本文考虑下述反应扩散方程

在无界域上解的长时间行为, 其中外力项 $h(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}D_{i}h^{i}(x)+h^{0}(x)\in H^{-1}(\Bbb R ^{n})$$(n\geq3)$, $V(x)$ 是定义在 $\Bbb R ^{n}$ 上满足

的函数 (例如, $V(x)=\frac{1}{(1+x^{2})^{q}}$, $q>\frac{n}{2}$). 非线性项 $f$, $g\in C^{1}(\Bbb R )$ 满足对任意的 $s\in\Bbb R$,

其中 $\alpha_{i}$$(i=1,2,3,4)$, $k_{1}$, $k_{2}$, $l$ 是大于零的常数.

众所周知, 人们对反应扩散方程解的长时间行为进行了广泛的研究, 取得了丰硕的成果, 参见文献[8⇓-10,13⇓-15,19]. 在文献[8⇓-10,14-15] 中, 人们主要研究 $L^{2}$ -空间中全局吸引子的存在性、正则性和分形维数. 2006年, Zhong等^[19]在研究该方程解的长时间行为时提出了渐近先验估计方法, 并在外力项 $g(x)\in H^{-1}(\Omega)$ 和 $g(x)\in L^{2}(\Omega)$ 时分别证明了$L^{p}(\Omega)$, $H_{0}^{1}(\Omega)$ 和 $L^{2p-2}(\Omega)$, $H^{2}(\Omega)\cap H_{0}^{1}(\Omega)$ 中全局吸引子的存在性. 而且, 他们还利用该方法研究了无界域的情形, 并在外力项 $g(x)\in H^{-1}(\Bbb R ^{n})$ 时证明了 $(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{p}(\Bbb R ^{n}))$ -全局吸引子的存在性, 参见文献[13].

有了上述结果以后, 一个自然的想法就是能否得到 $L^{p^{*}}$ -空间中 $(p^{*}\geq 2p-2)$ 解的高阶可积性. 为了解决这个问题, Sun等^[11]通过对该方程做特殊的分解并利用 $C_{c}^{\infty}(\Bbb R ^{n})$ 在 $H^{1}(\Bbb R ^{n})$ 中的稠密性证明了解的高阶可积性. 而且, 他们还将这一思想和方法应用到变区域情形和随机情形, 得到了相应空间中解的高阶可积性, 参见文献[4,12,16]. 基于这一思想, 文献[20] 中研究了无界域的情形, 得到了相应相空间中解的高阶可积性和 $H^{1}(\Bbb R ^{n})$ 中解的连续性.

随着研究的深入, 人们对反应扩散方程解的长时间行为的研究, 已经推广到更加复杂的情形. 例如, Zhang等^[18] 研究了带有加权项 $V(x)$ 和分布导数的反应扩散方程解的长时间行为, 并利用非紧性测度的方法证明了 $(L^{2}(\Bbb R ^{n}),L^{2}(\Bbb R ^{n}))$ -全局吸引子的存在性.

本文基于文献[18] 中的结果和文献[4,11-12,16,20] 中的思想和方法, 研究方程(1.1)解的高阶可积性和 $(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n}))$ -全局吸引子的存在性. 为了达到这一目的并保证检验函数有意义, 本文首先利用极大值原理证明解的 $L^{\infty}$ -估计, 详见定理 3.1. 然后, 我们将方程(1.1)分解成一个稳态方程和一个发展方程, 并利用 Alikakos-Moser 迭代技巧^[1] 建立发展方程解的渐近高阶可积性, 详见定理3.2和定理3.3. 作为高阶可积性的推论, 本文得到了$(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n}))$ -全局吸引子的存在性, 详见推论 3.1. 而且, 对任意的 $\delta_{1}\in [0,+\infty)$, 该吸引子能够在 $L^{2}\cap L^{p+\delta_{1}}$ -拓扑下吸引 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中的有界集.

本节首先定义方程(1.1)的弱(强)解, 参见文献[10].

定义2.1 当初值 $u_{0}\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$, 外力 $h(\cdot)\in H^{-1}(\Bbb R ^{n})$ 时, 对任意的 $T>0$, 函数 $u=u(x,t)$ 满足

且对任意的 $\varphi\in L^{2}\big(0, T; H^{1}(\Bbb R ^{n})\big)\cap L^{p}\big(0, T; L^{p}(\Bbb R ^{n})\big)$, 有

则称 $u=u(x,t)$ 是方程(1.1)的弱解.

定义2.2 当初值 $u_{0}\in H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})$, 外力 $h(\cdot)\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 时, 对任意的 $T>0$, 函数 $u=u(x,t)$ 满足

则称 $u=u(x,t)$ 是方程(1.1)的强解.

为了方便后面的计算, 我们需要下面的结果, 参见文献[11].

引理2.1 对任意的 $\phi\in H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{\infty}(\Bbb R ^{n})$ 和任意的 $r_{0}>0$, 有

这里 $\cdot$ 表示 $\Bbb R ^{n}$ 中的内积.

本节首先给出弱(强)解的存在性和唯一性, 这可类似于文献[10,定理 8.4 和定理 8.5]由 Fadeo-Galerkin 方法得到.

引理2.2 设 $f$, $g$, $V(x)$ 满足(1.2)-(1.5)式, 外力 $h(\cdot)\in H^{-1}(\Bbb R ^{n})$, 初值 $u_{0}\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$, 则对任意的 $T>0$, 方程(1.1)存在唯一的弱解 $u$ 满足

由引理 2.2 知, 方程(1.1)的解算子在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中生成一个连续半群

本文用 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 表示由(2.2)式定义的半群.

引理2.3 设 $f$, $g$, $V(x)$ 满足(1.2)-(1.5)式, 外力 $h(\cdot)\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$, 初值 $u_{0}\in H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})$, 则对任意的 $T>0$, 方程(1.1)存在唯一的强解 $u$ 满足

接下来, 有下述结果, 参见文献[18].

引理2.4 设引理 2.2 的假设成立, 则半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中存在有界吸收集 $B$, 即, 存在常数 $C_{1}$ 和时间 $t_{1}=t_{1}(\|u_{0}\|_{2})$, 使得对任意的 $t\geq t_{1}$, 有

这里常数 $C_{1}$ 与 $\|h^{i}\|_{2}$$(i=0,1,2,\cdots,n)$, $\|V\|_{1}$, $\|V\|_{\infty}$ 相关.

引理2.5 设引理 2.2 的假设成立, 则半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中存在全局吸引子 ${\cal A}$, ${\cal A}$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中非空、紧、不变且在 $L^{2}$ -拓扑意义下吸引 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中的有界集.

下述引理表明 $L^{p}(\Bbb R ^{n})$ 和 $H^{1}(\Bbb R ^{n})$ 中有界吸收集的存在性, 这可类似于文献[17] 中定理 3.4 的证明得到.

引理2.6 设引理 2.2 的假设成立, 则半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 在 $L^{p}(\Bbb R ^{n})$ 和 $H^{1}(\Bbb R ^{n})$ 中存在有界吸收集; 即, 对任意的有界集 $B\subset L^{2}(\Bbb R ^{n})$, 存在一个正的常数 $T_{1}=T_{1}(\|B\|_{2})$ 使得对任意的 $t\geq T_{1}$ 和初值 $u_{0}\in B$, 有

这里常数 $\rho_{1}>0$ 与 $\|B\|_{2}$ 和 $t$ 不相关.

本节将建立方程(1.1)解的渐近高阶可积性. 为此, 我们首先证明解的极大值原理.

为了保证后面所用到的检验函数有意义, 本节将证明当初值 $(u_{0},h)\in(H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{\infty}(\Bbb R ^{n}),$$L^{\infty}(\Bbb R ^{n}))$ 时强解的 $L^{\infty}$ -先验估计.

定理3.1 设 $f$, $g$, $V(x)$ 满足(1.2)-(1.5)式, 则对任意的 $T>0$ 和初值 $(u_{0},h)\in \big(H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{\infty}(\Bbb R ^{n}), L^{\infty}(\Bbb R ^{n})\big)$, 方程(1.1)的唯一强解 $u\in L^{\infty}\big(0,T; L^{\infty}(\Bbb R ^{n})\big)$.

证 我们将利用 Stampacchia 的截断函数方法 (参见文献[3,12]) 来证明强解 $u$ 的 $L^{\infty}$ -估计.

设函数 $G(\cdot)\in C^{1}(\Bbb R )$ 满足

$(1)$$|G'(s)|\leq M<\infty$, $~\forall s\in\Bbb R$;

$(2)$$G$ 在 $(0,\infty)$ 内严格单调递增;

$(3)$$G(s)=0$, $~\forall s\leq0$.

再定义函数

记 $K_{1}:=\max\{\|u_{0}\|_{L^{\infty}(\Bbb R ^{n})}, \|h\|_{L^{\infty}(\Bbb R ^{n})}\}$. 由假设(1.3)和(1.4)知, 存在依赖于 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$, $\alpha_{4}$ 和 $K_{1}$ 的常数 $M>0$ 使得

记 $K:=\max\{K_{1}, M\}+1$. 由引理 2.3 知 $u\in L^{\infty}(0,T;H^{1}(\Bbb R ^{n}))$, 从而对任意的 $t\in[T]$ 有

由强解的定义和(3.2)式知, 对任意的 $t\in[T]$, 有

下面, 我们将处理(3.3)式中的每一项. 首先, 易知

其次, 由(3.2)式和 $K_{1}$ 的定义, 有

结合(3.1)式和 $K$ 的定义, 得

将上述估计(3.4)-(3.7)代入(3.3)式, 可推得

由上式和函数 $H(\cdot)$ 的定义可知, 对任意的 $t\in[T]$, 有

再由 $K$ 和函数 $H(\cdot)$ 的定义, 可得

由于对任意的 $s\in\Bbb R$, 都有 $H(s)\geq0$, 所以对任意的 $t\in[T]$,

$H(u(x,t)-K)=0 \quad\mbox{在$\Bbb R ^{n}$中几乎处处成立}.$

从而, 对任意的 $t\in[T]$,

类似地, 定义函数

再在(3.3)式中用 $\widetilde{G}(u(s)+K)$ 代替 $G(u(s)-K)$, 可得, 对任意的 $t\in[T]$, 有

结合(3.8)式和(3.9)式, 证毕.

本节将基于 Alikakos-Moser 迭代技巧 (参见文献[1]或文献[8,10]) 来建立方程(3.11)解的一些估计.

为此, 我们将方程(1.1)分解成下面的稳态方程

和发展方程

对于方程(3.10), 由于 $h^{i}(x)\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$$(i=0,1,2,\cdots,n)$, 从而其解 $v(x)\in H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})$ 并且 $v(x)$ 的高阶可积性的最高次数不会超过 $\max\{p, \frac{2n}{n-2}\}$.

从而, 我们考虑方程(3.11)解的高阶可积性.

由 $H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{\infty}(\Bbb R ^{n})$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中的稠密性知, 对于每个 $h^{i}(x)\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$$(i=0,1,2,\cdots,n)$ 和初值 $u_{0}\in L^{2}(\Bbb R ^{n})$, 存在 $h^{i}_{m}(x)\in H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{\infty}(\Bbb R ^{n})$ 和 $u_{0m}\in H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{\infty}(\Bbb R ^{n})$ 使得在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中有

对于下述逼近方程, $m=1,2,\cdots$,

和

由引理 2.3 和定理 3.1 知, 对于每一个 $m\in\mathbb{N}$, 方程(3.13)存在唯一强解 $u_{m}$ 满足

再由文献[7]知方程(3.14)存在唯一强解 $v_{m}$ 满足

设 $w_{m}=u_{m}-v_{m}$, 则 $w_{m}$ 在分布意义下满足方程

而且, 对于几乎处处的 $t\in[0,\infty)$ 和任意的 $r_{0}\geq0$, 有

从而, 对于任意的 $r_{0}\geq0$, $|w_{m}(\cdot,t)|^{r_{0}}\cdot w_{m}(\cdot,t)$ 作为方程(3.16)的检验函数有意义.

下述定理给出本节的主要结果.

定理3.2 对任意的 $k=0,1,2,\cdots$, 存在与 $k$, $p$, $n$, $\|u_{0m}\|_{2}$, $\|h_{m}^{i}\|_{2}$$(i=0,1,2,\cdots,n)$, $\|V\|_{1}$ 和 $\|V\|_{\infty}$ 有关的常数 $T_{k}>0$ 和 $M_{k}>0$, 使得对任意的 $m=1,2,\cdots$ 和任意的 $t\geq T_{k}$, 方程(3.20)的解 $w_{m}$ 满足

和

证

让方程(3.14)和 $v_{m}(x)$ 做内积可知, 存在一个依赖于 $\|h^{i}_{m}\|_{2}$$(i=0,1,2,\cdots,n)$, $\|V\|_{1}$, $\|V\|_{\infty}$ 的常数 $R=R_{\|h^{i}_{m}\|_{2},\|V\|_{1},\|V\|_{\infty}}$ 使得对任给的 $m\in \mathbb{N}$, 方程(3.14)的解 $v_{m}(x)$ 满足

对于方程(3.13)的解, 类似于方程(1.1)的解估计 (参见文献[18,引理 3.1]), 对每个 $m\in\mathbb{N}$, 存在依赖于 $\delta, \|h^{i}_{m}\|_{2}$, $\|V\|_{1}$, $\|V\|_{\infty}$ 的常数 $C_{1}=C_{\delta, \|h^{i}_{m}\|_{2},\|V\|_{1},\|V\|_{\infty}}$ 和依赖于 $\delta$, $\|u_{0m}\|_{2}$ 的常数 $T_{\delta, \|u_{0m}\|_{2}}$ 使得对任意的 $t\geq T_{\delta, \|u_{0m}\|_{2}}$, 有

下面, 我们将利用数学归纳法来证明.

(1) 当 $k=0$ 时, 由(3.18)式和(3.19)式易得 $(A_{0})$ 成立. 下面我们将证明 $(B_{0})$ 成立.

首先, 类似于文献[18,引理 3.1], 有

对上述不等式关于时间在 $t$ 到 $t+1$ 上积分并结合(3.19)式, 可得

基于(3.18)式和(3.20)式, 由 $w_{m}(t)=u_{m}(t)-v_{m}\in H^{1}(\Bbb R ^{n})$ 易知

对(3.18)式关于时间从 $t$ 到 $t+1$ 积分并结合(3.20)式, 再对 $\|w_{m}(t)\|_{H^{1}(\Bbb R ^{n})}$ 应用嵌入定理 $H^{1}(\Bbb R ^{n})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2}}(\Bbb R ^{n})$, 可得 $(B_{0})$ 成立.

$(2)$ 假设对任意的 $k\geq0$, $(A_{k})$ 和 $(B_{k})$ 成立.

$(3)$ 下面我们将证明 $(A_{k+1})$ 和 $(B_{k+1})$ 成立.

由(3.17)式, 选取 $|w_{m}|^{2(\frac{n}{n-2})^{k+1}-2}\cdot w_{m}$ 作为方程(3.20)的检验函数, 从而有

结合(1.5)式并在(1.5)式中选取 $r_{0}=2(\frac{n}{n-2})^{k+1}-2>0$, 可得

对(3.21)式和 $(B_{k})$ 应用一致 Gronwall 引理, 可得对任意的 $t\geq T_{k}+1$, 有

即 $(A_{k+1})$ 成立.

设 $t\geq T_{k}+1$, 对(3.21)式在 $[t,t+1]$ 上积分, 可得

由(3.17)式可知, 对任意的 $s\in[0,\infty)$, 有

几乎处处成立. 由(3.23)式, 对 $|w_{m}(\cdot,s)|^{(\frac{n}{n-2})^{k+1}}$ 应用嵌入定理 $H^{1}(\Bbb R ^{n})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2}}(\Bbb R ^{n})$, 并结合(3.22)式可得 $(B_{k+1})$ 成立. 证毕.

类似于文献 [11,引理 3.2 和引理 3.3], 有下述结论.

引理3.1$(1)$ 设(3.12)式的假设成立, $v_{m}$$(m=1,2,\cdots )$ 是方程(3.14)的解, 则序列 $\{v_{m}\}_{m=1}^{\infty}$ 存在子列 $\{v_{m_{j}}\}_{j=1}^{\infty}$ 使得对任意的 $x\in\Omega$, 当 $j\rightarrow\infty$ 时有

几乎处处成立, 这里 $v(x)$ 是方程(3.10)的解.

$(2)$ 设 $u_{m}$$(m=1,2,\cdots )$ 是方程(3.13)的唯一解, $u$ 是方程(1.1)的唯一解, 则对任意的 $t\in[0,+\infty)$, 有下述(关于初值和外力) 的连续性成立,

从而, 对任意的 $t\in[0,+\infty)$, 序列 $\{u_{m}\}_{m=1}^{\infty}$ 存在子列 $\{u_{m_{j}}\}_{j=1}^{\infty}$ 使得对任意的 $x\in\Omega$, 当 $j\rightarrow\infty$ 时有

几乎处处成立.

结合定理 3.2, 引理 3.1 和 Fatou 引理, 有下述结果.

定理3.3 设引理 2.2 的假设成立, 则对任意的 $\delta_{1}\in [0,+\infty)$, 存在有界子集 $B_{\delta_{1}}\subset H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})$ 使得

且对 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中任意的有界集 $B\subset L^{2}(\Bbb R ^{n})$, 存在 $T=T(\|B\|_{2},\delta_{1})$ 使得对任意的 $t\geq T$, 有

这里的常数 $\Lambda_{p,n,\delta_{1}}$ 与 $p,n,\delta_{1}$ 相关, $v(x)$ 是方程(3.10)的一个 (与 $\delta_{1}$ 不相关)给定的解.

证 由于空间维数 $n\geq3$, 则 $\frac{n}{n-2}>1$ 且

从而, 对任意的 $\delta_{1}\in[0,+\infty)$, 通过选取 $k$ 使得

设 $u_{m}$ 和 $v_{m}$ 分别是方程(3.13)和(3.14)的解, 则对任意的 $t\geq T_{k}$, 能够找到 $m_{j}$ 使得对任意的 $x\in\Bbb R ^{n}$, 当 $j\rightarrow\infty$ 时, $u_{m_{j}}(x,t)\rightarrow u(x,t)$, $v_{m_{j}}(x)\rightarrow v(x)$ 几乎处处成立. 对定理 3.2 中的 $(A_{k})$ 应用 Fatou 引理, 有

结合(3.25)式和引理 2.6 中的 $H^{1}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})$ -耗散估计, 再利用插值不等式, 可定义 $B_{\delta_{1}}$ 为

由(3.25)式易知(3.24)式成立.证毕.

作为定理 3.3 的推论, 有下述结果.

推论3.1 设引理 2.2 的假设成立, 半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 拥有一个 $\big(L^{2}(\Bbb R ^{n}),L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})\big)$ -全局吸引子 ${\cal A}$. 而且, 通过对吸引子 ${\cal A}$ 做分解 ${\cal A}=v(x)+{\cal B}$, ${\cal A}$ 能够在 $L^{2}\cap L^{p+\delta_{1}}$ -拓扑下吸引 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中的每个有界集, 这里 $\delta_{1}\in[0,+\infty)$, ${\cal B}={\cal A}-v(x)$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p+\delta_{1}}(\Bbb R ^{n})$ 中有界, $v(x)$ 是方程(3.10)的解.

证 我们首先证明 $\big(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})\big)$ -全局吸引子的存在性.

对任意的 $\delta_{1}\in[0,\infty)$, 选取 $k$ 使得

(例如, $k=\big[\log_{\frac{n}{n-2}}(\frac{p+\delta_{1}}{2})\big]+1$), 并利用插值公式, 有

这里 $u_{i}(t)=S(t)u_{i0}$$(i=1,2)$, $\theta\in(0,1)$.

由引理 2.5 可知, 半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中渐近紧. 再由(3.26)式可知, 对任意的 $\delta_{1}\in[0,+\infty)$, 半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 在 $L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p+\delta_{1}}(\Bbb R ^{n})$ 中渐近紧. 结合引理 2.6, 由动力系统理论^{[2,5,6,10,14]}可知, 半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 存在 $\big(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})\big)$ -全局吸引子.

下面我们证明高阶吸引性.

由定理 3.2 中的 $(A_{k})$ 式, 我们能找到相应的 $T_{k}$ 和 $M_{k}$. 对于给定的 $T_{k}$ 和 $M_{k}$ 以及任意给定的 $\varepsilon>0$, 由 $\big(L^{2}(\Bbb R ^{n}),L^{2}(\Bbb R ^{n})\big)$ -全局吸引子的吸引性可知, 对任意的 $t\geq T_{k}$, 有

这里集合 $B$ 是 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中的有界吸收集. 结合(3.25)式,(3.26)式和(3.27)式可知, 对任意的 $t\geq T_{k}$, 有

最后, 类似于(3.26)式并应用(3.25)式, 可得高阶可积性

证明完毕.

注3.1 当 $V(x)=0$, 方程(1.1)就是文献[13,17]中所考虑的反应扩散方程, 推论 3.1 包含了文献[13,17] 中 $(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{p}(\Bbb R ^{n}))$ -全局吸引子的存在性. 而且, 由推论 3.1 可知对任意的 $\delta_{1}\in[0,+\infty)$, ${\cal A}-v(x)$ 在 $L^{p+\delta_{1}}(\Bbb R ^{n})$ 中有界, 尽管我们不知道 $(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{p}(\Bbb R ^{n}))$ -全局吸引子在 $L^{p+\delta_{1}}(\Bbb R ^{n})$ 中是否有界.