在过去的几十年, 由于分数阶发展方程是许多实际应用(如工程学和物理学)的抽象模型, 所以分数阶发展方程引起了越来越多数学家的关注. 关于半线性分数阶发展方程mild解的存在性已有一些成果(见文献[5–6, 22–23]及其参考文献).

众所周知, 发展方程周期问题有广泛的物理背景和现实的数学模型, 已成为微分方程领域的重要分支之一. 近年来, 不同类型的整数阶发展方程周期解的存在性已被许多学者深入研究(见文献[11–13, 19]及其参考文献). 但是, 由于分数阶导数具有遗传和记忆特征, 因此, 分数阶微分方程周期边值问题的解不能周期地延拓到直线$ {{\Bbb R}} $上. 特别的, Ren和Wang^[16]已经证明了分数阶发展方程不存在非平凡的周期解.

目前, 脉冲分数阶微分方程引起了许多学者的关注. 在许多发展过程模型中, 脉冲分数阶发展方程可用于描述许多实际的动力学系统, 并通过使用不同的方法获得了一些存在性结果(见文献[8–9, 20–21, 26]及其参考文献). 然而, 具有周期脉冲的分数阶微分方程的周期解尚未得到广泛的研究.

最近, Fečkan和Wang^[7]考虑了具有周期脉冲条件的分数阶常微分方程, 得到了变下限的Caputo导数的周期解的存在性. Zhang和Xiong^[27]研究了一类具有分段Caputo导数的半线性分数阶脉冲泛函微分方程, 并根据Mittag-Leffler函数的一些关键性质, 讨论了周期解的存在性. 特别地, Ren等^[17]研究了变下限的Caputo型分数阶发展方程, 并证明了具有周期脉冲的分数阶发展方程周期mild解的存在性.

需要注意地是, 上述文献中一般需假设非线性项满足Lipschitz型条件. 然而, 对于复杂反应扩散过程中所产生的方程, 非线性函数代表了物质或人口的来源, 在许多情况下它以多种方式依赖于时间. 因此, 非线性函数不能只满足Lipschitz型条件.

受上述文献的启发, 本文研究了Banach空间$ X $中分数阶脉冲发展方程的周期问题

(1.1) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{ll} ^{c}D^{q}_{t_{i}, t}u(t)+Au(t)=F(t, u(t)), & t\in (t_{i}, t_{i+1}), t\geq0, \\ \Delta u(t_{i})=I_{i}(u(t_{i})), & i\in{{{\Bbb N}}}, \end{array} \right. \end{align} $

其中$ ^{c}D^{q}_{t_{i}, t} $是下限为$ t_{i} $的$ q\in(0, 1) $阶Caputo分数导数, $ A:D(A)\subset X\to X $是闭线性算子, 且$ -A $生成$ X $中的$ C_0 $ -半群$ T(t)(t\geq0) $, $ F:{{\Bbb R}}^{+}\times X\rightarrow X $是关于t以w为周期的非线性映射, $ p\in {{{\Bbb N}}} $表示0到w之间的脉冲点的个数, $ 0<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{p}<\omega=t_{p+1} $且满足$ t_{i+p+1}=t_{i}+\omega (i\in{{{\Bbb N}}}) $; $ \Delta u(t_{i})=u(t_{i}^{+})-u(t_{i}^{-}) $表示函数$ u $在$ t_{i} $处的跳跃, $ u(t_{i}^{+}) $和$ u(t_{i}^{-}) $分别是$ u(t) $在$ t_{i} $处的右极限和左极限; $ I_i : X\rightarrow X $是连续函数且满足$ I_{i+p+1}=I_{i} $. 不失一般性, $ t_{0}=0 $表示第一个脉冲点. 本文通过利用算子半群理论和不动点定理, 研究具有周期脉冲的分数阶发展方程(1.1) 的$ \omega $ -周期mild解的存在性. 需要注意的是, 非线性项$ F $满足一些弱于Lipschitz型条件的增长条件. 我们的结果改进和扩展了文献[7, 17, 27]中的一些结论.

本文结构安排如下: 第2节介绍了一些已知的定义和概念, 且给出了一些在本文中将要用到的预备引理; 第3节建立了具有周期脉冲的线性分数阶发展方程周期mild解的存在性和唯一性; 本文的主要的结论及证明在第4节给出; 在最后一节中, 给出一个例子来说明抽象结果的适用性.

在本文中, 设$ X $为按范数$ \|\cdot\| $构成的Banach空间.

设$ A:D(A)\subset X\rightarrow X $是闭线性算子, $ -A $生成$ X $中的$ C_0 $ -半群$ T(t)(t\geq0) $. 一般地, 对$ C_{0} $ -半群$ T(t)(t\geq0) $, 存在$ M\geq1 $及$ \nu\in {{\Bbb R}} $使得(见文献[14])

(2.1) $ \begin{align} \|T(t)\|\leq Me^{\nu t}, t\geq0. \end{align} $

特别地, 若

(2.2) $ \begin{align} \|T(t)\|\leq M, t\geq0, \end{align} $

则称$ C_{0} $ -半群$ T(t) (t\geq0) $是一致有界的.

定义$ T(t)(t\geq0) $的增长指数为

(2.3) $ \begin{align} \nu_{0}=\inf\Big\{\nu\in {{\Bbb R}} |\ \mbox{存在}\ M\geq1\ \mbox{使得}\ \|T(t)\|\leq Me^{\nu t}, \forall t\geq0\Big\}. \end{align} $

若$ \nu_{0}<0 $, 则称$ T(t)(t\geq0) $是指数稳定的. 显然, 指数稳定的$ C_{0} $ -半群$ T(t) $$ (t\geq0) $是一致有界的. 在$ X $中对任意的$ t>0 $, 若$ C_{0} $ -半群$ T(t) $在一致算子拓扑意义下是连续的, 则$ \nu_{0} $可由$ \sigma(A) $ ($ A $的谱)决定

(2.4) $ \begin{align} \nu_{0}=-\inf\{{\rm Re} \lambda |\lambda\in\sigma(A)\}, \end{align} $

其中$ -A $是$ C_{0} $ -半群$ T(t) $$ (t\geq0) $的无穷小生成元. 若$ T(t) $$ (t\geq0) $是紧半群, 则对$ t>0 $, $ T(t) $$ (t\geq0) $在一致算子拓扑意义下是连续的.

对于Caputo分数阶导数的详细定义, 可以参考文献[5, 23]等, 这里不再赘述. 下面, 我们给出本文需要用到的一些算子及其相关的性质.

定义$ X $中的算子族$ U(t)(t\geq0) $和$ V(t)(t\geq0) $如下

(2.5) $ \begin{align} U(t)=\int_{0}^{\infty}\xi_{q}(s)T(t^{q}s){\rm d}s, \ V(t)=q\int_{0}^{\infty}s\xi_{q}(s)T(t^{q}s){\rm d}s, \end{align} $

其中

$ \xi_{q}(s)=\frac{1}{\pi q}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-s)^{n-1}\frac{\Gamma(nq+1)}{n!}\sin(n\pi q), \qquad s\in(0, \infty) $

是概率密度函数, 且满足

(2.6) $ \begin{align} \xi_{q}(s)\geq0, s\in(0, \infty), \qquad\int_{0}^{\infty}\xi_{q}(s){\rm d}s=1, \qquad\int_{0}^{\infty}s\xi_{q}(s){\rm d}s=\frac{1}{\Gamma(1+q)}. \end{align} $

引理2.1^{[3, 5, 23, 29]}  由(2.5)式定义的算子族$ U(t)(t\geq0) $和$ V(t)(t\geq0) $满足下列性质

(ⅰ) $ U(t)(t\geq0) $和$ V(t)(t\geq0) $是强连续算子, 即对任意的$ x\in X $与$ 0\leq t_{1}\leq t_{2} $, 有

(2.7) $ \begin{align} \|U(t_{2})x-U(t_{1})x\|\to 0, \ \ |V(t_{2})x-V(t_{1})x\|\to0, \ \ \ t_{2}-t_{1}\to0. \end{align} $

(ⅱ) 若$ T(t)(t\geq0) $是一致有界的, 则对任意给定的$ t\in {{\Bbb R}}^{+} $, $ U(t) $和$ V(t) $是有界线性算子, 即

(2.8) $ \begin{align} \|U(t)x\|\leq M\|x\|, \qquad\|V(t)x\|\leq \frac{M}{\Gamma(q)}\|x\|, \ \qquad \ x\in X. \end{align} $

(ⅲ) 若$ T(t)(t\geq0) $是紧的, 则对任意的$ t>0 $, $ U(t) $和$ V(t) $是紧算子.

(ⅳ) 若$ T(t)(t\geq0) $是等度连续的, 则对$ t>0 $, $ U(t) $和$ V(t) $是一致连续的.

(ⅴ) 若$ T(t)(t\geq0) $是正的, 则$ U(t) $和$ V(t) $是正算子.

(ⅵ) 若$ T(t)(t\geq0) $是指数稳定的且增长指数$ \nu_{0}<0 $, 则对任意的$ t\geq0 $, 有

(2.9) $ \begin{align} \|U(t)\|\leq ME_{q}( \nu_{0}t^{q}), \ \ \ \ \|V(t)\|\leq ME_{q, q}(\nu_{0}t^{q}), \end{align} $

其中, $ E_{q}(\cdot) $和$ E_{q, q}(\cdot) $是Mittag-Leffler函数.

一般地, 对$ \ q, q'>0 $, 定义

$ E_{q, q'}(z):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{\Gamma(q'+q n)}, \ \ z\in{\Bbb C}, $

则称$ E_{q, q'}(\cdot) $为定义在$ {\Bbb C} $上的双参数Mittag-Leffler函数. 记

$ E_{q} = E_{q, 1}, $

根据文献[22], 有

(2.10) $ \begin{align} E_{q}(-z)=\int_{0}^{\infty}\xi_{q}(s)e^{-zs}{\rm d}s, E_{q, q}(-z)=q\int_{0}^{\infty}s\xi_{q}(s)e^{-zs}{\rm d}s. \end{align} $

特别地, Mittag-Leffler函数有以下性质.

引理2.2^[10]

$ \frac{\rm d}{{\rm d}z}(z^{q}E_{q, q+1}(\mu z^{q}))=z^{q-1}E_{q, q}(\mu z^{q}), $

其中$ q, \mu, z\in{{\Bbb R}} $.

引理2.3^[24]  假设$ q\in(0, 1) $且$ \mu\in{{\Bbb R}} $, 则

(ⅰ) 对$ \mu<0 $, $ t_{2}\geq t_{1}\geq0 $, $ E_{q}(\mu t_{2}^{q})\leq E_{q}(\mu t_{1}^{q}) $.

(ⅱ) $ E_{q}(0)=1 $, $ E_{q, q}(0)=\frac{1}{\Gamma(q)} $, 对$ t>0 $, $ E_{q}(\mu t^{q})>0 $及$ E_{q, q}(\mu t^{q})>0 $.

引理2.4^[27]  若$ \mu>0 $且$ q\in(0, 1) $, 则

(ⅰ) 对$ t>0 $, 有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}(t^{q}E_{q, q+1}(-\mu t^{q}))=t^{q-1}E_{q, q}(-\mu t^{q})\geq0. $

(ⅱ) 对$ t>0 $, 有

$ \lim\limits_{t\to\infty}t^{q}E_{q, q+1}(-\mu t^{q})=\frac{1}{\mu}{ }\mbox{ 且}{ } t^{q}E_{q, q+1}(-\mu t^{\alpha})\in [0, \frac{1}{\mu}). $

下面的引理在证明中是必要的.

引理2.5^[18]  设$ X $为Banach空间. 假设$ \overline{\Omega} $是$ X $上的有界凸闭集. 若$ Q:\overline{\Omega}\to \overline{\Omega} $是凝聚算子, 则$ Q $在$ \overline{\Omega} $中至少存在一个不动点.

引理2.6^[4]  设$ X $为Banach空间. 若算子$ Q_{1}, Q_{2}:X\to X $, 且$ Q_{1} $是全连续的, $ Q_{2} $是压缩的, 则下面的结论之一成立

(ⅰ) 算子方程$ u=Q_{1}u+Q_{2}u $有解.

(ⅱ) 集合$ \Upsilon=\left\{u\in X| u=\lambda Q_{1}u+\lambda Q_{2}\left(\frac{u}{\lambda}\right), \lambda\in(0, 1)\right\} $无界.

设$ \widetilde{D}=\{t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{p}\}\subset [0, \omega] $, 其中$ p\in N $表示$ [0, \omega] $之间的脉冲点的个数. 记

$ \begin{eqnarray*} PC([0, \omega], X)&:=&\left\{u:[0, \omega]\to X| u\ \mbox{在}\ t\in [0, \omega]\setminus \widetilde{D}\ \mbox{上连续}, \right. \\ &&\left. \ \mbox{在}\ t\in \widetilde{D}\ \mbox{上左连续且存在右极限}\right\}, \end{eqnarray*} $

及

$ \begin{eqnarray*} PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X)&:=&\left\{u:{{\Bbb R}}^{+}\to X| u\ \mbox{在}\ t\in {{\Bbb R}}^{+}\setminus \{t_{i}\}\ \mbox{上连续}, \mbox{在}\ t_{i}, i\in {{{\Bbb N}}}\ \mbox{上}\right. \\ &&\left. \ \ \mbox{左连续且存在右极限}, u(t+\omega)=u(t), \ t\in {{\Bbb R}}^{+} \right\}. \end{eqnarray*} $

显然$ PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $在$ [0, \omega] $上的限制是$ PC([0, \omega], X) $. 设

$ \|u\|_{PC}=\max\Big\{\sup\limits_{t\in [0, \omega]}\|u(t-0)\|, \sup\limits_{t\in [0, \omega]}\|u(t+0)\|\Big\}. $

不难发现, $ PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $为按范数$ \|\cdot\|_{PC} $构成 Banach空间.

设$ h\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $, 考虑$ X $中线性脉冲发展方程$ \omega $ -周期mild解的存在性

(3.1) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{ll} ^{c}D^{q}_{t_{i}, t}u(t)+Au(t)=h(t), &t\in (t_{i}, t_{i+1}), t>0, \\ \Delta u(t_{i})=v_{i}, & i=0, 1, 2, \cdots, \end{array} \right. \end{align} $

其中, $ v_{i}\in X $满足$ v_{i+p+1}=v_{i} $$ (i=0, 1, 2, \cdots) $, 且$ v_{0}=\theta $.

定理3.1  设$ -A $生成$ X $中指数稳定的$ C_{0} $ -半群$ T(t)(t\geq0) $, $ \nu_{0} $是半群$ T(t)(t\geq0) $的增长指数, 则线性脉冲发展方程(3.1) 存在唯一的$ \omega $ -周期mild解$ u:=Ph\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $, 且算子$ P:PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X)\to PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $是有界线性算子.

证  首先, 在$ [0, \omega] $上考虑分数阶线性脉冲发展方程(3.1)相应的初值问题. 设$ J_{i}=(t_{i}, t_{i+1}]\subset[0, \omega] $$ (i=0, 1, 2, \cdots, p) $. 设$ u\in PC([0, \omega], X) $是初值问题(3.1)的mild解, 初值问题(3.1) 在$ J_{i} $上的限制为

(3.2) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{ll} ^{c}D^{q}_{t_{i}, t}u(t)+Au(t)=h(t), t_{i}<t\leq t_{i+1}, \\ u(t_{i}^{+})=u(t_{i})+v_{i}. \end{array} \right. \end{align} $

因此, 在$ J_{i} $上, 初值问题(3.2) 存在唯一的mild解$ u $, 表示为

(3.3) $ \begin{align} u(t)=U(t-t_{i})(u(t_{i})+v_{i})+\int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s){\rm d}s, \ t\in J_{i} . \end{align} $

对$ t_{i}\leq s\leq t\leq t_{i+1} $, 令$ {\cal U}(t, s)=U(t-s) $. 一般地, 对$ t_{j-1}\leq s\leq t_{j} \cdots\ t_{i}\leq t\leq t_{i+1} $, 定义

(3.4) $ \begin{align} {\cal U}(t, s)=U(t-t_{i})\prod\limits_{k=j}^{i-1} U(t_{k+1}-t_{k})U(t_{j}-s), \end{align} $

因此, 在$ [0, \omega] $上初值问题(3.1)的mild解可表示为

(3.5) $ \begin{align} u(t)=\left\{\begin{array}{ll}\ U(t)u(0)+ \int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s){\rm d}s, \qquad t\in[0, t_{1}], \\ {\cal U}(t, 0)u(0)+ \sum\limits_{k=1 }^{i}{\cal U}(t, t_{k})v_{k} + \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)h(s){\rm d}s\\ + \int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s){\rm d}s, \qquad t\in(t_{i}, t_{i+1}], i=1, 2, \cdots, p. \end{array} \right. \end{align} $

其次, 证明线性脉冲发展方程(3.1) 存在唯一的$ \omega $ - 周期mild解. 显然, 方程(3.1) 的$ \omega $ -周期mild解是依初值为$ x_{0}:=u(0)=u(\omega) $的初值问题(3.1) 的mild解, 即有

$ \begin{eqnarray*} (I-{\cal U}(\omega, 0))x_{0} &=&\sum\limits_{k=1}^{p}{\cal U}(\omega, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)h(s){\rm d}s\\ &&+\int^{\omega}_{t_{p}}(\omega-s)^{q-1}V(\omega-s)h(s){\rm d}s+\sum\limits_{k=1}^{p}{\cal U}(\omega, t_{k})v_{k}. \end{eqnarray*} $

由于$ T(t)(t\geq0) $是指数稳定的, 因此对任意的$ \nu\in(0, |\nu_{0}|) $, 存在$ M>0 $使得

$ \|T(t)\|\leq Me^{-\nu t}\leq M, t\geq0. $

在$ X $中取由$ |x|=\sup\limits_{0\leq s\leq t}\|e^{\nu t}T(t)x\| $定义的等价范数$ |\cdot| $, 从而

$ \|x\|\leq |x|\leq M\|x\|. $

$ |T(t)| $表示$ T(t) $在$ (X, |\cdot| $) 中的范数, 显然对$ t\geq 0 $, $ |T(t)|\leq e^{-\nu t} $. 则由(2.10) 式可得

(3.6) $ \begin{align} |U(t)|=\left|\int_{0}^{\infty}\xi_{q}(s)T(t^{q}s){\rm d}s\right|\leq\int_{0}^{\infty}\xi_{q}(s)e^{-\nu t^{q}s}{\rm d}s=E_{q}(-\nu t^{q})<1. \end{align} $

由(3.4) 式可知, 对$ t>0 $, 有$ |{\cal U}(t, 0)|<1 $, 从而$ I-U(\omega, 0) $存在有界逆算子$ (I-{\cal U}(\omega, 0))^{-1} $. 因此, 存在唯一的初值

(3.7) $ \begin{align} \begin{array}[b]{rl} x_{0}=&{ } (I-{\cal U}(\omega, 0))^{-1}\bigg(\sum\limits_{k=1}^{p}{\cal U}(\omega, t_{k})v_{k}+\sum\limits_{k=1}^{p}{\cal U}(\omega, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)h(s){\rm d}s\\ &{ } +\int^{\omega}_{t_{p}}(\omega-s)^{q-1}V(\omega-s)h(s){\rm d}s\bigg):=B(h), \end{array} \end{align} $

使得由(3.5) 式给出的方程(3.1) 的mild解$ u $满足周期边界条件$ u(0)=u(\omega)=x_{0} $.

若$ t\in[0, t_{1}] $, 则

$ t+\omega\in[\omega, t_{1}+\omega]=[t_{p+1}, t_{p+2}]. $

根据(3.3) 和(3.5)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} u(t+\omega)&=&U(t+\omega-t_{p+1})u(\omega)+\int^{t+\omega}_{t_{p+1}}(t+\omega-s)^{q-1}V(t+\omega-s)h(s){\rm d}s\\ &=&U(t)u(0)+\int^{t}_{0}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s+\omega){\rm d}s=u(t). \end{eqnarray*} $

若$ t\in[t_{i}, t_{i+1}] $, 则

$ t+\omega\in[t_{i}+\omega, t_{i+1}+\omega]=[t_{i+p+1}, t_{i+p+2}]\subset[\omega, 2\omega]. $

根据(3.4)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} {\cal U}(t+\omega, \omega)&=&U(t+\omega-t_{i+p+1})\prod\limits_{k=p+1}^{i+p}U(t_{k+1}-t_{k})\\ &=&U(t+\omega-t_{i}-\omega)\prod\limits_{k=1}^{i-1}U(t_{k+p+1}-t_{k+p})\\ &=&U(t-t_{i})\prod\limits_{k=1}^{i-1}U(t_{k}-t_{k-1})={\cal U}(t, 0), \end{eqnarray*} $

且

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t+\omega, t_{k+p+1}) &=& \sum\limits_{k=1}^{i}U(t+\omega-t_{i+p+1})\prod\limits_{j=k+p+1}^{i+p}U(t_{j+1}-t_{j})\\ &=& \sum\limits_{k=1}^{i}U(t-t_{i})\prod\limits_{j=k}^{i-1}U(t_{j+p+1}-t_{j+p})\\ &=& \sum\limits_{k=1}^{i}U(t-t_{i})\prod\limits_{j=k}^{i-1}U(t_{j+1}-t_{j}) = \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k}). \end{eqnarray*} $

因此, 根据(3.5)式, 可推出

$ \begin{eqnarray*} u(t+\omega)&=&{\cal U}(t+\omega, \omega)u(\omega)+\sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t+\omega, t_{i+p+1})v_{i+p+1}\\ &&+ \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t+\omega, t_{k+p+1})\int_{t_{k+p}}^{t_{k+p+1}}(t_{k+p+1}-s)^{q-1}V(t_{k+p+1}-s)h(s){\rm d}s\\ &&+\int^{t+\omega}_{t_{i+p+1}}(t+\omega-s)^{q-1}V(t+\omega-s)h(s){\rm d}s\\ &=&{\cal U}(t, 0)u(0)+\sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{i})v_{i} +\sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)h(s){\rm d}s\\ &&+\int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s){\rm d}s=u(t). \end{eqnarray*} $

因此, $ u(t+\omega)=u(t) $, $ t\in [0, \omega] $. 在$ {{\Bbb R}}^{+} $上将$ u $延拓为$ \omega $ - 周期函数, 仍用$ u $来表示, 则$ u:=Ph\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $在$ {{\Bbb R}}^{+} $上的$ \omega $ -周期延拓是方程(3.1) 的唯一$ \omega $ -周期mild解. 由$ x_{0} $的表达式, 对$ t\in[0, \omega] $, 有

$ \begin{eqnarray*} Ph(t)&=&\left\{\begin{array}{ll}\ U(t)B(h)+ \int_{n\omega}^{t}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s){\rm d}s, \ \ \qquad t\in[0, t_{1}], \\[10pt] {\cal U}(t, 0)B(h)+ \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)h(s){\rm d}s\\ + \int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}V(t-s)h(s){\rm d}s+ \sum\limits_{k=1 }^{i}{\cal U}(t, t_{k})v_{k}, t\in (t_{i}, t_{i+1}]. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

最后, 根据(2.9) 及(3.4), (3.6)式, 可得对$ t\in[t_{j}, t_{i+1}] $$ (j=1, 2, \cdots, i) $

(3.8) $ \begin{align} \|{\cal U}(t, t_{j})\| \leq \|U(t-t_{i})\|\prod\limits_{k=j}^{i-1}\|U(t_{k+1}-t_{k})\| \leq M^{i-j+1}E_{q}^{i-j+1}(\nu_{0}b^{q}), \end{align} $

这意味着

(3.9) $ \begin{align} \|{\cal U}(t, 0)\|\leq M^{i+1}E_{q}^{i+1}(\nu_{0}b^{q}), \ \ \ \bigg\|\sum\limits_{j=1}^{i}{\cal U}(t, t_{j})\bigg\|\leq \sum\limits_{j=1}^{i}M^{j}E_{q}^{j}(\nu_{0}b^{q}) , \end{align} $

其中$ b=\min\limits_{1\leq k\leq p+1}({t_{k}-t_{k-1}}) $. 因此, 容易证明解算子$ P: PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X)\to PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $是有界线性算子. 证毕.

在本节中, 我们将陈述并证明本文的主要结论.

定理4.1  设$ X $为Banach空间, $ -A $生成$ X $中指数稳定的紧半群$ T(t)(t\geq0) $. 假设$ F:{{\Bbb R}}^{+}\times X\rightarrow X $连续, 且$ F(t, \cdot) $关于$ t $以$ \omega $为周期, $ I_{i}\in C(X, X)(i\in {{{\Bbb N}}}) $满足$ I_{i+p+1}=I_{i} $, $ I_{0}=I $, $ p $是$ [0, \omega] $之间的脉冲点的个数. 假设$ F $, $ I_{i} $满足条件

(H1) 对任意的$ \ r>0 $, 存在正$ \omega $ -周期函数$ \phi_{r}\in C_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}) $以及常数$ \rho>0 $使得

$ \sup\limits_{\|x\|\leq r}\|F(t, x)\|\leq \phi_{r}(t) \ {\rm , }\ t\in{{\Bbb R}}^{+}\ {\rm {\rm 且}}\ \liminf\limits_{r\to\infty}\frac{\|\phi_{r}\|_{C([0, \omega])}}{r}=\rho<\infty, $

(H2) 对每个$ I_{i} $, $ I_{i}(\theta)=\theta $, 存在正数$ K $使得

$ \|I_{i}(x)-I_{i}(y)\|\leq K\|x-y\|, \ \ \ \ x, y\in X, i\in {{{\Bbb N}}}. $

如果

(4.1) $ \begin{align} \left(K+\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}\right)C_{i}+\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}<1, \ i=1, 2, \cdots, p, \end{align} $

则方程(1.1) 至少有一个$ \omega $ -周期mild解, 其中$ C_{i}=\sum\limits_{k=1}^{i}M^{k}E_{q}^{k}(\nu_{0}b^{q}) $$ (i=1, 2, \cdots, p) $, $ b=\min\limits_{1\leq k\leq p+1}(t_{k}-t_{k-1}) $. $ u\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $.

证  根据定理3.1, 在$ PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $上定义算子$ Q $, 在$ [0, \omega] $中可表示为

(4.2) $ \begin{align} Qu(t) =\left\{\begin{array}{ll} U(t)B(u)+ \int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}V(t-s)F(s, u(s)){\rm d}s, t\in[0, t_{1}], \\ {\cal U}(t, 0)B(u)+ \sum\limits_{k=1 }^{i}{\cal U}(t, t_{k})I_{k}(u(t_{i}))\\ + \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ + \int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}V(t-s)F(s, u(s)){\rm d}s, \qquad\qquad{ }\ t\in (t_{i}, t_{i+1}], \end{array}\right. \end{align} $

其中

(4.3) $ \begin{align} \begin{array}[b]{rl} B(u)=&{ } (I-{\cal U}(\omega, 0))^{-1}\bigg( \sum\limits_{k=1}^{p}{\cal U}(\omega, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ &{ } +\int^{\omega}_{t_{p}}(\omega-s)^{q-1}V(\omega-s)F(s, u(s)){\rm d}s + \sum\limits_{k=1}^{p}{\cal U}(\omega, t_{k})I_{k}(u(t_{i}))\bigg). \end{array} \end{align} $

不难证明$ Q:PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X)\to PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $有意义, 且由$ F $和$ I_{i} $的连续性知$ Q $是连续的. 此外, 根据定理3.1, 方程(1.1) 的$ \omega $ -周期mild解等价于算子$ Q $的不动点. 接下来, 我们将利用不动点定理证明算子$ Q $有不动点.

对任意的$ R>0 $, 设

(4.4) $ \begin{align} \overline{\Omega}_{R}=\{u\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X)\ |\ \|u\|_{PC}\leq R\}. \end{align} $

注意, $ \overline{\Omega}_{R} $是$ PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $上以$ \theta $为圆心, $ R $为半径的闭球. 现在, 我们证明存在正数$ R $使得\ $ Q(\overline{\Omega}_{R})\subset\overline{\Omega}_{R} $. 事实上, 根据(4.1), 可以取充分大的常数$ R>0 $, 使得

(4.5) $ \begin{align} R\geq\max\left\{ \frac{c_{0}\|B(u)\|}{1-\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}}, \frac{c_{i}\|B(u)\|}{1-\left(K+\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}\right)C_{i}-\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}}, \ i=1, 2, \cdots, p \right\}, \end{align} $

其中, $ c_{0}=ME_{q}(\nu_{0}b^{q}) $, $ c_{i}=M^{i+1}E_{q}^{i+1}(\nu_{0}b^{q}) $, $ C_{i}=\sum\limits_{k=1}^{i}M^{k}E_{q}^{k}(\nu_{0}b^{q}) $$ (i=1, 2, \cdots, p) $. 对每个$ u\in \overline{\Omega}_{R} $及$ t\in [0, t_{1}] $, 由(H1), 引理2.4以及定理3.1, 可得

$ \begin{eqnarray*} \qquad \|Qu(t)\|&\leq& \|U(t)\|\cdot\|B(u)\|+\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\|V(t-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|\\ &\leq&M E_{q}(\nu_{0}b^{q})\|B(u)\|+M\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}E_{q, q}(\nu_{0}(t-s)^{q})\cdot \phi_{R}(s){\rm d}s\\ &\leq&c_{0}\|B(u)\|+\frac{M}{|\nu_{0}|}\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\\ &\leq&c_{0}\|B(u)\|+\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}R\leq R. \end{eqnarray*} $

对每个$ u\in \overline{\Omega}_{R} $及$ t\in (t_{i}, t_{i+1}] $, 由(H1), (H2), 引理2.4以及定理3.1, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|Qu(t)\|&\leq& \|{\cal U}(t, 0)\|\cdot\|B(u)\|+ \sum\limits_{k=1 }^{i}\|{\cal U}(t, t_{k})\|\cdot\|I_{k}(u(t_{i}))\|\\ &&+ \sum\limits_{k=1}^{i}\|{\cal U}(t, t_{k})\|\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}\|V(t_{k}-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &&+ \int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}\|V(t-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &\leq&M^{i+1}E_{q}^{i+1}(\nu_{0}b^{q})\|B(u)\|+K\sum\limits_{k=1}^{i}M^{i-k+1}E_{q}^{i-k+1}(\nu_{0}b^{q})\|u(t_{k})\|\\ &&+M\sum\limits_{k=1}^{i}M^{i-k+1}E_{q}^{i-k+1}(\nu_{0}b^{q})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}E_{q, q}(\nu_{0}(t_{k}-s)^{q})\cdot \phi_{R}(s){\rm d}s\\ &&+M\int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}E_{q, q}(\nu_{0}(t-s)^{q})\cdot \phi_{R}(s){\rm d}s\\ &\leq&c_{i}\|B(u)\|+KC_{i}R+\frac{MC_{i}\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{|\nu_{0}|}+\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{|\nu_{0}|}\\ &\leq&c_{i}\|B(u)\|+\left(K+\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}\right)C_{i}R+\frac{M\rho}{|\nu_{0}|}R\leq R. \end{eqnarray*} $

因此, 对每个$ u\in \overline{\Omega}_{R} $及$ t\in[0, \omega] $, 存在正数$ R $使得$ Q(\overline{\Omega}_{R})\subset\overline{\Omega}_{R} $.

为了证明算子$ Q $在$ \overline{\Omega}_{R} $中有不动点, 我们对$ Q $作分解$ Q=Q_{1}+Q_{2} $, 在$ [0, \omega] $中可表示为

(4.6) $ \begin{align} Q_{1}u(t)=\left\{\begin{array}{ll} U(t)B(u)+ \int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}V(t-s)F(s, u(s)){\rm d}s, { }\qquad t\in[0, t_{1}], \\ {\cal U}(t, 0)B(u)+ \int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}V(t-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ + \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s, t\in (t_{i}, t_{i+1}], \end{array} \right. \end{align} $

(4.7) $ \begin{align} Q_{2}u(t)=\left\{\begin{array}{ll}\ \ 0, &t\in[0, t_{1}], \\[3pt] \sum\limits_{k=1 }^{i}{\cal U}(t, t_{k})I_{k}(u(t_{i})), & t\in (t_{i}, t_{i+1}]. \end{array} \right. \end{align} $

接下来, 我们将证明$ Q_{1} $是全连续算子及$ Q_{2} $是压缩算子. 对每个$ u\in\overline{\Omega}_{R} $, 由$ Q $的定义和$ u $的周期性, 我们只在$ [0, \omega] $上考虑.

首先, 证明$ Q_{1} $是全连续算子. 显然, $ Q_{1} $是连续的, 且$ Q_{1} $将$ \overline{\Omega}_{R} $映到有界集$ PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $中. 现在, 我们证明$ Q_{1}(\overline{\Omega}_{R}) $在$ [0, \omega] $上是等度连续的.

$ \bullet $若$ \tau_{1}, \tau_{2}\in[0, t_{1}] $且$ \tau_{1}<\tau_{2} $, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|Q_{1}u(\tau_{2})-Q_{1}u(\tau_{1})\| &\leq&\|U(\tau_{2})-U(\tau_{1})\|\cdot \|B(u)\|\\[8pt] &&+ \int_{0}^{\tau_{1}}((\tau_{2}-s)^{q-1} -(\tau_{1}-s)^{q-1})\cdot\|V(\tau_{2}-s)\|\cdot \|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &&+ \int_{0}^{\tau_{1}}(\tau_{1}-s)^{q-1}\cdot\|V(\tau_{2}-s) -V(\tau_{1}-s)\|\cdot \|F(s, u(s)) \|{\rm d}s\\ &&+ \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}}(\tau_{2}-s)^{q-1}\cdot\|V(\tau_{2}-s)\|\cdot \|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &:=&{\rm I}_{1}+{\rm I}_{2}+{\rm I}_{3}+{\rm I}_{4}. \end{eqnarray*} $

我们验证当$ \tau_{2}-\tau_{1}\rightarrow 0 $时, $ {\rm I}_{n} $$ (n=1, 2, 3, 4) $趋于$ 0 $不依赖于$ u\in\overline{\Omega}_{R} $. 根据引理2.1 (ⅰ), 可得当$ \tau_{2}-\tau_{1}\rightarrow 0 $时, $ {\rm I}_{1}\to0 $. 结合条件(H1) 及引理2.1 (ⅱ), 有

$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_{2}&=&\int_{0}^{\tau_{1}}((\tau_{2}-s)^{q-1} -(\tau_{1}-s)^{q-1})\cdot\|V(\tau_{2}-s)\|\cdot \|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &\leq&\frac{M \|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\int_{0}^{\tau_{1}}((\tau_{2}-s)^{q-1} -(\tau_{1}-s)^{q-1}){\rm d}s\\ &\leq&\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\cdot(\tau_{1}^{q}-\tau_{2}^{q}+(\tau_{2}-\tau_{1})^{q})\\ &\leq&\frac{2M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\cdot(\tau_{2}-\tau_{1})^{q} \to 0, \ \tau_{2}-\tau_{1}\to0. \ {\rm I}_{4} &\leq& \frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}}(\tau_{2}-s)^{q-1}{\rm d}s\\ &=&\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q+1)}\cdot(\tau_{2}-\tau_{1})^{q}\to0 , \ \tau_{2}-\tau_{1}\to0. \end{eqnarray*} $

若$ \tau_{1}=0 $且$ \tau_{2}>0 $, 则$ {\rm I}_{3}=0 $. 若$ \tau_{1}>0 $, 对足够小的$ \epsilon>0 $, 由(H1) 及引理2.1 (ⅳ), 得到

$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_{3}&=& \int_{0}^{\tau_{1}}(\tau_{1}-s)^{q-1}\cdot\|V(\tau_{2}-s) -V(\tau_{1}-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &\leq&\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\int_{0}^{\tau_{1}-\epsilon}(\tau_{1}-s)^{q-1}\cdot \|V(\tau_{2}-s)-V(\tau_{1}-s)\|{\rm d}s\\ &&+\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\int_{\tau_{1}-\epsilon}^{\tau_{1}}(\tau_{1}-s)^{q-1}\cdot\|V(\tau_{2}-s) -V(\tau_{1}-s)\|{\rm d}s\\ &\leq&\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\cdot\sup\limits_{s\in[0, \tau_{1}-\epsilon]}\|V(\tau_{2}-s)-V(\tau_{1}-s)\|\cdot \int_{0}^{\tau_{1}-\epsilon}(\tau_{1}-s)^{q-1}{\rm d}s \\ &&+\frac{2M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\int_{\tau_{1}-\epsilon}^{\tau_{1}}(\tau_{1}-s)^{q-1}{\rm d}s\\ &\leq&\sup\limits_{s\in[0, \tau_{1}-\epsilon]}\|V(\tau_{2}-s)-V(\tau_{1}-s)\| \cdot\frac{\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}(\tau_{1}^{q}-\epsilon^{q})}{q} +\frac{2M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\epsilon^{q}}{\Gamma(q+1)}\\ &\to&0 , \ \epsilon\to0, \tau_{2}-\tau_{1}\to0. \end{eqnarray*} $

所以, 当$ \tau_{2}-\tau_{1}\rightarrow 0 $时, $ \|Q_{1}u(\tau_{2})-Q_{2}u(\tau_{1})\| $趋于$ 0 $不依赖于$ u\in\overline{\Omega}_{R} $, 因此, $ Q_{1}(\overline{\Omega}_{R}) $在$ [0, t_{1}] $上是等度连续的.

$ \bullet $若$ \tau_{1}, \tau_{2}\in(t_{i}, t_{i+1}] $, 由引理2.1 (ⅱ), 可得

$ \begin{eqnarray*} \|Q_{1}u(\tau_{2})-Q_{1}u(\tau_{1})\| &\leq&\|{\cal U}(\tau_{2}, 0)-{\cal U}(\tau_{1}, 0)\|\cdot\|B(u)\|\\ &&+\Big\| \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(\tau_{2}, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ &&- \sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(\tau_{1}, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\Big\|\\ &&+\Big\| \int^{\tau_{2}}_{t_{i}}(\tau_{2}-s)^{q-1}V(\tau_{2}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ &&- \int^{\tau_{1}}_{t_{i}}(\tau_{1}-s)^{q-1}V(\tau_{1}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\Big\|\\ &\leq& {\rm I}_{1}+{\rm I}_{2}+{\rm I}_{3}+{\rm I}_{4}+{\rm I}_{5}, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_{1}&=&\|U(\tau_{2}-t_{i})-U(\tau_{1}-t_{i})\|\cdot\prod\limits_{j=1}^{i-1}\|U(t_{j+1}-t_{j})\|\cdot\|B(u)\|, \\ {\rm I}_{2}&=&\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\sum\limits_{k=1}^{i}\|U(\tau_{2}-t_{k})-U(\tau_{1}-t_{k})\|\\ &&\cdot\prod\limits_{j=k}^{i-1}\|U(t_{j+1}-t_{j})\|\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1} \|V(t_{k}-s)\|{\rm d}s, \\ {\rm I}_{3}&=&\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\int_{t_{i}}^{\tau_{1}}((\tau_{2}-s)^{q-1} -(\tau_{1}-s)^{q-1}){\rm d}s\\ &&+\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(q)}\int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} (\tau_{2}-s)^{q-1}{\rm d}s, \\ {\rm I}_{4}&=&\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\int_{t_{i}}^{\tau_{1}-\epsilon}(\tau_{1}-s)^{q-1}\cdot \|V(\tau_{2}-s)-V(\tau_{1}-s)\|{\rm d}s, \\ {\rm I}_{5}&=&\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\int_{\tau_{1}-\epsilon}^{\tau_{1}} (\tau_{1}-s)^{q-1}\cdot\|V(\tau_{2}-s) -V(\tau_{1}-s)\|{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

因为对$ t\geq0 $, $ U(t) $和$ V(t) $是一致连续的, 所以, 当$ \tau_{2}-\tau_{1}\to 0 $且$ \epsilon $足够小时, $ {\rm I}_{n} $$ (n=1, 2, 3, 4, 5) $趋于0. 这就证明了$ t\in (t_{i}, t_{i+1}] $$ (i=1, 2, \cdots, p) $时的等度连续性. 因此, $ Q_{1}(\overline{\Omega}_{R}) $在$ [0, \omega] $上是等度连续的.

还需证明对任意固定的$ t\in [0, \omega] $, $ (Q_{1}\overline{\Omega}_{R})(t) $在$ X $中是相对紧的.

$ \bullet $对$ t\in[0, t_{1}] $, 定义集合$ (Q_{\varepsilon, \delta}^{(0)}\overline{\Omega}_{R})(t) $如下

$ (Q_{\varepsilon, \delta}^{(0)}\overline{\Omega}_{R})(t):=\left\{(Q_{\varepsilon, \delta}^{(0)}u)(t)|\ u\in \overline{\Omega}_{R}, 0<\varepsilon<t<t_{1}\right\}, $

其中

$ \begin{eqnarray*} (Q_{\varepsilon, \delta}^{(0)}u)(t)&=&U(t)B(u)+q\int_{0}^{t-\varepsilon} \int_{\delta}^{\infty}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma) T((t-s)^{q}\sigma)F(s, u(s)){\rm d}\sigma {\rm d}s\\ &=&U(t)B(u)\\ &&+q T(\varepsilon^{q}\delta) \int_{0}^{t-\varepsilon}\int_{\delta}^{\infty}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma) T((t-s)^{q}\sigma-\varepsilon^{q}\delta)F(s, u(s)){\rm d}\sigma {\rm d}s. \end{eqnarray*} $

根据$ U(t) $和$ T(\varepsilon^{q}\delta) $的紧性, 对$ t\in[0, t_{1}] $, $ ({\cal Q}_{\varepsilon, \delta}^{(0)}\overline{\Omega}_{R})(t) $在$ X $上是相对紧的. 此外, 对每个$ u\in \overline{\Omega}_{R_{0}} $及$ t\in[0, t_{1}] $, 根据不等式

$ \begin{eqnarray*} &&\|Qu(t)-Q_{\varepsilon, \delta}^{(0)}u(t)\|\\ &\leq&\bigg\|q\int_{0}^{t}\int_{0}^{\delta}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma)T ((t-s)^{q}\sigma)F(s, u(s)){\rm d}\sigma {\rm d}s\bigg\|\\ &&+\bigg\|q\int_{t-\varepsilon}^{t}\int_{\delta}^{\infty}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma) T((t-s)^{q}\sigma) F(s, u(s)) {\rm d}\sigma {\rm d}s\bigg\|\\ &\leq&q M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\bigg(\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}{\rm d}s\int_{0}^{\delta}\sigma\xi_{q}(\sigma){\rm d}\sigma + \int_{t-\varepsilon}^{t}(t-s)^{q-1}{\rm d}s\int_{\delta}^{\infty}\tau\xi_{q}(\tau){\rm d}\tau\bigg)\\ &\leq&M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}t^{q}\int_{0}^{\delta}\sigma\xi_{q}(\sigma){\rm d}\sigma +\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(1+q)}\varepsilon^{q}\\ &\to&0 , \ \varepsilon\to0, \delta\to0, \end{eqnarray*} $

可得集合$ (Q_{1}\overline{\Omega}_{R})(t) $在$ X $中是相对紧的.

$ \bullet $对$ t\in(t_{i}, t_{i+1}] $$ (i=1, 2, \cdots, p) $, 定义集合$ (Q_{\varepsilon, \delta}^{(i)}\overline{\Omega}_{R})(t) $如下

$ (Q_{\varepsilon, \delta}^{(i)}\overline{\Omega}_{R})(t):=\Big\{(Q_{\varepsilon, \delta}^{(i)}u)(t)|\ u\in \overline{\Omega}_{R}, t_{i}<t-\varepsilon<t<t_{i+1}\Big\}, $

其中

$ \begin{eqnarray*} (Q_{\varepsilon, \delta}^{(i)}u)(t) &=&{\cal U}(t, 0)B(u)+\sum\limits_{k=1}^{i}{\cal U}(t, t_{k})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} (t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ &&+q\int_{t_{i}}^{t-\varepsilon} \int_{\delta}^{\infty}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma) T((t-s)^{q}\sigma)F(s, u(s)){\rm d}\sigma {\rm d}s\\ &=&U(t-t_{i})\prod\limits_{k=1}^{i}U(t_{k}-t_{k-1})B(u)\\ &&+\sum\limits_{k=1}^{i}U(t-t_{i})\prod\limits_{j=k}^{i-1}U(t_{j+1}-t_{j})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} (t_{k}-s)^{q-1}V(t_{k}-s)F(s, u(s)){\rm d}s\\ &&+q T(\varepsilon^{q}\delta) \int_{t_{i}}^{t-\varepsilon}\int_{\delta}^{\infty}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma) T((t-s)^{q}\sigma-\varepsilon^{q}\delta)F(s, u(s)){\rm d}\sigma {\rm d}s. \end{eqnarray*} $

根据$ U(t) $和$ T(\varepsilon^{q}\delta) $的紧性, 对$ t\in(t_{i}, t_{i+1}] $, $ ({\cal Q}_{\varepsilon, \delta}^{(i)}\overline{\Omega}_{R})(t) $在$ X $上是相对紧的. 此外, 对每个$ u\in \overline{\Omega}_{R} $及$ t\in(t_{i}, t_{i+1}] $, 根据不等式

$ \begin{eqnarray*} \|Qu(t)-Q_{\varepsilon, \delta}^{(i)}u(t)\| &\leq&\left\|q\int_{t_{i}}^{t}\int_{0}^{\delta}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma)T ((t-s)^{q}\sigma)F(s, u(s)){\rm d}\sigma {\rm d}s\right\|\\ &&+\left\|q\int_{t-\varepsilon}^{t}\int_{\delta}^{\infty}\sigma(t-s)^{q-1}\xi_{q}(\sigma) T((t-s)^{q}\sigma) F(s, u(s)) {\rm d}\sigma {\rm d}s\right\|\\ &\leq&q M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}\int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}{\rm d}s\int_{0}^{\delta}\sigma\xi_{q}(\sigma){\rm d}\sigma \\ &&+q M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])} \int_{t-\varepsilon}^{t}(t-s)^{q-1}{\rm d}s\int_{\delta}^{\infty}\tau\xi_{q}(\tau){\rm d}\tau\\ &\leq&M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}(t-t_{i})^{q}\int_{0}^{\delta}\sigma\xi_{q}(\sigma){\rm d}\sigma +\frac{M\|\phi_{R}\|_{C([0, \omega])}}{\Gamma(1+q)}\varepsilon^{q}\\ &\to&0, \ \varepsilon\to0, \delta\to0, \end{eqnarray*} $

可得集合$ (Q_{1}\overline{\Omega}_{R})(t) $在$ X $中是相对紧的.

因此, 对所有的$ t\in [0, \omega] $, $ (Q_{1}\overline{\Omega}_{R})(t) $在$ X $中是相对紧的. 故由Arzela-Ascoli定理得$ Q_{1} $是全连续算子.

其次, 证明$ Q_{2} $是压缩算子. 设$ u, v\in \overline{\Omega}_{R} $, 若$ t\in [0, t_{1}] $, 则$ \|Q_{2}u(t)-Q_{2}v(t)\|=0 $. 对$ t\in (t_{i}, t_{i+1}] $, 由(4.7) 式及条件(H2), 有

$ \begin{eqnarray*} \|Q_{2}u(t)-Q_{2}v(t)\|&=& \bigg\|\sum\limits_{k=1 }^{i}{\cal U}(t, t_{k})\left(I_{k}(u(t_{i}))-I_{k}(v(t_{i}))\right)\bigg\|\\ &\leq& \bigg\|\sum\limits_{k=1 }^{i}{\cal U}(t, t_{k})\bigg\|\cdot\|I_{k}(u(t_{i}))-I_{k}(v(t_{i}))\|\\ &\leq&K\sum\limits_{k=1}^{i}M^{k}E_{q}^{k}(\nu_{0}b^{q})\|u-v\|_{PC}\\ &=& KC_{i}\|u-v\|_{PC}, \end{eqnarray*} $

这意味着

(4.8) $ \begin{align} \|Q_{2}u-Q_{2}v\|_{PC}\leq KC_{i}\|u-v\|_{PC}. \end{align} $

因此, 根据(4.1)式, 我们可知$ Q_{2} $是压缩算子.

根据上述论证, 我们知道算子$ Q=Q_{1}+Q_{2} $是凝聚算子. 因此, 由引理2.5, $ Q $有不动点$ u\in\overline{\Omega}_{R} $, 即方程(1.1) 有$ \omega $ - 周期mild解. 证毕.

定理4.2  设$ X $是 Banach空间, $ -A $生成$ X $中指数稳定的紧半群$ T(t) $$ (t\geq0) $. 假设$ F:{{\Bbb R}}^{+}\times X\rightarrow X $是连续的且$ F(t, \cdot) $关于$ t $以$ \omega $为周期, $ I_{i}\in C(X, X) $$ (i\in {{{\Bbb N}}}) $满足$ I_{i+p+1}=I_{i} $, $ I_{0}=I $, $ p $是$ [0, \omega] $之间脉冲点的个数. 假设$ F $, $ I_{i} $满足条件(H2) 及

(H3) 存在连续函数$ \phi:{{\Bbb R}}^{+}\to{{\Bbb R}}^{+} $及连续不减函数$ \Psi:{{\Bbb R}}^{+}\to{{\Bbb R}}^{+} $使得

$ \|F(t, x)\|\leq \phi(t)\Psi(\|x\|), \ \ t\geq0, x\in X, $

对所有的$ t\geq0 $, 函数$ s\mapsto (t-s)^{q-1}\phi(s) $属于$ L([0, t], {{\Bbb R}}^{+}) $, 且对给定的常数$ a\geq0 $, 有

$ \int_{a}^{\infty}\frac{1}{\Psi(s)}{\rm d}s=\infty. $

如果$ KC_{i}<1 $$ (i=1, 2, \cdots, p) $, 则方程(1.1) 至少有一个$ \omega $ -周期mild解$ u\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X) $.

证  设$ Q $、$ Q_{1} $以及$ Q_{2} $分别由(4.2)、(4.6)和(4.7) 式所定义. 由定理3.1可知, 方程(1.1) 的$ \omega $ - 周期mild解等价于$ Q $的不动点. 根据定理4.1的证明, 可得$ Q_{1} $是全连续算子, $ Q_{2} $是压缩算子.

接下来, 证明集合

(4.9) $ \begin{align} \Upsilon=\Big\{u\in PC_{\omega}({{\Bbb R}}^{+}, X)| u=\lambda Q_{1}u+\lambda Q_{2}(\frac{u}{\lambda}), \ \lambda\in(0, 1) \Big\} \end{align} $

是有界的. 由$ u $的周期性, 我们也仅在$ [0, \omega] $上考虑.

设$ u\in \Upsilon $且$ t\in[0, \omega] $, 则对$ \lambda\in(0, 1) $, $ u(t)=\lambda Q_{1}u(t)+\lambda Q_{2}(\frac{u(t)}{\lambda}) $. 对每个$ t\in[0, t_{1}] $, 根据引理2.1及条件(H3), 可得

$ \begin{eqnarray*} \|u(t)\|&\leq&\lambda\|U(t)\|\cdot\|B(u)\|+\lambda\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\|V(t-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &\leq& c_{0}\|B(u)\|+\frac{M}{\Gamma(q)}\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s)\Psi(\|u(s)\|){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

另一方面对$ t\in (t_{i}, t_{i+1}] $, 根据引理2.1及条件(H2), (H3), 可得

$ \begin{eqnarray*} \|u(t)\|&\leq& \lambda \sum\limits_{k=1 }^{i}\|{\cal U}(t, t_{k})\|\cdot\|I_{k}\left(\frac{u(t_{i})}{\lambda}\right)\| +\lambda\|{\cal U}(t, 0)\|\cdot\|B(u)\|\\ &&+\lambda \sum\limits_{k=1}^{i}\|{\cal U}(t, t_{k})\|\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1} \|V(t_{k}-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &&+\lambda \int^{t}_{t_{i}}(t-s)^{q-1}\|V(t-s)\|\cdot\|F(s, u(s))\|{\rm d}s\\ &\leq&K\sum\limits_{k=1}^{i}M^{i-k+1}E_{q}^{i-k+1}(\nu_{0}b^{q})\|u(t_{k})\| +M^{i+1}E_{q}^{i+1}(\nu_{0}b^{q})\|B(u)\| \\ &&+\frac{M}{\Gamma(q)}\sum\limits_{k=1}^{i}M^{i-k+1}E_{q}^{i-k+1}(\nu_{0}b^{q}) \int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}\phi(s)\Psi(\|u(s)\|){\rm d}s\\ &&+\frac{M}{\Gamma(q)}\int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s)\Psi(\|u(s)\|){\rm d}s\\ &\leq&KC_{i}\|u\|_{PC}+c_{i}\|B(u)\|\\ &&+\frac{M}{\Gamma(q)}\sum\limits_{k=1}^{i}M^{i-k+1}E_{q}^{i-k+1} (\nu_{0}b^{q})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}\phi(s)\Psi(\|u(s)\|){\rm d}s\\ &&+\frac{M}{\Gamma(q)}\int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s)\Psi(\|u(s)\|){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

定义函数$ \eta(t):=\sup\limits_{s\in[0, t]}\|u(s)\| $, $ t\in [0, \omega] $. 因此, 由上述不等式以及函数$ \Psi $的不减性, 可得

(4.10) $ \begin{align} \eta(t)\leq\left\{\begin{array}{ll} c_{0}\|B(u)\|+\frac{M}{\Gamma(q)}\cdot \Psi\Big(\sup\limits_{t\in[0, t_{1}]}\eta(t)\Big) \int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s, \ & t\in[0, t_{1}], \\[10pt] d_{i}+e_{i}\Psi\Big(\sup\limits_{t\in(t_{i}, t_{i+1}]}\eta(t)\Big) \int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s, & t\in (t_{i}, t_{i+1}], \end{array} \right. \end{align} $

其中

$ d_{i}=\frac{c_{i}\|B(u)\|+ \frac{M}{\Gamma(q)}\sum\limits_{k=1}^{i}M^{i-k+1}E_{q}^{i-k+1}(\nu_{0}b^{q})\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}(t_{k}-s)^{q-1}\phi(s)\Psi(\|u(s)\|){\rm d}s}{1-KC_{i}} $

且

$ e_{i}=\frac{M}{\Gamma(q)(1-KC_{i})}. $

设

(4.11) $ \begin{align} \zeta(t)=\left\{\begin{array}{ll} c_{0}\|B(u)\|+\frac{M}{\Gamma(q)}\cdot \Psi\Big(\sup\limits_{t\in[0, t_{1}]}\eta(t)\Big) \int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s, \ &t\in[0, t_{1}], \\[10pt] d_{i}+e_{i}\Psi\Big(\sup\limits_{t\in(t_{i}, t_{i+1}]}\eta(t)\Big) \int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s, & t\in (t_{i}, t_{i+1}], \end{array} \right. \end{align} $

则$ \eta(t)\leq \zeta(t) $, $ t\in[0, \omega] $且$ \zeta(0)=c_{0}\|B(u)\| $, $ \zeta(t_{i})=d_{i} $$ (i=1, 2, \cdots, p) $. 对(4.11) 式两边求导, 得到

$ \zeta'(t)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{M}{\Gamma(q)}\Psi\Big(\sup\limits_{t\in[0, t_{1}]}\eta(t)\Big)\Phi_{0}'(t), \ &t\in[0, t_{1}], \\[10pt] e_{i}\Psi\Big(\sup\limits_{t\in(t_{i}, t_{i+1}]}\eta(t)\Big)\Phi_{i}'(t), &t\in (t_{i}, t_{i+1}], \end{array} \right. $

这意味着

(4.12) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{ll} \frac{\zeta'(t)}{\Psi(\zeta(t))}\leq\frac{M}{\Gamma(q)}\Phi_{0}'(t), \ &t\in[0, t_{1}], \\[10pt] \frac{\zeta'(t)}{\Psi(\zeta(t))}\leq e_{i}\Phi_{i}'(t), & t\in (t_{i}, t_{i+1}], \end{array} \right. \end{align} $

其中$ \Phi_{i}(t)=\int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s $, $ t\in[t_{i}, t_{i+1}] $$ (i=0, 1, \cdots, p) $. 若$ t\in[0, t_{1}] $, 则从$ 0 $到$ t $积分, 可得

$ \int_{0}^{t}\frac{\zeta'(s)}{\Psi(\zeta(s))}{\rm d}s\leq \frac{M}{\Gamma(q)}\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s, $

根据条件(H3), 可知

$ \int_{c_{0}\|B(u)\|}^{\zeta(t)}\frac{1}{\Psi(s)}{\rm d}s\leq \frac{M}{\Gamma(q)}\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s< \int_{c_{0}\|B(u)\|}^{\infty}\frac{1}{\Psi(s)}{\rm d}s, $

因此, 存在常数$ R_{0} $使得

(4.13) $ \begin{align} \eta(t)\leq \zeta(t)\leq R_{0}, \ \ t\in[0, t_{1}]. \end{align} $

若$ t\in (t_{i}, t_{i+1}] $, 则从$ t_{i} $到$ t $积分, 可得

$ \int_{t_{i}}^{t}\frac{\zeta'(s)}{\Psi(\zeta(s))}{\rm d}s\leq e_{i}\int_{t_{i}}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s, $

根据条件(H3), 可知

$ \int_{d_{i}}^{\zeta(t)}\frac{1}{\Psi(s)}{\rm d}s\leq e_{i}\int_{0}^{t}(t-s)^{q-1}\phi(s){\rm d}s\leq \int_{\delta_{i}}^{\infty}\frac{1}{\Psi(s)}{\rm d}s, $

其中$ \delta_{i}=\min\{d_{i}, e_{i}\} $, 因此, 存在常数$ R_{i} $使得

(4.14) $ \begin{align} \eta(t)\leq \zeta(t)\leq R_{i}, \ \ t\in[t_{i}, t_{i+1}], i=1, 2, \cdots, p. \end{align} $

取$ R=\max\{R_{i}|i=0, 1, 2, \cdots, p\} $, 由(4.13) 及(4.14)式可知, 对所有的$ t\in[0, \omega] $, 有

$ \eta(t)\leq\zeta(t)\leq R. $

根据$ \eta $的定义可知, 对所有的$ u\in \Upsilon $, 有

$ \|u\|_{PC}\leq \eta(\omega)\leq R, $

这意味着, 集合$ \Upsilon $是有界的.

因此, 由引理2.6可得$ Q=Q_{1}+Q_{2} $有不动点, 该不动点就是方程(1.1) 的$ \omega $ -周期mild解. 证毕.

设$ \overline{\Omega}\in{{\Bbb R}}^{n} $是具有$ C^{2} $ -边界$ \partial\Omega $的有界域, 其中$ n\in N $. 设$ \Delta $是\ Laplace算子, 且$ \lambda_{1} $是算子$ -\Delta $在Dirichlet边界条件$ u|_{\partial\Omega}=0 $下的最小特征值, 满足$ \lambda_{1}>0 $ (参见文献[1]).

在上述假设下, 我们讨论半线性时间分数阶脉冲抛物型边值问题的时间$ 2\pi $ -周期解的存在性

(5.1) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t_{i}, t}^{q}u(x, t)-\Delta u(x, t)=f(t, u(x, t)), &x\in \Omega, t\geq0, t\neq t_{i}, \\ \triangle u(x, t_{i})=I_{i}(u(x, t_{i})), & x\in \Omega, t_{i}=i\pi, i\in{{{\Bbb N}}}, \\ u|_{\partial\Omega}=0, \end{array} \right. \end{align} $

其中$ \partial_{t_{i}, t}^{q} $是下限为$ t_{i} $的$ q\in(0, 1) $阶\ Caputo分数偏导数, $ f:{{\Bbb R}}^{+}\times{{\Bbb R}}\to{{\Bbb R}} $, $ I_{i}:{{\Bbb R}}\to{{\Bbb R}} $是连续函数, 且$ f $关于$ t $以$ 2\pi $为周期, $ I_{i+2}=I_{i} $. 假设$ f $, $ I_{i} $满足条件

(A1) 存在非负常数$ \rho_{0}, \rho_{1} $使得

$ |f(t, \xi)|\leq \rho_{0}+\rho_{1}|\xi|, \ \ \ \ t\in{{\Bbb R}}^{+}, \xi\in{{\Bbb R}}, $

(A2) 对每个$ I_{i} $, $ I_{i}(0)=0 $, 存在正数$ K $使得

$ |I_{i}(\xi_{1})-I_{i}(\xi_{2})|\leq K|\xi_{1}-\xi_{2}|, \ \ \ \xi_{1}, \xi_{2}\in{{\Bbb R}}, i\in {{{\Bbb N}}}, $

(A3) 存在连续函数$ \phi:{{\Bbb R}}^{+}\to{{\Bbb R}}^{+} $及连续不减函数$ \Psi:{{\Bbb R}}^{+}\to{{\Bbb R}}^{+} $使得

$ |f(t, \xi)|\leq \phi(t)\Psi(|\xi|), \ \ \ t\geq0, \xi\in {{\Bbb R}}, $

对所有的$ t\geq0 $, 函数$ s\mapsto (t-s)^{q-1}\phi(s) $属于$ L([0, t], {{\Bbb R}}^{+}) $, 且对给定的数$ a\geq0 $, 有

$ \int_{a}^{\infty}\frac{1}{\Psi(s)}{\rm d}s=\infty. $

设$ X=L^{2}(\Omega) $是按范数$ \|\cdot\|_{2} $构成的 Banach空间. 定义算子$ A:D(A)\subset X\rightarrow X $如下

(5.2) $ \begin{align} D(A)= W^{2, 2}(\Omega)\cap W_{0}^{1, 2}(\Omega), Au=-\Delta u. \end{align} $

根据文献[2], 可知$ -A $是$ X $中的自伴算子, 且生成指数稳定的解析半群$ T(t)(t\geq0) $, 此外, $ T(t)(t\geq0) $在$ X $中是收缩的, 这意味着, 对每个$ t\geq0 $, $ \|T(t)\|_{2}\leq M:=1 $. 由于算子$ A $在$ L^{2}(\Omega) $中有紧的预解式, 所以$ T(t)(t\geq0 ) $是紧半群^[14], 因此, 半群$ T(t)(t\geq0) $的增长指数满足$ \nu_{0}=-\lambda_{1} $.

对$ u:\Omega\times{{\Bbb R}}^{+}\to{{\Bbb R}} $, 由$ u(t)(x)=u(x, t) $定义$ u:{{\Bbb R}}^{+}\to X $. 此外, 设对$ t\in{{\Bbb R}}^{+}, \xi\in X $及$ x\in\Omega $, $ F(t, \xi)(x)=f(t, \xi(x)) $, 则$ F:{{\Bbb R}}\times X\rightarrow X $是关于$ t $以$ 2\pi $为周期的连续函数. 因此, 分数阶脉冲抛物型边值问题(5.1) 可以重新表述为$ X $中抽象分数阶脉冲发展方程(1.1).

根据假设(A1)–(A3), 可以看出条件(H1)–(H3) 是合理的. 此外, 若

(5.3) $ \begin{align} \lambda_{1}KC+\rho_{1}(C_{1}+1)<\lambda_{1}, \end{align} $

则容易验证(5.1) 式成立且

(5.4) $ \begin{align} \rho=\rho_{1}, \nu_{0}=-\lambda_{1}, M=1, b=\pi, C_{1}=E_{q}(-\lambda_{1}\pi^{q}). \end{align} $

因此, 由定理4.1及定理4.2, 得到下述结论.

定理5.1  假设(A1) 与(A2) 成立, 若满足(5.3)式, 则时间分数阶脉冲抛物型边值问题(5.1) 至少有一个时间$ 2\pi $ -周期mild解$ u $.

定理5.2  假设(A2) 和(A3) 成立, 若$ KC_{1}<1 $, 则时间分数阶脉冲抛物型边值问题(5.1) 至少有一个时间$ 2\pi $ -周期mild解$ u $.