数学物理学报, 2023, 43(1): 43-52

关于广义 Douglas-Weyl 喷射的一个注记

郑大小,

安徽师范大学数学与统计学院 安徽芜湖 241002

A Note on Generalized Douglas-Weyl Spray

Zheng Daxiao,

Department of Mathematics and Statistics Science, Anhui Normal University, Anhui Wuhu 241002

收稿日期: 2022-03-7   修回日期: 2022-07-22  

基金资助: 安徽省自然科学青年基金(2008085QA05)

Received: 2022-03-7   Revised: 2022-07-22  

Fund supported: The AHNSF(2008085QA05)

作者简介 About authors

郑大小,E-mail:2015046@ahnu.edu.cn

摘要

该文研究广义 Douglas-Weyl 喷射. 证明了一个喷射 $G$ 是广义 Douglas-Weyl 喷射当且仅当它的 Weyl 张量是二次型的. 由此得到一个推论, 一个芬斯勒度量是广义Douglas-Weyl 度量当且仅当它的 Weyl 张量是二次型的. 进一步, 该文研究具有二次型的黎曼曲率张量的喷射, 证明了一个喷射具有二次型的黎曼曲率张量当且仅当 $\dot{B}^{~i}_{j~kl}=0$.

关键词： 喷射; Weyl张量; Douglas张量

Abstract

In this paper, we study Generalized Douglas-Weyl spray. We show that a spray $G$ is a Generalized Douglas-Weyl spray if and only if it is $W$-quadratic. As a corollary, we show that a Finsler metric $F$ is a Generalized Douglas-Weyl metric if and only if it is $W$-quadratic. Furthermore, we consider $R$-quadratic spray and prove that a spray $G$ is $R$-quadratic if and only if $\dot{B}^{~i}_{j~kl}=0$.

Keywords： Spray; Weyl curvature; Douglas Tensor

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本文引用格式

郑大小. 关于广义 Douglas-Weyl 喷射的一个注记[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 43-52

Zheng Daxiao. A Note on Generalized Douglas-Weyl Spray[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 43-52

1 引言

微分流形 $M$ 上的一个喷射 $G$ 是定义在 $TM\setminus\{0\}$ 的向量常, 在切丛 $TM$ 的局部坐标 $(x^i, y^i)$ 下, 可以表示为

$\begin{matrix}G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i}, \end{matrix}$

其中 $G^i = G^i(x, y)$ 关于 $y$ 正二次齐次.

Douglas 张量 $D^{~i}_{j~kl}$ 和 Weyl 张量 $W^i_{~k}$ 是两个非常重要的射影不变量. 如果一个喷射的 Douglas 张量为 0, 则称其为 Douglas 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 众所周知, 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率 [11].

最近, Li 和 Mo[7]研究了满足以下方程的喷射 $G$

$\begin{matrix} D^{~i}_{j~kl;m}y^m=T_{jkl}y^i, \end{matrix}$

其中 $T_{jkl}$ 是某些张量, $D^{~~i}_{j~kl;m}$ 是 $D^{~i}_{j~kl}$ 关于喷射 $G$ 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 $GDW$ 喷射, 这个定义比 $GDW$ 更广些[1]. Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$ 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10]. 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 $GDW$ 喷射. 最近, 许多几何学家[7,8,10,12-13]]研究了 $GDW$ 喷射.

在本文中, 我们得到以下结果.

定理1.1 一个喷射 $G$ 是 $GDW$ 喷射当且仅当它的 Weyl 张量是二次型.

显然, Douglas 喷射是 $GDW$ 喷射, 由定理 1.1 可得如下推论.

推论1.1 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.

由于 Douglas 喷射 $G^i$ 与 Berwald 喷射 $\tilde G^i$ 射影相关, 在局部坐标系 $(x^i, y^i)$ 下, 我们有

$G^i=\tilde G^i+Py^i,$

其中 $P=P(x,y)$ 关于 $y$ 正一次齐次. 因为 Weyl 张量是射影不变量, 所以

$W^i_k=\tilde W^i_k,$

其中 $W^i_k$ 和 $\tilde W^i_k$ 分别是喷射 $G^i$ 和 $\tilde G^i$ 的 Weyl 张量. 所以 $W^i_k$ 是二次型的, 即 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.

显然, Weyl 喷射的 Weyl 张量是二次型的, 由定理 1.1, 我们可以得到 Li 和 Mo 的结果.

推论1.2[7] Weyl 喷射一定是 $GDW$ 喷射.

如果喷射 $G$ 是由一个芬斯勒度量 $F$, 我们可得如下推论.

推论1.3 芬斯勒度量 $F$ 是 $GDW$ 度量当且仅当 $F$ 的 Weyl 张量是二次型.

给定一个喷射, 它的黎曼曲率张量 $R^i_{~k}$ 定义如下

$\begin{matrix}R^i{}_k:=2\frac{\partial G^i}{\partial x^k}-\frac{\partial G^i}{\partial x^j\partial y^k}y^j+2G^j\frac{\partial G^i}{\partial y^j\partial y^k}-\frac{\partial G^i}{\partial y^j}\frac{\partial{G^j}}{\partial{y^k}}. \end{matrix}$

如果 $R^i_{~k}$ 是二次型的, 我们称喷射 $G$ 是 $R$ 二次型喷射. 显然, $R$ 二次型喷射 $G$ 一定是 Weyl 二次型喷射. 由定理 1.1, $G$ 一定是$GDW$ 喷射[9]. 许多几何学家研究了$R$ 二次型喷射, 得到了很多有趣的结果[3,4,9,11]. 在本文中, 我们得到如下定理.

定理1.2 一个喷射 $G$ 是 $R$ 二次型喷射当且仅当

$\begin{matrix} \dot{B}^{~i}_{j~kl}=0, \end{matrix}$

其中 $\dot{B}^{~i}_{j~kl}:=B^{~i}_{j~kl;m}y^m$, $B^{~~i}_{j~kl;m}$ 是 $B^{~i}_{j~kl}$ 关于喷射 $G$ 的 Berwald 联络的水平导数.

注1.1 在文献[11]中, Shen 证明了$R$ 二次型喷射一定满足方程(1.4).

2 准备工作

微分流形 $M$ 上的一个喷射 $G$ 是定义在 $TM\setminus\{0\}$ 的向量场, 在切丛 $TM$ 的局部坐标 $(x^i, y^i)$ 下, 可以表示为

$\begin{matrix}G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i}, \end{matrix}$

其中 $G^i = G^i(x, y)$ 关于 $y$ 正二次齐次.

令

$N^i{}_j=\frac{\partial G^i}{\partial y^j},~~~~\Gamma^i_{jk}=\frac{\partial^2 G^i}{\partial y^j\partial y^k}, $
$\omega^i=dx^i,~~~~\omega^{n+i}=dy^i+N^i{}_jdx^j,~~~~\omega^i_j=~\Gamma^i_{jk}dx^k.$

其中

$\Omega^i_j=d\omega^i_j-\omega^k_j\wedge \omega^i_k,$

可以表示为

$\Omega^i_j=\frac12R^{~i}_{j~kl}\omega^k\wedge \omega^l-B^{~i}_{j~kl}\omega^k\wedge\omega^{n+l},$

这里, $R^{~i}_{j~kl}$ 和 $B^{~i}_{j~kl}$ 分别是黎曼曲率张量和 Berwald 曲率张量[10]. 局部上,

$\begin{matrix}B^{~i}_{j~kl}=\frac{\partial^3{G^i}}{\partial{y^j}\partial{y^k}\partial{y^l}}, \end{matrix}$

平均 Berwald 曲率可表示为

$\begin{matrix} E_{jk}:=\frac12B^{~l}_{j~kl}=\frac12\frac{\partial^3{G^l}}{\partial{y^j}\partial{y^k}\partial{y^l}}. \end{matrix}$

黎曼曲率关键的部分是

$R^i{}_k:=y^jR^{~i}_{j~kl}y^l.$

关于黎曼曲率张量, 我们有以下重要的恒等式[11]:

$\begin{matrix}R^{~i}_{j~kl}=\frac{1}{3}\big(\frac{\partial R^i_{~k}}{\partial y^j\partial y^l}-\frac{\partial R^i_{~l}}{\partial y^j\partial y^k}\big). \end{matrix}$

因此, 我们也称 $R^i{}_k$ 是黎曼曲率张量. 局部上

$\begin{matrix}R^i{}_k=2\frac{\partial G^i}{\partial x^k}-\frac{\partial G^i}{\partial x^j\partial y^k}y^j+2G^j\frac{\partial G^i}{\partial y^j\partial y^k}-\frac{\partial G^i}{\partial y^j}\frac{\partial{G^j}}{\partial{y^k}}, \end{matrix}$

$R^i{}_k$ 的迹称为 Ricci 曲率,

$\begin{matrix}Ric:=R^j{}_j. \end{matrix}$

如果一个喷射 $G$ 满足

$\begin{matrix}R^i{}_k=R\delta^i{}_k-\tau_ky^i, \end{matrix}$

则我们称喷射 $G$ 具有标量旗曲率, 其中 $R=R(x,y)=\frac{Ric}{n-1}$, $\tau_k=\tau_k(x,y)$ 满足 $\tau_ky^k=R$. 如果黎曼曲率张量 $R^i{}_k$ 关于 $y$ 是二次型的, 则我们称喷射 $G$ 是 $R$ -二次型喷射, 等价于 $R^{~i}_{j~kl}$ 只是 $x$ 的函数.

Douglas 张量的定义如下[2]

$\begin{matrix} D^{~i}_{j~kl}:=\frac{\partial^3}{\partial{y^j}\partial{y^k}\partial{y^l}}(G^i-\frac{1}{n+1}\frac{\partial{G^m}}{\partial{y^m}}y^i)~. \end{matrix}$

将(2.2)和(2.3)式代入(2.8)式, 可得

$\begin{matrix}D^{~i}_{j~kl}=B^{~i}_{j~kl}-\frac{2}{n+1}(E_{jk}\delta^i_{~l}+E_{jl}\delta^i_{~k}+E_{kl}\delta^i_{~j}+E_{jk.l}y^i), \end{matrix}$

其中 $E_{jk.l}=\frac{\partial E_{jk}}{\partial y^l}$. 在本文中, $".i"$ 表示关于 $y^i$ 的垂直导数.

记

$\begin{matrix}A^i_{~k}=R^i_{~k}-R\delta^i_{~k}, \end{matrix}$

则 Weyl 张量定义如下

$ \begin{matrix}W^i_{~k}=A^i_{~k}+\tau_ky^i, \end{matrix}$

其中

$\begin{matrix} \tau_k=-\frac{1}{n+1}A^m_{~k.m}=-\frac{1}{n+1}\sum^n_{m=1}\frac{\partial A^m_{~k}}{\partial y^m}. \end{matrix}$

如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量关于 $y$ 是二次型, 则称其为 Weyl 二次型喷射.

引理2.1[4] 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率.

除了这些张量外, 我们还有 $\chi$ 张量[5]

$\begin{matrix}\chi_k=-\frac 1 6[2R^m_{~k.m}+R^m_{~m.k}], \end{matrix}$

直接计算得

$ \begin{matrix}\tau_k=\frac{3}{n+1}\chi_k+\frac{R_{.k}}{2},~~~~\chi_ky^k=0. \end{matrix}$

3 $\boldsymbol GDW$ 喷射和$\boldsymbol W$ -二次型喷射

流形上的任意一个芬斯勒度量可以诱导一个喷射. 反过来是不对的, 存在无穷多个不能由芬斯勒度量诱导的喷射. 因此, 芬斯勒度量空间可以看成特殊的喷射空间[6]. Sakaguchi 证明了所有的 Weyl (具有标量旗曲率)芬斯勒度量一定是 $GDW$ 度量[10]. Li 和 Mo 推广了 Sakaguchi 的结果, 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$ 喷射. 在这一节, 我们将要证明定理 1.1.

记 $G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i}$ 为流形 $M$ 上的一个喷射. 由(2.10)式, 可得

$\begin{matrix}A^m_{~m}&=R^m_{~m}-nR =(n-1)R-nR=-R, \end{matrix}$

和

$\begin{matrix}A^i_{~m}y^m&=R^i_{~m}y^m-R\delta^i_{~m}y^m=0-Ry^i=-Ry^i.\end{matrix}$

(2.14)式作用 $y^k$, 我们有

$\begin{matrix}\tau_my^m=\frac{3}{n+1}\chi_my^m+\frac{R_{.m}}{2}y^m=0+R=R. \end{matrix}$

将(3.1)-(3.3)式代入(2.11)式, 得

$\begin{matrix} W^m_{~m}=A^m_{~m}+\tau_my^m=-R+R=0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} W^i_{~m}y^m=A^i_{~m}y^m+\tau_my^my^i=-Ry^i+Ry^i=0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} W^m_{~j.m}=A^m_{~j.m}+(\tau_jy^m)_{.m}=-(n+1)\tau_j+(\tau_{j.m}y^m+n\tau_j)=0. \end{matrix}$

方程 $W^i_{~m}y^m=0$ 两边对 $y^j$ 求导, 可得

$\begin{matrix} W^i_{~m.j}y^m=-W^i_{~j}. \end{matrix}$

方程(3.7)两边对 $y^k$ 求导, 可得

$\begin{matrix} W^i_{~m.j.k}y^m=-(W^i_{~j.k}+W^i_{~k.j}). \end{matrix}$

方程(3.8)两边对 $y^l$ 求导, 可得

$\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=-(W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}). \end{matrix}$

将(2.11)式代入(2.10)式, 可得

$\begin{matrix}R^i_{~k}=R\delta^i_{~k}+A^i_{~k}=R\delta^i_{~k}-\tau_ky^i+W^i_{~k}. \end{matrix}$

接下来计算 $\dot{D}^i_{j~kl}$.

引理3.1

$\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i+\frac13W^i_{~m.j.k.l}y^m, \end{matrix}$

其中

$\begin{matrix} T_{jkl}=\frac13(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)-\frac{2}{n+1}{E}_{jk.l;m}y^m. \end{matrix}$

证 由(2.9)式, 可得

$\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=\dot{B}^{~i}_{j~kl}-\frac{2}{n+1}(H_{jk}\delta^i_{~l}+H_{jl}\delta^i_{~k}+H_{kl}\delta^i_{~j}+{E}_{jk.l;m}y^my^i), \end{matrix}$

其中

$\begin{matrix} H_{jk}=\dot{E}_{jk} \end{matrix}$

是喷射 $G$ 的 $H$-曲率. 使用 Bianchi 恒等式[11], 可得

$\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}=R^{~i}_{j~ml.k}+{B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}$

(3.15)式作用 $y^{m}$, 可得

$\begin{matrix} \dot{B}^{~i}_{j~kl}=R^{~i}_{j~ml.k}y^m, \end{matrix}$

在这里我们用了

${B}^{~i}_{j~mk;l}y^m=({B}^{~i}_{j~mk}y^m)_{;l}=0.$

因为 $R^i_{~l}$ 关于 $y$ 二次正齐次, 所以

$R^i_{~l.j.k.m}y^m=0.$

将(2.4)和(3.10)式代入(3.16)式, 可得

$\begin{matrix}\nonumber \dot{B}^{~i}_{j~kl}&=&\frac13(\frac{\partial^3R^i_{~m}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}-\frac{\partial^3R^i_{~l}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^m})y^m\\ \nonumber &=&\frac13[\frac{\partial^3(R\delta^i_{~m}-\tau_my^i+W^i_{~m})}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}y^m-0]\\ &=&\frac13[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i-(\tau_{m.j.l}\delta^i_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^i_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^i_{~j})y^m+W^i_{~m.j.l.k}y^m]. \end{matrix}$

这样我们有

$\begin{matrix} \nonumber H_{jk}&=&\dot{E}_{jk}=\frac12\dot{B}^l_{j~kl}\\ \nonumber &=&\frac16[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^l-(\tau_{m.j.l}\delta^l_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^l_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^l_{~j})y^m+W^l_{~m.j.l.k}y^m]\\ &=&-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m+\frac{1}{6}W^l_{~m.l.j.k}y^m, \end{matrix}$

其中我们应用了

$R_{.j.k.l}y^l=0, ~~~~~~~-\tau_{m.j.k.l}y^l=\tau_{m.j.k}.$

将(3.6)式代入(3.18)式, 可得

$\begin{matrix} H_{jk}=-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m. \end{matrix}$

将(3.17)和(3.19)式代入(3.13)式, 可得(3.11)式. 证毕.

由引理 3.1, 我们有以下推论.

推论3.1 所以的 $W$ -二次型喷射一定是 $GDW$ 喷射.

接下来我们证明反过来也是正确的. 首先假设

$\begin{matrix}W^i_{~m.j.k.l}y^m=0, \end{matrix}$

代入(3.11)式可得

$\dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i,$

也就是说喷射 $G$ 是 $GDW$ 喷射. 我们将证明反过来也是对的.

引理3.2$G$ 是 $GDW$ 喷射当且仅当(3.20)式成立.

证 如果 $G$ 是 $GDW$ 喷射, 则由定义存在张量 $\tilde T_{jkl}$ 使得

$\begin{matrix} \dot{D}^i_{j~kl}=\tilde T_{jkl}y^i. \end{matrix}$

将上式子代入(3.11)式, 可得

$\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})y^i. \end{matrix}$

(3.22)式两边对 $y^n$ 求导, 可得

$\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^i+3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})\delta_n^i. \end{matrix}$

将指标 $i$ 和 $n$ 缩并, 并且将(3.4)和(3.6)式代入(3.23)式, 可得

$\begin{matrix} 0+0=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^n+3n(\tilde T_{jkl}-T_{jkl}). \end{matrix}$

由于 $T_{jkl}$ 和 $\tilde T_{jkl}$ 关于 $y$ 负一次齐次, 可得

$\begin{matrix} T_{jkl.n}y^n=-T_{jkl},~~~~~~ \tilde T_{jkl.n}y^n=-\tilde T_{jkl}. \end{matrix}$

将(3.25)式代入(3.24)式, 可得

$\begin{matrix} 3(n-1)(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})=0, \end{matrix}$

所以 $\tilde T_{jkl}=T_{jkl}$. 将上式代入(3.22)式, 可得(3.20)式. 证毕.

显然, $W$ -二次型喷射一定满足(3.20)式. 有趣的是反过来也对.

引理3.3 一个喷射 $G$ 是 $W$ -二次型喷射当且仅当(3.20)式成立.

证 将(3.20)式代入(3.9)式, 可得

$\begin{matrix}W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}=0, \end{matrix}$

(3.27)式两边对 $y^m$ 求导, 可得

$\begin{matrix}W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=0. \end{matrix}$

所以

$\begin{matrix} \nonumber W^i_{~m.j.k.l}&=&W^i_{~m.j.k.l}+(W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m})\\ \nonumber &=&(W^i_{~m.j.k.l}+W^i_{~j.k.m.l}+W^i_{~k.j.m.l})+W^i_{~l.j.k.m}\\ &=&W^i_{~l.j.k.m}, \end{matrix}$

即 $W^i_{~m.j.k.l}$ 关于四个下指标全对称. 由(3.28)式, 可得

$\begin{matrix}\nonumber W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=3W^i_{~m.j.k.l}=0, \end{matrix}$

即 $G$ 是 $W$ -二次型喷射. 证毕.

注3.1 在一般情况下, 张量 $T^i_{~j}$ 满足 $T^i_{~m.j.k.l}y^m=0$ 并不能推出 $T^i_{~m.j.k.l}=0$. 例如 $T^i_{~j}=(F^2y^i)_{.j},$ 其中 $F$ 是芬斯勒度量. 则

$T^i_{~m.j.k.l}y^m=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}y^m=0.$

然而,

$T^i_{~m.j.k.l}=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}=0$

当且仅当 $F$ 是黎曼度量. 令人惊奇的是对 Weyl 曲率 $W^i_{~k}$ 这个结果是成立的. 原因是 Weyl 曲率 $W^i_{~k}$ 满足

$W^i_{~k}y^k=0.$

实际上, 如果张量 $T^i_{~j}$ 满足

$T^i_{~k}y^k=0, $

则 $T^i_{~m.j.k.l}=0$ 当且仅当 $T^i_{~m.j.k.l}y^m=0$.

由引理 3.2 和引理3.3, 我们马上可以得到定理 1.1.

4 $\boldsymbol R$ -二次型喷射

在这节中我们研究$R$ -二次型喷射.

引理4.1 一个喷射 $G$ 是 $R$ -二次型喷射当且仅当以下成立

(1) $G$ 是 Ricci 二次型;

(2) $G$ 是 $W$-二次型喷射或者 $GDW$-喷射;

(3) $H_{jk}=0.$

证 ($\Rightarrow$) 因为 $G$ 是 $R$ -二次型喷射, 通过(2.6)式,(2.10)和(2.11)式, 可得 $Ric$, $W^i_{~k}$ 是二次型, $\tau_j$ 是一形式且

$\tau_{j.k.l}=0.$

将它代入(3.19)式, 可得

$H_{jk}=0.$

($\Leftarrow$) 由(3.10)式, 我们只需证明 $\tau_j$ 是一形式. 因为 $H_{jk}=0$, 由(3.19)式, 可得

$\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}$

(3.3)式两边对 $y^j$ 和$y^k$求导, 可得

$\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}. \end{matrix}$

将(4.1)式代入(4.2)式, 可得

$\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}$

(4.3)式两边对 $y^l$求导, 可得

$\begin{matrix} R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.j.l}=0. \end{matrix}$

由于 $G$ 是 Ricci 二次型, 可得 $R_{.j.k.l}=0$. 代入到(4.4)式, 可得

$\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}. \end{matrix}$

由(4.5)式, 可得

$\tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}=-\tau_{k.l.j}=\tau_{l.k.j},$

则 $\tau_{j.k.l}$ 关于三个下指标全对称. 由(4.5)式, 可得

$\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}$

也就是 $\tau_j$ 是一形式. 证毕.

显然, 如果 $G$ 是 $R$ -二次型喷射, 由(3.17)式和引理 4.1, 可得 $\dot{B}^{~i}_{j~kl}=0$. 接下来我们证明反过来也是对的.

引理4.2 一个喷射 $G$ 满足(1.4)式当且仅当以下成立

(1) $G$ 是 Ricci 二次型;

(2) $G$ 是 $W$-二次型喷射或者 $GDW$-喷射;

(3) $H_{jk}=0.$

证 将(1.4)式代入(3.18)式, 可得 $H_{jk}=0$. 由(3.19)式我们有

$\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}$

代入到(3.17)式, 可得

$\begin{matrix} (R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i+W^i_{~m.j.l.k}y^m=0, \end{matrix}$

(4.8)式两边对 $y^n$求导, 可得

$\begin{matrix} [R_{.j.k.l.n}-(\tau_{m.j.k.l}y^m)_{.n}]y^i+(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)\delta^i_n+W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}$

将指标 $i$ 和 $n$ 缩并, 可得

$\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)+W^n_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^n_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}$

将(3.4)和(3.6)式代入(4.10)式, 可得

$\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)=0, \end{matrix}$

即

$\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{m.j.k.l}y^m. \end{matrix}$

代入到(4.8)式, 可得

$W^i_{~m.j.l.k}y^m=0.$

由引理 3.2 和 3.3, 我们有 $G$ 是 $W$-二次型喷射或者 $GDW$-喷射.

(3.3)式对 $y^j$, $y^k$ 和 $y^l$求导, 可得

$\begin{equation} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}, \end{equation}$
$\begin{equation} \tau_{m.j.k.l}y^m=R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.l.j}-\tau_{l.j.k}, \end{equation}$

将(4.7)式代入(4.13)式, 可得

$\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}$

将(4.12)式代入(4.14)式, 可得

$\begin{matrix} \tau_{j.k.l}+\tau_{k.l.j}+\tau_{l.j.k}=0. \end{matrix}$

(4.15)式对 $y^l$ 求导, 可得

$\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{j.k.l}+\tau_{k.j.l}. \end{matrix}$

将(4.16)式代入(4.17)式, 可得

$\begin{matrix} R_{.j.k.l}=-\tau_{l.j.k}, \end{matrix}$

即 $\tau_{j.k.l}$ 关于三个下指标全对称. 由(4.16)式, 可得

$\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}$

代入到(4.18)式, 可得

$\begin{matrix} R_{.j.k.l}=0, \end{matrix}$

即 $G$ 是 Ricci 二次型喷射. 证毕.

由引理4.1和引理4.2, 可推出定理 1.2.

注4.1 由 Bianchi 恒等式(3.15), 可得 $G$ 是 $R$ -二次型喷射当且仅当

$\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}={B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}$

即 $B^{~i}_{j~kl;m}$ 关于三个下指标全对称. 由定理 1.2, 可得(4.21)式成立当且仅当(1.4)式成立.

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