在过去的几十年, 由维纳过程驱动的随机微分方程统计推断问题引起了越来越多统计学者们的重视. 目前, 关于这方面的工作大致可以分为两类. 第一类是遍历随机微分方程的统计推断 (见文献[3,15-16]). 譬如, Bo 等^[4]讨论了遍历反射 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程最大似然估计量的相合性和渐近正态性. Dietz 和 Kutoyants^[6]研究了一类遍历随机过程轨迹拟合估计量的强相合性和渐近正态性.

第二类是非遍历随机微分方程的统计推断 (见文献[2,21,24]). 例如, Dietz^[5]讨论了一类非遍历随机微分方程轨迹拟合估计量的强相合性和渐近正态性. Jiang 和 Dong^[14]研究了非遍历情形下带有线性漂移项 OU 过程最大似然估计量的渐近行为. Zang 和 Zhang^[23]分析了非遍历情形下反射 OU 过程轨迹拟合估计量的相合性和渐近正态性. 特别地, Dietz 和 Kutoyants^[7]研究了一类非遍历情形下非线性随机微分方程的参数估计问题

其中, $\theta\geq 0$, $a: \Bbb R \rightarrow\Bbb R$ 为已知可测函数, $\{B_t\}_{t\geq 0}$ 是一个标准的维纳过程.

然而实际上, 很多自然现象和社会现象可以用 $\alpha$ -稳定分布来描述, 如星际间引力场的随机波动、棉花期货价格的波动等. 例如, Fama^[8]和 Mandelbrot^[18]发现 $\alpha$ -稳定分布对股票价格对数变化的拟合方面比正态分布更具有优越性. Xu 等^[22]使用 $\alpha$ -稳定分布对中国股票市场进行了实证分析, 结果表明 $\alpha$ -稳定分布对股指收益率的拟合优于正态分布. 因此, 利用 $\alpha$ -稳定过程驱动的随机微分方程描述一些具有显著拖尾特性的随机现象具有重要的理论意义和现实意义.

受上述文献的启发, 本文研究 $\alpha$ -稳定过程驱动的非线性随机微分方程的参数估计问题

其中 $\theta\geq 0$, $a: \Bbb R\rightarrow\Bbb R$ 为可测函数, $\{Z_t\}_{t\geq 0}$ 是定义在带域流完备概率空间 $(\Omega,{\cal F},{\Bbb P})$ 上的标准 $\alpha$ -稳定过程 ($\alpha\in(0,2))$. 当 $\alpha\in(0,2)$ 时, 它的方差是无界的. 当 $\alpha=2$ 时, 它将退化为高斯过程. 本文假设 $\alpha\in(1,2)$. 目前, 由 $\alpha$ -稳定过程驱动的随机系统参数估计问题已经被学者们广泛研究^{[10-11,19,25-26,28]}. 例如, Hu 和 Long^[9]使用加权轨迹拟合估计方法研究了 $\alpha$ -稳定过程驱动的 OU 过程的参数估计问题, 并考察了估计量的强相合性、收敛速率以及估计误差的渐近分布特征. Zhang 等^[27]讨论了 $\alpha$ -稳定过程驱动的非遍历情形下反射 OU 过程加权拟合估计量的强相合性和渐近分布. 不难发现, 目前的研究结果大多是基于 $\alpha$ -稳定过程驱动的线性随机微分方程, 而对 $\alpha$ -稳定过程驱动的非线性随机微分方程统计推断问题的研究却少见报道. 因此, 对 $\alpha$ -稳定过程驱动的非线性随机系统统计推断问题还需要进一步深入研究. 本文的主要目的是研究随机微分方程(1.2)加权轨迹拟合估计量的相合性和渐近分布.

为简化, 记

方程(1.2)可被写为

令 $\omega_t$ 为非负确定函数, 上述等式两边同乘以 $\omega_t$ 可得

要获得参数 $\theta$ 的加权轨迹拟合估计量, 则只需使得

达到最小, 其中 $T>0$ 为时间常数. 由此可得, 参数 $\theta$ 的加权轨迹拟合估计量为

将(1.4)式代入(1.3)式中可得

在本文中, $"\rightarrow_p$'' 表示依概率收敛, $"\Rightarrow$''表示依分布收敛, $"\stackrel{d}{=}$''表示等价同分布.

定义2.1 若随机变量 $\eta$ 的特征函数满足

其中 $\alpha\in(0,2]$, $\sigma\in(0,\infty)$, $\beta\in[-1,1]$, $\mu\in(-\infty,\infty)$, ${\rm sgn}$ 为符号函数, 则随机变量 $\eta$ 服从 $\alpha$ -稳定分布. 可见 $\alpha$ -稳定分布的特征函数完全由 $4$ 个参数 $\alpha,\sigma,\beta,\mu$ 唯一确定. 符合上述特征函数式的 $4$ 个参数称为标准参数系 $S$, 并记为 $\eta\sim S_\alpha(\sigma,\beta,\mu)$.

若 $\mu=0$, 则称 $\eta$ 为严 $\alpha$ -稳定分布. 若 $\beta=0$, 则称 $\eta$ 为对称 $\alpha$ -稳定分布 (见文献[1,12,20]及其参考文献).

定义2.2 若 ${\cal F}_t$ 上可适应的随机过程$\{Z_t\}_{t\geq 0}$ 满足下列条件

(i) $Z_0=0$, a.s.;

(ii) $Z_t-Z_s\sim S_{\alpha}((t-s)^{\frac{1}{\alpha}},\beta,0), t>s\geq 0$;

(iii) 对任意有限点 $0\leq s_0<s_1<\cdots<s_m<\infty$, 随机变量 $Z_{s_0}, Z_{s_1}-Z_{s_0},\cdots,Z_{s_m}-Z_{s_{m-1}}$ 相互独立, 则称随机过程 $\{Z_t\}_{t\geq 0}$ 为标准 $\alpha$ -稳定过程.

引理2.1^[17] 令 $\phi(t)$ 为可料过程且对所有的 $T<\infty$, 都有 $\int_0^T|\phi(t)|^\alpha dt<\infty$ 几乎处处成立, $F:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 为连续函数. 假设(i)$\phi$ 非负或者 $Z$ 为对称 $\alpha$ -稳定过程; (ii)存在正常数 $\lambda_0,C$ 以及 $\alpha_0<\alpha$ 使得对所有的 $\nu>0$ 和 $\lambda\geq \lambda_0$ 都有 $F(\lambda\nu)\leq C\lambda^{\alpha_0}F(\nu)$ 恒成立. 那么, 必然存在依赖于 $\alpha,\alpha_0,\beta,C$ 的正常数 $C_1,C_2$ 使得对每一个 $T>0$, 都有

引理2.2 (Toeplitz 引理^[6]) 若 $\varphi_T$ 为定义在 $[0,\infty)$ 上的概率测度, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 对每一个 $K>0$ 都有 $\varphi_T([T])=1$ 和 $\varphi_T([K])\rightarrow0$. 那么, 对每一个有界可测函数 $f:[0,\infty)\rightarrow\Bbb R$ 都满足下列等式

其中, $f_\infty:=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}f_t$ 存在.

为简化, 记

在给出本章的重要结论前, 我们先给出以下假设条件

(A1) 假设存在正常数 $c$ 使得

且 $r(x)$ 满足

和

其中, $L\geq 0$, $K\geq 0$ 及 $\gamma\in[0,1)$.

(A2) 假设存在常数 $c>0$ 和 $\gamma\in[0,1)$ 使得

(A3) 当 $T\rightarrow\infty$ 时, $h_i(T)\rightarrow\infty$, $i=1,2$, 并对每一个 $M>0$, 当 $T\rightarrow\infty$ 时,$\frac{h_i(M)}{h_i(T)}\rightarrow 0$.

(A4) 非负加权函数 $\omega_t$ 满足下列条件

(A5) 存在常数 $C'>0$ 和 $b<0$ 使得当 $T$ 足够大时, 有

定理3.1 (i) 若条件 (A1) 和 (A3) 成立且 $\theta>0$, 则有

即, 加权拟合估计量 $\widehat{\theta}_T$ 强相合的;

(ii) 若条件 (A2) 和 (A4) 成立且 $\theta=0$, 则当 $T\rightarrow\infty$ 时, $\widehat{\theta}_T\rightarrow_p\theta$.

证 (i) 若条件 (A1) 成立且$\theta>0$, 则方程(1.2)的解 $X$ 是非常返的. 对函数 ${\rm e}^{-c\theta t}X_t$ 利用 It$\hat{o}$公式可得

两边从 $0$ 到 $t$ 积分, 可得

令 $\xi_t=\int_0^t{\rm e}^{c\theta u}{\rm d}Z_u$. 易知 $\{\xi_t\}_{t\geq 0}$ 是一个 $L^p\,(1<p<\alpha)$ 有界的右连左极鞅, 且 $\xi_t$ 是一个分布为 $S_\alpha(\tau_t^{\frac{1}{\alpha}},\beta,0)$ 的 $\alpha$ -稳定随机变量, 其中 $\tau_t=\int_0^t|{\rm e}^{-c\theta s}|^\alpha {\rm d}s=\frac{1-{\rm e}^{-\alpha c \theta t}}{\alpha c \theta}$. 当 $t\rightarrow\infty$ 时, $\xi_t$ 收敛到一个分布为 $S_\alpha((\alpha c\theta)^{-1/\alpha},\beta,0)$ 的 $\alpha$ -稳定随机变量. 由鞅收敛定理可知

显然, $\sup\limits_{t\geq 0}\left|\xi_t\right|<\infty$, a.s. 再令 $\rho_t=\theta\int_0^tr(X_s){\rm e}^{-c\theta s}{\rm d}s,\,t\geq 0$, 由条件 (A1) 和不等式 $a^\gamma\leq 1+a\,\,(a\geq 0)$, 可得

将(3.4)式代入(3.2)式, 可推出

其中, $K_1=|x_0|+\frac{2K}{c(1-\gamma)}+\sup\limits_{t\geq 0}\left|\xi_t\right|$. 由 Gronwall 不等式可知

于是可得

由(3.4)式可知

即有 $\rho_*:=\sup\limits_{t\geq 0}|\rho_t|<\infty$, a.s. 类似于式(3.4)的讨论, 可推出

故, 当 $t>s\rightarrow \infty$ 时, 有 $|\rho_t-\rho_s|\rightarrow 0$. 因此,

根据(3.2),(3.3)及(3.8)式, 可得

由条件 (A1) 和 Toeplitz 引理 2.2 可知

其中, $\lambda_t^1=\int_0^t{\rm e}^{c\theta\gamma s}{\rm d}s$. 这意味着

利用 $A_t$ 的定义, 引理 2.2 及(3.10)式, 可得

其中 $\lambda_t^2=\int_0^t{\rm e}^{c\theta s}{\rm d}s$. 又由鞅强大数定律, 可知

因此, 根据条件 (A3), 引理 2.2,(3.11)及(3.12)式, 可推出

(ii) 若 $\theta=0$ 和条件 (A2) 成立, 则

利用条件 (A2), (A4), 可知

和

由 $\alpha$ -稳定过程的自相似性质, 可得对任意 $T>0$, 有

和 $\{Z_s,s\geq 0\}\stackrel{d}{=}\{T^{\frac{1}{\alpha}}\widetilde{Z}_{\frac{s}{T}},s\geq 0\}$, 其中 $\{\widetilde{Z}_t,t\geq 0\}$ 为 $\alpha$ -稳定过程. 又由Slutsky定理可知当 $T\rightarrow\infty$ 时

其中

所以, 由(1.5)与(3.14)式可知当 $T\rightarrow\infty$ 时, $\widehat{\theta}_T\rightarrow_p\theta$. 证毕.

注3.1 (i) 若 $\theta>0$ 和 $a(x)=cx$, 则定理 3.1(i) 退化为文献[9,定理 4.1].

(ii) 若 $\theta=0$ 和 $a(x)=|x|^\gamma$, 则定理 3.1(ii) 退化为文献[28,定理 2.1(ii)].

定理4.1 若条件 (A1), (A3), (A5) 成立及 $\theta>0$, 则当 $T\rightarrow\infty$ 时

其中 $\eta_\infty$ 满足(3.9)式和 $U$ 是一个服从 $\alpha$ -稳定分布 $S_\alpha(1,\beta,0)$ 的随机变量, 且与随机变量 $\eta_\infty$ 相互独立.

证根据条件 (A1) 和(1.5)式, 可得

接下来, 我们将分别研究 $H_i(T),\,i=1,2,3$ 的渐近行为. 由条件 (A3) 和引理 2.2 可知

显然,

事实上

又由引理 2.2 可知

这意味着,

$H_2(T)$ 中的第二项 $\frac{T^{-\frac{1}{\alpha}}Z_T}{\eta_T}$ 可表示为

我们可以得到以下几个结论

(1) 随机变量 $\frac{1}{T^\frac{1}{\alpha}}(Z_T-Z_{T^\frac{1}{\alpha}})$ 服从 $\alpha$ -稳定分布$S_\alpha((1-T^{\frac{1}{\alpha}-1})^\frac{1}{\alpha},\beta,0)$, 且当 $T\rightarrow\infty$ 时, 随机变量 $\frac{1}{T^\frac{1}{\alpha}}(Z_T-Z_{T^\frac{1}{\alpha}})$ 弱收敛于一个分布为 $S_\alpha(1,\beta,0)$ 的 $\alpha$ -稳定随机变量 $U$.

(2) 由鞅强大数定律可得

(3) 显然,

(4) 随机变量 $T^{-\frac{1}{\alpha}}(Z_T-Z_{T^{\frac{1}{\alpha}}})$ 与 $\eta_{T^{\frac{1}{\alpha}}}$ 相互独立.

(5) 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 有 $\eta_T-\eta_{T^\frac{1}{\alpha}}\rightarrow_p 0$.

证明结论 (5). 由 $\eta_t$ 的定义可得

这意味着,

其中 $\eta_*$ 满足(3.7)式. 不难发现, 当 $T\rightarrow\infty$ 时, 不等式(4.7)右边的第一项与第二项收敛于 $0$. 对于不等式(4.7)右边的第三项 $\left|\int_{T^{\frac{1}{\alpha}}}^T{\rm e}^{-\theta s}{\rm d}Z_s\right|$, 根据 Markov 不等式和引理, 可得对任意给定的 $\delta>0$, 当 $T\rightarrow\infty$ 时

趋近于 $0$.(4.6)-(4.8)式联立可得结论(5) 成立. 由结论 (1)-(5), 可知当 $T\rightarrow\infty$ 时

其中 $U$ 与 $\eta_\infty$ 相互独立. 根据(4.4),(4.5), 及(4.9)式, 可得当 $T\rightarrow\infty$ 时

最后, 证明当 $T\rightarrow\infty$ 时, $H_3(T)\rightarrow_p 0$. 事实上

其中 $\eta_*$ 满足式(3.7). 由条件 (A5), 可知存在足够大的 $T$ 使得

其中 $C(1,\alpha)=\frac{4\Gamma(-\frac{1}{\alpha})}{\alpha\sqrt{\pi}\Gamma(-\frac{1}{2})}$ (见文献{^[29]}). 这也就意味着, 当 $T\rightarrow\infty$ 时

因此, 当 $T\rightarrow\infty$ 时

利用不等式 $e^a\geq 1+a,\,a\geq 0$, 可得

和

由(4.12),(4.14)及(4.15)式, 可知当 $T\rightarrow\infty$ 时

根据(4.11),(4.13)及(4.16)式, 可得当 $T\rightarrow\infty$ 时, $T^{-\frac{1}{\alpha}}h_2^{-1}(T)\int_0^T\omega_t^2A_t(Z_T-Z_t){\rm d}t\rightarrow_p 0$. 因此, 当 $T\rightarrow\infty$ 时

由(4.2),(4.3),(4.10)及(4.17)式, 可得(4.1)式成立. 证毕.

注4.1 令 $\omega_t={\rm e}^{\frac{rt}{2}},r>-c\theta$, 有

不难发现, 条件(A3) 成立. 而且, 当 $T$ 足够大时, 有

因此, 条件 (A5) 也成立.

定理4.2 若条件 (A2), (A4) 成立及 $\theta=0$, 则当 $T\rightarrow\infty$,

其中, $\tilde{Z}_u$ 是一个标准的 $\alpha$ -稳定过程.

证 由(1.5)和(3.14)式, 可推出(4.18)式成立. 证毕.

注4.2 (i) 若 $\theta>0$ 和 $a(x)=cx$, 则定理 4.1 退化为文献[9,定理 4.2].

(ii) 若 $\theta=0$ 和 $a(x)=|x|^\gamma$, 则定理 4.2 退化为文献[28,定理 3.2].

注4.3 若 $\omega_t=t^p,\,p\geq0$, 则条件 (A4) 成立.