设$ {\cal H} $是实Hilbert空间, 其内积和范数分别表示为$ \langle\cdot, \cdot\rangle $和$ \|\cdot\| $, $ C\subseteq {\cal H} $是非空闭凸子集, $ A: {\cal H}\rightarrow {\cal H} $是非线性映射. 经典的变分不等式问题是指: 求$ x^{*} \in C $, 使得

(1.1) $ \begin{equation} \langle Ax^{*}, x-x^{*}\rangle \geqslant 0, \quad \forall x \in C. \end{equation} $

我们用$ VI(C, A) $表示上述变分不等式问题(1.1)的解集. 近年来, 变分不等式理论在经济学、运输、工程力学、数学规划和许多其他学科中发挥了重要作用^[1-5].

许多作者提出并分析了几种迭代方法来求解变分不等式问题(1.1). 其中最简单的是如下的投影梯度算法^[6]

$ x_{n+1}=P_{C}(x_{n}-\tau A x_{n}), $

其中$ P_{C}(x) $是$ {\cal H} $到$ C $上的正交投影. 在映射$ A $为强单调且Lipschitz连续的条件下, Sibony证明了由上述算法所产生的序列$ \{x_{n}\} $收敛到变分不等式的解. 若$ A $放宽为单调映射, 则投影梯度算法不一定能收敛到变分不等式问题的解.

为求解单调且Lipschitz连续的变分不等式问题, Korpelevich^[7]提出了外梯度算法, 迭代如下

$ y_{n}=P_{C}\left(x_{n}-\tau A x_{n}\right), \quad x_{n+1}=P_{C}\left(x_{n}-\tau A y_{n}\right). $

在映射$ A $单调且Lipschitz连续的条件下, Korpelevich证明了由上述算法所产生的序列$ \{x_{n}\} $收敛到变分不等式的解. 随后, 许多作者在Banach空间中进一步研究了求解变分不等式问题(1.1)的外梯度算法^[8-12].

但外梯度算法有两个缺点, 其一是需要在两个不同的点上计算映射$ A $的值, 其二是需要在每次迭代中计算两个点在闭凸集$ C $上的投影. 为了克服第一个缺点, Popov^[13]提出了如下的外梯度算法

$ x_{n+1}=P_{C}\left(x_{n}-\tau A y_{n}\right), \quad y_{n+1}=P_{C}\left(x_{n+1}- \tau A y_{n}\right), $

Popov在有限维欧氏空间中证明了该算法的收敛性.

为了克服第二个缺点, Censor, Gibali和Reich^[14]提出了次梯度外梯度算法

$ y_{n}=P_{C}\left(x_{n}-\tau A x_{n}\right), \quad x_{n+1}=P_{T_{n}}\left(x_{n}- \tau A y_{n}\right), $

这里$ T_{n}=\left\{x \in {\cal H} \mid\langle x_{n}- \tau A x_{n} -y_{n}, x-y_{n}\rangle \leq 0\right\} $是一个具有特殊结构的次梯度半空间, 注意到次梯度外梯度算法每个迭代步只需要计算一个闭凸集$ C $上的投影, 因为任何一点在半空间$ T_{n} $上的投影在本质上是显式的.

设$ T: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $为非扩张映射. 则称$ x \in {\cal H} $为$ T $的不动点, 若$ T x=x $. 我们用$ Fix(T) $表示$ T $的不动点集.

近些年, 一些学者提出了一些求解变分不等式解集与非扩张映射不动点集公共元素的迭代算法^{[13, 15-18, 20-22]}. 例如, Takahashi和Toyoda^[21]提出了求解变分不等式解集与非扩张映射不动点集的公共元素的如下迭代算法

$ x_{n+1}=(1-\alpha_{n})x_{n}+\alpha_{n}TP_{C}(x_{n}-\tau_{n}Ax_{n}), $

其中映射$ A: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $是$ \alpha $ -反强单调的, $ T: C\rightarrow C $是非扩张的, Takahashi和Toyoda证明了由上述算法产生的序列$ \{x_{n}\} $弱收敛于某点$ z\in VI(C, A) \cap Fix(T) $.

Nadezhkina和Takahashi^[22]提出了如下迭代算法

$ y_{n}=P_{C}\left(x_{n}-\tau_{n} A x_{n}\right), \quad x_{n+1}=(1-\alpha_{n})x_{n}+\alpha_{n}TP_{C}(x_{n}-\tau_{n}Ay_{n}), $

其中映射$ A: C \rightarrow {\cal H} $是单调且Lipschitz连续的, $ T: C\rightarrow C $是非扩张的, 他们证明了由上述算法产生的序列$ \{x_{n}\} $弱收敛于某点$ z\in VI(C, A) \cap Fix(T) $.

2011年, Censor, Gibali和Reich^[14]提出如下迭代算法

$ \left\{\begin{array}{l} y_{n}=P_{C}\left(x_{n}-\tau A x_{n}\right), \\ T_{n}=\left\{x \in {\cal H}\mid\langle x_{n}-\tau A x_{n}-y_{n}, x-y_{n}\rangle \leq 0\right\}, \\ x_{n+1}=\alpha_{n} x_{n}+\left(1-\alpha_{n}\right) T P_{T_{n}}\left(x_{n}-\tau A y_{n}\right), \end{array}\right. $

其中映射$ A: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $是单调且Lipschitz连续的, $ T: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $是非扩张的, 他们证明了由上述算法产生的序列$ \{x_{n}\} $弱收敛于某点$ z\in VI(C, A) \cap Fix(T) $.

作为非扩张映射的推广, Diaz和Metcalf^[23]提出了拟非扩张映射的概念.最近, Thong和Hieu^[18]引进了求解变分不等式解集与拟非扩张映射不动点集的公共元素的如下迭代算法, 并结合了Armijo -型线搜索规则.

算法1.1

初始化  给定$ \lambda>0, l \in(0, 1), \mu \in(0, 1) $. 任取$ x_{0}, x_{1} \in {\cal H} $.

迭代步骤

第一步  令$ w_{n}=x_{n}+\alpha_{n}\left(x_{n}-x_{n-1}\right) $并计算

$ y_{n}=P_{C}\left(w_{n}-\tau_{n} A w_{n}\right), $

这里$ \tau_{n}=\lambda l^{m_{n}} $, $ m_{n} $为满足如下条件的最小非负整数

$ m: \lambda l^{m}\left\|A w_{n}-A y_{n}\right\| \leq \mu\left\|w_{n}-y_{n}\right\| . $

第二步  计算

$ z_{n}=P_{T_{n}}\left(w_{n}-\tau_{n} A y_{n}\right), $

这里

$ T_{n}:=\left\{x \in {\cal H} \mid\langle w_{n}-\tau_{n} A w_{n}-y_{n}, x-y_{n}\rangle \leq 0\right\}. $

第三步  计算

$ x_{n+1}=\left(1-\beta_{n}\right) w_{n}+\beta_{n} T z_{n} . $

若$ w_{n}=z_{n}=x_{n+1} $, 则$ w_{n} \in VI(C, A) \cap Fix(T) $. 令$ n:=n+1 $, 返回第一步.

其中映射$ A: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $是单调且Lipschitz连续的, $ T:{\cal H} \rightarrow {\cal H} $是拟非扩张映射, 他们证明了由上述算法产生的序列$ \{x_{n}\} $弱收敛于$ z\in VI(C, A) \cap Fix(T) $.

2021年, Cai, Dong和Peng^[19]引进了求解变分不等式问题的新的粘性外梯度算法, 其迭代格式如下.

算法1.2

初始化  给定$ \gamma>0, l \in(0, 1), \mu \in(0, 1) $. 任取$ x_{1} \in {\cal H} $, 令$ n:=1 $.

迭代步骤

第一步  计算

$ y_{n}=P_{C}\left(x_{n}-\lambda_{n} A x_{n}\right), $

若$ x_{n}=y_{n} $或$ Ay_{n}=0 $, 则停止计算且$ y_{n} $是解. 否则

第二步  计算

$ z_{n}=P_{T_{n}}\left(x_{n}-\lambda_{n} A y_{n}\right), $

这里

$ T_{n}:=\left\{x \in {\cal H} \mid\langle x_{n}-\lambda_{n} A x_{n}-y_{n}, x-y_{n}\rangle \leq 0\right\}, $

这里$ \lambda_{n}=\gamma l^{m_{n}} $, $ m_{n} $为满足如下条件的最小非负整数

$ m:\gamma l^{m}\langle Ay_{n}-Ax_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle \leq \frac{\mu}{2}[\|x_{n}-y_{n}\|^{2}+\|y_{n}-z_{n}\|^{2}]. $

第三步  计算

$ x_{n+1}=\beta_{n}f(x_{n})+(1-\beta_{n})z_{n}. $

令$ n:=n+1 $, 返回第一步.

其中映射$ A: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $是伪单调的, 一致连续且弱序列连续的, 他们证明了由上述算法产生的序列$ \left\{x_{n}\right\} $强收敛于变分不等式问题的解.

惯性项被运用到Tseng算法、压缩算法、Mann型迭代算法, 这一技术加快了原有算法的收敛速度^[24-28].

受上述思想的启发, 本文引进了一个新的惯性次梯度外梯度算法, 并结合粘性算法, 在一定条件下, 我们证明了这一算法所产生的序列强收敛于伪单调变分不等式问题解集与拟非扩张映射的不动点集合的公共元素.

在这一节, 我们回顾一下本文所需的定义和引理.

$ x_{n}\rightharpoonup x $表示$ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} $弱收敛到$ x $, $ x_{n}\rightarrow x $表示$ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} $强收敛到$ x $. 对任意给定$ x, y \in {\cal H}, \alpha \in {\Bbb R} $, 有

$ \|x+y\|^{2} \leq\|x\|^{2}+2\langle y, x+y\rangle, $

$ \|\alpha x+(1-\alpha) y\|^{2}=\alpha\|x\|^{2}+(1-\alpha)\|y\|^{2}-\alpha(1-\alpha)\|x-y\|^{2} . $

映射$ T $称为$ L $ -Lipschitz连续的, 若

$ \|T x-T y\| \leq L\|x-y\|, \quad \forall x, y \in {\cal H}. $

若$ L=1 $, 称$ T $为非扩张映射. 若$ L \in(0, 1) $, 称$ T $为压缩映射.

任给$ x \in {\cal H} $, 则存在$ C $中唯一的最近点$ P_{C} (x) $满足

$ \left\|x-P_{C} (x)\right\| \leq\|x-y\|, \quad\forall y \in C . $

其中$ P_{C} $叫做$ {\cal H} $到$ C $上的正交投影. 易知$ P_{C} $为$ {\cal H} $到$ C $上的非扩张映射.

下面给出投影的一些基本性质, 可详见文献[29, 命题3.5, 定理3.6].

引理2.1  设$ C $是Hilbert空间$ {\cal H} $上的非空闭凸子集, 那么有如下性质成立

(1) $ \langle x-P_{C} (x), y-P_{C} (x)\rangle \leq 0 $, \quad $ \forall x \in {\cal H}, y \in C $;

(2) $ \left\|P_{C} (x)-y\right\|^{2} \leq\|x-y\|^{2}-\left\|x-P_{C} (x)\right\|^{2} $, \quad $ \forall x \in {\cal H}, y \in C $;

映射$ T $称为$ \alpha $ -反强单调的, 若存在常数$ \alpha >0 $, 满足

$ \langle T x- T y, x-y\rangle \geq \alpha \|T x-T y\|^{2}, \quad \forall x, y \in {\cal H}. $

映射$ T $称为强单调的, 若存在常数$ \alpha >0 $, 满足

$ \langle T x- T y, x-y\rangle \geq \alpha \|x- y\|^{2}, \quad \forall x, y \in {\cal H}. $

映射$ T $称为单调的, 若

$ \langle T x- T y, x-y\rangle \geq 0, \quad \forall x, y \in {\cal H}. $

映射$ T $称为伪单调的, 若

$ \langle T x, y-x\rangle \geq 0 \Rightarrow \langle T y, y-x\rangle \geq 0, \quad \forall x, y \in {\cal H}. $

映射$ T: C \rightarrow {\cal H} $称为有限维连续的, 若对$ {\cal H} $中的任一有限维子空间$ U $, 当$ U \cap C\neq \emptyset $时, $ T $在$ U \cap C $上是连续的.

映射$ T: {\cal H} \rightarrow {\cal H}(Fix(T) \neq 0) $称为拟非扩张的, 若

$ \|T x-p\| \leq\|x-p\|, \quad\forall x \in H, p \in F i x(T) . $

映射$ T $称为弱序列连续的, 若任给序列$ \left\{x_{n}\right\} $满足$ x_{n} \rightharpoonup x $, 有$ T x_{n} \rightharpoonup Tx $.

设$ T: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $为非线性映射满足$ Fix(T) \neq \emptyset $, 称$ I-T $在零点是半闭的, 若序列$ \left\{x_{n}\right\} $满足$ x_{n} \rightharpoonup x $和$ (I-T) x_{n} \rightarrow 0 $, 则有$ x \in Fix(T) $.

为了证明主要定理, 我们需要下述引理.

引理2.2^[30]  设$ A: C \rightarrow {\cal H} $是连续且伪单调映射, 则$ x^{*} $是(0.1)式的解当且仅当

$ \langle A(x), x-x^{*}\rangle \geqslant 0, \quad \forall x \in C. $

引理2.3^[31]  设$ \left\{a_{n}\right\} $是非负实序列, 且满足$ \exists N>0, \forall n \geq N, a_{n+1} \leq\left(1-\alpha_{n}\right) a_{n}+\alpha_{n} b_{n} $, 同时$ \left\{\alpha_{n}\right\} \subset(0, 1), \sum\limits_{n=0}^{\infty} \alpha_{n}=\infty $和$ \mathop {\lim \sup}\limits_{n \to \infty } b_{n} \leq 0 $, 则$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_{n}=0 $.

引理2.4^[32]  设$ \left\{a_{n_{j}}\right\} $是非负实序列$ \left\{a_{n}\right\} $的子列, 且子列满足对于任意$ j \in {\Bbb N} $, 成立$ a_{n_{j}}<a_{n_{j}+1} $, 则存在单调递增的整数子列$ \left\{m_{k}\right\} $满足$ \mathop {\lim \sup}\limits_{k \to \infty } m_{k}=\infty $, 而且当$ k $充分大时有$ k \in {\Bbb N}. $

$ a_{m_{k}} \leq a_{m_{k}+1}, a_{k} \leq a_{m_{k}+1}. $

事实上$ m_{k} $是集合$ \{1, 2, \ldots, k\} $中满足$ a_{n}<a_{n+1} $的最大整数.

引理2.5^[33]   给定$ x \in {\cal H} $和$ \alpha \geq \beta>0 $, 以下式子成立

$ \frac{\left\|x-P_{C}(x-\alpha A x)\right\|}{\alpha} \leq \frac{\left\|x-P_{C}(x-\beta A x)\right\|}{\beta}, $

$ \left\|x-P_{C}(x-\beta A x)\right\| \leq\left\|x-P_{C}(x-\alpha A x)\right\|. $

引理2.6^[34]  设$ {\cal H}_{1} $, $ {\cal H}_{2} $为实Hilbert空间, 若$ A: {\cal H}_{1} \rightarrow {\cal H}_{2} $在$ {\cal H}_{1} $的有界集上是一致连续的, 且$ M $为$ {\cal H}_{1} $上的有界集, 则$ A(M) $有界.

在这一节中, 我们为求解伪单调变分不等式问题, 引入了一类新的带惯性的粘性次梯度外梯度方法. 为引入算法, 我们需要下述条件.

条件3.1  映射$ A: C \rightarrow {\cal H} $是伪单调的, 在$ C $中的有界集上是一致连续的且在$ C $上是弱序列连续.

条件3.2  $ VI (C, A)\cap Fix(T)\neq \emptyset $.

条件3.3  设$ f: {\cal H} \rightarrow {\cal H} $是具有常数为$ \delta \in [0, 1) $的压缩映射. 设$ \{\alpha_{n}\} $, $ \{\beta_{n}\} $, $ \{\gamma_{n}\} $是[0, 1]中的三个序列, 且满足以下条件

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \beta_{n}=0, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \beta_{n}=\infty $

和

$ \mathop {\liminf}\limits_{n \to \infty }\gamma_{n}(1-\gamma_{n})>0. $

现在引进下述算法.

算法3.1

初始化  给定$ \lambda>0, l \in(0, 1), \mu \in(0, 1) $. 任取$ x_{0} $, $ x_{1} \in {\cal H} $, $ n:=1 $.

迭代步骤

第一步  令$ w_{n}=x_{n}+\alpha_{n}\left(x_{n}-x_{n-1}\right) $并计算

(3.1) $ \begin{eqnarray} y_{n}=P_{C}\left(w_{n}-\tau_{n} A w_{n}\right), \end{eqnarray} $

这里$ \tau_{n}=\lambda l^{m_{n}} $, $ m_{n} $为满足如下条件的最小非负整数

(3.2) $ \begin{eqnarray} m:\lambda l^{m}\langle Ay_{n}-Aw_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle \leq \frac{\mu}{2}[\|w_{n}-y_{n}\|^{2}+\|y_{n}-z_{n}\|^{2}] . \end{eqnarray} $

第二步  计算

(3.3) $ \begin{equation} z_{n}=P_{T_{n}}\left(w_{n}-\tau_{n} A y_{n}\right), \end{equation} $

这里

(3.4) $ \begin{equation} T_{n}:=\left\{x \in {\cal H} \mid\langle w_{n}-\tau_{n} A w_{n}-y_{n}, x-y_{n}\rangle \leq 0\right\}. \end{equation} $

第三步  计算

(3.5) $ \begin{equation} t_{n}=\left(1-\gamma_{n}\right) z_{n}+\gamma_{n} T z_{n}, \end{equation} $

且

(3.6) $ \begin{equation} x_{n+1}=\beta_{n}f(x_{n})+(1-\beta_{n})t_{n}. \end{equation} $

若$ w_{n}=z_{n}=t_{n} $, 则$ w_{n} \in VI(C, A) \cap Fix(T) $. 令$ n:=n+1 $, 返回第一步.

注3.1  算法3.1中的步长选择与算法1.1 (即文献[18, 算法1])的步长选择不同. 准确地说, 我们的步长选择更优. 事实上, 算法1.1中的Armijo -型线搜索规则为

(3.7) $ \begin{eqnarray} \lambda l^{m}\left\|A w_{n}-A y_{n}\right\| \leq \mu\left\|w_{n}-y_{n}\right\|. \end{eqnarray} $

对(3.7)式不等号左右两边同乘$ \|z_{n}-y_{n}\| $,

(3.8) $ \begin{eqnarray} \lambda l^{m}\left\|A w_{n}-A y_{n}\right\|\|z_{n}-y_{n}\| &\leq& \mu\left\|w_{n}-y_{n}\right\|\|z_{n}-y_{n}\| \\ &\leq &\frac{\mu}{2}[\|w_{n}-y_{n}\|^{2}+\|z_{n}-y_{n}\|^{2}] . \end{eqnarray} $

又由Cauchy-Schwartz不等式, 有

(3.9) $ \begin{eqnarray} \lambda l^{m}\langle Aw_{n}-Ay_{n}, z_{n}-y_{n}\rangle \leq \lambda l^{m}\left\|A w_{n}-A y_{n}\right\|\|z_{n}-y_{n}\|. \end{eqnarray} $

结合(3.8)和(3.9)式得

$ \lambda l^{m}\langle Aw_{n}-Ay_{n}, z_{n}-y_{n}\rangle \leq \frac{\mu}{2}[\|w_{n}-y_{n}\|^{2}+\|z_{n}-y_{n}\|^{2}], $

即算法3.1中的(3.2)式成立.

注3.2  最近, 文献[35]用了一个新的步长规则修改了次梯度外梯度法, 即

$ \lambda_{n+1}= \left\{\begin{array}{ll} { } \min \left\{\frac{\mu\left(\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}+\left\|z_{n}-y_{n}\right\|^{2}\right)}{2\langle A\left(w_{n}\right)-A\left(y_{n}\right), z_{n}-y_{n}\rangle}, \lambda_{n}\right\}, & \mbox{ 若 }\langle A\left(w_{n}\right)-A\left(y_{n}\right), z_{n}-y_{n}\rangle>0, \\ \lambda_{n}, & \mbox{ 否则 }.\end{array}\right. $

这里要求$ A $是伪单调且Lipschitz连续的, 而我们用的步长规则是(3.2)式的Armijo-型线搜索规则, 并要求$ A $是伪单调且一致连续的, 表明我们对$ A $的条件减弱了, 但是这种步长规则可能需要计算额外的投影, 因此这两种步长选择各有千秋.

注3.3  与文中的算法1.2 (即文献[19, 算法3.1])相比, 我们的算法3.1更一般. 准确地说, 当$ \alpha_{n}=0 $, $ T=I $ (其中$ I $是恒等映射)时, 我们的算法3.1就退化到文献[19, 算法3.1].

为了证明本文的主要定理, 我们先证明下述引理.

引理3.1  假定条件3.1–3.3成立, 则Armijo-型线搜索规则(3.2)有意义.

证  若$ w_{n} \in V I(C, A) $, 则$ w_{n}=P_{C}\left(w_{n}-\lambda A w_{n}\right) $且$ m_{n}=0 $, 则(3.2)式成立.

现在考虑$ w_{n} \notin V I(C, A) $且对所有的非负整数$ m $, 有

(3.10) $ \begin{eqnarray} & &\lambda l^{m}\langle A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- A w_{n}, P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\rangle \\ &>&\frac{\mu}{2}[\left\|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-w_{n}\right\|^{2}+ \left\|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\right\|^{2}]. \end{eqnarray} $

由Cauchy-Schwartz不等式知

(3.11) $ \begin{eqnarray} & &\langle A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- A w_{n}, P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\rangle \\ &\leq& \| A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- A w_{n}\| \| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\|, \end{eqnarray} $

且由均值不等式有

(3.12) $ \begin{eqnarray} && \| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- w_{n}\| \| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\| \\ &\leq& \frac{1}{2}[\|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- w_{n}\|^{2}+ \|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\|^{2}], \end{eqnarray} $

结合(3.10)–(3.12)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\lambda l^{m}\|A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-A w_{n}\| \| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\| \nonumber\\ &>& \mu\| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- w_{n}\| \| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-z_{n}\|, \end{eqnarray*} $

从而

(3.13) $ \begin{equation} \lambda l^{m}\|A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-A w_{n}\| > \mu\| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- w_{n}\| , \end{equation} $

于是

(3.14) $ \begin{equation} \| A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- A w_{n}\| > \frac{\mu}{\lambda l^{m}}\| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- w_{n}\|. \end{equation} $

考虑下述两种情形.

情形1   假设$ w_{n} \notin C $. 因为$ P_{C} $连续, 则

$ \lim _{m \rightarrow \infty}\left\|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-w_{n}\right\| = \|P_{C}w_{n}-w_{n}\|>0, $

从而

(3.15) $ \begin{equation} \lim _{m \rightarrow \infty} \mu \left\|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-w_{n}\right\| >0. \end{equation} $

由条件3.1知, $ A $在$ C $中的有界集上是一致连续的, 并且$ \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \lambda l^{m}=0 $, 则

(3.16) $ \begin{eqnarray} \lim _{m \rightarrow \infty} \lambda l^{m}\|A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- A w_{n}\|=0, \end{eqnarray} $

由(3.15), (3.16)式知(3.13)式是矛盾的.

情形2   假设$ w_{n} \in C $. 因为$ P_{C} $连续, 则

(3.17) $ \begin{eqnarray} \lim _{m \rightarrow \infty}\left\|P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-w_{n}\right\|=\|w_{n}-w_{n}\| =0. \end{eqnarray} $

再由条件3.1知, $ A $在$ C $中的有界集上是一致连续的, 得

(3.18) $ \begin{eqnarray} \lim _{m \rightarrow \infty}\left\|A P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)-A w_{n}\right\|=0. \end{eqnarray} $

结合(3.14)和(3.18)式得

(3.19) $ \begin{eqnarray} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\| P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right)- w_{n}\|}{\lambda l^{m}}=0. \end{eqnarray} $

令$ z_{m}=P_{C}\left(w_{n}-\lambda l^{m} A w_{n}\right) $, 根据引理2.1知

$ \langle z_{m}-w_{n}+\lambda l^{m} A w_{n}, x-z_{m}\rangle \geq 0, \quad \forall x \in C, $

即

$ \langle\frac{z_{m}-w_{n}}{\lambda l^{m}}, x-z_{m}\rangle+\langle A w_{n}, x-z_{m}\rangle \geq 0, \quad \forall x \in C, $

于是

(3.20) $ \begin{eqnarray} \langle\frac{z_{m}-w_{n}}{\lambda l^{m}}, x-z_{m}\rangle+\langle A w_{n}, x-w_{n}\rangle+\langle A w_{n}, w_{n}-z_{m}\rangle \geq 0, \quad \forall x \in C . \end{eqnarray} $

对(3.20)式取极限, 令$ m \rightarrow \infty $并利用(3.17)和(3.19)式, 得

$ \langle A w_{n}, x-w_{n}\rangle \geq 0, $

从而$ w_{n} \in VI(C, A) $, 这与$ w_{n} \notin VI(C, A) $矛盾.

引理3.2  假设条件3.1–3.3成立, 设$ \left\{w_{n}\right\} $为算法3.1生成的序列, 若存在子列$ \left\{w_{n_{k}}\right\} $弱收敛于$ z \in {\cal H} $和$ \mathop {\lim }\limits_{k\to \infty } \left\|w_{n_{k}}-y_{n_{k}}\right\|=0 $, 则$ z \in VI(C, A) $.

证  因为$ w_{n_{k}} \rightharpoonup z $, $ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left\|w_{n_{k}}-y_{n _{k}}\right\|=0 $且$ \left\{y_{n}\right\} \subset C $, 所以$ z \in C $. 由

$ y_{n_{k}}=P_{C}\left(w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} A w_{n_{k}}\right), $

则

$ \left\langle {{w_{{n_k}}} - {\tau _{{n_k}}}A{w_{{n_k}}} - {y_{{n_k}}},x - {y_{{n_k}}}} \right\rangle \le 0,\quad \forall x \in C,$

即

$ \langle {w_{{n_k}}} - {\tau _{{n_k}}}A{w_{{n_k}}} - {y_{{n_k}}},x - {y_{{n_k}}}\rangle \le 0,\quad \forall x \in C,$

或者等价写成

(3.21) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{\tau_{n_{k}}} \langle w_{n_{k}}-y_{n_{k}}, x-y_{n_{k}} \rangle+\langle A w_{n_{k}}, y_{n_{k}}-w_{n_{k}}\rangle \leq \langle A w_{n_{k}}, x-w_{n_{k}}\rangle, \quad\forall x \in C. \end{eqnarray} $

下证

(3.22) $ \mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } \langle A{w_{{n_k}}},x - {w_{{n_k}}}\rangle \ge 0.$

考虑两种情形.

情形1   假设$ \mathop {\liminf}\limits_{k \to \infty } \tau_{n_{k}}>0 $. 因为$ \left\{w_{n_{k}}\right\} $有界且$ A $在$ C $中的有界集上是一致连续的, 由引理2.6知, $ \left\{A w_{n_{k}}\right\} $有界. 在(3.21)式中令$ k \rightarrow \infty $, 有

$ \liminf _{k \rightarrow \infty}\langle A w_{n_{k}}, x-w_{n_{k}}\rangle \geq 0. $

情形2   假设$ \mathop {\liminf}\limits_{k \to \infty } \tau_{n_{k}}=0 $. 设

$ u_{n_{k}}=P_{C}\left(w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} l^{-1} A w_{n_{k}}\right) . $

因为$ \tau_{n_{k}} l^{-1}>\tau_{n_{k}} $, 由引理2.5得

(3.23) $ \begin{eqnarray} \left\|w_{n_{k}}-u_{n_{k}}\right\| \leq \frac{1}{l}\left\|w_{n_{k}}-y_{n_{k}}\right\| \rightarrow 0(k \rightarrow \infty). \end{eqnarray} $

所以$ u_{n_{k}} \rightharpoonup z \in C $. 故$ \left\{u_{n_{k}}\right\} $有界. 由$ A $在$ C $中的有界集上是一致连续的, 得

(3.24) $ \begin{eqnarray} \left\|A w_{n_{k}}-A u_{n_{k}}\right\| \rightarrow 0 (k \rightarrow \infty). \end{eqnarray} $

由Armijo-型线搜索规则(3.2)式, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\tau_{n_{k}} l^{-1}\langle A P_{C}\left(w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} l^{-1} A w_{n_{k}}\right)-A w_{n_{k}}, P_{C}\left(w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} l^{-1} A w_{n_{k}}\right)-z_{n_{k}}\rangle \\ &>&\frac{\mu}{2}\left[\left\|P_{C}\left(w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} l^{-1} A w_{n_{k}}\right)-w_{n_{k}}\right\|^{2}+\left\|P_{C}\left(w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} l^{-1} A w_{n_{k}}\right)-z_{n_{k}}\right\|^{2}\right], \end{eqnarray*} $

即

(3.25) $ \begin{equation} \tau_{n_{k}} l^{-1}\langle A u_{n_{k}}-A w_{n_{k}}, u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\rangle >\frac{\mu}{2}\left[\left\|u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\right\|^{2}+\left\|u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\right\|^{2}\right]. \end{equation} $

由Cauchy-Schwartz不等式知

(3.26) $ \begin{eqnarray} \langle A u_{n_{k}}-A w_{n_{k}}, u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\rangle \leq \|A u_{n_{k}}-A w_{n_{k}}\|\|u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\| , \end{eqnarray} $

且由均值不等式有

(3.27) $ \begin{eqnarray} \|u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\| \|u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\|\leq \frac{1}{2} [\left\|u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\right\|^{2}+\left\|u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\right\|^{2}], \end{eqnarray} $

结合(3.25)–(3.27)式得

$ \tau_{n_{k}} l^{-1} \|A u_{n_{k}}-A w_{n_{k}}\|\|u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\|> \mu \|u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\| \|u_{n_{k}}-z_{n_{k}}\|, $

从而

$ \tau_{n_{k}} l^{-1} \|A u_{n_{k}}-A w_{n_{k}}\|> \mu \|w_{n_{k}}-u_{n_{k}}\|, $

故

(3.28) $ \begin{equation} \frac{1}{\mu} \|A u_{n_{k}}-A w_{n_{k}}\| > \frac{\|u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\|}{\tau_{n_{k}} l^{-1}}. \end{equation} $

结合(3.24)和(3.28)式, 得

(3.29) $ \begin{equation} \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\|u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\|}{\tau_{n_{k}} l^{-1}}=0. \end{equation} $

另外, 由$ u_{n_{k}} $的定义和引理2.1知

$ \langle w_{n_{k}}-\tau_{n_{k}} l^{-1} A w_{n_{k}}-u_{n_{k}}, x-u_{n_{k}}\rangle \leq 0, \quad \forall x \in C, $

变形后有

(3.30) $ \begin{equation} \frac{1}{\tau_{n_{k}} l^{-1}}\langle w_{n_{k}}-u_{n_{k}}, x-u_{n_{k}}\rangle+\langle A w_{n_{k}}, u_{n_{k}}-w_{n_{k}}\rangle \leq\langle A w_{n_{k}}, x-w_{n_{k}}\rangle, \quad\forall x \in C. \end{equation} $

在(3.30)式中令$ k \rightarrow \infty $, 并利用(3.23)和(3.29)式, 有

$ \mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } \langle A{w_{{n_k}}},x - {w_{{n_k}}}\rangle \ge 0. $

因此, (3.22)式成立. 注意到

(3.31) $ \langle A{y_{{n_k}}},x - {y_{{n_k}}}\rangle = \langle A{y_{{n_k}}} - A{w_{{n_k}}},x - {w_{{n_k}}}\rangle + \langle A{w_{{n_k}}},x - {w_{{n_k}}}\rangle + \langle A{y_{{n_k}}},{w_{{n_k}}} - {y_{{n_k}}}\rangle ,$

由$ A $在$ C $中的有界集上是一致连续的和$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\left\|w_{n_{k}}-y_{n_{k}}\right\|=0 $, 得

(3.32) $ \begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\left\|A w_{n_{k}}-A y_{n_{k}}\right\|=0, \end{eqnarray} $

在(3.31)式中令$ k \rightarrow \infty $, 并利用(3.22)和(3.32)式知

(3.33) $ \begin{eqnarray} \liminf _{k \rightarrow \infty}\langle A y_{n_{k}}, x-y_{n_{k}}\rangle \geq 0. \end{eqnarray} $

最后, 证明$ z \in V I(C, A) $. 事实上, 选择序列$ \left\{\epsilon_{k}\right\} $满足$ \epsilon_{k} > 0 $且$ \epsilon_{k} \rightarrow 0 $. 对每个$ k $, 用$ N_{k} $表示最小正整数, 使得

$ \langle A y_{n_{j}}, x-y_{n_{j}}\rangle+\epsilon_{k} \geq 0, \quad\forall j \geq N_{k}, $

并且, 对每个$ k $, 由$ \left\{y_{N_{k}}\right\} $的定义, 有$ A y_{N_{k}} \neq 0 $.

设$ v_{N_{k}}=\frac{A y_{N_{k}}}{\| A y_{N_{k}} \|^{2}} $, 则对每个$ k $, 有$ \langle A y_{N_{k}}, v_{N_{k}}\rangle=1 $且

$ \langle A y_{N_{k}}, x+\epsilon_{k} v_{N_{k}}-y_{N_{k}}\rangle \geq 0, $

由$ A $的伪单调性, 得

$ \langle A\left(x+\epsilon_{k} v_{N_{k}}\right), x+\epsilon_{k} v_{N_{k}}-y_{N_{k}}\rangle \geq 0, $

从而

(3.34) $ \begin{equation} \langle A x, x-y_{N_{k}}\rangle \geq\langle A x-A\left(x+\epsilon_{k} v_{N_{k}}\right), x+\epsilon_{k} v_{N_{k}}-y_{N_{k}}\rangle-\epsilon_{k}\langle A x, v_{N_{k}}\rangle. \end{equation} $

下证$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \epsilon_{k} v_{N_{k}}=0 $.

事实上, 由$ w_{n_{k}} \rightharpoonup z $且$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty }\left\|w_{n_{k}}-y_{n_{k}}\right\|=0 $, 得$ y_{n_{k}} \rightharpoonup z $($ k \rightarrow \infty $). 因为映射$ A $在$ C $上是弱序列连续, 所以$ A y_{n_{k}}\rightharpoonup A z $ ($ k \rightarrow \infty $), 且$ A z \neq 0 $. 注意范数映射是弱序列下半连续, 得

$ 0<\|A z\| \leq \mathop {\liminf }\limits_{k \to \infty }\left\|A y_{n_{k}}\right\|. $

由$ \left\{y_{N_{k}}\right\} \subset\left\{y_{n_{k}}\right\} $和$ \epsilon_{k} \rightarrow 0 $($ k \rightarrow \infty $), 得

$ 0 \leq \limsup _{k \rightarrow \infty}\left\|\epsilon_{k} v_{N_{k}}\right\|=\limsup _{k \rightarrow \infty} \left(\frac{\epsilon_{k}}{\left\|A y_{n_{k}}\right\|}\right) \leq \frac{\mathop {\limsup }\limits_{k \to \infty } \epsilon_{k}}{\mathop {\liminf }\limits_{k \to \infty }\left\|A y_{n_{k}}\right\|}=0, $

则$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \epsilon_{k} v_{N_{k}}=0 $.

由于$ A $在$ C $中的有界集上是一致连续的, $ \left\{y_{N_{k}}\right\}, \left\{v_{N_{k}}\right\} $有界且$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \epsilon_{k} v_{N_{k}}=0 $, 在(3.34)式中令$ k \rightarrow \infty $, 得

$ \mathop {\liminf }\limits_{k \to \infty }\langle A x, x-y_{N_{k}}\rangle \geq 0, $

则

$ \langle A x, x-z\rangle=\lim _{k \rightarrow \infty}\langle A x, x-y_{N_{k}}\rangle=\liminf _{k \rightarrow \infty}\langle A x, x-y_{N_{k}}\rangle \geq 0, \quad\forall x \in C. $

由引理2.2得, $ z \in V I(C, A) $.证毕.

引理3.3  假设条件3.1–3.3成立, $ \{z_{n}\} $是由算法3.1所产生的序列, 则

$ \left\|z_{n}-p\right\|^{2} \leq\left\|w _{n}-p\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|z_{n}-y_{n}\right\|^{2}, \quad p \in V I(C, A). $

证  由$ p \in V I(C, A) \subset C\subset T_{n} $, 利用引理2.1和$ z_{n} $的定义, 得

(3.35) $ \begin{eqnarray} \left\|z_{n}-p\right\|^{2} &=&\left\|P_{T_{n}}\left(w_{n}-\tau_{n} A y_{n}\right)-p\right\|^{2} {} \\ &\leq& \left\|w_{n}-\tau_{n} A y_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-\tau_{n} A y_{n}-z_{n}\right\|^{2} {} \\ & =&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}+\tau_{n}^{2}\left\|A y_{n}\right\|^{2}-2\left \langle w_{n}-p, \tau_{n} A y_{n}\right \rangle-\left\|w_{n}-z_{n}\right\|^{2} {} \\ &&-\tau_{n}^{2}\left\|A y_{n}\right\|^{2}+2\langle w_{n}-z_{n}, \tau_{n} A y_{n}\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-z_{n}\right\|^{2}-2\langle\tau_{n} A y_{n}, z_{n}-p\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-z_{n}\right\|^{2}-2\langle\tau_{n} A y_{n}, z_{n}-y_{n}+y_{n}-p\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-z_{n}\right\|^{2}+2\langle\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle-2\langle\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-p\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-\left\|y_{n}-z_{n}\right\|^{2}-2\langle w_{n}-y_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle {} \\ & &+2\langle\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle-2\langle\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-p\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-\left\|y_{n}-z_{n}\right\|^{2} {} \\ & &-2\langle w_{n}-y_{n}-\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle-2\langle\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-p\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-\left\|y_{n}-z_{n}\right\|^{2}-2\langle\tau_{n} A y_{n}, y_{n}-p\rangle {} \\ & &-2\langle w_{n}-y_{n}-\tau_{n} A y_{n}+\tau_{n} A w_{n}-\tau_{n} A w_{n}, y_{n}-z_{n}\rangle {} \\ &=&\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-\left\|y_{n}-z_{n}\right\|^{2}-2 \tau_{n}\langle A y_{n}, y_{n}-p\rangle {} \\ & &+2 \tau_{n}\langle A w_{n}-A y_{n}, z_{n}-y_{n}\rangle+ 2\langle w_{n}-\tau_{n} A w_{n} -y_{n}, z_{n}-y_{n}\rangle . \end{eqnarray} $

因为$ p \in VI(C, A), \left\{y_{n}\right\} \subset C $, 有$ \langle A p, y_{n}-p\rangle \geq 0 . $注意到$ A $是伪单调的, 则

(3.36) $ \begin{eqnarray} \langle A y_{n}, y_{n}-p\rangle \geq 0, \end{eqnarray} $

于是

(3.37) $ \begin{equation} 2 \tau_{n}\langle A y_{n}, y_{n}-p\rangle \geq 0. \end{equation} $

注意到

(3.38) $ \begin{equation} 2 \tau_{n}\langle A w_{n}-A y_{n}, z_{n}-y_{n}\rangle \leq \mu[\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}+\left\|z_{n}-y_{n}\right\|^{2}] . \end{equation} $

由$ z_{n} \in T_{n} $得

(3.39) $ \begin{equation} 2\langle w_{n}-\tau_{n} A w_{n} -y_{n}, z_{n}-y_{n}\rangle \leq 0 . \end{equation} $

由(3.35), (3.37)–(3.39)式知

$ \left\|z_{n}-p\right\|^{2} \leq\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|z_{n}-y_{n}\right\|^{2}. $

故结论得证.

引理3.4  假定条件3.1–3.3成立, 若$ w_{n}=z_{n}=t_{n} $, 则$ w_{n} \in VI(C, A) \cap Fix(T) $.

证  设$ p \in VI(C, A) \cap Fix(T) $. 根据引理3.3得

$ \left\|z_{n}-p\right\|^{2} \leq\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}. $

因为$ w_{n}=z_{n} $, 代入上式有

$ \left\|w_{n}-p\right\|^{2} \leq\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}. $

则

$ -(1-\mu)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}\geq 0. $

从而

$ \left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}\leq 0. $

所以$ \left\|w_{n}-y_{n}\right\|=0 $, 则$ w_{n}=y_{n} $. 从而$ w_{n}= P_{C}(w_{n}-\tau_{n}A w_{n}) $, 从而$ w_{n} \in VI(C, A) $.

另外一方面, 若$ w_{n}=z_{n}=t_{n} $, 由(2.5)式得$ w_{n}=\left(1-\gamma_{n}\right) w_{n}+\gamma_{n} T w_{n} $, 于是$ T w_{n}=w_{n} $, 因此$ w_{n} \in Fix(T) $.

故$ w_{n} \in VI(C, A) \cap Fix(T) $.证毕.

定理3.1  假设条件3.1–3.3成立, $ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|=0 $, $ T: {\cal H}\rightarrow {\cal H} $是拟非扩张映射满足$ I-T $在零点半闭, 则由算法3.1所产生的序列$ \{x_{n}\} $强收敛于某一元素$ p \in VI(C, A) \cap Fix(T) $, 其中$ p=P_{VI(C, A) \cap Fix(T)} f(p) $.

证  (1) 先证明$ \left\{x_{n}\right\} $有界. 由引理3.3得

(3.40) $ \begin{equation} \left\|z_{n}-p\right\| \leq\left\|w_{n}-p\right\|. \end{equation} $

由$ t_{n} $的定义有

(3.41) $ \begin{eqnarray} \|t_{n}-p\|^{2} &=&\|(1-\gamma_{n}) z_{n}+\gamma_{n}Tz_{n}-p\|^{2} {} \\ & =&\left\|\gamma_{n}\left(T z_{n}-p\right)+\left(1-\gamma_{n}\right)\left(z_{n}-p\right)\right\|^{2} {} \\ & =&\gamma_{n}\left\|T z_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-p\right\|^{2}-\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2} {} \\ &\leq&\gamma_{n}\left\|z_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\gamma_{n}\right)\left \|z_{n}-p\right\|^{2}-\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2} {} \\ &=&\left\|z_{n}-p\right\|^{2}-\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2}, \end{eqnarray} $

由(3.40)和(3.41)式得

(3.42) $ \begin{equation} \left\|t_{n}-p\right\| \leq\left\|z_{n}-p\right\| \leq\left\|w_{n}-p\right\|. \end{equation} $

由$ w_{n} $的定义, 得

(3.43) $ \begin{eqnarray} \left\|w_{n}-p\right\| &=&\left\|x_{n}-p+\alpha_{n}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)\right\| {} \\ & \leq&\left\|x_{n}-p\right\|+\alpha_{n}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| {} \\ &=&\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| . \end{eqnarray} $

由于$ \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| \rightarrow 0 $ ($ n \rightarrow \infty $), 则存在$ M_{1}>0 $, 使得对$ n \geq 1 $, 有$ \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| \leq M_{1} $.

(3.44) $ \begin{eqnarray} \left\|w_{n}-p\right\| \leq\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} M_{1}. \end{eqnarray} $

由(3.42)和(3.44)式得

(3.45) $ \begin{equation} \left\|t_{n}-p\right\| \leq\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} M_{1}. \end{equation} $

由$ \left\{x_{n}\right\} $的定义, 得

$ \begin{eqnarray*} \left\|x_{n+1}-p\right\| &= &\left\|\beta_{n}\left(f\left(x_{n}\right)-p\right)+\left(1-\beta_{n}\right)\left(t_{n}-p\right)\right\| {\nonumber} \\ &\leq& \beta_{n}\left\|f\left(x_{n}\right)-p\right\|+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\| {\nonumber} \\ &\leq& \beta_{n} \|f(x_{n})-f(p)+f(p)-p\|+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\| {\nonumber} \\ & \leq& \beta_{n} \delta\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n}\|f(p)-p\|+\left(1-\beta_{n}\right)\left(\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} M_{1}\right) {\nonumber} \\ & \leq& \beta_{n} \delta\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n}\|f(p)-p\|+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} M_{1} {\nonumber} \\ & =&\left[1-(1-\delta) \beta_{n}\right]\left\|x_{n}-p\right\|+(1-\delta) \beta_{n} \frac{M_{1}+\|f(p)-p\|}{1-\delta} {\nonumber} \\ &\leq& \max \left\{\left\|x_{n}-p\right\|, \frac{M_{1}+\|f(p)-p\|}{1-\delta}\right\} . \end{eqnarray*} $

由归纳法得

$ \left\|x_{n}-p\right\| \leq \max \left\{\left\|x_{0}-p\right\|, \frac{M_{1}+\|f(p)-p\|}{1-\delta}\right\}, $

故$ \{x_{n}\} $有界. 因而$ \{z_{n}\}, \left\{t_{n}\right\}, \left\{f\left(x_{n}\right)\right\} $和$ \{w_{n}\} $也有界.

(2) 下证, 存在$ M_{4} > 0 $, 使得

$ \begin{eqnarray*} &&\left(1-\beta_{n}\right)\left(1-\mu\right)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)\left(1-\mu\right) \left\|z_{n}-y_{n}\right\|^{2} \\ &&+\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left(1-\beta_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2} \\ &\leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}-\left\|x_{n+1}-p\right\|^{2}+\beta_{n} M_{4}. \end{eqnarray*} $

事实上, 由$ \|\cdot\|^{2} $的凸性, 得

(3.46) $ \begin{eqnarray} \left\|x_{n+1}-p\right\|^{2}& = & \|\beta_{n}f(x_{n})+(1-\beta_{n})t_{n}-p\|^{2} {} \\ &\leq & \beta_{n}\left\|f\left(x_{n}\right)-f(p)+f(p)-p\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\|^{2} {} \\ & \leq& \beta_{n}\left[\left\|f\left(x_{n}\right)-f(p)\right\|^{2}+2\langle f(p)-p, f\left(x_{n}\right)-p\rangle\right]+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\|^{2} {} \\ &\leq&\beta_{n}\left[\delta^{2}\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+2\|f(p)-p\|\left\|f\left(x_{n}\right)-p\right\|\right] +\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\|^{2} {} \\ &\leq& \beta_{n}\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\|^{2}+2 \beta_{n}\|f(p)-p\|\left\|f\left(x_{n}\right)-p\right\| {} \\ & \leq& \beta_{n}\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|t_{n}-p\right\|^{2}+\beta_{n} M_{2}, \end{eqnarray} $

其中$ { } M_{2}=\sup\limits_{n \geq 1}\left(2\|f(p)-p\|\left\|f\left(x_{n}\right)-p\right\|\right) $. 由(3.41)式和引理3.3知

$ \begin{eqnarray*} \|t_{n}-p\|^{2}& \leq &\left\|z_{n}-p\right\|^{2}-\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2} {\nonumber} \\ & \leq& \left\|w _{n}-p\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|w_{n}-y_{n}\right\|^{2}-(1-\mu)\left\|z_{n}-y_{n}\right\|^{2}-\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2}, \end{eqnarray*} $

则

(3.47) $ \begin{eqnarray} \left\|x_{n+1}-p\right\|^{2}& \leq & \beta_{n}\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)[\left\|w_{n}-p\right\|^{2}-\left(1-\mu\right) \left\|y_{n}-w_{n}\right\|^{2} {} \\ &&-(1-\mu)\|z_{n}-y_{n}\|^{2}-\gamma_{n}(1-\gamma_{n})\|z_{n}-T z_{n}\|^{2}]+\beta_{n} M_{2} {} \\ &=&\beta_{n}\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)\left\|w_{n}-p\right\|^{2}+\beta_{n} M_{2}-\left(1-\beta_{n}\right)\left(1-\mu\right)\left\|y_{n}-w_{n}\right\|^{2} {} \\ &&-(1-\beta_{n})(1-\mu)\|z_{n}-y_{n}\|^{2} -\left(1-\beta_{n}\right) \gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2} . \end{eqnarray} $

由(3.44)式, 得

(3.48) $ \begin{eqnarray} \left\|w_{n}-p\right\|^{2} & \leq&\left(\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} M_{1}\right)^{2} {} \\ &=&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\beta_{n}\left[2 M_{1}\left\|x_{n}-p\right\|+\beta_{n} M_{1}^{2}\right] {} \\ & \leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\beta_{n} M_{3}, \end{eqnarray} $

其中$ { } M_{3}=\sup\limits_{n \geq 1}\left(2 M_{1}\left\|x_{n}-p\right\|+ \beta_{n} M_{1}^{2}\right) $. 由(3.47) 和(3.48)式, 得

$ \begin{eqnarray*} \left\|x_{n+1}-p\right\|^{2}& \leq & \beta_{n}\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\left(1-\beta_{n}\right)\left[\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\beta_{n} M_{3}\right] -(1-\beta_{n})\left(1-\mu\right)\left\|y_{n}-w_{n}\right\|^{2} {\nonumber} \\ &&-(1-\beta_{n})(1-\mu)\|z_{n}-y_{n}\|^{2}-\left(1-\beta_{n}\right) \gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2}+\beta_{n} M_{2} {\nonumber} \\ &\leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}-\left(1-\beta_{n}\right)\left(1-\mu\right)\left\|y_{n}-w_{n}\right\|^{2} -(1-\beta_{n})(1-\mu)\|z_{n}-y_{n}\|^{2} {\nonumber} \\ &&-\left(1-\beta_{n}\right) \gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2}+\beta_{n} M_{4}, \end{eqnarray*} $

则

(3.49) $ \begin{eqnarray} &&\left(1-\beta_{n}\right)\left(1-\mu\right)\left\|y_{n}-w_{n}\right\|^{2}+(1-\beta_{n})(1-\mu)\|z_{n}-y_{n}\|^{2} {} \\ &&+\gamma_{n}\left(1-\gamma_{n}\right)\left(1-\beta_{n}\right)\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|^{2} {} \\ &\leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}-\left\|x_{n+1}-p\right\|^{2}+\beta_{n} M_{4}, \end{eqnarray} $

其中$ M_{4}=M_{2}+M_{3} $.

(3) 下证, 存在$ M_{5}>0 $, 使得

$ \begin{eqnarray*} \|x_{n+1}-p\|^{2} & \leq&[1-(1-\delta) \beta_{n}]\|x_{n}-p\|^{2}\\ &&+(1-\delta) \beta_{n}[\frac{2}{1-\delta}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p\rangle +\frac{M_{5}}{1-\delta} \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\|x_{n}-x_{n-1}\|]. \end{eqnarray*} $

事实上, 由$ \left\{w_{n}\right\} $的定义知

(3.50) $ \begin{eqnarray} \left\|w_{n}-p\right\|^{2} &=&\left\|x_{n}-p+\alpha_{n}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)\right\|^{2} \\ & \leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+2 \alpha_{n}\langle x_{n}-x_{n-1}, w_{n}-p\rangle \\ & \leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+2 \alpha_{n}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|\left\|w_{n}-p\right\| \\ & \leq&\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\alpha_{n}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| M_{5}, \end{eqnarray} $

其中$ M_{5}=\sup\limits_{n \geq 1}\left(2\left\|w_{n}-p\right\|\right) $. 由(2.42)和(2.50)式, 得

(3.51) $ \begin{eqnarray} \left\|t_{n}-p\right\|^{2} \leq\left\|x_{n}-p\right\|^{2}+\alpha_{n}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| M_{5}. \end{eqnarray} $

因此

(3.52) $ \begin{eqnarray} \|x_{n+1}-p\|^{2} & =&\|\beta_{n}(f(x_{n})-f(p))+(1-\beta_{n})(t_{n}-p)+\beta_{n}(f(p)-p)\|^{2} \\ &\leq &\|\beta_{n}(f(x_{n})-f(p))+(1-\beta_{n})(t_{n}-p)\|^{2}+2 \beta_{n}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p\rangle \\ &\leq & \beta_{n}\|f(x_{n})-f(p)\|^{2}+(1-\beta_{n})\|t_{n}-p\|^{2}+2 \beta_{n}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p) \\ &\leq & \beta_{n} \delta^{2}\|x_{n}-p\|^{2}+(1-\beta_{n})[\|x_{n}-p\|^{2} \\ &&+\alpha_{n}\|x_{n}-x_{n-1}\| M_{5}]+2 \beta_{n}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p\rangle \\ &\leq & \beta_{n} \delta\|x_{n}-p\|^{2}+(1-\beta_{n})\|x_{n}-p\|^{2} \\ &&+\alpha_{n}\|x_{n}-x_{n-1}\| M_{5}+2 \beta_{n}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p\rangle \\ &=&[1-(1-\delta) \beta_{n}]\|x_{n}-p\|^{2}+(1-\delta) \beta_{n}[\frac{M_{5}}{1-\delta} \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\|x_{n}-x_{n-1}\| \\ &&+\frac{2}{1-\delta}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p\rangle]. \end{eqnarray} $

(4) 最后, 证明序列$ \{\left\|x_{n}-p\right\|^{2}\} $收敛于0. 关于序列$ \{\left\|x_{n}-p\right\|^{2}\} $考虑如下两种情形.

情形1   存在$ N \in {\Bbb N} $, 使得对$ \forall n \geq {\Bbb N} $, 有$ \left\|x_{n+1}-p\right\|^{2} \leq\left\|x_{n}-p\right\|^{2} $. 这表明$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\|x_{n}-p\right\|^{2} $存在. 由(3.49)式, 有

(3.53) $ \begin{eqnarray} \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|y_{n}-w_{n}\right\|=0, \end{eqnarray} $

(3.54) $ \begin{eqnarray} \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|z_{n}-T z_{n}\right\|=0, \end{eqnarray} $

且

(3.55) $ \begin{equation} \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|z_{n}-y_{n}\right\|=0. \end{equation} $

由(3.53)和(3.55)式, 得

(3.56) $ \begin{eqnarray} \left\|z_{n}-w_{n}\right\| \leq\left\|z_{n}-y_{n}\right\|+\left\|y_{n}-w_{n}\right\| \rightarrow 0\ (n \rightarrow \infty). \end{eqnarray} $

由$ w_{n} $的定义, 有

(3.57) $ \begin{eqnarray} \left\|x_{n}-w_{n}\right\| =\alpha_{n}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| =\beta_{n} \frac{\alpha_{n}}{\beta_{n}}\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\| \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty). \end{eqnarray} $

结合(3.56)和(3.57)式, 得

(3.58) $ \begin{eqnarray} \left\|z_{n}-x_{n}\right\| \leq\left\|z_{n}-w_{n}\right\|+\left\|w_{n}-x_{n}\right\| \rightarrow 0\ (n \rightarrow \infty). \end{eqnarray} $

另外, 注意到

(3.59) $ \begin{eqnarray} \left\|x_{n+1}-x_{n}\right\| &\leq&\left\|x_{n+1}-t_{n}\right\|+\left\|t_{n}-x_{n}\right\| {} \\ &=&\beta_{n}\left\|f\left(x_{n}\right)-t_{n}\right\|+\left\|\gamma_{n}\left(T z_{n}-x_{n}\right)+\left(1-\gamma_{n}\right)\left(z_{n}-x_{n}\right)\right\| {} \\ &\leq & \beta_{n}\left\|f\left(x_{n}\right)-t_{n}\right\|+\gamma_{n}\left\|T z_{n}-x_{n}\right\|+\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-x_{n}\right\| {} \\ &\leq & \beta_{n}\left\|f\left(x_{n}\right)-t_{n}\right\|+\gamma_{n}\left(\left\|T z_{n}-z_{n}\right\|+\left\|z_{n}-x_{n}\right\|\right)+\left(1-\gamma_{n}\right)\left\|z_{n}-x_{n}\right\| {} \\ &=&\beta_{n}\left\|f\left(x_{n}\right)-t_{n}\right\|+\gamma_{n}\left\|T z_{n}-z_{n}\right\|+\left\|z_{n}-x_{n}\right\|. \end{eqnarray} $

由$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \beta_{n}=0 $, 且利用(3.54)和(3.58)式, 得

(3.60) $ \begin{eqnarray} \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|=0. \end{eqnarray} $

由于$ \left\{x_{n}\right\} $有界, 则存在$ \left\{x_{n}\right\} $的子列$ \left\{x_{n_{k}}\right\} $, 使得$ x_{n_{k}} \rightharpoonup z \in {\cal H} $, 从而

(3.61) $ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } (f(p) - p,{x_n} - p\rangle = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \langle f(p) - p,{x_{{n_k}}} - p\rangle = \langle f(p) - p,z - p\rangle .{\rm{ }} $

由$ x_{n k} \rightharpoonup z $, (3.53)式和引理3.2, 得$ z \in VI(C, A) $. 由(3.58)式有$ z_{n_{k}} \rightharpoonup z $. 再由(3.54)式和$ I-T $在零点半闭知, 得$ z \in Fix(T) $. 因此$ z \in VI(C, A) \cap Fix(T) $. 从引理2.1和(3.61)式可得

(3.62) $ \begin{eqnarray} \limsup _{n \rightarrow \infty}\langle f(p)-p, x_{n}-p\rangle =\langle f(p)-p, z-p\rangle \leq 0. \end{eqnarray} $

由(3.60)和(3.62)式, 得

(3.63) $ \begin{eqnarray} &&\limsup _{n \rightarrow \infty}\langle f(p)-p, x_{n+1}-p\rangle {} \\ & \leq& \limsup _{n \rightarrow \infty}\langle f(p)-p, x_{n+1}-x_{n}\rangle+\limsup _{n \rightarrow \infty}\langle f(p)-p, x_{n}-p\rangle {} \\ & \leq & 0 . \end{eqnarray} $

在(3.52)式中利用引理2.3得, $ x_{n} \rightarrow p $($ n \rightarrow \infty $).

情形2   存在$ \{\left\|x_{n}-p\right\|^{2}\} $的子列$ \{\left\|x_{n_{ j}}-p\right\|^{2}\} $, 使得对$ \forall j \in {\Bbb N} $, 有

$ \left\|x_{n_{j}}-p\right\|^{2} \leq\left\|x_{n_{j}+1}-p\right\|^{2}. $

在这种情形下, 利用引理2.4, 存在$ {\Bbb N} $的单调递增的子列$ \left\{m_{k}\right\} $, 满足$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } m_{k}=\infty $且对任意的$ k \in {\Bbb N} $成立

(3.64) $ \begin{eqnarray} \left\|x_{m_{k}}-p\right\|^{2} \leq\left\|x_{m_{k}+1}-p\right\|^{2} {\quad} \mbox{和}{\quad} \left\|x_{k}-p\right\|^{2} \leq\left\|x_{m_{k}+1}-p\right\|^{2}. \end{eqnarray} $

由(3.49)式有

$ \begin{eqnarray*} &&\left(1-\beta_{m_{k}}\right)\left(1-\mu\right)\left\|y_{m_{k}}-w_{m_{k}}\right\|^{2}+\left(1-\beta_{m_{k}}\right) \left(1-\mu\right)\left\|z_{m_{k}}-y_{m_{k}}\right\|^{2}\\ &&+\gamma_{m_{k}}\left(1-\gamma_{m_{k}}\right) \left(1-\beta_{m_{k}}\right)\left\|z_{m_{k}}-T z_{m_{k}}\right\|^{2} \\ & \leq&\left\|x_{m_{k}}-p\right\|^{2}-\left\|x_{m_{k}+1}-p\right\|^{2}+\beta_{m_{k}} M_{4} \\ &\leq &\beta_{m_{k}} M_{4}, \end{eqnarray*} $

这表明

$ \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|y_{m_{k}}-w_{m_{k}}\right\|=0, \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|z_{m_{k}}-T z_{m_{k}}\right\|=0, \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|z_{m_{k}}-y_{m_{k}}\right\|=0. $

用情形1的证明方法, 得

$ \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|z_{m_{k}}-w_{m_{k}}\right\|=0, \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|x_{m_{k}}-w_{m_{k}}\right\|=0, $

$ \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|z_{m_{k}}-x_{m_{k}}\right\|=0, \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|x_{m_{k}+1}-x_{m_{k}}\right\|=0, $

且

$ \limsup _{k \rightarrow \infty}\langle f(p)-p, x_{m_{k}+1}-p\rangle \leq 0. $

利用(3.52)式, 得

$ \begin{aligned}\left\|x_{m_k+1}-p\right\|^2 \leq & {\left[1-(1-\delta) \beta_{m_k}\right]\left\|x_{m_k}-p\right\|^2+(1-\delta) \beta_{m_k}\left[\frac{M_5}{1-\delta} \frac{\alpha_{m_k}}{\beta_{m_k}}\left\|x_{m_k}-x_{m_k-1}\right\|\right.} \\&\left.+\frac{2}{1-\delta}\left\langle f(p)-p, x_{m_k+1}-p\right\rangle\right] \\\leq & {\left[1-(1-\delta) \beta_{m_k}\right]\left\|x_{m_k+1}-p\right\|^2+(1-\delta) \beta_{m_k}\left[\frac{M_5}{1-\delta} \frac{\alpha_{m_k}}{\beta_{m_k}}\left\|x_{m_k}-x_{m_k-1}\right\|\right.} \\&\left.+\frac{2}{1-\delta}\left\langle f(p)-p, x_{m_k+1}-p\right\rangle\right]\end{aligned} $

这表明

$ \begin{eqnarray*} \left\|x_{m_{k}+1}-p\right\|^{2} \leq \frac{M_{5}}{1-\delta} \frac{\alpha_{m_{k}}}{\beta_{m_{k}}}\left\|x_{m_{k}}-x_{m_{k}-1}\right\|+\frac{2}{1-\delta}\langle f(p)-p, x_{m_{k}+1}-p\rangle. \end{eqnarray*} $

利用(3.64)式, 得

$ \begin{eqnarray*} \|x_{k}-p\|^{2} &\leq & \|x_{m_{k}+1}-p\|^{2} {\nonumber} \\ &\leq& \frac{M_{5}}{1-\delta} \frac{\alpha_{m_{k}}}{\beta_{m_{k}}}\left\|x_{m_{k}}-x_{m_{k}-1}\right\|+\frac{2}{1-\delta}\langle f(p)-p, x_{m_{k}+1}-p\rangle. \end{eqnarray*} $

因此, $ \mathop {\lim\sup }\limits_{k \to \infty }\|x_{k}-p\|^{2}=0 $, 即$ x_{k}\rightarrow p\ (k\rightarrow \infty) $. 证毕.

注3.4  定理3.1在以下几个方面推广和改进了Thong和Hieu^[18]的定理3.1.

(i) 将$ A $为单调、Lipschitz映射推广到伪单调、一致连续映射.

(ii) 在适当的参数条件下, 我们得到了一个新的强收敛定理. 然而文献[18, 定理3.1]获得弱收敛性.

注3.5  当$ \alpha_{n}=0 $, $ T=I $ (其中$ I $是恒等映射)时, 由本文定理3.1, 我们可重新得到文献[19, 定理3.1].

本节通过数值实验分别对算法3.1, 文献[22, 定理3.1]中提出的外梯度法(NTEGM), 文献[13, 算法6.1]中提出的修正的次梯度外梯度法(MSEGM), 以及文献[18]提出的惯性次梯度外梯度法(算法3.1和算法3.2)进行比较. 所有的数值测试都是在MATLAB-R2020a中运行的, 运行环境是戴尔Windows 7操作系统Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU@2.20GHz, 4GB.

例1  设$ {\cal H}={\Bbb R}^{n} $, $ T: {\cal H}\rightarrow {\cal H} $为

$ Tx= -\frac{1}{2}x. $

映射$ A: {\Bbb R}^{m}\rightarrow {\Bbb R}^{m}(m=20, 50, 100, 150) $, 设$ A(x)=Mx+q $, 它取自文献[36], 并已被许多作者用于数值实验, 例如参见文献[18, 37], 其中

$ M=NN^{T}+S+D, $

$ N $是$ m\times m $矩阵, $ S $是$ m\times m $反对称矩阵, $ D $是$ m\times m $对角矩阵, 其中对角线上的元素非负(故$ M $是正定矩阵), $ q \in {\Bbb R}^{m} $. 可行集为

$ C=\{x =(x_{1}, \cdots , x_{m})\in {\Bbb R}^{m}: -2\leq x_{i} \leq5, i=1, \cdots , m \}. $

显然, $ A $是单调且Lipschitz连续(由注3.4的(i)知, 单调映射是伪单调映射且符合Lipschitz连续条件的映射也是一致连续的), 其中Lipschitz常数是$ L=\|M\| $.

对于本次数值实验, 初始点$ x_{0}=x_{1}=(1, 1, \cdots , 1)\in {\Bbb R}^{m} $, $ N, S $的所有元素都是在$ [-2, 2] $中随机均匀生成, $ D $的对角线上的元素在$ (0, 2) $中生成, $ q $是零向量. 易知这个问题的解为$ x^{*}=0 $. 5种算法的的参数选择如下.

算法3.1: $ f(x)=\frac{1}{20}x, \lambda=0.01, l=0.5, \mu=0.5, \alpha_{n}=0.25, $$ \gamma_{n}=0.5, $$ \beta_{n}=\frac{1}{n+1} $.

对于文献[22]中的NTEGM算法: $ \lambda_{n}=\frac{0.99}{\|M\|}, \alpha_{n}=0.5 $.

对于文献[13]中的MSEGM算法: $ \tau=\frac{0.99}{\|M\|}, \alpha_{k}=0.5 $.

对于文献[18]中的算法3.1和算法3.2: $ \lambda=0.01, l=0.5, \mu=0.5, $$ \alpha_{n}=0.25, $$ \beta_{n}=0.5 $.

当$ m=20, 50, 100, 150 $时, 我们比较这五种算法, 说明了当执行时间以秒为单位时序列$ D_{n}=\|x_{n}-x^{*}\|^{2} $ ($ n=0, 1, 2, \cdots $)的行为. 通过图 1–4可以发现, 算法3.1优于其他四种算法.