本文研究下列非线性电报方程

(1.1) $ \begin{equation} u_{tt}-u_{xx}+cu_{t}+a(t, x)u=b(t, x)f(t, x, u) \end{equation} $

在满足如下双周期边界条件下

(1.2) $ \begin{equation} u(t+2\pi, x)=u(t, x+2\pi)=u(t, x), \ \forall (t, x)\in{\Bbb R}^{2} \end{equation} $

正双周期解的存在性、唯一性和多重性. 其中$ c > 0 $是一个常数, $ a, b\in C({\Bbb R}^{2}, {\Bbb R}^{+}) $, $ f \in C({\Bbb R}^{2}\times {\Bbb R}^{+}, {\Bbb R}^{+}) $, 它们关于$ t $和$ x $是$ 2\pi $周期的. 非线性电报方程问题应用在麦克斯韦体理论下的粘弹性流体运动、电磁波在导电介质中的传播、导热介质中的阻尼波动方程以及具有外部阻尼的弦或膜的运动中等^{[1, 2]}.

许多作者运用不同的方法研究电报方程周期解的存在性、唯一性和多重性. 比如：Hilbert投影距离法和特征值理论^[3]; 锥上的不动点定理^[4-6]; 极大值原理和上下解方法^[7-11], 以及积分方程法^[12].

令$ {\Bbb Z}, {\Bbb R} $和$ {\Bbb R}^+ $分别表示所有整数、实数和非负实数的集合,

$ {\Bbb T}^2=({\Bbb R}/2\pi{\Bbb Z})\times({\Bbb R}/2\pi{\Bbb Z}) $

表示环面.

令

$ L^p({\Bbb T}^2), \ C({\Bbb T}^2), \ C^{\alpha}({\Bbb T}^2), \ {\cal D}({\Bbb T}^2)=C^{\infty}({\Bbb T}^2), \ldots $

分别表示具有确定正则度的双周期函数空间. $ {\cal D}'({\Bbb T}^2) $表示定义在$ {\Bbb T}^2 $上的广义函数空间.

电报方程(1.1)和(1.2)的双周期解是指$ u\in L^1({\Bbb T}^2) $在广义的意义下满足方程(1.1)和(1.2), 即

$ \int_{{\Bbb T}^2}u(\phi_{tt}-\phi_{xx}+c\phi_t+a(t, x)\phi){\rm d}t{\rm d}x=\int_{{\Bbb T}^2}b(t, x)f(t, x, u(t, x)){\rm d}t{\rm d}x, \ \forall \phi\in {\cal D}({\Bbb T}^2). $

在$ {\Bbb T}^{2} $上, 如果$ u(t, x)\geq0 $, 并且满足$ u(t, x)\not\equiv 0 $, 那么称方程(1.1)和(1.2) 的一个解$ u\in L^{1}({\Bbb T}^{2}) $为正解.

首先给出$ a, \ b $和$ f $满足的条件

(H$ _{1}) $$ a\in C({\Bbb T}^2), \ 0\leq a(t, x)\leq\frac{c^2}{4} $, $ \forall (t, x)\in {\Bbb R}^2 $, 且$ \int_{{\Bbb T}^2}a(t, x){\rm d}t{\rm d}x>0; $

(H$ _{2}) $$ b\in C({\Bbb T}^2), \ b(t, x)\geq0 $, $ \forall (t, x)\in {\Bbb R}^2 $, 且$ \int_{{\Bbb T}^2}b(t, x){\rm d}t{\rm d}x>0; $

(H$ _{3}) $$ f\in C({\Bbb T}^{2}\times {\Bbb R}^{+}, {\Bbb R}^{+}). $

在文献[4]中, Li运用锥上紧映射的Krasnoselskii's不动点定理获得了方程(1.1)和(1.2)正双周期解的存在性结果. 作者引进以下符号

$ f_{\beta}=\lim\limits_{u\to 0^+}\inf\min\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}} \frac{f(t, x, u)}{u^{\alpha}}, \ f^{\beta}=\lim\limits_{u\to +\infty}\sup\max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}} \frac{f(t, x, u)}{u^{\alpha^{*}}}, $

其中$ \beta $表示$ 0 $或$ \infty $和$ \alpha, \ \alpha^*\in(0, +\infty) $. 当$ \alpha=\alpha^*=1 $时, 文献[4]证明了以下定理.

定理1.1  假设条件(H$ _{1}) $–(H$ _{3}) $成立. 此外, 如果满足下面两个条件之一

(C$ _{1}) $$ f^0=0, \ f_\infty=\infty $,

(C$ _{2}) $$ f_0=\infty, \ f^\infty=0, $

那么电报方程(1.1)和(1.2)至少有一个正双周期解.

很自然地, 我们想到如下两个问题

Q1.   当$ 0<\alpha<1, \ 0<\alpha^*<1 $时, 能否得出类似结论？

Q2.   当$ \alpha>1, \ \alpha^*>1 $时, 能否得出类似结论？

本文将使用与文献[4]中完全不同的方法解答问题Q1和Q2.

对于$ \alpha=\alpha^*=1 $的情况, 我们将运用紧算子的不动点指数理论讨论方程(1.1)和(1.2)至少存在两个正双周期解, 推广定理1.1的结果.

此外, 各种偏微分方程解的渐近性被广泛的研究^[16-21].最近, 文献[3]运用特征值理论研究了以下方程

$ \begin{eqnarray*} u_{tt}-u_{xx}+cu_t+a(t, x)u=\lambda b (t, x)u^{\gamma} \end{eqnarray*} $

和方程(1.2)双周期正解的存在性和渐近性, 其中$ \lambda $是一个正参数.

本文还将证明下列带双周期边界条件的电报方程正双周期解的存在性和渐近性

(1.3) $ \begin{equation} u_{tt}-u_{xx}+cu_t+a(t, x)u=\lambda b (t, x)f(t, x, u) \end{equation} $

其中$ \lambda>0 $是一个参数. 文献[3]研究了方程(1.3)和(1.2)中非线性项$ f(t, x, u)=u^\gamma $的特例, 而我们将考虑一般情况下的非线性项$ f(t, x, u) $.

同时, 我们注意到研究电报方程正双周期解的唯一性也是令人感兴趣的一个课题. 对于某些特殊的非线性项, 我们能得到方程(1.1)和(1.2)正双周期解的唯一性结果. 因此, 我们将考虑以下电报方程

(1.4) $ \begin{equation} u_{tt}-u_{xx}+cu_{t}+a(t, x)u= \sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u^{\alpha_{i}}, \end{equation} $

其中$ i\in \{1, \, 2, \, \cdots, \, n\} $, $ \alpha_{i}>0, $$ u\in ({\Bbb R}^{+}, {\Bbb R}^{+}) $和$ g_{i}\in C({\Bbb R}^{2}, {\Bbb R}^{+}) $关于$ t $和$ x $是$ 2\pi $周期的. 在$ \alpha_{i}>1 $或$ 0<\alpha_{i}<1 $的条件下, 我们将研究方程(1.4)和(1.2)正双周期解的存在性、唯一性和多重性. 确切地说, 在$ \alpha_{i}>1 $的条件下, 我们将运用凸算子和增算子理论证明方程(1.4)和(1.2)至多存在一个正双周期解, 然后还运用锥上的不动点定理讨论方程(1.4)和(1.2)正双周期解的多重性.

论文的其余部分的安排如下: 在第2章中, 我们将给出一些预备知识. 特别地, 我们会给几个关于紧算子的不动点定理和不动点指数定理. 在第3章中, 分析方程(1.1)和(1.2)正双周期解的存在性. 在第4章中, 讨论方程(1.1)和(1.2)的正双周期解的多重性. 在第5章中, 研究方程(1.3)和(1.2)正双周期解的渐近性. 在第6章中, 考虑方程(1.4)和(1.2) 正双周期解的存在性和多重性. 在第7章中, 研究方程(1.4)和(1.2)正双周期解的唯一性。

在本节中, 首先我们将回顾实Banach空间中的半序结构和拓扑度理论, 然后我们会给出后文中需要用到的紧算子的不动点理论. 以下引理和定义可以在文献[22-24]中找到.

定义2.1^[22-24]  设$ X $是$ {\Bbb R} $上的实Banach空间, 如果$ K $是$ E $中某非空闭集, 并且满足下面两个条件

(i) $ l u + Lv \in K $, $ \forall u, v \in K $, $ l \geq 0 $, $ L \geq 0 $;

(ii) $ u, -u \in K \Rightarrow u = 0 $,

则称$ K $是$ E $中的一个锥.

用$ K^{\circ} $表示$ K $的内点集；如果$ K^{\circ} $不是空集, 则称$ K $是一个体锥. 给定$ X $中一个锥$ K $后, 则可在$ X $中的元素间引出半序：$ x\leq y(x, y\in E) $, 如果$ y-x\in K $.

我们接着回顾紧映射的不动点. 设$ E $为实Banach空间, $ K $为$ E $中的标准正锥. 对$ r>0 $, 定义

$ K_{r}=\{u\in K: \|u\|<r \}, \ \ \overline{K}_{r}=\{u\in K: \|u\|\leq r \}, \ \ \partial K_r=\{u\in K: \|u\|= r \}. $

引理2.1^[24]   设$ K_{r} $, $ K_{R} $是$ E $的有界开集, $ \theta \in K_{r} $, $ \overline{K}_{r}\subset K_{R} $, $ A:\overline {K}_{R}\setminus K_{r} \to K $全连续. 如果满足条件

(1) 存在$ \psi_{0}\in K\setminus \{\theta\} $, 使$ u-Au\neq d \psi_{0} $, $ \forall u \in K_{R} $, $ d\ge 0 $; $ Au\neq \mu u $, $ \forall u \in K_{r} $, $ \mu \ge 1 $; 或

(2) 存在$ \psi_{0}\in K\setminus \{\theta\} $, 使$ u-Au\neq d \psi_{0} $, $ \forall u \in K_{r} $, $ d \ge 0 $; $ Au\neq \mu u $, $ \forall u \in K_{R} $, $ \mu \ge 1 $. 那么, $ A $在$ K_{R}\setminus\overline {K}_{r} $中必有不动点.

注2.1  显然, 引理2.1中算子$ A $的不动点不能到达$ {K}_{R} $和$ K_{r} $的边界.

引理2.2^[23]    设$ K_{r} $, $ K_{R} $是$ E $中有界开集, $ \theta \in K_{r} $, $ \overline{K}_{r}\subset K_{R} $, $ A :\overline {K}_{R}\setminus K_{r} \to K $全连续. 如果满足条件

(1) $ Ax\not\geq x $, $ \forall x \in K_{r} $; $ Ax\not\leq x $, $ \forall x \in K_{R} $;

(2) $ Ax\not\geq x $, $ \forall x \in K_{R} $; $ Ax\not\leq x $, $ \forall x \in K_{r} $. 那么, $ A $在$ K_{R}\setminus\overline{K}_{r} $中必具有不动点.

引理2.3^[24]  设$ K_{r_{1}} $, $ K_{r_{2}} $, $ K_{r_{3}} $是$ E $中三个有界开集, $ \theta \in K_{r_{1}} $, $ \overline{K}_{r_{1}}\subset K_{r_{2}} $, $ \overline{K}_{r_{2}}\subset K_{r_{3}}. $设$ A :\overline {K}_{r_{3}}\setminus K_{r_{1}} \to K $全连续. 如果满足条件

$ Ax\not\leq x, \ \forall x \in K_{r_{1}}; $

$ Ax\not\geq x, \ \forall x \in K_{r_{2}}; $

$ Ax \not\leq x, \ \forall x \in K_{r_{3}}. $

那么, $ A $在$ K_{r_{3}}\setminus\overline{K}_{r_{1}} $中至少具有两个不动点$ u^{*} $与$ u^{**} $, 并且

$ u^{*}\in K_{r_{2}}\setminus\overline{K}_{r_{1}}, \ \ u^{**}\in K_{r_{3}}\setminus\overline{K}_{r_{2}}. $

其次, 我们给出几个关于紧映射的不动点指数.

引理2.4^{[22, 23]}  设$ K $是Banach空间$ E $中的有界闭集, $ K_{\rho} $是有界开集且$ K_{\rho} \neq \emptyset. $$ A:\overline{K}_{\rho}\to K $是紧映射. 对任意的$ x \in \partial K_{\rho} $, 有$ x \neq A(x) $, 则有如下性质

(1) (存在性)  如果$ i_{K}(A, K_{\rho}) \neq 0, $则$ A $在$ K_{\rho} $中有不动点.

(2) (正规性)   如果$ u \in K_{\rho} $, 对任意$ x \in\overline{K}_{\rho} $, 有$ \hat{u}(x) = u $, 则$ i_{K}(\hat{u}, K_{\rho}) = 1 $.

(3) (可加性)   如果$ V^{1}, V^{2} $是$ K_{\rho} $的两个互不相交的开子集, 并且对任意$ x \in \overline{K}_{\rho} \backslash (V^{1}\cup V^{2}) $, 有$ x \neq A(x) $, 那么

$ i_{K}(A, K_{\rho}) = i_{K}(A, V^{1}) + i_{K}(A, V^{2}). $

(4) (同伦不变性)   $ g:[0, 1] \times \bar{K}_{\rho}\to K $是紧的, 对任意$ x \in \partial K_{\rho} $和$ t \in [0, 1] $, 有$ x \neq g(t, x) $, 那么

$ i_{K}(g(0, \cdots ), K_{\rho}) = i_{K}(g(1, \cdots ), K_{\rho}). $

根据这些性质, 有以下结论.

引理2.5^[22]  设$ K $是实Banach空间$ E $中的一个锥, $ K_{\rho} $是$ E $中有界开集, $ K_{\rho} \neq \emptyset $, $ \overline{K}_{\rho}\neq K $, $ A :\overline{K}_{\rho}\to K $全连续, $ x \neq Ax $, a.e. $ x \in \partial K_{\rho} $. 然后, 下面结论成立

(1) 如果$ \Vert Ax\Vert \le \Vert x\Vert $, $ x \in \partial K_{\rho}, $那么$ i_{K}(A, K_{\rho}) = 1. $

(2) 如果存在$ e\in K\, \backslash\, \{0\} $使得$ x \neq Ax + \mu^{*} e $, $ \forall x \in\partial K_{\rho} $, $ \lambda > 0, $那么$ i_{K}(A, K_{\rho}) = 0. $

(3) 设$ U $是$ K $中开集且$ \overline{U} \subset K_{\rho}. $如果$ i_{K}(A, K_{\rho}) = 1 $且$ i_{K}(A, U_{\rho}) = 0, $那么$ A $在$ K_{\rho}\setminus \overline{U}_{\rho} $中有一个不动点. 当$ i_{K}(A, K_{\rho}) =0 $和$ i_{K}(A, U_{\rho}) =1 $时, 结论同样成立.

在本节中, 我们利用引理2.1分析方程(1.1)和(1.2)正双周期解的存在性. 考虑$ \alpha, \ \alpha^*\in (0, \infty): 0<\alpha, \ \alpha^* <1 $和$ \alpha, \ \alpha^* >1 $的情况.

设$ \lambda\in {\Bbb R}, \ h(t, x)\in L^1({\Bbb T}^2) $. 讨论下面线性方程

(3.1) $ \begin{equation} u_{tt}-u_{xx}+cu_t-\lambda u=h(t, x)\ \mbox{in}\ {\cal D}'({\Bbb T}^2). \end{equation} $

定义一个微分算子$ {\mathfrak L}_\lambda $为

$ {\mathfrak L}_\lambda=u_{tt}-u_{xx}+cu_t-\lambda u, $

其中$ u $定义在$ {\Bbb T}^2 $上. 令

$ {\mathfrak R}_\lambda: L^1({\Bbb T}^2)\rightarrow C({\Bbb T}^2), \ \ h\mapsto u, $

其中$ u $是方程(3.1)的唯一解. 根据文献[4, 引理1], 如果$ \lambda<0 $, 则$ {\mathfrak L}_\lambda $有预解算子$ {\mathfrak R}_\lambda $. 此外, $ {\mathfrak R}_\lambda $限制$ L^p({\Bbb T}^2) $或$ C({\Bbb T}^2) $上是紧的. 特别, $ {\mathfrak R}_\lambda: C({\Bbb T}^2)\rightarrow C({\Bbb T}^2) $是全连续的.

当$ \lambda=-\frac{c^2}{4} $时, $ {\mathfrak L}_\mu $的Green函数$ G(t, x) $在文献[8, 引理5.2]中得到. 由文献[8, 引理5.1]可知, 方程(3.1) 的唯一解可以表示为

(3.2) $ \begin{eqnarray} u(t, x)=(R_\mu h)(t, x)=\int_{{\Bbb T}^2}G(t-s, x-y)h(s, y){\rm d}s{\rm d}y. \end{eqnarray} $

由$ G(t, x) $的定义可知

(3.3) $ \begin{eqnarray} \underline{G}\leq G(t, s)\leq \overline{G}, \end{eqnarray} $

其中

$ \underline{G}:=\mbox{ess}\inf G(t, x)=\frac{e^{\frac{-3c\pi}{2}}}{(1-e^{-c\pi})^2}, $

$ \overline{G}:=\mbox{ess}\sup G(t, x)=\frac{1+e^{-c\pi}}{2(1-e^{-c\pi})^2}. $

对几乎所有的$ (t, x)\in {\Bbb T}^2 $, 令$ h\in L^1({\Bbb T}^2) $且满足$ h(t, x)\geq 0 $, 由(3.2)式得

(3.4) $ \begin{eqnarray} \underline{G} \|h\|_{L^1({\Bbb T}^2)}\leq (R_\mu h)(t, x)\leq \overline{G} \|h\|_{L^1({\Bbb T}^2)}. \end{eqnarray} $

令$ E=C({\Bbb T}^2) $, 其中$ E $是带有上确界范数的实Banach空间.

定义锥$ K_0\subset E $为

(3.5) $ \begin{eqnarray} K_0=\Big\{u\in E: u(t, x)\geq 0, \ \forall (t, x)\in {\Bbb T}^2\Big\}. \end{eqnarray} $

定义$ K_0 $的子锥如下

(3.6) $ \begin{eqnarray} K=\Big\{u\in K_0: u(t, x)\ge \gamma\Vert u\Vert, \ \forall (t, x)\in {\Bbb T}^2\Big\}, \end{eqnarray} $

其中

$ \gamma=\frac{\underline{G}^{2}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}}=\frac{2e^{-3c\pi}\Vert a\Vert_{1}}{(1-e^{-c\pi})^{2}(1+e^{-c\pi})}\in (0, 1). $

因此, $ E $是一个由锥$ K $确定的序Banach空间.

令$ \|\cdot\| $和$ \|\cdot\|_p $分别表示Banach空间$ E $和$ L^p({\Bbb T}^2) $中的范数.

我们将方程(3.1)和(1.2)中$ -\lambda $替换为$ a(t, x) $. 在文献[4]中证明了下面唯一性结果和正定性估计.

引理3.1^{[4, 引理2]}   令$ h\in L^{1}({\Bbb T}^{2}). $方程(3.1)有唯一解$ u:= Ph, $$ P: L^{1}({\Bbb T}^{2}) \to E $是具有下面性质的有界线性算子

(ⅰ) $ P :E \to E $是全连续算子.

(ⅱ) 如果对任意$ (t, x)\in {\Bbb T}^{2} $, 有$ h(t, x)\ge0 $, 那么$ Ph $满足

(3.7) $ \begin{equation} \underline{G}\Vert h\Vert_{1}\le(Ph)(t, x)\le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert h\Vert_{1}, \quad \forall(t, x)\in{\Bbb T}^{2}. \end{equation} $

定义非线性映射$ A:K\to E $

(3.8) $ \begin{equation} (Au)(t, x) = P(b(t, x)f(t, x, u(t, x))), \quad\forall u\in E. \end{equation} $

由引理3.1可知, $ A:K\to E $全连续, 且方程(1.1)和(1.2)的正双周期解等价于算子$ A $的不动点.

定理3.1  假设条件(H$ _{1} $)–(H$ _{3} $)成立. 此外, 如果$ f $满足以下条件

(H$ _{4} $) 存在常数$ 0<\alpha<1 $, 使

$ 0<\lim\limits_{u\to 0^+}\inf\min\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}} \frac{f(t, x, u)}{u^{\alpha}}\le +\infty; $

(H$ _{5} $) 存在常数$ 0<\alpha^{*}<1 $, 使

$ 0\le \lim\limits_{u\to +\infty}\sup\max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}} \frac{f(t, x, u)}{u^{\alpha^{*}}}< +\infty. $

则方程(1.1)和(1.2)至少有一个正双周期解.

证  可假定$ \exists\delta_{0}>0 $, 使得

(3.9) $ \begin{equation} u-Au \neq \theta, \forall u\in K, \ 0<\| u\| \le \delta_{0}. \end{equation} $

否则存在$ u_{\delta_{0}}\in K_{\delta_{0}} $, 使得$ Au_{\delta_{0}}=u_{\delta_{0}}. $

由(H$ _{4} $)可知, 存在$ \sigma>0 $和$ \delta_{1}>0 $, 使

(3.10) $ \begin{equation} f(t, x, u)\ge \sigma u^{\alpha}, \ \forall, 0\le u\le \delta_{1}, \ (t, x)\in{\Bbb T}^{2}. \end{equation} $

令

$ \delta_{2}=\min\left\{\delta_{0}, \, \delta_{1}, \, (\underline{G}\sigma \Vert b\Vert_{1})^{\frac{1}{1-\alpha}}\right\}. $

对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 定义函数$ \psi(t, x)\equiv1 $. 显然$ \psi\in K $. 下面证明

(3.11) $ \begin{equation} u-Au\neq d\psi \ (\forall u\in \partial K_{r}, \ d\geq 0), \end{equation} $

其中$ 0<r<\delta_{2} $. 事实上, 假定存在$ u_{1}\in\partial K_{r} $和$ d_{1}\ge 0 $, 使

$ u_{1}-Au_{1}= d_{1}\psi. $

由(3.9)式知$ d_{1}>0 $. 又有$ u_{1}= d_{1}\psi+Au_{1}\ge d_{1}\psi. $令

$ d^{*}=\sup\{d:u_{1}\ge d\psi\}, $

则$ 0<d_{1}\le d^{*}<+\infty $, $ u_{1}\ge d^{*}\psi. $所以

(3.12) $ \begin{equation} d^{*}=d^{*}\Vert \psi\Vert\le \Vert u_{1}\Vert=r<\delta_{2}\le(\underline{G}\sigma \Vert b\Vert_{1})^{\frac{1}{1-\alpha}}. \end{equation} $

因此, 对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 注意到(3.7)式, (3.8)式, (3.10)式和(3.12)式, 有

$ \begin{eqnarray*} u_{1}(t, x)&=&(Au_{1})(t, x)+d_{1}\psi(t, x)\\ &=&P(b(t, x)f(t, x, u_{1}(t, x)))+d_{1}\psi(t, x)\\ &\ge&\underline{G} \Vert bf(t, x, u_{1})\Vert_{1}+d_{1}\psi(t, x)\\ &\ge&\underline{G} \Vert b\sigma u_{1}^{\alpha}\Vert_{1}+d_{1}\psi(t, x)\\ &=&\underline{G}\sigma (d^{*})^{\alpha} \Vert b\Vert_{1}+d_{1}\psi(t, x)\\ &\ge& d^{*}+d_{1}\psi(t, x) =(d^*+d_1)\psi(t, x), \end{eqnarray*} $

这显然与$ d^* $的定义矛盾. 故(3.11)式成立.

另一方面, 由(H$ _{5} $)知$ \exists\eta>0 $及$ R_{0}>0 $, 使

$ f(t, x, u)\le \eta u^{\alpha^{*}}, \ \forall u\ge R_{0}, \ (t, x)\in{\Bbb T}^{2}. $

令

$ M=\max \limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}, \, 0\le u\le R_{0}} f(t, x, u), $

于是

(3.13) $ \begin{equation} 0\le f(t, x, u)\le M+\eta u^{\alpha^{*}}, \ \forall 0\le u<+\infty, \ (t, x)\in{\Bbb T}^{2}. \end{equation} $

今取正数$ R\, (R>\delta_{2}) $充分大, 使

(3.14) $ \begin{equation} \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert b\Vert_{1}\left(\frac{M}{R}+\frac{\eta}{R^{1-\alpha^{*}}}\right)<1. \end{equation} $

下面, 我们证明

(3.15) $ \begin{equation} \forall u\in K_{R}, \ \mu\geq 1\Rightarrow Au\neq \mu u. \end{equation} $

事实上, 如果存在$ u_{2}\in\partial K_{R} $, $ \mu_{2}\geq 1 $, 使

$ \begin{eqnarray*} Au_{2}=\mu_{2} u_{2}, \end{eqnarray*} $

然后由(3.7)式, (3.8)式和(3.13)式推出

$ \begin{eqnarray*} \mu_{2}u_{2}(t, x)&=&(Au_{2})(t, x) =P(b(t, x)f(t, x, u_{2}(t, x)))\\ &\le&\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert bf(t, x, u_{2})\Vert_{1} \le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert b(M+\eta u_{2}^{\alpha^{*}})\Vert_{1}\\ &=&\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert b\Vert_{1}(M+\eta R^{\alpha^{*}}), \end{eqnarray*} $

从而

$ \mu_{2}R=\mu_{2}\Vert u_{2}\Vert\le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert b\Vert_{1}(M+\eta R^{\alpha^{*}}). $

故由(3.14)式得

$ \mu_{2}\le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert b\Vert_{1}\left(\frac{M}{R}+\frac{\eta}{R^{1-\alpha^{*}}}\right)<1. $

这与$ \mu_{2}\ge 1 $矛盾. 由此可知, (3.15)式成立.

根据引理2.1中(2), 由(3.11)式和(3.15)式知算子$ A $在$ K_{R} \setminus \overline{K}_{r} $中有一个不动点$ u $. 显然方程(1.1)和(1.2)有一个正双周期解$ u $且$ r<\|u\|<R $. 证毕.

下面的定理处理$ \alpha>1 $和$ \alpha^*>1 $的情况.

定理3.2  假设条件(H$ _{1} $)–(H$ _{3} $)成立. 此外, 如果$ f $满足以下条件

(H$ _{6} $) 存在常数$ 1<\alpha<+\infty $, 使

$ 0<\lim\limits_{u\to +\infty}\inf\min\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}} \frac{f(t, x, u)}{u^{\alpha}}\le +\infty; $

(H$ _{7} $) 存在常数$ 1<\alpha^{*}<+\infty $, 使

$ 0\le \lim\limits_{u\to 0^{+}}\sup\max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}} \frac{f(t, x, u)}{u^{\alpha^{*}}}< +\infty. $

则方程(1.1)和(1.2)至少有一个正双周期解.

证  由条件(H$ _{6} $)知, 存在$ \sigma_{1}>0 $和$ R_{1}>0 $, 使

(3.16) $ \begin{equation} f(t, x, u)\ge \sigma_{1} u^{\alpha}, \ \forall\, u\ge R_{1}, \, (t, x)\in{\Bbb T}^{2}. \end{equation} $

令

(3.17) $ \begin{equation} R>\max\left\{\frac{R_{1}}{\gamma}, \, \left( \frac{1}{\underline{G}\sigma_{1}\gamma^{\alpha} \Vert b \Vert_{1}}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}\right\}. \end{equation} $

我们将验证

(3.18) $ \begin{equation} u-Au \neq \theta, \ \forall\, u\in K, \, 0<\|u\| \leq R. \end{equation} $

否则, 存在$ u_{R}\in K_R $, 使

$ Au_{R}=u_{R}. $

令$ \psi $的定义如定理3.1所示. 我们证明

(3.19) $ \begin{equation} u-Au\neq d\psi, \ \forall\, u\in\partial K_{R}, \, d\ge 0. \end{equation} $

如果存在$ u_{3}\in \partial K_{R} $和$ d_{2}\geq 0 $, 使

$ u_{3}-Au_{3}= d_{2}\psi. $

故由(3.18)式得$ d_{2}>0 $.

因此, 对$ u_{3}\in \partial K_{R} $, 可得$ u_3\geq \gamma\|u_3\|=\gamma R\geq R_1 $. 因此, 对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2}, \ u_{3}\in \partial K_{R} $, 由(3.7)式, (3.16)式和(3.17)式得

$ \begin{eqnarray*} u_{3}(t, x)&=&(Au_{3})(t, x)+d_{2}\psi(t, x)\\ &=&P(b(t, x)f(t, x, u_{3}(t, x)))+d_{2}\\ &\ge&\underline{G} \Vert bf(t, x, u_{3})\Vert_{1}+d_{2}\\ &\ge&\underline{G} \Vert b \sigma_{1} u^{\alpha}\Vert_{1}+d_{2}\\ &\ge&\underline{G} \Vert b \sigma_{1}(\gamma\Vert u_{3} \Vert)^{\alpha})\Vert_{1}+d_{2}\\ &=&\underline{G}\sigma_{1}\gamma^{\alpha} R^{\alpha} \Vert b \Vert_{1}+d_{2}\\ &\ge& R+d_{2} >R. \end{eqnarray*} $

这表明$ R=\Vert u_{3}\Vert > R $是一个矛盾. 因此, (3.19)式成立.

接下来, 由条件(H$ _{7} $)知, 存在$ \eta_{1}>0 $和$ 0<\delta_{3}<R_1 $, 有

(3.20) $ \begin{equation} f(t, x, u)\le \eta_{1} u^{\alpha^{*}}, \ \forall 0\le u\le \delta_{3}, \ (t, x)\in{\Bbb T}^{2}. \end{equation} $

令

(3.21) $ \begin{equation} \delta_{4}=\min\left\{\delta_{3}, \, \left( \frac{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}\eta_{1} \Vert b\Vert_{1}} \right)^{\frac{1}{\alpha^{*}-1}}\right\} \end{equation} $

和$ 0<r<\delta_{4} $. 我们需证明

(3.22) $ \begin{equation} Au\neq \mu u, \ \forall u\in\partial K_{r}, \ \mu\geq 1. \end{equation} $

事实上, 如果存在$ u_{4}\in\partial K_{r} $和$ \mu_{4}\ge 1 $, 使

$ \begin{eqnarray*} Au_{4}=\mu_{4} u_{4}. \end{eqnarray*} $

因此, 对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 由(3.7)式和(3.20)式可知, 有

$ \begin{eqnarray*} \mu_{4}u_{4}(t, x)&=&(Au_{4})(t, x) =P(b(t, x)f(t, x, u_{4}(t, x)))\\ &\le&\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert bf(t, x, u_{4})\Vert_{1} \le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert b\eta_{1} u_{4}^{\alpha^{*}}\Vert_{1}\\ &\le&\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert b\eta_{1} \Vert u_{4}\Vert^{\alpha^{*}}\Vert_{1} =\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \eta_{1} r^{\alpha^{*}}\Vert b\Vert_{1}. \end{eqnarray*} $

这表明

$ \mu_{4}r=\mu_{4}\Vert u_{4}\Vert\le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \eta_{1} r^{\alpha^{*}}\Vert b\Vert_{1}. $

由上式和(3.21)式得

$ \mu_{4}\le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \eta_{1} r^{\alpha^{*}-1}\Vert b\Vert_{1}<1. $

这与$ \mu_{4}\ge 1 $矛盾. 所以(3.22)式成立.

根据引理2.1的(1), (3.19)式和(3.12)式得到算子$ A $在$ K_{R}\setminus \overline{K}_{r} $中有一个不动点$ u $. 其等价于方程(1.1)和(1.2)有一个正双周期解$ u $且$ r<\|u\|<R $. 证毕.

注3.1   在定理3.1的证明中, 使用锥$ K_0 $就可以.

在本节中, 我们运用紧算子的不动点指数理论讨论方程(1.1)和(1.2)正双周期解的多解性, 这通常是分析各种边值问题解的存在性和多解性的一种非常有效的方法.

为了叙述方便, 我们引入以下符号：

$ f^{\infty}=\lim\limits_{u\to+\infty}\sup\max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}}\frac{f(t, x, u)}{u}, \quad f^{0}=\lim\limits_{u\to 0^{+}}\sup\max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}}\frac{f(t, x, u)}{u}, $

$ f_{\infty}=\lim\limits_{u\to +\infty}\inf\min\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}}\frac{f(t, x, u)}{u}, \quad f_{0}=\lim\limits_{u\to0^{+}}\inf\min\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}}\frac{f(t, x, u)}{u} $

和

$ l=\frac{\overline{G}\Vert b\Vert_{1}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}, \ \quad L=\gamma^2\underline{G}\Vert b\Vert_{1}. $

定理4.1   假设条件(H$ _{1} $)–(H$ _{3} $)成立. 如果满足下面两个条件

(H$ _{8} $) $ L f_{0}>1 $和$ Lf_\infty>1 $;

(H$ _{9} $) 存在常数$ d>0 $, 使

$ \max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}, u\in[0, d]}f(t, x, u)<l^{-1}d. $

则(1.1)和(1.2)至少有两个正双周期解$ u_{1}, u_{2} $且满足

$ 0<\|u_1\|<d<\|u_2\|. $

证  因为$ Lf_{0}>1 $, 则由$ f_{0} $的定义可知, 存在$ 0<r<d $, 使

(4.1) $ \begin{equation} f(t, x, u)>(f_0-\varepsilon_1)u, \quad \forall(t, x)\in{\Bbb T}^{2}, u\in[0, r], \end{equation} $

其中$ \varepsilon_1 $满足$ (f_0-\varepsilon_1)L\geq 1 $.

对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 令$ e(t, x)\equiv1 $. 则$ e\in\partial K_1 $. 我们需证明

$ u \neq Au + \mu e, \ \forall u \in \partial K_{r}, \;\mu >0. $

事实上, 如果存在$ u_{0}\in \partial K_{r} $, $ \mu_{0} > 0 $, 使

(4.2) $ \begin{equation} u_{0} = Au_{0}+ \mu_{0} e. \end{equation} $

由$ u_{0}\in \partial K_{r} $, 使得对任意$ (t, x)\in {\Bbb T}^{2} $有$ 0\leq u_{0}(t, x)\leq r $. 根据(4.1)式知

(4.3) $ \begin{equation} h(t, x):=b(t, x)f(t, x, u_{0}) >(f_0-\varepsilon_1)u_0(t, x) b(t, x). \end{equation} $

所以对$ u_{0}\in \partial K_r $, $ \forall (t, x)\in {\Bbb T}^{2}, $由(3.7)式, (4.2)式和(4.3)式推出

$ \begin{eqnarray*} u_{0}(t, x) &=& (Au_{0}) (t, x)+ \mu_{0} e(t, x)\\ &\ge&\gamma \Vert Au_{0}\Vert+\mu_{0}\\ &=&\gamma \Vert ph\Vert+\mu_{0}\\ &\ge&\gamma\underline{G}\Vert h\Vert_{1}+\mu_{0}\\ &>&\gamma^2\underline{G}(f_0-\varepsilon_1)\|u_0\| \Vert b\Vert_{1}+\mu_{0}\\ &=&\|u_0\|+\mu_{0}. \end{eqnarray*} $

这表明

$ r> r+\mu_{0}, $

矛盾. 因此, 根据引理2.5中的(2)有

$ i_{K}(A, K_{r}) = 0. $

接下来, 考虑$ Lf_\infty>1 $的情况. 根据$ f_{\infty} $的定义可知存在$ \bar R>0 $, 使得

(4.4) $ \begin{equation} f(t, x, u)>(f_\infty-\varepsilon_2)u, \quad \forall(t, x)\in{\Bbb T}^{2}, u\in[\bar R, \infty), \end{equation} $

其中$ \varepsilon_2 $满足$ (f_\infty-\varepsilon_2)L\geq1 $.

对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 令$ e_1(t, x)\equiv1 $. 则$ e_1\in\partial K_1 $. 我们需验证

$ u \neq Au + \mu e, \ \forall u \in \partial K_{R}, \;\mu >0, $

其中

$ R=\max\bigg\{d, \frac{\bar R}{\gamma}\bigg\}. $

事实上, 如果存在$ u_{1}\in \partial K_{R} $和$ \mu_{1} > 0 $, 使

(4.5) $ \begin{equation} u_{1} = Au_{1}+ \mu_{1} e. \end{equation} $

由于$ u_{1}\in \partial K_{R} $, 故对任意$ (t, x)\in {\Bbb T}^{2} $得$ u_1(t, x)\geq \gamma \|u_1\|\geq\gamma\frac{\bar R}{\gamma}=\bar R $. 根据(4.4) 式知

(4.6) $ \begin{equation} h(t, x):=b(t, x)f(t, x, u_{1}) >(f_\infty-\varepsilon_2)u_1(t, x) b(t, x). \end{equation} $

从而, 由(3.7)式, (4.5)式和(4.6)式得

$ \begin{eqnarray*} u_{1}(t, x) &=& (Au_{1}) (t, x)+ \mu_{1} e_1(t, x)\\ &\ge&\gamma \Vert Au_{1}\Vert+\mu_{1}\\ &=&\gamma \Vert ph\Vert+\mu_{1}\\ &\ge&\gamma\underline{G}\Vert h\Vert_{1}+\mu_{1}\\ &>&\gamma^2\underline{G}(f_\infty-\varepsilon_2)\|u_1\| \Vert b\Vert_{1}+\mu_{1}\\ &=&\|u_1\|+\mu_{1}, \ (t, x)\in {\Bbb T}^{2}. \end{eqnarray*} $

这表明$ R> R+\mu_{1}, $矛盾. 因此, 根据引理2.5中(2)可知

$ i_{K}(A, K_{R}) = 0. $

令$ u \in\partial K_{d}. $则对任意$ (t, x)\in {\Bbb T}^{2} $有$ 0\le u(t, x)\le \Vert u\Vert=d $. 令

$ M^*=\max\{f(t, x, u), \ (t, x)\in {\Bbb T}^{2}, \ 0\le u\le d\}. $

因此, 对$ u \in\partial K_{d} $和$ \forall(t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 由(3.7)式和条件(H$ _{9} $) 得

$ \begin{eqnarray*} (Au)(t, x)=(Ph)(t, x) \le\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert h\Vert_{1} \leq \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} M^*\Vert b\Vert_{1} <\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} l^{-1} d\Vert b\Vert_{1}=d. \end{eqnarray*} $

这表明

$ \| Au \|<\| u \|, \ \forall u \in\partial K_{d}. $

因此, 根据引理2.5的(1)可以得到

$ i_{K}(A, K_d) = 1. $

注意$ r<d<R, $所以$ \overline {K}_{r}\subset K_{d} \subset K_{R}. $由引理2.5中(3)可知方程(1.1)和(1.2)有两个正双周期解$ u_{1}, u_{2} $且满足

$ u_{1}\in K_{d}\setminus\overline{K}_{r}, \ \ u_{2}\in K_{R}\setminus\overline{K}_{d}. $

证毕.

注4.1  根据定理4.1的证明, 如果条件(H$ _{9} $)成立, $ Lf_0>1 $或$ Lf_\infty>1 $, 则方程(1.1) 和(1.2)有一个正双周期解$ u^* $且满足

$ 0<\|u^*\|<b\ \mbox{or}\ \ \|u^*\|>b. $

在本节中, 我们研究带参数$ \lambda $的方程(1.3)和(1.2)正双周期解的存在性和渐近性.

定理5.1  假设条件(H$ _{1} $)–(H$ _{3} $)成立, 那么

(H$ _{10} $) 如果$ f^0=0 $和$ f_\infty=\infty $, 则对任意$ \lambda>0 $, 方程(1.3)和(1.2)有一个正双周期解$ u_\lambda\in C({\Bbb T}^2) $且满足$ \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0^+}\|u_\lambda\|=\infty; $

(H$ _{11} $) 如果$ f_0=\infty $和$ f^\infty=0 $, 则对任意$ \lambda>0 $, 方程(1.3)和(1.2)有一个正双周期解$ u_{\lambda}\in C({\Bbb T}^2) $且满足$ \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0^+}\|u_{\lambda}\|=0. $

证   我们只需考虑条件(H$ _{10} $). 如果条件(H$ _{11} $)成立, 那么与条件(H$ _{10} $)成立时的证明类似.

定义非线性算子$ A:K\to E $为

(5.1) $ \begin{equation} (Au)(t, x) = \lambda P(b(t, x)f(t, x, u(t, x))), \quad\forall u\in E. \end{equation} $

由引理3.1可知, $ A: K\to E $全连续, 方程(1.3)和(1.2)的正双周期解等价于算子$ A $的不动点.

讨论$ f^0=0 $的情况, 存在$ r>0 $和$ \varepsilon>0 $, 使

(5.2) $ \begin{equation} f(t, x, u)<\varepsilon r, \ \forall (t, x)\in{\Bbb T}^{2}, \ u\in[0, r], \end{equation} $

其中$ \varepsilon $满足

$ \frac{\lambda\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \varepsilon \Vert b\Vert_{1}\leq1. $

令$ u \in\partial K_{r} $, 则$ 0\le u\le \Vert u\Vert=r $. 从而, 对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, $ u \in\partial K_{r} $, 根据(3.7)式和(5.1)式可知

$ (Au)(t, x)=\lambda(Ph)(t, x) \le\frac{\lambda\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert h\Vert_{1} <\frac{\lambda\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \varepsilon r\Vert b\Vert_{1}=r. $

显然

$ \| Au \|<\| u \|, \ \forall u \in\partial K_{r}. $

因此, 根据引理2.5中(1)知

$ i_{K}(A, K_{r}) = 1. $

接下来, 考虑$ f^\infty=\infty $的情况, 则存在$ R_0>r>0 $, $ \varepsilon_1>0 $, 使得

(5.3) $ \begin{equation} f(t, x, u)>\varepsilon_1u, \quad \forall(t, x)\in{\Bbb T}^{2}, u\in[R_{0}, +\infty), \end{equation} $

其中$ \varepsilon_1 $满足

$ \lambda\gamma\underline{G}\varepsilon_1 \Vert b\Vert_{1}\geq1. $

对任意$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $, 令$ e(t, x)\equiv1 $, 则$ e\in\partial K_1 $. 令$ R=\frac{1}{\gamma}R_0 $, 则我们可以证明

$ u \neq Au + \mu e, \ \forall u \in \partial K_{R}, \;\mu >0. $

事实上, 如果存在$ u_{0}\in \partial K_{R} $和$ \mu_{0} > 0 $使得

(5.4) $ \begin{equation} u_{0} = Au_{0}+ \mu_{0} e. \end{equation} $

从而, 对$ u_{0}\in \partial K_{R} $和$ (t, x)\in {\Bbb T}^{2}, $由(5.3)式知

(5.5) $ \begin{equation} h(t, x):=b(t, x)f(t, x, u_{0}) >\varepsilon_1\gamma \|u_0\| b(t, x), \quad\forall(t, x)\in{\Bbb T}^{2}. \end{equation} $

因此, 对$ u_{0}\in \partial K_R $, $ \forall(t, x)\in {\Bbb T}^{2}, $由(3.7)式, (5.1)式和(5.5)式知

$ \begin{eqnarray*} u_{0}(t, x) &=& (Au_{0}) (t, x)+ \mu_{0} e(t, x)\\ &\ge&\gamma \Vert Au_{0}\Vert+\mu_{0}\\ &=&\gamma \lambda\Vert ph\Vert+\mu_{0}\\ &\ge&\lambda\gamma\underline{G}\Vert h\Vert_{1}+\mu_{0}\\ &>&\lambda\gamma^2\underline{G}\varepsilon_1 R \Vert b\Vert_{1}+\mu_{0}\\ &=&\gamma\rho_{2}+\mu_{0}. \end{eqnarray*} $

这表明

$ \gamma R> \gamma R+\mu_{0}, $

矛盾. 根据引理2.5的(2)可知

$ i_{K}(A, K_{R}) = 0. $

由于$ r<R, $我们得到$ \overline {K}_{r}\subset K_{R}. $故, 根据引理2.5的(3)可知算子$ A $有一个不动点$ u_{\lambda} $且

$ u_{\lambda}\in K_{R}\setminus\overline{K}_{r}. $

这表明对任意$ \lambda>0 $, 方程(1.3)和(1.2)有一个正双周期解$ u_{\lambda} $.

最后, 我们证明: 当$ \lambda\rightarrow 0^{+} $时, 则$ \|u_{\lambda}\|\rightarrow +\infty $. 事实上, 如果不这样, 那么就存在一个序列$ \lambda_{i}\rightarrow 0^+ $和一个数$ \varsigma>0 $, 使得

$ \|u_{\lambda_{i}}\|\leq \varsigma\ (i=1, 2, 3, \cdots). $

另外, 序列$ \{\|u_{\lambda_{i}}\|\} $有一个子列收敛到数$ \eta(0\leq\eta\leq \varsigma) $的字列. 为了证明起见, 假设$ \{\|u_{\lambda_{i}}\|\} $本身收敛于$ \eta $.

假设$ \eta>0 $. 则对于足够大的$ i $($ i>{\Bbb I} $), 有$ \|u_{\lambda_{i}}\|>\frac{\eta}{2} $. 因此

$ \frac{1}{\lambda_{i}}=\frac{\|ph\|}{\|u_{\lambda_{i}}\|} \leq\frac{\overline{G}\|h\|_1}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}\|u_{\lambda_{i}}\|} \leq\frac{\overline{G}\|b\|_1{\Bbb M}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}\|u_{\lambda_{i}}\|} <\frac{2\overline{G}\|b\|_1{\Bbb M}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}\eta}, $

其中

$ {\Bbb M}=\max\Big\{\max\limits_{(t, x)\in{\Bbb T}^{2}}f(t, x, u), \ \|u\|\leq\varsigma \Big\}+1>0. $

这与$ \lambda_{i}\rightarrow 0^+ $相矛盾.

如果$ \eta=0 $, 那么对于足够大的$ i $($ i>{\Bbb I} $)有$ \|u_{\lambda_{i}}\|_0\rightarrow 0 $. 因此, 由$ f^{0}=0 $可知, 对任意$ \varepsilon>0 $, 存在$ r>0 $, 使得(4.2) 式成立.

因此, 对于$ u_{\lambda_{i}}\in\partial K_{r} $, 有

$ \frac{1}{\lambda_{i}}=\frac{\|ph\|}{\|u_{\lambda_{i}}\|} \leq\frac{\overline{G}\|h\|_1}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}\|u_{\lambda_{i}}\|} \leq\frac{\overline{G}\|b\|_1\varepsilon\|u_{\lambda_{i}}\|}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}\|u_{\lambda_{i}}\|} =\frac{\overline{G}\|b\|_1\varepsilon\|}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}. $

由于$ \varepsilon $的任意性, 我们得到$ \lambda_{i}\rightarrow +\infty\ (i\rightarrow +\infty) $. 这与$ \lambda_{i}\rightarrow 0^+ $相矛盾. 因此, 当$ \lambda\rightarrow0^+ $时$ \|u_{\lambda}\|\rightarrow +\infty $.

与上面的证明类似, 我们可以证明当$ f $满足条件(H$ _{11} $)时定理5.1也成立. 证毕.

在本节中, 我们考虑方程(1.4)和(1.2)正双周期解的存在性和多解性.

定义$ K_0 $的子锥为

(6.1) $ \begin{equation} {\Bbb K }= \{u\in K_0 :\Vert u\Vert_{1}\ge \gamma_{1} \Vert u\Vert\}, \end{equation} $

其中

$ \gamma_{1}=\frac{\underline{G}^{2}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}}\;{mes}\; {\Bbb T}^{2}. $

容易看出$ {\Bbb K } $是$ E $中的闭凸锥.

定义算子$ A_1: {\Bbb K }\to E $为

(6.2) $ \begin{equation} (A_{1}u)(t, x) = P\left(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u^{\alpha_{i}}(t, x)\right), \quad\forall u\in E. \end{equation} $

显然算子$ A_1:{\Bbb K }\to E $是全连续的, 且方程(1.4)和(1.2)的正双周期解等价于算子$ A_1 $的不动点.

对每一个$ i\in\{1, 2, \cdots , n\} $, 设$ g_i $满足

(H$ _{12} $) $ g_{i}\in C({\Bbb T}^{2}) $, $ g_{i}(t, x)\ge 0, \, \forall(t, x)\in{\Bbb R}^{2} $且$ \int_{{\Bbb T}^{2}}g_{i}(t, x){\rm d}t{\rm d}x>0. $

引理6.1   假设条件(H$ _{1} $)和(H$ _{12} $)成立. 则$ A_1(K_0) \subset {\Bbb K } $且$ A_{1}:{\Bbb K } \to {\Bbb K } $全连续.

证   令$ u\in K $和

(6.3) $ \begin{equation} h_{1}(t, x)=\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u^{\alpha_{i}}(t, x), \ (t, x)\in {\Bbb R}^{2}. \end{equation} $

则$ h_1\in E $且$ A_{1}u=Ph_{1}, $进而由(3.7)式知

$ (A_{1}u)(t, x)=(Ph_{1})(t, x)\le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert h_{1}\Vert_{1}, \quad \forall (t, x)\in {\Bbb T}^{2}. $

从而

(6.4) $ \begin{equation} \Vert(A_{1}u)\Vert\le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}\Vert h_{1}\Vert_{1}. \end{equation} $

由(6.4)式知

$ \begin{eqnarray*} \Vert A_{1}u\Vert_{1} &=&\int_{{\Bbb T}^{2}} (A_{1}u)(t, x){\rm d}t{\rm d}x =\int_{{\Bbb T}^{2}} (Ph_{1})(t, x){\rm d}t{\rm d}x\\ &\ge&\int_{{\Bbb T}^{2}} \underline{G}\Vert h_{1}\Vert_{1}{\rm d}t{\rm d}x \ge\int_{{\Bbb T}^{2}} \frac{\underline{G}^{2}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}}\Vert A_{1}u\Vert {\rm d}t{\rm d}x\\ &= &\frac{\underline{G}^{2}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}}\Vert A_{1}u\Vert \;{mes}\; {\Bbb T}^{2} \end{eqnarray*} $

因此, $ A_1u\in {\Bbb K } $. 进而, 由引理3.1可知$ A_1:{\Bbb K } \to {\Bbb K } $全连续.

下面的定理讨论$ 0<\alpha_{i}<1, \ i\in\{1, 2, \cdots , n\} $的情况.

定理6.1   假设条件(H$ _{1} $)和(H$ _{12} $)成立. 此外, 若存在$ g_{i_{0}}(t, x) $满足

$ \inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{0}}(t, x)>0, $

则方程(1.4)和(1.2)至少有一个正双周期解.

证  设

$ \tau_{0} =\inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{0}}(t, x)>0 $

和

$ 0<r<(\underline{G}\tau_{0} {mes} {\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{1-\alpha_{i_{0}}}}. $

我们证明

(6.5) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K }_{r}\Rightarrow A_{1}u\not\leq u. \end{equation} $

事实上, 如果不这样, 那么就存在$ u_{0}\in \partial {\Bbb K }_{r} $使得

(6.6) $ \begin{equation} A_{1}u_{0}\le u_{0}. \end{equation} $

由$ 0\le u_{0}(t, x)\le r $得

$ 0\le [u_{0}(t, x)]^{1-\alpha_{i_{0}}}\le r^{1-\alpha_{i_{0}}}, $

从而

(6.7) $ \begin{equation} u_{0}(t, x)\le r^{1-\alpha_{i_{0}}} [u_{0}(t, x)]^{\alpha_{i_{0}}}. \end{equation} $

故由(3.7)式, (6.6)式和(6.7)式得

$ \begin{eqnarray*} u_{0}(t, x)&\ge &(A_{1}u_{0})(t, x)\\ &= &P(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u_{0}^{\alpha_{i}}(t, x)) \ge \underline{G}\Vert \sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}u_{0}^{\alpha_{i}}\Vert_{1}\\ &\ge &\underline{G}\Vert g_{i_{0}}u_{0}^{\alpha_{i_{0}}}\Vert_{1} \ge \underline{G}\Vert \tau_{0}u_{0}^{\alpha_{i_{0}}}\Vert_{1}\\ &\ge &\underline{G}\tau_{0}\Vert \frac{u_{0}}{r^{1-\alpha_{i_{0}}}}\Vert_{1} =\frac{\underline{G}\tau_{0}}{r^{1-\alpha_{i_{0}}}}\Vert u_{0} \Vert_{1}. \end{eqnarray*} $

这表明

$ \Vert u_{0}\Vert_{1}=\int_{{\Bbb T}^{2}} u_{0}(t, x){\rm d}t{\rm d}x\ge\frac{\underline{G}\tau_{0}\gamma_1}{r^{1-\alpha_{i_{0}}}}\Vert u_{0} \Vert_{1}mes {\Bbb T}^{2}. $

因为$ \Vert u_{0}\Vert_{1}>0 $, 所以

$ (\underline{G}\tau_{0}\gamma_1mes {\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{1-\alpha_{i_{0}}}}\le r. $

但是这与

$ 0<r<(\underline{G}\tau_{0}\gamma_1mes {\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{1-\alpha_{i_{0}}}} $

矛盾. 故(6.5)式成立.

另一方面, 取正数$ R $充分大($ R>r $), 使

(6.8) $ \begin{equation} R>\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert R\Vert^{\alpha_{i}}. \end{equation} $

我们需证明

(6.9) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K }_{R}\Rightarrow A_{1}u\not\geq u. \end{equation} $

事实上, 如果存在$ u_{1}\in \partial {\Bbb K }_{R} $, 使

(6.10) $ \begin{equation} A_{1}u_{1}\ge u_{1}. \end{equation} $

由(3.7)式和(6.10)式可知

$ \begin{eqnarray*} R&=&\Vert u_{1}\Vert\le\Vert A_{1}u_{1}\Vert =\Vert P(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u_{1}^{\alpha_{i}}(t, x))\Vert\\ &\le& \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert \sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}u_{1}^{\alpha_{i}}\Vert_{1} \le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}u_{1}^{\alpha_{i}}\Vert_{1}\\ &\le &\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert u_{1}^{\alpha_{i}}\Vert \le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert R\Vert^{\alpha_{i}}. \end{eqnarray*} $

这与$ R>\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert R\Vert^{\alpha_{i}} $矛盾. 于是(6.9)式成立.

因此, 根据引理2.2的(2)可知算子$ A_{1} $在$ {\Bbb K }_{R}\setminus\overline{{\Bbb K }}_{r} $中有一个不动点, 且算子$ A_{1} $的这个不动点是方程(1.4)和(1.2)的一个正双周期解. 证毕.

下面定理将考虑$ \alpha_{i}>1 $的情况, 其中$ i\in\{1, 2, \cdots , n\} $.

定理6.2    假设条件(H$ _{1} $)和(H$ _{12} $)成立. 此外, 若存在$ g_{i_{1}}(t, x) $满足

$ \inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{1}}(t, x)>0, $

则方程(1.4)和(1.2)至少存在一个正双周期解.

证   取$ R $充分大, 使

(6.11) $ \begin{equation} R>\left(\frac{1}{\underline{G}\tau_{1}(mes{\Bbb T}^{2})^{1-\alpha_{i_{1}}}\gamma_{1}^{\alpha_{i_{1}}} }\right)^{\frac{1}{\alpha_{i_{1}}-1}}, \end{equation} $

其中$ \tau_{1} =\inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{1}}(t, x)>0 $. 我们将证明

(6.12) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K }_{R}\Rightarrow A_{1}u\not\leq u. \end{equation} $

事实上, 若存在$ u_{2}\in \partial {\Bbb K }_{R} $使得

(6.13) $ \begin{equation} A_{1}u_{2}\le u_{2}. \end{equation} $

根据文献[25, 定理192]可知

(6.14) $ \begin{eqnarray} \left(\int_{{\Bbb T}^{2}}[u_{2}(t, x)]^{\alpha_{i_{1}}}{\rm d}t{\rm d}x\right)^{\frac{1}{\alpha_{i_{1}}}} &\ge&(mes{\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{\alpha_{i_{1}}}-1}\int_{{\Bbb T}^{2}}u_{2}(t, x){\rm d}t{\rm d}x{}\\ &=&(mes{\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{\alpha_{i_{1}}}-1}\Vert u_{2}\Vert_{1}{}\\ &\ge&(mes{\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{\alpha_{i_{1}}}-1}\gamma_{1} \Vert u_{2}\Vert. \end{eqnarray} $

因此, 由(3.7)式, (6.13)式和(6.14)式知

$ \begin{eqnarray*} u_{2}(t, x)&\ge& (A_{1}u_{2})(t, x) = P(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u_{2}^{\alpha_{i}}(t, x))\\ &\ge& \underline{G}\Vert \sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}u_{2}^{\alpha_{i}}\Vert_{1} \ge \underline{G}\Vert g_{i_{1}}u_{2}^{\alpha_{i_{1}}}\Vert_{1} \ge \underline{G}\Vert \tau_{1}u_{2}^{\alpha_{i_{1}}}\Vert_{1}\\ &= &\underline{G}\tau_{1}\Vert u_{2}^{\alpha_{i_{1}}}\Vert_{1} \ge \underline{G}\tau_{1}(mes{\Bbb T}^{2})^{1-\alpha_{i_{1}}}\gamma_{1}^{\alpha_{i_{1}}} \Vert u_{2}\Vert^{\alpha_{i_{1}}} \\ &=& \underline{G}\tau_{1}(mes{\Bbb T}^{2})^{1-\alpha_{i_{1}}}\gamma_{1}^{\alpha_{i_{1}}} R^{\alpha_{i_{1}}}, \end{eqnarray*} $

其中$ (t, x)\in{\Bbb T}^{2} $. 故

$ R=\Vert u_{2}\Vert\ge \underline{G}\tau_{1}(mes{\Bbb T}^{2})^{1-\alpha_{i_{1}}}\gamma_{1}^{\alpha_{i_{1}}} R^{\alpha_{i_{1}}}, $

这显然与$ R $的取法(6.11)式矛盾. 故(6.12)式成立.

另一方面, 取$ 0<r<R $很小, 使

(6.15) $ \begin{equation} \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert r\Vert^{\alpha_{i}-1}<1. \end{equation} $

我们将验证

(6.16) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K }_{r}\Rightarrow A_{1}u\not\geq u. \end{equation} $

事实上, 若存在$ u_{3}\in \partial {\Bbb K }_{r} $使得

$ \begin{eqnarray*} A_{1}u_{3}\ge u_{3}. \end{eqnarray*} $

则由(3.7)式知

$ \begin{eqnarray*} r&=&\Vert u_{3}\Vert\le\Vert A_{1}u_{3}\Vert =\Vert P(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u_{3}^{\alpha_{i}}(t, x)\Vert\\ &\le& \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert \sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}u_{3}^{\alpha_{i}}\Vert_{1} \le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}u_{3}^{\alpha_{i}}\Vert_{1}\\ &\le &\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert u_{3}^{\alpha_{i}}\Vert \le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert r\Vert^{\alpha_{i}}, \end{eqnarray*} $

这与$ r $的取法(6.15)式矛盾. 故(6.16)式成立.

因此, 根据引理2.2的(1)可知$ A_{1} $在$ {\Bbb K }_{R} \setminus\overline{{\Bbb K }}_{r} $中有一个不动点, 且算子$ A_{1} $的这个不动点是方程(1.4) 和(1.2)的一个正双周期解. 证毕.

最后, 我们将讨论方程(1.4)和(1.2)正双周期解的多解性.

定理6.3  假定条件(H$ _{1} $)和(H$ _{12} $)成立. 此外, 如果

$ \sum\limits_{i=1}^{n} \Vert g_{i}\Vert_{1}<\frac{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}}, $

那么存在$ 0<\alpha_{i_{0}}<1 $和$ \alpha_{i_{1}}>1 $, 且满足$ \inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{0}}(t, x)>0 $和$ \inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{1}}(t, x)>0, $则方程(1.4)和(1.2)至少有两个正双周期解.

证   令$ \tau_{0} =\inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{0}}(t, x)>0 $和

$ 0<r<\min\left\{1, (\underline{G}\tau_{0}mes {\Bbb T}^{2})^{\frac{1}{1-\alpha_{i_{0}}}}\right\}. $

类似于(6.5)式的证明过程可证

(5.17) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K}_{r}\Rightarrow A_{1}u\not\leq u. \end{equation} $

取$ R $充分大, 且满足

$ R>\max\left\{1, \left(\frac{1}{\underline{G}\tau_{1}(mes{\Bbb T}^{2})^{1-\alpha_{i_{1}}}\gamma_{1}^{\alpha_{i_{1}}} }\right)^{\frac{1}{\alpha_{i_{1}}-1}}\right\}, $

其中$ \tau_{1} =\inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{1}}(t, x)>0 $.

仿(6.12)式的证明过程可证

(6.18) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K}_{R}\Rightarrow A_{1}u\not\leq u. \end{equation} $

最后, 我们证明

(6.19) $ \begin{equation} u\in \partial {\Bbb K}_{1}\Rightarrow A_{1}u\not\geq u, \end{equation} $

其中

$ {\Bbb K}_{1}=\{u\in{\Bbb K}:\|u\|<1\}. $

事实上, 若存在$ u_{2}\in \partial {\Bbb K}_{1} $使得

$ A_{1}u_{2}\ge u_{2}, $

则由(3.7)式知

$ \begin{eqnarray*} 1&=&\Vert u_{2}\Vert\le\Vert A_{1}u_{2}\Vert =\Vert P(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u_{2}^{\alpha_{i}}(t, x))\Vert\\ &\le& \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \Vert \sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}u_{2}^{\alpha_{i}}\Vert_{1} \le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}u_{2}^{\alpha_{i}}\Vert_{1}\\ &\le &\frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}\Vert u_{2}^{\alpha_{i}}\Vert \le \frac{\overline{G}}{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}} \sum\limits_{i=1}^{n}\Vert g_{i}\Vert_{1}. \end{eqnarray*} $

但是这与$ \sum\limits_{i=1}^{n} \Vert g_{i}\Vert_{1}<\frac{\underline{G}\Vert a\Vert_{1}}{\overline{G}} $矛盾. 因此, (6.19)式成立.

根据引理2.3, (6.17)式, (6.18)式和(6.19)式可知算子$ A_{1} $在$ {\Bbb K}_{R} \setminus\overline{{\Bbb K}}_{r} $中有两个不动点. 这就证明了方程(1.4)和(1.2)有两个正双周期解$ u^{*}, u^{**} $且$ u^{*}\in {\Bbb K}_{1}\setminus\overline{{\Bbb K}}_{r}, \, u^{**}\in {\Bbb K}_{R}\setminus\overline{{\Bbb K}}_{1}. $证毕.

在本节中, 我们运用单调算子理论证明方程(1.4)和(1.2)正双周期解的唯一性. 下面定义和引理可以在Guo和Lakshmikantham^[23]和郭大钧^[24]中找到.

设$ K $是实Banach空间$ X $中的锥, $ ''\leq'' $表示由$ K $定义的半序. 令$ U $表示$ X $的子集.

定义7.1   如果$ y_1\leq y_2\ (y_1, y_2\in U) $有$ Ty_1\leq Ty_2 $, 则$ T : U \to X $被称为增算子; 如果$ y_1< y_2\ (y_1, y_2\in U) $有$ Ty_1< Ty_2 $, 则其为严格增. 同样地, 如果$ y_1\leq y_2\ (y_1, y_2\in U) $有$ Ty_1\geq Ty_2 $, 则$ T $被称为减算子; 如果$ y_1< y_2\ (y_1, y_2\in U) $有$ Ty_1> Ty_2 $, 则其为严格减.

定义7.2   设算子$ T: K\to K $, $ \omega_{0}>\theta $ (即$ \omega_{0}\in K $, $ \omega_{0}\neq \theta $). 如果

(ⅰ) 对于任何$ u>\theta $, 都存在$ m=m(u)>0 $和$ M=M(u)>0 $, 使

(7.1) $ \begin{equation} m\omega_{0}\le Au\le M\omega_{0}. \end{equation} $

(ⅱ) 对于任何满足$ m_{1}\omega_{0}\le u\le M_{1}\omega_{0} $的$ u\in K $ (这里$ m_{1}=m_{1}(u)>0 $, $ M_{1}=M_{1}(u)>0 $), 以及$ 0<q<1 $, 都有$ \eta=\eta(u, q)>0 $存在, 使

(7.2) $ \begin{equation} T(q u)\le (1-\eta )q Tu, \end{equation} $

则称$ T $是$ \omega_{0} $ -凸算子.

定义7.3  设$ K^{\circ} $是实Banach空间$ X $中某体锥, $ T: K^{\circ}\to K^{\circ} $.

(ⅰ) 如果对于任何$ u>\theta $及$ 0<q<1 $, 均有

$ T(q u)\gg q Tu, $

则称$ T $是强次线性的;

(ⅱ) 如果对于任何$ u>\theta $及$ 0<q<1 $, 均有

$ T(q u)\ll q Tu, $

则称$ T $是强超线性的.

引理7.1   设$ K^{\circ} $是实Banach空间$ X $中某体锥, $ \omega_{0}\in K^{\circ} $.

(i) 若$ T $是强次线性的, 则$ T $必为$ \omega_{0} $ -凹算子.

(ii) 若$ T $是强超线性的, 则$ T $必为$ \omega_{0} $ -凸算子.

引理7.2   设$ T $是$ \omega_{0} $ -凸算子, 而且是增算子, 则$ T $至多只有一个正的(即$ >\theta $的)不动点.

对每一个$ i\in\{1, 2, \cdots , n\} $, 我们只考虑$ \alpha_i>1 $的情况.

定理7.1   假设条件(H$ _{1} $)和(H$ _{12} $)成立. 此外, 如果存在$ g_{i_{1}}(t, x) $满足$ \inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{1}}(t, x)>0, $则方程(1.4)和(1.2)至多有一个正双周期解.

证   $ A_{1} $的定义如(6.2)式所示. 然后对任意$ u>\theta $及$ 0<q<1 $, 有

$ \begin{eqnarray*} q(A_{1}u)(t, x)-[A_{1}(q u)](t, x) &=&q P\left(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x) u^{\alpha_{i}}(t, x)\right)-P\left(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)(q u)^{\alpha_{i}}(t, x)\right)\\ &=&q \sum\limits_{i=1}^{n}P\left(g_{i}(t, x) u^{\alpha_{i}}(t, x)\right)-\sum\limits_{i=1}^{n}q^{\alpha_{i}} P\left(g_{i}(t, x) u^{\alpha_{i}}(t, x)\right)\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{n}(q-q^{\alpha_{i}}) P\left(g_{i}(t, x) u^{\alpha_{i}}(t, x)\right) \\ &\ge&\sum\limits_{i=1}^{n}(q-q^{\alpha_{i}}) \underline{G}\Vert g_{i} u^{\alpha_{i}}\Vert_{1}\\ &\ge& (q-q^{\alpha_{i_{1}}})\tau_{1} \underline{G}\Vert u^{\alpha_{i_{1}}}\Vert_{1}>0, \end{eqnarray*} $

其中$ \tau_{1}=\inf\limits_{(t, x)\in {\Bbb T}^{2}} g_{i_{1}}(t, x)>0. $所以

$ A_{1}(q u)\ll q A_{1}u. $

这表明$ A_{1} $强超线性的. 根据引理7.1可知$ A_{1} $是$ \omega_{0} $ -凸算子且$ \omega_{0}\in K^{\circ}. $接下来, 我们证明$ A_{1} $是$ K $中的增算子.

若$ u_{1}\in K, \, u_{2}\in K $且$ u_{1}\le u_{2} $, 然后对任何$ \alpha_{i}>1 $, 均有

$ \begin{eqnarray*} u_{2}^{\alpha_{i}}-u_{1}^{\alpha_{i}}\ge 0. \end{eqnarray*} $

由(3.8)式推出

$ \begin{eqnarray*} (A_{1} u_{2})(t, x)-(A_{1}u_{1})(t, x) &=&P\left(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x)u_{2}^{\alpha_{i}}(t, x)\right)- P\left(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{i}(t, x) u_{1}^{\alpha_{i}}(t, x)\right)\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{n} P\left(g_{i}(t, x) u_{2}^{\alpha_{i}}(t, x)\right)- \sum\limits_{i=1}^{n}P\left(g_{i}(t, x) u_{1}3^{\alpha_{i}}(t, x)\right)\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{n}P\left[g_{i}(t, x) (u_{2}^{\alpha_{i}}(t, x)-u_{1}^{\alpha_{i}}(t, x))\right]\\ &\ge&\sum\limits_{i=1}^{n} \underline{G}\Vert g_{i} (u_{2}^{\alpha_{i}}-u_{1}^{\alpha_{i}})\Vert_{1}\\ &\ge &\tau_{1} \underline{G}\Vert u_{2}^{\alpha_{i_{1}}}-u_{1}^{\alpha_{i_{1}}}\Vert_{1}\ge0. \end{eqnarray*} $

根据引理7.2可知$ A_{1} $是$ K $中的增算子.

最后, 我们证明方程(1.4)和(1.2)至多有一个正双周期解.

假设方程(1.4)和(1.2)有两个正双周期解$ u_{3} $, $ u_{4} $ (即$ u_{3}>\theta $, $ u_{4}>\theta $), 使

$ A_{1}u_{3}=u_{3}, \ \ A_{1}u_{4}=u_{4}. $

根据定义7.2, 存在$ m_{1}>0 $和$ M_{1}>0 $, 使

$ m_{1}\omega_{0}\le A_1u_{3}\le M_{1}\omega_{0}, $

存在$ m_{2}>0 $和$ M_{2}>0 $, 使

$ m_{2}\omega_{0}\le A_1u_{4}\le M_{2}\omega_{0}. $

于是

$ u_{3}=A_{1}u_{3}\le M_{1}\omega_{0}\le \frac{M_{1}}{m_{2}}A_{1}u_{4}=\frac{M_{1}}{m_{2}}u_{4}. $

令$ q_{0} =\inf\{q:u_{3}\le qu_{4}\}. $由$ u_{3}>\theta, $我们可知$ 0<q<+\infty $. 然后, 我们将证明$ q_{0} \ge 1. $事实上, 若$ q_{0}<1 $, $ \eta_{0}>0 $, 则由(7.1})式和$ u_{3}\le q_{0}u_{4} $推出

$ u_{3}=A_{1}u_{3}\le A_{1}(q_{0}u_{4}) \le (1-\eta_{0}) q_{0}A_{1}u_{4}=(1-\eta_{0}) q_{0}u_{4}, $

这与$ q_{0} $的定义矛盾. 故$ q_{0}\ge 1 $, 从而$ u_{3}\le u_{4}. $同理可证$ u_{3}\ge u_{4}. $于是$ u_{3}= u_{4} $.引理7.2表明算子$ A_{1} $至多只有一个正的不动点. 这就证明了方程(1.4)和(1.2)至多只有一个正双周期解. 证毕.