旋转框架下三维不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程的初值问题

其中, $u(t, x)=(u_1(t, x), u_2(t, x), u_3(t, x))$表示点$(t, x)\in(0, \infty)\times {{\Bbb R}} ^{3}$的流速, $p=p(t, x)$为流体在$(t, x)\in(0, \infty)\times {{\Bbb R}} ^{3}$所受的压力, $\Omega e_{3}\times u$为Coriolis力. $\Omega\in{{\Bbb R}}$是围绕单位向量$e_{3}=(0, 0, 1)$的旋转速度, $\Delta=\sum\limits_{j=1}^3\partial_{x_j}^2$是关于空间变量$x$的Laplacian微分算子.

当旋转项消失, 即$\Omega=0$时, $(1.1)$式为不可压缩Navier-Stokes方程. 文献[2]中证明了三维Navier-Stokes方程在Scaling不变Sobolev空间$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$中的局部适定性和小初值的整体适定性. 文献[3]中研究了具有几乎周期性初值的Navier-Stokes-Boussinesq方程的长时间可解性. 文献[4]中研究了大扰动下Navier-Stokes方程解的长时间行为. 若同时不考虑耗散项$-\Delta u$和旋转效应$\Omega e_{3}\times u$, 则$(1.1)$式变为Euler方程. 文献[5]中证明了Euler方程在空间$H^{s}(s>\frac{7}{2})$中经典解的局部适定性, 该结果在文献[6]中进一步推广至更广义的Sobolev空间$W^{s, p}(1<p<\infty, s>1+\frac{3}{p})$.

文献[7]中证明了对任意地旋转速度, 不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程$(1.1)$在空间$H^{\frac{1}{2}}$中小初值的整体存在性. 文献[8]中证明了分数阶Navier-Stokes-Coriolis方程的色散效应和局部适定性.

本文研究经典不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程$(1.1)$初值问题在Sobolev空间中解的长时间存在性. 首先应用能量估计证明解的局部存在性. 其次应用高低频分解技术对$\nabla u$分解, 高频部分应用Bernstein不等式进行估计, 低频部分借助端点Strichartz估计, 得到$\Omega$的下界$\Omega_{0}$. 最后证明了$(1.1)$在Sobolev空间$H^{s}(s>4)$中解的长时间存在性.

定理1.1  设$s>4$, $0<{\mathfrak T}<\infty$, 对任意$u_{0}\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})$, ${\rm div} u_{0}=0$, 存在$\Omega_{0}=(s, {\mathfrak T}, \|u_{0}\|_{H^{s}})$, 使得若$|\Omega|\geqslant\Omega_{0}$, 那么初值问题$(1.1)$存在解$u\in c([0, {\mathfrak T}], H^{s}({{\Bbb R}} ^{3}))$.

特别地, 存在充分大常数$c>0$, $\delta\in(0, \frac{1}{2})$, 参数$\Omega_{0}$可刻画为

函数$f$的Fourier变换和Riesz变换分别定义为

设$\psi$为光滑径向函数, 且$\psi>0$, ${\cal C}=\{\xi\in {{\Bbb R}} ^{3}, \frac{3}{4}\leq|\xi|\leq\frac{8}{3}\}$, 使得

定义Hardy-Littlewood二进制局部化算子$\Delta_{j}(j\in{\Bbb Z})$, 低频算子$P_{\leq M}$和高频算子$P_{>M}$分别为

其中$h={\cal F}^{-1}\psi$, ${\cal F}^{-1}$表示Fourier逆变换.

定义2.1  设$s\in {{\Bbb R}}$, $1\leq p, q\leq\infty$. 齐次$\rm Besov$空间$\dot{B}^{s}_{p, q}({{\Bbb R}} ^{3})$定义为

其中

其中${\cal S}'({{\Bbb R}} ^{3})$是$\{f\in{\cal S}({{\Bbb R}} ^{3});\partial^{\alpha}\widehat{f}(0)=0; \forall\alpha\in {\Bbb N}^{3}\}$的对偶空间.

若$p=q=2$, 则齐次Besov空间退化为广义齐次Sobolev空间$\dot{H}^{s}({{\Bbb R}} ^{3})$.

其中, $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$定义为

非齐次Sobolev空间$H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})(s\in{{\Bbb R}} )$中函数$f$的范数定义为

引理2.1^[9]  ({Bernstein} 不等式)  设$\gamma\geq0$, 且$1\leq p\leq q\leq\infty$. 设$f\in L^{p}({{\Bbb R}} ^3)$, 则

这里常数$c$, $c_{1}$, $c_{2}$不依赖于$f$和$\lambda$.

引理2.2^[6]  设$s>0$, $1\leq p, r\leq\infty$, 则

其中$1\leq p_{1}, r_{1}\leq\infty$, 且$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}$.

引理2.3  设$s'>4$, 则

证   在引理$2.2$中取$p=2$, $r=1$, $s=\frac{5}{2}$, $p_{1}=r_{1}=2$, $p_{2}=r_{2}=\infty$, 由于$H^{s'}\hookrightarrow\dot{B}^{4}_{2, 1}$, $s'>4$, 则

证明完毕.

引理2.4^[11]  设$2\leq q, r\leq\infty, (q, r)\neq(2, \infty)$, 则有时空混合估计

其中

引理2.5^[1]  (低频端点Strichartz估计)  设$\Omega\in{{\Bbb R}} \setminus\{0\}$, $T>0$, $r>0$且$M>0$, 则

证   (1.1) 式两边与$u$作内积得

在$(3.1)$式中

定义${\cal J}=(I-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, 由${\rm div} u=0$得

其中$(u\cdot\nabla ({\cal J}^{s}u), {\cal J}^{s}u)=0$.

整理$(3.1)$式得

对$(3.2)$式两边关于$t$积分

因此, 存在不依赖$\Omega$的$\tilde{T}>0$, 使局部有解$u(x, t)\in C([0, \tilde{T}];H^{s}({{\Bbb R}} ^{3}))$, 其中$\tilde{T}<{\mathfrak T}$.

下证解的长时间存在性.

在$(3.3)$式中项$\|\nabla u\|_{L^{1}_{T}(L^{\infty})}$, 指标$(1, \infty)$不满足半群$e^{R _{3}t}$的Strichartz容许对条件: $\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\leq\frac{1}{2}$, $(q, r)\neq(2, \infty)$. 由H$\ddot{{\rm o}}$lder不等式得

而$(2, \infty)$亦不满足Strichartz容许对条件, 因此需重新估计$\|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$. 对$\|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$进行高低频分解如下

$M$为依赖$\Omega$的常数.

$\|\nabla u^{{\rm high}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$的估计

$\|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$的估计.

借助Coriolis力对应项$e^{\Omega R _{3}t}$的色散估计来控制$\|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$. 定义算子$P_{\pm}$为

其中${\Bbb P}$为Leray算子, $\widehat{{\cal R} f}(\xi)=\frac{{\rm i}\xi}{\mid\xi\mid}\widehat{f}(\xi)$. 对任意散度自由向量函数$\upsilon$有以下关系

算子$P_{\pm}$作用于$(1.1)$式两边得

对$(3.6)$式两边关于时间$t$积分, 整理得

再对低频$\|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$分解

由$(2.3)$式, Bernstein不等式和$H^{s}\hookrightarrow\dot{B}^{\sigma}_{2, 1}$$(0<\sigma<s)$, 得

由$(2.2)$, $(2.3)$式, $r=1$及Bernstein不等式得

由$(2.3)$式及Bernstein不等式得

同理可估计$\|\nabla P_{-}u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$, 从而估计$\|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}$得

将(3.5), (3.7) 式代入$(3.4)$式得

取$M=|\Omega|^{\delta}$, $0<\delta<\frac{1}{2}$, 有

定义$T^{\ast}=\sup\{t\in(0, {\mathfrak T}]:\|u(t)\|^{2}_{H^{s}}\leq4\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}}\}$. 假定$T^{\ast}<{\mathfrak T}$, 对任意$T\leq T^{\ast}$有

注意到, 右式值的大小受时间$T$控制, 时间$T$增大使得右式的值增大.

由不等式

再根据$(1.2)$式和$|\Omega|\geq\Omega_{0}$, 存在足够大的常数$c$, 得

因此, 对所有$T\leq T^{\ast}$, $\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\leq2\|u_{0}\|_{H^{s}},$这与前面连续参数的假设$T^{\ast}<{\mathfrak T}$矛盾. 因此$T^{\ast}={\mathfrak T}$, 故定理$1.1$证毕.