1 引言
设$\Omega\subseteq\Bbb R ^n$ $\partial\Omega$
(1.1) $\begin{equation}\label{dep-s-11-6-8-20-58} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=\lambda u,\qquad&\hbox{在}\,\,\Omega\,\,\hbox{中},\\ u=0,\qquad&\hbox{在}\,\,\partial\Omega\,\,\hbox{上}, \end{array} \right. \end{equation}$
其中$\lambda=\textrm{const}$ . 由于$-\Delta$
(1.2) $\begin{equation}\label{ineq-21-5-1-21} 0<\lambda_1(\Omega)<\lambda_2(\Omega)\leq\lambda_3(\Omega) \leq\cdots\leq\lambda_k(\Omega)\leq\cdots\nearrow\infty, \end{equation}$
其中每个$\lambda_j(\Omega)$
本文主要兴趣是集中于高阶特征值的估计方面.这里仅提到两个结果,一个是Weyl[1 ] 证明了渐近公式
(1.3) $\begin{equation}\label{Weyl-asymptotic-formula} \lambda_k(\Omega)\sim\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n} \qquad\hbox{当}\,\,k\rightarrow\infty\,\,\hbox{时}, \end{equation}$
其中$\omega_n$ $\Bbb R ^n$ [2 ] 证明了:如果$\Omega$ $\Omega$ $\Bbb R ^2$ ). 值得指出的是,Pólya的证明也同样适用于$\Bbb R ^n$ [3 ] .根据Weyl的渐近公式及其结果,Pólya[2 ] 还提出了以下猜想
Pólya猜想 -. 设$\Omega$ $\Bbb R ^n$ $\partial\Omega$ $k$ $\lambda_k(\Omega)$
(1.4) $\begin{equation}\label{Polya-conjecture} \lambda_k(\Omega)\geq\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n}. \end{equation}$
后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
(1.5) $\begin{equation}\label{Lie-1980-estimate} \lambda_k(\Omega)\geq c_n\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n}, \quad\forall\,\,k\in{\Bbb N}. \end{equation}$
然而,(1.5)式与(1.4)式相差一个因子$c_n(<1)$ . 1983年, Li-Yau[3 ] 在上述猜想中取得了很大进展.更准确地说,他们给出了如下估计
(1.6) $\begin{equation}\label{Li-Yau-1983-esti-1} \sum_{j=1}^k\lambda_j(\Omega)\geq \frac{n}{n+2}\cdot\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}}, \quad\forall\,\,k\in{\Bbb N}. \end{equation}$
这在平均意义上是最佳的.值得一提的是,(1.6)式可以通过先前Berezin[4 ] 的一个结果的Legendre变换得到
$ \sum_j(z-\lambda_j)_+^\sigma\leq L_{\sigma,n}^{cl}V(\Omega)z^{\sigma+\frac{n}{2}}, \quad\forall\,\,\sigma\geq1, $
其中 $ L_{\sigma,n}^{cl}:=\frac{\Gamma(\sigma+1)}{2^n\pi^\frac{n}{2}\Gamma(\sigma+1+\frac{n}{2})} $ $\lambda_1(\Omega)\leq\lambda_2(\Omega)\leq\cdots\leq\lambda_k(\Omega)$
(1.7) $\begin{equation}\label{Li-Yau-1983-esti-2} \lambda_k(\Omega)\geq\frac{n}{n+2}\cdot\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n}, \quad\forall\,\,k\in{\Bbb N}. \end{equation}$
这显然部分解决了Pólya猜想,但多了一个因子$n/(n+2)$ .
人们很自然地会问,是否可以在上式右边增加一个$k$ [7 ] 迈出了实现这一目标的第一步,他得到了以下估计
(1.8) $\begin{equation}\label{eqn-14-10-23a-21-38} \sum_{j=1}^k\lambda_j(\Omega)\geq \frac{n}{n+2}\cdot\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}} +\frac{1}{24(n+2)}\cdot\frac{V(\Omega)}{I(\Omega)}k, \quad\forall\,\,k\in{\Bbb N}, \end{equation}$
其中常数 $ I(\Omega):=\min\limits_{a\in\Bbb R ^n}\int_\Omega|x-a|^2{\rm d}x $ $\Omega$
$ \lambda_k(\Omega)\geq\frac{n}{n+2}\cdot\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n} +\frac{1}{24(n+2)}\cdot\frac{V(\Omega)}{I(\Omega)}, \quad\forall\,\,k\in{\Bbb N}. $
因此,这或多或少地改进了上面的Berezin-Li-Yau不等式.
关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域.
本文采用文献[7 ,9 -10 ]的论证方法,但在细节上有一些显著的差异,证明了以下主要结果.
定理1.1 设$\Omega$ $\Bbb R ^n\,(n\geq4)$ $\partial\Omega$ $k\in{\Bbb N}$ $\lambda_j(\Omega)\,(j\in{\Bbb N})$
(1.9) $\begin{matrix}\label{main-ineq-(iii)} \sum_{j=1}^k\lambda_j(\Omega)&\geq& \frac{1}{n+2}\left\{\frac{4\pi^2n}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}} +\frac{5}{12}\cdot\frac{V(\Omega)}{I(\Omega)}k -\frac{5}{36}\cdot\frac{\omega_n^\frac{1}{n}V(\Omega)^{\frac{3}{2}+\frac{1}{n}}} {\pi I(\Omega)^\frac{3}{2}}k^{1-\frac{1}{n}}\right.\nonumber\\ &&\left.+\frac{29}{1536}\cdot\frac{\omega_n^\frac{2}{n}V(\Omega)^{2+\frac{2}{n}}} {\pi^2I(\Omega)^2}k^{1-\frac{2}{n}} -\frac{37}{38400}\cdot\frac{\omega_n^\frac{3}{n}V(\Omega)^{\frac{5}{2}+\frac{3}{n}}} {\pi^3I(\Omega)^\frac{5}{2}}k^{1-\frac{3}{n}}\right\}, \end{matrix}$
其中$\omega_n:=\pi^\frac{n}{2}/\Gamma(1+\frac{n}{2})$ $\Bbb R ^n$ $n$ $\Gamma(x):=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}{\rm d}t (x>0)$
注1.1 使用与定理 1.1中几乎相同的论证,还得到以下结果
(1.10) $\begin{equation}\label{main-ineq-(i)} \sum_{j=1}^k\lambda_j(\Omega)\geq \frac{1}{n+2}\left\{\frac{4\pi^2n}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}} +\frac{1}{8}\cdot\frac{V(\Omega)}{I(\Omega)}k -\frac{1}{72}\cdot\frac{\omega_n^\frac{1}{n}V(\Omega)^{\frac{3}{2}+\frac{1}{n}}}{\pi I(\Omega)^\frac{3}{2}}k^{1-\frac{1}{n}}\right\}. \end{equation}$
(1.11) $\begin{matrix}\label{main-ineq-(ii)} \sum_{j=1}^k\lambda_j(\Omega)&\geq& \frac{1}{n+2}\left\{\frac{4\pi^2n}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}} +\frac{1}{4}\cdot\frac{V(\Omega)}{I(\Omega)}k -\frac{1}{18}\cdot\frac{\omega_n^\frac{1}{n}V(\Omega)^{\frac{3}{2}+\frac{1}{n}}}{\pi I(\Omega)^\frac{3}{2}}k^{1-\frac{1}{n}}\right. \nonumber\\&& \left.+\frac{29}{7680}\cdot\frac{\omega_n^\frac{2}{n}V(\Omega)^{2+\frac{2}{n}}}{\pi^2I(\Omega)^2}k^{1-\frac{2}{n}}\right\}. \end{matrix}$
由于这些结果的证明几乎与定理1.1的相同,所以省略证明.
$ n(n+2)B\geq n\tau^{n+2}+nI_n+2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)I_i\tau^{n-i}, $
(1.12) $\begin{equation}\label{main-ineq-1} n(n+2)B\geq \left\{ \begin{array}{lll} n\tau^{n+2}+2I_0\tau^n+4I_1\tau^{n-1},\quad&\forall\,\,n\geq2,\\ n\tau^{n+2}+2I_0\tau^n+4I_1\tau^{n-1}+6I_2\tau^{n-2},\quad&\forall\,\,n\geq3,\\ n\tau^{n+2}+2I_0\tau^n+4I_1\tau^{n-1}+6I_2\tau^{n-2}+8I_3\tau^{n-3},\quad&\forall\,\,n\geq4. \end{array} \right. \end{equation}$
本文将(1.12)中的不等式用于推导 Laplace算子特征值和的精细下界.这三种情况: (i) $n\geq2$ $n\geq3$ $n\geq4$
注1.3 (1.9)-(1.11)式确实改进了Melas的估计式(1.8).
设$\Omega$ $\Bbb R ^n$ $k\in{\Bbb N}$ $1\leq\alpha\leq2$ $n=2$ $0<\alpha\leq2$ $n\geq3$ $(-\Delta)^{\alpha/2}$
$\begin{eqnarray*}\label{feac-laplace-eigenvalue} \left\{ \begin{array}{ll} (-\Delta)^{\alpha/2}\phi_j=\lambda_j^{(\alpha)}\phi_j, \qquad&\hbox{在}\,\,\Omega\,\,\hbox{中},\\ \phi_j=0,\qquad&\hbox{在}\,\,\Bbb R ^n\setminus\Omega\,\,\hbox{上} \end{array} \right. \end{eqnarray*}$
的特征值$\{\lambda_j^{(\alpha)}\}_{j=1}^\infty$
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^k\lambda_j^{(\alpha)}&\geq&(4\pi)^\frac{\alpha}{2}\frac{n}{\alpha+n} \left(\frac{\Gamma(1+\frac{n}{2})}{V(\Omega)}\right)^\frac{\alpha}{2}k^{1+\frac{\alpha}{n}}\\ &&+\frac{\alpha}{2(\alpha+n)}\frac{V(\Omega)^{\frac{1}{2}-\frac{\alpha-1}{n}}\Gamma(1+\frac{n}{2})^\frac{\alpha-1}{n}} {(4\pi)^{\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{2}}I(\Omega)^\frac{1}{2}}k^{1+\frac{\alpha-1}{n}}\\ &&-\frac{5\alpha}{16(\alpha+n)}\frac{V(\Omega)^{1-\frac{\alpha-2}{n}}\Gamma(1+\frac{n}{2})^\frac{\alpha-2}{n}} {(4\pi)^{1-\frac{\alpha}{2}}I(\Omega)}k^{1+\frac{\alpha-2}{n}}\\ &&+\frac{\alpha}{16(\alpha+n)}\frac{V(\Omega)^{\frac{3}{2}-\frac{\alpha-3}{n}}\Gamma(1+\frac{n}{2})^\frac{\alpha-3}{n}} {(4\pi)^{\frac{3}{2}-\frac{\alpha}{2}}I(\Omega)^\frac{3}{2}}k^{1+\frac{\alpha-3}{n}}. \end{eqnarray*}$
然而,文献[10 ]给出的证明包含了一个错误的步骤.更具体地说,使用了下面不等式(参见文献[(53)],或文献[第8页])
(1.13) $\begin{equation}\label{ineq-21-1-2-20} \int_{\tau}^{\tau+1}a(a-b)^{2}{\rm d}a\geq\min_{\tau\geq 0}\int_{\tau}^{\tau+1}a(a-b)^{2}{\rm d}a \geq\frac{1}{2}b^{2}-\frac{2}{3} b+\frac{1}{4}. \end{equation}$
但一般来说,这个不等式对于$b\geq1/2$ $b\geq1/2$ $b=1$ $ \tau=\frac{1}{3}$
$ \int_{\tau}^{\tau+1}a(a-b)^{2}{\rm d}a=\int_\frac{1}{3}^\frac{4}{3}a(a-1)^{2}{\rm d}a =\frac{7}{9\times12}<\frac{1}{12}=\frac{1}{2}b^{2}-\frac{2}{3} b+\frac{1}{4}. $
本文剩余部分的安排如下:在第2节中,首先简要介绍一些记号,这与文献[7 ]中的记号是一致的,并为本文提供了一个框架; 在第3 节中,建立了一个关键引理,并给出了一个后面需要的重要推论; 在第4节中,借助上述推论,并采用文献[7 ,9 -10 ]中类似的论证,证明了定理1.1.
2 记号和准备工作
这一节完全采用文献[7 ]中的记号,并叙述文献[4 ,7 ,9 ]中的一些后面用到的事实. 开集$\Omega$
$ I(\Omega):=\min_{a\in\Bbb R ^n}\int_\Omega|x-a|^2{\rm d}x=\int_\Omega|x|^2\,{\rm d}x. $
设$\{u_j\}_{j=1}^k$ $\{\lambda_j(\Omega)\}_{j=1}^k$ $u_j$
$ \hat{u}_j(z):=(2\pi)^{-n/2}\int_\Omega u_j(x){\rm e}^{{\rm i}\langle x,z\rangle}{\rm d}x, $
其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$ $\Bbb R ^n$
(2.1) $\begin{equation}\label{eq-21-1-1-1} F(z):=\sum_{j=1}^{k}\left|\hat{u}_j(z)\right|^{2}. \end{equation}$
引理2.1[4 ,7 ] 由(2.1)式定义的函数$F(z)$
(2.2) $\begin{equation}\label{eq-21-1-2-16} \int_{\Bbb R ^{n}}F(z){\rm d}z=k, \end{equation}$
(2.3) $\begin{equation}\label{eq-21-1-8-2} F(z)\leq(2\pi)^{-n}V(\Omega),\quad\forall\,\,z\in\Bbb R ^n, \end{equation}$
(2.4) $\begin{equation}\label{eq-21-1-1-2} \int_{\Bbb R ^{n}}|z|^{2}F(z){\rm d}z=\sum_{j=1}^{k} \lambda_{j}(\Omega), \end{equation}$
(2.5) $\begin{matrix}\label{eq-21-1-1-3} |\nabla F(z)|\leq2(2\pi)^{-n}\sqrt{V(\Omega)I(\Omega)}:=\rho,\quad\forall\,\,z\in\Bbb R ^n. \end{matrix}$
(2.6) $\begin{equation}\label{eq-21-1-1-6} F^*(z)=\phi(|z|) \end{equation}$
表示$F$ $F$ ) 可假设递减函数$\phi:[(2\pi)^{-n}V(\Omega)]$
引理2.2[7 ,9 ] 设$\phi$
(2.7) $\begin{equation}\label{ineq-21-1-1-5} 0\leq-\phi'(s)\leq\rho \end{equation}$
(2.8) $\begin{equation}\label{eq(2.13)} k=\int_{\Bbb R ^{n}}F(z){\rm d}z=\int_{\Bbb R ^{n}}F^{*}(z){\rm d}z =n \omega_{n}\int_{0}^{\infty} s^{n-1}\phi(s){\rm d}s. \end{equation}$
由于$z\to|z|^2$
(2.9) $\begin{equation}\label{eq(2.14)} \sum_{j=1}^{k} \lambda_{j}(\Omega)= \int_{\Bbb R ^{n}}|z|^{2}F(z){\rm d}z\geq \int_{\Bbb R ^{n}}|z|^{2}F^{*}(z){\rm d}z =n \omega_{n} \int_{0}^{\infty} s^{n+1} \phi(s){\rm d}s. \end{equation}$
下面的初等结果,虽然简单但很重要,它建立了下面(3.1)式中出现的两个积分之间的联系.
引理2.3[7 ] 假设$h: [\infty)\to[0,1]$
(2.10) $\begin{equation}\label{eq-21-21-1-2-2} \int_0^{\infty}h(s){\rm d}s=1\qquad\hbox{且}\qquad\int_0^{\infty}s^{n+2}h(s){\rm d}s<\infty. \end{equation}$
(2.11) $\begin{equation}\label{eq-21-1-2-9} \int_a^{a+1}s^n{\rm d}s=\int_0^{\infty}s^nh(s){\rm d}s\qquad\hbox{且}\qquad \int_a^{a+1}s^{n+2}{\rm d}s\leq\int_0^{\infty}s^{n+2}h(s){\rm d}s. \end{equation}$
改进特征值和的下界的关键之处是恰当使用下面的引理.它可以视为文献[引理4]的另一个版本.为了完整起见,这里给出了引理的证明.
引理2.4 对于整数$n\geq2$ $s$ $\tau$
(2.12) $\begin{equation}\label{ineq-21-1-21-6} ns^{n+2}\equiv(n+2)\tau^{2}s^{n}-2\tau^{n+2} +\Big[ns^n+2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)\tau^{n-i}s^i\Big](s-\tau)^2. \end{equation}$
证 对于整数$n\geq2$
$ nt^{n+2}\equiv(n+2)t^{n}-2 +\Big[nt^n+2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)t^i\Big](t-1)^2. $
令$t=s/\tau$ $\tau^{n+2}$
3 技术性引理及推论
这一节将建立一个关键引理并给出其推论.后者在证明定理1.1中起着重要作用. 在这个过程中,使用与文献[7 ,9 -10 ]相似但不完全相同的论证.读者可参考这些文献以获得更多细节.
引理3.1 设$n\geq4$ $A, B>0$ $\psi: [0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ $ \psi(0)=1,-1\leq\psi'(s)\leq0 $
(3.1) $\begin{equation}\label{eq-21-5-13-15} \int_0^{\infty} s^{n-1}\psi(s){\rm d}s=A,\qquad \int_0^{\infty} s^{n+1}\psi(s){\rm d}s=B. \end{equation}$
(3.2) $\begin{matrix}\label{eq-21-1-26-6} B\geq\frac{1}{n+2}\left[(nA)^{1+\frac{2}{n}}+\frac{5}{3}A -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}A^{1-\frac{1}{n}} +\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}A^{1-\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}A^{1-\frac{3}{n}}\right]. \end{matrix}$
证 可假设$B<\infty$ $B<\infty$ $ \liminf_{t\to\infty}t^{n+2}\psi(t)=0$ . 于是可得$ \liminf_{t\to\infty}t^{n+1}\psi(t)=0$ . 设$h(s):=-\psi'(s),\forall s\geq0$ . 那么,$0\leq h(s)\leq1$
(3.3) $\begin{equation}\label{eq-20-12-26-19} \int_0^{\infty}h(s){\rm d}s=\psi(0)=1. \end{equation}$
由$ \liminf_{t\to\infty}t^{n+1}\psi(t)=0$
(3.4) $\begin{equation}\label{eq-20-12-26-21} \int_{0}^{\infty}s^{n}h(s){\rm d}s =\lim_{t\to\infty}\Big[-t^n\psi(t)+n\int_0^ts^{n-1}\psi(s){\rm d}s\Big] =n\int_{0}^{\infty}s^{n-1}\psi(s){\rm d}s=nA. \end{equation}$
$\begin{matrix}\label{ineq-20-12-29-6} \int_0^{\infty}s^{n+2}h(s){\rm d}s &=&\lim_{t\to\infty}\Big[-t^{n+2}\psi(t) +(n+2)\int_0^ts^{n+1}\psi(s){\rm d}s\Big]\nonumber\\ &=&(n+2)\int_0^{\infty}s^{n+1}\psi(s){\rm d}s =(n+2)B.\nonumber \end{matrix}$
(3.5) $\begin{equation}\label{eq-20-12-26-8} \int_a^{a+1}s^n{\rm d}s=\int_0^{\infty}s^nh(s){\rm d}s=nA \end{equation}$
(3.6) $\begin{equation}\label{eq-20-12-22a-20} \int_a^{a+1}s^{n+2}{\rm d}s\leq\int_0^{\infty}s^{n+2}h(s){\rm d}s=(n+2)B. \end{equation}$
取$\tau:=(nA)^{1/n}$ . 显然,使用(3.5)式和Jensen不等式可得
$ \tau^n=nA=\int_a^{a+1}s^n{\rm d}s\geq\Big(\int_a^{a+1}s{\rm d}s\Big)^n =\big(a+\frac{1}{2}\big)^n\quad\Longrightarrow\quad \tau\geq a+\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \tau-a\geq\frac{1}{2}. $
$ \tau^n=nA=\int_a^{a+1}s^n{\rm d}s\leq(a+1)^n\quad\Longrightarrow\quad\tau\leq a+1 \quad\Longrightarrow\quad\tau-a\leq1. $
于是,有 $ \frac{1}{2}\leq\tau-a\leq1. $
$ I_i:=\int_a^{a+1}s^i(s-\tau)^2{\rm d}s,\qquad i=0,1,2,3,\cdots. $
在$[a,a+1]$
(3.7) $\begin{matrix}\label{ineq-22-1-15-9-55} n(n+2)B&\geq&n\int_a^{a+1}s^{n+2}{\rm d}s\nonumber\\ &=&(n+2)\tau^{2}\int_a^{a+1}s^{n}{\rm d}s-2\tau^{n+2} +n\int_a^{a+1}s^{n}(s-\tau)^2{\rm d}s\nonumber\\ &&+2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)\tau^{n-i}\int_a^{a+1}s^i(s-\tau)^2s{\rm d}s\nonumber\\ &=&(n+2)\tau^{2}nA-2\tau^{n+2} +nI_n+2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)I_i\tau^{n-i}\nonumber\\ &=&n\tau^{n+2}+nI_n+2\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)I_i\tau^{n-i}. \end{matrix}$
(3.8) $\begin{equation}\label{ineq-21-5-13-15} n(n+2)B\geq n\tau^{n+2}+2I_0\tau^n+4I_1\tau^{n-1}+6I_2\tau^{n-2}+8I_3\tau^{n-3},\quad\forall\,\,n\geq4. \end{equation}$
$ J_j:=\int_a^{a+1}(s-a)^j(s-\tau)^2{\rm d}s,\qquad j=0,1,2,3,\cdots. $
(3.9) $\begin{matrix}\label{eq-21-6-1-18-1} I_i&=&\int_a^{a+1}\big[(s-a)+a\big]^i(s-\tau)^2{\rm d}s\nonumber\\ &=&\sum_{j=0}^i\bigg(\begin{array}{cc}i\\j\end{array}\bigg)a^{i-j}\int_a^{a+1}(s-a)^j(s-\tau)^2{\rm d}s =\sum_{j=0}^i\bigg(\begin{array}{cc}i\\j\end{array}\bigg)a^{i-j}J_j, \end{matrix}$
其中$\bigg(\begin{array}{cc}i\\j\end{array}\bigg)$ $ \bigg(\begin{array}{cc}i\\j\end{array}\bigg)=\frac{i!}{j!(i-j)!}. $
$\begin{eqnarray*}\label{} J_j&=&\frac{1}{j+1}\left\{(a+1-\tau)^2-\frac{2}{j+2}(a+1-\tau) +\frac{2}{j+2}\int_a^{a+1}(s-a)^{j+2}{\rm d}s\right\}\nonumber\\ &=&\frac{1}{j+1}\left\{(a+1-\tau)^2-\frac{2}{j+2}(a+1-\tau)+\frac{2}{(j+2)(j+3)}\right\}\nonumber\\ &=&\frac{1}{j+1}\left\{\left[(a+1-\tau)-\frac{1}{j+2}\right]^2+\frac{j+1}{(j+2)^2(j+3)}\right\}\nonumber\\ &\geq&\frac{1}{(j+2)^2(j+3)}. \end{eqnarray*}$
(3.10) $\begin{equation}\label{eq-20-12-26-22} I_0=J_0\geq\frac{1}{12},\quad J_1\geq\frac{1}{36}, \quad J_2\geq\frac{1}{80},\quad J_3\geq\frac{1}{150}. \end{equation}$
利用$a+1\geq\tau$
(3.11) $\begin{matrix}\label{eq-21-1-12-13} I_1=aJ_0+J_1\geq\frac{a}{12}+\frac{1}{36} =\frac{a+1}{12}-\frac{1}{18} \geq\frac{\tau}{12}-\frac{1}{18}. \end{matrix}$
(3.12) $\begin{matrix}\label{ineq-21-1-26-10} I_2&=&a^2J_0+2aJ_1+J_2 \geq\frac{a^2}{12}+\frac{a}{18}+\frac{1}{80} =\frac{1}{12}\bigg[(a+1)^2-\frac{4}{3}(a+1)+\frac{29}{60}\bigg]. \end{matrix}$
定义函数$f:\Bbb R \mapsto\Bbb R $
$ f(x):=x^2-\frac{4}{3}x+\frac{29}{60}=\big(x-\frac{2}{3}\big)^2+\frac{7}{180}, \quad\forall\,\,x\in\Bbb R. $
注意到$\frac{1}{2}\leq\tau\leq a+1$ . 于是,可得
$ -\frac{1}{6}\leq\tau-\frac{2}{3}\leq a+\frac{1}{3}\qquad\Longrightarrow\qquad \big|\tau-\frac{2}{3}\big|\leq\max\big\{\frac{1}{6},a+\frac{1}{3}\big\}=a+\frac{1}{3}. $
(3.13) $\begin{equation}\label{ineq-21-2-2-2} f(a+1)=\big(a+\frac{1}{3}\big)^2+\frac{7}{180} \geq\big(\tau-\frac{2}{3}\big)^2+\frac{7}{180}=f(\tau). \end{equation}$
(3.14) $\begin{matrix}\label{eq-21-1-26-12} I_2\geq\frac{1}{12}f(a+1)\geq\frac{1}{12}f(\tau) =\frac{1}{12}\big(\tau^2-\frac{4}{3}\tau+\frac{29}{60}\big). \end{matrix}$
$\begin{eqnarray*}\label{eq-21-1-26-13} I_3&=&a^3J_0+3a^2J_1+3aJ_2+J_3 \geq\frac{a^3}{12}+\frac{a^2}{12}+\frac{3a}{80}+\frac{1}{150}\\ &=&\frac{1}{12}(a+1)^3-\frac{1}{6}(a+1)^2+\frac{29}{240}(a+1)-\frac{37}{1200}. \end{eqnarray*}$
$ g(x):=\frac{1}{12}x^3-\frac{1}{6}x^2+\frac{29}{240}x-\frac{37}{1200}, \quad\forall\,\,x\in[0,\infty). $
$ g'(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{29}{240} =\frac{1}{4}(x-\frac{2}{3})^2+\frac{7}{720}>0, $
这意味着$g(x)$ $[0,\infty)$ $a+1\geq\tau$
(3.15) $\begin{equation}\label{ineq-21-1-28-1} I_3\geq g(a+1)\geq g(\tau) =\frac{1}{12}\tau^3-\frac{1}{6}\tau^2+\frac{29}{240}\tau-\frac{37}{1200}, \end{equation}$
这样,将(3.10),(3.11),(3.14)式和(3.15)式代入(3.8)式可得
(3.16) $\begin{matrix}\label{eq-21-1-21-8} n(n+2)B&\geq&n\tau^{n+2}+\frac{1}{6}\tau^n +\left(\frac{1}{3}\tau-\frac{2}{9}\right)\tau^{n-1} +\left(\frac{1}{2}\tau^2-\frac{2}{3}\tau+\frac{29}{120}\right)\tau^{n-2}\nonumber\\ &&+\left(\frac{2}{3}\tau^3-\frac{4}{3}\tau^2 +\frac{29}{30}\tau-\frac{37}{150}\right)\tau^{n-3}\nonumber\\ &=&n\tau^{n+2}+\frac{5}{3}\tau^n-\frac{20}{9}\tau^{n-1} +\frac{29}{24}\tau^{n-2}-\frac{37}{150}\tau^{n-3}. \end{matrix}$
再将$\tau=(nA)^{1/n}$
$\begin{eqnarray*}\label{eq-21-1-21-18} B\geq\frac{1}{n+2}\left[(nA)^{1+\frac{2}{n}}+\frac{5}{3}A -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}A^{1-\frac{1}{n}} +\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}A^{1-\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}A^{1-\frac{3}{n}}\right]. \end{eqnarray*}$
推论3.1 设$n\geq4$ $\rho, A, B>0$ $\psi: [0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ $ -\rho\leq\psi'(s)\leq0, $
$\begin{eqnarray*}\label{eq-21-3-27-10} \int_0^{\infty} s^{n-1}\psi(s){\rm d}s=A,\qquad \int_0^{\infty} s^{n+1}\psi(s){\rm d}s=B. \end{eqnarray*}$
(3.17) $\begin{matrix}\label{ineq-21-1-12-6} B&\geq&\frac{1}{n+2}\Big[(nA)^{1+\frac{2}{n}}\psi(0)^{-\frac{2}{n}} +\frac{5}{3}A\rho^{-2}\psi(0)^2 -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}A^{1-\frac{1}{n}}\rho^{-3}\psi(0)^{3+\frac{1}{n}}\nonumber\\ &&+\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}A^{1-\frac{2}{n}}\rho^{-4}\psi(0)^{4+\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}A^{1-\frac{3}{n}}\rho^{-5}\psi(0)^{5+\frac{3}{n}}\Big]. \end{matrix}$
证 设$\widetilde{\psi}(t)=\alpha\psi(\beta t)$ $\alpha,\beta>0$ $\alpha=\psi(0)^{-1}$ $\widetilde{\psi}(0)=1$ . 此外, $ \widetilde{\psi}'(t)=\alpha\beta\psi'(\beta t). $ $-\rho\leq\psi'(s)\leq0$ $ -\rho\alpha\beta\leq\alpha\beta\psi'(\beta t)\leq0. $ $\beta=\rho^{-1}\psi(0)$ $\rho\alpha\beta=1$ . 于是,可得$-1\leq\widetilde{\psi}'(t)\leq0$ . 设$s=\beta t$ $t=s/\beta$ . 由此可得
$ A=\int_0^{\infty} s^{n-1}\psi(s){\rm d}s =\int_0^{\infty}(\beta t)^{n-1}\psi(\beta t)\beta{\rm d}t =\frac{\beta^n}{\alpha}\int_0^{\infty}t^{n-1}\widetilde{\psi}(t){\rm d}t, $
$ \int_0^{\infty}t^{n-1}\widetilde{\psi}(t){\rm d}t=A\alpha\beta^{-n}:=\widetilde{A}. $
将(3.2)式应用到$\widetilde{\psi}$
$\begin{eqnarray*} \widetilde{B}&:=&\int_0^{\infty}t^{n+1}\widetilde{\psi}(t){\rm d}t\\ &\geq&\frac{1}{n+2}\Big[(n\widetilde{A})^{1+\frac{2}{n}}+\frac{5}{3}\widetilde{A} -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}\widetilde{A}^{1-\frac{1}{n}} +\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}\widetilde{A}^{1-\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}\widetilde{A}^{1-\frac{3}{n}}\Big]. \end{eqnarray*}$
于是,将$\widetilde{\psi}(t)=\alpha\psi(\beta t)$ $\widetilde{A}:=A\alpha\beta^{-n}$
(3.18) $\begin{matrix}\label{ineq-21-1-2-21} \int_0^{\infty}t^{n+1}\alpha\psi(\beta t){\rm d}t&\geq& \frac{1}{n+2}\Big[(nA\alpha\beta^{-n})^{1+\frac{2}{n}}+\frac{5}{3}A\alpha\beta^{-n} -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}(A\alpha\beta^{-n})^{1-\frac{1}{n}}\nonumber \\ &&+\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}(A\alpha\beta^{-n})^{1-\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}(A\alpha\beta^{-n})^{1-\frac{3}{n}}\Big]. \end{matrix}$
通过变量变换:$s=\beta t$
(3.19) $\begin{matrix}\label{ineq-21-1-2-22} \int_0^{\infty}t^{n+1}\alpha\psi(\beta t){\rm d}t =\alpha\beta^{-(n+2)}\int_0^{\infty}s^{n+1}\psi(s){\rm d}s. \end{matrix}$
注意到$\alpha=\psi(0)^{-1}$ $\beta=\rho^{-1}\psi(0)$
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}s^{n+1}\psi(s){\rm d}s&\geq& \frac{1}{n+2}\Big[(nA)^{1+\frac{2}{n}}\alpha^\frac{2}{n}+\frac{5}{3}A\beta^2 -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}A^{1-\frac{1}{n}}\alpha^{-\frac{1}{n}}\beta^3 \\ &&+\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}A^{1-\frac{2}{n}}\alpha^{-\frac{2}{n}}\beta^4 -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}A^{1-\frac{3}{n}}\alpha^{-\frac{3}{n}}\beta^5\Big] \\ &=&\frac{1}{n+2}\Big[(nA)^{1+\frac{2}{n}}\psi(0)^{-\frac{2}{n}} +\frac{5}{3}A\rho^{-2}\psi(0)^2 -\frac{20}{9}n^{-\frac{1}{n}}A^{1-\frac{1}{n}}\rho^{-3}\psi(0)^{3+\frac{1}{n}} \\ &&+\frac{29}{24}n^{-\frac{2}{n}}A^{1-\frac{2}{n}}\rho^{-4}\psi(0)^{4+\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}n^{-\frac{3}{n}}A^{1-\frac{3}{n}}\rho^{-5}\psi(0)^{5+\frac{3}{n}}\Big]. \end{eqnarray*}$注3.1 不等式(3.17)改进了Melas的结果(参见文献[引理1]).
4 定理1.1的证明
以推论3.1为基础,下面准备证明定理1.1.这个论证过程总体上与文献[7 ,9 ,10 ]是一样的,但又不完全相同.
证 函数$\phi$ $\phi$
$ B=\int_0^{\infty} s^{n+1}\phi(s){\rm d}s,\qquad A=\frac{k}{n\omega_n}, \qquad\rho=2(2\pi)^{-n}\sqrt{V(\Omega)I(\Omega)}, $
$ \frac{1}{n\omega_n}\sum_{j=1}^k\lambda_j(\Omega)\geq B, $
(4.1) $\begin{matrix}\label{ineq-21-1-29-3)} \sum_{j=1}^{k}\lambda_j(\Omega)&\geq& \frac{1}{n+2}\Big[n\omega_{n}^{-\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}}\phi(0)^{-\frac{2}{n}} +\frac{5}{3}k\rho^{-2}\phi(0)^{2} -\frac{20}{9}k^{1-\frac{1}{n}}\omega_n^\frac{1}{n}\rho^{-3}\phi(0)^{3+\frac{1}{n}}\nonumber\\ &&+\frac{29}{24}k^{1-\frac{2}{n}}\omega_n^\frac{2}{n}\rho^{-4}\phi(0)^{4+\frac{2}{n}} -\frac{37}{150}k^{1-\frac{3}{n}}\omega_n^\frac{3}{n}\rho^{-5}\phi(0)^{5+\frac{3}{n}}\Big]. \end{matrix}$
现在取$R:=\{V(\Omega)/\omega_n\}^{1/n}$ $V\big(B_R(0)\big)=\omega_nR^n=V(\Omega)$ . 即$B_R(0)$ $\Omega$ $I(\Omega)$
$ I(\Omega)\geq\int_{B_R(0)}|x|^{2}{\rm d}x=n\omega_n\int_0^Rs^{n+1}{\rm d}s =\frac{n\omega_{n}R^{n+2}}{n+2} =\frac{n}{n+2}\omega_{n}^{-\frac{2}{n}}V(\Omega)^{\frac{n+2}{n}}. $
(4.2) $\begin{matrix}\label{est-rho} \rho &\geq& 2(2\pi)^{-n}\sqrt{\frac{n}{n+2}\omega_{n}^{-\frac{2}{n}}V(\Omega)^{\frac{n+2}{n}+1}} =2\sqrt{\frac{n}{n+2}}\cdot(2\pi)^{-n}\omega_{n}^{-\frac{1}{n}} V(\Omega)^{\frac{n+1}{n}} \\ &\geq &(2\pi)^{-n}\omega_{n}^{-\frac{1}{n}} V(\Omega)^{\frac{n+1}{n}}. \end{matrix}$
注意到$0<\phi(0)\leq(2\pi)^{-n}V(\Omega)$ . 构造一个辅助函数如下
$ \theta(t):=\xi(t)+\eta(t)+\zeta(t),\quad\forall\,\,t>0, $
$ \xi(t):=n\omega_{n}^{-\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}}t^{-\frac{2}{n}} +\frac{5}{3}k\rho^{-2}t^{2}, $
$ \eta(t):=-\frac{20}{9}k^{1-\frac{1}{n}}\omega_n^\frac{1}{n}\rho^{-3}t^{3+\frac{1}{n}} +\frac{29}{24}k^{1-\frac{2}{n}}\omega_n^\frac{2}{n}\rho^{-4}t^{4+\frac{2}{n}} $
$ \zeta(t):=-\frac{37}{150}k^{1-\frac{3}{n}}\omega_n^\frac{3}{n}\rho^{-5}t^{5+\frac{3}{n}}. $
然后,将证明$\xi(t)$ $\eta(t)$ $\zeta(t)$ $\big(0,(2\pi)^{-n}V(\Omega)\big]$ $\theta(t)$ $(2\pi)^{-n}V (\Omega)$ $\phi(0)$ $\rho=2(2\pi)^{-n}\sqrt{V(\Omega)I(\Omega)}$
为了证明这个定理,现在按如下步骤进行.容易看出$\zeta(t)$ $(0,\infty)$
$ \xi'(t)=-2\omega_{n}^{-\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}}t^{-\frac{2}{n}-1} +\frac{10}{3}k\rho^{-2}t,\quad\forall\,\,t>0. $
$ \xi''(t)=2(\frac{2}{n}+1)\omega_{n}^{-\frac{2}{n}}k^{1+\frac{2}{n}}t^{-\frac{1}{n}-2} +\frac{10}{3}k\rho^{-2}>0, \quad\forall\,\,t>0, $
这表明$\xi(t)$ $(0,\infty]$ $\xi'(t)=0$
$ t_0:=\Big[\big(\frac{3}{5}\big)^\frac{n}{2}\omega_n^{-1}k\rho^n\Big]^\frac{1}{n+1}. $
显然,$t_0$ $\xi'(t)=0$ $t\rightarrow0^+$ $\xi'(t)\rightarrow-\infty$ . 因此,$\xi'(t)\leq0,\forall\,t\in(0,t_0]$ . 另一方面,利用(4.2)式可得
$\begin{eqnarray*}\label{ineq-21-5-1516} t_0=\Big[\big(\frac{3}{5}\big)^\frac{n}{2}\omega_n^{-1}k\rho^n\Big]^\frac{1}{n+1} \geq\Big[\big(\frac{3}{5}\big)^\frac{n}{2}\omega_n^{-2}k(2\pi)^{-n^2}V(\Omega)^{n+1}\Big]^\frac{1}{n+1} \geq(2\pi)^{-n}V(\Omega). \end{eqnarray*}$
$ k\geq\big(\frac{12}{5}\big)^{-\frac{n}{2}}\cdot\frac{\omega_n^2}{\pi^n}, $
这显然是对的.事实上,由于$\Gamma(s)$ $[2,+\infty)$
$ \Gamma(1+\frac{n}{2})\geq\Gamma(2)=1. $
$ k\geq1\geq\big(\frac{12}{5}\big)^{-\frac{n}{2}}\cdot\left[\Gamma(1+\frac{n}{2})\right]^{-2} =\big(\frac{12}{5}\big)^{-\frac{n}{2}}\cdot\frac{\omega_n^2}{\pi^n}. $
因此,由上面论证可知:在$(0,(2\pi)^{-n}V(\Omega)]$ $\xi'(t)\leq0$ $\xi(t)$
$\begin{eqnarray*} \eta'(t) & = & -\frac{20}{9}\big(3+\frac{1}{n}\big)k^{1-\frac{1}{n}}\omega_n^\frac{1}{n}\rho^{-3}t^{2+\frac{1}{n}} +\frac{29}{24}\big(4+\frac{2}{n}\big)k^{1-\frac{2}{n}}\omega_n^\frac{2}{n}\rho^{-4}t^{3+\frac{2}{n}} \\ & = & \frac{29}{24}\big(4+\frac{2}{n}\big)k^{1-\frac{2}{n}}\omega_n^\frac{2}{n}\rho^{-4}\cdot t^{2+\frac{1}{n}} \big(t^{1+\frac{1}{n}}-t_*^{1+\frac{1}{n}}\big), \end{eqnarray*}$
$ t_*:=\left[\Big(\frac{160}{87}\cdot\frac{3+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}}\Big)^nk\omega_n^{-1}\rho^n\right]^{\frac{1}{n+1}}. $
显然, $t_*\geq(k\omega_n^{-1}\rho^n)^{\frac{1}{n+1}}$ $ \eta'(t)\leq0,\ \forall\,\,x\in[t_*], $ $\eta(t)$ $[t_*]$
$ t_*\geq(k\omega_n^{-1}\rho^n)^{\frac{1}{n+1}} \geq\big[\omega_n^{-2}k(2\pi)^{-n^2}V(\Omega)^{n+1}\big]^\frac{1}{n+1} \geq(2\pi)^{-n}V(\Omega). $
上述最后一个不等式等价于 $ k\geq(2\pi)^{-n}\omega_n^2, $
$ k\geq1\geq2^{-n}\left[\Gamma(1+\frac{n}{2})\right]^{-2}=(2\pi)^{-n}\omega_n^2. $
因此,$\eta(t)$ $(0,(2\pi)^{-n}V(\Omega)]$
参考文献
View Option
[1]
Weyl H Das asymptotische verteilungsgesetz der eigenwerte linearer partieller differentialgleichungen
Math Ann , 1912 , 71 441 -479
DOI:10.1007/BF01456804
URL
[本文引用: 1]
[2]
Pólya G On the eigenvalues of vibrating membranes
Proc Lond Math Soc , 1961 , 11 419 -433
[本文引用: 3]
[4]
Berezin F A Covariant and contravariant symbols of operators
Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat , 1972 , 36 1134 -1167
[本文引用: 6]
[5]
Lieb E The number of bound states of one-body Schroedinger operators and the Weyl problem
Proc Sym Pure Math , 1980 , 36 241 -252
[本文引用: 2]
[9]
Yolcu S Y Yolcu T Multidimensional lower bounds for the eigenvalues of Stokes and Dirichlet Laplacian operators
J Math Phys , 2012 , 53 043508
DOI:10.1063/1.3701978
URL
[本文引用: 8]
[10]
Yolcu S Y Yolcu T Refined eigenvalue bounds on the Dirichlet fractional Laplacian
J Math Phys , 2015 , 56 1 -12
[本文引用: 8]
[11]
Davies E B Safalov Y Spectral Theory and Geometry . Cambridge : Cambridge University Press , 1999
[本文引用: 1]
[12]
Wei G X Sun H J Zeng L Z Lower bounds for fractional Laplacian eigenvalues
Commun Contemp Math , 2014 , 16 1450032
DOI:10.1142/S0219199714500321
URL
[本文引用: 1]
Das asymptotische verteilungsgesetz der eigenwerte linearer partieller differentialgleichungen
1
1912
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3
1961
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... 其中$\omega_n$ $\Bbb R ^n$ [2 ] 证明了:如果$\Omega$ $\Omega$ $\Bbb R ^2$ ). 值得指出的是,Pólya的证明也同样适用于$\Bbb R ^n$ [3 ] .根据Weyl的渐近公式及其结果,Pólya[2 ] 还提出了以下猜想 ...
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... 其中$\omega_n$ $\Bbb R ^n$ [2 ] 证明了:如果$\Omega$ $\Omega$ $\Bbb R ^2$ ). 值得指出的是,Pólya的证明也同样适用于$\Bbb R ^n$ [3 ] .根据Weyl的渐近公式及其结果,Pólya[2 ] 还提出了以下猜想 ...
... 然而,(1.5)式与(1.4)式相差一个因子$c_n(<1)$ . 1983年, Li-Yau[3 ] 在上述猜想中取得了很大进展.更准确地说,他们给出了如下估计 ...
Covariant and contravariant symbols of operators
6
1972
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... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
... 这在平均意义上是最佳的.值得一提的是,(1.6)式可以通过先前Berezin[4 ] 的一个结果的Legendre变换得到 ...
... 这一节完全采用文献[7 ]中的记号,并叙述文献[4 ,7 ,9 ]中的一些后面用到的事实. 开集$\Omega$
... 引理2.1[4 ,7 ] 由(2.1)式定义的函数$F(z)$
The number of bound states of one-body Schroedinger operators and the Weyl problem
2
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... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
... [5 ]证明了存在一个常数$c_n$
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... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
... 关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域. ...
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... In this paper, we study lower bounds for higher eigenvalues of the Dirichlet eigenvalue problem of the Laplacian on a bounded domain $\Omega$ $\Bbb R ^n$ . It is well known that the $k$ - th Dirichlet eigenvalue $\lambda_k(\Omega)$ $ \lambda_k(\Omega)\sim\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n} \qquad\hbox{as}\quad k\rightarrow\infty, $ $\omega_n$ $V(\Omega)$ $n$ - dimensional unit ball in $\Bbb R ^n$ $\Omega$ $ \lambda_k(\Omega)\geq\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n} \qquad\hbox{for}\quad k\in{\Bbb N}. $ [2 ] and Li and Yau[4 ] , respectively. They solved partially the conjecture of Pólya with a slight difference by a factor $n/(n+2)$ . Later, Melas[7 ] improved Berezin-Li-Yau's estimate by adding an additional positive term of the order of $k$
... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
... 人们很自然地会问,是否可以在上式右边增加一个$k$ [7 ] 迈出了实现这一目标的第一步,他得到了以下估计 ...
... 关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域. ...
... 本文采用文献[7 ,9 -10 ]的论证方法,但在细节上有一些显著的差异,证明了以下主要结果. ...
... 本文剩余部分的安排如下:在第2节中,首先简要介绍一些记号,这与文献[7 ]中的记号是一致的,并为本文提供了一个框架; 在第3 节中,建立了一个关键引理,并给出了一个后面需要的重要推论; 在第4节中,借助上述推论,并采用文献[7 ,9 -10 ]中类似的论证,证明了定理1.1. ...
... ]中的记号是一致的,并为本文提供了一个框架; 在第3 节中,建立了一个关键引理,并给出了一个后面需要的重要推论; 在第4节中,借助上述推论,并采用文献[7 ,9 -10 ]中类似的论证,证明了定理1.1. ...
... 这一节完全采用文献[7 ]中的记号,并叙述文献[4 ,7 ,9 ]中的一些后面用到的事实. 开集$\Omega$
... ,7 ,9 ]中的一些后面用到的事实. 开集$\Omega$
... 引理2.1[4 ,7 ] 由(2.1)式定义的函数$F(z)$
... 引理2.2[7 ,9 ] 设$\phi$
... 引理2.3[7 ] 假设$h: [\infty)\to[0,1]$
... 这一节将建立一个关键引理并给出其推论.后者在证明定理1.1中起着重要作用. 在这个过程中,使用与文献[7 ,9 -10 ]相似但不完全相同的论证.读者可参考这些文献以获得更多细节. ...
... 以推论3.1为基础,下面准备证明定理1.1.这个论证过程总体上与文献[7 ,9 ,10 ]是一样的,但又不完全相同. ...
Estimates for eigenvalues on Riemannian manifolds
1
2009
... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
Multidimensional lower bounds for the eigenvalues of Stokes and Dirichlet Laplacian operators
8
2012
... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
... 关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域. ...
... 本文采用文献[7 ,9 -10 ]的论证方法,但在细节上有一些显著的差异,证明了以下主要结果. ...
... 本文剩余部分的安排如下:在第2节中,首先简要介绍一些记号,这与文献[7 ]中的记号是一致的,并为本文提供了一个框架; 在第3 节中,建立了一个关键引理,并给出了一个后面需要的重要推论; 在第4节中,借助上述推论,并采用文献[7 ,9 -10 ]中类似的论证,证明了定理1.1. ...
... 这一节完全采用文献[7 ]中的记号,并叙述文献[4 ,7 ,9 ]中的一些后面用到的事实. 开集$\Omega$
... 引理2.2[7 ,9 ] 设$\phi$
... 这一节将建立一个关键引理并给出其推论.后者在证明定理1.1中起着重要作用. 在这个过程中,使用与文献[7 ,9 -10 ]相似但不完全相同的论证.读者可参考这些文献以获得更多细节. ...
... 以推论3.1为基础,下面准备证明定理1.1.这个论证过程总体上与文献[7 ,9 ,10 ]是一样的,但又不完全相同. ...
Refined eigenvalue bounds on the Dirichlet fractional Laplacian
8
2015
... 后来,上述猜想在许多文献中被广泛的研究(例如,[4 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -10 ] 以及其中的参考文献).下面仅提到其中的几项重要成果.1980年,Lieb[5 ] 证明了存在一个常数$c_n$
... 关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域. ...
... 本文采用文献[7 ,9 -10 ]的论证方法,但在细节上有一些显著的差异,证明了以下主要结果. ...
... 注1.4 Yolcu等人[10 ] 给出了以下结果 ...
... 然而,文献[10 ]给出的证明包含了一个错误的步骤.更具体地说,使用了下面不等式(参见文献[(53)],或文献[第8页]) ...
... 本文剩余部分的安排如下:在第2节中,首先简要介绍一些记号,这与文献[7 ]中的记号是一致的,并为本文提供了一个框架; 在第3 节中,建立了一个关键引理,并给出了一个后面需要的重要推论; 在第4节中,借助上述推论,并采用文献[7 ,9 -10 ]中类似的论证,证明了定理1.1. ...
... 这一节将建立一个关键引理并给出其推论.后者在证明定理1.1中起着重要作用. 在这个过程中,使用与文献[7 ,9 -10 ]相似但不完全相同的论证.读者可参考这些文献以获得更多细节. ...
... 以推论3.1为基础,下面准备证明定理1.1.这个论证过程总体上与文献[7 ,9 ,10 ]是一样的,但又不完全相同. ...
1
1999
... 关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域. ...
Lower bounds for fractional Laplacian eigenvalues
1
2014
... 关于这个专题的更多信息,可以在文献[6 -7 ,9 ⇓ ⇓ -12 ]以及其中的参考文献中找到.综上所述,谱几何中Laplace算子特征值和的研究一直是一个非常活跃的领域. ...
