最近, 来源于弹性理论、量子物理、跨音速流动和反应扩散系统等领域中具双相算子的变分问题的研究引起了人们的广泛关注, 具体的可参见文献[1⇓⇓-4].

本文研究了如下双相问题非平凡径向对称解的存在性和多重性，

其中 $1<p<q<N$，

$\lambda$ 是一个是参数且$f: \mathbb{R} ^N\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个 Carathéodory 函数.

当$\lambda=1$是有界区域时, 问题$(P)$得到了广泛的研究. 准确地说, 下列类型的方程已经得到了很好的研究

其中 $\Omega\subset \mathbb{R} ^N$ 是具有李普希兹边界的有界区域. 基于拓扑度和临界点理论, 并结合Nehari流形方法和变形引理,Liu和Dai^[5]在适当的假设下获得了问题$(P)$变号基态解的存在性. 随后, 将Nehari型单调条件替换为弱版本的Nehari型单调条件, Hou等^[6]证明了问题$(P_1)$ 存在变号基态解.利用强极大值原理, 文献[7]得到了$(P_1)$至少三个基态解的存在性. Perera 和 Squassina^[8]利用Morse理论获得了问题$(P_1)$ 非平凡解的存在性. Gasinski 和 Papageorgiou^[9] 利用Nehari 流形和变分方法证明当非线性项具有超线性增长且不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件时, 问题$(P_1)$存在常符号解和变号解.Ge和Chen^[10]在更一般的假设下证明了同于文献[5]中一样问题$(P_1)$的无穷个解的存在性. 在此方向上, 自首次在文献[11]中所提出的具有对流项的Dirichlet双相问题解的存在性之后, 已有大量的研究. 而对于具有双流项的双相问题解存在性的更多相关结果可参见文献[12⇓⇓⇓-16]. 最近, 关于具有双相算子的特征值问题，已有其他一些著作发表, 详细的可参见Manouni-Marino-Winkert^[17] 和 Papageorgiou-Radulescu-Repovs^[18] 等相关结果.

基于对当前文献的巨大兴趣, 本文将研究一个或两个非平凡径向对称解的存在性. 首先讨论问题$(P)$至少一个径向对称解的存在性. 为此目的，需要对$f$ 做以下假设

$(f_1)$$f(x,t)= f(|x|,t)$ 且存在 $\gamma\in (q,p^*)$ 和 $\theta_1\in [p,q)$ 使得

成立, 其中 $p^*=\frac{Np}{N-p}$, $0\leq\rho_1\in L^{\frac{\theta_1}{\theta_1-1}}(\mathbb{R} ^N)\cap L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R} ^N)$, $0\leq\sigma_1\in L^{\infty}(\mathbb{R} ^N) \cap L^{\frac{\gamma}{\gamma-\theta_1}}(\mathbb{R} ^N)$.

$(f_2)$ 存在 $x_0 \in \mathbb{R} ^N$, $t_0\in \mathbb{R}$ 和满足

的正常数 $r_0$ 使得

且

其中 $F(x,t)=\int_0^tf(x,s){\rm d}s$, $B_{r_0}(x_0)=\{x \in \mathbb{R} ^N: |x-x_0|\leq r_0\}$, $w_N$ 是单位球 $B_{1}(0)$ 的体积.

在如上假设成立下的主要结果如下.

定理1.1 假设 $(f_1)$ 和(1.1) 式成立, 那么存在一个常数 $\lambda_0>0$, 当 $\lambda\in (0, \lambda_0)$ 时, 问题 $(P)$ 至少存在一个非平凡的径向解.

定理1.2 假设 $(f_1)$-$(f_2)$ 和(1.1) 式成立, 当 $\lambda\in (\frac{1}{\Lambda_2},\frac{1}{\Lambda_1}]$ 时, 问题 $(P)$ 至少存在一个非平凡的径向解.

此外, 我们还利用临界点定理讨论了问题$(P)$的至少两个径向对称解的存在性. 为此，非线性项$f$需满足以下假设

$(f_3)$$f(x,t)= f(|x|,t)$ 且存在 $\theta_2\in (q,p^*)$ 使得

成立,其中 $0\leq\rho_2\in L^{\frac{\theta_2}{\theta_2-1}}(\mathbb{R} ^N)\cap L^{\infty}(\mathbb{R} ^N)$, $0\leq\sigma_2\in L^{\infty}(\mathbb{R} ^N)$.

$(f_4)$$\lim\limits_{|t|\rightarrow +\infty}\frac{F(x,t)}{|t|^{q}}=+\infty$ 一致成立于 $x \in \mathbb{R} ^N$.

$(f_5)$ 存在常数 $\nu\geq 1$ 使得

成立, 其中 ${\mathcal F} (x,t) = f(x,t)t-qF(x,t)$.

$(f_6)$ 存在 $t_0\in \mathbb{R}$ 和满足 $r_0^{N-p}t_0^p<\frac{q2^{N-p}}{(2^{N}-1)w_N}$ 的正常数 $r_0$ 使得

和

成立.

于是, 可以得到如下结果.

定理1.3 假设 $(f_3)$-$(f_5)$ 和(1.1) 式成立, 那么存在常数 $\overline{\lambda}_0>0$, 当 $\lambda\in (0,\overline{\lambda}_0)$ 时, 问题 $(P)$ 至少存在两个径向解.

定理1.4 假设 $(f_3)$-$(f_6)$ 和 (1.1)式成立, 那么存在常数 $\overline{\lambda}_0>0$, 当 $\lambda\in (\frac{1}{\overline{\Lambda}_2},\frac{1}{\overline{\Lambda}_1}]$ 时, 问题 $(P)$ 至少存在两个径向解.

本文的其余部分安排如下. 在第2节, 介绍了有关于 Musielak-Orlicz 空间 $W^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 和 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 的记号和一些事实. 在第3节, 给出主要结果证明过程中所需要的一些预备引理. 在第4节, 完成了定理 1.1-1.4 的证明.

$\bullet$$L^p(\mathbb{R} ^N)$ 表示通常的Lebesgue空间,其范数为$|u|_p=|u|_{L^p}=\large(\int_{\Omega}|u|^p{\rm d}x\large)^{\frac{1}{p}}$.

在满足 $\mu$的假设下, 定义 $H: \mathbb{R} ^N\times[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$ 为 $H(x,t)=t^p+\mu(x)t^q$.再定义 Musielak-Orlicz 空间 $L^{H}(\mathbb{R} ^N)$ 为$L^H(\mathbb{R} ^N)=\big\{u: \mathbb{R} ^N\rightarrow\mathbb{R}$ 是可测的且 $\int_{\mathbb{R} ^N}H(x,|u|){\rm d}x<+\infty\big\},$

其上的范数是

$\bullet$$W^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 表示 Musielak-Orlicz Sobolev 空间, 即

它具有范数 $\|u\|=\|u\|_{W^{1,H}(\mathbb{R} ^N)}=|u|_{H}+|\nabla u|_{H}.$在如上范数定义下, 空间 $L^{H}(\mathbb{R} ^N)$ 和 $W^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是可分、自反的Banach空间; 详细参见文献 [定理 2.7].

$\bullet$ 对任意的 $u\in W^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, 定义 $I(u):=\int_{\mathbb{R} ^N}\big[H(x,|\nabla u|)+H(x,|u|)\big]{\rm d}x.$那么由文献[命题 2.6] 可知

$\bullet$ "$\rightharpoonup$" 表示弱收敛, "$\rightarrow$" 表示强收敛.

$\bullet$ "$\hookrightarrow$" 和 "$\hookrightarrow\hookrightarrow$" 分别表示连续嵌入和紧嵌入.

$\bullet$$W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)=\{u\in W^{1,H}(\mathbb{R} ^N): u(x)=u(|x|)\}$. 因为 $1<p<N$, 那么当 $\vartheta\in (p,p^*)$ 时, 嵌入

是紧的, 参见文献[定理 2.8 (i)].根据文献[定理 2.7 (iii)] 可知: 当$\vartheta\in [p,p^*)$时, 嵌入$W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\hookrightarrow L^{\vartheta}(\mathbb{R} ^N)$ 是连续的.

$\bullet$ 定义算子 $L: W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\rightarrow \big(W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\big)^*$ 为

其中 $\langle \cdot,\cdot\rangle$ 表示空间 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$和它的共轭空间$\big(W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\big)^*$的共轭对. 根据文献[命题 1.2], 容易知道该算子是有界的、连续的、单调的(极大单调的), 且是 $(S_+)$的.

下面介绍$(C)$ -条件和$(C)_\tau$ -条件.

定义2.1 设 $X$ 是一个是 Banach 空间, $X^*$ 是它的共轭空间, $I: X\rightarrow\mathbb{R}$是连续的 Gâteaux 可微的.如果满足如下条件的序列 $\{u_n\}\subset X$ 存在收敛的子序列:(i) $I(u_n)$ 是有界的; (ii) 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\|I'(u_n)\|_{X^*}(1+\|u_n\|_{X})\rightarrow0$.那么称 $I$ 满足 Cerami 条件 (简称 $(C)$ -条件). 此外, 记 $I=\Phi-\Psi$, 如果满足如下条件的序列 $\{u_n\}\subset X$ 存在收敛的子序列:(i) $I(u_n)$ 是有界的; (ii) $\Phi(u_n)<\tau$; (iii) 当$n\rightarrow+\infty,$$\|I'(u_n)\|_{X^*}(1+\|u_n\|)\rightarrow0.$那么称 $I: X\rightarrow\mathbb{R}$ 满足在固定点 $\tau\in\mathbb{R}$ 处的 $(C)$ -条件 (简记 $(C)_\tau$ -条件).

最后, 给出几个用来证明主要定理所需要的抽象引理.

引理2.1 ([推论 2.6]) 设 $X$ 是一个实的 Banach 空间, $\Phi, \Psi: X \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续 Gâteaux可微的且满足 $\Phi$ 是下方有界的, $\Phi(0)=\Psi(0)=0$. 固定$\tau>0$ 并假设, 对每一个 $\lambda \in \Lambda_0:=\Big(0,\frac{\tau}{\sup\limits_{u\in \Phi^{-1}( (-\infty,\tau))}\Psi(u)} \Big),$泛函 $I_\lambda:=\Phi-\lambda \Psi$ 满足 $(C)_\tau$ -条件, 其中 $\lambda\in \Lambda_0$. 那么, 对任意的 $\lambda\in \Lambda_0$, 存在 $u_0\in \Phi^{-1} ((-\infty,\tau))$ 使得对所有的 $u\in \Phi^{-1} ((-\infty,\tau))$ 有 $I_\lambda(u_0)\leq I_\lambda(u)$ 和$I'_\lambda(u_0)=0$ 成立.

引理2.2 ([推论 2.9]) 设 $X$ 是一个实的Banach 空间, $\Phi, \Psi: X \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续Gâteaux 可微的, $\Psi$ 的 Gâteaux 导数是紧的且满足$\inf\limits_{u\in X}\Psi(u)=\Phi(0)=\Psi(0)=0$. 假设存在一个正常数 $\tau$ 和一个 $\eta_1\in X$ 满足 $0<\Phi(\eta_1)<\tau$, 使得

成立, 并且函数 $I_\lambda:=\Phi-\lambda \Psi$ 满足 $(C)_\tau$ -条件. 那么, 对任意的

函数 $I_\lambda$ 有非平凡的点 $u_{\lambda} \in \Phi^{-1}((0,\tau))$ 满足对任意的 $u\in \Phi^{-1}((0,\tau))$ 有 $I_\lambda(u_{\lambda})\leq I_\lambda(u)$ 成立, 且 $u_{\lambda}$ 是 $I_\lambda$ 的一个临界点.

引理2.3 ([推论 2.7]) 设 $X$ 是一个实的 Banach 空间, $\Phi, \Psi: X \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续 Gâteaux 可微的满足 $\Phi$ 是下方有界的, $\Phi(0)=\Psi(0)=0$. 固定$\tau>0$ 并假设, 对任意的

函数 $I_\lambda:=\Phi-\lambda \Psi$ 是下方无界的且满足 $(C)$ -条件, 其中 $\lambda\in \Lambda_0$. 那么, 对任意的 $\lambda\in \Lambda_0$, 函数 $I_\lambda$ 存在两个不同的临界点.

引理2.4 ([推论 2.10]) 设 $X$ 是一个实的Banach 空间, $\Phi, \Psi: X \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续 Gâteaux 可微的, $\Psi$ 的 Gâteaux 导数是紧的且满足 $\inf\limits_{u\in X}\Psi(u)=\Phi(0)=\Psi(0)=0$. 假设存在常数 $\tau>0$ 和 $\eta_1\in X$ 满足 $0<\Phi(\eta_1)<\tau$ 使得 (2.2) 成立, 并且对每一个 $\lambda\in\Lambda_\tau:=\Big(\frac{\Phi(\eta_1)}{\Psi(\eta_1)},\frac{\tau}{\sup\limits_{u\in\Phi^{-1}((-\infty,\tau])}\Psi(u)}\Big),$函数 $I_\lambda:=\Phi-\lambda \Psi$ 是下方无界的且满足 $(C)$ -条件.那么, 对任意的 $\lambda\in \Lambda_0$, 函数 $I_\lambda$ 存在两个不同的临界点.

对每个 $u\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, 定义 $I_\lambda(u)= \Phi(u)-\lambda\Psi(u),$其中 $\Phi(u)=\int_{\mathbb{R} ^N}(\frac{1}{p} |\nabla u|^{p}+\frac{\mu(x)}{q}|\nabla u|^{q}+\frac{1}{p}|u|^{p}+\frac{\mu(x)}{q}|u|^{q}){\rm d}x$, $\Psi(u)=\int_{\mathbb{R} ^N}F(x,u){\rm d}x.$那么 $\Phi\in C^1(W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N),\mathbb{R} )$ 且它的 Fréchet 导数为$\langle\Phi'(u),v\rangle=\langle L(u),v\rangle.$这样在关于 $f$ 的假设下, 容易验证 $\Psi$ 是有意义的且$\Psi\in C^1(W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$.进而有, $I_\lambda\in C^1(W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N),\mathbb{R} )$ 且它的 Fréchet 导数为

定义3.1 对任意的 $v\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, 如果 $\langle L(u),v\rangle=\lambda\int_{\mathbb{R} ^N}f(x,u)v{\rm d}x$ 成立. 则称 $u\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是问题 $(P)$ 的弱径向解.

在本节, 将分别应用引理 2.1 和引理 2.2 证明定理 1.1 和 1.2. 首先, 证明定理 1.1.

定理 1.1 的证明 令 $X=W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 显然, $\Phi$ 是下方有界的且 $\Phi(0)=\Psi(0)=0$.下面将应用引理 2.1 来证明. 为此, 仅需要验证如下事实成立

$(A_1)$$\Psi'$ 在 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 上是弱连续的; $(A_2)$ 对任意的 $\lambda\in\mathbb{R}$, $I_\lambda$ 满足 $(C)_\tau$ -条件.

首先验证 $(A_1)$. 令序列 $\{u_n\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 满足 $u_n\rightharpoonup u$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$,当 $n\rightarrow+\infty.$ 那么由嵌入 (2.1) 可知, 存在子序列收敛, 不妨仍取作$\{u_n\}$ 使得当 $n\rightarrow+\infty$ 时,$u_n \rightarrow u$ 按 $L^{\gamma}(\mathbb{R} ^N)$, $u_n \rightarrow u$ 几乎处处于 $x\in \mathbb{R} ^N.$根据收敛原理, 必存在 $w\in L^{\gamma}(\mathbb{R} ^N)$ 使得对任意的 $n\in N$ 和几乎处处的 $x\in\mathbb{R} ^N$, 有 $|u_n(x)|\le(x)$ 成立. 进一步, 使用假设 $(f_1)$ 和 Young不等式, 容易得到

这里 $C_1, C_2$ 是常数. 那么由(3.1)式可得

这里 $C_3, C_4$ 是正常数. 回忆到 $u_n \rightarrow u$ 按 $L^{\gamma}(\mathbb{R} ^N)$ 且注意到 $f$ 是Carathéodory 函数, 于是对几乎处处的 $x\in\mathbb{R} ^N$, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $f(x,u_n)\rightarrow f(x,u)$. 那么, 由 (3.1)式和Lebesgue 控制收敛定理, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, 可得

这里 $C_{\theta_1}$ 是嵌入 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\hookrightarrow L^{\theta_1}(\mathbb{R} ^N)$ 的最佳嵌入常数. 因此, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\Psi'(u_n)\rightarrow\Psi'(u)$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 因此, 关系 $(A_1)$ 成立.

现在验证 $(A_2)$. 设 $\tau$ 是一个固定的常数并令 $\{u_n\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是一个 $(C)_\tau$ -序列, 即, $I_\lambda(u_n)$ 是有界的 $\Phi(u_n)<\tau$ 且 $\|I_\lambda'(u_n)\|_{W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)^*}(1+\|u_n\|)\rightarrow0.$通过简单的计算, 可得

其中 $\nu$ 或者是 $p$ 或者是 $q$. 因此序列 $\{u_n\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是有界的, 那么可以假设存在一个 $u\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 使得 $u_n\rightharpoonup u$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 进而, 由 $(A_1)$ 可知: 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\Psi'(u_n)\rightarrow\Psi'(u)$. 再由 $u_n\rightharpoonup u$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 可知

注意到

因为序列 $\{u_n\}$ 是有界的, 再使用 Cerami 序列的定义, 可得

结合(3.4),(3.5)和(3.6)式可得

因为 $L$ 满足 $(S_+)$ -性质 (见文献 [命题 1.2]), 由(3.7)式可得$u_n\rightarrow u$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$.这就证明了关系 $(A_2)$.

最后, 为了应用引理 2.1, 选取 $\tau=1$, 并对每一个 $u\in \Phi^{-1}((-\infty,1))$, 由 (3.3) 式可得 $\|u\|^\nu\leq q$, 即

再使用条件 $(f_1)$ 和 Sobolev 嵌入定理, 可得

其中 $C_p$ 和 $C_\gamma$ 分别是嵌入 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R} ^N)$ 和 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\hookrightarrow L^{\gamma}(\mathbb{R} ^N)$ 的嵌入常数.

定义 $\frac{1}{\lambda_0}=C_pq^{\frac{1}{p}}|\rho_1|_{\frac{p}{p-1}} + \frac{q^{\frac{\theta_1}{p}}C_\gamma^{\theta_1}}{\theta_1}|\sigma_1|_{\frac{\gamma}{\gamma-\theta_1}}.$那么由(3.8)和(3.9)式可以导出

并且有 $(0,\lambda_0)\subset \Lambda_0$ 成立. 因此, 引理 2.1 中的假设条件均满足. 这样对每个 $\lambda\in(0,\lambda_0)\subset \Lambda_0$, 问题 $(P)$ 至少有一个弱解. 到此就完成了定理 1.1 的证明.

本节最后, 证明定理 1.2.

定理 1.2 的证明 令 $X=W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 显然有, $\Phi$ 是下方有界的且

归功于定理 1.1 中的 $(A_1)$ 和 $(A_2)$, 只需要去验证引理 2.4 中的条件 (2.2) 成立. 为此, 令 $t_0$ 和 $r_0$ 同于条件 $(f_2)$ 的选取并考虑函数 $\eta_1: \mathbb{R} ^N\rightarrow \mathbb{R}$,

从上面的定义很容易看出: $\eta_1\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 且对任意的 $x\in\mathbb{R} ^N$, $0\leq \eta_1(x)\leq |t_0|$.此外, 由 $\Phi$ 的定义, 易有

其中 $w_N$ 是球 $B_1(0)$ 的体积且

再利用假设 $(h_2)$, 可得

因此,不等式(3.11)-(3.12) 蕴含有

结合 (3.8) 和(3.9)式, 对每个 $u\in \Phi^{-1}\big((-\infty,1]\big)$, 可得

那么由条件 $(f_2)$ 和(3.13)式, 可以导出

因此, 引理 2.2 中具有 $\tau= 1$ 的假设条件均满足. 此外, 由 $\Lambda_1$ 和 $\Lambda_1$ 的定义,容易看出 $(\frac{1}{\Lambda_2},\frac{1}{\Lambda_1})\subset (\frac{\Phi(\eta_1)}{\Psi(\eta_1)},\frac{1}{\sup\limits_{\Phi(u)\leq 1}\Psi(u)})$. 这样的话, 对每个 $\lambda\in (\frac{1}{\Lambda_2},\frac{1}{\Lambda_1})$, 问题 $(P)$ 都有一个非平凡的径向解 $u_\lambda$, 且满足

余下来证明: 当 $\lambda=\frac{1}{\Lambda_1}$ 时, 问题 $(P)$ 同样至少有一个非平凡的径向解. 对任意的 $u\in\Phi^{-1} ((0,1))$,由 (3.16)式可得, $I_\lambda(u_\lambda)\leq I_\lambda(u)$. 于是存在一个序列$\{u_n\}\subset \Phi^{-1} ((0,1))$ 使得 $u_n\rightarrow 0$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 和 $I_\lambda(u_\lambda)\leq I_\lambda(u_n).$ 归功于 $I_\lambda$ 的连续性, 可以导出

现在, 固定 $\lambda_*\in (\frac{1}{\Lambda_2},\frac{1}{\Lambda_1})$. 那么存在一个序列 $\{\lambda_n\}\subset (\lambda_*,\frac{1}{\Lambda_1})$ 使得 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\lambda_n=\frac{1}{\Lambda_1}$.进而, 存在相对应的序列 $\{u_{\lambda_n}\}$ 满足$0<\Phi(u_{\lambda_n})<1$ 和 $u_{\lambda_n}$ 是问题 $(P)$ 的一个弱径向解.于是对所有的$v\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, 可得

又因为 $\{u_{\lambda_n}\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是有界的, 那么存在弱收敛于 $u_*\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 的子序列, 不妨仍取 $\{u_{\lambda_n}\}$, 使得

$u_{\lambda_n}\rightharpoonup u_*$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 利用定理 1.1 中 $(A_1)$ 的论断, 可得

由上式和具有 $v=u_{\lambda_n}-u_*$ 的 (3.18)式, 可以获得

回忆到 $L$ 是 $(S_+)$ 型且 $u_{\lambda_n}\rightharpoonup u_*$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, 那么 $u_{\lambda_n}\rightarrow u_*$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 再由(3.18)式可得

自然得 $u_{*}$ 是具有 $\lambda=\frac{1}{\Lambda_1}$ 问题 $(P)$ 的一个弱的径向解. 最后, 证明 $u_{*}$ 是非平凡的. 利用反证法来证明, 假设 $u_{*}=0$, 注意到 $I_\lambda(u_\lambda)\leq I_\lambda(u),\forall u\in\Phi^{-1} ((0,1)), \forall\lambda\in (\frac{1}{\Lambda_2},\frac{1}{\Lambda_1}).$ 那么由(3.16)式可得$I_{\lambda_n}(u_{\lambda_n})\leq I_{\lambda_n}(u_{\lambda_*})$ 和 $I_{\lambda_*}(u_{\lambda_*})\leq I_{\lambda_*}(u_{\lambda_n}),\;\forall n\in N.$由上式和 $\lambda_*<\lambda_n$ 可得 $\Psi(u_{\lambda_n})\geq \Psi(u_{\lambda_*}),\;\forall n\in N.$于是再通过取极限可得,$0=\Psi(u_*)\geq \Psi(u_{\lambda_*}),$并且因为 $0<\Phi(u_{\lambda_*})<1$, 那么有$I_{\lambda_*}(u_{\lambda_*})=\Phi(u_{\lambda_*})-\lambda_*\Psi(u_{\lambda_*}) > 0$但此却矛盾 (3.17) 式. 因此,$u_{*}\neq0$ 是非平凡的. 这样定理 1.2 的证明已完成.

在本节, 将分别利用引理 2.3 和引理 2.4 去获得问题 $(P)$ 的两个弱解的存在性. 首先, 证明定理 1.3.

定理 1.3 的证明 令 $X=W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 显然, $\Phi$ 是下方有界的且 $\Phi(0)=\Psi(0)=0$. 现在, 验证引理 2.3 中的所有条件. 首先, 为了完成定理 1.3 的证明, 证明如下两个断言.

断言 1 对任意的 $\lambda>0$, $I_\lambda$ 满足 $(C)$ -条件.

令 $\{u_n\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是泛函 $I_\lambda$ 的一个 $(C)$ -序列, 即,

首先说明 $\{u_n\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是有界的. 否则, 存在一个子序列, 不妨仍取作$\{u_n\}$且满足$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\|u_n\|=+\infty$. 于是对任意的 $n\in N$, 可以假设 $\|u_n\|>1$. 此时, 令 $v_n=\frac{u_n}{\|u_n\|}$, 那么 $v_n\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 且 $\|u_n\|=1$. 这样, 必存在 $v \in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 使得 $v_n\rightharpoonup v$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, 并由(2.1) 式可知当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $v_n\rightarrow v$ 按 $L^{\theta_2}(\mathbb{R} ^N)$, $v_n(x)\rightarrow v(x)$ 几乎处处于 $\mathbb{R} ^N$.下面分两种情行分析.

情形 1 $v\neq0$.定义 $\Omega_{\neq}=\{x\in \mathbb{R} ^N: v(x)\neq 0\}$. 显然, $\Omega_{\neq}$ 是正的 Lebesgue可测的. 于是对几乎处处的 $x\in \Omega_{\neq}$, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时有$|u_n(x)|\rightarrow+\infty.$进而, 由条件 $(f_4)$, 对几乎处处的 $x\in \Omega_{\neq}$, 可得

此外, 由假设 $(f_4)$, 必存在 $t_0>0$ 使得$F(x,t)>|t|^q,\; \forall x\in \mathbb{R} ^N,\;\forall |t|>t_0.$再由假设 $(f_3)$, 存在常数 $C_1>0$ 使得 $|F(x,t)|\leq C_1,\; \forall(x,t)\in \mathbb{R} ^N\times[-t_0,t_0].$因此, 存在一个常数 $C_2> 0$ 使得$F(x,t)\geq -C_2,\; \forall(x,t)\in \mathbb{R} ^N\times\mathbb{R}.$所以$\frac{F(x,u_n(x))+C_2}{\|u_n\|^q}\geq 0,\; \forall x\in \mathbb{R} ^N,\;\forall n\in N.$由函数 $I_\lambda$ 的定义, 可知

并且由(4.1)式, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, 可得

同样容易导出

这蕴含着$\|u_n\|^q\geq p\lambda\int_{\mathbb{R} ^N}F(x,u_n){\rm d}x+pI_\lambda(u_n).$再使用 (4.1),(4.2)式和法都引理, 可得

这是不可能的.

情形 2 $v=0$.令 $k\geq 1$ 并且记 $w_n =(qk)^{\frac{1}{q}} v_n$, $n\in N$.那么当 $n\rightarrow+\infty$ 时, 可得$v_n\rightharpoonup v$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 和 $w_n\rightarrow 0$ 按 $L^{\theta_2}(\mathbb{R} ^N)$.进而, 由假设 $(f_3)$ 和控制收敛定理, 可以得到$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R} ^N} F(x,w_n(x)){\rm d}x=0.$容易验证: $I_\lambda(tu_n)$ 关于 $t\in[01]$ 是连续的. 那么对每个 $n$, 存在 $t_n\in[01]$, $n=1,2,\cdots$, 使得$I_\lambda(t_nu_n)= \lim\limits_{t\in[01]}I_\lambda(tu_n).$归功于事实: 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\|u_n\|\rightarrow+\infty$. 那么存在 $n_0\in N$ 使得对任意的 $n\geq n_0$,$0<\frac{(qk)^{\frac{1}{q}}}{\|u_n\|}\leq 1$.于是对充分大的$n$, 可得

再由 $k>1$ 的任意性, 可得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}I_\lambda(t_nu_n)=+\infty.$ 回忆到 $I_\lambda(0)=0$ 和 $|I_\lambda(u_n)|\leq C_2$. 由这两个事实容易看到: $t_n\in (0,1)$ 且由 $I_\lambda(t_nu_n)= \lim\limits_{t\in[01]}I_\lambda(tu_n)$ 可得$\langle\varphi_\lambda'(t_nu_n),t_nu_n\rangle=0.$ 这样, 由假设 $(f_5)$ 和(4.1)式, 当 $n\rightarrow +\infty$ 时, 可得

而这矛盾于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}I_\lambda(t_nu_n)=+\infty.$

综上所述, 序列 $\{u_n\}\subset W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 是有界的. 因此, 存在一个 $u\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 和 $\{u_n\}$ 的一个子序列, 不妨仍取 $\{u_n\}$ 使得 $u_n\rightharpoonup u$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$, $u_n\rightarrow u$ 按 $L^{\theta_2}(\mathbb{R} ^N)$.利用 Hölder 不等式和假设 $(f_3)$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 可得

类似于定理 1.1 中 $(A_1)$ 的证明, 可以得到泛函 $\Psi'$ 也是弱连续的. 因此, 当 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\langle \Psi'(u_n)-\Psi'(u),u_n-u\rangle=0$. 此外, 由 Cerami 序列的定义和序列 $\{u_n\}$ 是有界, 可知$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\langle I'_\lambda(u_n)-I'_\lambda(u),u_n-u\rangle=0.$注意到 $\langle L(u_n)-L(u),u_n-u\rangle= \langle I'_\lambda(u_n)-I'_\lambda(u),u_n-u\rangle+\lambda \langle \Psi'(u_n)-\Psi'(u),u_n-u\rangle.$那么由上面两式可得$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\langle L(u_n)-L(u),u_n-u\rangle=0.$又因为 $L$ 满足 $(S_+)$ -性质, 于是有$u_n\rightarrow u$ 按 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 这就证明了断言1.

断言 2 $I_\lambda$ 是下方无界的.

首先, 由假设 $(f_3)$ 和 $(f_4)$ 可知, 对任意的 $M>0$, 存在 $C_M>0$ 使得对所有的 $x\in \mathbb{R} ^N$ 以及所有的 $t\in \mathbb{R}$,$F(x,t)\geq M|t|^q-C_M.$再取 $\xi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R} ^N)$, 这里 $\xi>0$. 那么对充分大的 $t>1$, 可得

此时, 选取足够大的 $M$ 使得

那么上面的不等式蕴含有$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}I_\lambda(t\xi)=-\infty$ 成立. 由此可得断言 2.

最后, 通过引理 2.3 去找到问题 $(P)$ 的两个不同的弱解. 为此目的,选取 $\tau=1$, 对每个 $u\in \Phi^{-1}((-\infty,1))$, 由 (3.3) 式可得 $\|u\|^\nu\leq q$, 即,$\|u\|\leq \max\{q^{\frac{1}{p}},q^{\frac{1}{q}}\}=q^{\frac{1}{p}}.$此外, 由假设 $(f_1)$ 和 Sobolev 嵌入定理, 可以导出

其中 $C_{\theta_2}$ 嵌入 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)\hookrightarrow L^{\theta_2}(\mathbb{R} ^N)$ 的最佳嵌入常数. 定义

再由 (4.3)式可导出

容易看出: $(0,\overline{\lambda}_0)\subset \Lambda_0$. 因此, 引理 2.3 中的所有条件都满足.从而, 对每个 $\lambda\in(0,\overline{\lambda}_0)\subset \Lambda_0$, 问题 $(P)$ 在空间 $W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$ 中至少存在两个弱解.因此定理 1.3 得证.

定理 1.4 的证明 令 $X=W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)$. 显然, $\inf\limits_{u\in W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N)}\Psi(u)=\Phi(0)=\Psi(0)=0$. 归功于定理 1.3 证明中的断言 1 和断言 2, 可以知道: $I_\lambda \in C^1(W_r^{1,H}(\mathbb{R} ^N),\mathbb{R} )$ 满足 $(C)$ -条件, 并且是下方无界的. 余下来仅需要验证引理 2.4 中的 (2.2) 式. 为此, 令 $t_0$ 和 $r_0$ 同于条件 $(f_6)$ 的选取, 并选取函数 $\eta_2: \mathbb{R} ^N\rightarrow \mathbb{R}$ 满足 $\eta_2(x)=\eta_1(x)$, 即

那么由假设 $(f_6)$ 以及类似于定理 1.2 的证明过程, 可以导出

和

使用 (3.8) 和 (3.9)式, 对每个 $u\in \Phi^{-1}\big((-\infty,1]\big)$, 可得

进而, 由假设 $(f_6)$ 可得

所以 $(\frac{1}{\overline{\Lambda}_2},\frac{1}{\overline{\Lambda}_1})\subset (\frac{\Phi(\eta_2)}{\Psi(\eta_2)},\frac{1}{\sup\limits_{\Phi(u)\leq 1}\Psi(u)})$. 有前面推导可知: 引理 2.4 中关于 $\tau= 1$ 的所有假设都成立. 这样的话, 对每个 $\lambda\in (\frac{1}{\overline{\Lambda}_2},\frac{1}{\overline{\Lambda}_1})$, 问题 $(P)$ 都至少有两个非平凡的弱径向解. 再类似于定理 1.2 的证明, 当 $\lambda=\frac{1}{\overline{\Lambda}_1}$ 时, 问题 $(P)$ 都至少有一个非平凡的弱径向解, 且满足 $I'_{\frac{1}{\overline{\Lambda}_1}}(u_{\Lambda_1})=0$ 和 $I_{\frac{1}{\overline{\Lambda}_1}}(u_{\Lambda_1})\leq I_{\frac{1}{\overline{\Lambda}_1}}(v),\;\forall v\in \Phi^{-1}((-\infty,1)).$ 注意到 $I_{\frac{1}{\overline{\Lambda}_1}}$ 是下方无界的且不是全局的. 因此, 应用山路定理, 存在另一个非平凡的解 $\overline{u}_{\Lambda_1}$, 且满足$\overline{u}_{\Lambda_1}\neq u_{\Lambda_1}$. 这就完成了定理 1.4 的证明.