本文主要研究Dirac方程周期解的存在性与周期性. 其中Dirac方程

这里 $G'(t, x)$表示$G$关于$x$的梯度, $t=(t_1, t_2, t_3)\in \Bbb R^3$, $\partial_k=\partial / \partial t_k$, $a>0$ 是常数, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$和$\beta$是$4\times 4$ Pauli 矩阵

其中,

这一方程源于对非线性Dirac方程稳态解(也可称为驻波解)的研究(参见文献[32])

这里稳态解是指形如$\psi(s,t)={\rm e}^{\frac{{\rm i}\mu t }{\hbar}}u(t)$的解. 假设$F(t, {\rm e}^{{\rm i}\theta}\psi)=F(t, \psi)$对所有的$\theta\in [2\pi]$成立, 在此条件下, 稳态解满足方程(1.2)当且仅当函数$u(t)$满足方程(1.1), 其中$a=\frac{mc}{\hbar}$, $V(t)=M(t)/ c\hbar + \mu I / \hbar$, 且$G(s, t )=F(s,t)/ c\hbar$. 在方程(1.2)中, 令

我们就得到了一般型稳态Dirac方程

近几十年来, 针对不同类型的$V$和$G$, 人们得到了许多Dirac方程稳态解的存在性和多重性的相关结果, 参见文献[7⇓⇓⇓⇓⇓⇓-14,16,18-19,28] 及其参考文献. 本文主要研究在周期外力场下, 方程(1.3)周期解的存在性和多重性. 其中周期解是指方程(1.3)的解$u(t)$满足: $u(t+z)=u(t)$, $\forall$$z\in Z^3$. 方程(1.3)的周期解也可看作方程(1.2)的周期稳态解. 我们对$V(t)$和$G(t,x )$作出如下假设

$(V)$$V\in C(\Bbb R^3, \Bbb R)$且$V$关于$t_k$, $k=1,2,3$是1 -周期的.

$(G)$$G\in C^2(\Bbb R^3\times \Bbb C^4, \Bbb R)$, 且存在$M>0$使得$|G''|\leq M$. 且$G(t,x)$关于$t_k$, $k=1,2,3$是1-周期的.

Ding和Liu^[10,12]建立了Dirac方程周期解的变分框架, 并利用文献[3] 中所建立的临界点定理得到非线性系统解的存在性和多重性. 其中, Ding 和Liu^[10]研究了超二次和次临界系统(1.3)的周期解. 随后, 在文献[12]中研究了渐近线性情形, 他们主要做出了如下假设

($G_1$) 存在 $b_0\in C(Q, [0,\infty))$且$b_0(t)$是$1$ -周期的, 使得

$G'(t,x)-b_0(t)x=o(|x|), (|x|\rightarrow 0), \hbox{关于$t\in Q$一致},$

($G_2$) 存在$b_\infty\in C(Q, [0,\infty))$且$b_\infty(t)$是1 -周期的, 使得

$G'(t,x)-b_\infty(t)x=o(|x|) (|x|\rightarrow \infty), \hbox{关于$t\in Q$一致},$

其中$Q=[0,1]\times [0,1] \times [0,1]$. 受上述工作的启发, 我们主要考虑更为一般的渐近线性条件. 首先给出记号: 记$L_s(\Bbb R^4)$为$4\times4$实对称矩阵的集合. 对于$L_s(\Bbb R^4)$中的任意两个矩阵$A_1$和$A_2$, 若$A_2-A_1$是半正定的, 则记$A_1\leq A_2$; 若$A_2-A_1$是正定的, 则记$A_1<A_2$. 对于$L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$中的任意两个矩阵函数$A_1(t)$, $A_2(t)$, 若$A_1(t)\leq A_2(t)$ 对于几乎所有的$t\in Q$成立, 则记$A_1\leq A_2$; 若$A_1\leq A_2$且在$Q$的非零测度子集上成立$A_1(t)<A_2(t)$则记$A_1< A_2$.

考虑如下假设

$(G_0)$ 存在$A_1(t)$, $A_2(t)\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$和$B_{0}(t,x)\in L^\infty(Q\times \Bbb C^4, L_s(\Bbb R^4))$, 满足

使得

$G'(t,x)=B_{0}(t,x)x+o(|x|), ( |x|\rightarrow 0)\ \hbox{关于$Q$一致}.$

$(G_\infty)$ 存在$B_1(t)$, $B_2(t)\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$和$B_{\infty}(t,x)\in L^\infty(Q\times \Bbb C^4, L_s(\Bbb R^4))$, 满足

使得

$G'(t,x)=B_{\infty}(t,x)x+o(|x|), (|x|\rightarrow \infty)\ \hbox{关于$Q$一致}.$

条件($G_1$)-($G_2$)或($G_0$)-($G_\infty$)常被运用于哈密顿系统周期解的研究中, 并被称为系统非线性项的渐近线性条件. 指标理论是测量($G_1$)-($G_2$)或($G_0$)-($G_\infty$)中扭转的定量的工具. 在文献[17]中, Ekeland利用对偶变分以及凸分析针对凸哈密顿系统建立了指标理论. Conley, Zehnder和Long在文献[5,23⇓-25]中针对辛道路建立了指标理论. Long和Zhu^[26,34]利用线性算子的谱流定义了两个线性算子之间的相对Morse指标, 并重新定义了辛道路的Maslov指标. Abbondandolo^[1]针对带有紧扰动的Fredholm算子建立了相对Morse指标. 对于带有紧预解集的自伴算子方程, Dong^[6]利用对偶变分建立了指标理论. Liu^[21]利用代数方法建立了辛道路的指标理论, 并在文献[22]中研究了几类指标理论之间的关系.

上述指标理论被广泛的应用于各类微分方程的研究中. 例如: 哈密顿系统, 椭圆微分方程, 时滞微分方程等. 在利用变分法研究的过程中, 上述系统满足

其中$A$为自伴算子. 特别地, $A$满足如下的谱性质

这里$\sigma(A)$和$\sigma_d(A)$分别代表$A$的谱和离散谱(有限重特征值). 将该谱性质与修改后的鞍点约化相结合, Dong和Shan^[15]对相应的线性方程建立了指标理论. 随后, 我们在文献[30]中利用文献[15]的指标理论研究了非线性算子方程的扭转性条件. 作为应用, 我们得到了带有Sturm-Liouvillean边值条件的渐近线性一阶哈密顿系统和渐近线性时滞微分方程解的存在性条件.

在文献[29]中, 我们将指标理论推广至渐近线性薛定谔方程的研究中, 其中薛定谔算子含有本质谱. 这一谱性质与我们在本文中所研究的这一类Dirac算子的谱性质具有本质的不同. 此外, Chen 和Hu^[4], Liu和Wang^[33]也针对带有本质谱的自伴算子方程建立了指标理论.

根据文献[10,12]所建立的Dirac方程周期解的变分框架, 我们注意到相应的Dirac算子

满足谱性质(1.4). 因此, 我们很自然的考虑将文献[15]中的指标理论引入至方程(1.3)的研究中.

在第二节中, 对于任意$B_1$, $B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$, 我们将建立相对Morse指标$I(B_1, B_2)$用于衡量$B_1$与$B_2$的区别. 且$I(B_1, B_2)$仅依赖于Dirac算子$A$, $B_1$和$B_2$.

定义1.1 对于任意$B_1$, $B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$且$B_1<B_2$, 我们定义

其中$\nu(B)=\dim \ker(A-B)$. 对于任意$B_1$, $B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$, 我们定义

其中id为恒同映射, $K$为实数且满足$Kid>B_1$, $Kid>B_2$. 称$I(B_1, B_2)$ 为$B_1$和$B_2$的相对Morse指标.

定理1.1 设条件$(V)$, $(G)$, $(G_0)$, $(G_\infty)$成立, 且$I(A_1,A_2)=0$, $\nu(A_2)=0$, $I(B_1,B_2)=0$, $\nu(B_2)=0$. 若$G(t,x)$关于$x$为偶函数, 则方程(1.3)含有至少$|I(A_1, B_2)|$对周期解.

注1.1 在文献[12]中, Ding和Liu假设($G_1$)和($G_2$)成立. 其中$q_\infty>q_0^+$, 且

若$G$关于$x$是偶的, 则有方程(1.3)含有至少$d(q_0^+, q_\infty)$对周期解.

若将 $B_0(t,x)$, $B_\infty(t,x)$ 替换成$b_0(t)$和$b_\infty(t)$, 由定理1.1可得方程(1.3)具有至少$I(b_0(t), b_\infty(t))$ 对周期解. 根据第二节中指标函数的单调性,

因此, 我们将文献[12]的定理1.5推广到了更为一般的情形. 此外, 由于系统对应的泛函的强不定性, 与文献[12]不同的是我们添加了条件$|G''(t,x)|\leq M$, 这是为了在第二节中运用文献[15]中的鞍点约化的过程.

该论文的其余的部分安排如下: 在第二节中, 我们将给出一些预备知识, 包括临界点定理、鞍点约化的过程、相对Morse指标及其对线性Dirac方程的分类. 在第三节中我们将证明定理1.1.

在本节中, 我们将首先介绍方程(1.3)的变分结构, 其次给出用于证明定理1.1的对称情形的山路引理, 最后介绍线性系统的相对Morse指标.

将$L^q$ -范数记为$\|\cdot\|_q$, $L^2$ -内积记为$(\cdot, \cdot)_2$. 令$Q=[0,1]\times [0,1] \times [0,1]$和

这里$\hat{e}_1=(1,0,0)$, $\hat{e}_2=(0,1,0)$, $\hat{e}_3=(0,0,1)$. 则有

是$L^2(Q)$上的自伴算子. 记$A$的谱、离散谱和本质谱分别为$\sigma(A), \ \ \sigma_d(A)$, $\sigma_e(A)$. 由文献[12], 可得

引理2.1 设条件($V$)和($G$)成立, 则有$\sigma_{ess}(A)=\emptyset$, 即

对于 $B_0\in L^{\infty}(Q, L_s(\Bbb R^4))$, 设$(B_0x)(t)=B_0(t)x(t)$, $\forall$$t\in \Bbb R^3$, $x\in L^2(Q)$. 记$A_{B_0}=A-B_0$, 即 $A_{B_0}=-{\rm i}\alpha\cdot \nabla +a \beta + V-B_0$. 由引理 2.1, 可得如下引理.

此外, 方程(1.3)可改写为

注2.1 通过引入$B_0$, 在第三节中我们研究了更为一般的系统(2.3). 我们将替换$B_0$ 为与条件$(G_0)$和$(G_\infty)$相关的自伴算子.

选取$B_0$使得$0\notin \sigma(A_{B_0})$, 并将$A_{B_0}$的谱族记为$\{F_\lambda\}_{\lambda\in \Bbb R}$. 定义投影算子

其中$\beta>0$充分大且$\pm \beta \notin \sigma(A_{B_0})$. $L^2(Q)$具有相应的正交分解

记$|A_{B_0}|$为$A_{B_0}$的绝对值. 取$E_{B_0}=D(|A_{B_0}|^{\frac{1}{2}})$并在$E_{B_0}$上引入内积

及其导出的范数$\|z\|_{B_0}=(z,w)_{B_0}^{\frac{1}{2}}$. $E_{B_0}$有关于$(\cdot, \cdot)_2$和$(\cdot, \cdot)_{B_0}$的正交分解

由文献[12,引理2.1], 可得如下引理.

引理2.2$E_{B_0}$可以连续地嵌入$H^{\frac{1}{2}}(Q, \Bbb C^4)$, 紧嵌入$L^p(Q)$, $\forall p\in [1,3)$.

在$E_{B_0}$上定义泛函

其中

则有$I_{\beta,B_0}\in C^1(E_{B_0},\Bbb R)$, 且如果$x$为$I_{\beta,B_0}$的临界点, 它就是方程(1.3)的解.

由于泛函(2.6)的强不定性, 我们介绍文献[15]中约化过程. 根据$A_{B_0}$和$\Phi_{B_0}$的定义, 方程(2.3)等价于

设$x\in E_{B_0}$为方程(2.7)的解, 并令$u=|A_{B_0}|^{\frac{1}{2}}x$, 则有$u\in L^2(Q)$且$u$满足

其中$u=u^+ + u^0 + u^-\in L_{\beta, B_0}^+\oplus L_{\beta,B_0}^0 \oplus L_{\beta,B_0}^-$. 由(2.8)式, 可推导出

和

此外, 根据投影算子$P^-_{\beta, B_0}$的定义, 可得

根据压缩映像原理, $\forall$$u^{\ast}\in L_{\beta, B_0}^{\ast}=L_{\beta, B_0}^{+} \oplus L_{\beta, B_0}^{0}$, 方程(2.9)具有唯一解. 因此, 存在自伴算子

使得$T_{\beta, \Phi}$满足

定义$\tilde{T}_{\beta, \Phi}=|A_{B_0}|^{-\frac{1}{2}}T_{\beta, \Phi}|A_{B_0}|^{\frac{1}{2}}:E_{\beta, B_0}^{\ast}\rightarrow E_{\beta, B_0}^{-}$ 和$E^{\ast}_{\beta, B_0}$上的泛函$\tilde{I}_{\beta, B_0}$

易得

引理2.3$x^{\ast}$是$\tilde{I}_{\beta, B_0}$的临界点, 当且仅当$x^{\ast}+\tilde{T}_{\beta, \Phi}x^{\ast}$为方程(1.3)的解.

下面我们介绍对称情形的山路引理(参见文献[2,31])和Clark's 定理(参见文献[20,27]). 我们称$\{u_n \}\in X$是函数$I$的(PS) -序列, 是指$I(u_n)\rightarrow c$且$I'(u_n)\rightarrow 0$. 如果任何的(PS) -序列都有收敛子列, 称$I$满足(PS) -条件.

定理2.1 设$I \in C^{1}(X,\textbf{R}^{1})$为$X$上的偶泛函, $I(0)=0$且$I$满足(PS) - 条件. 若 ($I_1$) 存在$E_1\subset X$, 其中dim$E_1=l_1$, 和$R>0$使得

($I_2$) 存在$E_2\subset X$, 满足codim$E_2=l_2<l_1$, 和$\rho>0$使得

则$I$至少含有$l_1-l_2$对临界点(正临界值). 若

($I_3$) 存在$E_3\subset X$, 其中dim$E_3=k_1$, 和$\rho>0$使得

($I_4$) 存在$E_4\subset X$, 满足codim$E_4=k_2<k_1$, 使得

则$I$至少含有$k_1-k_2$对临界点(负临界值).

2.2 分类理论

考虑线性系统

对于任意的$z,w\in E_{B_0}$, 定义

类似于(2.10)式, 定义自伴算子

使得, $\forall z^{\ast}\in E^{\ast}_{\beta, B_0}$, $w\in E^{-}_{\beta, B_0}$,

定义$E^{\ast}_{\beta, B_0}$上的双线性形式

引理2.4 (文献[15,定义4.1,命题4.2]) (1) $E^{\ast}_{\beta,B_0}$存在正交分解

使得$\tilde{q}_{\beta, B_0, B}$在$E^{+}_{\beta,B_0}(B)$, $E^{0}_{\beta,B_0}(B)$和$E^{-}_{\beta,B_0}(B)$上分别正定、 值为零、负定. 此外, $E^{0}_{\beta,B_0}(B)$和$E^{-}_{\beta,B_0}(B)$是有限维空间. 定义

称$i_{\beta,B_0}(B)$为$B$的指标, $\nu_{\beta,B_0}(B)$为$B$的零维数.

(2) $i_{\beta,B_0}(B)$是$\tilde{q}_{\beta, B_0, B}$的Morse指标; $\nu_{\beta,B_0}(B)$是方程(1.3)解空间的维数, 即$\nu_{\beta,B_0}(B)=\dim \ker (A-B)$.

(3) 存在$\epsilon_0>0$使得$\forall \epsilon\in (0, \epsilon_0]$,

(4) 对于任意的$B\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$且 $\nu_{\beta, B_0}(B)=0$和$\beta>0$充分大, 则有

分别为$E^+_{\beta, B_0}(B)$和$E^-_{\beta, B_0}(B)$上的等价范数.

(5) 对于任意的$B_1, B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$满足 $B_1\leq B_2$,

注2.2 根据该引理, $\nu_{\beta, B_0}(B)$与$\beta$和$B_0$无关, 从而可将其简写为$\nu(B)$. 此外, 尽管指标函数$i_{\beta,B_0}(B)$与$\beta$和$B_0$有关, $i_{\beta,B_0}(B_1)$与$i_{\beta,B_0}(B_2)$的差与$\beta$和$B_0$无关.

定义2.1 $\forall B_1, B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$且$B_1<B_2$, 定义

其中$\nu(B)=\dim \ker(A-B)$. $\forall B_1, B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$, 定义

其中$id$是恒同映射, 实数$K$满足$Kid>B_1$, $Kid>B_2$. 称$I(B_1, B_2)$是$B_1$和$B_2$之间的相对Morse指标.

引理2.5 对于任意的$B_1$, $B_2\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$, 有

证 假设$K\geq B_1$, $K\geq B_2$, 有

因此,

证毕.

注2.3 (1) 容易看出$I(B_1, B_2)$与$K$无关. 因此, 我们定义的相对Morse指标是合理的.

(2) 在条件$(G_0)$和$(G_\infty)$中, 我们假设

则对于任意的$B_0\in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$满足$\nu(B_0)=0$, 有

从而

在本文中条件$(G_0)$和$(G_\infty)$是在原点处和无穷远处的非共振条件, 我们指出可以通过添加Landesman-Lazer 条件来研究共振条件情形.

假设$R_1'(t,x)=G'(t,x)-B_{0}(t,x)x$. 根据条件$(G_0)$和$(G_\infty)$, 给定$3>p>2$, 对于任意$\epsilon>0$, 存在$C_\epsilon$ 使得

和

其中$R_1(t,x)=\int_0^1(R_1'(t,\theta x),x)d\theta$. 我们有

由($G_0$), 当$\epsilon$充分小时, 有$\nu(A_2+\epsilon)=\nu(A_2)=0$. 假设$B_0=A_2+\epsilon$. 定义$E_{A_2+\epsilon}=D(|A_{A_2+\epsilon}|^{-\frac{1}{2}})$以及相应的内积$(\cdot, \cdot)_{A_2+\epsilon}$和范数$\|\cdot\|_{A_2+\epsilon}$.为了方便起见, 将$(\cdot, \cdot)_{A_2+\epsilon}$和$\|\cdot\|_{A_2+\epsilon}$简记为$(\cdot, \cdot)$和$\|\cdot\|$.

引理3.1 假设$(G_0)$和$(G_\infty)$成立. 记$E_2=E_{A_2+\epsilon}^+$, 则存在$r,\rho>0$使得

证 由(3.1)式, 对于任意的$x\in E_{A_2+\epsilon}$成立

其中$x=x^++x^0+x^-\in E_{\beta, A_2+\epsilon}^+\oplus E_{\beta, A_2+\epsilon}^0 \oplus E_{\beta, A_2+\epsilon}^-$和$x^{\ast}=x^++x^0$. 由于$E_{A_2+\epsilon}$紧嵌入$L^p(Q)$, 存在常数$C>0$使得$\frac{C_\epsilon}{p}\|x\|_p^p\leq C\|x\|^p$. 因此,

由$E_2= E^+_{A_2+\epsilon}$, 可得$x^{\ast}=x^+$对于任意的$x^{\ast}\in E_2$都成立. 又易得$\|\tilde{T}_{\beta, \Phi}\|\leq \frac{M}{\beta+M}$, 其中$M$在条件($G_0$)中给出. 则有

从而当$\|x^{\ast}\|$非常小时, $\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}(x^{\ast})\geq \rho >0$. 证毕.

假设$R_2'(t,x)=G'(t,x)-B_{\infty}(t,x)x$, 则有$R_2'(t,x)=o(|x|)$, $|x|\rightarrow\infty$. 从而对于给定的$\epsilon$, 存在$C_1$使得

引理3.2 假设$E_1=E^-_{A_2+\epsilon}(B_1-2\epsilon)$, 则有

证 由(3.2)式和$\tilde{q}_{\beta,A_2+\epsilon,B_1-2\epsilon }$的定义, 可得

根据引理2.4, 取充分小的$\epsilon$使得$\nu(B_1-2\epsilon)=\nu(B_1)=0$且$\sqrt{-\tilde{q}_{\beta,A_2+\epsilon,B_1-2\epsilon }}$是$E^-_{A_2+\epsilon}(B_1-2\epsilon)$上的等价范数. 从而存在$C_2>0$使得

和

因此, 该引理成立.证毕.

引理3.3 假设($G_0$)和($G_\infty$)成立, 则$\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}$的(PS) -序列是有界的.

证 假设序列$\{x_j^{\ast}\}\subset E_{\beta, A_2+\epsilon}^{\ast}$满足$\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}(x_j^{\ast})\rightarrow c$和$\tilde{I}'_{\beta, A_2+\epsilon}(x_j^{\ast})\rightarrow 0$. 对于任意的$y^{\ast}\in E_{\beta, A_2+\epsilon}^{\ast}$,

定义$x_j^-=\tilde{T}_{\beta, \Phi}x_j^{\ast}$和$x_j=x_j^{\ast}+x_j^-$. 根据$\tilde{T}_{\beta, \Phi}$的定义, 有

由(3.3)式和(3.4)式, 可得

下证$\{x_j^{\ast}\}$有界. 反证并假设, 在子列的意义下, $\|x_j^{\ast}\|\rightarrow\infty$. 从而 $\|x_j\|\geq \|x_j^{\ast}\|\rightarrow\infty$. 记$v_j=\frac{x_j}{\|x_j\|}$, 则有$\|v_j\|=1$. 假设

$\hbox{在$E_{A_2+\epsilon}$中}, v_j\rightharpoonup v,\ \hbox{且在$L^2(Q) $中}\ v_j\rightarrow v.$

由(3.5)式, $\forall y\in E_{A_1+\epsilon}$,

从而在子列的意义下, 在$Q$上$v_j(t)\rightarrow v(t)$且当$v(t)\neq 0$时$x_j(t)\rightarrow \infty$. 因此, 存在$A_\infty \in L^\infty(Q, L_s(\Bbb R^4))$ 满足$B_1\leq A_\infty\leq B_2$ 使得

可推导出

即

此外, 根据指标函数的单调性, 有

因此, $v=0$. 则在$E_{A_0-\epsilon}$中$v_j\rightharpoonup 0$且在$L^2(Q)$中 $v_j\rightarrow 0$. 由于$A_2$有界且$\sup\limits_{t\neq 0} \frac{|G'(t,x)|}{|x|}< \infty$, 存在$C>0$使得

从而得出矛盾.证毕.

引理3.4$\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}$的(PS) -序列具有收敛子列.

证 由引理3.3, $\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}$的(PS) -序列有界. 假设$\{ x_j^{\ast} \}$为(PS) -序列. 记$x_j^-=\tilde{T}_{\beta, \Phi}x_j^{\ast}$和$x_j=x_j^{\ast} + x_j^{-}$, 则有$\{ x_j\}$在$E_{A_1+\epsilon}$中有界. 设$x_j\rightharpoonup x$并设$w_j=x_j-x$, 则有在$L^2(Q)$中$w_j\rightharpoonup 0$和$w_j\rightarrow 0$. 注意到要证明强收敛, 只需证明$\|w_j\|\rightarrow 0$. 由于

则有

可得$\|w_j\|\rightarrow 0$. 从而在$E^{\ast}_{A_2+\epsilon}$中$x_j^{\ast}\rightarrow x^{\ast}$, 该引理得证.

证 (定理1.1) 若$I(A_1, B_1)>0$, 我们首先验证定理2.1中的条件($I_1$)和($I_2$). 假设$X=E_{A_2+\epsilon}^{\ast}$. 由引理2.4, 当$\epsilon$充分小时, 有

由$X=E_{A_2+\epsilon}^{\ast}=E_{A_2+\epsilon}^{+}\oplus E_{A_2+\epsilon}^{0}$, 可得

又对于任意的$x^{\ast}\in E_{A_2+\epsilon}^{\ast}$,

因此,

和

从而, 由引理3.2, 定理2.1的条件($I_1$)成立并满足$\dim E_1=i_{\beta,A_2+\epsilon}(B_1)$. 由引理3.1, 定理2.1的条件($I_2$)成立并满足$\hbox{codim} E_2=i_{\beta,A_2+\epsilon}(A_2)$. 此外, 通过引理3.4可得$\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}$满足(PS) -条件. 因此, 根据定理2.1, $\tilde{I}_{\beta, A_2+\epsilon}$具有至少 $i_{\beta,A_2+\epsilon}(B_1)-i_{\beta,A_2+\epsilon}(A_2)$对非平凡的临界点. 最后, 由引理2.5和注2.3, 有

若$I(A_1,B_1)<0$, 考虑泛函$\tilde{I}_{\beta, A_1-\epsilon}$并取$E_3=E^-_{\beta, A_1-\epsilon}( A_1-\epsilon)$ 和$E_4=E^+_{\beta, A_1-\epsilon}( A_1-\epsilon)$. 则条件$(I_3)$, $(I_4)$和(PS)条件的验证类似于引理3.1-3.4. 综上所述, 方程(1.3)具有至少$|I(A_1, B_2)|$对周期解.证毕.