本文考虑如下含有 $p$-Laplacian 算子的脉冲微分方程 Neumann 边值问题

其中 $\Phi_{p}(x)=|x|^{p-2}x$, $p>1$, $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdot\cdot\cdot<t_{n}<t_{n+1}=T,$$f\in C([T]\times \mathbb{R},\mathbb{R} )$, $I_{j}\in C(\mathbb{R},\mathbb{R} )$, $j=1,2,\cdots,n$, $\Delta \Phi_{p}(u'(t_{j}))=\Phi_{p}(u'(t_{j}^{+}))-\Phi_{p}(u'(t_{j}^{-})),$$u'(t_{j}^{+})$ 与 $u'(t_{j}^{-})$ 分别表示 $u'(t)$ 在 $t=t_{j}$ 处的右极限和左极限.

用变分方法研究脉冲微分方程边值问题解的存在性和多重性的工作始于文^[15,18], 在文献[18] 中, Tian-Ge 第一次研究如下一类带有 Sturm-Liouville 边界条件的二阶脉冲微分方程, 通过变分方法证明该方程至少存在两个正古典解.

其中, $p>1$, $\Phi_{p}(x)=|x|^{p-2}x$, $\rho, s\in L^{\infty}[T]$, 并且 $\mbox{ess}\inf_{[T]}\rho>0$, $\mbox{ess}\inf_{[T]}s>0$, $0<\rho(0), \rho(T)<\infty$, $A\leq 0, B\geq 0, \alpha, \beta, \gamma, \sigma>0$, $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdot\cdot\cdot<t_{n}<t_{n+1}=T$, $\Delta(\rho(t_{j})\Phi_{p}(u'(t_{j})))=\rho(t_{j}^{+})\Phi_{p}(u'(t_{j}^{+}))-\rho(t_{j}^{-})\Phi_{p}(u'(t_{j}^{-}))$, 其中 $u'(t_{j}^{+}), u'(t_{j}^{-})$ 分别表示 $u'(t)$ 在 $t=t_{j}$ 处的右极限和左极限, $I_{j}\in C([+\infty],[+\infty])$, $j=1,2,\cdots,n$, $f\in C([T]$$\times[+\infty],[+\infty])$, 对任意的 $t\in [T]$, $f(t,0)\neq 0$.

但是在这方面做出标志性工作的却是 Nieto-O'Regan^[15], 他们研究如下一类二阶脉冲微分方程的线性问题

和非线性问题

建立了该类问题的变分结构, 通过 Lax-Milgram 定理和山路引理, 证明问题 (1.2)、(1.3) 至少存在一个古典解. 其中 $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdot\cdot\cdot<t_{n}<t_{n+1}=T$, $I_{j}:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$, $j=1,2,\cdots,n$ 是连续的, $f:[T]\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, 是连续的, $d_{j}$ 是一个固定常数, $\sigma \in L^{2}(0,T)$.

此后, 有大量的工作^{[3,4,7,9,14,17,22,24]}致力于将变分方法应用于脉冲微分方程中. 例如 Zhang-Yuan^[22], Shi-Chen-Zhang^[17]和 Liu-Zhao^[7]都用变分方法研究了不同类型的脉冲微分方程的边值问题, 但是在他们所研究的问题中, 非线性项都需要满足经典的 Ambrosetti-Rabinowitz (AR) 条件^[1], i.e.

(AR) 条件能够保证问题 (1.1) 对应的能量泛函的任一 (PS) 序列都有界, 这在运用变分方法的过程中起到十分重要的作用. 实际上, (AR) 条件蕴含着: 存在常数$c_{1}, c_{2}>0$, 使得

然而, 并非所有的超线性函数都满足(AR) 条件, 比如函数

当 $\mu>p$ 时, 此函数就不满足 (AR) 条件, 但是不难验证, 它却满足下文给出的条件 (H1)-(H3), 因此, 研究这种非线性项不满足 (AR) 条件的超线性方程的边值问题是有意义的.

近年来, 越来越多的学者在非线性项不满足(AR) 条件的情况下研究超线性椭圆方程问题, 比如, 在文献[11] 中, 刘轼波和李树杰研究了一类超线性椭圆方程

其中, $p>1$, $\Omega$ 是 $\mathbb{R} ^{N}$ 中具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域, $-\Delta_{p}$ 是$p$-Laplace 算子, $-\Delta_{p}u:=-\mbox{div}(|\triangledown u|^{p-2}\triangledown u)$. $p^{*}$ 表示 Sobolev 临界指数, 即 $p^{*}=\frac{Np}{N-p}$. 如果 $p\geq N$, 则 $p^{*}=\infty.$ 他们通过 Cerami 条件下的喷泉定理, 证明问题(1.4) 具有无穷多个解. 之后, Fang-Liu^[5]也研究了问题 (1.4), 通过 Morse 理论证明该问题至少存在一个非平凡弱解. 在文献[5,11]的基础上, Liu^[10] 同样研究了问题(1.4), 但是引入了更优的局部条件, 运用 Cerami 条件下的山路引理、喷泉定理和Morse 理论证明了问题 (1.4) 解的存在性和多重性, 进而推广了Miyagaki-Souto^[13]的结果.

在文献[16] 中, Qian 考虑如下一类带有 Neumann 边界条件的非线性椭圆方程, 通过 Cerami 条件下的对称山路引理, 证明该方程具有无穷多个变号解.

其中 $\Omega\subset \mathbb{R} ^{N}(N\geq 1)$ 是一个带有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界区域, $\alpha>0$ 是一个常数.

另一方面, 也有部分学者考虑脉冲微分方程边值问题中, 当非线性项不满足 (AR) 条件时解的存在性和多重性问题.

在文献[8]中, 刘健和赵增勤研究如下问题

其中 $\lambda$ 是参数, $g\in C[T]$, $f\in ([T]\times \mathbb{R},\mathbb{R} )$, $I_{i}:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}, i=0,1,\cdots,p$ 是连续的, $T>0$, $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{p}<t_{p+1}=T$, $\Delta u'(t_{i})=u'(t_{i}^{+})-u'(t_{i}^{-})=\mathop{\underline{\lim}}\limits _{t\to t_{i}^{+}}u'(t)- \mathop{\underline{\lim}}\limits_{t\to t_{i}^{-}}u'(t)$, $\alpha\geq0, \beta>0$, (或者 $\beta=0$). 他们通过 Cerami 条件下的山路引理、对称山路引理以及喷泉定理证明了问题 (1.5) 至少存在一个古典解和无穷多个古典解.

在文献[20]中, Xu-Wei-Ding 考虑如下含有 $p$-Laplacian 算子的脉冲微分方程

其中, $p>1$, $\Delta\Phi_{p}(u'(t_{j}))=I_{j}(u(t_{j}))$, $I_{j}\in C(\mathbb{R},\mathbb{R} )$, $j=1,2,\cdots,n$, $f\in C([T]\times \mathbb{R},\mathbb{R} )$, $\Delta\Phi_{p}(u'(t_{j}))=|u'(t_{j}^{+})|^{p-2} u'(t_{j}^{+})-|u'(t_{j}^{-})|^{p-2}u'(t_{j}^{-})$, 其中 $u'(t_{j}^{+})$ 与 $u'(t_{j}^{-})$ 分别表示 $u'(t)$ 在 $t=t_{j}$ 处的右极限和左极限. 他们通过 Cerami 条件下的喷泉定理证明问题 (1.6) 具有无穷多个弱解.

在文献[12]中, Menasria-Bouali-Guefaifia-Biomy 考虑如下脉冲问题

其中, $p>1$, $T>0$, $\rho(t), s(t)\in L^{\infty}([T])$ 且满足条件 $\mbox{ess}\inf_{[T]}\rho(t)>0$, $\mbox{ess}\inf_{[T]}s(t)>0$, $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<t_{n+1}=T$. $I_{j}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $j=1,2,\cdots,n$ 是连续的. $f\in C([T]\times \mathbb{R},\mathbb{R} )$, $\Delta\left(|u'(t_{j})|^{p-2}u'(t_{j})\right)=|u'(t_{j}^{+})|^{p-2}u'(t_{j}^{+})-|u'(t_{j}^{-})|^{p-2}u'(t_{j}^{-})$, 其中 $u'(t_{j}^{+})$ 和 $u'(t_{j}^{-})$ 分别代表 $u'(t)$ 在 $t=t_{j}$ 时的右、左极限. 他们通过 Cerami 条件下的喷泉定理, 证明了问题 (1.7) 具有无穷多个弱解.

受到以上文献的启发, 本文研究一类含有 $p$-Laplacian 算子的脉冲 Neumann 边值问题, 当非线性项不满足 (AR) 条件时, 我们通过 Cerami 条件下的喷泉定理证明问题 (1.1) 具有无穷多个古典解.

本文的假设条件如下

(H1) 存在 $C>0, q>p$, 使得对 $(t,x)\in [T]\times \mathbb{R}$, 有 $|f(t,x)|\leq C(1+|x|^{q-1})$.

(H2) 对 $t\in [T]$, 一致有 $\lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}\frac{F(t,x)}{|x|^{p}}=+\infty$, 其中 $F(t,x)=\int_{0}^{x}f(t,s){\rm d}s.$

(H3) 对任意的 $t \in [T]$, 存在 $R>0$, 使得 $\frac{f(t,x)}{|x|^{p-2}x}$ 在 $x\geq R$ 上递增, 在 $x\leq -R$ 上递减.

(H4) $0<I_{j}(x)x\leq p\int_{0}^{x}I_{j}(s){\rm d}s, j=1,2,\cdots,n, x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}.$

(H5) $I_{j}(x)$, $j=1,2,\cdots,n,$$f(t,x)$ 关于 $x$ 是奇函数.

(H6) 存在常数 $a_{j}, b_{j}>0$ 和 $\gamma_{j}\in [0,p-1), j=1,2,\cdots,n$ 使得

注1.1 条件 $\lim\limits_{|x|\to \infty}\frac{f(t,x)}{|x|^{p-2}x}=+\infty$ 可推出条件(H2). 该条件表明非线性项 $f(t,x)$ 在无穷远处是超线性, 所以我们称问题(1.1) 为超线性问题.

注1.2 本文中(H3)是定义在 $|x|\geq R$ 上的条件, 可以用如下条件替换

(H3)$^{\prime}$ 对任意的 $t \in [T]$, $\frac{f(t,x)}{|x|^{p-2}x}$ 在 $x\geq 0$ 上递增, 在 $x\leq 0$ 上递减.

(Je) 存在 $\theta \geq 1$, 对 $(t,x)\in [T]\times \mathbb{R}$, $s\in [01]$ 有 $\theta {\cal F}(t,x)\geq{\cal F}(t,sx)$, 其中,

其中条件 (Je) 是在 $p=2$ 的情况下, 由 Jeanjean^[6]中引入, 并且文献[8] 就应用了该条件. 由文献[10] 可知, 虽然条件 (H3)$^{\prime}$ 和 (Je) 都比条件 (H3) 弱, 但是条件 (H3)$^{\prime}$ 和 (Je) 关于非线性项 $f(t,x)$ 却是全局条件, 因此不太令人满意. 在下文的引理 2.4 中, 只需要引入局部条件 (H3), 我们就能证明泛函 $\varphi$ 满足 Cerami 条件.

注1.3 由文献[12,20]中的条件 (H4) 可知, 作者要求 ${\cal F}(t,x)$ 在 $|x|\geq R$ 上递增, 该条件容易证明泛函 $\varphi$ 满足 Cerami 条件, 但由下文引理 2.3 可知, 我们对 ${\cal F}(t,x)$ 的要求与之不同, ${\cal F}(t,x)$ 在 $x\leq -R$ 上要满足递减条件, 这就意味着我们不能用文献[12,20]中的方法来证明 Cerami 条件. 同时也就增加了证明的难度. 在本文中, 具体证明 Cerami 条件的方法主要参考文献[10].

由条件得到如下结论.

定理1.1 假设条件(H1)-(H6)成立, 则问题(1.1) 有无穷多个古典解.

下文安排如下: 第二部分给出定理证明需要用到的定义、引理和定理, 第三部分给出定理 1.1 的证明.

本节先介绍下文需要用到的定义和定理.

定义2.1 设$E$ 是一个实 Banach 空间, 如果对于任意的 $d\in \mathbb{R}$, 满足

(1) 对任意有界序列 $\{u_{k}\}\subset E$ 满足 $\varphi(u_{k})\rightarrow d$ 且 $\varphi'(u_{k})\rightarrow 0$, 都有一个收敛子列;

(2) 存在 $\delta, \xi, \rho>0$ 使得对于任意 $u\in \varphi^{-1}[d-\delta, d+\delta]$ 且 $\|u\|\geq\xi$, 有 $\|\varphi'(u)\|\cdot\|u\|\geq\rho$, 则称泛函 $\varphi\in C^{1}(E, \mathbb{R} )$ 满足 Cerami 条件.

设 $E$ 是可分的 Banach 空间, 由文献[p.233]可知, 存在 $\{v_{n}\}_{n\in{\Bbb N}}\subset E$, $\{\varphi_{n}\}_{_{n\in {\Bbb N}}}\subset E^{*}$ 使得

(1) $\langle \varphi_{n},v_{m}\rangle=\delta_{n}^{m}$, 其中当 $n=m$ 时, $\delta_{n}^{m}=1$, 当 $n\neq m$ 时, $\delta_{n}^{m}=0$.

(2) $\overline{\mbox{span}}\{v_{n};n\in{\Bbb N}\}=E$, $\overline{\mbox{span}}^{w^{*}}\{\varphi_{n};n\in{\Bbb N}\}=E^{*}.$

令 $E_{j}=\mbox{span}\{v_{j}\}$, 则 $E=\overline{\bigoplus\limits_{j\geq1}E_{j}}$. 再记 $Y_{k}=\bigoplus\limits_{j=1}^{k} E_{j}$, $Z_{k}=\overline{\bigoplus\limits_{j\geq k} E_{j}}.$ 这时有如下的喷泉定理.

定理2.1 (见文献[定理 2.9]) 假设 $\varphi\in C^{1}(E,\mathbb{R} )$ 满足 Cerami 条件, $\varphi(-u)=\varphi(u)$. 又设对每个 $k\in {\Bbb N}$, 存在 $\rho_{k}>r_{k}>0$, 使得

(1) $b_{k}:=\inf\limits_{u\in Z_{k},\|u\|=r_{k}}\varphi(u)\rightarrow +\infty, k\rightarrow \infty$,

(2) $a_{k}:=\max\limits_{u\in Y_{k},\|u\|=\rho_{k}}\varphi(u)\leq0$,

则 $\varphi$ 有一列趋于 $+\infty$ 的临界值.

在 Sobolev 空间 $W^{1,p}([T])$, 考虑如下范数

取 $v\in W^{1,p}([T])$, 用 $v$ 乘以方程 (1.1) 并在 $0$ 到 $T$ 上做积分, 可得

其中

整理可得

对于任意的 $v\in W^{1,p}([T])$, 若 $u\in W^{1,p}([T])$ 且满足 (2.1)式, 则称 $u$ 是问题 (1.1) 的弱解.

考虑如下泛函 $\varphi: W^{1,p}([T]) \rightarrow \mathbb{R}$,

其中, $F(t,u)=\int_{0}^{u}f(t,s){\rm d}s$.

由 $f(t,x)$ 和 $I_{j}(x)$, $j=1,2,\cdots,n$ 的连续性可知, $\varphi\in C^{1}(W^{1,p}([T]), \mathbb{R} )$. 对任意的 $v\in W^{1,p}([T])$, 有

因此, 泛函$\varphi$ 的临界点就是问题(1.1) 的弱解.

引理2.1 如果$u\in W^{1,p}([T])$是泛函$\varphi$的临界点, 则$u$是问题(1.1)的古典解.

证 由文献[引理2.2]可知, 当 $\lambda=1$ 时, 同理可证明引理 2.1, 详细证明过程这里省略.

引理2.2 (见文献[引理 2.3])对任意的 $u\in W^{1,p}([T])$, 存在 $c=2^{\frac{1}{q}}\max\{T^{-\frac{1}{p}},T^{\frac{1}{q}}\}$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 使得$\|u\|_{\infty}\leq c\|u\|,$其中, $\|u\|_{\infty}=\max\limits_{t\in [T]}|u(t)|$.

引理2.3 (见文献[引理 2.3]) 如果 (H3) 成立, 则对任意的 $t \in [T]$, ${\cal F}(t,x)$ 在 $x\geq R$ 上递增, 在 $x\leq -R$ 上递减, 其中, ${\cal F}(t,x)=f(t,x)x-pF(t,x)$. 特别地,对 $t \in [T]$, 当 $0\leq s\leq x$, 或 $x\leq s\leq 0$ 时, 存在 $C_{1}>0$, 使得

引理2.4 如果假设 (H1)-(H4) 成立, 则 $\varphi$ 满足 Cerami 条件.

证 对于 $d\in \mathbb{R}$, 取 $W^{1,p}([T])$ 中的一有界序列 $\{u_{k}\}$, 当$k\rightarrow\infty$ 时, $\varphi(u_{k})\rightarrow d$ 且$\varphi'(u_{k})\rightarrow 0.$ 下证 $\{u_{k}\}$ 存在一收敛子列. 由 $\{u_{k}\}$ 的有界性可知, 存在一个子序列(为简便起见, 仍记作$\{u_{k}\}$),当 $k\rightarrow +\infty$ 时, 在 $W^{1,p}([T])$ 中, $u_{k}\rightharpoonup u$, 所以在 $C[T]$ 中, $u_{k} \rightarrow u$; 在 $L^{p}[T]$ 中, $u_{k} \rightarrow u$. 因此, 当 $k\rightarrow +\infty$ 时

由此可知

当 $p\geq 2$ 时, 对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 存在常数 $c_{p}>0$, 使得

结合(2.5)式, 我们有

由(2.4) 式可知, 在 $W^{1,p}([T])$ 中, $u_{k}\rightarrow u$. 当 $1<p<2$, 由文献[2] 可知, 存在常数 $d_{p}>0$, 使得

同理可得, 在 $W^{1,p}([T])$ 中, $u_{k}\rightarrow u$. 因此, 当 $p>1$ 时, 在 $W^{1,p}([T])$ 中, $u_{k}\rightarrow u$. 所以, Cerami 条件(1) 满足.

接下来, 证明 Cerami 条件 (2). 用反证法, 如果不满足, 则存在一个序列 $\{u_{k}\}\in W^{1,p}([T])$, 使得

结合 (2.2) 和 (2.3)式, 可知

令 $w_{k}=\frac{u_{k}}{\|u_{k}\|}$, 则 $\|w_{k}\|=1$, 显然在 $W^{1,p}([T])$ 中, $\{w_{k}\}$ 有界. 由 $W^{1,p}([T])$ 的自反性和 Sobolev 嵌入定理可知, 对任意 $w\in W^{1,p}([T])$, 当 $k\rightarrow\infty$ 时, 在 $W^{1,p}([T])$ 中, $w_{k}\rightharpoonup w$; 在 $L^{p}[T]$ 中, $w_{k}\rightarrow w$; 在 $[T]$ 中, $w_{k}\rightarrow w$.

如果 $w=0$, 参考文献[6]中的方法, 定义一列数列 $\{\tau_{k}\}\in [01]$, 使得 $\varphi(\tau_{k}u_{k})=\max\limits_{\tau\in [01]}\varphi(\tau u_{k})$, 由 (H1) 可得

令 $\overline{w_{k}}=(2pm)^{\frac{1}{p}}w_{k}$, $m>0$, 因为在 $[T]$ 上, $w_{k}\rightarrow w=0$, 由 Lebesgue 控制收敛定理可知

当 $k$ 足够大时, 可得

由 $m$ 的任意性可知

由于 $\varphi(0)=0, \varphi(u_{k})\rightarrow d,$ 可得 $\tau_{k}\in (0,1)$, 因此

由引理 2.3, (2.2) 式和条件(H4) 可知

由于 $I_{j}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $j=1,2,\cdots,n$ 是连续的, 所以, 存在 ${\cal M}>0$, 使得

因此

这与 (2.6) 式矛盾.

如果 $w\neq0$, 对 $\Omega_{1}:=\{t\in \Omega:w(t)\neq0\}$, 我们有 $|u_{k}|\rightarrow +\infty$, 从而由条件 (H2) 可知

因为 Lebesgue 测度 $|\Omega_{1}|>0$, 通过法图引理可知

另一方面, 由条件 (H2) 可知, 存在 $\vartheta>-\infty$, 使得对 $(t,u)\in [T]\times \mathbb{R}$, 有$\frac{F(t,u)}{|u|^{p}}\geq\vartheta$. 并且我们有 $\int_{w=0}|w_{k}|^{p}{\rm d}t\rightarrow0$, $k\to\infty$. 因此, 存在 $\Lambda>-\infty,$ 使得

矛盾. 所以, $\varphi$ 满足 Cerami 条件.证毕.

证 显然, $\varphi\in C^{1}(W^{1,p}([T]),\mathbb{R} )$. 由条件 (H5) 可知, 对 $\forall u \in W^{1,p}([T])$, 有 $\varphi(-u)=\varphi(u)$. 由引理 2.4 可知, $\varphi$ 满足 Cerami 条件.

(1) 令 $\beta_{k}=\sup\limits_{u\in Z_{k},\|u\|=1}\|u\|_{q}$, 其中 $\|u\|_{q}$ 是 $L^{q}([T])$ 中的范数.由文献[引理 3.8]可知, 当 $k\rightarrow \infty$ 时, $\beta_{k}\rightarrow 0$.

取 $r_{k}:=(\beta_{k})^{-1}$, 则对 $u\in Z_{k}$, $\|u\|=r_{k}$, 有

其中, $M_{1}:=\max\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$, $M_{2}:=\max\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$.

由条件 (H6) 可知, $\gamma_{j}+1<p$. 因为 $\beta_{k}\to 0$, 则由上式可知,

(2) 因为空间 $Y_{k}$ 是有限维赋范空间, 所以空间上所有范数等价. 故存在 $C_{2}>0$, 对 $\forall u\in Y_{k}$, 有

由条件(H2) 可知, $\exists M>0$, $s.t.$$F(t,x)\geq M|x|^{p}$. 通过 (3.2)式, 我们有

由 (2.2), (3.2)式, 条件(H6)以及引理 2.2可知

可以选取 $M$ 足够大, 使得 $\frac{1}{p}-C_{2}M<0$. 因为 $\gamma_{j}+1<p$, 所以对充分大的 $\rho_{k}>0$, 有 $\rho_{k}>r_{k}>0$, 使得

因此, 通过运用Cerami 条件下的喷泉定理和引理 2.1, 我们可以证明定理 1.1 成立.