量集中现象. 最近, Lai 和 Zhu^[30]研究了轴对称 Chaplygin 气体 Euler 方程组的奇性形成. 在本文中, 我们把文献[30]的结果推广到球对称相对论的情形. 为此, 本文考虑方程组 (1.4) 带有如下初值

$\begin{matrix}\label{iv} (\rho,u)(x, 0)=(\rho_0, \tilde{u}(x)), \quad x\in [x_1, x_2], \end{matrix}$

(1.6)

其中 $x_1>0$ , $\rho_0$ 是大于1的正常数, $\tilde{u}(x)\in C^1[x_1, x_2]$ , $\tilde{u}(x_2)>\frac{1}{\rho_0}$ , 且有

$\begin{matrix}\tilde{u}(x)>0,\quad\tilde{u}'(x)+\frac{2\tilde{u}(x)}{x}<0\quad x\in [x_1, x_2].\end{matrix}$

(1.7)

假设存在区间 $(a, b)\in (x_1, x_2)$ , 使得如下条件成立

(A1) $\frac{u_a-c_0}{1-u_ac_0}>\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}$ ;

(A2) $a-x_1>\big(\frac{u_1+c_0}{1+u_1c_0}-\frac{u_a-c_0}{1-u_ac_0}\big)t_*$ ;

(A3) $x_2-b>\big(\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}-\frac{u_2-c_0}{1-u_2c_0}\big)t_*$ ;

(A4) $m-\frac{c_0}{3}\big(\frac{1+u_bc_0}{u_b+c_0}\big)\Big\{\big(b+\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}t_*\big)^3-b^3\Big\}>0$ ,

其中

$c_0=\frac{1}{\rho_0}, \quad u_1=\tilde{u}(x_1), \quad u_2=\tilde{u}(x_2), \quad u_a=\tilde{u}(a), \quad u_b=\tilde{u}(b),$

$t_*=\frac{b-a}{\frac{u_a-c_0}{1-u_ac_0}-\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}}, \ \ \ m=\int_{a}^{b}x^2\cdot\frac{i_0\tilde{u}(x)}{1-\tilde{u}^2(x)}~{\rm d}x,\quad \quad i_0=\rho_0-\frac{1}{\rho_0}.$

我们将证明,在上述假设下, 问题 (1.4), (1.6) 的经典解的质能密度 $\rho$ 本身在有限时间内破裂. 主要结果如定理 2.1 所示.

注1.1 本文的目的是给出初始数据的一个充分条件来证明方程组 (1.4) 的奇性形成. 因此, 我们只需关心 $[x_1, x_2]$ 上的初始数据是否会导致奇性形成.

注1.2 假设 (A1)-(A4)在某些条件下是可以满足的. 例如, 若 $u_a-u_b=\frac{1}{2}$ , $a=\frac{x_1+x_2}{2}$ ,且 $b-a$ 和 $c_0$ 是充分小的, 则满足 (A1)-(A4).

在文献[30] 中, 作者从质量守恒中得到了密度本身在有限时间内破裂的结论. 然而, 对于相对论 Euler 方程组, 质量守恒是不成立的. 我们将用动量守恒来推导质能密度 $\rho$ 本身在有限时间内破裂. 本文用特征的方法来证明奇性形成. 我们将证明通过点 $(a, 0)$ 和 $(b, 0)$ 点的轨迹线在有限时间内相交. 结合方程组(1.4)的第二个方程(动量守恒), 我们得到了质量—能量的集中.

2 球对称相对论 Euler 方程组的奇性形成

2.1 特征理论

方程组 (1.4) 可以写成如下的矩阵形式

$\begin{matrix} U_{t}+A^{-1}BU_{x}+A^{-1}C=0,\end{matrix}$

(2.1)

其中

$A=\left(\begin{array}{cc}\displaystyle{\frac{1+c^{2}}{1-u^{2}}}-c^{2} ~& \displaystyle{\frac{2iu}{(1-u^{2})^{2}}}\\\displaystyle{\frac{(1-u^{2})uc^{2}}{i}} ~& 1\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}\displaystyle{\frac{(1+c^{2})u}{1-u^{2}}}~ &\displaystyle{\frac{i(1+u^{2})}{(1-u^{2})^{2}}} \\\displaystyle{\frac{(1-u^{2})c^{2}}{i}} ~& u\end{array}\right),$

$C=\left(\frac{2iu}{(1-u^{2})x}, ~0\right)^{T},\quad U=(\rho,~ u)^{T},$

这里的 $c=\sqrt{p'(\rho)}=\frac{1}{\rho}$ 表示声速.

矩阵 $A^{-1}B$ 的特征值是

$\begin{matrix} \lambda_{+}=\frac{u+c}{1+uc},\quad \lambda_{-}=\frac{u-c}{1-uc}.\end{matrix}$

(2.2)

$\lambda_{\pm}$ 相应的左特征向量是 $l_{\pm}=\left(\frac{(1-u^2)c^2}{1-c^2}, \pm 1\right)$ , 相应的右特征向量是 $r_{\pm}=\left(\frac{1-c^2}{(1-u^2)c^2}, \pm1\right)^{T}$ .

通过计算可知

$\begin{matrix}\nabla_{(\rho, u)}\lambda_{\pm}\cdot r_{\pm}=0,\end{matrix}$

(2.3)

这表明特征值 $\lambda_{\pm}$ 是线性退化的.

将 (2.1) 左乘 $l_{\pm}$ , 可得

$\begin{matrix} \left\{ \begin{array}{ll}\frac{\partial_{+}u}{1-u^{2}}-\frac{\partial_{+}c}{1-c^{2}}=-\frac{2uc}{(1+uc)x},\\[3mm]\frac{\partial_{-}u}{1-u^{2}}+\frac{\partial_{-}c}{1-c^{2}}=\frac{2uc}{(1-uc)x}. \end{array} \right.\end{matrix}$

(2.4)

其中 $\partial_{\pm}:=\partial_{t}+\lambda_{\pm}\partial_{x}$ .

定义函数

$f(s)=\frac{1}{2}\ln\bigg(\frac{1+s}{1-s}\bigg), \quad -1<s<1.$

于是, 方程组 (2.4) 可以简化为

$\begin{matrix}\left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle\partial_{+}f(u)-\partial_{+}f(c)=-\frac{2uc}{(1+uc)x}, \\[3mm]\displaystyle\partial_{-}f(u)+\partial_{-}f(c)=\frac{2uc}{(1-uc)x}. \end{array}\right.\end{matrix}$

(2.5)

2.2 特征分解

我们将使用特征分解的方法对 Cauchy 问题 (1.4), (1.6) 解的导数作先验估计. 该方法是由李杰权, 张同和郑玉玺^[31]研究二维可压 Euler 方程组的拟定常简单波时提出的. 也可参阅文献[32].

命题2.1 方程组 (1.4) 中有如下交换关系成立

$\begin{matrix}\partial_{+}\partial_{-}-\partial_{-}\partial_{+}=-\frac{2(1-c^{2})}{1-u^{2}c^{2}}\cdot\frac{u}{x}(\partial_{+}-\partial_{-}).\end{matrix}$

(2.6)

证由 (2.2) 和 (2.4)式, 可推导出

$\begin{matrix} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_{-}\lambda_{+}=\frac{2(1-u^{2})(1-c^{2})uc}{(1-u^{2}c^{2})(1+uc)x},\\[3mm] \partial_{+}\lambda_{-}=-\frac{2(1-u^{2})(1-c^{2})uc}{(1-u^{2}c^{2})(1-uc)x}. \end{array} \right.\end{matrix}$

(2.7)

由 (2.2)式可知

$\begin{matrix} \partial_{x}=\frac{\partial_{+}-\partial_{-}}{\lambda_{+}-\lambda_{-}}=\frac{1-u^{2}c^{2}}{2c(1-u^{2})}(\partial_{+}-\partial_{-}). \end{matrix}$

(2.8)

于是有

$\begin{matrix}\partial_{+}\partial_{-}-\partial_{-}\partial_{+} &=&(\partial_{t}+\lambda_{+}\partial_{x})(\partial_{t}+\lambda_{-}\partial_{x})- (\partial_{t}+\lambda_{-}\partial_{x})(\partial_{t}+\lambda_{+}\partial_{x}) \\ &=&(\partial_{+}\lambda_{-}-\partial_{-}\lambda_{+})\partial_{x}\\ &= &-\frac{2(1-c^{2})}{1-u^{2}c^{2}}\cdot\frac{u}{x}(\partial_{+}-\partial_{-}). \end{matrix}$

(2.9)

证毕.

命题2.2 关于变量 $f(c)$ , 有如下特征分解式

$\begin{matrix} \left\{ \begin{array}{rl} \partial_{-}\partial_+f(c) =& \frac{u(1-c^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}+\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}+\frac{2\partial_{+}f(c)}{1-u^{2}c^{2}}\bigg]\\[3mm]& +\frac{c(1-u^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}-\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}\bigg]-\frac{6u^{2}c}{(1-u^{2}c^{2})x^{2}},\\[3mm]\partial_{+}\partial_-f(c) =& \frac{u(1-c^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}+\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}+\frac{2\partial_{-}f(c)}{1-u^{2}c^{2}}\bigg]\\[3mm]& +\frac{c(1-u^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}-\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}\bigg]-\frac{6u^{2}c}{(1-u^{2}c^{2})x^{2}}. \end{array} \right.\end{matrix}$

(2.10)

证通过计算可知

$\begin{matrix}&&\partial_+\bigg(\frac{uc}{(1-uc)x}\bigg)+\partial_-\bigg(\frac{uc}{(1+uc)x}\bigg)\\&=&\frac{\partial_+(uc)}{(1-uc)^{2}x}+\frac{\partial_-(uc)}{(1+uc)^{2}x} -\frac{uc\partial_+x}{(1-uc)x^{2}}-\frac{uc\partial_-x}{(1+uc)x^{2}}\\&=&\frac{u(1-c^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}+\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}\bigg]+\frac{c(1-u^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}-\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}\bigg]\\&&-\frac{2u^{2}c}{(1-u^{2}c^{2})x^{2}}\bigg[\frac{2c^{2}(1-u^{2})}{1-u^{2}c^{2}}+1\bigg]. \end{matrix}$

(2.11)

对 $f(u)$ 使用交换关系, 有

$\begin{matrix}\partial_{+}\partial_{-}f(u)-\partial_{-}\partial_{+}f(u)=-\frac{2(1-c^{2})}{1-u^{2}c^{2}}\cdot\frac{u}{x}(\partial_{+}f(u)-\partial_{-}f(u)).\end{matrix}$

(2.12)

结合该式和(2.5)及(2.11)式, 有

$\begin{matrix}\partial_{+}\partial_{-}f(c)+\partial_{-}\partial_{+}f(c)&=&\partial_+\bigg(\frac{2uc}{(1-uc)x}\bigg)+\partial_-\bigg(\frac{2uc}{(1+uc)x}\bigg)\\&&+\frac{2u(1-c^{2})}{(1-u^{2}c^{2})x}(\partial_{+}f(c)+\partial_{-}f(c))-\frac{8u^{2}c(1-c^{2})}{(1-u^{2}c^{2})^{2}x^{2}}\\&=&\frac{2u(1-c^{2})}{(1-u^{2}c^{2})x}(\partial_{+}f(c)+\partial_{-}f(c))+\frac{2u(1-c^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}+\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}\bigg]\\&&+\frac{2c(1-u^{2})}{x}\bigg[\frac{\partial_{+}f(c)}{(1-uc)^{2}}-\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}\bigg]-\frac{12u^{2}c}{(1-u^{2}c^{2})x^{2}}.\end{matrix}$

(2.13)

对 $f(c)$ 使用交换关系, 有

$\begin{matrix}\partial_{+}\partial_{-}f(c)-\partial_{-}\partial_{+}f(c)=-\frac{2(1-c^{2})}{1-u^{2}c^{2}}\cdot\frac{u}{x}(\partial_{+}f(c)-\partial_{-}f(c)).\end{matrix}$

(2.14)

于是, 结合 (2.13) 和 (2.14)式, 可得 (2.10)式.

2.3 奇性形成

Cauchy问题 (1.4), (1.6) 经典解的局部存在性可通过特征线方法得到; 见文献[33]. 也就是说, 存在一个足够小的 $T>0$ , 使得问题 (1.4), (1.6) 在区域 $\Omega(T):=\{(x, t)\mid x_{+}(t)\leq x\leq x_{-}(t), 0<t<T\}$ 存在经典解 $(u,\rho)(x,t)$ , 其中 $x=x_{+}(t)$ ( $x=x_{-}(t)$ ) 表示特征曲线 $C_{+}$ ( $C_{-}$ ). 函数 $x=x_{+}(t)$ 及 $x=x_{-}(t)$ 分别满足

$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{{\rm d}x_{+}(t)}{{\rm d}t}=\Big(\frac{u+c}{1+uc}\Big)(x_{+}, t), & \hbox{t>0;} \\[4pt]x_{+}(0)=x_1, \end{array}\right.\quad\mbox{及}\quad \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{{\rm d}x_{-}(t)}{{\rm d}t}=\Big(\frac{u-c}{1-uc}\Big)(x_{-}, t), & \hbox{t>0;} \\[4pt]x_{-}(0)=x_2, \end{array}\right.$

接下来, 要对局部解作 $C^1$ 先验估计.

引理2.1 对于某个 $T>0$ , 若问题 (1.4), (1.6) 在区域内存在经典解. 进一步, 假设在区域 $\Omega(T)$ 有 $c>0$ , 则解在区域 $\Omega(T)$ 满足

$\begin{matrix}u_2\leq u\leq u_1,\quad \partial_{+}c< 0,\quad \partial_{-}c< 0.\end{matrix}$

(2.15)

证由(2.5)式可知

$\begin{matrix}\left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle\partial_{t}f(u)+\lambda_{+}\partial_{x}f(u)-\partial_{t}f(c)-\lambda_{+}\partial_{x}f(c)=-\frac{2uc}{(1+uc)x}, \\[10pt]\displaystyle\partial_{t}f(u)+\lambda_{-}\partial_{x}f(u)+\partial_{t}f(c)+\lambda_{-}\partial_{x}f(c)=\frac{2uc}{(1-uc)x}. \end{array}\right.\end{matrix}$

(2.16)

于是, 有

$\partial_{t}f(c)=\frac{1}{2}\Big((\lambda_{+}-\lambda_{-})\partial_{x}f(u)-(\lambda_{+}+\lambda_{-})\partial_{x}f(c)\Big)+\frac{2uc}{x(1-u^2c^2)}.$

再结合(1.7)式, 可知在初始时刻有

$\begin{matrix}\partial_{\pm} f(c)= \partial_{t}f(c)=\frac{c_0}{1-c_0^2\tilde{u}^2(x)}\bigg[\tilde{u}'(x)+\frac{2\tilde{u}(x)}{x}\bigg]<0\quad \quad x\in [x_1, x_2].\end{matrix}$

(2.17)

设 $F$ 点是区域 $\Omega(T)$ 中的任意一点. 由 $F$ 点出发的后向 $C_{+}$ 特征曲线和 $C_{-}$ 特征曲线分别与 $x$ 轴交于 $F_{+}$ 点和 $F_{-}$ 点. 我们用表示一个由 $\widehat{F_{+}F}$ , $\widehat{F_{-}F}$ ,及 $\widehat{F_{-}F_{+}}$ 为边界的闭区域. 下面将证明如果对于区域 $\Omega_{_F}\setminus\{F\}$ 中的任意一点都满足 $\partial_{\pm}c<0$ , 那么有 $\partial_{\pm}c(F)<0$ .

首先, 如果对于区域 $\Omega_{_F}\setminus\{F\}$ 中的任意一点都满足 $\partial_{\pm}c<0$ , 那么通过 (2.5)式, 得到在区域 $\Omega_{_F}\setminus\{F\}$ 内有 $\partial_{+}u<0$ 和 $\partial_{-}u>0$ . 再与 (1.7)式结合, 可知在区域 $\Omega_{_F}$ 内有

$\begin{matrix}c(x, t)\leq c_0<u_2\leq u(x, t)\leq u_1.\end{matrix}$

(2.18)

假设在 $F$ 点存在 $\partial_{+}c=0$ 及 $\partial_{-}c\leq 0$ . 通过 (2.10) 式的第一个方程和 (2.18)式, 可知在 $F$ 点满足

$\begin{array}{ll}\partial_{-}\partial_{+}f(c) &~=~\frac{u(1-c^2)-c(1-u^{2})}{x}\cdot\frac{\partial_{-}f(c)}{(1+uc)^{2}}-\frac{6u^{2}c}{(1-u^{2}c^{2})x^{2}}<0.\end{array}$

这就产生了矛盾.

假设在 $F$ 点存在 $\partial_{-}c=0$ 及 $\partial_{+}c\leq 0$ . 通过 (2.10) 式的第二个方程, 可知在 $F$ 点满足

$\partial_{+}\partial_{-}f(c) ~=~\frac{u(1-c^2)+c(1-u^{2})}{x}\cdot\frac{\partial_{+}f(c)}{(1+uc)^{2}}-\frac{6u^{2}c}{(1-u^{2}c^{2})x^{2}}<0.$

这就产生了矛盾.

因而由连续性假设可知, 若 $\Omega_{_F}\setminus\{F\}$ 区域中的任意一点都满足 $\partial_{\pm}c<0$ , 则 $\partial_{\pm}c(F)<0$ 成立.引理证毕.

从 (2.5), (2.8)式和引理 2.1 可以看出 Cauchy问题 (1.4), (1.6) 在以 $x$ 轴和 $x=x_{\pm}(t)$ ( $t>0$ )为边界的区域内存在整体经典解, 除非质能密度 $\rho$ 本身在有限时间内破裂.

定理2.1 存在 $t_{s}>0$ 使得问题 (1.4), (1.6) 在区域 $\Omega(t_s)$ 存在经典解, 且解满足

$\begin{matrix}\lim\limits_{t\rightarrow t_{s}^{-}}\|\rho(\cdot, t)\|_{_{0; X(t)}}=+\infty,\end{matrix}$

(2.19)

其中 $X(t)=\big(x_{+}(t), x_{-}(t)\big)$ .

证令 $C_{0}^a$ : $x=x_{0}(t; a)$ 和 $C_{0}^b$ : $x=x_{0}(t, b)$ 分别由

$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{{\rm d}x_{0}(t; a)}{{\rm d}t}=u(x_{0}(t; a), t), & \hbox{t>0;} \\[4pt]x_{0}(0; a)=a, \end{array}\right.\quad\mbox{和}\quad \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{{\rm d}x_{0}(t; b)}{{\rm d}t}=u(x_{0}(t; b), t), & \hbox{t>0;} \\[4pt]x_{0}(0; b)=b \end{array}\right.$

来确定. 实际上 $C_{0}^a$ 和 $C_{0}^b$ 是两条分别从 $(a, 0)$ 点和 $(b, 0)$ 点出发的轨迹线.

令 $\partial_{0}=\partial_{t}+u\partial_{x}$ . 于是有 $\partial_{0}=s_{+}\partial_{+}+s_{-}\partial_{-}$ , 其中

$s_{+}=\frac{u-\lambda_{-}}{\lambda_{+}-\lambda_{-}}>0\quad s_{-}=\frac{\lambda_{+}-u}{\lambda_{+}-\lambda_{-}}>0.$

由 (2.15)式可知

$\begin{matrix}\partial_{0}c<0.\end{matrix}$

(2.20)

结合 (2.5) 与 (2.20)式, 有

$\begin{matrix}\partial_{0}f(u)&=&s_{+}\partial_{+}f(u)+s_{-}\partial_{-}f(u)\\&=&s_{+}\partial_{+}f(c)-s_{-}\partial_{-}f(c)-\frac{2s_{+}uc}{(1+uc)x}+\frac{2s_{-}uc}{(1-uc)x}\\&=&s_{+}\partial_{+}f(c)-s_{-}\partial_{-}f(c)=\partial_{0}f(c)-2s_{-}\partial_{-}f(c)\\&>&\partial_{0}f(c).\end{matrix}$

将该式沿着 $C_{0}^{a}$ 积分, 有

$f(u)>f(u_a)-f(c_0),$

即

$\ln \bigg(\frac{1+u}{1-u}\bigg)>\ln\bigg(\frac{1+u_a}{1-u_a}\bigg)-\ln\bigg(\frac{1+c_0}{1-c_0}\bigg).$

通过计算知道在 $C_{0}^{a}$ 上, 有

$\begin{matrix}u>\frac{u_a-c_0}{1-u_ac_0}.\end{matrix}$

(2.22)

结合 (2.5) 与 (2.20)式, 有

$\begin{matrix}\partial_{0}f(u)&=&s_{+}\partial_{+}f(u)+s_{-}\partial_{-}f(u)\\&=&s_{+}\partial_{+}f(c)-s_{-}\partial_{-}f(c)-\frac{2s_{+}uc}{(1+uc)x}+\frac{2s_{-}uc}{(1-uc)x}\\&=&s_{+}\partial_{+}f(c)-s_{-}\partial_{-}f(c)=2s_{+}\partial_{+}f(c)-\partial_{0}f(c)\\&<&-\partial_{0}f(c).\end{matrix}$

(2.23)

将该式沿着 $C_{0}^{b}$ 积分, 有

$\begin{matrix}u<\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}.\end{matrix}$

(2.24)

通过计算, 再结合 (2.15)式, 有

$\begin{matrix}\partial_{+}\lambda_{+}=\frac{1-c^2}{(1+uc)^2}\partial_{+}u+ \frac{1-u^2}{(1+uc)^2}\partial_{+}c<0\end{matrix}$

(2.25)

及

$\begin{matrix}\partial_{-}\lambda_{-}=\frac{1-c^2}{(1-uc)^2}\partial_{-}u- \frac{1-u^2}{(1+uc)^2}\partial_{-}c>0.\end{matrix}$

(2.26)

因而, 有

$\begin{matrix}\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{u+c}{1+uc}<\frac{u_1+c_0}{1+u_1c_0}, & \hbox{x=x_{+}(t);} \\[10pt] \displaystyle\frac{u-c}{1-uc}>\frac{u_2-c_0}{1-u_2c_0}, & \hbox{x=x_{-}(t).} \end{array}\right.\end{matrix}$

(2.27)

于是, 通过假设 (A2)-(A3), 我们知道若 $x_{0}(t; a)< x_{0}(t; b)$ , 则有

$\begin{matrix}x_{+}(t)<x_{0}(t; a)<x_{0}(t; b)<x_{-}(t),\end{matrix}$

(2.28)

这表明若曲线 $x=x_{0}(t; a)$ 与 $x=x_{0}(t; b)$ 存在, 那么它们必须在Cauchy 问题 (1.4), (1.6)的决定域内.

由方程组 (1.4) 的第二个方程可知

$\begin{matrix}&&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{x_{0}(t; a)}^{x_{0}(t; b)} x^2\Big(\frac{iu}{1-u^2}\Big)(x, t){\rm d}x\\&=&\int_{x_{0}(t; a)}^{x_{0}(t; b)} x^2\Big(\frac{iu}{1-u^2}\Big)_t(x, t){\rm d}x+x_0^2(t; b)\left[\Big(\frac{iu}{1-u^2}\Big)(x_0(t; b), t)\right]\frac{{\rm d}x_{0}(t; b)}{{\rm d}t}\\&&-x_0^2(t; a)\left[\Big(\frac{iu}{1-u^2}\Big)(x_0(t; a), t)\right]\frac{{\rm d}x_{0}(t; a)}{{\rm d}t}\\&=&\int_{x_{0}(t; a)}^{x_{0}(t; b)} x^2\Big(\frac{iu}{1-u^2}\Big)_t(x, t)+\Big[x^2\Big(\frac{iu^2}{1-u^2}\Big)(x, t)\Big]_x{\rm d}x\\&=&\int_{x_{0}(t; a)}^{x_{0}(t; b)} -x^2p_x(x, t) {\rm d}x\\&=&-x^2 p(x, t)\bigg|_{x_{0}(t; b)}^{x_{0}(t; a)}+\int_{x_{0}(t; a)}^{x_{0}(t; b)}2xp(x, t){\rm d}x\\&>&-c_0 x_{0}^2(t; b)>-c_0\left(b+\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}t\right)^2.\end{matrix}$

(2.29)

因而, 由假设 (A4), 我们知道对于 $t\leq t_{*}$ , 有

$\begin{matrix}\int_{x_{0}(t; a)}^{x_{0}(t; b)} x^2\Big(\frac{iu}{1-u^2}\Big)(x, t){\rm d}x>m-\frac{c_0}{3}\bigg(\frac{1+u_bc_0}{u_b+c_0}\bigg)\bigg\{\Big(b+\frac{u_b+c_0}{1+u_bc_0}t_*\Big)^3-b^3\bigg\}>0.\end{matrix}$

(2.30)

于是, 由假设 (A1) 和 (2.28)式可知, 若 Cauchy 问题 (1.4), (1.6) 存在整体经典解, 则存在 $0<t^*<t_*$ 使得

$x_{+}(t^*)<x_{0}(t^*; a)=x_{0}(t^*; b)<x_{-}(t^*).$

且对于 $t<t^*$ , 有

$x_{+}(t)<x_{0}(t; a)<x_{0}(t; b)<x_{-}(t).$

因而, 结合 (2.15) 与 (2.28)式, 我们知道存在 $t_s\in(0, t^*]$ , 使得问题 (1.4), (1.6) 在区域 $\Omega(t_s)$ 内存在经典解. 此外, 有

$\lim\limits_{t\rightarrow t_{s}^{-}}\|\rho(\cdot, t)\|_{_{0; X(t)}}=+\infty.$

定理证毕.

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$\delta$