数学物理学报, 2023, 43(1): 305-320

分式优化问题的近似Farkas引理和近似对偶理论

谢菲菲,, 方东辉,*

吉首大学数学与统计学院 湖南吉首 416000

Approximate Farkas Lemma and Approximate Duality for Fractional Optimization Problems

Xie Feifei,, Fang Donghui,*

College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Hunan Jishou 416000

通讯作者: *方东辉, E-mail: dh_fang@jsu.edu.cn

修回日期: 2022-09-20  

基金资助: 国家自然科学基金(12261037)
国家自然科学基金(11861033)
湖南省自然科学基金(2020JJ4494)
吉首大学校级科研项目(Jdy20064)

Revised: 2022-09-20  

Fund supported: The NSFC(12261037)
The NSFC(11861033)
Natural Science Foundation of Hunan Province(2020JJ4494)
Scientific Research Fund of Jishou University(Jdy20064)

作者简介 About authors

谢菲菲,E-mail:1209465372@qq.com

摘要

利用共轭函数下端卷积性质和上图技巧, 引入新的约束规范条件, 建立了带锥约束的分式优化问题的近似Farkas引理和近似对偶理论, 推广了前人的相关结论.

关键词： 分式优化问题; 约束规范条件; 近似Farkas引理; 近似对偶

Abstract

By using the infimal convolution of conjugate functions and the epigraph technique, we introduce some new constraint qualifications. Under those new constraint qualifications, approximate Farkas lemmas and approximate duality results of the fractional optimization problem with conic constraint are established, which extend the corresponding results in the previous papers.

Keywords： Fractional optimization problem; Constraint qualification; Approximate Farkas lemma; Approximate duality

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本文引用格式

谢菲菲, 方东辉. 分式优化问题的近似Farkas引理和近似对偶理论[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 305-320

Xie Feifei, Fang Donghui. Approximate Farkas Lemma and Approximate Duality for Fractional Optimization Problems[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 305-320

1 引言

最优化问题的近似对偶理论具有重要的理论意义, 在非线性规划、最优控制、资源管理等领域有着广泛的应用, 因此, 近似对偶理论的研究受到了学者们的广泛关注[1⇓⇓⇓⇓-6]. 例如: 文献[3,4]刻画了凸优化问题及其 Lagrange 对偶问题之间的近似对偶理论. 文献[5]利用上图类条件和 $\varepsilon$ -次微分类条件, 等价刻画了带锥约束的凸优化问题的 $\varepsilon$ -对偶间隙性质和稳定 $\varepsilon$ -对偶间隙性质. 进一步, 文献[6]利用上图类条件和 $\varepsilon$ -次微分类条件, 刻画了带锥约束的复合优化问题的近似对偶理论和近似最优性条件, 推广了文献[5]中的相关结论.

与此同时, 由于许多实际问题可以转化为分式优化问题, 因此分式优化问题的研究引起了学者们的高度重视[7⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-15]. 特别地, 带锥约束的分式优化问题的对偶理论和 Farkas 引理的研究引起了学者们的广泛兴趣. 例如, 文献[8]借助文献[13]的方法, 将带有限个凸不等式约束的分式优化问题转化为约束优化问题, 利用内点条件, 刻画了约束优化问题和其对偶问题之间的弱对偶, 强对偶, 进而建立了分式优化问题的 Farkas 引理. 文献[10]则利用上图技巧, 引入新的正则条件, 建立了带锥约束的分式优化问题的 Farkas 引理. 然而, 据我们所知, 很少有学者研究如下带锥约束的分式优化问题

$\begin{eqnarray*} (P)\quad\quad\quad\quad &&\inf \ \frac{f(x)}{g(x)}\\ \mbox{s.t. } &&x\in {C},h(x)\in -S, \end{eqnarray*}$

的稳定近似对偶间隙性质和稳定近似强对偶, 其中 $X,Y$ 是实局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间, $C$ 为 $X$ 的非空凸子集, $S$ 为 $Y$ 中的闭凸锥, $Y$ 是 $S$ 所定义的序空间, 对于在 $Y$ 中的偏序 $\leq_S$, 定义 $Y$ 中的最大元为 $\infty_Y$, $f,g:X\rightarrow \overline{\Bbb R}:=\Bbb R\cup \{+\infty\}$ 是真凸函数, $h:X\rightarrow Y^\bullet:=Y\cup\{\infty_Y\}$ 是真 $S$ - 凸函数.

受上述文献的启发, 本文拟研究带锥约束的分式优化问题 $(P)$ 的稳定近似对偶间隙性质和稳定近似强对偶. 为研究此问题, 首先利用 Dinkelbach 方法[13], 将分式优化问题 $(P)$ 转化为如下非分式优化问题进行研究

$\begin{eqnarray*} (P_{{\mu}})\quad\quad\quad\quad &&\inf \ \{f(x)-\mu g(x)\}\\ \mbox{s.t. } &&x\in C,h(x)\in -S, \end{eqnarray*}$

其中 $\mu\in \Bbb R$. 显然, 当 $\mu\leq0$ 时, 问题 $(P_{{\mu}})$ 的目标函数为凸函数, 而当 $\mu>0$ 时, $(P_{{\mu}})$ 的目标函数为 DC 函数. 因此, 本文将分两种情况对问题 $(P_{{\mu}})$ 进行讨论. 在函数不具有下半连续的情形下, 利用共轭函数的上图性质和下端卷积函数性质, 引入新的约束规范条件, 建立了原问题 $(P)$ 的 Farkas 类引理以及问题 $(P_{{\mu}})$ 与其对偶问题之间的稳定近似对偶间隙性质和稳定近似强对偶, 推广和改进了前人的相关结论.

2 记号与定义

设 $X$, $Y$ 是实局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间, $X^\ast$, $Y^\ast$ 分别表示 $X$, $Y$ 的共轭空间, 并赋予弱 $^\ast$ 拓扑 $w^\ast(X^\ast,X)$ 和 $w^\ast(Y^\ast,Y)$. $\langle x^\ast,x\rangle$ 表示泛函 $x^{\ast}\in X^{\ast}$ 在点 $x\in X$ 处的值, 即 $\langle x^\ast, x\rangle=x^\ast(x)$. 设 $D$ 是 $X$ 的非空子集, 记 $D$ 的闭包, 凸包和凸锥包分别为 ${\rm cl}\,D$, ${\rm co}\,D$ 和 ${\rm cone}\,D$. 集合 $D$ 的对偶锥和示性函数分别定义为

$ D^\oplus := \left\{ x^{*} \in X^{*} : \langle x^{*},x\rangle\ge 0, \forall x\in D \right\},$
$ \delta_D(x) := \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad &{x\in D,}\\ +\infty, &\mbox{其它}. \end{array}\right.$

设 $f:X\rightarrow \overline{\Bbb R}$ 是真凸函数, 定义 $f$ 的有效定义域, 上图和共轭函数分别为

$ {\rm dom}\,f:=\{x\in X: f(x)<+\infty\}, $
$ {\rm epi}\, f:=\{(x,r)\in X\times \Bbb R:\; f(x)\le r\}, $
$ f^\ast(x^\ast):=\sup\{\langle x^\ast,x\rangle-f(x):\; x\in X\}, \forall x^\ast\in X^\ast. $

设 ${\rm cl}\,f$ 表示 $f$ 的下半连续包, 即

${\rm epi}\,({\rm cl}\,f)={\rm cl}\,({\rm epi}\,f).$

由文献 [16,定理 2.3.1] 可知

$ f^*=({\rm cl}\,f)^*,\quad f^{**}:=(f^*)^*\leq{\rm cl}\,f\leq f, $

且 Young-Fenchel 不等式成立

$\begin{equation}\label{eq2.11} f(x)+f^\ast(x^\ast)\geq\langle x^\ast,x\rangle,\forall(x,x^\ast)\in X\times X^\ast. \end{equation}$

设 $g,h:X\rightarrow\overline{\Bbb R}$ 为真凸函数, 且满足 ${\rm dom}\,g\cap{\rm dom}\,h\neq\emptyset$, 则

${\rm epi}\,g^*+{\rm epi}\,h^*\subseteq{\rm epi}\,(g+h)^*,$
$\begin{equation}\label{eq2.12} g\leq h\Rightarrow g^*\geq h^*\Leftrightarrow{\rm epi}\,g^*\subseteq{\rm epi}\,h^*. \end{equation}$

定义 $g$ 与 $h$ 的下端卷积函数 $g\Box h:X\rightarrow \overline{\Bbb R}$ 为

$(g\Box h)(x):=\inf\limits_{z\in X}\{g(z)+h(x-z)\},\forall x\in X.$

容易推出

$ {\rm epi}\,g+{\rm epi}\,h\subseteq{\rm epi}\,{(g\Box h)}. $

由文献 [16,定理 2.3.1(ix)] 可知

$ (g\Box h)^*=g^*+h^*, $
$\begin{equation}\label{eq2.13} {\rm epi}\,g^*+{\rm epi}\,h^*\subseteq{\rm epi}\,(g^*\Box h^*)\subseteq{\rm cl}\,({\rm epi}\,g^*+{\rm epi}\,h^*). \end{equation}$

特别地, 对任意的 $(p,r)\in X^*\times\Bbb R$ 和函数 $h:X\rightarrow \overline{\Bbb R}$, 以下等式成立

$ (h+p+r)^*(x^*)=h^*(x^*-p)-r,\forall x^*\in X^*, $
$ {\rm epi}\,(h+p+r)^*={\rm epi}\,h^*+(p,-r). $

进一步, 定义函数 $\phi:X\rightarrow Y^\bullet$ 的定义域为 ${\rm dom}\,\phi:=\{x\in X: \phi(x)\in Y\}.$ 若 ${\rm dom}\,\phi\neq\emptyset,$ 则称 $\phi$ 是真函数. 定义 $\phi$ 的 $S$ -上图为 ${\rm epi}\,\phi:=\{(x,y)\in X\times Y,y\in \phi(x)+S\}.$ 若 ${\rm epi}\,\phi$ 为闭集, 则称 $\phi$ 是 $S$ -上图闭函数. 若对任意的 $ x_1,x_2\in X$ 和 $t\in [0,1],$ 有

$\phi(tx_1+(1-t)x_2)\leq_S t\phi(x_1)+(1-t)\phi(x_2),$

则称 $\phi$ 是 $S$ -凸函数. 对任意的 $\lambda\in S^\oplus,$ 定义 $\lambda \phi(\cdot):X\rightarrow \overline{\Bbb R}$ 为

$ (\lambda\phi)(x) := \left\{\begin{array}{ll} \langle \lambda,\phi(x)\rangle, \quad &{x\in {\rm dom}\,\phi,}\\ +\infty, &\mbox{其他}. \end{array}\right.$

3 近似对偶理论

令 $p\in X^*,\mu\in \Bbb R$. 考虑带线性扰动的分式优化问题

$\begin{eqnarray*} (P_p)\quad\quad\quad\quad &&\inf \ \frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{g(x)}\\ \mbox{s.t. }&&x\in {C},h(x)\in -S, \end{eqnarray*}$

和约束优化问题

$\begin{eqnarray*} (P_{({\mu},p)})\quad\quad\quad\quad &&\inf \ \{f(x)-\mu g(x)-\langle p,x\rangle\}\\ \mbox{s.t. }&& x\in {C},h(x)\in -S. \end{eqnarray*}$

令 $v(P_p)$, $v(P_{(\mu,p)})$ 分别表示问题 $(P_p),(P_{(\mu,p)})$ 的最优值. 令 $A$ 表示系统 $\{x\in C;h(x)\in -S\}$ 的可行解集, 即 $A:=\{x\in C:h(x)\in -S\}$. 如不加特殊说明, 文中均假设 $A\cap {\rm dom}\,(f-{\mu}g)\neq\emptyset$, 且对任意的 $ x\in A$ 有 $g(x)>0.$ 由共轭函数的定义可知

$\begin{equation}\label{eq3.1} \inf\limits_{x\in A}\{f(x)-\mu g(x)-\langle p,x\rangle\}=-(f-\mu g+\delta_A)^*(p),\forall p\in X^*. \end{equation}$

于是, 对任意的 $(p,r)\in X^*\times \Bbb R$ 有

$\begin{equation}\label{eq3.2} (p,r)\in {\rm epi}\, (f-\mu g+\delta_A)^*\Leftrightarrow v(P_{(\mu,p)})\geq -r. \end{equation}$

注意到, 当$ p=0$ 时, 问题 $(P_p)$ 和 $(P_{(\mu,p)})$ 分别转化为前述问题 $(P)$ 和 $(P_{\mu})$, $v(P)$ 和 $v(P_{{\mu}})$ 分别表示问题 $(P),(P_{{\mu}})$ 的最优值. 显然, 由定义可知, 以下引理成立.

引理 3.1$v(P_p)\geq \mu$ 当且仅当 $v(P_{(\mu,p)})\geq0.$

3.1 $\mu\leq0$的情形

定义问题 $(P_{(\mu,p)})$ 的 Fenchel-Lagrange 对偶问题为

$\begin{eqnarray*} (D_{(\mu,p)}) \sup_{\mbox{$\begin{array}{c} {(\lambda,y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^* } \end{array}$}} &\{&-f^*(y^*)-(-{\mu}g)^*(u^*)-(\lambda h)^*(z^*)\\ &&-\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)\}. \end{eqnarray*}$

特别地, 当$ p=0$ 时, 问题 $(D_{(\mu,p)})$ 转化为

$\begin{eqnarray*} (D_{\mu}) \sup_{(\lambda,y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^* } \{-f^*(y^*)-(-{\mu}g)^*(u^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)\}. \end{eqnarray*}$

令 $v(D_\mu)$, $v(D_{(\mu,p)})$ 分别表示问题 $(D_\mu)$ 和 $(D_{(\mu,p)})$ 的最优值. 注意到, 对任意的 $(\lambda,y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*$ 和 $x\in X$,

$\begin{eqnarray*} & &-f^*(y^*)-(-{\mu}g)^*(u^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*) \\ &\leq & f(x)-\langle y^*,x\rangle+(-\mu g)(x)-\langle u^*,x\rangle+(\lambda h)(x)-\langle z^*,x\rangle+\delta_C(x)-\langle p-y^*-u^*-z^*,x\rangle\\ & \leq&(f-\mu g+\delta_A-p)(x). \end{eqnarray*}$

因此, 问题 $(P_\mu)$ 和 $(D_\mu)$ 之间的稳定弱对偶成立, 即

$ \begin{equation}\label{eq3.31} v(P_{(\mu,p)})\geq v(D_{(\mu,p)}), \forall p\in X^*. \end{equation}$

令 $\varepsilon\geq0.$ 下面给出问题 $(P_\mu)$ 和 $(D_\mu)$ 之间的近似对偶间隙性质和稳定近似对偶间隙性质的相关定义.

定义 3.1 (i) 若 $v(P_\mu)-v(D_\mu)\leq\varepsilon,$ 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的近似对偶间隙性质成立.

(ii) 若对任意的 $p\in X^*$ 有 $v(P_{(\mu,p)})-v(D_{(\mu,p)})\leq\varepsilon,$ 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似对偶间隙性质成立.

据文献[5], 定义函数 $ h^\diamond:X^*\rightarrow \overline{\Bbb R}$ 为 $ h^\diamond(x^*):=\inf\limits_{\lambda\in S^\oplus}(\lambda h)^*(x^*), \forall x^\ast\in X^\ast$. 为刻画问题 $(P_{\mu})$ 和 $(D_{\mu})$ 的近似对偶间隙性质, 引入如下约束规范条件.

定义 3.2 若

$\begin{equation}\label{eq3.3} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\subseteq {\rm epi}\,(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(0,\varepsilon), \end{equation}$

则称系统 $\{f,g,\delta_A\}$ 满足 $(RCI_1)$ 条件.

注 3.1 当 $\mu=0$ 时, $(RCI_1)$ 条件转化为文献[5]中的$(RCI)$ 条件, 即

$\begin{eqnarray*} {\rm epi}\,(f+\delta_A)^*\subseteq {\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(0,\varepsilon). \end{eqnarray*}$

命题 3.1 令 $p\in X^*$. 则

$v(D_{(\mu,p)})=-(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)(p).$

证 由下端卷积的定义可知

$\begin{eqnarray*} & &(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)(p) \\ & =&\inf\limits_{(y^*,u^*,z^*)\in X^*\times X^*\times X^* } \{f^*(y^*)+(-{\mu}g)^*(u^*) +h^\diamond(z^*)+\delta_C^*(p-u^*-y^*-z^*)\}\\ &=&\inf\limits_{(y^*,u^*,z^*)\in X^*\times X^*\times X^* } \{f^*(y^*)+(-{\mu}g)^*(u^*)+\inf\limits_{\lambda\in S^\oplus}(\lambda h)^*(z^*)+\delta_C^*(p-u^*-y^*-z^*)\}\\ &=&\inf\limits_{(\lambda,y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^* } \{f^*(y^*)+(-{\mu}g)^*(u^*)+(\lambda h)^*(z^*)+\delta_C^*(p-u^*-y^*-z^*)\}\\ &=&-v(D_{(\mu,p)}). \end{eqnarray*}$

因此, 结论成立.

定理 3.1 问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似对偶间隙性质成立当且仅当 $(RCI_1)$ 条件成立.

证 假设问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似对偶间隙性质成立, 即

$\begin{eqnarray*} v(P_{(\mu,p)})-v(D_{(\mu,p)})\leq\varepsilon, \forall p\in X^*. \end{eqnarray*}$

设 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^* $. 由(3.2)式可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq -r.$ 故 $v(D_{(\mu,p)})\geq-r-\varepsilon.$ 由命题 3.1 可知

$\begin{equation}\label{eq3.12} (f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)(p)\leq r+\varepsilon. \end{equation}$

因此, $(p,r+\varepsilon)\in{\rm epi}\,(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*),$ 即 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(0,\varepsilon)$. 从而(3.4)式成立.

反之, 假设 $(RCI_1)$ 条件成立. 设 $p\in X^*$. 若 $v(P_{(\mu,p)})=-\infty,$ 则结论自然成立. 下设 $v(P_{(\mu,p)})=-r\in \Bbb R$, 则由(3.2)式可知 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*$. 从而由(3.4)式可知

$(p,r)\in{\rm epi}\,(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(0,\varepsilon), $

故(3.5)式成立. 于是由命题 3.1 可知 $v(D_{(\mu,p)})\geq v(P_{(\mu,p)})-\varepsilon.$ 证毕.

类似于定理 3.1 的证明可知以下结论成立.

定理 3.2 问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的近似对偶间隙性质成立当且仅当

$\begin{eqnarray*} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\cap(\{0\}\times \Bbb R)\subseteq {\rm epi}\,(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)\cap(\{0\}\times \Bbb R)-(0,\varepsilon). \end{eqnarray*}$

定义 3.3 (i) 若 $v(P_\mu)=v(D_\mu)$, 且问题 $(D_\mu)$ 有最优解, 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的强对偶成立.

(ii) 若对任意的 $p\in X^*$, $v(P_{(\mu,p)})=v(D_{(\mu,p)})$ 且问题 $(D_{(\mu,p)})$ 有最优解, 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定强对偶成立.

(iii) 若存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} v(P_{\mu}) \leq- f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)+\varepsilon, \end{eqnarray*}$

则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的近似强对偶成立.

(iv) 若对任意的 $p\in X^*$, 存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.47} v(P_{(\mu,p)}) \leq- f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)+\varepsilon, \end{equation}$

则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似强对偶成立.

为简便起见, 记

$\Lambda={\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,(-\mu g)^*+\bigcup_{\lambda\in S^\oplus}{\rm epi}\,(\lambda h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*.$

为刻画问题 $(P_{\mu})$ 和 $(D_{\mu})$ 之间的稳定近似强对偶, 引入以下约束规范条件.

定义 3.4 若

$\begin{equation}\label{eq3.13} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\subseteq \Lambda-(0,\varepsilon), \end{equation}$

则称系统 $\{f,g,\delta_A\}$ 满足 $(RCE_1)$ 条件.

注 3.2 (i) 当 $\mu=0$ 时, $(RCE_1)$ 条件转化为文 [5] 中的 $(RCE)$ 条件, 即

$\begin{eqnarray*} {\rm epi}\,(f+\delta_A)^*\subseteq {\rm epi}\,f^*+\bigcup_{\lambda\in S^\oplus}{\rm epi}\,(\lambda h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(0,\varepsilon). \end{eqnarray*}$

(ii) 由文献[10]易知 $\Lambda\subseteq{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*$, 故当 $\varepsilon=0,$$(RCE_1)$ 条件转化为文献[10]中的

$\begin{equation}\label{eq3.14} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*=\Lambda. \end{equation}$

命题 3.2 下面关系成立

$(RCE_1)\mbox{条件}\Rightarrow (RCI_1)\mbox{条件}.$

证 假设 $(RCE_1)$ 条件成立. 设 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*,$ 由(3.7)式可知, 存在 ${\lambda}\in S^\oplus$, 使得

$(p,r)\in{\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,(-\mu g)^*+{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(0,\varepsilon).$

于是, 由(2.3)和(2.2)式可知 $(p,r)\in {\rm epi}\,(f^*\Box(-\mu g)^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(0,\varepsilon). $ 因此, $(RCI_1)$ 条件成立.

定理 3.3 考虑以下命题

(i) $(RCE_1)$ 条件成立.

(ii) 若对任意的 $(p, x)\in X^\ast\times A$ 和 $r\in \Bbb R$ 有 $f(x)-\mu g(x)-\langle p,x\rangle\geq-r$, 则存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.15} - f^*(y^*) -(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)\geq-r-\varepsilon. \end{equation}$

(iii) 问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似强对偶成立.

(iv) 若对任意的 $(p, x)\in X^\ast\times A$ 有 $\frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{ g(x)}\geq\mu$, 则存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.16} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)\geq-\varepsilon. \end{equation}$

则有 (i)$\Leftrightarrow$ (ii)$\Leftrightarrow$(iii)$\Rightarrow$(iv).

证 (i)$\Rightarrow$(ii). 假设 $(RCE_1)$ 条件成立. 设 $(p,x)\in X^*\times A$ 满足 $f(x)-\mu g(x)-\langle p,x\rangle\geq-r$, 则由(3.1)式可知 $ -(f-\mu g+\delta_A)^*(p)\geq-r.$ 于是 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^* $. 从而由(3.7)式可知 $(p,r)\in\Lambda-(0,\varepsilon),$ 即存在 ${\lambda}\in S^\oplus,(y^*,r_1)\in {\rm epi}\,f^*,(u^*,r_2)\in {\rm epi}\,(-\mu g)^*,(z^*,r_3)\in{\rm epi}\,({\lambda} h)^*,(w^*, r_4)\in{\rm epi}\,\delta_C^*$, 使得

$p=y^*+u^*+z^*+w^*,$
$r=r_1+r_2+r_3+r_4-\varepsilon.$

因为 $f^*(y^*)\leq r_1,(-\mu g)^*(u^*)\leq r_2,({\lambda}h)^*(z^*)\leq r_3,\delta_C^*(w^*)\leq r_4,$ 所以由(3.11)和(3.12)式可知

$r \geq f^*(y^*)+(-\mu g)^*(u^*)+({\lambda} h)^*(z^*) +\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)-\varepsilon, $

即(3.9)式成立.

(ii)$\Rightarrow$(iii). 假设 (ii) 成立. 设 $p\in X^*,-r:=v(P_{(\mu,p)})\in\Bbb R$, 则对任意的 $x\in A$ 有 $f(x)-\mu g(x)-\langle p,x\rangle\geq-r$. 从而由 (ii) 可知, 存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得(3.6)式成立. 故问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似强对偶成立.

(iii)$\Rightarrow$(i). 假设 (iii) 成立. 设 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^* $, 则由(3.2)式可知 $ v(P_{(\mu,p)})\geq-r.$ 于是由问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定近似强对偶成立可知, 存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$ -r \leq- f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)+\varepsilon,$

即

$\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)\leq r-f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*)+\varepsilon.$

这意味着 $(p-y^*-u^*-z^*, r-f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*)+\varepsilon)\in{\rm epi}\,\delta^*_C,$ 从而

$\begin{eqnarray*} (p,r)&=&(y^*,f^*(y^*))+(u^*,(-\mu g)^*(u^*))+(z^*,({\lambda} h)^*(z^*))\\ & & +(p-y^*-u^*-z^*, r-f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*)+\varepsilon)-(0,\varepsilon)\\ & \in& {\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,(-\mu g)^*+{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta^*_C-(0,\varepsilon). \end{eqnarray*}$

因此, $(RCE_1)$ 条件成立.

(iii)$\Rightarrow$(iv). 设 $(p,x)\in X^*\times A $ 满足 $\frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{g(x)}\geq\mu$, 则由引理 3.1 可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq0.$ 于是由 (iii) 可知, 存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得(3.10)式成立. 证毕.

类似于定理 3.3 的证明可知下面定理成立.

定理 3.4 考虑以下命题

(i) $ {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\cap(\{0\}\times \Bbb R)\subseteq \Lambda \cap(\{0\}\times \Bbb R)-(0,\varepsilon).$

(ii) 若对任意的 $x\in A$ 和 $r\in\Bbb R$ 有 $f(x)-\mu g(x)\geq-r$, 则存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)\geq-r-\varepsilon. \end{eqnarray*}$

(iii) 问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的近似强对偶成立.

(iv) 若对任意的 $x\in A$ 有 $\frac{f(x)}{ g(x)}\geq\mu$, 则存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)\geq-\varepsilon. \end{eqnarray*}$

则有 (i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii)$\Rightarrow$(iv).

下例说明定理 3.3 和定理 3.4 成立.

例 3.1 设 $X=Y=C:=\Bbb R$, $S:=\Bbb R_+$. 定义 $h(x):=-x,\forall x\in \Bbb R$,

$ f(x) := \left\{\begin{array}{ll} x+2, \quad &{x>0},\\ \frac{5}{2},&{x=0},\\ +\infty, &x<0, \end{array}\right.\quad g(x) := \left\{\begin{array}{ll} x+3, \quad &{x\geq0},\\ +\infty, &x<0. \end{array}\right.$

则 $A=[0,+\infty)$. 当 $\mu\leq0$ 时,

$\begin{equation}\label{q1}(f-\mu g+\delta_A)(x) = \left\{\begin{array}{ll} (1-\mu)x+2-3\mu, \quad &{x>0},\\ \frac{5}{2}-3\mu, \quad &{x=0},\\ +\infty, &x<0. \end{array}\right.\end{equation}$

从而

$(f-\mu g+\delta_A)^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} 3\mu-2, \quad &{x^*\leq 1-\mu},\\ +\infty, &x^*>1-\mu. \end{array}\right.$

因此

${\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*=(-\infty,1-\mu]\times [3\mu-2, +\infty).$

同时, 由共轭函数的定义可知

$ f^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} -2, \quad &{x^*\leq1},\\ +\infty, &x^*>1, \end{array}\right.\quad (-\mu g)^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} 3\mu, \quad &{x^*\leq -\mu},\\ +\infty, &x^*>-\mu, \end{array}\right.$
$ \delta_C^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad &{x^*=0},\\ +\infty, &x^*\neq0, \end{array}\right.\quad (\lambda h)^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad &{x^*=-\lambda},\\ +\infty, &x^*\neq-\lambda, \end{array}\quad\forall \lambda\ge 0.\right.$

令 $\varepsilon\geq0$. 当 $\mu \le -1$ 时, 由

${\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,(-\mu g)^*+\bigcup_{\lambda\in S^*}{\rm epi}\,(\lambda h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(0,\varepsilon)=(-\infty,2]\times [-5-\varepsilon,+\infty).$

因此 $(RCE_1)$ 条件成立且定理3.4中的(i)成立. 此时, 由(3.13)式可知 $v(P_{\mu})=5$. 令 $r\in \Bbb R$ 且 $r\le 5.$ 则对任意的 $x\in A$ 有 $f(x)-\mu g(x)\ge r$, 且存在 $y^*=1,u^*=1,z^*=-2,\lambda=2$, 使得

$ - f^*(y^*) -(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)=5\geq r-\varepsilon.$

故定理3.4中的 (ii) 成立, 同时由上式可知 (iii) 成立. 下验证 (iv) 成立. 事实上, 由于

$\frac{f(x)}{g(x)}=\left\{\begin{array}{ll} 1-\frac{1}{x+3}, \quad &{x>0},\\ \frac{5}{6}, \quad &{x=0},\\ +\infty, &x<0. \end{array}\right.$

因此, $v(P)=\frac{2}{3}$. 故当 $\mu \le -1$ 时, 对任意的$x\in A$, $\frac{f(x)}{g(x)}\ge \mu$且存在 $y^*=1,u^*=1,z^*=-2, $$\lambda=2$, 使得

$ - f^*(y^*) -(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)=5\geq-\varepsilon.$

从而(iv)成立. 类似可验证定理 3.3 成立.

命题 3.3 设 $p\in X^*$. 若存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.39} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)\geq0, \end{equation}$

则

$\begin{equation}\label{eq3.40} \frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{ g(x)}\geq\mu,\forall x\in A. \end{equation}$

证 若存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得(3.14)式成立. 则 $v(D_{(\mu,p)})\geq0$. 于是由(3.3)式可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq0$. 从而由引理 3.1 可知 $v(P_p)\geq\mu,$ 即(3.15)式成立.

当 $\varepsilon=0$ 时, 由注 3.2(ii), 定理 3.3 和 3.4, 命题 3.3 可得以下结论, 其中推论 3.2 即为文献 [10,定理 3.6].

推论 3.1 考虑以下命题

(i) 假设(3.8)式成立.

(ii) 若对任意的 $(p, x)\in X^\ast\times A$ 和 $r\in\Bbb R$ 有 $f(x)-\mu g(x)-\langle p,x\rangle\geq-r$, 则存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p-y^*-u^*-z^*)\geq-r. \end{eqnarray*}$

(iii) 问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的稳定强对偶成立.

(iv) 对任意的 $(p, x)\in X^\ast\times A$, $\frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{ g(x)}\geq\mu$ 成立当且仅当存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得(3.14)式成立.

则有 (i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii)$\Rightarrow$(iv).

推论 3.2 考虑以下命题

(i) ${\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\cap(\{0\}\times \Bbb R)= \Lambda\cap(\{0\}\times \Bbb R). $

(ii) 若对任意的 $x\in A$ 和 $r\in\Bbb R$ 有 $f(x)-\mu g(x)\geq-r$, 则存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)\geq-r. \end{eqnarray*}$

(iii) 问题 $(P_\mu)$ 与 $(D_\mu)$ 之间的强对偶成立.

(iv) 对任意的 $x\in A$, $\frac{f(x)}{ g(x)}\geq\mu$ 成立当且仅当存在 $({\lambda},y^*,u^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} - f^*(y^*)-(-\mu g)^*(u^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(-y^*-u^*-z^*)\geq0. \end{eqnarray*}$

则有 (i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii)$\Rightarrow$(iv).

注 3.3 在假设 $f,g$ 为真凸下半连续函数, $C$ 为闭凸集, $h$ 为 $S$ - 上图闭函数的情形下, 文献[11]利用闭性条件

$(CC)_1 \quad{\rm epi}\,f^*+ {\rm epi}\,(-{\mu}g)^*+\bigcup_{\lambda\in S^{\oplus}}{\rm epi}\,(\lambda h)^*+{\rm epi}\,\delta^*_C\quad\mbox{是弱}^\ast\mbox{闭凸集},$

得到了推论 3.2 的相关结论. 事实上, 在上述假设下, 由文献 [17,命题 6.4] 可知(3.8)式与 $(CC)_1$ 条件等价, 因此推论 3.2 推广和改进了文献[11,定理 4.3 和定理 4.4].

3.2 $\mu>0$ 的情形

设 $\mu>0,p\in X^*$. 考虑带线性扰动的分式优化问题 $(P_p)$ 和约束优化问题 $(P_{(\mu,p)})$. 当 $\mu>0$ 时, 问题 $(P_{(\mu,p)})$ 的目标函数为 DC 函数. 利用凸化技巧, 定义问题 $(P_{(\mu,p)})$ 的 Fenchel-Lagrange 对偶问题如下

$\begin{eqnarray*} (\overline{D_{(\mu,p)}}) \inf\limits_{u^*\in {\rm dom}\,g^*}\sup_{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^* } \{({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\}, \end{eqnarray*}$

对任意的 $u^*\in {\rm dom}\,g^*$, 定义问题 $(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 的子问题为

$\begin{eqnarray*} (\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}}) \quad \sup_{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^* }\{({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\}. \end{eqnarray*}$

注意到, 当$ p=0$ 时, 问题 $(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 转化为

$\begin{eqnarray*} (\overline{D_{\mu}}) \quad \inf\limits_{u^*\in {\rm dom}\,g^*} \sup_{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^* }\{({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)\}, \end{eqnarray*}$

对任意的 $u^*\in {\rm dom}\,g^*$, 问题 $(\overline{D_{\mu}})$ 的子问题为

$\begin{eqnarray*} (\overline{D_{\mu}^{u^*}}) \quad\quad \sup_{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^* } \{({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)\}. \end{eqnarray*}$

令 $v(\overline{D_{\mu}})$, $v(\overline{D_{\mu}^{u^*}})$, $v(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 以及 $v(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})$ 分别表示问题 $(\overline{D_{\mu}})$, $(\overline{D_{\mu}^{u^*}})$, $(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 以及 $(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})$ 的最优值. 若 $v(P_{\mu})\geq v(\overline{D_{\mu}}),$ 则称问题 $(P_{\mu})$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的弱对偶成立. 若对任意的 $p\in X^*$ 有 $v(P_{(\mu,p)})\geq v(\overline{D_{(\mu,p)}}),$ 则称问题 $(P_{\mu})$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定弱对偶成立.

为刻画 $(P_{\mu})$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的弱对偶, 引入如下约束规范条件

$\begin{equation}\label{eq3.19} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*= {\rm epi}\,(f-{\rm cl}\,(\mu g)+\delta_A)^*. \end{equation}$

引理 3.2 假设(3.16)式成立, 则问题 $(P_{\mu})$ 和 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定弱对偶成立.

证 设 $p\in X^*.$ 由(2.1)式可知, 对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*,(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*, x\in X$ 有

$\begin{eqnarray*} & & ({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*) \\\nonumber & \leq& ({\mu g})^*(u^*)-\langle y^*,x\rangle+f(x)-\langle z^*,x\rangle+(\lambda h)(x)-\langle p+u^*-y^*-z^*,x\rangle+\delta_C(x)\\\nonumber & \leq& ({\mu g})^*(u^*)-\langle p+u^*,x\rangle+f(x)+\delta_A(x). \end{eqnarray*}$

由于上式对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$ 成立, 故对任意的 $x\in X$ 有

$\begin{eqnarray*} v(\overline{D_{(\mu,p)}}) & \leq&\inf\limits_{u^*\in{\rm dom}\,g^*}\{({\mu g})^*(u^*)-\langle u^*,x\rangle+f(x)+\delta_A(x)-\langle p,x\rangle \}\\ & =&(f-{\rm cl}\,(\mu g)+\delta_A-p)(x). \end{eqnarray*}$

于是 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\leq\inf\limits_{x\in X}\{(f-{\rm cl}\,(\mu g)+\delta_A-p)(x)\}.$ 因此, $(p,-v(\overline{D_{(\mu,p)}}))\in{\rm epi}\,(f-{\rm cl}\,(\mu g)+\delta_A)^*$. 由(3.16)式知 $(p,-v(\overline{D_{(\mu,p)}}))\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*$. 故由(3.2)式知 $v({P_{(\mu,p)}})\geq v(\overline{D_{(\mu,p)}}).$

显然, 当 $g$ 为下半连续函数时,(3.16)式自动成立, 从而由引理 3.2 可知问题 $(P_{\mu})$ 和 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定弱对偶成立.

定义 3.5 (i) 若 $v(\overline{D_{\mu}})\leq v(P_\mu)\leq v(\overline{D_{\mu}})+\varepsilon,$ 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的近似对偶间隙性质成立.

(ii) 若对任意的 $p\in X^*$, 有 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\leq v(P_{(\mu,p)})\leq v(\overline{D_{(\mu,p)}})+\varepsilon,$ 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定近似对偶间隙性质成立.

定义 3.6 若

$\begin{equation}\label{eq3.20} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\subseteq \bigcap_{u^*\in {\rm dom}\,g^*} \bigg({\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(u^*,(\mu g)^*(u^*))\bigg)-(0,\varepsilon), \end{equation}$

则称系统 $\{f,g,\delta_A\}$ 满足 $(RCI_2)$ 条件.

注 3.4 当 $\mu=0$ 时, $(RCI_2)$ 条件即为文献[5]中的 $(RCI)$ 条件.

定理 3.5 假设(3.16)式成立. 则问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定近似对偶间隙性质成立当且仅当 $(RCI_2)$ 条件成立.

证 假设问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定近似对偶间隙性质成立, 则

$ v(\overline{D_{(\mu,p)}})\leq v(P_{(\mu,p)})\leq v(\overline{D_{(\mu,p)}})+\varepsilon,\forall p\in X^*.$

设 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^* $, 由(3.2)式可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq -r.$ 于是 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq-r-\varepsilon.$ 故由 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 的定义可知, 对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$(\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\geq-r-\varepsilon,$

因此

$\begin{equation}\label{eq3.48} \inf\limits_{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*}\{f^*(y^*)+(\lambda h)^*(z^*) +\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\}\leq r+(\mu g)^*(u^*)+\varepsilon. \end{equation}$

于是, 由函数下端卷积的定义可知 $(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)(p+u^*)\leq r+(\mu g)^*(u^*)+\varepsilon,$ 即 $(p+u^*,r+(\mu g)^*(x^*)+\varepsilon)\in{\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*).$ 从而由 $u^*$ 的任意性可知

$(p,r)\in\bigcap_{u^*\in {\rm dom}\,g^*} ({\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(u^*,(\mu g)^*(u^*)))-(0,\varepsilon).$

因此,(3.17)式成立.

反之, 假设 $(RCI_2)$ 条件成立. 设 $p\in X^*$. 由引理 3.2 可知 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\leq v(P_{(\mu,p)}).$ 下证 $ v(P_{(\mu,p)})\leq v(\overline{D_{(\mu,p)}})+\varepsilon.$ 若 $v(P_{(\mu,p)})=-\infty,$ 则结论自然成立. 下设 $v(P_{(\mu,p)})=-r\in \Bbb R$, 则由(3.2)式可知 $(p,r)\in{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^* $. 设 $u^*\in {\rm dom}\,g^*$. 由(3.17)式有 $(p,r)\in {\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(u^*,(\mu g)^*(u^*))-(0,\varepsilon),$ 于是 $(p+u^*,r+(\mu g)^*(u^*)+\varepsilon)\in {\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*),$ 即 $(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)(p+u^*)\leq r+(\mu g)^*(u^*)+\varepsilon.$ 从而由函数下端卷积的定义可知(3.18)式成立. 因此

$\sup_{{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*}} \{({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\}\geq-r-\varepsilon.$

故由 $u^*$ 的任意性可知 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq v(P_{(\mu,p)})-\varepsilon.$ 证毕.

类似于定理 3.5 的证明可知下面定理成立.

定理 3.6 假设(3.16)式成立, 则问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的近似对偶间隙性质成立当且仅当

$ {\rm epi}(f\!-\!\mu g\!+\!\delta_A)^*\cap(\{0\}\!\times\! \Bbb R)\subseteq \bigcap_{u^*\in {\rm dom}\,g^*} ({\rm epi}(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)\!-\!(u^*,(\mu g)^*(u^*)))\cap(\{0\}\times \Bbb R)\!-\!(0,\varepsilon). $

定义 3.7 (i) 若 $v({P_{\mu}})=v(\overline{D_{\mu}})$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{\mu}^{u^*}})=v(\overline{D_\mu})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}$, $(\overline{D_{\mu}^{u^*}})$ 有最优解, 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_\mu})$ 之间的强对偶成立.

(ii) 若对任意的 $p\in X^*$, $ v({P_{(\mu,p)}})= v(\overline{D_{(\mu,p)}})$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})=v(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}$, $(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})$ 有最优解, 则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_\mu})$ 之间的稳定强对偶成立.

(iii) 若 $v(\overline{D_{\mu}})\leq v({P_{\mu}})\leq v(\overline{D_{\mu}})+\varepsilon$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{\mu}^{u^*}})=v(\overline{D_\mu})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} v(P_{\mu}) \leq {({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)}+\varepsilon, \end{eqnarray*}$

则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_\mu})$ 之间的近似强对偶成立.

(iv) 若对任意的 $p\in X^*$, $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\leq v({P_{(\mu,p)}})\leq v(\overline{D_{(\mu,p)}})+\varepsilon$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})=v(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.22} v({P_{(\mu,p)}}) \leq({\mu g})^*(u^*)-f^*(y^*)-(\lambda h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)+\varepsilon, \end{equation}$

则称问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_\mu})$ 之间的稳定近似强对偶成立.

为简便起见, 记

$\Omega:=\bigcap_{u^*\in{\rm dom}\,g^*}\bigg({\rm epi}\,f^*+\bigcup_{\lambda\in S^\oplus}{\rm epi}\,(\lambda h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(u^*,(\mu g)^*(u^*))\bigg).$

定义 3.8 若

$\begin{equation}\label{eq3.23} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\subseteq \Omega-(0,\varepsilon), \end{equation}$

则称系统 $\{f,g,\delta_A\}$ 满足 $(RCE_2)$ 条件.

注 3.5 (i) 当 $\mu=0$ 时, $(RCE_2)$ 条件转化为文献[5]中的 $(RCE)$ 条件.

(ii) 假设(3.16)式成立, 由文献[10]可知 $\Omega\subseteq{\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*$, 故当 $\varepsilon=0$ 时, $(RCE_2)$ 条件转化为文献[10]中的

$\begin{equation}\label{eq3.24} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*= \Omega. \end{equation}$

命题 3.4 以下结论成立 $(RCE_2)\mbox{条件}\Rightarrow(RCI_2)\mbox{条件}.$

证 假设 $(RCE_2)$ 条件成立. 设 $(p,r)\in {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*$, 则由(3.20)式可知 $(p,r)\in\Omega-(0,\varepsilon).$ 于是, 对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 ${\lambda}\in S^\oplus$, 使得

$(p,r)\in{\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(u^*,(\mu g)^*(u^*))-(0,\varepsilon). $

故由(2.3)和(2.2)式可知

$ (p+u^*,r+(\mu g)^*(u^*)+\varepsilon) \in{{\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*} \subseteq {\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*). $

从而, 由 $u^*$ 的任意性可知

$(p,r)\in\bigcap_{u^*\in {\rm dom}\,g^*} ({\rm epi}\,(f^*\Box h^\diamond\Box\delta_C^*)-(u^*,(\mu g)^*(u^*)))-(0,\varepsilon),$

因此, $(RCI_2)$ 条件成立.证毕.

命题 3.5 设 $(p,r)\in X^*\times \Bbb R.$ 则 $(p,r+\varepsilon)\in \Omega$ 当且仅当 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq-r-\varepsilon$, 且对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.25} (\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\geq-r-\varepsilon. \end{equation}$

证 设 $(p,r+\varepsilon)\in \Omega$. 则对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 ${\lambda}\in S^\oplus,$ 使得

$(p,r+\varepsilon)\in{\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(u^*,(\mu g)^*(u^*)).$

于是, 存在

$(y^*,r_1)\in{\rm epi}\,f^*,(z^*,r_2)\in{\rm epi}\,({\lambda} h)^*,(w^*,r_3)\in{\rm epi}\,\delta_C^*, $

使得

$p+u^*=y^*+z^*+w^*,$
$r+\varepsilon=r_1+r_2+r_3-(\mu g)^*(u^*).$

由于 $f^*(y^*)\leq r_1,({\lambda} h)^*(z^*) \leq r_2,\delta_C^*(w^*)\leq r_3,$ 从而

$ \begin{eqnarray*} -r-\varepsilon\leq-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)+(\mu g)^*(u^*), \end{eqnarray*}$

即(3.22)式成立. 进一步, 由(3.22)式可知

$\sup_{{(\lambda,y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*}}\{(\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\}\geq -r-\varepsilon.$

由于上式对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$ 成立, 故 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq -r-\varepsilon.$

反之, 设 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq -r-\varepsilon$. 任取 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$. 则存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^* $ 使得(3.22)式成立. 令 $r_1=f^*(y^*),r_2=({\lambda} h)^*(z^*),r_3=r+(\mu g)^*(u^*)-r_1-r_2$. 显然, $(y^*,r_1)\in{\rm epi}\,f^*,(z^*,r_2)\in{\rm epi}\,({\lambda} h)^*,(p+u^*-y^*-z^*,r_3)\in{\rm epi}\,\delta_C^*$.

故

$ (p,r)\in {\rm epi}\,f^*+{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(u^*,(\mu g)^*(u^*))-(0,\varepsilon). $

因此

$ (p,r)\in{\rm epi}\,f^*+\bigcup_{\lambda\in S^\oplus}{\rm epi}\,({\lambda} h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(u^*,(\mu g)^*(u^*))-(0,\varepsilon). $

从而由 $u^*$ 的任意性可知 $(p,r)\in\Omega-(0,\varepsilon).$证毕.

定理 3.7 (i) 假设(3.16)式成立. 若 $(RCE_2)$ 条件成立, 则问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定近似强对偶成立.

(ii) 设 $p\in X^*$. 假设 $(RCE_2)$ 条件成立. 若对任意的 $x\in A$ 有 $\frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{ g(x)}\geq\mu$, 则对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.27} (\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\geq-\varepsilon. \end{equation} $

证 (i) 设 $p\in X^*$. 由引理 3.2 可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq v(\overline{D_{(\mu,p)}}).$ 下证 $ v({P_{(\mu,p)}})\leq v(\overline{D_{(\mu,p)}})+\varepsilon$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})=v(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得(3.19)式成立. 若 $ v({P_{(\mu,p)}})=-\infty,$ 则结论自然成立. 下设 $ v({P_{(\mu,p)}})=-r\in \Bbb R$. 由(3.2)和(3.20)式可知 $(p,r)\in\Omega-(0,\varepsilon).$ 于是, 由命题 3.5 可知 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq-r-\varepsilon$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{(\mu,p)}^{u^*}})=v(\overline{D_{(\mu,p)}})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*$, 使得(3.19)式成立. 因此, 问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_\mu})$ 之间的稳定近似强对偶成立.

(ii) 设 $x\in A $. 若 $\frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{ g(x)}\geq\mu$, 则由引理 3.1 可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq0.$ 于是由(3.2)和(3.20)式可知 $(p,0)\in\Omega-(0,\varepsilon).$ 从而由命题 3.5 可知, 对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得(3.23)式成立.证毕.

类似于定理 3.7 的证明可知下面定理成立.

定理 3.8 (i) 假设(3.16)成立. 若

$\begin{equation}\label{eq3.28} {\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\cap(\{0\}\times \Bbb R)\subseteq \Omega\cap(\{0\}\times \Bbb R)-(0,\varepsilon), \end{equation}$

则问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的近似强对偶成立.

(ii) 假设(3.24)式成立. 若对任意的 $x\in A$ 有 $\frac{f(x)}{ g(x)}\geq\mu$, 则对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} (\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)\geq-\varepsilon. \end{eqnarray*}$

下例说明定理 3.7 和 3.8 成立.

例 3.2 设 $X=Y=C:=\Bbb R$, $S:=\Bbb R_+$. 定义 $h(x):=-x,\forall x\in \Bbb R$,

$ f(x) := \left\{\begin{array}{ll} x+2, \quad &{x\geq0},\\ +\infty, &x<0, \end{array}\right.\quad g(x) := \left\{\begin{array}{ll} x+1, \quad &{x\geq0},\\ +\infty, &x<0. \end{array}\right.$

则 $A=[0,+\infty)$. 令 $\varepsilon\geq0$, $\mu> 0$. 则有

$\begin{equation}\label{q2}(f-\mu g+\delta_A)(x) = \left\{\begin{array}{ll} (1-\mu)x+2-\mu, \quad &{x\geq0},\\ +\infty, &x<0. \end{array}\right.\end{equation}$

因此

$(f-\mu g+\delta_A)^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} \mu-2, \quad &{x^*\leq 1-\mu},\\ +\infty, &x^*>1-\mu. \end{array}\right.$

从而

${\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*=(-\infty,1-\mu]\times [\mu-2,+\infty).$

进一步, 由共轭函数的定义可知

$ f^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} -2, \quad &{x^*\leq1},\\ +\infty, &x^*>1, \end{array}\right.\quad (\mu g)^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} -\mu, \quad &{x^*\leq \mu},\\ +\infty, &x^*>\mu, \end{array}\right.$
$ \delta_C^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad &{x^*=0},\\ +\infty, &x^*\neq0, \end{array}\right.\quad (\lambda h)^*(x^*) = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad &{x^*=-\lambda},\\ +\infty, &x^*\neq-\lambda, \end{array}\right.\quad \forall \lambda\ge 0.$

故当$\mu \ge 1$时,

$\begin{eqnarray*} \Omega-(0,\varepsilon)&= & \bigcap_{u^*\in{\rm dom}\,g^*}\bigg({\rm epi}\,f^*+\bigcup_{\lambda\in S^\oplus}{\rm epi}\,(\lambda h)^*+{\rm epi}\,\delta_C^*-(u^*,(\mu g)^*(u^*))\bigg) \\ & = & (-\infty,0]\times [-1-\varepsilon,+\infty), \end{eqnarray*}$

从而$(RCE_2)$ 条件成立且(3.24)式成立. 特别地, 当$\mu = 1$时, 由(3.25)式可知 $v(P_{\mu}) = 1$, 且对任意满足 $v(\overline{D_{\mu}^{u^*}})=v(\overline{D_\mu})$ 的 ${u^*\in {\rm dom}\,g^*}=(-\infty,1]$, 存在 $y^*=u^*,z^*=0,\lambda=0$, 使得

$(\mu g)^*(u^*)- f^*(y^*) -({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)=1\geq1-\varepsilon.$

故定理 3.8中的(i)成立. 进一步, 当$\mu=1$时, 对任意的$x\in A$有$\frac{f(x)}{g(x)}\geq 1$, 且对任意的${u^*\in {\rm dom}\,g^*}=(-\infty,1]$, 存在 $y^*=u^*,z^*=0,\lambda=0$, 使得

$(\mu g)^*(u^*)- f^*(y^*) -({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)=1\geq-\varepsilon.$

因此 (ii) 成立. 类似可验证定理 3.7 成立.

命题 3.6 设 $p\in X^*$. 假设(3.16)式成立. 若对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.42} (\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(p+u^*-y^*-z^*)\geq0, \end{equation}$

则(3.15)式成立.

证 假设(3.16)式成立. 若对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得(3.26)式成立, 则 $v(\overline{D_{(\mu,p)}})\geq0$. 于是由引理 3.2 可知 $v(P_{(\mu,p)})\geq0$. 从而由引理 3.1 可知 $v(P_p)\geq\mu,$ 即(3.15)式成立.

当 $\varepsilon=0$ 时, 由注 3.5(ii), 定理 3.7 和 3.8 以及命题 3.6 可得以下推论, 其中推论 3.4 即为文献 [10,定理 3.15].

推论 3.3 假设(3.21)式成立, 以下命题成立

(i) 问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的稳定强对偶成立.

(ii) 对任意的 $(p,x )\in X^*\times A$, $\frac{f(x)-\langle p,x\rangle}{ g(x)}\geq\mu$ 成立当且仅当对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得(3.26)成立.

推论 3.4 假设 ${\rm epi}\,(f-\mu g+\delta_A)^*\cap(\{0\}\times \Bbb R)= \Omega\cap(\{0\}\times \Bbb R)$, 以下命题成立

(i) 问题 $(P_\mu)$ 与 $(\overline{D_{\mu}})$ 之间的强对偶成立.

(ii) 对任意的 $x\in A$, $\frac{f(x)}{ g(x)}\geq\mu$ 成立当且仅当对任意的 $u^*\in{\rm dom}\,g^*$, 存在 $({\lambda},y^*,z^*)\in S^\oplus\times X^*\times X^*,$ 使得

$\begin{eqnarray*} (\mu g)^*(u^*)-f^*(y^*)-({\lambda} h)^*(z^*) -\delta_C^*(u^*-y^*-z^*)\geq0. \end{eqnarray*}$

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