最近, 文献[1]讨论了如下一类非局部扩散的SIR模型

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial S(x, t)}{\partial t}=d_1(J*S-S)(x, t)+\Lambda-\beta f(S(x, t), I(x, t))-\mu S(x, t), \\ \frac{\partial I(x, t)}{\partial t}=d_2(J*I-I)(x, t)+\beta f(S(x, t), I(x, t))-(\mu+\gamma+\alpha)I(x, t), \\ \frac{\partial R(x, t)}{\partial t}=d_3(J*R-R)(x, t)+\gamma I(x, t)-\mu R(x, t), \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ x\in{{\Bbb R}} , t>0 $. $ S(x, t) $, $ I(x, t) $和$ R(x, t) $分别表示易感者, 已感染者和康复者在位置$ x $和时刻$ t $处的密度. $ d_i>0\ (i=1, 2, 3) $表示各类个体的空间扩散率. $ \Lambda>0 $表示易感个体的更新率. $ \beta>0 $表示易感和感染个体之间的传播率. $ \mu>0 $表示自然死亡率. $ \alpha>0 $表示因病死亡率. $ \gamma>0 $表示恢复率. $ (J*{\cal Z}-{\cal Z})(x, t)=\int_{{{\Bbb R}} }J(x-y){\cal Z}(y, t){\rm d}y-{\cal Z}(x, t) $, 其中$ {\cal Z}=S, I, R $. 核函数$ J $和发生率函数$ f $满足如下的条件

(A1) $ J(x) $在$ {{\Bbb R}} $上是局部Lipschitz连续的, $ J(x)=J(-x)\geq0 $, $ J(0)>0 $, $ \int_{{{\Bbb R}} }J(x){\rm d}x=1 $, 且$ J(x) $在$ {{\Bbb R}} $中具有紧支集.

(A2) $ S, I\geq0 $时, $ f(S, I) $关于$ S $和$ I $是二次连续可微的严格单调递增函数. $ I>0 $时, $ \frac{f(S, I)}{I} $是单调递减函数. $ S, I>0 $时, $ f(S, 0)=f(0, I)=0 $.

由文献[1]知, 系统(1.1)始终有一个无病平衡点$ (\hat{S}, 0, 0) $, 其中$ \hat{S}=\frac{\Lambda}{\mu} $. 而系统(1.1)的基本再生数为

$ {\cal R}_0=\frac{\beta f_I(\hat{S}, 0)}{\mu+\gamma+\alpha}. $

当$ {\cal R}_0>1 $时, 系统(1.1)有唯一的正平衡点$ (S^*, I^*, R^*) $. 进一步假设

(A3) 对任意的$ S, I>0 $, $ \frac{f(S, I)S^*}{f(S^*, I^*)S}\in\left[\min\{1, H_1\}, \max\{1, H_2\}\right] $, 其中

$ H_1= \min\left\{\frac{I}{I^*}, \frac{f(S, I)I^*}{f(S^*, I^*)I}, \frac{S^*}{S}\right\}, H_2= \max\left\{\frac{I}{I^*}, \frac{f(S, I)I^*}{f(S^*, I^*)I}, \frac{S^*}{S}\right\}. $

作变换$ \xi=x+ct $, 故系统(1.1)对应的行波方程为:

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} cS'(\xi) =d_1(J*S-S)(\xi)+\Lambda-\beta f(S(\xi), I(\xi))-\mu S(\xi), \\ cI'(\xi) =d_2(J*I-I)(\xi)+\beta f(S(\xi), I(\xi))-(\mu+\gamma+\alpha)I(\xi), \\ cR'(\xi) =d_3(J*R-R)(\xi)+\gamma I(\xi)-\mu R(\xi). \end{array} \right. \end{equation} $

利用上下解、Schauder不动点定理、Lyapunov泛函和比较原理的技术, 文献[1]证明了系统(1.1)的行波解的存在性和不存在性. 为了讨论的完整性, 回顾文献[1]的结果如下.

定理1.1^{[1, 定理3, 5和6]}  假设$ \rm (A1)–(A3) $和$ {\cal R}_0>1 $成立. 则存在一个临界波速$ c^*>0 $满足下面的条件.

(1) 若$ c>c^* $, 则系统(1.2)存在一个非负的行波解$ (S(\xi), I(\xi), R(\xi)) $满足

(1.3) $ \begin{equation} \lim \limits_{\xi \rightarrow -\infty}(S, I, R)(\xi)=(\hat{S}, 0, 0)\ \mbox{和} \lim \limits_{\xi \rightarrow +\infty}(S, I, R)(\xi)=(S^{*}, I^{*}, R^{*}). \end{equation} $

进一步, $ 0<S(\xi)<\hat{S}, I(\xi)>0, R(\xi)>0, \forall\xi\in{{\Bbb R}} . $

(2) 若$ 0<c<c^* $, 则系统(1.2)不存在满足(1.3)式的行波解.

注意到, 文献[1]中并未讨论$ {\cal R}_0>1 $, $ c=c^* $时系统(1.2)的临界行波解的存在性以及$ {\cal R}_0<1 $时行波解的不存在性.

受文献[2]的启发, 本文将在扩散速率$ d_1=d_2=d $的假设条件下, 讨论文献[1]中的遗留问题. 论文结构安排如下: 第二节给出必要的预备知识. 第三节, 当$ {\cal R}_0>1 $, $ c=c^* $时, 讨论系统(1.2)的临界行波解的存在性. 当$ {\cal R}_0<1 $时, 研究系统(1.2)的行波解的不存在性. 最后, 做了一个简单的总结.

由文献[1]知, 系统(1.2)在无病平衡点$ (\hat{S}, 0, 0) $处线性化后的特征方程为

$ \Delta(\lambda, c)=d_2\int_{{{\Bbb R}} }J(y)(e^{-\lambda y}-1){\rm d}y-c\lambda+\beta f_{I}(\hat{S}, 0)-(\mu+\gamma+\alpha)=0. $

引理2.1^{[1, 引理2]}  若$ {\cal R}_0>1 $, 则存在唯一的$ c^*>0 $和$ \lambda^*>0 $使得$ \Delta(\lambda^*, c^*)=0 $和$ \frac{\partial \Delta(\lambda^*, c^*)}{\partial\lambda}=0 $. 进一步

(1) 对每个$ c>c^* $, 存在两个正常数$ \lambda_{1(c)}<\lambda_{2(c)} $使得$ \Delta(\lambda_{i(c)}, c)=0\ (i=1, 2) $以及

$ \Delta(\lambda, c)\left\{\begin{array}{ll} >0, &\forall\lambda\in(0, \lambda_{1(c)})\cup(\lambda_{2(c)}, +\infty), \\ <0, &\forall\lambda\in(\lambda_{1(c)}, \lambda_{2(c)}). \end{array} \right. $

(2) 对每个$ 0<c<c^* $, $ \Delta(\lambda, c)>0 $, $ \forall\lambda>0 $.

为了证明本文的主要结果, 记$ {\Bbb X}:=BCU({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $, 表示从$ {{\Bbb R}} $到$ {{\Bbb R}} $的全体有界和一致连续的函数, 其范数为$ \|u\|_{{\Bbb X}}=\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }|u(x)| $. 定义$ {\Bbb Y}={\Bbb X}\times{\Bbb X}\times{\Bbb X} $, 其范数为

$ \|(u, v, \omega)\|_{{\Bbb Y}}=\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\sqrt{|u(x)|^{2}+|v(x)|^{2}+|\omega(x)|^{2}}, \forall(u, v, \omega)\in{\Bbb Y}. $

令$ {\Bbb X}_{+}:=\{u\in{\Bbb X}:u(x)\geq0, \forall x\in{{\Bbb R}} \} $和$ {\Bbb Y}_{+}={\Bbb X}_{+}\times{\Bbb X}_{+}\times{\Bbb X}_{+} $. 定义$ {\Bbb X} $上的线性算子

$ [{\cal A}_1z](x)=\int_{{{\Bbb R}} }J(x-y)z(y){\rm d}y-z(x)-\mu z(x), z\in{\Bbb X}, $

$ [{\cal A}_2z](x)=\int_{{{\Bbb R}} }J(x-y)z(y){\rm d}y-z(x)-(\mu+\gamma+\alpha)z(x), z\in{\Bbb X}. $

由假设条件(A1)知, $ {\cal A}_1 $和$ {\cal A}_2 $是有界的线性算子. 由文献[3, 定理1.2]知, 它们分别是一致连续半群$ \{T_1(t)\}_{t\geq0} $和$ \{T_2(t)\}_{t\geq0} $的无穷小生成元. 根据文献[4–5]知, $ \{T_1(t)\}_{t\geq0} $和$ \{T_2(t)\}_{t\geq0} $是正半群.

定理2.1  假设初值$ (S(\cdot, 0), I(\cdot, 0), R(\cdot, 0))=(S_0, I_0, R_0)\in{\Bbb Y}_{+} $且满足$ S_0+I_0\leq\hat{S} $和$ R_0\leq\frac{\gamma\hat{S}}{\mu} $. 则系统(1.1)存在唯一的解$ (S(\cdot, t), I(\cdot, t), R(\cdot, t))\in{\Bbb Y}_{+} $, $ \forall t\geq0 $.

证   由上述讨论知, 系统(1.1)可以改写为

$ W(x, t)=[T(t)W(\cdot, 0)](x)+\int_{0}^{t}[T(t-s)F(W(\cdot, s)](x){\rm d}s, x\in{{\Bbb R}} , t\geq0, $

其中

$ W(x, t):=\left( \begin{array}{c} S(x, t) \\ I(x, t) \\ R(x, t) \\ \end{array} \right), T(t):=\left( \begin{array}{ccc} T_1(t) & 0 & 0 \\ 0 & T_2(t) & 0 \\ 0 & 0 & T_2(t) \\ \end{array} \right) , $

$ F(W(x, t)):=\left( \begin{array}{c} \Lambda-\beta f(S(x, t), I(x, t)) \\ \beta f(S(x, t), I(x, t)) \\ \gamma I(x, t) \\ \end{array} \right). $

类似于文献[6, 引理3.1]的证明知, $ F $在$ {\Bbb Y} $上是Fréchet连续可微的. 根据文献[7, 推论4.6]知, 存在$ t_{\max}>0 $使得对所有的$ t\in[0, t_{\max}) $系统(1.1)有唯一的解$ (S(\cdot, t), I(\cdot, t), R(\cdot, t)) $且$ t_{\max}=+\infty $或$ \limsup\limits_{t\rightarrow t_{\max}^{-}}\|(S(\cdot, t), I(\cdot, t), R(\cdot, t))\|_{{\Bbb Y}}=+\infty $.

下面证明$ S(x, t)>0 $, $ \forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max}) $. 假定存在$ t_0>0 $使得对所有的$ 0<t<t_0 $有$ S(\cdot, t)>0 $和$ S(\cdot, t_0)=0 $. 由系统(1.1)的解的连续性知, $ \frac{\partial S(\cdot, t)}{\partial t}\big|_{t=t_0}\leq0 $. 而由系统(1.1)的第一个方程可得

$ \frac{\partial S(\cdot, t)}{\partial t}\bigg|_{t=t_0}=\Lambda>0, $

产生矛盾. 故$ S(x, t)>0 $, $ \forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max}) $.

由系统(1.1)的第二个方程和常数变易公式知, $ \forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max}) $有

$ \begin{eqnarray*} I(x, t)&=&I_0(x)e^{-\int_{0}^{t}(d+\mu+\gamma+\alpha){\rm d}\tau} \nonumber\\ & &+\int_{0}^{t}e^{-\int_{s}^{t}(d+\mu+\gamma+\alpha){\rm d}\tau}\left[\int_{{{\Bbb R}} }J(x-y)I(y, s){\rm d}s+\beta f(S(x, s), I(x, s))\right]{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

由于$ I_0\in{\Bbb X}_{+} $和$ J(x)\geq0 $$ (\forall x\in{{\Bbb R}} ) $, 故$ I(x, t)\geq0 $, $ \forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max}) $. 同理可证, $ R(x, t)\geq0 $, $ \forall (x, t)\in{{\Bbb R}} \times[0, t_{\max}) $.

令$ {\cal N}(x, t)=S(x, t)+I(x, t) $. 将系统(1.1)的前两个方程相加得

$ \frac{\partial {\cal N}(x, t)}{\partial t}\leq d(J*{\cal N}-{\cal N})(x, t)+\Lambda-\mu {\cal N}(x, t), \forall x\in{{\Bbb R}} , t>0. $

利用$ S(x, 0)+I(x, 0)\leq\hat{S} $和比较原理得

(2.1) $ \begin{equation} {\cal N}(x, t)=S(x, t)+I(x, t)\leq\hat{S}, \forall x\in{{\Bbb R}} , t>0. \end{equation} $

进一步, 由系统(1.1)的第三个方程和(2.1)式知

$ \frac{\partial R(x, t)}{\partial t}\leq d_3(J*R-R)(x, t)+\gamma\hat{S}-\mu R(x, t), \forall x\in{{\Bbb R}} , t>0. $

根据$ R(x, 0)\leq\frac{\gamma\hat{S}}{\mu} $和比较原理知

$ R(x, t)\leq \frac{\gamma\hat{S}}{\mu}, \forall x\in{{\Bbb R}} , t>0. $

这意味着$ t_{\max}=+\infty $. 证毕.

下面给出本文的主要结论.

定理3.1  当$ {\cal R}_0 > 1 $, $ c=c^* $时, 系统(1.1)存在满足(1.3)式的行波解.

证   令$ \{c_n\}\in(c^*, c^*+1) $是一族满足$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=c^* $的单调递减序列. 由定理1.1(1)知, 对于每一个$ c_n $, 系统(1.1)存在满足(1.3)式的行波解$ (S_n(\cdot), I_n(\cdot), R_n(\cdot)) $. 不失一般性, 对于充分小的$ 0<\kappa<I^* $, 有$ I_n(0)=\kappa $, $ I_n(\xi)\leq\kappa $, $ \forall\xi<0 $. 对于$ 0<\kappa<R^* $, 有$ R_n(0)=\kappa $, $ R_n(\xi)\leq\kappa $, $ \forall\xi<0 $.

由$ c_n>c^* $和文献[1, 定理2]的证明知, $ (S_n, I_n, R_n) $和$ (S'_n, I'_n, R'_n) $是一致有界并且等度连续的. 利用Arzela-Ascoli定理和对角化分析得, 存在一族$ (S_n, I_n, R_n) $的子序列, 仍记为$ (S_n, I_n, R_n) $, 使得$ (S_n, I_n, R_n) $和$ (S'_n, I'_n, R'_n) $在每个有界的区间上分别收敛于$ (S, I, R) $和$ (S', I', R') $. 由Lebesgue控制收敛定理可得

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}J*S_n=J*S, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}J*I_n=J*I, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}J*R_n=J*R. $

故$ (S, I, R) $满足系统(1.2). 由文献[1, 定理4和5]的证明知

$ \lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}S(\xi)=S^*, \lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}I(\xi)=I^*, \lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}R(\xi)=R^*. $

进一步, 当$ \xi<0 $时有

$ I(0)=\kappa, I(\xi)\leq\kappa, R(0)=\kappa, R(\xi)\leq\kappa. $

令

$ \overline{S}:=\limsup\limits_{\xi\rightarrow -\infty}S(\xi), \underline{S}:=\liminf\limits_{\xi\rightarrow -\infty}S(\xi), $

$ \overline{I}:=\limsup\limits_{\xi\rightarrow -\infty}I(\xi), \underline{I}:=\liminf\limits_{\xi\rightarrow -\infty}I(\xi), $

$ \overline{R}:=\limsup\limits_{\xi\rightarrow -\infty}R(\xi), \underline{R}:=\liminf\limits_{\xi\rightarrow -\infty}R(\xi). $

由(2.1)式知, $ 0\le S(\xi)\leq \hat{S} $, $ \forall \xi\in{{\Bbb R}} $.

下面证明$ S(-\infty) $存在. 利用反证法, 假设

(3.1) $ \begin{equation} 0\le\liminf\limits_{\xi\rightarrow -\infty}S(\xi)<\limsup\limits_{\xi\rightarrow -\infty}S(\xi)\le\hat{S} \ \mbox{和}\ \liminf\limits_{\xi\rightarrow -\infty}S(\xi)={\rho}\hat{S}, \mbox{其中}\ 0<\rho<1. \end{equation} $

因此, 存在一个序列$ \{\xi_n\}_{n=1}^{\infty} $满足$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\xi_n=-\infty $使得$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}S(\xi_n)={\rho}\hat{S}. $由于$ S(\xi) $是连续的, 故存在一个充分大的整数$ N>0 $和一个充分小的数$ \varepsilon>0 $使得当$ n>N $和$ \xi\in[\xi_n-\varepsilon, \xi_n+\varepsilon] $时有

(3.2) $ \begin{equation} \hat{S}\Big(\rho-\frac{1-\rho}{4}\Big)\leq S(\xi)\leq\hat{S}\Big(\rho+\frac{1-\rho}{4}\Big). \end{equation} $

固定$ n=N+1 $. 由定理1.1知, $ S_m(-\infty)=\hat{S} $和$ S_m(\xi)\leq\hat{S} $, $ \forall\xi\in{{\Bbb R}} $. 由序列$ \{S_m(\xi)\} $在区间$ [\xi_n-\varepsilon, \xi_n+\varepsilon] $上一致收敛于$ S(\xi) $以及$ S_m(\xi) $的连续性知, 存在$ M>N $使得当$ m>M $时有

(3.3) $ \begin{equation} S_m(\xi)\geq\hat{S}\Big(\rho+\frac{1-\rho}{2}\Big), \forall \xi\in[\xi_n-\varepsilon, \xi_n+\varepsilon]. \end{equation} $

根据(3.2)和(3.3)式知

$ \begin{eqnarray*} \label{kk} S_m(\xi)-S(\xi)\geq\frac{(1-\rho)}{4}\hat{S}>0, \forall \xi\in[\xi_n-\varepsilon, \xi_n+\varepsilon]. \end{eqnarray*} $

这与$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}S_m(\xi)=S(\xi) $产生矛盾. 故(3.1)式不成立, 即$ S(-\infty)=\hat{S} $.

下面证明$ I(-\infty)=0 $和$ R(-\infty)=0 $. 事实上, 假设$ \underline{I}<\overline{I} $, 故存在满足$ x_n, y_n\rightarrow +\infty\ (n\rightarrow +\infty) $的序列, 使得$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}I(x_n)=\underline{I} $, $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}I(y_n)=\overline{I} $. 由$ \overline{S}=\underline{S}=S(-\infty) $和文献[8, 引理2.3]知, $ S'(-\infty)=0 $. 同时, 对任意的序列$ \{\xi_n\} $, $ \xi_n\rightarrow -\infty $$ (n\rightarrow +\infty) $, 由Fatou引理知

$ S(-\infty)\leq\liminf\limits_{n\rightarrow +\infty}J*S(\xi_n)\leq\limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}J*S(\xi_n)\leq S(-\infty). $

故$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}[J*S(\xi_n)-S(\xi_n)]=0. $在系统(1.2)的第一个方程中分别取$ \xi=x_n $和$ \xi=y_n $$ (n\rightarrow +\infty) $得

$ \left\{ \begin{array}{ll} \Lambda-\beta f(S(-\infty), \overline{I})-\mu S(-\infty)=0, \\ \Lambda-\beta f(S(-\infty), \underline{I})-\mu S(-\infty)=0. \end{array} \right. $

可得$ \overline{I}=\underline{I} $, 故$ I(-\infty) $存在. 同理可证$ R(-\infty) $存在. 进一步, 由系统(1.2)可得

$ \left\{ \begin{array}{ll} \Lambda-\beta f(S(-\infty), I(-\infty))-\mu S(-\infty)=0, \\ \beta f(S(-\infty), I(-\infty))-(\mu+\gamma+\alpha)I(-\infty)=0, \\ \gamma I(-\infty)-\mu R(-\infty)=0. \end{array} \right. $

由于$ \kappa<I^* $和$ \kappa<R^* $, 故有

$ \lim\limits_{n\rightarrow -\infty}S(\xi)=\hat{S}, \lim\limits_{n\rightarrow -\infty}I(\xi)=0, \lim\limits_{n\rightarrow -\infty}R(\xi)=0. $

证毕.

定理3.2  当$ {\cal R}_0<1 $时, 系统(1.1)不存在满足(1.3)式的行波解.

证   假设系统(1.1)存在满足(1.3)式的非负有界的行波解$ (S, I, R)(\xi) $. 由定理2.1知, $ 0\leq S(\xi)\leq\hat{S} $, $ I(\xi)\geq0 $和$ R(\xi)\geq0 $, $ \forall\xi\in{{\Bbb R}} $. 下面证明

(3.4) $ \begin{equation} S(\xi)>0, I(\xi)>0, R(\xi)>0, \forall \xi\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

假设(3.4)式不成立, 故存在$ \tilde{\xi}_1 $, $ \tilde{\xi}_2 $, $ \tilde{\xi}_3\in{{\Bbb R}} $使得$ S(\tilde{\xi}_1)=S'(\tilde{\xi}_1)=0 $, $ I(\tilde{\xi}_2)=I'(\tilde{\xi}_2)=0 $和$ R(\tilde{\xi}_3)=R'(\tilde{\xi}_3)=0 $. 由系统(1.2)可得

$ \begin{eqnarray*} &d(J*S)(\tilde{\xi}_1)+\Lambda=0, d(J*I)(\tilde{\xi}_2)+\beta f(S(\tilde{\xi}_2), I(\tilde{\xi}_2))=0, d_3(J*R)(\tilde{\xi}_3)+\gamma I(\tilde{\xi}_3)=0. \end{eqnarray*} $

这分别与$ \Lambda>0 $, $ (J*I)(\tilde{\xi}_2)>0 $和$ (J*R)(\tilde{\xi}_3)>0 $产生矛盾. 故(3.4)式成立.

由系统(1.2)的第二个方程可知

$ \begin{eqnarray*} \begin{array}{l} cI'(\xi)\leq d(J*I-I)(\xi)+(\mu+\gamma+\alpha)({\cal R}_0-1)I(\xi). \end{array} \end{eqnarray*} $

令$ U(x, t):=I(\xi) $, 则$ U(x, t) $满足

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial U(x, t)}{\partial t}\leq d(J*U-U)(x, t)+(\mu+\gamma+\alpha)({\cal R}_0-1)U(x, t), x\in{{\Bbb R}} , t>0, \\ U(x, 0)=I(x)>0, x\in{{\Bbb R}} . \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

考虑初值问题

(3.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\rm d}{\cal U}}{{\rm d}t}=(\mu+\gamma+\alpha)({\cal R}_0-1){\cal U}(t), t>0, \\ {\cal U}(0)=2{\cal U}_{0}>0, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ {\cal U}_{0}:=\sup\limits_{\xi\in{{\Bbb R}} }I(\xi) $. 由方程(3.5)和比较原理(参见文献[9, 定理4.3]和文献[10, 引理3.2])知, 对所有的$ t>0 $有

(3.6) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} U(x, t)\leq{\cal U}(t)=2{\cal U}_{0}e^{(\mu+\gamma+\alpha)({\cal R}_0-1)t}. \end{array} \end{equation} $

由(3.6)式和$ I(\xi) $的平移不变性知, $ I(\xi)=0 $, $ \forall\xi\in{{\Bbb R}} $. 这与(3.4)式产生矛盾. 证毕.

当$ {\cal R}_0>1 $, $ c=c^* $时, 本文利用极限的性质、Lebesgue控制收敛定理和Fatou引理的方法证明了系统(1.2)的临界行波解的存在性. 当$ {\cal R}_0<1 $时, 利用比较原理的方法讨论了系统(1.2)的行波解的不存在性. 注意到本文只是在扩散速率$ d_1=d_2 $的假设条件下, 回答了文献[1]中的遗留问题. 因此, 当扩散速率$ d_1\neq d_2 $时, 系统(1.2)的临界行波解是否存在是一个值得进一步去研究的问题.