1 介绍
设 $M$ $n$ $h_{ij}$ $M$ $S$ $H$
$ S=\sum\limits_{i,j}(h_{ij})^2,\quad{\boldsymbol H}=\frac{1}{n}\sum\limits_kh_{kk}e_{n+1},\quad H=\frac{1}{n}\sum\limits_kh_{kk}. $
$F(x)=\int_M(S-nH^2){\rm d}v,~~~~~~~ F_n(x)=\int_M(S-nH^2)^{\frac{n}{2}}{\rm d}v. $
显然, $F(x)$ $F_n(x)$ $M$ $F_n(x)$ $S^{n+1}(1)$ $n\geq 3$ $F(x)$
定义1.1 [1 ] 当 $x:M\to S^{n+1}$ $F(x)$ $M$
定义1.2 [2 ] 当 $x:M\to S^{n+1}$ $F_n(x)$ $M$
当 $n=2$ $n\geq3$ [2 ] .
记 $\Lambda^p(M)$ $p=0,1,2,\cdots, n$ $C^\infty$ $M$ $\Delta$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $M$ $Spec^p(M)$ $M$ [3 ] 和 Ikeda[4 ] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly[5 ] 证明了: 若常曲率空间中的极小子流形 $M$ $M'$ $M$ $M'$ [6 ] 证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱 $Spec^p(M)$ [7 ] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li[8 ] 和Yang等[9 ] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7 ,10 -11 ]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果.
定理1.1 设 $M$ $S^{n+1}$
$Spec^p(M)=Spec^p(W_{m,n-m}),\ p=0,1,2, $
且 $M$ $W_{m,n-m}$ $M=W_{m,n-m}$ .
定理1.2 设 $M$ $S^{n+1}$
$Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m}),\ p=0,1,2, $
且 $M$ $C_{m,n-m}$ $n=2m$ $M=C_{m,m}$ .
2 准备知识
设 $M$ $S^{n+1}$ $n$
$1\leq i,j,k,\cdot\cdot\cdot\leq n.$
设 $Rm$ $Rc$ $R$ $M$ $R_{ijkl}$ $ R_{ij}$ $Rm$ $Rc$
$R_{ijkl}=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}+h_{ik}h_{jl}-h_{il}h_{jk},$
(2.1) $\begin{equation} R_{ij}=(n-1)\delta_{ij}+hh_{ij}-\sum\limits_kh_{ik}h_{kj}, \end{equation} $
$R=n(n-1)+h^2-S,$
其中 $\delta_{ij}$ $h=\sum\limits_ih_{ii}=nH$ .
固定一点 $x_0\in M$ $\{e_1,\cdots,e_n\}$ $(h_{ij})$
$h_{ij}=\lambda_i\delta_{ij},$
(2.2) $R_{ijkl}=(1+\lambda_i\lambda_j)(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}),$
(2.3) $R_{ij}=[(n-1)+h\lambda_i-\lambda_i\lambda_j]\delta_{ij}.$
经过简单的计算可得 $Rm$ $Rc$
(2.4) $|Rm|^2=2S^2-2\sum\limits_i\lambda^4_i+4h^2-4S+2n(n-1),$
(2.5) $|Rc|^2=h^2S+\sum\limits_i\lambda_i^4-2h\sum\limits_i\lambda_i^3+2(n-1)h^2-2(n-1)S+n(n-1)^2,$
(2.6) $R^2=h^4+S^2-2h^2S+2n(n-1)h^2-2n(n-1)S+n^2(n-1)^2.$
由于 $M$ $p=0,1,2\cdots n$
$Spec^p(M)=\{0\leq\mu_{0,p}\leq\mu_{1,p}\leq\cdot\cdot\cdot\uparrow\infty\}.$
关于这些特征值有著名的 Minakshisundaram-Pleijel's渐进展开式
$\sum\limits_{i=0}^\infty {\rm e}^{-\mu_{i,p}t}\sim(4\pi t^{-n/2})(a_{0,p}+a_{1,p}t+a_{2,p}t^2+\cdot\cdot\cdot),~~~~(t\rightarrow0^+).$
Patodi[12 ] 计算了其中的系数$a_{k,p}$ $(k=0,1,2)$
(2.7) $a_{0,p}=\left(\begin{array}{c} n\\ p\\ \end{array}\right) vol(M),$
(2.8) $a_{1,p}=\left(\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right) -\left( \begin{array}{c} n-2 \\ p-1 \\ \end{array} \right) \right)\int_MR{\rm d}v,$
(2.9) $a_{2,p}=\int_M(c_1(n,p)R^2+c_2(n,p)|Rc|^2+c_3(n,p)|Rm|^2){\rm d}v,$
(2.10) $c_1(n,p)=\frac{1}{72}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)- \frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)+ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}n-4 \\p-2 \\ \end{array}\right);$
(2.11) $c_2(n,p)=-\frac{1}{180}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)+ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}n-4 \\p-2 \\ \end{array}\right);$
(2.12) $c_3(n,p)=\frac{1}{180}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)- \frac{1}{12}\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)+ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}n-4 \\p-2 \\ \end{array}\right),$
这里的 $\left(\begin{array}{c}l \\q \\ \end{array}\right)$ $l<0$ $q<0$ $l<q$
定理2.1 [1 ] 设 $M$ 是球面 $S^{n+1}$ 的 $n(n\geq2)$ 维紧致极值超曲面. 若 $S-\frac{h^2}{n}=n$, 则有 $n=2m$, $M$ 是Clifford环 $C_{m,m}=S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})\times S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})$.
定理2.2 [2 ] 设 $M$ 是球面 $S^{n+1}$ 的 $n(n\geq2)$ 维紧致Willmore超曲面. 若 $S-\frac{h^2}{n}=n$, 则 $M$ 是Willmore环面 $W_{m,n-m}=S^m(\sqrt{\frac{n-m}{n}})\times S^{n-m}(\sqrt{\frac{m}{n}})$.
事实上, Willmore环面 $W_{m,n-m}$ $k_1,k_2,\cdots k_n$
$k_1=\cdots=k_m=\sqrt{\frac{m}{n-m}},~~~~~k_{m+1}=\cdots=k_n=-\sqrt{\frac{n-m}{m}}.$
显见 $W_{m,n-m}$ $S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})\times S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})$ $2m$
3 Willmore超曲面
本节我们证明定理1.1. 先证 $n\geq 4$
设 $M$ $W_{m,n-m}$ ( 记为$M_0$ ) 的Minakshisundaram-Pleijel渐进展开式的系数分别记为$a_{k,p}$ $a^0_{k,p}$ . 令 $R_0,Rc_0$ $Rm_0$ $M_0$ $Spec^p(M)=Spec^p(M_0)$ $0\leq p\leq2$ $a_{k,p}=a_{k,p}^0$
(3.1) $\begin{equation}\label{eq:3.1} vol(M)=vol(M_0), \end{equation}$
(3.2) $\begin{equation}\label{eq:3.2} \int_MR{\rm d}v=\int_{M_0}R_0{\rm d}v_0, \end{equation}$
(3.3) $\begin{matrix} &&\displaystyle\int_M(c_1(n,p)R^2+c_2(n,p)|Rc|^2+c_3(n,p)|Rm|^2){\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}(c_1(n,p)R^2_0+c_2(n,p)|Rc_0|^2+c_3(n,p)|Rm_0|^2){\rm d}v_0. \end{matrix}$
这里的(3.2)式用到了 $\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)$ $p$ $S=S_0=$
(3.4) $\begin{equation} \int_M{\rm d}v=\int_{M_0}{\rm d}v_0 \end{equation}$
(3.5) $\begin{equation} \int_Mh^2{\rm d}v=\int_{M_0}h^2_0{\rm d}v_0.\end{equation}$
(3.6) $\begin{matrix} &&\int_M\bigg[c_1(n,p)h^4 +(c_2(n,p)-2c_3(n,p))\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^4-2c_2(n,p)h\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^3\bigg]{\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}\bigg[c_1(n,p)h_0^4 +(c_2(n,p)-2c_3(n,p))\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_0)_i^4-2c_2(n,p)h_0\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_0)_i^3\bigg]{\rm d}v_0, \end{matrix}$
$\int_Mh^4{\rm d}v-\int_{M_0}h^4_0{\rm d}v_0,\int_M\sum\lambda_i^4{\rm d}v-\int_{M_0}\sum(\lambda_0)_i^4{\rm d}v_0, \int_Mh\sum\lambda_i^3{\rm d}v-\int_{M_0}h_0\sum(\lambda_0)_i^3{\rm d}v_0 $
$\det\left( \begin{array} {ccc} c_1(n,0)& c_2(n,0)-2c_3(n,0) &-2c_2(n,0)\\ c_1(n,1)&c_2(n,1)-2c_3(n,1)&-2c_2(n,1)\\ c_1(n,2)&c_2(n,2)-2c_3(n,2)&-2c_2(n,2) \end{array} \right)=-\frac{1}{180}\neq0,$
(3.7) $\int_Mh^4{\rm d}v-\int_{M_0}h^4_0{\rm d}v_0=0,$
$\int_M\sum\lambda_i^4{\rm d}v-\int_{M_0}\sum(\lambda_0)_i^4{\rm d}v_0=0,$
$\int_Mh\sum\lambda_i^3{\rm d}v-\int_{M_0}h_0\sum(\lambda_0)_i^3{\rm d}v_0=0.$
利用Schwarz不等式, 以及(3.5)和(3.7)式可得
$ h^2_0vol(M_0)=\int_Mh^2{\rm d}v\leq (\int_Mh^4{\rm d}v)^\frac{1}{2}(\int_M{\rm d}v)^\frac{1}{2} = \displaystyle(\int_{M_0}h_0^4{\rm d}v_0)^\frac{1}{2}(volM_0)^\frac{1}{2}=h^2_0vol(M_0). $
因此Schwarz不等式取等号, 由等式成立的条件得
$h^2=h^2_0.$
再结合 $S=S_0$ $S-\frac{1}{n}h^2=n$ . 由定理2.2, 可得 $M=W_{m,n-m}$ .
(3.8) $3S^2-h^4+6\sum^3_{i=1}\lambda_i^4-12S\sum\limits_{i>j}^3\lambda_i\lambda_j=8h\sum\limits_{i=1}^3\lambda_i^3.$
(3.9) $\begin{array}[b]{lcl}&&\displaystyle\int_M((c_1(3,p)+\frac{1}{4}c_2(3,p))h^4- (\frac{1}{2}c_2(3,p)+2c_3(3,p))\sum\limits_{i=1}^3\lambda_i^4){\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}((c_1(3,p)+\frac{1}{4}c_2(3,p))h_0^4- (\frac{1}{2}c_2(3,p)+2c_3(3,p))\sum\limits_{i=1}^3(\lambda_0)_i^4){\rm d}v_0. \end{array}$
$ \det\left( \begin{array} {ccc} c_1(3,0)+\frac{1}{4}c_2(3,0) & \frac{1}{2}c_2(3,0)+2c_3(3,0) \\ c_1(3,1)+\frac{1}{4}c_2(3,1) & \frac{1}{2}c_2(3,1)+2c_3(3,1)) \end{array}\right)=\frac{38}{9\cdot (40)^2}\neq0,$
$\int_Mh^4{\rm d}v=\int_{M_0}h_0^4{\rm d}v_0.$
类似于 $n\geq4$ $h^2=h^2_0$ $M=W_{m,3-m}$ .
(3.10) $\lambda_1^4+\lambda_2^4=\frac{1}{2}S^2-\frac{1}{2}h^4+h^2S,$
(3.11) $h(\lambda_1^3+\lambda_2^3)=\frac{1}{2}S^2-\frac{1}{2}h^4+h^2S+S\lambda_1\lambda_2.$
(3.12) $\int_M\lambda_1\lambda_2{\rm d}v=\int_{M_0}(\lambda_0)_1(\lambda_0)_2{\rm d}v_0.$
把(3.5),(3.10),(3.11)和(3.12)式代入(3.6)式可得
(3.13) $ \displaystyle\int_M(c_1(2,p)+\frac{3}{2}c_2(2,p)-c_3(2,p))h^4{\rm d}v =\displaystyle\int_{M_0}(c_1(2,p)+\frac{3}{2}c_2(2,p)-c_3(2,p))h_0^4{\rm d}v_0. $
$c_1(2,p)+\frac{3}{2}c_2(2,p)-c_3(2,p)\neq0,$
$\int_Mh^4{\rm d}v=\int_{M_0}h_0^4{\rm d}v_0.$
同情形 $n\geq4$ $M=W_{1,1}$ .
4 极值超曲面
本节我们采用另外一种方法证明定理 1.2, 先引入以下引理.
引理4.1 设 $M$ $M_0$ $S^{n+p}$ $n(n\geq4)$ $Spec^p(M)=Spec^p(M_0)$ $(p=0,1,2)$
(4.1) $\int_MR{\rm d}v=\int_{M_0}R_0{\rm d}v_0,$
(4.2) $\int_MR^2{\rm d}v=\int_{M_0}R_0^2{\rm d}v_0,$
(4.3) $\int_M|Rc|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rc|_0^2{\rm d}v_0,$
(4.4) $\int_M|Rm|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rm|_0^2{\rm d}v_0.$
特别地, 当 $R_0=$ $R=R_0$ .
证 设$M$ $M_0$ $a_{k,p}$ $a^0_{k,p}$ . 既然 $Spec^p(M)=Spec^p(M_0)$ $0\leq p\leq2$ $a_{k,p}=a_{k,p}^0$ . 设 $R_0,Rc_0$ $Rm_0$ $M_0$
(4.5) $vol(M)=vol(M_0),$
(4.6) $\int_MR{\rm d}v=\int_{M_0}R_0{\rm d}v_0,$
(4.7) $\begin{array}[b]{lcl}&&\displaystyle\int_M(c_1(n,p)R^2+c_2(n,p)|Rc|^2+c_3(n,p)|Rm|^2){\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}(c_1(n,p)R^2_0+c_2(n,p)|Rc_0|^2+c_3(n,p)|Rm_0|^2){\rm d}v_0.\end{array} $
这里的(4.6)式用到了 $\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)$ $p$
(4.7)式对于$p=0,1,2$
$\int_MR^2{\rm d}v-\int_{M_0}R^2_0{\rm d}v_0,\int_M|Rc|^2{\rm d}v-\int_{M_0}|Rc_0|^2{\rm d}v_0,\int_M|Rm|^2{\rm d}v-\int_{M_0}|Rm_0|^2{\rm d}v_0 $
$ \det\left( \begin{array} {ccc} c_1(n,0)& c_2(n,0) &c_3(n,0)\\ c_1(n,1)&c_2(n,1)&c_3(n,1)\\ c_1(n,2)&c_2(n,2)&c_3(n,2) \end{array} \right)=\frac{1}{4\cdot180}\neq0.$
$\int_MR^2{\rm d}v=\int_{M_0}R_0^2{\rm d}v_0, \int_M|Rc|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rc|_0^2{\rm d}v_0, \int_M|Rm|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rm|_0^2{\rm d}v_0.$
若$R_0=$
$ R_0vol(M_0)=\int_MR{\rm d}v\leq\displaystyle(\int_MR^2{\rm d}v)^\frac{1}{2}(\int_M{\rm d}v)^\frac{1}{2} = \displaystyle(\int_{M_0}R_0^2{\rm d}v_0)^\frac{1}{2}(volM_0)^\frac{1}{2}=R_0vol(M_0), $
证 当 $n\geq4$
$h^2-S=h^2_0-S_0.$
这里的 $h_0,S_0$ $S=S_0$
$h^2=h^2_0,$
$S-\frac{h^2}{n}=S_0-\frac{h^2_0}{n}=n.$
根据定理2.1, 此时 $M$ $C_{m,m}$ .
对于 $n=3$ $n=2$
注4.1 我们知道球面空间的极小超曲面, 若第二基本形式的平方 $S=n$ $C_{m,m}$ . 由于极值超曲面不一定是极小的, 所以对于极值超曲面若只有条件 $S=n$ $C_{m,m}$
定理4.1 (定理 1.2$'$ ) 设 $M$ $S^{n+1}$ $M$ $S=n$ $Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m})$ $p=0,1,2$ $n=2m$ $M=C_{m,m}$ .
参考文献
View Option
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1
2009
... 记 $\Lambda^p(M)$ $p=0,1,2,\cdots, n$ $C^\infty$ $M$ $\Delta$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $M$ $Spec^p(M)$ $M$ [3 ] 和 Ikeda[4 ] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly[5 ] 证明了: 若常曲率空间中的极小子流形 $M$ $M'$ $M$ $M'$ [6 ] 证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱 $Spec^p(M)$ [7 ] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li[8 ] 和Yang等[9 ] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7 ,10 -11 ]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果. ...
New spectral characterizations of extremal hypersurfaces
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2013
... 记 $\Lambda^p(M)$ $p=0,1,2,\cdots, n$ $C^\infty$ $M$ $\Delta$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $M$ $Spec^p(M)$ $M$ [3 ] 和 Ikeda[4 ] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly[5 ] 证明了: 若常曲率空间中的极小子流形 $M$ $M'$ $M$ $M'$ [6 ] 证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱 $Spec^p(M)$ [7 ] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li[8 ] 和Yang等[9 ] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7 ,10 -11 ]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果. ...
Closed Willmore minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in $S^5(1)$ are isoparametric
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2017
... 记 $\Lambda^p(M)$ $p=0,1,2,\cdots, n$ $C^\infty$ $M$ $\Delta$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $M$ $Spec^p(M)$ $M$ [3 ] 和 Ikeda[4 ] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly[5 ] 证明了: 若常曲率空间中的极小子流形 $M$ $M'$ $M$ $M'$ [6 ] 证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱 $Spec^p(M)$ [7 ] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li[8 ] 和Yang等[9 ] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7 ,10 -11 ]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果. ...
On the spectral rigidity of Einstein-type Kahler manifolds
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... 记 $\Lambda^p(M)$ $p=0,1,2,\cdots, n$ $C^\infty$ $M$ $\Delta$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $\Lambda^p(M)$ $Spec^p(M)$ $M$ $Spec^p(M)$ $M$ [3 ] 和 Ikeda[4 ] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly[5 ] 证明了: 若常曲率空间中的极小子流形 $M$ $M'$ $M$ $M'$ [6 ] 证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱 $Spec^p(M)$ [7 ] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li[8 ] 和Yang等[9 ] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7 ,10 -11 ]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果. ...
Curvature of the fundamental solution of the heat operator
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1974
... Patodi[12 ] 计算了其中的系数$a_{k,p}$ $(k=0,1,2)$
