本文研究如下具有半正非线性项和脉冲项的高阶Riemann-Liouville型分数阶脉冲微分方程积分边值问题

其中$\alpha\in (n-1,n]$, $n$为正整数且$n\ge 3$, $D_{0+}^{\alpha}$是$\alpha$ 阶Riemann-Liouville型分数阶导数, 脉冲点列$\{t_k\}_{k=1}^m$ 满足: $0<t_{1}<\cdots<t_{m}<1$, $\Delta u\left(t_{k}\right)=u\left(t_{k}^{+}\right)-u\left(t_{k}^{-}\right)$, $u\left(t_{k}^{-}\right)=u\left(t_{k}\right)$, $u\left(t_{k}^{+}\right)=\lim\limits_{h \rightarrow 0} u\left(t_{k}+h\right)$, $u\left(t_{k}^{-}\right)=\lim\limits_{h \rightarrow 0} u\left(t_{k}-h\right)$ 分别是$u(t)$在点$t=t_k$的右、左极限. $f,I_k,\eta$满足以下条件

(H$f$) $f\in C([0,1]\times \Bbb R ^+, \Bbb R )$, 且存在正常数$M>0$使得$f(t,u)\ge -M$, $\forall t\in [0,1], u\in \Bbb R ^+$,

(H$I_k$) $I_{k} \in C\left(\Bbb R ^{+}, \Bbb R \right)$, 且存在$M_k>0$使得$I_k(u)\ge -M_k,$$\forall u\in \Bbb R ^+, k=1,2,\cdots,m$,

(H$\eta$) $\eta$是$[0,1]$上的有界变差函数, 且$\int_0^1 t^{\alpha-1}{\rm d}\eta(t)\in (0,\alpha-1)$.

注1.1$\int_{0}^{1} u(t) {\rm d}\eta(t)$被称为Riemann-Stieltjes积分, 其在研究各类边值问题中起着重要作用. 若$\eta$可导, 则

此为Riemann积分; 若存在$\{\xi_i\}_{i=1}^{m-2}$满足: $0<\xi_1<\xi_2<\cdots<\xi_{m-2}<1$, $m$是正整数且$m\ge 3$使得 $u'(1)=\sum\limits_{i=1}^{m-2}a_iu(\xi_i)$, 此为多点边值问题. 若令

则$\sum\limits_{i=1}^{m-2}a_iu(\xi_i)=\int_0^1 u(t){\rm d}\eta(t)$, 即多点边值问题亦可用Riemann-Stieltjes积分表示.

分数阶微积分已有300多年历史, 但在发展的早期并没有引起足够的兴趣. 然而最近几十年, 研究者们发现它们在工程和物理学、力学、化学、经济学和生物学等学科中发挥着不可替代的作用, 对该类问题的研究愈发受到广泛关注, 涌现出一大批优秀的研究成果^{[1⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-29]}.

众所周知, 非线性泛函分析中的拓扑方法是研究微分方程最有力的工具, 运用该方法处理的各类问题中人们普遍使用一个基本的限制条件: 方程的非线性项是非负的. 这显然局限了研究的视角和创新. 然而在刻画自然现象时, 许多不确定的物理变量、参数以及扰动因素等常常会影响到整个系统的稳定性, 非负性显然不足以描述此类问题. 例如上世纪70年代荷兰化学家Aris在研究化学反应时发现一些惰性材料、 催化剂等常常对整个反应起到加速或抑制的作用, 这样在刻画反应的微分方程中必含有某个扰动项, 即非线性项具有形式 $f(t, x) \geq-M, M>0$, 这就是数学模型下的半正问题. 近年来亦有很多文献研究分数阶半正问题^{[1⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-11]}, 例如在文献[1]中作者研究了如下抽象的 HIV-1 人口受感染的分数阶动力学模型

其中 $2<\alpha, \beta \leq 3,1<\beta<1$, $u$ 是末受感染的 ${\rm CD} 4+{\rm T}$ 细胞, $v$ 是已感染的 ${\rm CD} 4+{\rm T}$ 细胞, $f$ 和 $g$ 允许变号的, 且满足半正型条件, 作者借助锥上的不动点定理, 在一定的参数范围内获得该问题正解的存在性.

在文献[2]中作者运用Leggett-Williams 和 Guo-Krasnosel'skii不动点定理研究了如下带有$p$-Laplacian的高阶分数阶微分方程积分边值问题多正解的存在性

其中非线性项$f$满足半正型和有界性条件.

另一方面, 我们注意到由于脉冲微分系统充分考虑瞬时突变现象对状态的影响, 它比不带脉冲的系统更能精确地反映事物的规律, 其研究日益受到人们的重视. 近年来, 针对于分数阶脉冲微分方程边值问题的研究已有涉猎^{[12⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-25]}. 然而正如文献[12]中所说的那样, 仅有少量的文献研究分数阶脉冲微分方程边值问题(尤其是积分边值问题), 其困难在于该类方程所对应的等价方程形式过于复杂, 很难用Green函数表达成Hammerstein型积分方程的形式. 例如在文献[13]中作者研究了如下Caputo型分数阶脉冲边值问题

其等价方程为

其中

如此的庞然大物处理起来非常困难, 只能针对非线性项提一些简单的条件, 如有界性条件, Lipschitz条件. 但是我们注意到, 并不是所有的分数阶脉冲微分方程边值问题都只能表达成如此繁复的式子, 例如文献[14]中作者研究的分数阶脉冲问题

就可以用Green函数表示其等价的方程

在本文中作者运用不动点指数理论, 在非线性项和脉冲项非负等条件下获得了正解的存在性.

本文受上述文献的启发, 在非线性项和脉冲项满足半正型条件下研究更为复杂的高阶Riemann-Liouville型分数阶脉冲微分方程积分边值问题. 首先运用半正型条件将其转化为等价的非负算子方程, 构造合适的工作空间和锥, 然后运用锥上的不动点指数获得正解的存在性. 最后给出一些具体的实例验证本文结论的有效性.

限于篇幅, 我们仅给出Riemann-Liouville型分数阶导数的定义, 细节参见专著^[27⇓-29].

定义2.1 连续函数 $f:(0,+\infty) \rightarrow(-\infty,+\infty)$的 Riemann-Liouville 型分数阶($\alpha$阶)导数定义为

右端在 $(0,+\infty)$ 上逐点有定义, 其中 $n=[\alpha]+1,[\alpha]$ 是 $\alpha$ 的整数部分.

引理2.2 ([15,引理2.4]) 令$h\in C[0,1]$, $\delta_{\alpha,\eta}=\alpha-1-\int_0^1 t^{\alpha-1}{\rm d}\eta(t)$, 则边值问题

的解可以表示为

其中

引理2.3 令$\varphi(t)=t(1-t)^{\alpha-2},t\in [0,1]$, 则

证 根据文献[26,引理2.8]和文献[引理4], $g$满足如下不等式

从而由$G$和$g$的关系, 我们有

证毕.

引理2.4 令

则

利用引理2.3很容易获得该不等式, 故而略去其证明.

令$PC[0,1]=\{u\in [0,1]\to \Bbb R ^+: u$ 在 $t\not =t_k$上连续, 且 $u(t_k^-), u(t_k^+)$存在, $u(t_k^-)=u(t_k),1\le k\le m \}$, 则$PC[0,1]$ 带上范数$\|u\|=\sup\limits_{t\in [0,1]}|u(t)|$构成一Banach 空间. 令$P=\{u\in PC[0,1]: u(t)\ge 0,t\in [0,1]\}$, 则$P$ 是$PC[0,1]$上的锥. 根据引理2.2知问题(1.1)等价于如下的积分方程

其中

根据条件(H$f$)和(H$I_k$), 我们不能直接由方程(2.1)构造算子方程(有可能是变号的), 故而需要考虑如下的辅助问题

其中$M,M_k$见条件(H$f$)和(H$I_k$). 根据引理2.2知(2.2)式的解表示为

引理2.5 定义

以及积分方程

下述两条成立: (i) 若$u^*$是方程(2.1)的正解, 则$u^*+w$是(2.4)式的解;

(ii) 若$u^*$是方程(2.4)的解且$u^*(t)\ge w(t),t\in [0,1]$, 则$u^*-w$是方程(2.1)的解.

证已知$u^*$是方程(2.1)的正解, 则将$u^*+w$代入(2.4)式, 我们有

由(2.3)式可知该式成立.

另一方面, 已知$u^*$是(2.4)式的解且$u^*(t)\ge w(t),t\in [0,1]$, 则将$u^*-w$代入方程(2.1)可得

从而

此式即为(2.4)式. 证毕.

根据引理2.5可知, 仅需找寻(2.4)式的且超过$w$的解即可获得原问题(1.1)的正解, 即$u^*$ 是(2.4)式的解且$u^*(t)\ge w(t),t\in [0,1]$, 则$u^*-w$是方程(1.1)的正解.

注意到$\widetilde{f},\widetilde{I}_k$的非负性, 从而我们可以定义算子$A:P\to P$ 如下

运用文献[15,引理2.9], 结合Ascoli-Arzela定理可证明算子$A$是一全连续算子, 且若存在$u^*$是$A$的不动点且不小于$w$, 则$u^*-w$是方程(1.1)的正解.

引理2.6 定义

则$A(P)\subset P_0$.

证对任意的$u\in P$, 根据引理2.3右侧不等式可得

另一方面, 再由引理2.3中左侧不等式可知

利用$\kappa_1,\kappa_2$的定义知$\frac{1+\frac{\int_0^1 \tau^{\alpha-1}{\rm d}\eta(\tau)}{\delta_{\alpha,\eta}}}{1+\frac{\int_0^1 {\rm d}\eta(\tau)}{\delta_{\alpha,\eta}}}=\frac{\kappa_1\Gamma(2\alpha)}{\alpha^2(\alpha-1)^2\kappa_2\Gamma^2(\alpha-1)}$. 证毕.

为了方便书写, 我们记

注意到我们的任务是找寻$A$超过$w$的不动点, 结合引理2.6, 若$u^*$符合这一要求, 则

若上式成立, 仅需

此式亦表明若能找到$A$的不动点$u^*$, 且其范数不小于$\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$, 则$u^*-w$ 是问题(1.1)的正解.

引理2.7^[30] 设$E$是一Banach空间, $B_R$是$E$中的有界开子集, $P$是$E$上的锥. 若$A:\overline{B_R}\cap P\to P$是一全连续算子, 且$u\not = Au+\lambda \phi, \lambda\ge 0, \phi\in E, u\in \partial B_R\cap P$, 则$i(A, B_R\cap P, P)=0,$ 其中$i$是锥$P$上的不动点指数.

引理2.8^[30] 设$E$是一Banach空间, $B_r$是$E$中的有界开子集, $P$是$E$上的锥, $0\in B_r$. 若$A:\overline{B_r}\cap P\to P$是一全连续算子, 且$u\not = \lambda Au, \lambda\in [0,1], u\in \partial B_r\cap P$, 则$i(A, B_r\cap P, P)=1$.

我们先给出本节需要使用的条件

(H1) 存在$b\ge 0$, $l_k\ge 0(\not \equiv 0)$, $k=1,2,\cdots,m$使得当$b<\kappa_1^{-1}$时,

$\frac{b\kappa_1-1}{\alpha(\alpha-1)} + \omega_{\kappa_1,\kappa_2} \sum\limits_{k=1}^m l_k\int_0^{t_k} t^{\alpha}(1-t)^{\alpha-2}{\rm d}t >0,$$\liminf_{u\to +\infty}\frac{I_k(u)}{u}\ge l_k, k=1,2,\cdots,m,\ \liminf_{u\to +\infty}\frac{f(t,u)}{u}\ge b,$

对任意的$t\in [0,1]$一致成立;

(H2) 存在$Q(t):[0,1]\to \Bbb R ^+(\not \equiv 0)$及$N_k>0\ (k=1,2,\cdots,m)$使得

$\widetilde{f}(t,u)\le \frac{\Gamma(\alpha)}{1+\frac{\int_0^1 {\rm d}\eta(\tau)}{\delta_{\alpha,\eta}}}\frac{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k} Q(t)}{3\int_0^1 Q(t)\varphi(t){\rm d}t},$
$\widetilde{I}_k(u)\le \frac{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k} N_k}{2\sum\limits_{k=1}^m t_k^{1-\alpha}N_k}, \forall t\in [0,1], u\in [0,\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}], k=1,2,\cdots,m;$

(H3) 存在$d\ge 0,$$e_k\ge 0(\not \equiv 0)$, $k=1,2,\cdots,m$使得

对任意的$t\in [0,1]$一致成立;

(H4) 存在$t_0\in (0,1]$, $\widetilde{Q}(t):[0,1]\to \Bbb R ^+(\not \equiv 0)$及$\widetilde{N}_k>0\ (k=1,2,\cdots,m)$使得

定义$B_\rho=\{u\in P: \|u\|<\rho\}$, $\rho>0$, 则$B_\rho$是$P$中的开球, 且

定理3.1 若(H$f$), (H$I_k$), (H$\eta$), (H1)-(H2)成立, 则问题(1.1)至少有一个正解.

证 第一步: 存在正常数$R_1>\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$使得

其中$\phi$是$P_0$中的一固定元素. 反证法, 若(3.1)式不成立, 则存在$u\in \partial B_{R_1}\cap P$, $\lambda\ge 0$使得

结合引理2.6知 $u\in P_0$. 注意到$u\in \partial B_{R_1}\cap P,R_1>\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$, 从而根据(H1)可知

对任意的$t\in [0,1]$一致成立, 则存在$c>0,c_k>0\ (k=1,2,\cdots,m)$使得

运用(3.2)式可得

在上式两端乘上$\varphi(t)$并在[0,1]上积分, 利用引理2.4并经整理可得

注意到$u\in P_0$, 则

此时若$t=t_k$, 则

以下分两种情形讨论

1) $b\kappa_1\ge 1$. 根据(3.3)式得

解此不等式得

2) $b\kappa_1< 1$. 仍由(3.3)式知

解之得

综合上述两种情形, 取$R_1>\max\{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k},\Lambda_1,\Lambda_2\}$, 则当$u\in \partial B_{R_1}\cap P$时(3.2)式不可能成立, 即(3.1)式成立, 反证法奏效. 结合引理2.7知

第二步:证明

事实上, 若上式不成立, 则存在$\lambda\in [0,1]$, $u\in \partial B_{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}}\cap P$$(\|u\|=\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k})$ 使得

由此结合(H2), 我们有

该式右侧是常数, 则 $\|u\|\le \frac{5}{6} \Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$, 这与$u\in \partial B_{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}}\cap P$矛盾. 矛盾表明(3.5)式成立. 根据引理2.8得

结合(3.4)和(3.6)式可得

由此可得算子$A$在$\left(B_{R_1} \backslash \overline{B}_{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}}\right) \cap P$中至少有一个不动点$u^*$, 且$\|u^*\|\ge \Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$, 故而知$u^*-w$是问题(1.1)的正解. 证毕.

定理3.2 若(H$f$), (H$I_k$), (H$\eta$), (H3)-(H4)成立, 则问题(1.1)至少有一个正解.

证第一步: 证明存在足够大的$R_2>\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$使得

反证法. 若上式不成立, 则存在$\lambda\in [0,1]$, $u\in \partial B_{R_2}\cap P$使得

注意到引理2.6, $u\in P_0$. 根据(H3)我们可得

对任意的$t\in [0,1]$一致成立, 从而存在$\widetilde{c}>0,\widetilde{c}_k>0,k=1,2,\cdots,m$使得

根据(3.8)式有

在上式两端乘上$\varphi(t)$并在[0,1]上积分, 运用引理2.4并经整理可得

注意到$u\in P_0$, 由(H3)得

解之得

这时若取$R_2>\max\{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k},\Lambda_3\}$, 则(3.8)式不成立, 从而反证法奏效,(3.7)式成立. 根据引理2.8得

第二步: 证明

其中$\widetilde{\phi}\in P$是一固定元素. 若上式不成立, 则存在$\lambda \ge 0, u\in \partial B_{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}}\cap P$使得

此式表明

该不等式左端是常数, 从而有

另一方面, 注意到$t_0\in (0,1]$, 从而我们有

这与(3.11)式矛盾. 矛盾表明(3.10)式成立. 根据引理2.7知

综合(3.9)和(3.12)式有

由此可得算子$A$在$\left(B_{R_2} \backslash \overline{B}_{\Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}}\right) \cap P$中至少有一个不动点$u^*$, 且$\|u^*\|\ge \Theta_{\kappa_1,\kappa_2,M,M_k}$, 故而知$u^*-w$是问题(1.1)的正解. 证毕.

注 3.3 虽然条件(H1)-(H4)中有很多不等式, 看上去同时满足这些不等式较为困难, 然而我们可以通过调整各个参数使所有的不等式均成立. 另外我们注意到, 极限条件

中的数$b$仅需大于或者等于0, 是一个很弱的条件.

令$n=3,\alpha=2.5,\eta(t)=t$, 则

$\delta_{\alpha,\eta}=1.5-\int_0^1 t^{1.5}{\rm d}t=1.1, \kappa_1=\frac{2.5 \Gamma(1.5)}{\Gamma(5)}\left[1+\frac{\int_0^1 \tau^{1.5}{\rm d}\tau}{1.1}\right]=0.126,$
$\kappa_2=\frac{1+\frac{\int_0^1 {\rm d}\tau}{1.1}}{2.5\times 1.5 \Gamma(2.5)}=0.383, \omega_{\kappa_1,\kappa_2}=\frac{0.126\Gamma(5)}{2.5^2\times 1.5^2\times 0.383 \Gamma^2(1.5)}=0.715.$

为了便于计算, 仅取两个脉冲点, 即令$m=2$, 脉冲点$t_1=0.5,t_2=0.6$, 则

例3.4 重写(H1)-(H2)

(H1) 存在$b\ge 0$, $l_1,l_2\ge 0(\not \equiv 0)$使得

$\mbox{当$b<\kappa_1^{-1}$时:}\ \frac{0.126 b-1}{3.75} + 0.0143l_1+0.025l_2 >0,$

对任意的$t\in [0,1]$一致成立;

(H2) 取$M=5,M_1=6,M_2=7$, $N_1=2.5,N_2=3.4$, $Q(t)\equiv 10, \forall t\in [0,1]$, 则$0.701 M+3.956M_1+3.01M_2=48.311,$$6.657N_1+4.303N_2=31.27$,

从而令

则$\widetilde{f}(t,u)=\sin \pi t+\frac{1}{25}u\le 2.932$, $\widetilde{I}_1(u)=\frac{1}{650}u^2\le 3.59$, $\widetilde{I}_2(u)=\frac{1}{2}\sqrt{u}\le 3.475,t\in [0,1],$$u\in [0,48.311]$.

另外可计算极限

从而可取$b=\frac{1}{25}$, $l_1=20,l_2=0$使得$\frac{0.126 b-1}{3.75} + 0.0143l_1+0.025l_2 >0$.

综上所得(H1)-(H2)满足, 另(H$f$), (H$I_k$), (H$\eta$)显然成立, 则定理3.1所有的条件均满足.

例3.5 重写(H3)-(H4)

(H3) 存在$d\ge 0,$$e_k\ge 0(\not \equiv 0)$, $k=1,2$使得

对任意的$t\in [0,1]$一致成立;

(H4) 取$t_0=0.5,M=7,M_1=8,M_2=9$, $\widetilde{N}_1=1.5,\widetilde{N}_2=1.7$, $\widetilde{Q}(t)\equiv 20,t\in [0,1]$, 则

令

则

另外可计算极限

$\limsup_{u\to +\infty}\frac{f(t,u)}{u}=\limsup_{u\to +\infty}\frac{\ln(e^{650}+u)+|\cos\pi t|-7}{u}=0,$
$\limsup_{u\to +\infty}\frac{I_1(u)}{u}=\limsup_{u\to +\infty}\frac{\ln (e^{35}+u)-8}{u}=0,$$\limsup_{u\to +\infty}\frac{I_2(u)}{u}=\limsup_{u\to +\infty}\frac{\ln (e^{39}+u)-9}{u}=0,$

则可取$d=0.001,e_1=0.2,e_2=0.3$使得$0.088(1-0.383d)-0.057e_1-0.075e_2>0$.

综上所得(H3)-(H4)满足, 另(H$f$), (H$I_k$), (H$\eta$)显然成立, 则定理3.2所有的条件均满足.