旋转框架下三维不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程的初值问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \partial_{t}u-\Delta u+\Omega e_{3}\times u+(u\cdot\nabla)u+\nabla p=0, \\ {\rm div} u=0, \\ u(0, x) = u_0(x), \end{array} \right. \end{equation} $

其中, $ u(t, x)=(u_1(t, x), u_2(t, x), u_3(t, x)) $表示点$ (t, x)\in(0, \infty)\times {{\Bbb R}} ^{3} $的流速, $ p=p(t, x) $为流体在$ (t, x)\in(0, \infty)\times {{\Bbb R}} ^{3} $所受的压力, $ \Omega e_{3}\times u $为Coriolis力. $ \Omega\in{{\Bbb R}} $是围绕单位向量$ e_{3}=(0, 0, 1) $的旋转速度, $ \Delta=\sum\limits_{j=1}^3\partial_{x_j}^2 $是关于空间变量$ x $的Laplacian微分算子.

当旋转项消失, 即$ \Omega=0 $时, $ (1.1) $式为不可压缩Navier-Stokes方程. 文献[2]中证明了三维Navier-Stokes方程在Scaling不变Sobolev空间$ \dot{H}^{\frac{1}{2}} $中的局部适定性和小初值的整体适定性. 文献[3]中研究了具有几乎周期性初值的Navier-Stokes-Boussinesq方程的长时间可解性. 文献[4]中研究了大扰动下Navier-Stokes方程解的长时间行为. 若同时不考虑耗散项$ -\Delta u $和旋转效应$ \Omega e_{3}\times u $, 则$ (1.1) $式变为Euler方程. 文献[5]中证明了Euler方程在空间$ H^{s}(s>\frac{7}{2}) $中经典解的局部适定性, 该结果在文献[6]中进一步推广至更广义的Sobolev空间$ W^{s, p}(1<p<\infty, s>1+\frac{3}{p}) $.

文献[7]中证明了对任意地旋转速度, 不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程$ (1.1) $在空间$ H^{\frac{1}{2}} $中小初值的整体存在性. 文献[8]中证明了分数阶Navier-Stokes-Coriolis方程的色散效应和局部适定性.

本文研究经典不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程$ (1.1) $初值问题在Sobolev空间中解的长时间存在性. 首先应用能量估计证明解的局部存在性. 其次应用高低频分解技术对$ \nabla u $分解, 高频部分应用Bernstein不等式进行估计, 低频部分借助端点Strichartz估计, 得到$ \Omega $的下界$ \Omega_{0} $. 最后证明了$ (1.1) $在Sobolev空间$ H^{s}(s>4) $中解的长时间存在性.

定理1.1  设$ s>4 $, $ 0<{\mathfrak T}<\infty $, 对任意$ u_{0}\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) $, $ {\rm div} u_{0}=0 $, 存在$ \Omega_{0}=(s, {\mathfrak T}, \|u_{0}\|_{H^{s}}) $, 使得若$ |\Omega|\geqslant\Omega_{0} $, 那么初值问题$ (1.1) $存在解$ u\in c([0, {\mathfrak T}], H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})) $.

特别地, 存在充分大常数$ c>0 $, $ \delta\in(0, \frac{1}{2}) $, 参数$ \Omega_{0} $可刻画为

(1.2) $ \begin{eqnarray} \Omega_{0}=c{\bigg\{\frac{16}{9}\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}} {\mathfrak T}(1+{\mathfrak T}+{\mathfrak T}\|u_{0}\|_{H^{s}})^{2}\log(1+{\mathfrak T})\bigg\}^{\frac{2}{1-2\delta}}+ \bigg(\frac{1}{4}\|u_{0}\|_{H^{s}}{\mathfrak T}\bigg)^{\frac{1}{(s-\frac{5}{2})\delta}}}. \end{eqnarray} $

函数$ f $的Fourier变换和Riesz变换分别定义为

$ \widehat{f}(\xi)=\int_{R^{3}}e^{-{\rm i}x\xi}f(x){\rm d}x, \widehat{{\cal R} f}(\xi)=\frac{{\rm i}\xi}{\mid\xi\mid}\widehat{f}(\xi). $

设$ \psi $为光滑径向函数, 且$ \psi>0 $, $ {\cal C}=\{\xi\in {{\Bbb R}} ^{3}, \frac{3}{4}\leq|\xi|\leq\frac{8}{3}\} $, 使得

$ \sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\psi(2^{-j}\xi)=1, \; \xi\in {{\Bbb R}} ^3\setminus\{0\}. $

定义Hardy-Littlewood二进制局部化算子$ \Delta_{j}(j\in{\Bbb Z}) $, 低频算子$ P_{\leq M} $和高频算子$ P_{>M} $分别为

$ \Delta_{j}f=\psi(2^{-j}D)f=2^{3j}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}h(2^{j}y)f(x-y){\rm d}y, P_{\leq M}f=\sum\limits_{2^{j}\leq M}\Delta_{j}f, P_{>M}f=f-P_{\leq M}f, $

其中$ h={\cal F}^{-1}\psi $, $ {\cal F}^{-1} $表示Fourier逆变换.

定义2.1  设$ s\in {{\Bbb R}} $, $ 1\leq p, q\leq\infty $. 齐次$ \rm Besov $空间$ \dot{B}^{s}_{p, q}({{\Bbb R}} ^{3}) $定义为

$ \dot{B}^{s}_{p, q}({{\Bbb R}} ^{3})=\{f\in{\cal S}'({{\Bbb R}} ^{3});\| f\|_{\dot{B}^{s}_{p, q}}({{\Bbb R}} ^{3})<\infty\}, $

其中

$ \| f\|_{\dot{B}^{s}_{p, q}({{\Bbb R}} ^{3})}= \bigg(\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{sqj}\parallel\Delta_{j}f\|^{q}_{L^{p}({{\Bbb R}} ^{3})}\bigg)^{\frac{1}{q}}, (1\leq q<\infty), $

$ \| f\|_{\dot{B}^{s}_{p, q}({{\Bbb R}} ^{3})}=\sup\limits_{j\in {\Bbb Z}}2^{sj}\|\Delta_{j}f\|_{L^{p}({{\Bbb R}} ^{3})}, (q=\infty), $

其中$ {\cal S}'({{\Bbb R}} ^{3}) $是$ \{f\in{\cal S}({{\Bbb R}} ^{3});\partial^{\alpha}\widehat{f}(0)=0; \forall\alpha\in {\Bbb N}^{3}\} $的对偶空间.

若$ p=q=2 $, 则齐次Besov空间退化为广义齐次Sobolev空间$ \dot{H}^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) $.

$ \|f\|_{\dot{H}^{s}({{\Bbb R}} ^{3})}=\|\Lambda^{s}f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{3})}, \forall s\in {{\Bbb R}} , $

其中, $ \Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}} $定义为

$ \widehat{\Lambda^{\alpha}f}(\xi)=|\xi|^{\alpha}\widehat{f}(\xi), \forall\alpha\geq0. $

非齐次Sobolev空间$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})(s\in{{\Bbb R}} ) $中函数$ f $的范数定义为

$ \|f\|_{H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})}=\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{3})}+\|f\|_{\dot{H}^{s}({{\Bbb R}} ^{3})}. $

引理2.1^[9]  ({Bernstein} 不等式)  设$ \gamma\geq0 $, 且$ 1\leq p\leq q\leq\infty $. 设$ f\in L^{p}({{\Bbb R}} ^3) $, 则

$ \begin{eqnarray*} {\rm{supp}}\widehat{f}\subset\{\xi\in {{\Bbb R}} ^{3}:|\xi|\leq c\lambda\}\Rightarrow \|\Lambda^{\gamma}f\|_{L^{q}}\leq c\lambda^{\gamma+3(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|f\|_{L^{p}}, \\ {\rm{supp}}\widehat{f}\subset\{\xi\in {{\Bbb R}} ^{3}:c_{1}\lambda\leq|\xi|\leq c_{2}\lambda\}\Rightarrow c_{1}\lambda^{\gamma}\|f\|_{L^{p}}\leq\|\Lambda^{\gamma}f\|_{L^{p}}, \end{eqnarray*} $

这里常数$ c $, $ c_{1} $, $ c_{2} $不依赖于$ f $和$ \lambda $.

引理2.2^[6]  设$ s>0 $, $ 1\leq p, r\leq\infty $, 则

(2.1) $ \begin{eqnarray} \|fg\|_{\dot{B}^{s}_{p, r}({{\Bbb R}} ^{3})}\leq c\{\|f\|_{L^{p_{1}}({{\Bbb R}} ^{3})}\|g\|_{\dot{B}^{s}_{p_{2}, r}({{\Bbb R}} ^{3})}+\|g\|_{L^{r_{1}}({{\Bbb R}} ^{3})}\|f\|_{\dot{B}^{s}_{r_{2}, r}({{\Bbb R}} ^{3})}\}, \end{eqnarray} $

其中$ 1\leq p_{1}, r_{1}\leq\infty $, 且$ \frac{1}{p}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}} $.

引理2.3  设$ s'>4 $, 则

(2.2) $ \begin{eqnarray} \|fg\|_{\dot{B}^{\frac{5}{2}}_{2, 1}({{\Bbb R}} ^{3})}\lesssim\|f\|_{H^{s'}}\|g\|_{H^{s'}}. \end{eqnarray} $

证   在引理$ 2.2 $中取$ p=2 $, $ r=1 $, $ s=\frac{5}{2} $, $ p_{1}=r_{1}=2 $, $ p_{2}=r_{2}=\infty $, 由于$ H^{s'}\hookrightarrow\dot{B}^{4}_{2, 1} $, $ s'>4 $, 则

$ \begin{eqnarray*} \|fg\|_{\dot{B}^{\frac{5}{2}}_{2, 1}({{\Bbb R}} ^{3})} &\leq&\|f\|_{L^{2}}\|g\|_{\dot{B}^{\frac{5}{2}}_{\infty, 1}}+\|g\|_{L^2}\|f\|_{\dot{B}^{\frac{5}{2}}_{\infty, 1}}\\ &\lesssim&\|f\|_{H^{s'}}\|g\|_{\dot{B}^{4}_{2, 1}}+\|g\|_{{H}^{s'}}\|f\|_{\dot{B}^{4}_{2, 1}}\\ &\lesssim&\|f\|_{H^{s'}}\|g\|_{H^{s'}}. \end{eqnarray*} $

证明完毕.

引理2.4^[11]  设$ 2\leq q, r\leq\infty, (q, r)\neq(2, \infty) $, 则有时空混合估计

$ \|{\mathfrak \varphi}_{\pm}(t)f\|_{L^{q}_{t}L^{r}_{x}}\lesssim\|f\|_{L^{2}}, \frac{1}{q}+\frac{1}{r}\leq\frac{1}{2}, $

其中

$ {\mathfrak \varphi}_{\pm}(t)f(x)=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}e^{{\rm i}x\xi\pm {\rm i}t\frac{\xi_{3}}{|\xi|}}\psi(\xi)\widehat{f}(\xi){\rm d}\xi. $

引理2.5^[1]  (低频端点Strichartz估计)  设$ \Omega\in{{\Bbb R}} \setminus\{0\} $, $ T>0 $, $ r>0 $且$ M>0 $, 则

(2.3) $ \begin{eqnarray} \|e^{\Omega R _{3}t}P_{\leq M}f\|_{L^{2}([0, T];L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{3}))}\lesssim\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\min\{M^{r}\|f\|_{\dot{B}^{\frac{3}{2}-r}_{2, \infty}}, \|f\|_{\dot{B}^{\frac{3}{2}}_{2, 1}}\}. \end{eqnarray} $

证   (1.1) 式两边与$ u $作内积得

(3.1) $ \begin{eqnarray} (\partial_{t}u, u)_{H^{s}}+((-\Delta)u, u)_{H^{s}}=-((u\cdot\nabla )u, u)_{H^{s}}-(\Omega e_{3}\times u, u)_{H^{s}}-(\nabla p, u)_{H^{s}}, \end{eqnarray} $

在$ (3.1) $式中

$ \begin{eqnarray*} ((-\Delta)u, u)_{H^{s}}&=&\int _{{{\Bbb R}} ^{3}}(1+|\xi|^{2})^{s}\widehat{(-\Delta)u}\cdot\overline{\widehat{u}}{\rm d}\xi\\ &=&\int _{{{\Bbb R}} ^{3}}(1+|\xi|^{2})^{s}(\widehat{\Lambda u})^{2}{\rm d}\xi\\ &=&\|\Lambda u\|_{H^{s}}. \end{eqnarray*} $

定义$ {\cal J}=(I-\Delta)^{\frac{1}{2}} $, 由$ {\rm div} u=0 $得

$ \begin{eqnarray*} -((u\cdot\nabla )u, u)_{H^{s}}&=&-({\cal J}^{s}((u\cdot\nabla )u), {\cal J}^{s}u)\\ &=&(u\cdot\nabla ({\cal J}^{s}u), {\cal J}^{s}u)-({\cal J}^{s}((u\cdot\nabla )u), {\cal J}^{s}u)\\ &=&-([{\cal J}^{s}, u\cdot\nabla ]u, {\cal J}^{s}u)\\ &\leq&\|[{\cal J}^{s}, u\cdot\nabla ]u\|_{L^{2}}\|{\cal J}^{s}u\|_{L^{2}}\\ &\leq&c\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|u\|^{2}_{H^{s}}, \end{eqnarray*} $

其中$ (u\cdot\nabla ({\cal J}^{s}u), {\cal J}^{s}u)=0 $.

$ \begin{eqnarray*} -(\Omega e_{3}\times u, u)_{H^{s}}&=&-\int _{{{\Bbb R}} ^{3}}(1+|\xi|^{2})^{s}\widehat{(-u_{2}, u_{1}, 0)}\cdot\overline{\widehat{u}}{\rm d}\xi=0. \\ -(\nabla p, u)_{H^{s}}&=&-\int _{{{\Bbb R}} ^{3}}(1+|\xi|^{2})^{s}\widehat{(\partial_{1}p, \partial_{2}p, \partial_{3}p)}\cdot\overline{\widehat{u}}{\rm d}\xi=0. \end{eqnarray*} $

整理$ (3.1) $式得

$ \frac{1}{2}\frac{{\rm d}\|u\|^{2}_{H^{s}}}{{\rm d}t}+\|\Lambda u\|_{H^{s}}\leq c\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|u\|^{2}_{H^{s}}, $

(3.2) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{{\rm d}\|u\|^{2}_{H^{s}}}{{\rm d}t}\leq c\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|u\|^{2}_{H^{s}}. \end{eqnarray} $

对$ (3.2) $式两边关于$ t $积分

(3.3) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\leq\|u_{0}\|_{H^{s}}+c\|\nabla u\|_{L^{1}_{T}(L^{\infty})}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}. \end{eqnarray} $

因此, 存在不依赖$ \Omega $的$ \tilde{T}>0 $, 使局部有解$ u(x, t)\in C([0, \tilde{T}];H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})) $, 其中$ \tilde{T}<{\mathfrak T} $.

下证解的长时间存在性.

在$ (3.3) $式中项$ \|\nabla u\|_{L^{1}_{T}(L^{\infty})} $, 指标$ (1, \infty) $不满足半群$ e^{R _{3}t} $的Strichartz容许对条件: $ \frac{1}{q}+\frac{1}{r}\leq\frac{1}{2} $, $ (q, r)\neq(2, \infty) $. 由H$ \ddot{{\rm o}} $lder不等式得

(3.4) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\leq\|u_{0}\|_{H^{s}}+cT^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}. \end{eqnarray} $

而$ (2, \infty) $亦不满足Strichartz容许对条件, 因此需重新估计$ \|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $. 对$ \|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $进行高低频分解如下

$ \nabla u=\nabla P_{\leq M}u+\nabla P_{>M}u=\nabla u^{{\rm low}}+\nabla u^{{\rm high}}, $

$ M $为依赖$ \Omega $的常数.

$ \|\nabla u^{{\rm high}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $的估计

(3.5) $ \begin{eqnarray} \|\nabla u^{{\rm high}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}&\leq& \bigg\|\sum\limits_{2^{j}>M}2^{j}\|\Delta_{j}u\|_{L^{\infty}}\bigg\|_{L^{2}_{T}}\\ &\lesssim&\bigg\|\sum\limits_{2^{j}>M}2^{\frac{5}{2}j}\|\Delta_{j}u\|_{L^{2}}\bigg\|_{L^{2}_{T}}\\ &\lesssim&\bigg\|\sum\limits_{2^{j}>M}2^{\frac{5}{2}j}\cdot2^{-sj}\cdot2^{sj}\|\Delta_{j}u\|_{L^{2}}\bigg\|_{L^{2}_{T}}\\ &\lesssim&\bigg(\sum\limits_{2^{j}>M}2^{2j(\frac{5}{2}-s)}\bigg)^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}\\ &\lesssim&\frac{\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}}{M^{(s-\frac{5}{2})}}. \end{eqnarray} $

$ \|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $的估计.

借助Coriolis力对应项$ e^{\Omega R _{3}t} $的色散估计来控制$ \|\nabla u\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $. 定义算子$ P_{\pm} $为

$ P_{\pm}\upsilon=\frac{1}{2}({\Bbb P}\upsilon\pm R \times \upsilon), $

其中$ {\Bbb P} $为Leray算子, $ \widehat{{\cal R} f}(\xi)=\frac{{\rm i}\xi}{\mid\xi\mid}\widehat{f}(\xi) $. 对任意散度自由向量函数$ \upsilon $有以下关系

$ \upsilon=P_{+}\upsilon+P_{-}\upsilon, {\Bbb P}e_{3}\times \upsilon=R _{3}(P_{+}\upsilon-P_{-}\upsilon), P^{2}_{\pm}=P_{\pm}, P_{\pm}P\mp=0. $

算子$ P_{\pm} $作用于$ (1.1) $式两边得

(3.6) $ \begin{eqnarray} \partial_{t}P_{\pm}u+\Omega R _{3}P_{\pm}u+P_{\pm}(-\Delta)u+P_{\pm}(u\cdot\nabla)u=0. \end{eqnarray} $

对$ (3.6) $式两边关于时间$ t $积分, 整理得

$ P_{\pm}u(t)=e^{\mp\Omega R _{3}t}P_{\pm}u_{0}-\int_{0}^{t}e^{\pm\Omega R _{3}(\tau-t)}[P_{\pm}(u\cdot\nabla )u(\tau, x)+P_{\pm}(-\Delta)u(\tau, x)]{\rm d}\tau. $

再对低频$ \|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $分解

$ \|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}=\|\nabla P_{+}u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}+\|\nabla P_{-}u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}. $

$ \begin{eqnarray*} \|\nabla P_{+}u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} &\leq&\|\nabla e^{\Omega R _{3}t}P_{\leq M}P_{+}u_{0}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}\\ &&+\bigg\|\int_{0}^{t}\|\nabla e^{\Omega R _{3}(\tau-t)}P_{\leq M}P_{+}(u\cdot\nabla)u\|_{L^{\infty}}{\rm d}\tau\bigg\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}\\ &&+\bigg\|\int_{0}^{t}\|\nabla e^{\Omega R _{3}(\tau-t)}P_{\leq M}P_{+}(-\Delta)u\|_{L^{\infty}}{\rm d}\tau\bigg\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}\\ &=&{\rm I}_{1}+{\rm I}_{2}+{\rm I}_{3}. \end{eqnarray*} $

由$ (2.3) $式, Bernstein不等式和$ H^{s}\hookrightarrow\dot{B}^{\sigma}_{2, 1} $$ (0<\sigma<s) $, 得

$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_{1}&=&\|\nabla e^{\Omega R _{3}t}P_{\leq M}P_{+}u_{0}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}\\ &\lesssim&\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|\nabla u_{0}\|_{\dot{B}^{\frac{3}{2}}_{2, 1}}\\ &\lesssim&\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u_{0}\|_{\dot{B}^{\frac{5}{2}}_{2, 1}}\\ &\lesssim&\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u_{0}\|_{H^{s}}. \end{eqnarray*} $

由$ (2.2) $, $ (2.3) $式, $ r=1 $及Bernstein不等式得

$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_{2}&=&\bigg\|\int_{0}^{t}\|\nabla e^{\Omega R _{3}(\tau-t)}P_{\leq M}P_{+}(u\cdot\nabla )u\|_{L^{\infty}}{\rm d}\tau\bigg\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}\\ &\lesssim&\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}M\|\nabla P_{+}(u\cdot\nabla)u\|_{\dot{B}^{\frac{1}{2}}_{2, \infty}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\|u\cdot\nabla u\|_{\dot{B}^{\frac{3}{2}}_{2, \infty}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\|u\otimes u\|_{\dot{B}^{\frac{5}{2}}_{2, 1}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u\|^{2}_{L^{2}_{T}(H^{s})}. \end{eqnarray*} $

由$ (2.3) $式及Bernstein不等式得

$ \begin{eqnarray*} {\rm I}_{3}&=&\bigg\|\int_{0}^{t}\|\nabla e^{\Omega R _{3}(\tau-t)}P_{\leq M}P_{+}(-\Delta)u\|_{L^{\infty}}{\rm d}\tau\bigg\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty)}}\\ &\lesssim&\int_{0}^{T}\|\nabla e^{\Omega R _{3}(\tau-t)}P_{\leq M}P_{+}(-\Delta)u\|_{L^{2}(\tau, T;L^{\infty})}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}M\|\nabla P_{+}(-\Delta)u\|_{\dot{B}^{\frac{1}{2}}_{2, \infty}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\sup\limits_{2^{j}\leq M}2^{\frac{1}{2}j}\|\Delta _{j}\nabla(-\Delta)u\|_{L^{2}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\sup\limits_{2^{j}\leq M}2^{\frac{3}{2}j}\|\Delta_{j}\Lambda^{2}u\|_{L^{2}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\sup\limits_{2^{j}\leq M}2^{\frac{7}{2}j}\|\Delta_{j}u\|_{L^{2}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\|u\|_{\dot{B}^{\frac{7}{2}}_{2, \infty}}{\rm d}\tau \\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\|u\|_{\dot{B}^{\frac{7}{2}}_{2, 1}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{T}\|u\|_{H^{s}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}} T^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}. \end{eqnarray*} $

同理可估计$ \|\nabla P_{-}u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $, 从而估计$ \|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})} $得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \|\nabla u^{{\rm low}}\|_{L^{2}_{T}(L^{\infty})}&\leq&\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u_{0}\|_{H^{s}}+M\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u\|^{2}_{L^{2}_{T}(H^{s})}\\ &&+M\left(\frac{T \log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}. \end{eqnarray} $

将(3.5), (3.7) 式代入$ (3.4) $式得

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})} &\leqslant&\|u_{0}\|_{H^{s}}+cT^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u_{0}\|_{H^{s}}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}+cT^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\\ &&\times\left\{\left(\frac{\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}(M\|u\|^{2}_{L^{2}_{T}(H^{s})}+T^{\frac{1}{2}}M\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})})+\frac{\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}}{M^{(s-\frac{5}{2})}}\right\}. \end{eqnarray*} $

取$ M=|\Omega|^{\delta} $, $ 0<\delta<\frac{1}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})} &\leqslant&\|u_{0}\|_{H^{s}}\left(1+c\left(\frac{T\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\right)\\ &&+cT^{\frac{1}{2}}\frac{\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|T)}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}\|u\|^{2}_{L^{2}_{T}(H^{s})}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\\ &&+cT\frac{\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|T)}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}+cT^{\frac{1}{2}}\frac{\|u\|_{L^{2}_{T}(H^{s})}\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}}{M^{(s-\frac{5}{2})}}\\ &\leqslant&\|u_{0}\|_{H^{s}}\left(1+c\|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\left(\frac{T\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\right)\\ &&+c\|u\|^{3}_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\frac{T^{\frac{3}{2}}\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|T)}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}} +c\|u\|^{2}_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\frac{T}{|\Omega|^{(s-\frac{5}{2})\delta}}\\ &&+c\|u\|^{2}_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\frac{T^{\frac{3}{2}}\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|T)}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}. \end{eqnarray*} $

定义$ T^{\ast}=\sup\{t\in(0, {\mathfrak T}]:\|u(t)\|^{2}_{H^{s}}\leq4\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}}\} $. 假定$ T^{\ast}<{\mathfrak T} $, 对任意$ T\leq T^{\ast} $有

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})} &\leqslant&\|u_{0}\|_{H^{s}}\left(1+c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\left(\frac{T\log(1+|\Omega|T)}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}\right) +c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\\ &&\times\bigg(\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}}\frac{T^{\frac{3}{2}}\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|T)}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}} +c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\frac{T}{|\Omega|^{(s-\frac{5}{2})\delta}}\\ &&+c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\frac{T^{\frac{3}{2}}\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|T)}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}\bigg), \end{eqnarray*} $

注意到, 右式值的大小受时间$ T $控制, 时间$ T $增大使得右式的值增大.

由不等式

$ \log(1+|\Omega|{\mathfrak T})\leqslant \log(1+|\Omega|)+\log(1+{\mathfrak T}), \log(1+|\Omega|)\lesssim \min\{|\Omega|^{\delta}, |\Omega|^{\frac{1-2\delta}{2}}\}, $

再根据$ (1.2) $式和$ |\Omega|\geq\Omega_{0} $, 存在足够大的常数$ c $, 得

$ \begin{eqnarray*} &&c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\left(\frac{{\mathfrak T}\log(1+|\Omega|{\mathfrak T})}{|\Omega|}\right)^{\frac{1}{2}}+c_{0}\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}}\frac{{\mathfrak T}^{\frac{3}{2}}\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|{\mathfrak T})}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}\\ &&+c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\frac{{\mathfrak T}}{|\Omega|^{(s-\frac{5}{2})\delta}} +c_{0}\|u_{0}\|_{H^{s}}\frac{{\mathfrak T}^{\frac{3}{2}}\log^{\frac{1}{2}}(1+|\Omega|{\mathfrak T})}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}\\ &\lesssim&\left(\frac{\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}}{\mathfrak T}\log(1+{\mathfrak T})}{|\Omega|^{(\frac{1}{2}-\delta)}}\right)^{\frac{1}{2}} +\frac{{\mathfrak T}^{\frac{3}{2}}\|u_{0}\|^{2}_{H^{s}}\log^{\frac{1}{2}}(1+{\mathfrak T})}{|\Omega|^{(\frac{1-2\delta}{4})}}+\frac{{\mathfrak T}^{\frac{3}{2}}\|u_{0}\|_{H^{s}}\log^{\frac{1}{2}}(1+{\mathfrak T})}{|\Omega|^{(\frac{1-2\delta}{4})}}+\frac{\|u_{0}\|_{H^{s}}{\mathfrak T}}{|\Omega|^{(s-\frac{5}{2})\delta}}\\ &\leq&1. \end{eqnarray*} $

因此, 对所有$ T\leq T^{\ast} $, $ \|u\|_{L^{\infty}_{T}(H^{s})}\leq2\|u_{0}\|_{H^{s}}, $这与前面连续参数的假设$ T^{\ast}<{\mathfrak T} $矛盾. 因此$ T^{\ast}={\mathfrak T} $, 故定理$ 1.1 $证毕.