本文研究如下具有吸引相互作用的临界非齐次薛定谔方程

其中$N$表示维数, $|x|^2$ 是调和位势, $\mu\in \Bbb R$ 表示物理模型的化学势, $0<m(x)\leq 1$ 表示空间上非均匀相互作用. 众所周知, 方程(1.1)的解与具有 $\psi(x,t)=u(x){\rm e}^{-\mu t}$ 形式的含时间非线性薛定谔方程驻波解的存在性相关, 它广泛用于玻色-爱因斯坦凝聚模型, 非线性光纤和平面波导^[1]. 特别地, $N = 2$ 且 $m (x) = 1$ 对应于立方薛定谔方程. 有关空间非均匀相互作用的玻色-爱因斯坦凝聚实验参见文献[2]及其引用文献.

方程(1.1)也可看成是如下约束变分极小化问题的欧拉-拉格朗日方程

其中 $E_a(u)$ 是如下能量泛函

${\cal H}$ 表示 Hilbert 空间, 定义为

本文主要研究极小化问题(1.2), 其极小元也称为基态解. 问题(1.2)是一个质量临界问题, 已经引起了很多关注, 可参阅文献[3⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-16]. 文献[8]中, 作者考虑 $m(x)=1$ 时与时间相关的临界非线性薛定谔方程, 给出了具体的门槛值为 $\|Q\|^2_{L^2}$, 这里 $Q$ 是如下非线性方程的唯一的径向对称正解

利用这个门槛值, 他们还研究了问题(1.2)基态解的存在性和轨道稳定性. 当 $N=2$ 且 $m(x)\equiv1$ 时, 能量泛函(1.3)也被称为 Gross-Pitaevskii 泛函. Guo 和 Seiringer^[13] 证明了二维问题门槛值 $a^*>0$ 的存在性, 它等价于吸引型玻色-爱因斯坦凝聚中临界冷原子数的存在性, 在这里 $a^*=\|Q\|^2_{L^2}$, 其中 $Q$ 是方程(1.5)的径向对称正解. 此外, 他们给出了 $a\nearrow a^*$ 时极小元的爆破结果. 在文献[5,14⇓-16]中也得到了不同位势的其他推广结果.

当 $N=2$ 且 $m(x)\neq1$ 时, Deng, Guo 和 Lu^[10] 考虑$m(x)$ 满足 $0<m(x)\leq 1$, $m(x)=1-O(|x-x_0|^{q+2})$ ($x\rightarrow x_0$) 的情形, 其中 $x_0$ 是 $m(x)$ 的唯一最大值点, 也是位势 $V(x)$ 的全局最小值点. 作者证明了极小元存在当且仅当 $0<a<a^*$, 并得到当 $a\nearrow a^*$ 时极小元的质量集中行为. 文献[11]表明, 取 $m(x)=1-O(|x-x_0|^q)$ ($x\rightarrow x_0$), 当 $0<q<2$ 时, 在门槛值 $a^*$ 处极小元存在, 但当 $q>2$ 时在 $a=a^*$ 处极小元不存在. 其它关于非齐次薛定谔方程的相关工作, 见文献[6-7,12].

在文献[11] 中了解到, $m(x)$ 在最大值点附近的几何性质将影响门槛值 $a^*$ 处极小元的存在性. 一个有趣的问题是, 若这个几何性质随着一个参数消失, 那么在门槛值 $a^*$ 处极小元会如何变化呢? 为此, 我们考虑如下 $m(x)$

并且我们假设 $g(x)$ 满足以下条件

$({\rm G_1})$$g(x)\in C^1(\Bbb R^N)$, $0\leq g(x)<1$ 使得 $g(0)=0$, 且 $0$ 是 $g(x)$ 的唯一最小值.

$({\rm G_2})$ 当 $x\rightarrow 0$ 时, 对任意的 $0<q<2$, 使得 $g(x)=O(|x|^q)$.

在上述假设下, 易验证(1.6)式的$m(x)$ 满足

并且 $0$ 也是调和位势 $|x|^2$ 的最小值点, 其中 $0<q<2$. 在本文中, 我们主要关注在门槛值 $a=a^*$ 下的情况, 因此在下面定理中只书写在门槛值 $a^*$ 时的结论, 证明过程可以参考文献[11]中定理 1.1.

定理 1.1 设 $Q$ 是(1.5)式的唯一径向对称正解, $m(x)$ 定义为(1.6)式且满足 $({\rm G_1})$-$({\rm G_2})$, 则对于任意的 $0<\lambda<1$, 当 $a=a^*=\|Q\|^{\frac{4}{N}}_{L^2}$ 时, $e(a)$ 至少存在一个极小元.

当 $\lambda\rightarrow 0^+$ 时, $e(a^*)$ 的极小元的极限行为有如下结论.

定理 1.2 在定理 1.1 条件下, 设 $\lambda>0$ 且 $a=a^*=\|Q\|^{\frac{4}{N}}_{L^2}$, 令 $u_{\lambda}$ 是 $e( a^*)$ 的非负极小元. 给定序列 $\{\lambda_n\}$, 当 $n\rightarrow \infty$ 时 $\lambda_n \rightarrow 0^+$, 则存在一子列 $(\mbox{仍记作 }\{\lambda_n\})$ 使得相差一个平移的情形下

$\begin{equation}\label{concentrate-limit} \lim_{n\rightarrow\infty}\lambda^{\frac{1}{4-p}}_n u_{\lambda_n} ( \lambda^{\frac{1}{4-p}}_n x)= \frac{\gamma Q(\gamma x)}{\|Q\|_{L^2}}\ \ \mbox{在 $H^1(\Bbb R^N)$ 中强收敛}, \end{equation}$(1.7)

其中 $\gamma>0$ 为某一常数.

关于当$a\nearrow a^*$ 时, $e(a)$ 极小元的爆破行为有不少结果, 可见文献[6,10-11]. 然而, 据我们所知, 并没有关于门槛值 $a=a^*$ 处极小元极限行为的结论. 我们利用能量方法和爆破分析来完成上述定理的证明. 与文献[10-11]中的论证相比, 本文采用了一种直接而又简单的方法来得到能量的下界. 此外, 由于在门槛值 $a=a^*$ 处存在特殊的变分结构, 我们需要通过反证法来完成爆破分析.

从文献[4]可知如下 Gagliardo-Nirenberg（GN）不等式

其中 $u\in H^{1}(\Bbb R^N)$. 不等式(2.1)等号成立当且仅当 $u(x)=Q(|x|)$, 其中 $Q$ 是(1.5)式的唯一径向对称正解, 并且 $Q$ 满足

证明见文献[7,引理 8.1.2]. 从文献[4]中知 $Q, |\nabla Q|= O (|x|^{\frac{-1}{2}}{\rm e}^{-|x|})$ 当 $|x|\rightarrow \infty$.

设 ${\cal H}$ 定义为(1.4)式, 如下不等式可参考文献[8].

引理2.1 (带 $\epsilon$ 的 Young 不等式) 对任意 $a, b, \epsilon >0$ 且 $\frac{1}{r}+\frac{1}{q}=1\ (r,q\geq 1)$, 则

首先,我们需要得到能量 $e(a^*)$ 关于 $\lambda$ 的最佳估计.

引理 3.1 设 $m(x)=1-\lambda g(x)$, 其中 $g(x)$ 满足 $({\rm G_1})$-$({\rm G_2})$ 且 $0<\lambda<1$, 则存在与 $\lambda$ 无关的两个常数 $C_1>0$ 和 $C_2>0$, 使得当 $\lambda\rightarrow 0^+$ 有

证 为了证明(3.1)式的上界, 对于任何$\tau >0$, 取试验函数

其中 $Q$ 是(1.5)式的唯一的径向对称正解, 则 $\|u\|^2_{L^2}=1$. 注意到 $({\rm G_1})$ 和 $({\rm G_2})$, 则存在常数 $M_1>0$ 使得

从而

因为 $a^*=\|Q\|^{\frac{4}{N}}_{L^2}$ 和 $(1+\frac{2}{N})\|\nabla Q\|^2_{L^2}=\|Q\|^{4/N+2}_{L^4}$ (见(2.2)式), 那么有

由此得

取 $\tau=\lambda^{-\frac{1}{4-q}}$, 有

接下来我们证明(3.1)式的下界. 由假设条件 (${\rm G_2}$), 知存在 $R_0>0$ 和 $M_2>0$ 使得

这意味着 $\forall u\in {\cal H}$ 且 $\|u\|^2_{L^2}=1$, 有

因此, 对任意的 $0<r^{1/2}<R_0$ ($r$ 之后确定), 由 G-N 不等式我们有

其中 $[\ \ ]_+$ 表示正部. 注意到

其中常数 $C$ 是不依赖与 $\lambda$. 直接计算得

对适合的常数 $M_3>0$. 结合(3.3)式和(3.4)式, 有

对适合的常数 $M_4>0$. 令 $r=C_0\lambda^{\frac{2}{4-q}}$ 且 $C_0$ 足够小, 那么对足够小的 $\lambda$ 有 $r^{1/2}<R_0$ 使得

因此, 取足够小的 $C_0$ 使得

这蕴含了 $e(a^*)$ 的下界. 证毕.

设 $u_{\lambda}(x)$ 是 $e(a^*)$ 的非负极小元, 记 $\epsilon:=\lambda^{\frac{1}{4-q}}$, 并定义

引理 3.2 当 $\lambda\rightarrow 0^+$ 时，存在两个与 $\lambda$ 无关的常数 $K_1, K_2>0$, 使得

证 因为 $g(x)\geq 0$ 且 $\lambda>0$, 由 G-N 不等式和(3.1)式得

由(2.3)式, 可得

这蕴含了(3.6)式的下界.

下面利用反证法证明上界. 设存在一子列 $\{\lambda_n\}$ 使得 $\int_{\Bbb R^{N}}|\nabla w_{\epsilon_n}|^2{\rm d}x\rightarrow \infty$, 定义

注意到当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有 $\tau_n\rightarrow 0$, $\|v_n\|^2_{L^2}=\|w_{\lambda_n}\|^2_{L^2}=1$ 且 $\int_{\Bbb R^N}|\nabla v_n|^2{\rm d}x=1$. 根据(2.1)式和(3.1)式, 可得

因此

$\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v_n|^2{\rm d}x-\frac{a^*}{{4}/{N}+2}\int_{\Bbb R^{N}}|v_n|^{\frac{4}{N}+2}{\rm d}x\rightarrow 0, \mbox{as $n\rightarrow \infty$.}$

从而, 存在不依赖于 $n$ 的常数 $M_1,M_2>0$, 使得

根据文献[9]中的集中紧原理, 存在一序列 $\{y_{n}\}$ 和正常数 $R_0$ 和 $\eta$, 使得

那么当 $n$ 足够大时, 有

根据 Hölder 不等式, 得

因为 $0<q<2$, 则

因此可知当 $n$ 充分大时, 存在 $\eta_0>0$ 使得

注意到

我们证明 $\tau_n\epsilon_n y_n\rightarrow 0$. 事实上, 反设, 若取子列使得对 $M>0$ 有

则当 $n$ 充分大时, 有

与(3.7)式矛盾. 因此,

根据假设(G2), 则当 $n$ 足够大时, 存在一个常数 $c_1>0$ 使得

因此, 对充分大的 $n$ 有

$\begin{eqnarray*} \int_{\Bbb R^N}g(x)|u_{\lambda_n}(x)|^{\frac{4}{N}+2}{\rm d}x &=&\frac{1}{(\tau_n\epsilon_n)^2}\int_{\Bbb R^N}g(\tau_n\epsilon_n x +\tau_n\epsilon_n y_n )|v_n(x+y_{\epsilon_n})|^{\frac{4}{N}+2}{\rm d}x\\ &\geq& \frac{1}{(\tau_n\epsilon_n)^2} \int_{B(0,R_0)} g(\epsilon_n x+\epsilon_n y_{\epsilon_n})|v_{n}(x+y_{n})|^{\frac{4}{N}+2}{\rm d}x\\ &\geq &\frac{c_1}{(\tau_n\epsilon_n)^{2-q}} \int_{B(0,R_0)}|x|^q |v_{n}(x+y_{n})|^{\frac{4}{N}+2}{\rm d}x\\ &\geq &\frac{c_1\eta_0}{(\tau_n\epsilon_n)^{2-q}}=\frac{c_1\eta_0}{\tau_n^{2-q}}\lambda^{-\frac{2-q}{4-q}}_n. \ \ (\mbox{由(3.13)式和 $\epsilon$ 的定义} ) \end{eqnarray*}$

由此得出

因为 $0<q<2$, 则 $\frac{c_1\eta_0}{\tau_n^{2-q}}\rightarrow\infty$, 与(3.1)式矛盾. 因此我们得到(3.6)式的上界. 证毕.

定理 1.2 的证明 与(3.9)式相同, 我们也有

结合(3.6)式, 则存在与 $\lambda$ 无关的两个常数 $M_1, M_2>0$, 当 $\lambda\rightarrow 0^+$ 时, 有

当 $a=a^*$ 时, $u_{\lambda}$ 满足如下欧拉-拉格朗日方程

其中

注意到

和

结合(3.14)式, 因此, 直到一子列, 存在常数 $\beta>0$ 使得

根据 $w_\epsilon$ 的定义, 则 $w_{\epsilon_n}$ 满足

另一方面,(3.7)式表明存在与 $\lambda$ 无关的常数 $M>0$ 使得 $\int_{\Bbb R^N}|x|^2|w_\epsilon|^2\leq M$ 成立. 因此, $\{w_\epsilon\}$ 在 ${\cal H}$ 上一致有界. 我们知道, 嵌入 ${\cal H}\hookrightarrow L^p(\Bbb R^N)$ 对 $2\leq p<2^*$ 是紧的 (见文献[8]), 其中 $2^*$ 是 Sobolev 临界指标. 因此, 直到一子列, 存在 $w_0\in L^p(\Bbb R^N)$ 使得

根据(3.8)式并在(3.18)式中取极限, 则 $w_0$ 满足

由(3.19)式可得 $w_0\neq 0$, 则从(1.5)式的径向对称正解的唯一性 (相差一个平移) 得出结论, 并且

此外,(3.18)式和(3.20)式分别乘以 $w_{\epsilon_n}$ 和 $w_{0}$ 并做积分, 再由(3.19)式可得

由此可得

$w_{\epsilon_n}\rightarrow w_0=\frac{\gamma^{N/2}}{\|Q\|_{L^2}}Q(\gamma x),\ \ \ \mbox{在 $H^1(\Bbb R^N)$ 中强收敛}.$

证毕.