1963 年, Kalman^[1] 首次提出了可控性的概念, 可控性是动态系统的定性性质, 在数学控制理论中具有特别重要的意义. 无穷维空间中的近似可控性是通过构造合适的控制函数, 使得系统的终值落在任给一点的任意小邻域内, 所以系统的近似可控性更具有现实意义并且适用范围更广. 随着工业生产和现代科学技术的迅速发展, 人们对自动控制的精度、速度、范围以及适应能力的要求越来越高, 从而推动了自动控制理论和技术的迅速发展.

脉冲微分方程是用来描述系统的状态在某一时刻突然发生改变的过程, 关于这类方程的解的性质见文献[2⇓⇓⇓-6]; 而时滞微分方程是指系统的状态跟过去的时刻有关, 关于时滞的性质以及应用见文献[7,8]. 近年来, 许多作者不仅致力于研究发展系统 mild 解的存在唯一性与渐近行为, 且关注发展系统的近似可控性, 如文献[9⇓⇓⇓⇓-14]研究了一阶发展系统的近似可控性, 文献[15⇓⇓-18]讨论了二阶发展系统的近似可控性.

2012年, Shen等^[11] 研究了下列方程

的近似可控性, 其中 $w(t)$ 表示一个随机过程. 本文研究确定系统的近似可控性, 因此不考虑随机过程. 关于二阶发展系统近似可控性的文章也有很多, 如文献[15] 利用值域型方法研究了具有结构阻尼的弹性控制系统的近似可控性, 文献[16,17]利用预解算子型条件分别研究了具有依状态时滞的二阶发展方程以及二阶脉冲随机发展方程的近似可控性, 文献[18]利用基本解理论以及预解算子型条件研究了具有无穷时滞的二阶发展方程的近似可控性. 据我们所知, 二阶脉冲发展方程的近似可控性的研究相对较少, 在实际生活中, 由于受到一些外部条件导致某些点不连续, 而瞬时脉冲刻划了有限个点不连续的问题, 因此, 这类方程有一定的研究价值.

受上述文献启发, 本文在 Hilbert 空间 $X$ 中研究下列具有无穷时滞和瞬时脉冲的二阶中立型发展方程

的近似可控性, 其中 $A$ 是强连续余弦族 $C(t)(t\in\mathbb{R} )$ 的无穷小生成元, $v(t)\in L^2(I,U)$ 是控制函数, $U$ 是另一个 Hilbert 空间, $B:U\rightarrow X$ 是有界线性算子. 通过 $u_t(\theta)=u(t+\theta), \theta\in(-\infty,0)$ 得到的时滞 $u_t:(-\infty,0]\rightarrow X$ 属于一个抽象的相空间 ${\Bbb B}$, $\Delta u|_{t=t_k}=u(t_k^+)-u(t_k^-)$ 并且 $u(t_k^+)$ 和 $u(t_k^-)$ 分别表示在 $t=t_k$ 时 $u(t)$ 的右极限和左极限, 同样的, $u'(t_k^+)$ 和 $u'(t_k^-)$ 分别表示在 $t=t_k$ 时 $u'(t)$ 的右极限和左极限, $0=t_0<t_1<\cdots<t_m<t_{m+1}=a$. $\varphi\in{\Bbb B}$, $y_0\in X$, $u'(0)$ 表示 $u(\cdot)$ 在 $0$ 处的右导数. $f:I\times{\Bbb B}\rightarrow X$, $g:I\times{\Bbb B}\rightarrow X$ 是 Lipschitz 连续函数. 脉冲函数 $I_k$ 和 $\widetilde{I_k}$ 在下文给出.

本节我们给出强连续余弦族的定义、无穷时滞的相空间公理化定义以及近似可控的概念. 令 $X$ 是按范数 $\|\cdot\|$ 和内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 构成的 Hilbert 空间. 本文用 ${\mathfrak L}(X)$ 表示从 $X$ 映射到 $X$ 的有界线性算子构成的 Banach 空间.

令 $PC(I,X)=\big\{u:I\rightarrow X:u \mbox{在} t\neq t_k \mbox{处连续}, u(t_k^-)=u(t_k) \mbox{且} u(t_k^+) \mbox{存在}, k=1,2,\cdots,m\big\}$, 则 $PC(I,X)$ 是按范数 $\|u\|_{PC}=\sup\limits_{t\in I}\|u(t)\|$ 构成的 Banach 空间.

首先, 我们给出强连续余弦族 $C(t)(t\in \mathbb{R} )$ 的定义.

定义2.1^[19] 若单参族 $\{C(t):t\in \mathbb{R}\}\subset{\mathfrak L}(X)$ 满足

(i) $C(0)=I$;

(ii) 对所有的 $t,s\in \mathbb{R} $, $C(t+s)+C(t-s)=2C(t)C(s)$;

(iii) 对所有的 $x\in X$, $C(t)x$ 在 $\mathbb{R} $ 上关于 $t$ 是连续的$\!;$

则称 $\{C(t):t\in\mathbb{R} \}$ 为强连续余弦族.

相应的正弦族 $\{S(t):t\in \mathbb{R} \}\subset{\mathfrak L}(X)$ 被定义为

$A:D(A)\subset X\rightarrow X$ 是强连续余弦族 $C(t)(t\in \mathbb{R} )$ 的无穷小生成元, 表示为

其中 $D(A)=\big\{x\in X:C(t)x \mbox{关于 $t$ 是二次连续可微的}\big\}$.

假设 $C(t)(t\in \mathbb{R} )$ 是上述所定义的余弦族, $S(t)(t\in \mathbb{R} )$ 为相应的正弦族, 则存在 $M_\mu\geq1$ 和 $\mu\geq0$ 使得 $\left\|C(t)\right\|_{{\mathfrak L}(X)}\leq M_\mu e^{\mu t}$ 和 $\|S(t)\|_{{\mathfrak L}(X)}\leq M_\mu e^{\mu t}$. 因此我们可以得到集合 $\{C(t):t\in I\}$ 和 $\{S(t):t\in I\}$ 是有界的, 即存在两个常数 $C_1>0$ 和 $C_2>0$, 使得

关于余弦族的其他性质参见文献[20].

现在, 我们介绍在文献[7]中的相空间 ${\Bbb B}$ 的公理化定义. 相空间 ${\Bbb B}$ 是从 $(-\infty,0]$ 映射到 $X$ 的线性空间, 赋予半范数 $\left\|\cdot\right\|_{{\Bbb B}}$ 且满足

(A1) 若$u:(-\infty,\vartheta+a]\rightarrow X, a>0$, 在$[\vartheta,\vartheta+a]$ 上是连续的并且$u_{\vartheta}\in{\Bbb B}$, 则对每个$t\in[\vartheta,\vartheta+a]$, 下列条件成立

(i) $u_t\in{\Bbb B}$;

(ii) $\left\|u(t)\right\|\leq \widetilde{H}\left\| u_t\right\|_{{\Bbb B}}$;

(iii) $\left\| u_t\right\|_{{\Bbb B}}\leq K(t-\vartheta)\sup\left\{\left\|u(\tau)\right\|:\vartheta\leq \tau\leq t\right\}+M(t-\vartheta)\left\|u_{\vartheta}\right\|_{{\Bbb B}}$.

这里 $\widetilde{H}\geq0$ 是一个常数, $K:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 是一个连续的函数, 并且 $M:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 是局部有界的.

(A2) 在(A1)中的函数 $u(\cdot)$, $u_t$ 在 $[\vartheta,\vartheta+a]$ 上是一个 ${\Bbb B}$-值连续函数.

(A3) 相空间 ${\Bbb B}$ 是完备的.

令 $K_a>0$ 和 $M_a>0$ 为两个常数, 定义为

其中函数 $K(\cdot)$ 和 $M(\cdot)$ 由 (A1)(iii) 给出.

接下来, 给出系统 (1.1) mild 解以及近似可控的定义. 根据文献 [定义 3.1] 和文献[定义 5], 我们可以类似的写出系统 (1.1) mild 解的定义.

定义2.2 若$u(t):(-\infty,a]\rightarrow X$满足

(i) 在区间 $t\in(-\infty,0]$ 上满足 $u(t)=\varphi(t)$;

(ii) $\Delta u|_{t=t_k}=I_k(u(t_k)),\Delta u'|_{t=t_k}=\widetilde{I_k}(u(t_k)),k=1,\cdots,m$;

(iii) 在区间 $t\in[t_1],(t_k,t_{k+1}],k=1,\cdots,m$ 上, 满足积分方程

则称$u(t):(-\infty,a]\rightarrow X$ 为系统(1.1) 的mild 解.

定义2.3 令$u$ 为相应于控制函数 $v\in L^2(I,U)$ 的系统 (1.1) 的 mild 解. 对于初值 $(\varphi,y_0)\in {\Bbb B}\times X$, 若 $\overline{\mathbb{R}(a;\varphi,y_0)}=X$, 则系统 (1.1) 在 $[a]$ 上被称为是近似可控的, 其中集合 $\mathbb{R}(a;\varphi,y_0)=\big\{u(a;\varphi,y_0,v)\in X:v\in L^2(I,U)\big\}$ 表示系统 (1.1) 的可达集.

关于近似可控性的其他研究见参考书目^[21]. 为了方便讨论, 我们引入两个定义在 $X$ 上的算子,

其中 $B^*$ 和 $S^*(t)$ 分别表示 $B$ 和 $S(t)$ 的伴随算子.

为了得到系统 (1.1) mild 解的存在性以及该系统的近似可控性的结论, 做出假设.

(H1) 函数 $f:I\times{\Bbb B}\rightarrow X$ 和 $g:I\times{\Bbb B}\rightarrow X$ 满足

(i) 对于 a.e. $t\in I$, 函数 $f(t,\cdot)$ 和 $g(t,\cdot)$ 在 ${\Bbb B}$ 上是 Lipschitz 连续的, 即存在两个常数 $L_1>0$ 和 $L_2>0$, 使得对于任意的 $\varphi_1, \varphi_2\in{\Bbb B}$, 有

并且 $f(0,\varphi)$ 和 $g(0,\varphi)$ 是有界的.

(ii) 存在两个函数 $\gamma_1, \gamma_2\in L^\infty(I,{\Bbb R^+})$, 使得

并且函数 $\gamma_1(\cdot)$ 和 $\gamma_2(\cdot)$ 在 $t\in I$ 上是有界的.

(H2) 脉冲函数 $I_k, \widetilde{I_k}:X\rightarrow X$, $k=1,\cdots,m$, 是连续的, 并且满足对所有的 $u\in X$, 有

其中 $d_k, \widetilde{d_k}$, $k = 1,\cdots,m$ 是常数.

(H3) 强连续正弦族 $S(t)(t\in\mathbb{R} )$ 是紧的.

(H4) 当 $\lambda \rightarrow 0^+$, $\lambda R(\lambda,\Gamma^a_0)\rightarrow 0$ 依强算子拓扑.

现在, 任给一个 $u^a\in X$, 我们给出控制函数 $v$ 的表达式

其中

接下来, 运用Schauder 不动点定理给出系统(1.1) mild 解的存在性结论.

定理3.1 若假设条件 (H1)-(H4) 成立, 则系统 (1.1) 至少有一个 mild 解 $u(t;\varphi,y_0):(-\infty,a]\rightarrow X$.

证 定义算子 $Q:PC(I,X)\rightarrow PC(I,X)$, 对 a.e. $t\in I$有

其中 $v(t)$ 由 (3.1) 式给出.显然, 算子 $Q$ 的不动点就是系统 (1.1) 在 a.e. $t\in I$ 上的 mild 解. 根据 (2.2), (3.1) 式和假设条件 (H1), (H2), (H4) (可推出$R(\lambda,\Gamma^a_0)\leq\frac{1}{\lambda}$, $\lambda\in(0,1)$) 可知

令 $C_{\varphi}:=\left\{u(t)\in PC(I,X):u(0)=\varphi(0), \|u\|_{PC}\leq R\right\}$, 其中

下面分三步证明主要结论.

第一步 证明 $Q(C_{\varphi})\subset C_{\varphi}$. 对于任意的 $u\in C_{\varphi}$,由 (2.2), (3.2), (3.3) 式以及假设条件 (H1), (H2) 有

则 $\left\|Qu\right\|_{PC}\leq R$. 因此, 我们得到 $Q(C_{\varphi})\subset C_{\varphi}$.

第二步 证明 $Q:C_{\varphi}\rightarrow C_{\varphi}$ 是连续的. 令 $\{u^n\}_{n=1}^{\infty}\subset C_{\varphi}$ 为一个序列, 并满足

根据公理化定义中 (A1)(iii) 和 (2.3)式, 可以得到, 对于 a.e. $t\in I$, 有

由 (3.2) 式, 得

其中 $v^n$ 和 $v$ 分别是相应于 $u^n$ 和 $u$ 的控制函数. 由 (2.2), (3.1), (3.3), (3.4) 式以及假设条件 (H1), (H2), (H4) 可知

因此, 我们得到 $Q:C_{\varphi}\rightarrow C_{\varphi}$ 是连续的.

第三步 证明算子 $Q$ 在 $C_{\varphi}$ 上是紧的. 首先证明集合 $\left\{(Qu)(t):u\in C_{\varphi}\right\}$ 在 $X$ 上是相对紧的. 显然 $(Qu)(0)$ 是相对紧的, 因此只要证明 $(Qu)(t)$ 在 a.e. $t\in(0,a]$ 上是相对紧的即可. 令 $0<\epsilon<t\leq a$, 对于任意的 $u\in C_{\varphi}$, 定义算子 $(Q^{\epsilon}u)(t)$ 为

因为强连续正弦族 $S(t)$ 是紧的, 可以推出 $I'_2$ 和 $I'_3$ 是相对紧的. 根据 (2.2) 式与假设条件 (H3), 可以得到对任意的 $t\in I$, 映射

是紧的. 再根据假设条件 (H1)(ii) 可知, 函数 $g(\cdot,\cdot)$ 被一个有界可积函数 $\gamma_2(\cdot)$ 控制, 因此可以推出 $I'_1$ 是相对紧的. 所以集合 $\left\{(Q^{\epsilon}u)(t):u\in C_{\varphi}\right\}$ 对每个 $\epsilon\in(0,t)$ 在 $C_{\varphi}$ 上是相对紧的. 又

可以得到集合 $\left\{(Qu)(t):u\in C_{\varphi}\right\}$ 也是相对紧的.

接下来, 证明 $Q(C_{\varphi})$ 在 $C_{\varphi}$ 上是等度连续的. 令 $0\leq t'<t''\leq a$, 对任意的 $u\in C_{\varphi}$, 有

因为 $C(t)(t\in\mathbb{R} )$ 和 $S(t)(t\in\mathbb{R} )$ 是强连续的, 所以当 $t''-t'\rightarrow0$ 时, 可以得到 $J_1,J_2,J_9,J_{10}$ 趋于零. 根据假设条件 (H1)(ii) 和 (3.3) 式, 可以推出对任意的 $0<\varepsilon<t'$, 有

再由 (H3) 可知, $S(t)(t>0)$ 按一致算子拓扑连续. 因此当 $t''-t'\rightarrow0$ 时, 可得 $\|S(t''-s)-S(t'-s)\|\rightarrow0$, 根据勒贝格控制收敛定理可知, $J_5,J_7$ 趋于零. 因为 $C(t)(t\in\mathbb{R} )$ 强连续, 所以当 $t''-t'\rightarrow0$ 时, $\int_0^{t'-\varepsilon}\|C(t''-s)-C(t'-s)\|{\rm d}s\rightarrow0$, $J_3$ 趋于零. 又

所以当 $t''-t'\rightarrow0$ 时, $J_4, J_6, J_8$ 趋于零. 综上所述, 我们得到当 $t''-t'\rightarrow0$ 时, $\left\|(Qu)(t'')-(Qu)(t')\right\|\rightarrow0$. 因此, $Q(C_{\varphi})$ 在 $C_{\varphi}$ 上是等度连续的.

由 Arzela-Ascoli 定理可知, $Q:C_{\varphi}\rightarrow C_{\varphi}$ 是全连续算子. 根据 Schauder 不动点定理可知, $Q$ 至少有一个不动点, 这个不动点就是系统 (1.1) 在 a.e. $t\in I$ 上的 mild 解. 最后利用 $u(\tau)=\varphi(\tau)$, $\tau\in(-\infty,0]$ 和 $\Delta u|_{t=t_k}=I_k(u(t_k))$, $k=1,\cdots,m$ 可以把 mild 解延拓到区间 $(-\infty,a]$ 上, 即 $u(t;\varphi,y_0):(-\infty,a]\rightarrow X$ 是系统 (1.1) 的 mild 解. 证毕.

定理3.2 若假设条件 (H1)-(H4) 成立, 则对任意的 $\varphi\in{\Bbb B}$, 系统 (1.1) 在 $[a]$ 上是近似可控的.

证 令 $u^a\in X$, 对于任意的 $\lambda\in(0,1)$, 用 $u^{\lambda}(t;\varphi,y_0):(-\infty,a]\rightarrow X$ 表示系统 (1.1) 在控制函数为 $v^{\lambda}(\cdot)$ 下的 mild 解, 则

其中

由 (2.5) 和 (3.6) 式, 可得

根据条件 (H1)(ii), 可以得到

这意味着序列 $\{f(s,u^{\lambda}_{s}):\lambda\in(0,1)\}$ 和 $\{g(s,u^{\lambda}_{s}):\lambda\in(0,1)\}$ 存在收敛子列, 我们仍然用 $\{f(s,u^{\lambda}_{s}):\lambda\in(0,1)\}$ 和 $\{g(s,u^{\lambda}_{s}):\lambda\in(0,1)\}$ 来表示, 则它们分别弱收敛到某两个函数 $f^*(s)$ 和 $g^*(s)$. 由条件 (H3) 和 (2.1) 式, 易得

再根据条件 (H2) 容易推出序列 $\{I_k(u^{\lambda}(t_k)):\lambda\in(0,1)\}$ 和 $\{\widetilde{I_k}(u^{\lambda}(t_k)):\lambda\in(0,1)\}$, $k=1,\cdots,m$ 是有界的. 由 (2.2) 式以及上述的结论, 得到序列 $\{I_k(u^{\lambda}(t_k)):\lambda\in(0,1)\}$ 和 $\{\widetilde{I_k}(u^{\lambda}(t_k)):\lambda\in(0,1)\}$ 分别弱收敛到 $I^*_k$ 和 $\widetilde{I^*_k}$.令

则

由 (3.7) 以及条件 (H4), 可得

因此, 我们得到系统 (1.1) 在 $[a]$ 上是近似可控的.证毕.

我们现在给出一个例子来说明主要结论的应用. 考虑下列具有脉冲效果的弦振动方程:

其中 $u(t,x)$ 表示在 $x$ 位置和 $t$ 时刻的弦位移. 这里把波的传播速度定义为 $1m/s$. 函数 $c(\cdot):[01]\rightarrow [0,\infty)$ 连续, 函数 $g(\cdot,\cdot,\cdot)$, $f(\cdot,\cdot,\cdot)$, $I_k(\cdot)$, $\widetilde{I_k}(\cdot)$ 和 $\phi(\cdot,\cdot)$ 在下面给出定义.

令 $X=L^2([\pi],\mathbb{R} )$ 且具有范数 $\|\cdot\|$ 和内积$\langle\cdot,\cdot\rangle$. 定义 $u(t)(\cdot):=u(t,\cdot)$,$\phi(t)(\cdot):=\phi(t,\cdot)$, 以及线性算子 $A:D(A)\rightarrow X$定义为

那么 $A$ 具有特征值 $-n^2$, $n\in{\Bbb N^+}$ 的离散的谱, 对应的特征向量为 $e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(nx)$, $n\in{\Bbb N^+}$. 则有下列性质成立(见文献[16,18])

(i) 如果 $x\in D(A)$, 则

(ii) 对每个 $x\in X$, 由 $A$ 生成的紧的解析半群 $T(t)(t\geq0)$ 定义为

(iii) 由 $A$ 生成的强连续余弦族 $C(t)(t\in\mathbb{R} )$ 定义为

相应的正弦族 $S(t)(t\in\mathbb{R} )$ 定义为

显然, $C(t)(t\in\mathbb{R} )$ 和 $S(t)(t\in\mathbb{R} )$ 是周期函数, 那么对于所有的 $t\in\mathbb{R} $, $x\in X$ 有 $\|C(t)\|\leq1$ 和 $\|S(t)\|\leq1$. 更进一步, 可以得到 $S(t)(t\geq0)$ 是紧的、自反的算子. 因此假设条件 (H3) 成立.

同文献[7], 令相空间 ${\Bbb B}=C_0\times L^2(g:X)$ 且它的半范数定义为

因此, 只要选择合适的函数 $h$ 使得半范数满足公理化定义中的 (A1)-(A3) 即可. 脉冲函数 $I_k:X\rightarrow X$, $k=1,\cdots,m$ 被定义为 (见文献[6])

其中

$p_k\in[\pi]\times[\pi]$ 且 $|p_k(\tau,x)|<l_k$, $(l_k>0)$. 则

类似的可以找到 $\widetilde{d_k}$ 的值, 本文不再说明. 因此, 假设条件 (H2) 成立.

现在, 对系统 (4.1) 中的函数 $g(\cdot,\cdot,\cdot)$, $f(\cdot,\cdot,\cdot)$ 和 $\phi(\cdot,\cdot)$ 做出下列假设.

(h1) 函数 $f(\cdot,\cdot,\cdot):[01]\times[\pi]\times\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $ 和 $g(\cdot,\cdot,\cdot):[01]\times[\pi]\times\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $ 对第三个变元是 Lipschitz 连续的且 Lipschitz 常数分别为 $L_1$ 和 $L_2$, 以及存在两个常数 $M_1>0$ 和 $M_2>0$ 使得对任意的 $(t,x,y)\in[01]\times[\pi]\times\mathbb{R} $, 有

(h2) $\phi(t,x)\in{\Bbb B}$.

令$f(t,\phi)=f(t,\phi(\theta))(\cdot)=f(t,\cdot,\phi(\theta,\cdot))$, $g(t,\phi)=g(t,\phi(\theta))(\cdot)=f(t,\cdot,\phi(\theta,\cdot))$. 在上述假设条件下, 系统 (4.1) 可以被改写为系统 (1.1). 与文献[14] 的定义类似, 定义

则 $U$ 是一个 Hilbert 空间且赋予范数 $\|v\|_2=\Big(\sum\limits_{n=2}^{\infty}v_n^2\Big)^{\frac{1}{2}}$. 有界线性算子 $B:U\rightarrow X$ 被定义为

显然 $\|B\|\leq\sqrt{5}$. 我们很容易得到

最后, 根据文献[定理 4.4.17]可知条件 (H4) 与条件 I (对任意的 $t\in [01]$, 若 $B^*S^*(t)y=0$, 则 $y=0$.)等价. 因此只需验证条件 I 即可. 因为 $S(t)$ 是自反算子, 所以在区间 $[01]$ 上, $S(t)=S^*(t)$. 结合 (4.2) 和 (4.3) 式, 可得对任意的 $y=\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_ne_n(x)\in X$, 有

令 $\left\|B^*S^*(t)y\right\|_2=0$, 则

这意味着 $y_n=0, n=1, 2, \cdots$. 因此, (H4) 成立. 由定理 3.2 可得系统 (4.1) 在区间 $[01]$ 上是近似可控的.

本文首先利用余弦族理论和瞬时脉冲的性质给出了系统 (1.1) mild 解的表达式, 然后结合 Schauder 不动点定理证明了该系统 mild 解的存在性结论, 最后利用预解算子型条件得到了系统 (1.1) 在 $[a]$ 上近似可控的充分条件. 在实际生活中, 有许多例子可以化为抽象的系统 (1.1) 的形式, 本文在已有工作的基础上丰富和发展了二阶发展方程的相关结论. 考虑到非瞬时脉冲也有一些应用, 以后的工作将进一步研究非瞬时脉冲系统的可控性问题.