Willmore超曲面与极值超曲面的谱特征

Willmore超曲面与极值超曲面的谱特征

杨登允¹^,^*, 张金国^,¹, 陶永芊^,²

¹江西师范大学数学与统计学院南昌 330022

²南昌大学数学系南昌 330031

Spectral Geometry of Willmore and Extremal Hypersurfaces

Yang Dengyun¹^,^*, Zhang Jinguo^,¹, Tao Yongqian^,²

¹School of Mathematics and Statistic, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022

²Department of Mathematics, Nanchang University, Nanchang 330031

通讯作者: ^*杨登允, E-mail: yangdengyun@139.com

收稿日期: 2021-11-24 修回日期: 2022-10-17

基金资助:

国家自然科学基金(12061036)
国家自然科学基金(11761049)
江西省自然科学基金重点项目(20202ACB201001)

Received: 2021-11-24 Revised: 2022-10-17

Fund supported:

National Natural Science Foundation of China(12061036)
National Natural Science Foundation of China(11761049)
Jiangxi Provincial Natural Science Foundation(20202ACB201001)

作者简介 About authors

张金国,E-mail:jgzhang@jxnu.edu.cn

陶永芊,E-mail:taoyongqian@ncu.edu.cn

摘要

设 $M$ 为单位球面 $S^{n+1}$ 中的Willmore超曲面(或极值超曲面). 该文证明了, 若 $M$ 与Willmore环面 $W_{m,n-m}$ (或Clifford环面 $C_{m,n-m}$ )具有相同的第二基本形式模长, 并且 $Spec^p(M)=Spec^p(W_{m,n-m})$ (或 $Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m})$ ),其中 $p=0,1,2$ , 则有 $M=W_{m,n-m}$ (或 $M=C_{m,m}$ ).

关键词： 拉普拉斯算子; 谱; Willmore超曲面; 极值超曲面; 第二基本形式

Abstract

Let $M$ be a Willmore (or extremal) hypersurface in $S^{n+1}$ with the same squared length of the second fundamental form of Willmore torus $W_{m,n-m}$ (or Clifford torus $C_{m,n-m}$ ). In this article the authors proved that if $Spec^p(M)=Spec^p(W_{m,n-m})$ (or $Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m})$ ) for $p=0,1,2$ , then $M$ is $W_{m,n-m}$ (or $C_{m,m}$ ).

Keywords： Spectrum; Laplace operator; Extremal hypersurface; Willmore hypersurface; The second fundamental form

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本文引用格式

杨登允, 张金国, 陶永芊. Willmore超曲面与极值超曲面的谱特征[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 35-42

Yang Dengyun, Zhang Jinguo, Tao Yongqian. Spectral Geometry of Willmore and Extremal Hypersurfaces[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 35-42

1 介绍

设 $M$ 是单位球面中的 $n$ 维紧致可定向的超曲面. 若记 $h_{ij}$ 为 $M$ 的第二基本形式的分量, $S$ 为第二基本形式的模长, $H$ 为平均曲率, 则有

$S=\sum\limits_{i,j}(h_{ij})^2,\quad{\boldsymbol H}=\frac{1}{n}\sum\limits_kh_{kk}e_{n+1},\quad H=\frac{1}{n}\sum\limits_kh_{kk}.$

引入以下两个非负泛函

$F(x)=\int_M(S-nH^2){\rm d}v,~~~~~~~ F_n(x)=\int_M(S-nH^2)^{\frac{n}{2}}{\rm d}v.$

显然, $F(x)$ 和 $F_n(x)$ 恒为0的充要条件是 $M$ 全脐的. 这里的 $F_n(x)$ 即为 Willmore 泛函, 且在 $S^{n+1}(1)$ 的共形变换下是不变的. 但是, 当 $n\geq 3$ 时, $F(x)$ 不能保持共形不变性.

定义1.1^[1] 当 $x:M\to S^{n+1}$ 为 $F(x)$ 的临界点时, 称 $M$ 为极值超曲面.

定义1.2^[2] 当 $x:M\to S^{n+1}$ 为 $F_n(x)$ 的临界点时, 称 $M$ 为Willmore超曲面.

当 $n=2$ 时, 极小曲面也是Willmore曲面, 但是存在紧致非极小的Willmore曲面. 当 $n\geq3$ 时, 极小子流形不一定是Willmore的. 例如, 奇数维的Clifford极小环不再是Willmore子流形. 若球面中的极小子流形又是爱因斯坦子流形, 则必是Willmore子流形^[2].

记 $\Lambda^p(M)$ 为实系数, 度数为 $p=0,1,2,\cdots, n$ 且 $C^\infty$ 的微分形式空间. 作用在 $M$ 上函数的拉普拉斯算子 $\Delta$ 在 $\Lambda^p(M)$ 上有个自然的推广. 令 $Spec^p(M)$ 为 $\Lambda^p(M)$ 上的拉普拉斯算子的谱. 关于 $Spec^p(M)$ 与 $M$ 之间的关系, 有一个自然的问题： $Spec^p(M)$ 能否确定黎曼流形 $M$ 的几何结构. 一般情况下这个问题的答案是否定的, 而且 Milnor^[3] 和 Ikeda^[4] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly^[5]证明了: 若常曲率空间中的极小子流形 $M$ 和 $M'$ 的第二变分算子的谱相等且 $M$ 是全测地的, 则 $M'$ 也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱 $Spec^p(M)$ 确定. 进一步, 丁青^[7] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li^[8]和Yang等^[9] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7,10-11]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果.

定理1.1 设 $M$ 为单位球面 $S^{n+1}$ 中的紧致Willmore超曲面, 若

$Spec^p(M)=Spec^p(W_{m,n-m}),\ p=0,1,2,$

且 $M$ 与Willmoer环面 $W_{m,n-m}$ 具有相同的第二基本形式的模长, 则有 $M=W_{m,n-m}$ .

定理1.2 设 $M$ 为单位球面 $S^{n+1}$ 中的紧致的极值超曲面, 若

$Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m}),\ p=0,1,2,$

且 $M$ 与 $C_{m,n-m}$ 具有相同的第二基本形式的模长, 则有 $n=2m$ , $M=C_{m,m}$ .

2 准备知识

设 $M$ 是单位球面 $S^{n+1}$ 中 $n$ 维闭超曲面. 约定指标的取值范围如下

$1\leq i,j,k,\cdot\cdot\cdot\leq n.$

设 $Rm$ , $Rc$ , $R$ 分别为 $M$ 的黎曼曲率张量, Ricci曲率张量以及数量曲率. $R_{ijkl}$ , $R_{ij}$ 分别是 $Rm$ , $Rc$ 的分量. 超曲面的高斯方程如下

$R_{ijkl}=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}+h_{ik}h_{jl}-h_{il}h_{jk},$

$\begin{equation} R_{ij}=(n-1)\delta_{ij}+hh_{ij}-\sum\limits_kh_{ik}h_{kj}, \end{equation}$

(2.1)

$R=n(n-1)+h^2-S,$

其中 $\delta_{ij}$ 为 Kronecker 记号, 且有 $h=\sum\limits_ih_{ii}=nH$ .

固定一点 $x_0\in M$ , 选取适当的正交标架 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 使得 $(h_{ij})$ 在该点对角化,

$h_{ij}=\lambda_i\delta_{ij},$

则高斯方程可化为

$R_{ijkl}=(1+\lambda_i\lambda_j)(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}),$

(2.2)

$R_{ij}=[(n-1)+h\lambda_i-\lambda_i\lambda_j]\delta_{ij}.$

(2.3)

经过简单的计算可得 $Rm$ 和 $Rc$ 的模长

$|Rm|^2=2S^2-2\sum\limits_i\lambda^4_i+4h^2-4S+2n(n-1),$

(2.4)

$|Rc|^2=h^2S+\sum\limits_i\lambda_i^4-2h\sum\limits_i\lambda_i^3+2(n-1)h^2-2(n-1)S+n(n-1)^2,$

(2.5)

以及

$R^2=h^4+S^2-2h^2S+2n(n-1)h^2-2n(n-1)S+n^2(n-1)^2.$

(2.6)

由于 $M$ 是紧致的, 对于 $p=0,1,2\cdots n$ , 我们有

$Spec^p(M)=\{0\leq\mu_{0,p}\leq\mu_{1,p}\leq\cdot\cdot\cdot\uparrow\infty\}.$

关于这些特征值有著名的 Minakshisundaram-Pleijel's渐进展开式

$\sum\limits_{i=0}^\infty {\rm e}^{-\mu_{i,p}t}\sim(4\pi t^{-n/2})(a_{0,p}+a_{1,p}t+a_{2,p}t^2+\cdot\cdot\cdot),~~~~(t\rightarrow0^+).$

Patodi^[12]计算了其中的系数 $a_{k,p}$ $(k=0,1,2)$ 得到了如下结果

$a_{0,p}=\left(\begin{array}{c} n\\ p\\ \end{array}\right) vol(M),$

(2.7)

$a_{1,p}=\left(\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right) -\left( \begin{array}{c} n-2 \\ p-1 \\ \end{array} \right) \right)\int_MR{\rm d}v,$

(2.8)

$a_{2,p}=\int_M(c_1(n,p)R^2+c_2(n,p)|Rc|^2+c_3(n,p)|Rm|^2){\rm d}v,$

(2.9)

其中 d $v$ 表示 $M$ 的体积元, 其中

$c_1(n,p)=\frac{1}{72}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)- \frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)+ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}n-4 \\p-2 \\ \end{array}\right);$

(2.10)

$c_2(n,p)=-\frac{1}{180}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)+ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}n-4 \\p-2 \\ \end{array}\right);$

(2.11)

$c_3(n,p)=\frac{1}{180}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)- \frac{1}{12}\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)+ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}n-4 \\p-2 \\ \end{array}\right),$

(2.12)

这里的 $\left(\begin{array}{c}l \\q \\ \end{array}\right)$ =0, 当 $l<0$ 或 $q<0$ 或 $l<q$ 时.

关于球面中的子流形有以下两个刚性定理.

定理2.1^[1] 设 $M$ 是球面 $S^{n+1}$ 的 $n(n\geq2)$ 维紧致极值超曲面. 若 $S-\frac{h^2}{n}=n$ , 则有 $n=2m$ , $M$ 是Clifford环 $C_{m,m}=S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})\times S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})$ .

定理2.2^[2] 设 $M$ 是球面 $S^{n+1}$ 的 $n(n\geq2)$ 维紧致Willmore超曲面. 若 $S-\frac{h^2}{n}=n$ , 则 $M$ 是Willmore环面 $W_{m,n-m}=S^m(\sqrt{\frac{n-m}{n}})\times S^{n-m}(\sqrt{\frac{m}{n}})$ .

事实上, Willmore环面 $W_{m,n-m}$ 的主曲率 $k_1,k_2,\cdots k_n$ 为

$k_1=\cdots=k_m=\sqrt{\frac{m}{n-m}},~~~~~k_{m+1}=\cdots=k_n=-\sqrt{\frac{n-m}{m}}.$

显见 $W_{m,n-m}$ 的数量曲率, 平均曲率和第二基本形式模长的平方都是常数. 另外, 这里的Clifford环面 $S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})\times S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})$ 的平均曲率为零, 第二基本形式模长的平方为 $2m$ , 数量曲率为常数.

3 Willmore超曲面

本节我们证明定理1.1. 先证 $n\geq 4$ 的情形.

设 $M$ 和 $W_{m,n-m}$ (记为 $M_0$ )的Minakshisundaram-Pleijel渐进展开式的系数分别记为 $a_{k,p}$ 和 $a^0_{k,p}$ . 令 $R_0,Rc_0$ 和 $Rm_0$ 分别为 $M_0$ 的数量曲率, Ricci曲率张量和黎曼曲率张量. 既然 $Spec^p(M)=Spec^p(M_0)$ , 其中 $0\leq p\leq2$ , 则有 $a_{k,p}=a_{k,p}^0$ , 利用(2.7)-(2.9)式可得

$\begin{equation}\label{eq:3.1} vol(M)=vol(M_0), \end{equation}$

(3.1)

$\begin{equation}\label{eq:3.2} \int_MR{\rm d}v=\int_{M_0}R_0{\rm d}v_0, \end{equation}$

(3.2)

$\begin{matrix} &&\displaystyle\int_M(c_1(n,p)R^2+c_2(n,p)|Rc|^2+c_3(n,p)|Rm|^2){\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}(c_1(n,p)R^2_0+c_2(n,p)|Rc_0|^2+c_3(n,p)|Rm_0|^2){\rm d}v_0. \end{matrix}$

(3.3)

这里的(3.2)式用到了 $\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)$ 对于某个 $p$ 是成立的. 由于 $S=S_0=$ 常数, 再结合(3.1)式和(3.2)式可以得到

$\begin{equation} \int_M{\rm d}v=\int_{M_0}{\rm d}v_0 \end{equation}$

(3.4)

和

$\begin{equation} \int_Mh^2{\rm d}v=\int_{M_0}h^2_0{\rm d}v_0.\end{equation}$

(3.5)

利用(2.5),(2.6)和(3.3)式可得

$\begin{matrix} &&\int_M\bigg[c_1(n,p)h^4 +(c_2(n,p)-2c_3(n,p))\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^4-2c_2(n,p)h\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^3\bigg]{\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}\bigg[c_1(n,p)h_0^4 +(c_2(n,p)-2c_3(n,p))\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_0)_i^4-2c_2(n,p)h_0\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_0)_i^3\bigg]{\rm d}v_0, \end{matrix}$

(3.6)

其中 $p=0,1,2$ .

考虑(3.6)式作为一个关于

$\int_Mh^4{\rm d}v-\int_{M_0}h^4_0{\rm d}v_0,\int_M\sum\lambda_i^4{\rm d}v-\int_{M_0}\sum(\lambda_0)_i^4{\rm d}v_0, \int_Mh\sum\lambda_i^3{\rm d}v-\int_{M_0}h_0\sum(\lambda_0)_i^3{\rm d}v_0$

的齐次线性方程组. 既然

$\det\left( \begin{array} {ccc} c_1(n,0)& c_2(n,0)-2c_3(n,0) &-2c_2(n,0)\\ c_1(n,1)&c_2(n,1)-2c_3(n,1)&-2c_2(n,1)\\ c_1(n,2)&c_2(n,2)-2c_3(n,2)&-2c_2(n,2) \end{array} \right)=-\frac{1}{180}\neq0,$

则方程组(3.6)有唯一的解

$\int_Mh^4{\rm d}v-\int_{M_0}h^4_0{\rm d}v_0=0,$

(3.7)

$\int_M\sum\lambda_i^4{\rm d}v-\int_{M_0}\sum(\lambda_0)_i^4{\rm d}v_0=0,$

$\int_Mh\sum\lambda_i^3{\rm d}v-\int_{M_0}h_0\sum(\lambda_0)_i^3{\rm d}v_0=0.$

利用Schwarz不等式, 以及(3.5)和(3.7)式可得

$h^2_0vol(M_0)=\int_Mh^2{\rm d}v\leq (\int_Mh^4{\rm d}v)^\frac{1}{2}(\int_M{\rm d}v)^\frac{1}{2} = \displaystyle(\int_{M_0}h_0^4{\rm d}v_0)^\frac{1}{2}(volM_0)^\frac{1}{2}=h^2_0vol(M_0).$

因此Schwarz不等式取等号, 由等式成立的条件得

$h^2=h^2_0.$

再结合 $S=S_0$ , 则有 $S-\frac{1}{n}h^2=n$ . 由定理2.2, 可得 $M=W_{m,n-m}$ .

对于 $n=3$ 的情形, 我们有

$3S^2-h^4+6\sum^3_{i=1}\lambda_i^4-12S\sum\limits_{i>j}^3\lambda_i\lambda_j=8h\sum\limits_{i=1}^3\lambda_i^3.$

(3.8)

上式代入(3.6)式, 则有

$\begin{array}[b]{lcl}&&\displaystyle\int_M((c_1(3,p)+\frac{1}{4}c_2(3,p))h^4- (\frac{1}{2}c_2(3,p)+2c_3(3,p))\sum\limits_{i=1}^3\lambda_i^4){\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}((c_1(3,p)+\frac{1}{4}c_2(3,p))h_0^4- (\frac{1}{2}c_2(3,p)+2c_3(3,p))\sum\limits_{i=1}^3(\lambda_0)_i^4){\rm d}v_0. \end{array}$

(3.9)

经过简单的计算可知

$\det\left( \begin{array} {ccc} c_1(3,0)+\frac{1}{4}c_2(3,0) & \frac{1}{2}c_2(3,0)+2c_3(3,0) \\ c_1(3,1)+\frac{1}{4}c_2(3,1) & \frac{1}{2}c_2(3,1)+2c_3(3,1)) \end{array}\right)=\frac{38}{9\cdot (40)^2}\neq0,$

因此线性方程组(3.9)有唯一的解

$\int_Mh^4{\rm d}v=\int_{M_0}h_0^4{\rm d}v_0.$

类似于 $n\geq4$ 情形的方法, 利用 Schwarz不等式可得 $h^2=h^2_0$ , 则 $M=W_{m,3-m}$ .

当 $n=2$ 时,

$\lambda_1^4+\lambda_2^4=\frac{1}{2}S^2-\frac{1}{2}h^4+h^2S,$

(3.10)

$h(\lambda_1^3+\lambda_2^3)=\frac{1}{2}S^2-\frac{1}{2}h^4+h^2S+S\lambda_1\lambda_2.$

(3.11)

另一方面, 利用(2.4)和(3.2)式可知

$\int_M\lambda_1\lambda_2{\rm d}v=\int_{M_0}(\lambda_0)_1(\lambda_0)_2{\rm d}v_0.$

(3.12)

把(3.5),(3.10),(3.11)和(3.12)式代入(3.6)式可得

$\displaystyle\int_M(c_1(2,p)+\frac{3}{2}c_2(2,p)-c_3(2,p))h^4{\rm d}v =\displaystyle\int_{M_0}(c_1(2,p)+\frac{3}{2}c_2(2,p)-c_3(2,p))h_0^4{\rm d}v_0.$

(3.13)

显然有

$c_1(2,p)+\frac{3}{2}c_2(2,p)-c_3(2,p)\neq0,$

因此, 方程(3.13)有唯一的解

$\int_Mh^4{\rm d}v=\int_{M_0}h_0^4{\rm d}v_0.$

同情形 $n\geq4$ 的方法, 可得 $M=W_{1,1}$ .

4 极值超曲面

本节我们采用另外一种方法证明定理 1.2, 先引入以下引理.

引理4.1 设 $M$ 和 $M_0$ 为球面 $S^{n+p}$ 的两个 $n(n\geq4)$ 维子流形. 若 $Spec^p(M)=Spec^p(M_0)$ $(p=0,1,2)$ , 则有

$\int_MR{\rm d}v=\int_{M_0}R_0{\rm d}v_0,$

(4.1)

$\int_MR^2{\rm d}v=\int_{M_0}R_0^2{\rm d}v_0,$

(4.2)

$\int_M|Rc|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rc|_0^2{\rm d}v_0,$

(4.3)

$\int_M|Rm|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rm|_0^2{\rm d}v_0.$

(4.4)

特别地, 当 $R_0=$ 常数时, 则有 $R=R_0$ .

证设 $M$ 和 $M_0$ 的Minakshisundaram-Pleijel渐进展开式的系数分别记为 $a_{k,p}$ 和 $a^0_{k,p}$ . 既然 $Spec^p(M)=Spec^p(M_0)$ , 其中 $0\leq p\leq2$ , 则有 $a_{k,p}=a_{k,p}^0$ . 设 $R_0,Rc_0$ 和 $Rm_0$ 为 $M_0$ 的数量曲率, Ricci曲率张量和黎曼曲率张量. 由(2.7)-(2.9)式可知

$vol(M)=vol(M_0),$

(4.5)

$\int_MR{\rm d}v=\int_{M_0}R_0{\rm d}v_0,$

(4.6)

$\begin{array}[b]{lcl}&&\displaystyle\int_M(c_1(n,p)R^2+c_2(n,p)|Rc|^2+c_3(n,p)|Rm|^2){\rm d}v \\ &=&\displaystyle\int_{M_0}(c_1(n,p)R^2_0+c_2(n,p)|Rc_0|^2+c_3(n,p)|Rm_0|^2){\rm d}v_0.\end{array}$

(4.7)

这里的(4.6)式用到了 $\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}n \\p \\ \end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{c}n-2 \\p-1 \\ \end{array}\right)$ 对于某个 $p$ 是成立的.

(4.7)式对于 $p=0,1,2$ 都是成立的, 因此可以将其看作关于

$\int_MR^2{\rm d}v-\int_{M_0}R^2_0{\rm d}v_0,\int_M|Rc|^2{\rm d}v-\int_{M_0}|Rc_0|^2{\rm d}v_0,\int_M|Rm|^2{\rm d}v-\int_{M_0}|Rm_0|^2{\rm d}v_0$

的方程组, 其系数行列式

$\det\left( \begin{array} {ccc} c_1(n,0)& c_2(n,0) &c_3(n,0)\\ c_1(n,1)&c_2(n,1)&c_3(n,1)\\ c_1(n,2)&c_2(n,2)&c_3(n,2) \end{array} \right)=\frac{1}{4\cdot180}\neq0.$

因此方程组只有零解, 即

$\int_MR^2{\rm d}v=\int_{M_0}R_0^2{\rm d}v_0, \int_M|Rc|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rc|_0^2{\rm d}v_0, \int_M|Rm|^2{\rm d}v=\int_{M_0}|Rm|_0^2{\rm d}v_0.$

若 $R_0=$ 常数, 由(4.1)和(4.2)式得

$R_0vol(M_0)=\int_MR{\rm d}v\leq\displaystyle(\int_MR^2{\rm d}v)^\frac{1}{2}(\int_M{\rm d}v)^\frac{1}{2} = \displaystyle(\int_{M_0}R_0^2{\rm d}v_0)^\frac{1}{2}(volM_0)^\frac{1}{2}=R_0vol(M_0),$

由等号成立的条件知 $R=R_0$ .证毕.

我们利用上述引理证明定理 1.2.

证当 $n\geq4$ 时, 由于Clifford环面的数量曲率是常数, 利用引理4.1和高斯方程可得

$h^2-S=h^2_0-S_0.$

这里的 $h_0,S_0$ 分别为 Clifford环面的非规范化的平均曲率和第二基本形式模长的平方. 再由定理的条件 $S=S_0$ , 可知

$h^2=h^2_0,$

因此

$S-\frac{h^2}{n}=S_0-\frac{h^2_0}{n}=n.$

根据定理2.1, 此时 $M$ 即为Clifford环面 $C_{m,m}$ .

对于 $n=3$ 和 $n=2$ 的情形, 应用定理 1.1的证明方法即可证得.

注4.1 我们知道球面空间的极小超曲面, 若第二基本形式的平方 $S=n$ , 则该超曲面为 Clifford环面 $C_{m,m}$ . 由于极值超曲面不一定是极小的, 所以对于极值超曲面若只有条件 $S=n$ 则不能得到这样的结论. 考虑到 $C_{m,m}$ 的极小性, 对于极值超曲面再加上谱的条件, 则可以得到与极小超曲面类似的结论.

定理4.1 (定理 1.2 $'$ ) 设 $M$ 为单位球面 $S^{n+1}$ 的紧致的极值超曲面, 若 $M$ 的第二基本形式模长的平方 $S=n$ 且 $Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m})$ , $p=0,1,2$ , 则有 $n=2m$ , $M=C_{m,m}$ .

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Guo

, Li

H Z

A variational problem for submanifolds in a sphere

Monatsh Math, 2007, 152: 295-302

DOI:10.1007/s00605-007-0476-2 URL [本文引用: 2]

[2]

H Z

Willmore hypersurfaces in a sphere

Asian J of Math, 2001, 5: 365-378

DOI:10.4310/AJM.2001.v5.n2.a4 URL [本文引用: 3]

[3]

Milnor

Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds

Proc Nat Acad Sci, 1964, 51: 542

DOI:10.1073/pnas.51.4.542 URL [本文引用: 1]

[4]

Ikeda

On spherical space forms which are isospectral but not isometric

J Math Soc Japan, 1983, 35: 437-444

[本文引用: 1]

[5]

Donnelly

Spectral invariants of the second variation operator

Illinois J Math, 1977, 21: 185-189

[本文引用: 1]

[6]

Hasegawa

Spectral geometry of closed minimal submanifolds in a space form, real and complex

Kodai Math J, 1980, 3: 224-252

[本文引用: 1]

[7]

Ding

On spectral characterizations of minimal hypersurface in a sphere

Kodai Math J, 1994, 17: 320-328

[本文引用: 2]

[8]

Z H

, Wang

On spectral characterizations of Willmore hypersurfaces in a sphere

Appl Math J Chinese Univ, 2009, 4: 490-494

[本文引用: 1]

[9]

Yang

, Xu

, Fu

New spectral characterizations of extremal hypersurfaces

Acta Mathematica Scientia, 2013, 33B(5): 1269-1274

[本文引用: 1]

[10]

Deng

, Gu

, Wei

Closed Willmore minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in $S^5(1)$ are isoparametric

Advances in Mathematics, 2017, 9: 278-305

[本文引用: 1]

[11]

On the spectral rigidity of Einstein-type Kahler manifolds

arXiv:math.DG 1804.00517

[本文引用: 1]

[12]

Patodi

U K

Curvature of the fundamental solution of the heat operator

Boll Un Mat Ital, 1974, 10: 380-385

[本文引用: 1]

A variational problem for submanifolds in a sphere

2007

... 定义1.1^[1] 当

$x:M\to S^{n+1}$

为

$F(x)$

的临界点时, 称

$M$

为极值超曲面. ...

... 定理2.1^[1] 设

$M$ 是球面

$S^{n+1}$ 的

$n(n\geq2)$ 维紧致极值超曲面. 若

$S-\frac{h^2}{n}=n$ , 则有

$n=2m$ ,

$M$ 是Clifford环

$C_{m,m}=S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})\times S^m(\sqrt{\frac{1}{2}})$ . ...

Willmore hypersurfaces in a sphere

2001

... 定义1.2^[2] 当

$x:M\to S^{n+1}$

为

$F_n(x)$

的临界点时, 称

$M$

为Willmore超曲面. ...

... 当

$n=2$

时, 极小曲面也是Willmore曲面, 但是存在紧致非极小的Willmore曲面. 当

$n\geq3$

时, 极小子流形不一定是Willmore的. 例如, 奇数维的Clifford极小环不再是Willmore子流形. 若球面中的极小子流形又是爱因斯坦子流形, 则必是Willmore子流形^[2]. ...

... 定理2.2^[2] 设

$M$ 是球面

$S^{n+1}$ 的

$n(n\geq2)$ 维紧致Willmore超曲面. 若

$S-\frac{h^2}{n}=n$ , 则

$M$ 是Willmore环面

$W_{m,n-m}=S^m(\sqrt{\frac{n-m}{n}})\times S^{n-m}(\sqrt{\frac{m}{n}})$ . ...

Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds

1964

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

的几何结构. 一般情况下这个问题的答案是否定的, 而且 Milnor^[3] 和 Ikeda^[4] 关于此问题曾给出过一个反例. 关于这个问题除了找反例之外, 还可以考虑对于哪些特殊的黎曼流形会得到肯定的答案. 例如 Donnelly^[5]证明了: 若常曲率空间中的极小子流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

确定. 进一步, 丁青^[7] 证明了关于极小超曲面的谱特征. Li^[8]和Yang等^[9] 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7,10-11]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果. ...

On spherical space forms which are isospectral but not isometric

1983

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

Spectral invariants of the second variation operator

1977

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

Spectral geometry of closed minimal submanifolds in a space form, real and complex

1980

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

On spectral characterizations of minimal hypersurface in a sphere

1994

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

... 分别证明了具有常平均曲率的Willmore超曲面和极值超曲面的谱特征. 受文献[7,10-11]的启示, 本文讨论了球面中的Willmore超曲面和极值超曲面得到了如下结果. ...

On spectral characterizations of Willmore hypersurfaces in a sphere

2009

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

New spectral characterizations of extremal hypersurfaces

2013

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

Closed Willmore minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in

$S^5(1)$ are isoparametric

2017

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

On the spectral rigidity of Einstein-type Kahler manifolds

... 记

$\Lambda^p(M)$

为实系数, 度数为

$p=0,1,2,\cdots, n$

且

$C^\infty$

的微分形式空间. 作用在

$M$

上函数的拉普拉斯算子

$\Delta$

在

$\Lambda^p(M)$

上有个自然的推广. 令

$Spec^p(M)$

为

$\Lambda^p(M)$

上的拉普拉斯算子的谱. 关于

$Spec^p(M)$

与

$M$

之间的关系, 有一个自然的问题：

$Spec^p(M)$

能否确定黎曼流形

$M$

和

$M'$

的第二变分算子的谱相等且

$M$

是全测地的, 则

$M'$

也是全测地的. Hasegawa^[6]证明了在一定条件下 Clifford环可以由它的谱

$Spec^p(M)$

Curvature of the fundamental solution of the heat operator

1974

... Patodi^[12]计算了其中的系数

$a_{k,p}$

$(k=0,1,2)$

得到了如下结果 ...

〈

〉