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数学物理学报, 2023, 43(1): 43-52

关于广义 Douglas-Weyl 喷射的一个注记

郑大小,

安徽师范大学数学与统计学院 安徽芜湖 241002

A Note on Generalized Douglas-Weyl Spray

Zheng Daxiao,

Department of Mathematics and Statistics Science, Anhui Normal University, Anhui Wuhu 241002

收稿日期: 2022-03-7   修回日期: 2022-07-22  

基金资助: 安徽省自然科学青年基金(2008085QA05)

Received: 2022-03-7   Revised: 2022-07-22  

Fund supported: The AHNSF(2008085QA05)

作者简介 About authors

郑大小,E-mail:2015046@ahnu.edu.cn

摘要

该文研究广义 Douglas-Weyl 喷射. 证明了一个喷射 G 是广义 Douglas-Weyl 喷射当且仅当它的 Weyl 张量是二次型的. 由此得到一个推论, 一个芬斯勒度量是广义Douglas-Weyl 度量当且仅当它的 Weyl 张量是二次型的. 进一步, 该文研究具有二次型的黎曼曲率张量的喷射, 证明了一个喷射具有二次型的黎曼曲率张量当且仅当 ˙B ij kl=0.

关键词: 喷射; Weyl张量; Douglas张量

Abstract

In this paper, we study Generalized Douglas-Weyl spray. We show that a spray G is a Generalized Douglas-Weyl spray if and only if it is W-quadratic. As a corollary, we show that a Finsler metric F is a Generalized Douglas-Weyl metric if and only if it is W-quadratic. Furthermore, we consider R-quadratic spray and prove that a spray G is R-quadratic if and only if ˙B ij kl=0.

Keywords: Spray; Weyl curvature; Douglas Tensor

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本文引用格式

郑大小. 关于广义 Douglas-Weyl 喷射的一个注记[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 43-52

Zheng Daxiao. A Note on Generalized Douglas-Weyl Spray[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 43-52

1 引言

微分流形 M 上的一个喷射 G 是定义在 TM{0} 的向量常, 在切丛 TM 的局部坐标 (xi,yi) 下, 可以表示为

G=yixiGiyi,
(1.1)

其中 Gi=Gi(x,y) 关于 y 正二次齐次.

Douglas 张量 D ij kl 和 Weyl 张量 Wi k 是两个非常重要的射影不变量. 如果一个喷射的 Douglas 张量为 0, 则称其为 Douglas 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 众所周知, 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率 [11].

最近, Li 和 Mo[7]研究了满足以下方程的喷射 G

D ij kl;mym=Tjklyi,
(1.2)

其中 Tjkl 是某些张量, D  ij kl;mD ij kl 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数. 满足式子(1.2)的喷射称为广义 Douglas-Weyl 喷射, 简称为 GDW 喷射, 这个定义比 GDW 更广些[1]. Li 和 Mo 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射, 推广了 Sakaguchi 的结果[10]. 显然, 所有的 Douglas 喷射一定是 GDW 喷射. 最近, 许多几何学家[7,8,10,12-13]]研究了 GDW 喷射.

在本文中, 我们得到以下结果.

定理1.1 一个喷射 GGDW 喷射当且仅当它的 Weyl 张量是二次型.

显然, Douglas 喷射是 GDW 喷射, 由定理 1.1 可得如下推论.

推论1.1 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.

由于 Douglas 喷射 Gi 与 Berwald 喷射 ˜Gi 射影相关, 在局部坐标系 (xi,yi) 下, 我们有

Gi=˜Gi+Pyi,

其中 P=P(x,y) 关于 y 正一次齐次. 因为 Weyl 张量是射影不变量, 所以

Wik=˜Wik,

其中 Wik˜Wik 分别是喷射 Gi˜Gi 的 Weyl 张量. 所以 Wik 是二次型的, 即 Douglas 喷射的 Weyl 张量是二次型.

显然, Weyl 喷射的 Weyl 张量是二次型的, 由定理 1.1, 我们可以得到 Li 和 Mo 的结果.

推论1.2[7] Weyl 喷射一定是 GDW 喷射.

如果喷射 G 是由一个芬斯勒度量 F, 我们可得如下推论.

推论1.3 芬斯勒度量 FGDW 度量当且仅当 F 的 Weyl 张量是二次型.

给定一个喷射, 它的黎曼曲率张量 Ri k 定义如下

Rik:=2GixkGixjykyj+2GjGiyjykGiyjGjyk.
(1.3)

如果 Ri k 是二次型的, 我们称喷射 GR 二次型喷射. 显然, R 二次型喷射 G 一定是 Weyl 二次型喷射. 由定理 1.1, G 一定是GDW 喷射[9]. 许多几何学家研究了R 二次型喷射, 得到了很多有趣的结果[3,4,9,11]. 在本文中, 我们得到如下定理.

定理1.2 一个喷射 GR 二次型喷射当且仅当

˙B ij kl=0,
(1.4)

其中 ˙B ij kl:=B ij kl;mym, B  ij kl;mB ij kl 关于喷射 G 的 Berwald 联络的水平导数.

注1.1 在文献[11]中, Shen 证明了R 二次型喷射一定满足方程(1.4).

2 准备工作

微分流形 M 上的一个喷射 G 是定义在 TM{0} 的向量场, 在切丛 TM 的局部坐标 (xi,yi) 下, 可以表示为

G=yixiGiyi,
(2.1)

其中 Gi=Gi(x,y) 关于 y 正二次齐次.

Nij=Giyj,    Γijk=2Giyjyk,
ωi=dxi,    ωn+i=dyi+Nijdxj,    ωij= Γijkdxk.

其中

Ωij=dωijωkjωik,

可以表示为

Ωij=12R ij klωkωlB ij klωkωn+l,

这里, R ij klB ij kl 分别是黎曼曲率张量和 Berwald 曲率张量[10]. 局部上,

B ij kl=3Giyjykyl,
(2.2)

平均 Berwald 曲率可表示为

Ejk:=12B lj kl=123Glyjykyl.
(2.3)

黎曼曲率关键的部分是

Rik:=yjR ij klyl.

关于黎曼曲率张量, 我们有以下重要的恒等式[11]:

R ij kl=13(Ri kyjylRi lyjyk).
(2.4)

因此, 我们也称 Rik 是黎曼曲率张量. 局部上

Rik=2GixkGixjykyj+2GjGiyjykGiyjGjyk,
(2.5)

Rik 的迹称为 Ricci 曲率,

Ric:=Rjj.
(2.6)

如果一个喷射 G 满足

Rik=Rδikτkyi,
(2.7)

则我们称喷射 G 具有标量旗曲率, 其中 R=R(x,y)=Ricn1, τk=τk(x,y) 满足 τkyk=R. 如果黎曼曲率张量 Rik 关于 y 是二次型的, 则我们称喷射 GR -二次型喷射, 等价于 R ij kl 只是 x 的函数.

Douglas 张量的定义如下[2]

D ij kl:=3yjykyl(Gi1n+1Gmymyi) .
(2.8)

将(2.2)和(2.3)式代入(2.8)式, 可得

D ij kl=B ij kl2n+1(Ejkδi l+Ejlδi k+Eklδi j+Ejk.lyi),
(2.9)

其中 Ejk.l=Ejkyl. 在本文中, ".i" 表示关于 y^i 的垂直导数.

\begin{matrix}A^i_{~k}=R^i_{~k}-R\delta^i_{~k}, \end{matrix}
(2.10)

则 Weyl 张量定义如下

\begin{matrix}W^i_{~k}=A^i_{~k}+\tau_ky^i, \end{matrix}
(2.11)

其中

\begin{matrix} \tau_k=-\frac{1}{n+1}A^m_{~k.m}=-\frac{1}{n+1}\sum^n_{m=1}\frac{\partial A^m_{~k}}{\partial y^m}. \end{matrix}
(2.12)

如果一个喷射的 Weyl 张量为 0, 则称其为 Weyl 喷射. 如果一个喷射的 Weyl 张量关于 y 是二次型, 则称其为 Weyl 二次型喷射.

引理2.1[4] 一个喷射是 Weyl 喷射当且仅当它具有标量旗曲率.

除了这些张量外, 我们还有 \chi 张量[5]

\begin{matrix}\chi_k=-\frac 1 6[2R^m_{~k.m}+R^m_{~m.k}], \end{matrix}
(2.13)

直接计算得

\begin{matrix}\tau_k=\frac{3}{n+1}\chi_k+\frac{R_{.k}}{2},~~~~\chi_ky^k=0. \end{matrix}
(2.14)

3 \boldsymbol GDW 喷射和\boldsymbol W -二次型喷射

流形上的任意一个芬斯勒度量可以诱导一个喷射. 反过来是不对的, 存在无穷多个不能由芬斯勒度量诱导的喷射. 因此, 芬斯勒度量空间可以看成特殊的喷射空间[6]. Sakaguchi 证明了所有的 Weyl (具有标量旗曲率)芬斯勒度量一定是 GDW 度量[10]. Li 和 Mo 推广了 Sakaguchi 的结果, 证明了 Weyl 喷射一定是 GDW 喷射. 在这一节, 我们将要证明定理 1.1.

G=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}-G^i\frac{\partial}{\partial y^i} 为流形 M 上的一个喷射. 由(2.10)式, 可得

\begin{matrix}A^m_{~m}&=R^m_{~m}-nR =(n-1)R-nR=-R, \end{matrix}
(3.1)

\begin{matrix}A^i_{~m}y^m&=R^i_{~m}y^m-R\delta^i_{~m}y^m=0-Ry^i=-Ry^i.\end{matrix}
(3.2)

(2.14)式作用 y^k, 我们有

\begin{matrix}\tau_my^m=\frac{3}{n+1}\chi_my^m+\frac{R_{.m}}{2}y^m=0+R=R. \end{matrix}
(3.3)

将(3.1)-(3.3)式代入(2.11)式, 得

\begin{matrix} W^m_{~m}=A^m_{~m}+\tau_my^m=-R+R=0, \end{matrix}
(3.4)
\begin{matrix} W^i_{~m}y^m=A^i_{~m}y^m+\tau_my^my^i=-Ry^i+Ry^i=0, \end{matrix}
(3.5)
\begin{matrix} W^m_{~j.m}=A^m_{~j.m}+(\tau_jy^m)_{.m}=-(n+1)\tau_j+(\tau_{j.m}y^m+n\tau_j)=0. \end{matrix}
(3.6)

方程 W^i_{~m}y^m=0 两边对 y^j 求导, 可得

\begin{matrix} W^i_{~m.j}y^m=-W^i_{~j}. \end{matrix}
(3.7)

方程(3.7)两边对 y^k 求导, 可得

\begin{matrix} W^i_{~m.j.k}y^m=-(W^i_{~j.k}+W^i_{~k.j}). \end{matrix}
(3.8)

方程(3.8)两边对 y^l 求导, 可得

\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=-(W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}). \end{matrix}
(3.9)

将(2.11)式代入(2.10)式, 可得

\begin{matrix}R^i_{~k}=R\delta^i_{~k}+A^i_{~k}=R\delta^i_{~k}-\tau_ky^i+W^i_{~k}. \end{matrix}
(3.10)

接下来计算 \dot{D}^i_{j~kl}.

引理3.1

\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i+\frac13W^i_{~m.j.k.l}y^m, \end{matrix}
(3.11)

其中

\begin{matrix} T_{jkl}=\frac13(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)-\frac{2}{n+1}{E}_{jk.l;m}y^m. \end{matrix}
(3.12)

由(2.9)式, 可得

\begin{matrix} \dot{D}^{~i}_{j~kl}=\dot{B}^{~i}_{j~kl}-\frac{2}{n+1}(H_{jk}\delta^i_{~l}+H_{jl}\delta^i_{~k}+H_{kl}\delta^i_{~j}+{E}_{jk.l;m}y^my^i), \end{matrix}
(3.13)

其中

\begin{matrix} H_{jk}=\dot{E}_{jk} \end{matrix}
(3.14)

是喷射 GH-曲率. 使用 Bianchi 恒等式[11], 可得

\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}=R^{~i}_{j~ml.k}+{B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}
(3.15)

(3.15)式作用 y^{m}, 可得

\begin{matrix} \dot{B}^{~i}_{j~kl}=R^{~i}_{j~ml.k}y^m, \end{matrix}
(3.16)

在这里我们用了

{B}^{~i}_{j~mk;l}y^m=({B}^{~i}_{j~mk}y^m)_{;l}=0.

因为 R^i_{~l} 关于 y 二次正齐次, 所以

R^i_{~l.j.k.m}y^m=0.

将(2.4)和(3.10)式代入(3.16)式, 可得

\begin{matrix}\nonumber \dot{B}^{~i}_{j~kl}&=&\frac13(\frac{\partial^3R^i_{~m}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}-\frac{\partial^3R^i_{~l}}{\partial y^j\partial y^k\partial y^m})y^m\\ \nonumber &=&\frac13[\frac{\partial^3(R\delta^i_{~m}-\tau_my^i+W^i_{~m})}{\partial y^j\partial y^k\partial y^l}y^m-0]\\ &=&\frac13[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i-(\tau_{m.j.l}\delta^i_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^i_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^i_{~j})y^m+W^i_{~m.j.l.k}y^m]. \end{matrix}
(3.17)

这样我们有

\begin{matrix} \nonumber H_{jk}&=&\dot{E}_{jk}=\frac12\dot{B}^l_{j~kl}\\ \nonumber &=&\frac16[(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^l-(\tau_{m.j.l}\delta^l_{~k}+\tau_{m.j.k}\delta^l_{~l}+\tau_{m.l.k}\delta^l_{~j})y^m+W^l_{~m.j.l.k}y^m]\\ &=&-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m+\frac{1}{6}W^l_{~m.l.j.k}y^m, \end{matrix}
(3.18)

其中我们应用了

R_{.j.k.l}y^l=0, ~~~~~~~-\tau_{m.j.k.l}y^l=\tau_{m.j.k}.

将(3.6)式代入(3.18)式, 可得

\begin{matrix} H_{jk}=-\frac{n+1}{6}\tau_{m.j.k}y^m. \end{matrix}
(3.19)

将(3.17)和(3.19)式代入(3.13)式, 可得(3.11)式. 证毕.

由引理 3.1, 我们有以下推论.

推论3.1 所以的 W -二次型喷射一定是 GDW 喷射.

接下来我们证明反过来也是正确的. 首先假设

\begin{matrix}W^i_{~m.j.k.l}y^m=0, \end{matrix}
(3.20)

代入(3.11)式可得

\dot{D}^{~i}_{j~kl}=T_{jkl}y^i,

也就是说喷射 GGDW 喷射. 我们将证明反过来也是对的.

引理3.2GGDW 喷射当且仅当(3.20)式成立.

如果 GGDW 喷射, 则由定义存在张量 \tilde T_{jkl} 使得

\begin{matrix} \dot{D}^i_{j~kl}=\tilde T_{jkl}y^i. \end{matrix}
(3.21)

将上式子代入(3.11)式, 可得

\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l}y^m=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})y^i. \end{matrix}
(3.22)

(3.22)式两边对 y^n 求导, 可得

\begin{matrix} W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^i+3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})\delta_n^i. \end{matrix}
(3.23)

将指标 in 缩并, 并且将(3.4)和(3.6)式代入(3.23)式, 可得

\begin{matrix} 0+0=3(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})_{.n}y^n+3n(\tilde T_{jkl}-T_{jkl}). \end{matrix}
(3.24)

由于 T_{jkl}\tilde T_{jkl} 关于 y 负一次齐次, 可得

\begin{matrix} T_{jkl.n}y^n=-T_{jkl},~~~~~~ \tilde T_{jkl.n}y^n=-\tilde T_{jkl}. \end{matrix}
(3.25)

将(3.25)式代入(3.24)式, 可得

\begin{matrix} 3(n-1)(\tilde T_{jkl}-T_{jkl})=0, \end{matrix}
(3.26)

所以 \tilde T_{jkl}=T_{jkl}. 将上式代入(3.22)式, 可得(3.20)式. 证毕.

显然, W -二次型喷射一定满足(3.20)式. 有趣的是反过来也对.

引理3.3 一个喷射 GW -二次型喷射当且仅当(3.20)式成立.

将(3.20)式代入(3.9)式, 可得

\begin{matrix}W^i_{~j.k.l}+W^i_{~k.j.l}+W^i_{~l.j.k}=0, \end{matrix}
(3.27)

(3.27)式两边对 y^m 求导, 可得

\begin{matrix}W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=0. \end{matrix}
(3.28)

所以

\begin{matrix} \nonumber W^i_{~m.j.k.l}&=&W^i_{~m.j.k.l}+(W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m})\\ \nonumber &=&(W^i_{~m.j.k.l}+W^i_{~j.k.m.l}+W^i_{~k.j.m.l})+W^i_{~l.j.k.m}\\ &=&W^i_{~l.j.k.m}, \end{matrix}
(3.29)

W^i_{~m.j.k.l} 关于四个下指标全对称. 由(3.28)式, 可得

\begin{matrix}\nonumber W^i_{~j.k.l.m}+W^i_{~k.j.l.m}+W^i_{~l.j.k.m}=3W^i_{~m.j.k.l}=0, \end{matrix}

GW -二次型喷射. 证毕.

注3.1 在一般情况下, 张量 T^i_{~j} 满足 T^i_{~m.j.k.l}y^m=0 并不能推出 T^i_{~m.j.k.l}=0. 例如 T^i_{~j}=(F^2y^i)_{.j}, 其中 F 是芬斯勒度量. 则

T^i_{~m.j.k.l}y^m=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}y^m=0.

然而,

T^i_{~m.j.k.l}=(F^2y^i)_{.m.j.k.l}=0

当且仅当 F 是黎曼度量. 令人惊奇的是对 Weyl 曲率 W^i_{~k} 这个结果是成立的. 原因是 Weyl 曲率 W^i_{~k} 满足

W^i_{~k}y^k=0.

实际上, 如果张量 T^i_{~j} 满足

T^i_{~k}y^k=0,

T^i_{~m.j.k.l}=0 当且仅当 T^i_{~m.j.k.l}y^m=0.

由引理 3.2 和引理3.3, 我们马上可以得到定理 1.1.

4 \boldsymbol R -二次型喷射

在这节中我们研究R -二次型喷射.

引理4.1 一个喷射 GR -二次型喷射当且仅当以下成立

(1) G 是 Ricci 二次型;

(2) GW-二次型喷射或者 GDW-喷射;

(3) H_{jk}=0.

(\Rightarrow) 因为 GR -二次型喷射, 通过(2.6)式,(2.10)和(2.11)式, 可得 Ric, W^i_{~k} 是二次型, \tau_j 是一形式且

\tau_{j.k.l}=0.

将它代入(3.19)式, 可得

H_{jk}=0.

(\Leftarrow) 由(3.10)式, 我们只需证明 \tau_j 是一形式. 因为 H_{jk}=0, 由(3.19)式, 可得

\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}
(4.1)

(3.3)式两边对 y^jy^k求导, 可得

\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}. \end{matrix}
(4.2)

将(4.1)式代入(4.2)式, 可得

\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}
(4.3)

(4.3)式两边对 y^l求导, 可得

\begin{matrix} R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.j.l}=0. \end{matrix}
(4.4)

由于 G 是 Ricci 二次型, 可得 R_{.j.k.l}=0. 代入到(4.4)式, 可得

\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}. \end{matrix}
(4.5)

由(4.5)式, 可得

\tau_{j.k.l}=-\tau_{k.j.l}=-\tau_{k.l.j}=\tau_{l.k.j},

\tau_{j.k.l} 关于三个下指标全对称. 由(4.5)式, 可得

\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}
(4.6)

也就是 \tau_j 是一形式. 证毕.

显然, 如果 GR -二次型喷射, 由(3.17)式和引理 4.1, 可得 \dot{B}^{~i}_{j~kl}=0. 接下来我们证明反过来也是对的.

引理4.2 一个喷射 G 满足(1.4)式当且仅当以下成立

(1) G 是 Ricci 二次型;

(2) GW-二次型喷射或者 GDW-喷射;

(3) H_{jk}=0.

将(1.4)式代入(3.18)式, 可得 H_{jk}=0. 由(3.19)式我们有

\begin{matrix} \tau_{m.j.k}y^m=0. \end{matrix}
(4.7)

代入到(3.17)式, 可得

\begin{matrix} (R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)y^i+W^i_{~m.j.l.k}y^m=0, \end{matrix}
(4.8)

(4.8)式两边对 y^n求导, 可得

\begin{matrix} [R_{.j.k.l.n}-(\tau_{m.j.k.l}y^m)_{.n}]y^i+(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)\delta^i_n+W^i_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^i_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}
(4.9)

将指标 in 缩并, 可得

\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)+W^n_{~m.j.k.l.n}y^m+ W^n_{~n.j.k.l}=0. \end{matrix}
(4.10)

将(3.4)和(3.6)式代入(4.10)式, 可得

\begin{matrix} (n-1)(R_{.j.k.l}-\tau_{m.j.k.l}y^m)=0, \end{matrix}
(4.11)

\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{m.j.k.l}y^m. \end{matrix}
(4.12)

代入到(4.8)式, 可得

W^i_{~m.j.l.k}y^m=0.

由引理 3.2 和 3.3, 我们有 GW-二次型喷射或者 GDW-喷射.

(3.3)式对 y^j, y^ky^l求导, 可得

\begin{equation} \tau_{m.j.k}y^m=R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}, \end{equation}
(4.13)
\begin{equation} \tau_{m.j.k.l}y^m=R_{.j.k.l}-\tau_{j.k.l}-\tau_{k.l.j}-\tau_{l.j.k}, \end{equation}
(4.14)

将(4.7)式代入(4.13)式, 可得

\begin{matrix} R_{.j.k}-\tau_{j.k}-\tau_{k.j}=0. \end{matrix}
(4.15)

将(4.12)式代入(4.14)式, 可得

\begin{matrix} \tau_{j.k.l}+\tau_{k.l.j}+\tau_{l.j.k}=0. \end{matrix}
(4.16)

(4.15)式对 y^l 求导, 可得

\begin{matrix} R_{.j.k.l}=\tau_{j.k.l}+\tau_{k.j.l}. \end{matrix}
(4.17)

将(4.16)式代入(4.17)式, 可得

\begin{matrix} R_{.j.k.l}=-\tau_{l.j.k}, \end{matrix}
(4.18)

\tau_{j.k.l} 关于三个下指标全对称. 由(4.16)式, 可得

\begin{matrix} \tau_{j.k.l}=0, \end{matrix}
(4.19)

代入到(4.18)式, 可得

\begin{matrix} R_{.j.k.l}=0, \end{matrix}
(4.20)

G 是 Ricci 二次型喷射. 证毕.

由引理4.1和引理4.2, 可推出定理 1.2.

注4.1 由 Bianchi 恒等式(3.15), 可得 GR -二次型喷射当且仅当

\begin{matrix} {B}^{~i}_{j~kl;m}={B}^{~i}_{j~mk;l}, \end{matrix}
(4.21)

B^{~i}_{j~kl;m} 关于三个下指标全对称. 由定理 1.2, 可得(4.21)式成立当且仅当(1.4)式成立.

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