1 引言
微分流形 M 上的一个喷射 G 是定义在 T M ∖ { 0 } 的向量常, 在切丛 T M 的局部坐标 ( x i , y i ) 下, 可以表示为
其中 G i = G i ( x , y ) 关于 y 正二次齐次.
Douglas 张量 D i j k l 和 Weyl 张量 W i k 是两个非常重要的射影不变量. 如果一个喷射的 Douglas 张量为 0, 则称其为 Douglas 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 众所周知, 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率 [11 ] .
最近, Li 和 Mo[7 ] 研究了满足以下方程的喷射 G
其中 T j k l 是某些张量, D i j k l ; m 是 D i j k l 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 G D W 喷射, 这个定义比 G D W 更广些[1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 G D W 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 G D W 喷射. 最近, 许多几何学家[7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 G D W 喷射.
定理1.1 一个喷射 G 是 G D W 喷射当且仅当它的 Weyl 张量是二次型.
显然, Douglas 喷射是 G D W 喷射, 由定理 1.1 可得如下推论.
推论1.1 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.
由于 Douglas 喷射 G i 与 Berwald 喷射 ˜ G i 射影相关, 在局部坐标系 ( x i , y i ) 下, 我们有
G i = ˜ G i + P y i ,
其中 P = P ( x , y ) 关于 y 正一次齐次. 因为 Weyl 张量是射影不变量, 所以
W i k = ˜ W i k ,
其中 W i k 和 ˜ W i k 分别是喷射 G i 和 ˜ G i 的 Weyl 张量. 所以 W i k 是二次型的, 即 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.
显然, Weyl 喷射的 Weyl 张量是二次型的, 由定理 1.1, 我们可以得到 Li 和 Mo 的结果.
推论1.2[7 ] Weyl 喷射一定是 G D W 喷射.
如果喷射 G 是由一个芬斯勒度量 F , 我们可得如下推论.
推论1.3 芬斯勒度量 F 是 G D W 度量当且仅当 F 的 Weyl 张量是二次型.
给定一个喷射, 它的黎曼曲率张量 R i k 定义如下
R i k := 2 ∂ G i ∂ x k − ∂ G i ∂ x j ∂ y k y j + 2 G j ∂ G i ∂ y j ∂ y k − ∂ G i ∂ y j ∂ G j ∂ y k .
(1.3)
如果 R i k 是二次型的, 我们称喷射 G 是 R 二次型喷射. 显然, R 二次型喷射 G 一定是 Weyl 二次型喷射. 由定理 1.1, G 一定是G D W 喷射[9 ] . 许多几何学家研究了R 二次型喷射, 得到了很多有趣的结果[3 ,4 ,9 ,11 ] . 在本文中, 我们得到如下定理.
定理1.2 一个喷射 G 是 R 二次型喷射当且仅当
其中 ˙ B i j k l := B i j k l ; m y m , B i j k l ; m 是 B i j k l 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数.
注1.1 在文献[11 ]中, Shen 证明了R 二次型喷射一定满足方程(1.4).
2 准备工作
微分流形 M 上的一个喷射 G 是定义在 T M ∖ { 0 } 的向量场, 在切丛 T M 的局部坐标 ( x i , y i ) 下, 可以表示为
其中 G i = G i ( x , y ) 关于 y 正二次齐次.
N i j = ∂ G i ∂ y j , Γ i j k = ∂ 2 G i ∂ y j ∂ y k ,
ω i = d x i , ω n + i = d y i + N i j d x j , ω i j = Γ i j k d x k .
Ω i j = d ω i j − ω k j ∧ ω i k ,
Ω i j = 1 2 R i j k l ω k ∧ ω l − B i j k l ω k ∧ ω n + l ,
这里, R i j k l 和 B i j k l 分别是黎曼曲率张量和 Berwald 曲率张量[10 ] . 局部上,
B i j k l = ∂ 3 G i ∂ y j ∂ y k ∂ y l ,
(2.2)
E j k := 1 2 B l j k l = 1 2 ∂ 3 G l ∂ y j ∂ y k ∂ y l .
(2.3)
R i k := y j R i j k l y l .
关于黎曼曲率张量, 我们有以下重要的恒等式[11 ] :
R i j k l = 1 3 ( ∂ R i k ∂ y j ∂ y l − ∂ R i l ∂ y j ∂ y k ) .
(2.4)
因此, 我们也称 R i k 是黎曼曲率张量. 局部上
R i k = 2 ∂ G i ∂ x k − ∂ G i ∂ x j ∂ y k y j + 2 G j ∂ G i ∂ y j ∂ y k − ∂ G i ∂ y j ∂ G j ∂ y k ,
(2.5)
则我们称喷射 G 具有标量旗曲率, 其中 R = R ( x , y ) = R i c n − 1 , τ k = τ k ( x , y ) 满足 τ k y k = R . 如果黎曼曲率张量 R i k 关于 y 是二次型的, 则我们称喷射 G 是 R -二次型喷射, 等价于 R i j k l 只是 x 的函数.
D i j k l := ∂ 3 ∂ y j ∂ y k ∂ y l ( G i − 1 n + 1 ∂ G m ∂ y m y i ) .
(2.8)
将(2.2)和(2.3)式代入(2.8)式, 可得
D i j k l = B i j k l − 2 n + 1 ( E j k δ i l + E j l δ i k + E k l δ i j + E j k . l y i ) ,
(2.9)
其中 E j k . l = ∂ E j k ∂ y l . 在本文中, ".i" 表示关于 y^i 的垂直导数.
\begin{matrix}A^i_{~k}=R^i_{~k}-R\delta^i_{~k}, \end{matrix}
(2.10)
\begin{matrix}W^i_{~k}=A^i_{~k}+\tau_ky^i, \end{matrix}
(2.11)
\begin{matrix} \tau_k=-\frac{1}{n+1}A^m_{~k.m}=-\frac{1}{n+1}\sum^n_{m=1}\frac{\partial A^m_{~k}}{\partial y^m}. \end{matrix}
(2.12)
如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量关于 y 是二次型, 则称其为 Weyl 二次型喷射.
引理2.1 [4 ] 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率.
\begin{matrix}\chi_k=-\frac 1 6[2R^m_{~k.m}+R^m_{~m.k}], \end{matrix}
(2.13)
\begin{matrix}\tau_k=\frac{3}{n+1}\chi_k+\frac{R_{.k}}{2},~~~~\chi_ky^k=0. \end{matrix}
(2.14)
3 \boldsymbol GDW 喷射和\boldsymbol W -二次型喷射
流形上的任意一个芬斯勒度量可以诱导一个喷射. 反过来是不对的, 存在无穷多个不能由芬斯勒度量诱导的喷射. 因此, 芬斯勒度量空间可以看成特殊的喷射空间[6 ] . Sakaguchi 证明了所有的 Weyl (具有标量旗曲率)芬斯勒度量一定是 GDW 度量[10 ] . Li 和 Mo 推广了 Sakaguchi 的结果, 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射. 在这一节, 我们将要证明定理 1.1.
记 G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i} 为流形 M 上的一个喷射. 由(2.10)式, 可得
\begin{matrix}A^m_{~m}&=R^m_{~m}-nR =(n-1)R-nR=-R, \end{matrix}
(3.1)
\begin{matrix}A^i_{~m}y^m&=R^i_{~m}y^m-R\delta^i_{~m}y^m=0-Ry^i=-Ry^i.\end{matrix}
(3.2)
\begin{matrix}\tau_my^m=\frac{3}{n+1}\chi_my^m+\frac{R_{.m}}{2}y^m=0+R=R. \end{matrix}
(3.3)
将(3.1)-(3.3)式代入(2.11)式, 得
\begin{matrix} W^m_{~m}=A^m_{~m}+\tau_my^m=-R+R=0, \end{matrix}
(3.4)
\begin{matrix} W^i_{~m}y^m=A^i_{~m}y^m+\tau_my^my^i=-Ry^i+Ry^i=0, \end{matrix}
(3.5)
\begin{matrix} W^m_{~j.m}=A^m_{~j.m}+(\tau_jy^m)_{.m}=-(n+1)\tau_j+(\tau_{j.m}y^m+n\tau_j)=0. \end{matrix}
(3.6)
方程 W^i_{~m}y^m=0 两边对 y^j 求导, 可得
\begin{matrix} W^i_{~m.j}y^m=-W^i_{~j}. \end{matrix}
(3.7)
\begin{matrix} W^i_{~m.j.k}y^m=-(W^i_{~j.k}+W^i_{~k.j}). \end{matrix}
(3.8)
\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=-(W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}). \end{matrix}
(3.9)
\begin{matrix}R^i_{~k}=R\delta^i_{~k}+A^i_{~k}=R\delta^i_{~k}-\tau_ky^i+W^i_{~k}. \end{matrix}
(3.10)
\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i+\frac13W^i_{~m.j.k.l}y^m, \end{matrix}
(3.11)
\begin{matrix} T_{jkl}=\frac13(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)-\frac{2}{n+1}{E}_{jk.l;m}y^m. \end{matrix}
(3.12)
\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=\dot{B}^{~i}_{j~kl}-\frac{2}{n+1}(H_{jk}\delta^i_{~l}+H_{jl}\delta^i_{~k}+H_{kl}\delta^i_{~j}+{E}_{jk.l;m}y^my^i), \end{matrix}
(3.13)
\begin{matrix} H_{jk}=\dot{E}_{jk} \end{matrix}
(3.14)
是喷射 G 的 H - 曲率. 使用 Bianchi 恒等式[11 ] , 可得
\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}=R^{~i}_{j~ml.k}+{B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}
(3.15)
\begin{matrix} \dot{B}^{~i}_{j~kl}=R^{~i}_{j~ml.k}y^m, \end{matrix}
(3.16)
{B}^{~i}_{j~mk;l}y^m=({B}^{~i}_{j~mk}y^m)_{;l}=0.
因为 R^i_{~l} 关于 y 二次正齐次, 所以
R^i_{~l.j.k.m}y^m=0.
将(2.4)和(3.10)式代入(3.16)式, 可得
\begin{matrix}\nonumber \dot{B}^{~i}_{j~kl}&=&\frac13(\frac{\partial^3R^i_{~m}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}-\frac{\partial^3R^i_{~l}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^m})y^m\\ \nonumber &=&\frac13[\frac{\partial^3(R\delta^i_{~m}-\tau_my^i+W^i_{~m})}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}y^m-0]\\ &=&\frac13[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i-(\tau_{m.j.l}\delta^i_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^i_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^i_{~j})y^m+W^i_{~m.j.l.k}y^m]. \end{matrix}
(3.17)
\begin{matrix} \nonumber H_{jk}&=&\dot{E}_{jk}=\frac12\dot{B}^l_{j~kl}\\ \nonumber &=&\frac16[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^l-(\tau_{m.j.l}\delta^l_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^l_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^l_{~j})y^m+W^l_{~m.j.l.k}y^m]\\ &=&-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m+\frac{1}{6}W^l_{~m.l.j.k}y^m, \end{matrix}
(3.18)
R_{.j.k.l}y^l=0, ~~~~~~~-\tau_{m.j.k.l}y^l=\tau_{m.j.k}.
\begin{matrix} H_{jk}=-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m. \end{matrix}
(3.19)
将(3.17)和(3.19)式代入(3.13)式, 可得(3.11)式. 证毕.
推论3.1 所以的 W -二次型喷射一定是 GDW 喷射.
\begin{matrix}W^i_{~m.j.k.l}y^m=0, \end{matrix}
(3.20)
\dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i,
也就是说喷射 G 是 GDW 喷射. 我们将证明反过来也是对的.
引理3.2 G 是 GDW 喷射当且仅当(3.20)式成立.
证 如果 G 是 GDW 喷射, 则由定义存在张量 \tilde T_{jkl} 使得
\begin{matrix} \dot{D}^i_{j~kl}=\tilde T_{jkl}y^i. \end{matrix}
(3.21)
\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})y^i. \end{matrix}
(3.22)
\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^i+3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})\delta_n^i. \end{matrix}
(3.23)
将指标 i 和 n 缩并, 并且将(3.4)和(3.6)式代入(3.23)式, 可得
\begin{matrix} 0+0=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^n+3n(\tilde T_{jkl}-T_{jkl}). \end{matrix}
(3.24)
由于 T_{jkl} 和 \tilde T_{jkl} 关于 y 负一次齐次, 可得
\begin{matrix} T_{jkl.n}y^n=-T_{jkl},~~~~~~ \tilde T_{jkl.n}y^n=-\tilde T_{jkl}. \end{matrix}
(3.25)
\begin{matrix} 3(n-1)(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})=0, \end{matrix}
(3.26)
所以 \tilde T_{jkl}=T_{jkl} . 将上式代入(3.22)式, 可得(3.20)式. 证毕.
显然, W -二次型喷射一定满足(3.20)式. 有趣的是反过来也对.
引理3.3 一个喷射 G 是 W -二次型喷射当且仅当(3.20)式成立.
\begin{matrix}W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}=0, \end{matrix}
(3.27)
\begin{matrix}W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=0. \end{matrix}
(3.28)
\begin{matrix} \nonumber W^i_{~m.j.k.l}&=&W^i_{~m.j.k.l}+(W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m})\\ \nonumber &=&(W^i_{~m.j.k.l}+W^i_{~j.k.m.l}+W^i_{~k.j.m.l})+W^i_{~l.j.k.m}\\ &=&W^i_{~l.j.k.m}, \end{matrix}
(3.29)
即 W^i_{~m.j.k.l} 关于四个下指标全对称. 由(3.28)式, 可得
\begin{matrix}\nonumber W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=3W^i_{~m.j.k.l}=0, \end{matrix}
注3.1 在一般情况下, 张量 T^i_{~j} 满足 T^i_{~m.j.k.l}y^m=0 并不能推出 T^i_{~m.j.k.l}=0 . 例如 T^i_{~j}=(F^2y^i)_{.j}, 其中 F 是芬斯勒度量. 则
T^i_{~m.j.k.l}y^m=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}y^m=0.
T^i_{~m.j.k.l}=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}=0
当且仅当 F 是黎曼度量. 令人惊奇的是对 Weyl 曲率 W^i_{~k} 这个结果是成立的. 原因是 Weyl 曲率 W^i_{~k} 满足
W^i_{~k}y^k=0.
T^i_{~k}y^k=0,
则 T^i_{~m.j.k.l}=0 当且仅当 T^i_{~m.j.k.l}y^m=0 .
由引理 3.2 和引理3.3, 我们马上可以得到定理 1.1.
4 \boldsymbol R -二次型喷射
引理4.1 一个喷射 G 是 R -二次型喷射当且仅当以下成立
(2) G 是 W - 二次型喷射或者 GDW - 喷射;
证 (\Rightarrow ) 因为 G 是 R -二次型喷射, 通过(2.6)式,(2.10)和(2.11)式, 可得 Ric , W^i_{~k} 是二次型, \tau_j 是一形式且
\tau_{j.k.l}=0.
H_{jk}=0.
(\Leftarrow ) 由(3.10)式, 我们只需证明 \tau_j 是一形式. 因为 H_{jk}=0 , 由(3.19)式, 可得
\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}
(4.1)
\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}. \end{matrix}
(4.2)
\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}
(4.3)
\begin{matrix} R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.j.l}=0. \end{matrix}
(4.4)
由于 G 是 Ricci 二次型, 可得 R_{.j.k.l}=0 . 代入到(4.4)式, 可得
\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}. \end{matrix}
(4.5)
\tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}=-\tau_{k.l.j}=\tau_{l.k.j},
则 \tau_{j.k.l} 关于三个下指标全对称. 由(4.5)式, 可得
\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}
(4.6)
显然, 如果 G 是 R -二次型喷射, 由(3.17)式和引理 4.1, 可得 \dot{B}^{~i}_{j~kl}=0 . 接下来我们证明反过来也是对的.
引理4.2 一个喷射 G 满足(1.4)式当且仅当以下成立
(2) G 是 W - 二次型喷射或者 GDW - 喷射;
证 将(1.4)式代入(3.18)式, 可得 H_{jk}=0 . 由(3.19)式我们有
\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}
(4.7)
\begin{matrix} (R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i+W^i_{~m.j.l.k}y^m=0, \end{matrix}
(4.8)
\begin{matrix} [R_{.j.k.l.n}-(\tau_{m.j.k.l}y^m)_{.n}]y^i+(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)\delta^i_n+W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}
(4.9)
\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)+W^n_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^n_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}
(4.10)
将(3.4)和(3.6)式代入(4.10)式, 可得
\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)=0, \end{matrix}
(4.11)
\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{m.j.k.l}y^m. \end{matrix}
(4.12)
W^i_{~m.j.l.k}y^m=0.
由引理 3.2 和 3.3, 我们有 G 是 W - 二次型喷射或者 GDW - 喷射.
(3.3)式对 y^j , y^k 和 y^l 求导, 可得
\begin{equation} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}, \end{equation}
(4.13)
\begin{equation} \tau_{m.j.k.l}y^m=R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.l.j}-\tau_{l.j.k}, \end{equation}
(4.14)
\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}
(4.15)
\begin{matrix} \tau_{j.k.l}+\tau_{k.l.j}+\tau_{l.j.k}=0. \end{matrix}
(4.16)
\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{j.k.l}+\tau_{k.j.l}. \end{matrix}
(4.17)
\begin{matrix} R_{.j.k.l}=-\tau_{l.j.k}, \end{matrix}
(4.18)
即 \tau_{j.k.l} 关于三个下指标全对称. 由(4.16)式, 可得
\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}
(4.19)
\begin{matrix} R_{.j.k.l}=0, \end{matrix}
(4.20)
注4.1 由 Bianchi 恒等式(3.15), 可得 G 是 R -二次型喷射当且仅当
\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}={B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}
(4.21)
即 B^{~i}_{j~kl;m} 关于三个下指标全对称. 由定理 1.2, 可得(4.21)式成立当且仅当(1.4)式成立.
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2021
... 最近, Li 和 Mo[7 ] 研究了满足以下方程的喷射 G ...
... 其中 T_{jkl} 是某些张量, D^{~~i}_{j~kl;m} 是 D^{~i}_{j~kl} 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 GDW 喷射, 这个定义比 GDW 更广些[1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 GDW 喷射. 最近, 许多几何学家[7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 GDW 喷射. ...
... 推论1.2[7 ] Weyl 喷射一定是 GDW 喷射. ...
On a projective class of Finsler metrics with orthogonal invariance
1
2017
... 其中 T_{jkl} 是某些张量, D^{~~i}_{j~kl;m} 是 D^{~i}_{j~kl} 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 GDW 喷射, 这个定义比 GDW 更广些[1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 GDW 喷射. 最近, 许多几何学家[7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 GDW 喷射. ...
Finsler metrics of scalar flag curvature with special non-Riemannian curvature properties
2
2008
... 如果 R^i_{~k} 是二次型的, 我们称喷射 G 是 R 二次型喷射. 显然, R 二次型喷射 G 一定是 Weyl 二次型喷射. 由定理 1.1, G 一定是GDW 喷射[9 ] . 许多几何学家研究了R 二次型喷射, 得到了很多有趣的结果[3 ,4 ,9 ,11 ] . 在本文中, 我们得到如下定理. ...
... ,9 ,11 ]. 在本文中, 我们得到如下定理. ...
On Finsler spaces of scalar curvature
4
1982
... 其中 T_{jkl} 是某些张量, D^{~~i}_{j~kl;m} 是 D^{~i}_{j~kl} 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 GDW 喷射, 这个定义比 GDW 更广些[1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 GDW 喷射. 最近, 许多几何学家[7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 GDW 喷射. ...
... ,10 ,12 -13 ]]研究了 GDW 喷射. ...
... 这里, R^{~i}_{j~kl} 和 B^{~i}_{j~kl} 分别是黎曼曲率张量和 Berwald 曲率张量[10 ] . 局部上, ...
... 流形上的任意一个芬斯勒度量可以诱导一个喷射. 反过来是不对的, 存在无穷多个不能由芬斯勒度量诱导的喷射. 因此, 芬斯勒度量空间可以看成特殊的喷射空间[6 ] . Sakaguchi 证明了所有的 Weyl (具有标量旗曲率)芬斯勒度量一定是 GDW 度量[10 ] . Li 和 Mo 推广了 Sakaguchi 的结果, 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射. 在这一节, 我们将要证明定理 1.1. ...
Diferential Geometry of Spray and Finsler Spaces
5
2001
... Douglas 张量 D^{~i}_{j~kl} 和 Weyl 张量 W^i_{~k} 是两个非常重要的射影不变量. 如果一个喷射的 Douglas 张量为 0, 则称其为 Douglas 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 众所周知, 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率 [11 ] . ...
... 如果 R^i_{~k} 是二次型的, 我们称喷射 G 是 R 二次型喷射. 显然, R 二次型喷射 G 一定是 Weyl 二次型喷射. 由定理 1.1, G 一定是GDW 喷射[9 ] . 许多几何学家研究了R 二次型喷射, 得到了很多有趣的结果[3 ,4 ,9 ,11 ] . 在本文中, 我们得到如下定理. ...
... 注1.1 在文献[11 ]中, Shen 证明了R 二次型喷射一定满足方程(1.4). ...
... 关于黎曼曲率张量, 我们有以下重要的恒等式[11 ] : ...
... 是喷射 G 的 H - 曲率. 使用 Bianchi 恒等式[11 ] , 可得 ...
On generalized Douglas-Weyl(\alpha, \beta) -metrics
1
2015
... 其中 T_{jkl} 是某些张量, D^{~~i}_{j~kl;m} 是 D^{~i}_{j~kl} 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 GDW 喷射, 这个定义比 GDW 更广些[1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 GDW 喷射. 最近, 许多几何学家[7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 GDW 喷射. ...
Some classes of sprays in projective spray geometry
1
2011
... 其中 T_{jkl} 是某些张量, D^{~~i}_{j~kl;m} 是 D^{~i}_{j~kl} 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 GDW 喷射, 这个定义比 GDW 更广些[1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 GDW 喷射. 最近, 许多几何学家[7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 GDW 喷射. ...