本文研究一类带临界指标的非自治Kirchhoff型方程

非平凡解的存在. 这里, $\lambda> 0$是一个参数, $V$、$K$是${{\Bbb R}} ^{3}$上在无穷远处消失的正连续函数. $M$及$f$都是在下文中将给出更多限制条件的连续函数. 当位势函数$V(x)$在无穷远处消失时, 问题(1.1) 被称作是零质量问题; 当函数$M$是一个正常值函数时, 方程(1.1) 就是著名的Schrödinger方程. 许多学者研究过零质量Schrödinger方程, 例如可以参考文献[3, 4, 6]等.

由于非局部项$M\left(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|\nabla u(x)|^{2}+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}V(x)|u(x)|^{2}\right)$的出现使得方程(1.1) 的解不是在逐点意义下成立, 故(1.1) 式是非局部方程. 非局部项带来的另一个困难是: 即使把临界项$u^{5}$去除, 问题(1.1) 的能量泛函也不满足序列的弱连续性. 这些数学上的困难给问题(1.1)的研究带来很大的挑战. 另外, 问题(1.1) 的研究在物理上也很有意义. 例如: 假设问题(1.1)中${{\Bbb R}} ^3$替换为区间$\Omega= (0, L)\subset{{\Bbb R}} ^{1}$, 同时假设$M(s)=m_{0}+bs$, $m_{0}>0$, $b>0$且$V(x)=0$, 则问题变为

这类问题源于Kirchhoff在文献[14]中提出的关于下列方程

的驻波解的研究. 该方程刻画了在考虑弦的横向和纵向位移的情况下，两端夹紧的弦的自由振动, 它可以看作是经典达朗贝尔波动方程的推广. 自从Lions^[15]提出了研究这类问题的理论框架后, 这类Kirchhoff方程的研究得到了很多学者的关注, 例如可见文献[5, 9]及所附文献.

本文主要研究方程(1.1) 临界的, 即$2^*=6$, 的情形. 关于此种情形，当区域是有界的情形, 可以参见文献[1, 10–11, 13, 17–18]. 其中, 文献[1]似是第一次研究临界Kirchhoff问题的工作. 当区域是全空间${{\Bbb R}} ^{3}$时, 临界问题会变得更加困难; 在这方面, 只有少部分文献, 例如参见[2, 8, 16, 20]. 文献[2, 8, 16]只考虑了带有非消失位势的情形, 而文献[20]考虑了$V, K$不同的情形并且$V=0$. 受文献[3, 12–13]的启发, 本文利用截断技巧研究临界情形方程(1.1) 非平凡解的存在性.

下面给出关于$M, V, K$以及$f$的一些条件.

$(M_{1})$$M(t)\in C({{\Bbb R}} ^{+};{{\Bbb R}} ^{+})$;

$(M_{2})$$M(t)$在${{\Bbb R}} ^{+}$上递增, $M(0)=m_{0}>0$且

类似于文献[3], 称$(V, K)\in {\cal K}$, 如果下列条件成立

$(VK_{1})$$V(x), K(x)>0, \forall x\in{{\Bbb R}}$且$K\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{3})$.

$(VK_{2})$如果$\{A_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{3}$是一Borel序列, 满足Lebesgue测度$|A_{n}|\leq R$, 对于所有$n$和某个常数$R>0$成立, 则有

进一步, 下面条件之一成立

$(VK_{3})$$\frac{K}{V}\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{3}),$

或

$(VK_{4})$存在$\sigma\in (2, 6)$使得

满足$(V, K)\in {\cal K}$的典型例子

其中$a, k, A>0, \ t\geq s>0,$或者$a, k, A>0, \ (6-\sigma)s> 4t>0.$类似的消失势函数$V, K$出现在Schrödinger方程研究的文献[4]中. 我们注意到对这类消失势函数$V, K$, 可以建立紧嵌入定理(例如见引理2.1), 以克服全空间上问题(1.1)的紧性缺失所导致的困难.

关于$f$的假设

$(f_{1})$当$(VK_{3})$成立时, $\lim\limits_{|t|\rightarrow 0}\frac{f(t)}{|t|}=0$; 或当$(VK_{4})$成立时, $\lim\limits_{|t|\rightarrow 0}\frac{f(t)}{|t|^{\sigma-1}}<+\infty$.

$(f_{2})$$f$在无穷远处是次临界的, 即

$(f_{3})$存在$4<\mu<6$使得

本文主要结果叙述如下.

定理1.1  假设条件$(M_{1})$–$(M_{2})$以及$(f_{1})$–$(f_{3})$成立, 且$(V, K)\in {\cal K}$. 则存在$\lambda^{*}>0$, 当$\lambda\geq\lambda^*$时, 问题(1.1) 存在一个非平凡解$u_{\lambda}$, 满足当$\lambda \rightarrow +\infty$时$\| u_{\lambda}\| \rightarrow 0$.

为了完成定理的证明, 以下给出一些记号和引理. 对于任意的$p\geq 1$, 用$\|\cdot\|_{p}$来表示$L^{p}({{\Bbb R}} ^{3})$的范数, $B_{r}(z)$表示中心为$z$半径为$r$的开球. 根据需要, 用$C$, $C_{i}$来表示不同的正的常数. $D^{1, 2}({{\Bbb R}} ^{3})$表示$C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{3})$按照范数$\|u\|_{D^{1, 2}({{\Bbb R}} ^{3})}=\|\nabla u\|_{2}$完备化产生的空间. 嵌入$D^{1, 2}({{\Bbb R}} ^{3})\hookrightarrow L^{6}({{\Bbb R}} ^{3})$的最佳常数记为

为了建立问题(1.1) 适当的变分结构, 需要内积空间

相应的范数为

对于任意的$p\geq 1$以及$(V, K)\in {\cal K}$, 定义加权Lebesgue空间

相应的范数为

问题(1.1) 相应的$E$上的能量泛函为

其中$\hat M(t):=\int_{0}^{t}M(s){\rm d}s.$首先, 对函数$M$做截断

其中$M(t_{0})=a$, $m_{0}<a<\frac{\mu m_{0}}{4}$. 相应的辅助问题为

(2.1) 式对应的$E$上的能量泛函为

这里$\hat M_{a}(t)=\int_{0}^{t}M_{a}(s){\rm d}s$. 显然, 如果$u_{\lambda}$是问题(2.1) 的解且满足$\|u_{\lambda}\|\leq t_{0}$, 那么$u_{\lambda}$一定是问题(1.1) 的解.

现在给出两个关于紧性的结果; 详细的证明可以参考文献[3].

引理2.1   (Hardy型不等式)   假设$(V, K)\in {\cal K}$, 则

(ⅰ) 如果$(VK_{3})$成立, 则对于任意的$p\in (2, 6)$, 嵌入$E\hookrightarrow L^{p}_{K}({{\Bbb R}} ^{3})$是紧的;

(ⅱ) 如果$(VK_{4})$成立, 则$E$紧嵌入到$L^{\sigma}_{K}({{\Bbb R}} ^{3})$.

以下引理对证明泛函$I_{a, \lambda}$的$PS$序列的紧性是重要的.

引理2.2  如果$f$满足条件$(f_{1})$–$(f_{2})$, $(V, K)\in {\cal K}$, 假设$E$中序列$\{u_{n}\}$满足$u_{n}\rightharpoonup u$, 则

并且

下面证明泛函$I_{a, \lambda}$有山路定理几何结构.

引理3.1  假设$(M_{1})$–$(M_{2})$, $(f_{1})$–$(f_{2})$以及$(V, K)\in {\cal K}$成立, 则对于任意的$\lambda>0$, 存在两个正的常数$r$和$\beta$使得

证  假设条件$(VK_{3})$成立.

固定$p\in(2, 6)$, 则对任意的$\epsilon>0$, 存在两个正的常数$C$和$C_{\epsilon}$使得

结合$(M_{2})$、(3.1)式、Sobolev不等式以及引理2.1, 有

取$\epsilon=\frac{m_{0}}{4\lambda}$, 令$r>0$足够小, 则易得结论.

假设条件$(VK_{4})$成立.

固定$\epsilon>0$, 则存在$C_{ \epsilon}>0$使得

结合上式、$(M_{1})$、引理2.1以及Sobolev不等式, 有

显然结论成立.证毕.

引理3.2  假设$(M_{1})$–$(M_{2})$、$(VK_{1})$以及$(f_{3})$成立, 则对于任意的$\lambda>0$, 存在$e\in E$满足

证   由$(M_{1})$–$(M_{2})$、$(VK_{1})$以及$(f_{3})$可知

取$v_{0}\in C^{\infty}_{c}({{\Bbb R}} ^{3})$满足$v_{0}\geq0$且$\|v_{0}\|=1$, 则有

显然, 当$t\rightarrow +\infty$时, $I_{a, \lambda}(tv_{0})\rightarrow -\infty$. 取$e=t_{0}v_{0}$, 其中$t_{0}$足够大, 易得$I_{a, \lambda}(e)\leq 0$.

根据引理3.1–3.2以及山路定理^[19], 存在泛函$I_{a, \lambda}$的PS序列$\{u^{\lambda}_{n}\}\in E$, 为了方便记为$\{u_{n}\}$, 满足

这里

其中

引理3.3  假设$(M_{1})$–$(M_{2})$、$(f_{1})$–$(f_{2})$以及$(V, K)\in {\cal K}$成立, 则

证   取上述引理中的$v_{0}$. 由泛函$I_{a, \lambda}$的山路定理几何结构可知

取定义在${{\Bbb R}} ^{+}$函数: $g(t)=I_{a, \lambda}(tv_{0})$. 则有

因此

由$(M_{1})$, $(f_{2})$以及(3.6)式可知

我们断言当$\lambda\rightarrow +\infty$时, $t_{\lambda}\rightarrow 0$. 若不然, 则存在序列$\{\lambda_{n}\}$满足$\lambda_{n}\rightarrow +\infty$, 以及常数$T>0$使得

由$(f_{1})$–$(f_{2})$, 存在$p\in(2, 6)$满足

或者

由Lebesgue控制收敛定理可知

注意到(3.7)式, 上式与(3.6) 式产生矛盾.

最后, 我们证明当$\lambda \rightarrow +\infty$时, $c_{a, \lambda}\rightarrow0$. 取$\gamma_{0}(t)=te$, $t\in[0, 1]$, $\gamma_{0}(t)\in \Gamma.$则

结合上述断言可知$c_{a, \lambda}\rightarrow0$.证毕.

引理3.4  假设$(M_{1})$–$(M_{2})$、$(f_{1})$–$(f_{3})$以及$(V, K)\in {\cal K}$成立, 则存在$\lambda_{0}>0$, 使得当$\lambda\geq\lambda_{0}$时, 问题(2.1) 有一个非平凡解$u_{\lambda}$.

证   由上一个引理可知, 存在$\lambda_{0}>0$满足

取序列$\{u_{n}\}\subset E$满足, 当$n\rightarrow \infty$时, 有

结合$(M_{2})$以及$(f_{3})$, 有

因此, $\{u_{n}\}$在$E$中有界. 根据引理$2.1$及Sobolev不等式, 存在$\{u_{n}\}$的子列, 仍记为$\{u_{n}\}$, 满足

令$v_{n}=u_{n}-u$. 显然有$v_{n}\rightharpoonup 0$于$E$. 应用Brezis-Lieb引理, 有

对于任意的$\psi \in C^{\infty}_{c}({{\Bbb R}} ^{3})$, 有

根据引理$2.1$以及(3.9)式, 可以推出

在$E$上引入一个新的泛函

易知

注意到$\langle J'_{a, \lambda}(u), u\rangle=0,$同时结合(3.9)、(3.10) 与(3.12)式, 可推出

我们可以假设(最多取一个子列)

如果$l=0$, 则$u$是问题(2.1) 的一个解. 以下假设$l>0$. 由$S$的定义可知

由$(f_{3})$可知

根据(3.9)式, 易得

观察(3.12) 和(3.15)式, 有

结合(3.16)式以及上述不等式, 有

由$M_{a, \lambda}$的定义以及$(M_{2})$, 有

因为$m_{0}<a<\frac{\mu m_{0}}{4}$, 所以由(3.14)式可得

当$\lambda\geq \lambda_{0}$时, 上式与(3.8) 式相矛盾.

定理的证明  我们断言存在$\lambda^{*}\geq\lambda_{0}$使得

我们用反证法完成证明. 假设存在一个序列$\lambda_{j}\geq\lambda_{0}$满足$\lambda_{j}\rightarrow \infty$, 且对于所有的$j$有$\|u_{\lambda_{j}}\|^{2}>t_{0}$. 为了方便我们记$u_{\lambda_{j}}$为$u_{j}$. 注意到$u_{j}$是$I_{a, \lambda_{j}}$的临界点, 同时结合$(M_{2})$以及$(f_{3})$, 有

这与(3.3)式相矛盾. 因此, 对于任意的$\lambda\geq\lambda^{*}$, 有$\hat{M_{a}}\left(\|u_{\lambda}\|^{2}\right)={M_{a}}\left(\|u_{\lambda}\|^{2}\right)$. 从而$u_{\lambda}$是问题(1.1) 的一个非平凡解.

由上式的推导过程, 易得

再由引理$3.3$可知, 当$\lambda \rightarrow +\infty$时, $\| u_{\lambda}\| \rightarrow 0$.证毕.