1 引言
微分流形 $M$ $G$ $TM\setminus\{0\}$ $TM$ $(x^i, y^i)$
(1.1) $\begin{matrix}G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i}, \end{matrix}$
其中 $G^i = G^i(x, y)$ $y$
Douglas 张量 $D^{~i}_{j~kl}$ $W^i_{~k}$ [11 ] .
最近, Li 和 Mo[7 ] 研究了满足以下方程的喷射 $G$
(1.2) $\begin{matrix} D^{~i}_{j~kl;m}y^m=T_{jkl}y^i, \end{matrix}$
其中 $T_{jkl}$ $D^{~~i}_{j~kl;m}$ $D^{~i}_{j~kl}$ $G$ $GDW$ $GDW$ [1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$ [10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 $GDW$ [7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 $GDW$
定理1.1 一个喷射 $G$ $GDW$
显然, Douglas 喷射是 $GDW$
推论1.1 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.
由于 Douglas 喷射 $G^i$ $\tilde G^i$ $(x^i, y^i)$
$G^i=\tilde G^i+Py^i,$
其中 $P=P(x,y)$ $y$
$W^i_k=\tilde W^i_k,$
其中 $W^i_k$ $\tilde W^i_k$ $G^i$ $\tilde G^i$ $W^i_k$
显然, Weyl 喷射的 Weyl 张量是二次型的, 由定理 1.1, 我们可以得到 Li 和 Mo 的结果.
推论1.2[7 ] Weyl 喷射一定是 $GDW$
如果喷射 $G$ $F$
推论1.3 芬斯勒度量 $F$ $GDW$ $F$
给定一个喷射, 它的黎曼曲率张量 $R^i_{~k}$
(1.3) $\begin{matrix}R^i{}_k:=2\frac{\partial G^i}{\partial x^k}-\frac{\partial G^i}{\partial x^j\partial y^k}y^j+2G^j\frac{\partial G^i}{\partial y^j\partial y^k}-\frac{\partial G^i}{\partial y^j}\frac{\partial{G^j}}{\partial{y^k}}. \end{matrix}$
如果 $R^i_{~k}$ $G$ $R$ $R$ $G$ $G$ $GDW$ [9 ] . 许多几何学家研究了$R$ [3 ,4 ,9 ,11 ] . 在本文中, 我们得到如下定理.
定理1.2 一个喷射 $G$ $R$
(1.4) $\begin{matrix} \dot{B}^{~i}_{j~kl}=0, \end{matrix}$
其中 $\dot{B}^{~i}_{j~kl}:=B^{~i}_{j~kl;m}y^m$ $B^{~~i}_{j~kl;m}$ $B^{~i}_{j~kl}$ $G$
注1.1 在文献[11 ]中, Shen 证明了$R$
2 准备工作
微分流形 $M$ $G$ $TM\setminus\{0\}$ $TM$ $(x^i, y^i)$
(2.1) $\begin{matrix}G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i}, \end{matrix}$
其中 $G^i = G^i(x, y)$ $y$
$N^i{}_j=\frac{\partial G^i}{\partial y^j},~~~~\Gamma^i_{jk}=\frac{\partial^2 G^i}{\partial y^j\partial y^k}, $
$\omega^i=dx^i,~~~~\omega^{n+i}=dy^i+N^i{}_jdx^j,~~~~\omega^i_j=~\Gamma^i_{jk}dx^k.$
$\Omega^i_j=d\omega^i_j-\omega^k_j\wedge \omega^i_k,$
$\Omega^i_j=\frac12R^{~i}_{j~kl}\omega^k\wedge \omega^l-B^{~i}_{j~kl}\omega^k\wedge\omega^{n+l},$
这里, $R^{~i}_{j~kl}$ $B^{~i}_{j~kl}$ [10 ] . 局部上,
(2.2) $\begin{matrix}B^{~i}_{j~kl}=\frac{\partial^3{G^i}}{\partial{y^j}\partial{y^k}\partial{y^l}}, \end{matrix}$
(2.3) $\begin{matrix} E_{jk}:=\frac12B^{~l}_{j~kl}=\frac12\frac{\partial^3{G^l}}{\partial{y^j}\partial{y^k}\partial{y^l}}. \end{matrix}$
$R^i{}_k:=y^jR^{~i}_{j~kl}y^l.$
关于黎曼曲率张量, 我们有以下重要的恒等式[11 ] :
(2.4) $\begin{matrix}R^{~i}_{j~kl}=\frac{1}{3}\big(\frac{\partial R^i_{~k}}{\partial y^j\partial y^l}-\frac{\partial R^i_{~l}}{\partial y^j\partial y^k}\big). \end{matrix}$
因此, 我们也称 $R^i{}_k$
(2.5) $\begin{matrix}R^i{}_k=2\frac{\partial G^i}{\partial x^k}-\frac{\partial G^i}{\partial x^j\partial y^k}y^j+2G^j\frac{\partial G^i}{\partial y^j\partial y^k}-\frac{\partial G^i}{\partial y^j}\frac{\partial{G^j}}{\partial{y^k}}, \end{matrix}$
(2.6) $\begin{matrix}Ric:=R^j{}_j. \end{matrix}$
(2.7) $\begin{matrix}R^i{}_k=R\delta^i{}_k-\tau_ky^i, \end{matrix}$
则我们称喷射 $G$ $R=R(x,y)=\frac{Ric}{n-1}$ $\tau_k=\tau_k(x,y)$ $\tau_ky^k=R$ . 如果黎曼曲率张量 $R^i{}_k$ $y$ $G$ $R$ $R^{~i}_{j~kl}$ $x$
(2.8) $\begin{matrix} D^{~i}_{j~kl}:=\frac{\partial^3}{\partial{y^j}\partial{y^k}\partial{y^l}}(G^i-\frac{1}{n+1}\frac{\partial{G^m}}{\partial{y^m}}y^i)~. \end{matrix}$
将(2.2)和(2.3)式代入(2.8)式, 可得
(2.9) $\begin{matrix}D^{~i}_{j~kl}=B^{~i}_{j~kl}-\frac{2}{n+1}(E_{jk}\delta^i_{~l}+E_{jl}\delta^i_{~k}+E_{kl}\delta^i_{~j}+E_{jk.l}y^i), \end{matrix}$
其中 $E_{jk.l}=\frac{\partial E_{jk}}{\partial y^l}$ . 在本文中, $".i"$ $y^i$
(2.10) $\begin{matrix}A^i_{~k}=R^i_{~k}-R\delta^i_{~k}, \end{matrix}$
(2.11) $ \begin{matrix}W^i_{~k}=A^i_{~k}+\tau_ky^i, \end{matrix}$
(2.12) $\begin{matrix} \tau_k=-\frac{1}{n+1}A^m_{~k.m}=-\frac{1}{n+1}\sum^n_{m=1}\frac{\partial A^m_{~k}}{\partial y^m}. \end{matrix}$
如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量关于 $y$
引理2.1 [4 ] 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率.
除了这些张量外, 我们还有 $\chi$ [5 ]
(2.13) $\begin{matrix}\chi_k=-\frac 1 6[2R^m_{~k.m}+R^m_{~m.k}], \end{matrix}$
(2.14) $ \begin{matrix}\tau_k=\frac{3}{n+1}\chi_k+\frac{R_{.k}}{2},~~~~\chi_ky^k=0. \end{matrix}$
3 $\boldsymbol GDW$ $\boldsymbol W$
流形上的任意一个芬斯勒度量可以诱导一个喷射. 反过来是不对的, 存在无穷多个不能由芬斯勒度量诱导的喷射. 因此, 芬斯勒度量空间可以看成特殊的喷射空间[6 ] . Sakaguchi 证明了所有的 Weyl (具有标量旗曲率)芬斯勒度量一定是 $GDW$ [10 ] . Li 和 Mo 推广了 Sakaguchi 的结果, 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$
记 $G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i}$ $M$
(3.1) $\begin{matrix}A^m_{~m}&=R^m_{~m}-nR =(n-1)R-nR=-R, \end{matrix}$
(3.2) $\begin{matrix}A^i_{~m}y^m&=R^i_{~m}y^m-R\delta^i_{~m}y^m=0-Ry^i=-Ry^i.\end{matrix}$
(3.3) $\begin{matrix}\tau_my^m=\frac{3}{n+1}\chi_my^m+\frac{R_{.m}}{2}y^m=0+R=R. \end{matrix}$
将(3.1)-(3.3)式代入(2.11)式, 得
(3.4) $\begin{matrix} W^m_{~m}=A^m_{~m}+\tau_my^m=-R+R=0, \end{matrix}$
(3.5) $\begin{matrix} W^i_{~m}y^m=A^i_{~m}y^m+\tau_my^my^i=-Ry^i+Ry^i=0, \end{matrix}$
(3.6) $\begin{matrix} W^m_{~j.m}=A^m_{~j.m}+(\tau_jy^m)_{.m}=-(n+1)\tau_j+(\tau_{j.m}y^m+n\tau_j)=0. \end{matrix}$
方程 $W^i_{~m}y^m=0$ $y^j$
(3.7) $\begin{matrix} W^i_{~m.j}y^m=-W^i_{~j}. \end{matrix}$
(3.8) $\begin{matrix} W^i_{~m.j.k}y^m=-(W^i_{~j.k}+W^i_{~k.j}). \end{matrix}$
(3.9) $\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=-(W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}). \end{matrix}$
(3.10) $\begin{matrix}R^i_{~k}=R\delta^i_{~k}+A^i_{~k}=R\delta^i_{~k}-\tau_ky^i+W^i_{~k}. \end{matrix}$
接下来计算 $\dot{D}^i_{j~kl}$ .
(3.11) $\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i+\frac13W^i_{~m.j.k.l}y^m, \end{matrix}$
(3.12) $\begin{matrix} T_{jkl}=\frac13(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)-\frac{2}{n+1}{E}_{jk.l;m}y^m. \end{matrix}$
(3.13) $\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=\dot{B}^{~i}_{j~kl}-\frac{2}{n+1}(H_{jk}\delta^i_{~l}+H_{jl}\delta^i_{~k}+H_{kl}\delta^i_{~j}+{E}_{jk.l;m}y^my^i), \end{matrix}$
(3.14) $\begin{matrix} H_{jk}=\dot{E}_{jk} \end{matrix}$
是喷射 $G$ $H$ - 曲率. 使用 Bianchi 恒等式[11 ] , 可得
(3.15) $\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}=R^{~i}_{j~ml.k}+{B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}$
(3.16) $\begin{matrix} \dot{B}^{~i}_{j~kl}=R^{~i}_{j~ml.k}y^m, \end{matrix}$
${B}^{~i}_{j~mk;l}y^m=({B}^{~i}_{j~mk}y^m)_{;l}=0.$
因为 $R^i_{~l}$ $y$
$R^i_{~l.j.k.m}y^m=0.$
将(2.4)和(3.10)式代入(3.16)式, 可得
(3.17) $\begin{matrix}\nonumber \dot{B}^{~i}_{j~kl}&=&\frac13(\frac{\partial^3R^i_{~m}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}-\frac{\partial^3R^i_{~l}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^m})y^m\\ \nonumber &=&\frac13[\frac{\partial^3(R\delta^i_{~m}-\tau_my^i+W^i_{~m})}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}y^m-0]\\ &=&\frac13[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i-(\tau_{m.j.l}\delta^i_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^i_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^i_{~j})y^m+W^i_{~m.j.l.k}y^m]. \end{matrix}$
(3.18) $\begin{matrix} \nonumber H_{jk}&=&\dot{E}_{jk}=\frac12\dot{B}^l_{j~kl}\\ \nonumber &=&\frac16[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^l-(\tau_{m.j.l}\delta^l_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^l_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^l_{~j})y^m+W^l_{~m.j.l.k}y^m]\\ &=&-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m+\frac{1}{6}W^l_{~m.l.j.k}y^m, \end{matrix}$
$R_{.j.k.l}y^l=0, ~~~~~~~-\tau_{m.j.k.l}y^l=\tau_{m.j.k}.$
(3.19) $\begin{matrix} H_{jk}=-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m. \end{matrix}$
将(3.17)和(3.19)式代入(3.13)式, 可得(3.11)式. 证毕.
推论3.1 所以的 $W$ $GDW$
(3.20) $\begin{matrix}W^i_{~m.j.k.l}y^m=0, \end{matrix}$
$\dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i,$
也就是说喷射 $G$ $GDW$
引理3.2 $G$ $GDW$
证 如果 $G$ $GDW$ $\tilde T_{jkl}$
(3.21) $\begin{matrix} \dot{D}^i_{j~kl}=\tilde T_{jkl}y^i. \end{matrix}$
(3.22) $\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})y^i. \end{matrix}$
(3.23) $\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^i+3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})\delta_n^i. \end{matrix}$
将指标 $i$ $n$
(3.24) $\begin{matrix} 0+0=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^n+3n(\tilde T_{jkl}-T_{jkl}). \end{matrix}$
由于 $T_{jkl}$ $\tilde T_{jkl}$ $y$
(3.25) $\begin{matrix} T_{jkl.n}y^n=-T_{jkl},~~~~~~ \tilde T_{jkl.n}y^n=-\tilde T_{jkl}. \end{matrix}$
(3.26) $\begin{matrix} 3(n-1)(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})=0, \end{matrix}$
所以 $\tilde T_{jkl}=T_{jkl}$ . 将上式代入(3.22)式, 可得(3.20)式. 证毕.
显然, $W$
引理3.3 一个喷射 $G$ $W$
(3.27) $\begin{matrix}W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}=0, \end{matrix}$
(3.28) $\begin{matrix}W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=0. \end{matrix}$
(3.29) $\begin{matrix} \nonumber W^i_{~m.j.k.l}&=&W^i_{~m.j.k.l}+(W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m})\\ \nonumber &=&(W^i_{~m.j.k.l}+W^i_{~j.k.m.l}+W^i_{~k.j.m.l})+W^i_{~l.j.k.m}\\ &=&W^i_{~l.j.k.m}, \end{matrix}$
即 $W^i_{~m.j.k.l}$
$\begin{matrix}\nonumber W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=3W^i_{~m.j.k.l}=0, \end{matrix}$
注3.1 在一般情况下, 张量 $T^i_{~j}$ $T^i_{~m.j.k.l}y^m=0$ $T^i_{~m.j.k.l}=0$ . 例如 $T^i_{~j}=(F^2y^i)_{.j},$ $F$
$T^i_{~m.j.k.l}y^m=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}y^m=0.$
$T^i_{~m.j.k.l}=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}=0$
当且仅当 $F$ $W^i_{~k}$ $W^i_{~k}$
$W^i_{~k}y^k=0.$
$T^i_{~k}y^k=0, $
则 $T^i_{~m.j.k.l}=0$ $T^i_{~m.j.k.l}y^m=0$ .
由引理 3.2 和引理3.3, 我们马上可以得到定理 1.1.
4 $\boldsymbol R$
引理4.1 一个喷射 $G$ $R$
(2) $G$ $W$ - 二次型喷射或者 $GDW$ - 喷射;
证 ($\Rightarrow$ ) 因为 $G$ $R$ $Ric$ $W^i_{~k}$ $\tau_j$
$\tau_{j.k.l}=0.$
$H_{jk}=0.$
($\Leftarrow$ ) 由(3.10)式, 我们只需证明 $\tau_j$ $H_{jk}=0$
(4.1) $\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}$
(3.3)式两边对 $y^j$ $y^k$
(4.2) $\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}. \end{matrix}$
(4.3) $\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}$
(4.4) $\begin{matrix} R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.j.l}=0. \end{matrix}$
由于 $G$ $R_{.j.k.l}=0$ . 代入到(4.4)式, 可得
(4.5) $\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}. \end{matrix}$
$\tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}=-\tau_{k.l.j}=\tau_{l.k.j},$
则 $\tau_{j.k.l}$
(4.6) $\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}$
显然, 如果 $G$ $R$ $\dot{B}^{~i}_{j~kl}=0$ . 接下来我们证明反过来也是对的.
引理4.2 一个喷射 $G$
(2) $G$ $W$ - 二次型喷射或者 $GDW$ - 喷射;
证 将(1.4)式代入(3.18)式, 可得 $H_{jk}=0$ . 由(3.19)式我们有
(4.7) $\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}$
(4.8) $\begin{matrix} (R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i+W^i_{~m.j.l.k}y^m=0, \end{matrix}$
(4.9) $\begin{matrix} [R_{.j.k.l.n}-(\tau_{m.j.k.l}y^m)_{.n}]y^i+(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)\delta^i_n+W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}$
(4.10) $\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)+W^n_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^n_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}$
将(3.4)和(3.6)式代入(4.10)式, 可得
(4.11) $\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)=0, \end{matrix}$
(4.12) $\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{m.j.k.l}y^m. \end{matrix}$
$W^i_{~m.j.l.k}y^m=0.$
由引理 3.2 和 3.3, 我们有 $G$ $W$ - 二次型喷射或者 $GDW$ - 喷射.
(3.3)式对 $y^j$ $y^k$ $y^l$
(4.13) $\begin{equation} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}, \end{equation}$
(4.14) $\begin{equation} \tau_{m.j.k.l}y^m=R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.l.j}-\tau_{l.j.k}, \end{equation}$
(4.15) $\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}$
(4.16) $\begin{matrix} \tau_{j.k.l}+\tau_{k.l.j}+\tau_{l.j.k}=0. \end{matrix}$
(4.17) $\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{j.k.l}+\tau_{k.j.l}. \end{matrix}$
(4.18) $\begin{matrix} R_{.j.k.l}=-\tau_{l.j.k}, \end{matrix}$
即 $\tau_{j.k.l}$
(4.19) $\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}$
(4.20) $\begin{matrix} R_{.j.k.l}=0, \end{matrix}$
注4.1 由 Bianchi 恒等式(3.15), 可得 $G$ $R$
(4.21) $\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}={B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}$
即 $B^{~i}_{j~kl;m}$
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... ,10 ,12 -13 ]]研究了 $GDW$
... 这里, $R^{~i}_{j~kl}$ $B^{~i}_{j~kl}$ [10 ] . 局部上, ...
... 流形上的任意一个芬斯勒度量可以诱导一个喷射. 反过来是不对的, 存在无穷多个不能由芬斯勒度量诱导的喷射. 因此, 芬斯勒度量空间可以看成特殊的喷射空间[6 ] . Sakaguchi 证明了所有的 Weyl (具有标量旗曲率)芬斯勒度量一定是 $GDW$ [10 ] . Li 和 Mo 推广了 Sakaguchi 的结果, 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$
Diferential Geometry of Spray and Finsler Spaces
5
2001
... Douglas 张量 $D^{~i}_{j~kl}$ $W^i_{~k}$ [11 ] . ...
... 如果 $R^i_{~k}$ $G$ $R$ $R$ $G$ $G$ $GDW$ [9 ] . 许多几何学家研究了$R$ [3 ,4 ,9 ,11 ] . 在本文中, 我们得到如下定理. ...
... 注1.1 在文献[11 ]中, Shen 证明了$R$
... 关于黎曼曲率张量, 我们有以下重要的恒等式[11 ] : ...
... 是喷射 $G$ $H$ - 曲率. 使用 Bianchi 恒等式[11 ] , 可得 ...
On generalized Douglas-Weyl$(\alpha, \beta)$ -metrics
1
2015
... 其中 $T_{jkl}$ $D^{~~i}_{j~kl;m}$ $D^{~i}_{j~kl}$ $G$ $GDW$ $GDW$ [1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$ [10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 $GDW$ [7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 $GDW$
Some classes of sprays in projective spray geometry
1
2011
... 其中 $T_{jkl}$ $D^{~~i}_{j~kl;m}$ $D^{~i}_{j~kl}$ $G$ $GDW$ $GDW$ [1 ] . Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 $GDW$ [10 ] . 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 $GDW$ [7 ,8 ,10 ,12 -13 ] ]研究了 $GDW$
