摘要:
该文研究了Rn中Laplace算子在有界域Ω上的Dirichlet 特征值和的下界.众所周知:第k个Dirichlet特征值λk(Ω)服从Weyl渐近公式,即 λk(Ω)∼4π2[ωnV(Ω)]2nk2n当k→∞时, 其中ωn和V(Ω)分别为是Rn中n维单位球的体积和Ω的体积.根据上述公式,Pólya猜测 λk(Ω)≥4π2[ωnV(Ω)]2nk2n,∀k∈N. 这就是著名的Pólya猜想.对这一问题的研究由来已久,已有很多的工作.特别是,近几十年来最显著的成就之一是由Berezin[4], 以及李伟光和丘成桐[3] 分别独立取得的.他们部分解决了Pólya猜想,只是多了一个因子n/(n+2).后来, Melas[7] 改进了Berezin-Li-Yau的估计,在不等式右边增加了一个正的k阶项. 该文采用与 Melas几乎相同的论证,进一步完善了 Melas 的估计.
中图分类号:
何跃, 阮其华. Laplace算子特征值和的精细下界[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 14-26.
He Yue, Ruan Qihua. Refined Lower Bound for Sums of Eigenvalues of the Laplace Operator[J]. Acta mathematica scientia,Series A, 2023, 43(1): 14-26.