最近, 文献[1]讨论了如下一类非局部扩散的SIR模型

其中$x\in{{\Bbb R}} , t>0$. $S(x, t)$, $I(x, t)$和$R(x, t)$分别表示易感者, 已感染者和康复者在位置$x$和时刻$t$处的密度. $d_i>0\ (i=1, 2, 3)$表示各类个体的空间扩散率. $\Lambda>0$表示易感个体的更新率. $\beta>0$表示易感和感染个体之间的传播率. $\mu>0$表示自然死亡率. $\alpha>0$表示因病死亡率. $\gamma>0$表示恢复率. $(J*{\cal Z}-{\cal Z})(x, t)=\int_{{{\Bbb R}} }J(x-y){\cal Z}(y, t){\rm d}y-{\cal Z}(x, t)$, 其中${\cal Z}=S, I, R$. 核函数$J$和发生率函数$f$满足如下的条件

(A1) $J(x)$在${{\Bbb R}}$上是局部Lipschitz连续的, $J(x)=J(-x)\geq0$, $J(0)>0$, $\int_{{{\Bbb R}} }J(x){\rm d}x=1$, 且$J(x)$在${{\Bbb R}}$中具有紧支集.

(A2) $S, I\geq0$时, $f(S, I)$关于$S$和$I$是二次连续可微的严格单调递增函数. $I>0$时, $\frac{f(S, I)}{I}$是单调递减函数. $S, I>0$时, $f(S, 0)=f(0, I)=0$.

由文献[1]知, 系统(1.1)始终有一个无病平衡点$(\hat{S}, 0, 0)$, 其中$\hat{S}=\frac{\Lambda}{\mu}$. 而系统(1.1)的基本再生数为

当${\cal R}_0>1$时, 系统(1.1)有唯一的正平衡点$(S^*, I^*, R^*)$. 进一步假设

(A3) 对任意的$S, I>0$, $\frac{f(S, I)S^*}{f(S^*, I^*)S}\in\left[\min\{1, H_1\}, \max\{1, H_2\}\right]$, 其中

作变换$\xi=x+ct$, 故系统(1.1)对应的行波方程为:

利用上下解、Schauder不动点定理、Lyapunov泛函和比较原理的技术, 文献[1]证明了系统(1.1)的行波解的存在性和不存在性. 为了讨论的完整性, 回顾文献[1]的结果如下.

定理1.1^{[1, 定理3, 5和6]}  假设$\rm (A1)–(A3)$和${\cal R}_0>1$成立. 则存在一个临界波速$c^*>0$满足下面的条件.

(1) 若$c>c^*$, 则系统(1.2)存在一个非负的行波解$(S(\xi), I(\xi), R(\xi))$满足

进一步, $0<S(\xi)<\hat{S}, I(\xi)>0, R(\xi)>0, \forall\xi\in{{\Bbb R}} .$

(2) 若$0<c<c^*$, 则系统(1.2)不存在满足(1.3)式的行波解.

注意到, 文献[1]中并未讨论${\cal R}_0>1$, $c=c^*$时系统(1.2)的临界行波解的存在性以及${\cal R}_0<1$时行波解的不存在性.

受文献[2]的启发, 本文将在扩散速率$d_1=d_2=d$的假设条件下, 讨论文献[1]中的遗留问题. 论文结构安排如下: 第二节给出必要的预备知识. 第三节, 当${\cal R}_0>1$, $c=c^*$时, 讨论系统(1.2)的临界行波解的存在性. 当${\cal R}_0<1$时, 研究系统(1.2)的行波解的不存在性. 最后, 做了一个简单的总结.

由文献[1]知, 系统(1.2)在无病平衡点$(\hat{S}, 0, 0)$处线性化后的特征方程为

引理2.1^{[1, 引理2]}  若${\cal R}_0>1$, 则存在唯一的$c^*>0$和$\lambda^*>0$使得$\Delta(\lambda^*, c^*)=0$和$\frac{\partial \Delta(\lambda^*, c^*)}{\partial\lambda}=0$. 进一步

(1) 对每个$c>c^*$, 存在两个正常数$\lambda_{1(c)}<\lambda_{2(c)}$使得$\Delta(\lambda_{i(c)}, c)=0\ (i=1, 2)$以及

(2) 对每个$0<c<c^*$, $\Delta(\lambda, c)>0$, $\forall\lambda>0$.

为了证明本文的主要结果, 记${\Bbb X}:=BCU({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$, 表示从${{\Bbb R}}$到${{\Bbb R}}$的全体有界和一致连续的函数, 其范数为$\|u\|_{{\Bbb X}}=\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }|u(x)|$. 定义${\Bbb Y}={\Bbb X}\times{\Bbb X}\times{\Bbb X}$, 其范数为

令${\Bbb X}_{+}:=\{u\in{\Bbb X}:u(x)\geq0, \forall x\in{{\Bbb R}} \}$和${\Bbb Y}_{+}={\Bbb X}_{+}\times{\Bbb X}_{+}\times{\Bbb X}_{+}$. 定义${\Bbb X}$上的线性算子

由假设条件(A1)知, ${\cal A}_1$和${\cal A}_2$是有界的线性算子. 由文献[3, 定理1.2]知, 它们分别是一致连续半群$\{T_1(t)\}_{t\geq0}$和$\{T_2(t)\}_{t\geq0}$的无穷小生成元. 根据文献[4–5]知, $\{T_1(t)\}_{t\geq0}$和$\{T_2(t)\}_{t\geq0}$是正半群.

定理2.1  假设初值$(S(\cdot, 0), I(\cdot, 0), R(\cdot, 0))=(S_0, I_0, R_0)\in{\Bbb Y}_{+}$且满足$S_0+I_0\leq\hat{S}$和$R_0\leq\frac{\gamma\hat{S}}{\mu}$. 则系统(1.1)存在唯一的解$(S(\cdot, t), I(\cdot, t), R(\cdot, t))\in{\Bbb Y}_{+}$, $\forall t\geq0$.

证   由上述讨论知, 系统(1.1)可以改写为

其中

类似于文献[6, 引理3.1]的证明知, $F$在${\Bbb Y}$上是Fréchet连续可微的. 根据文献[7, 推论4.6]知, 存在$t_{\max}>0$使得对所有的$t\in[0, t_{\max})$系统(1.1)有唯一的解$(S(\cdot, t), I(\cdot, t), R(\cdot, t))$且$t_{\max}=+\infty$或$\limsup\limits_{t\rightarrow t_{\max}^{-}}\|(S(\cdot, t), I(\cdot, t), R(\cdot, t))\|_{{\Bbb Y}}=+\infty$.

下面证明$S(x, t)>0$, $\forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max})$. 假定存在$t_0>0$使得对所有的$0<t<t_0$有$S(\cdot, t)>0$和$S(\cdot, t_0)=0$. 由系统(1.1)的解的连续性知, $\frac{\partial S(\cdot, t)}{\partial t}\big|_{t=t_0}\leq0$. 而由系统(1.1)的第一个方程可得

产生矛盾. 故$S(x, t)>0$, $\forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max})$.

由系统(1.1)的第二个方程和常数变易公式知, $\forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max})$有

由于$I_0\in{\Bbb X}_{+}$和$J(x)\geq0$$(\forall x\in{{\Bbb R}} )$, 故$I(x, t)\geq0$, $\forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max})$. 同理可证, $R(x, t)\geq0$, $\forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max})$.

令${\cal N}(x, t)=S(x, t)+I(x, t)$. 将系统(1.1)的前两个方程相加得

利用$S(x, 0)+I(x, 0)\leq\hat{S}$和比较原理得

进一步, 由系统(1.1)的第三个方程和(2.1)式知

根据$R(x, 0)\leq\frac{\gamma\hat{S}}{\mu}$和比较原理知

这意味着$t_{\max}=+\infty$. 证毕.

下面给出本文的主要结论.

定理3.1  当${\cal R}_0 > 1$, $c=c^*$时, 系统(1.1)存在满足(1.3)式的行波解.

证   令$\{c_n\}\in(c^*, c^*+1)$是一族满足$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=c^*$的单调递减序列. 由定理1.1(1)知, 对于每一个$c_n$, 系统(1.1)存在满足(1.3)式的行波解$(S_n(\cdot), I_n(\cdot), R_n(\cdot))$. 不失一般性, 对于充分小的$0<\kappa<I^*$, 有$I_n(0)=\kappa$, $I_n(\xi)\leq\kappa$, $\forall\xi<0$. 对于$0<\kappa<R^*$, 有$R_n(0)=\kappa$, $R_n(\xi)\leq\kappa$, $\forall\xi<0$.

由$c_n>c^*$和文献[1, 定理2]的证明知, $(S_n, I_n, R_n)$和$(S'_n, I'_n, R'_n)$是一致有界并且等度连续的. 利用Arzela-Ascoli定理和对角化分析得, 存在一族$(S_n, I_n, R_n)$的子序列, 仍记为$(S_n, I_n, R_n)$, 使得$(S_n, I_n, R_n)$和$(S'_n, I'_n, R'_n)$在每个有界的区间上分别收敛于$(S, I, R)$和$(S', I', R')$. 由Lebesgue控制收敛定理可得

故$(S, I, R)$满足系统(1.2). 由文献[1, 定理4和5]的证明知

进一步, 当$\xi<0$时有

令

由(2.1)式知, $0\le S(\xi)\leq \hat{S}$, $\forall \xi\in{{\Bbb R}}$.

下面证明$S(-\infty)$存在. 利用反证法, 假设

因此, 存在一个序列$\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}$满足$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\xi_n=-\infty$使得$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S(\xi_n)={\rho}\hat{S}.$由于$S(\xi)$是连续的, 故存在一个充分大的整数$N>0$和一个充分小的数$\varepsilon>0$使得当$n>N$和$\xi\in[\xi_n-\varepsilon, \xi_n+\varepsilon]$时有

固定$n=N+1$. 由定理1.1知, $S_m(-\infty)=\hat{S}$和$S_m(\xi)\leq\hat{S}$, $\forall\xi\in{{\Bbb R}}$. 由序列$\{S_m(\xi)\}$在区间$[\xi_n-\varepsilon, \xi_n+\varepsilon]$上一致收敛于$S(\xi)$以及$S_m(\xi)$的连续性知, 存在$M>N$使得当$m>M$时有

根据(3.2)和(3.3)式知

这与$\lim\limits_{m\rightarrow \infty}S_m(\xi)=S(\xi)$产生矛盾. 故(3.1)式不成立, 即$S(-\infty)=\hat{S}$.

下面证明$I(-\infty)=0$和$R(-\infty)=0$. 事实上, 假设$\underline{I}<\overline{I}$, 故存在满足$x_n, y_n\rightarrow +\infty\ (n\rightarrow +\infty)$的序列, 使得$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}I(x_n)=\underline{I}$, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}I(y_n)=\overline{I}$. 由$\overline{S}=\underline{S}=S(-\infty)$和文献[8, 引理2.3]知, $S'(-\infty)=0$. 同时, 对任意的序列$\{\xi_n\}$, $\xi_n\rightarrow -\infty$$(n\rightarrow +\infty)$, 由Fatou引理知

故$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}[J*S(\xi_n)-S(\xi_n)]=0.$在系统(1.2)的第一个方程中分别取$\xi=x_n$和$\xi=y_n$$(n\rightarrow +\infty)$得

可得$\overline{I}=\underline{I}$, 故$I(-\infty)$存在. 同理可证$R(-\infty)$存在. 进一步, 由系统(1.2)可得

由于$\kappa<I^*$和$\kappa<R^*$, 故有

证毕.

定理3.2  当${\cal R}_0<1$时, 系统(1.1)不存在满足(1.3)式的行波解.

证   假设系统(1.1)存在满足(1.3)式的非负有界的行波解$(S, I, R)(\xi)$. 由定理2.1知, $0\leq S(\xi)\leq\hat{S}$, $I(\xi)\geq0$和$R(\xi)\geq0$, $\forall\xi\in{{\Bbb R}}$. 下面证明

假设(3.4)式不成立, 故存在$\tilde{\xi}_1$, $\tilde{\xi}_2$, $\tilde{\xi}_3\in{{\Bbb R}}$使得$S(\tilde{\xi}_1)=S'(\tilde{\xi}_1)=0$, $I(\tilde{\xi}_2)=I'(\tilde{\xi}_2)=0$和$R(\tilde{\xi}_3)=R'(\tilde{\xi}_3)=0$. 由系统(1.2)可得

这分别与$\Lambda>0$, $(J*I)(\tilde{\xi}_2)>0$和$(J*R)(\tilde{\xi}_3)>0$产生矛盾. 故(3.4)式成立.

由系统(1.2)的第二个方程可知

令$U(x, t):=I(\xi)$, 则$U(x, t)$满足

考虑初值问题

其中${\cal U}_{0}:=\sup\limits_{\xi\in{{\Bbb R}} }I(\xi)$. 由方程(3.5)和比较原理(参见文献[9, 定理4.3]和文献[10, 引理3.2])知, 对所有的$t>0$有

由(3.6)式和$I(\xi)$的平移不变性知, $I(\xi)=0$, $\forall\xi\in{{\Bbb R}}$. 这与(3.4)式产生矛盾. 证毕.

当${\cal R}_0>1$, $c=c^*$时, 本文利用极限的性质、Lebesgue控制收敛定理和Fatou引理的方法证明了系统(1.2)的临界行波解的存在性. 当${\cal R}_0<1$时, 利用比较原理的方法讨论了系统(1.2)的行波解的不存在性. 注意到本文只是在扩散速率$d_1=d_2$的假设条件下, 回答了文献[1]中的遗留问题. 因此, 当扩散速率$d_1\neq d_2$时, 系统(1.2)的临界行波解是否存在是一个值得进一步去研究的问题.