假设$ \Delta = \sum\limits_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x^2_j} $为$ {{\Bbb R}} ^n $上的Laplace算子, 则由它生成的热半群为

$ \begin{eqnarray*} \label{Formu:HeatPointwise} e^{t\Delta}\varphi(x)=\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} e^{t\Delta}(x-y)\varphi(y){\rm d}y, \; x\in {{{\Bbb R}} }^{n}, \ \ t>0, \end{eqnarray*} $

其中$ e^{t\Delta}(x) $表示Gauss-Weierstrass核

$ e^{t\Delta}(x)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}. $

而分数阶Laplace算子$ (-\Delta)^\alpha(0<\alpha<1) $可以通过Fourier变换定义为一个伪微分算子

$ {\cal F}((-\Delta)^\alpha f)(\xi)=|\xi|^{2\alpha}{\cal F}( f) (\xi), $

其中$ {\cal F} $为Fourier变换. 与之相应的分数阶热半群可以定义为

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}\left(e^{-t(-\Delta)^\alpha}f\right) (\xi):=e^{-t|\xi|^{2\alpha}}{\cal F} (f)(\xi), \quad \alpha\in (0, 1). \end{eqnarray*} $

当$ \alpha=1/2 $时, 它就是Poisson半群. 近年来, 分数阶热半群$ \{e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}\}_{t>0} $在偏微分方程、调和分析、势论以及概率论中都被广泛提及. 例如, 半群$ \{e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}\}_{t>0} $经常被用来构造数学物理中流体方程(比如, Naiver-Stokes方程、MHD方程等等)的解的线性部分. 实际上$ e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}f(x) $是如下与分数阶Laplace算子相关的热方程

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_tu(x, t)+(-\Delta)^\alpha u(x, t)=0, \quad & (x, t)\in {{{\Bbb R}} }_+^{n+1}, \\ u(x, 0)=f(x), \ \ &x\in {{{\Bbb R}} }^n \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

的解. 在概率论中, 研究者经常利用$ \{e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}\}_{t>0} $来描述某些带跳的Markov过程. 与之相关的更多的内容以及与分数阶热半群$ \{e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}\}_{t>0} $相关的一些应用, 读者可以参见文献[4, 9]. 在文献[12]中, 作者们利用Fourier分析的技巧得到了$ e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}(x) $的热核估计

$ 0<{e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}(x)}\le \frac t{(t^{1/2\alpha}+|x|)^{n+2\alpha}}, \quad (x, t)\in {{{\Bbb R}} }_+^{n+1}. $

在本文中, 我们将把热半群$ \{e^{- {t(-\Delta)^\alpha}}\}_{t>0} $引入到概率论中鞅变换的研究中去(将鞅变换中的鞅$ \{f_n\}_{n\ge 1} $替换为$ \{e^{-a_n (-\Delta)^\alpha}\}_{n\ge 1} $). 1966年, Burkholder首次考虑了鞅变换这个算子, 参见文献[3]. 在文献[3]中, 作者主要证明了鞅变换的几乎处处收敛性. 在鞅理论中, 我们经常把鞅变换作为调和分析中奇异积分算子的一个替代工具. 实际上, 我们希望得到如下类型级数

(1.1) $ \begin{equation} \sum\limits_{j\in {{\Bbb Z}}} v_j[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} f(x)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha} f(x)] \end{equation} $

的收敛性, 其中$ \{v_j\}_{j\in {{\Bbb Z}}} $为有界实数列且$ \{a_j\}_{j\in {{\Bbb Z}}} $为递增正数列. 当$ v_j\equiv1 $时, 上述级数正好收敛到$ \lim_{t\rightarrow +\infty}e^{-t(-\Delta)^\alpha} f(x) $. Jones和Rosenblatt^[10]研究了与缺项数列相关的遍历平均和微分算子级数在$ L^p $空间上的有界性. 在文献[2]中, 作者们利用Calderón-Zygmund奇异积分理论再次证明了文献[10]中的结论. 在文献[5–6]中, 作者们证明了与单边分数阶Poisson型算子序列相关的微分变换算子的有界性和与由Laplace算子和Schrödinger算子生成的热半群相关的微分变换算子的有界性.

为了更好的理解级数(1.1), 我们需要分析其“部分和级数”: 对于每个$ N\in {{\Bbb Z}}^2, \; N=(N_1, N_2), $$ N_1<N_2, $我们定义部分和算子

(1.2) $ \begin{equation} T_N f(x)=\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} v_j[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} f(x)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha} f(x)], \ x\in {{\Bbb R}} ^n. \end{equation} $

同时, 我们将考虑极大算子

(1.3) $ \begin{equation} T^*f(x)=\sup\limits_N \left\vert{T_N f(x)}\right\vert, \quad x\in {{{\Bbb R}} }^n, \end{equation} $

其中的上确界取遍所有的$ N=(N_1, N_2)\in {{\Bbb Z}}^2, $$ N_1< N_2 $.

在本文中, 某些结果只有当数列$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $为缺项数列时才成立. 我们称一个数列$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $为$ \lambda $ -缺项数列, 如果存在$ \lambda >1 $使得$ \frac{a_{j+1}}{a_j} \ge \lambda, \, j \in \mathbb{Z}, $成立. 特别地, 我们将证明极大算子$ T^* $在加权空间$ L^p({{\Bbb R}} ^{n}, \omega) $上的有界性, 其中$ \omega $是$ {{\Bbb R}} ^{n} $上的Muckenhoupt $ A_p $权. 关于$ A_p $权的定义及性质, 参见文献[7, 第7章]. 我们还将考虑这些算子在$ L^\infty $空间和$ BMO $空间上的有界性. $ BMO( {{{\Bbb R}} }^n) $空间为所有满足$ f^{\sharp} \in L^\infty({{\Bbb R}} ^n) $的函数$ f $构成的集合, 其中

$ f^{\sharp} (x) = \sup\limits_{x \in B} \bigg\{ \frac1{|B|} \int_B\Big|f(z)- \frac1{|B|} \int_B f \Big|{\rm d}z \bigg\}. $

另外, 我们定义$ \|f\|_{BMO({{\Bbb R}}^n)}= \|f^{\sharp} \|_{L^\infty({{\Bbb R}} ^n)} $. 实际上, 我们有如下结论.

定理1.1  假设数列$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $是一个$ \lambda $ -缺项数列$ (\lambda >1) $, $ T^* $为(1.3)式中所定义的算子, 那么

(a) 对于任意的$ 1<p<\infty $和$ \omega\in A_p $, 存在依赖于$ n, p, \omega, \lambda $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \left\Vert{T^* f}\right\Vert_{L^p({{\Bbb R}} ^{n}, \omega)}\leq C\left\Vert{f}\right\Vert_{L^p({{\Bbb R}} ^{n}, \omega)} $

对于所有的$ f\in L^p( {{{\Bbb R}} }^{n}, \omega) $都成立;

(b) 对于任意的$ \omega\in A_1 $, 存在依赖于$ n, \omega, \lambda $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \omega\left({\{x\in {{{\Bbb R}} }^{n}:\left\vert{T^* f(x)}\right\vert>\sigma\}}\right) \le C\frac{1}{\sigma}\left\Vert{f}\right\Vert_{L^1({{\Bbb R}} ^{n}, \omega)}, \quad \sigma>0 $

对于所有的$ f\in L^1( {{{\Bbb R}} }^{n}, \omega) $都成立;

(c) 给定$ f\in L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n), $那么, 要么$ T^* f(x) =\infty $, $ x\in {{\Bbb R}} ^n $, 要么$ T^* f(x) < \infty $ a.e. $ x\in {{\Bbb R}} ^n $. 在后一种情况下, 存在依赖于$ n, \lambda $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \left\Vert{T^*f}\right\Vert_{BMO({{\Bbb R}} ^n)}\leq C\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty({{\Bbb R}} ^n)}; $

(d) 给定$ f\in BMO( {{{\Bbb R}} }^n), $那么, 要么$ T^* f(x) =\infty $, $ x\in {{\Bbb R}} ^n $, 要么$ T^* f(x) < \infty $ a.e. $ x\in {{\Bbb R}} ^n $. 在后一种情况下, 存在依赖于$ n, \lambda $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

(1.4) $ \begin{equation} \left\Vert{T^*f}\right\Vert_{ BMO({{\Bbb R}} ^n)}\leq C\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO({{\Bbb R}} ^n)}. \end{equation} $

上述命题中出现的常数$ C $都不依赖于$ N. $

注1.1  由定理1.1中的结论知, 对于任意的$ f\in L^p( {{{\Bbb R}} }^{n}, \omega) $, $ \omega\in A_p $, 我们可以定义$ T f $为$ T_N f $在$ L^p(\omega) $ -范数意义下的极限

$ T f(x)=\lim\limits_{(N_1, N_2)\rightarrow (-\infty, +\infty)} T_N f(x), \quad \quad \; x\in {{{\Bbb R}} }^{n}. $

关于更多与$ T_N f $收敛相关的结果, 见定理3.2.

在经典调和分析中, 如果$ f= \chi_{(0, 1)} $, $ {\cal H} $为Hilbert变换, 那么$ \frac1{r} \int_{-r}^0 {\cal H}(f)(x){\rm d}x\ \sim \log\frac{e}{r} $, $ r \to 0^+ $. 一般地, 这是奇异积分算子作用在有界函数上, 其在原点附近的增长性. 下面定理表明, 如果$ f $为有界函数, 那么$ T^*f $在原点附近的增长性是和奇异积分算子相同的. 关于变差算子的类似性质, 参见文献[1].

下面定理给出了算子$ T^* $在$ L^\infty $上的局部增长性质.

定理1.2  假设$ \{v_j\}_{j\in {\Bbb Z}}\in l^p({\Bbb Z}) $, $ 1 \le p\le \infty, $$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $为任意递增正数列, $ T^* $为(1.3)式中所定义的极大算子, 那么, 对于任意支撑在单位球$ B=B(0, 1) $上的$ f\in L^\infty({{\Bbb R}} ^n) $, 对于任意的球$ B_r\subset B $, $ 2r<1 $, 我们有

$ \frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left\vert{T^* f (x)}\right\vert {\rm d}x\leq C\left(\log \frac{2}{r}\right)^{1/p'}\left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\|f\|_{L^\infty({{\Bbb R}} ^n)}. $

在上述叙述中, $ p' = \frac{p}{p-1}, $且如果$ p=1 $, 那么$ p'=\infty. $

在第2节中, 通过利用Calderón-Zygmund理论, 我们证明了算子$ T_N $的一致有界性. 在第3节中, 我们将给出定理1.1的证明. 在最后一节中, 我们给出了定理1.2的证明.

在本文中, 符号$ C, c $表示依赖于某些参数的正常数. 我们将频繁地用到如下不等式: 对于某正数$ A $和非负实数$ a, $有

$ \sup\limits_{t>0}t^a e^{-At}=C_{a, A}<\infty. $

为了证明定理1.1, 在本节中, 我们将做一些准备工作. 实际上, 我们将证明算子$ T_N $关于$ N $的一致有界性. 作为基本工具, 标准的Calderón-Zygmund理论将要被用来证明该一致有界性. 关于该Calderón-Zygmund理论, 读者可以参见经典的调和分析方面的书籍, 譬如文献[7–8]. 众所周知, 要使用该理论我们需要得到算子的$ L^{p_0}({{\Bbb R}} ^n) $有界性对于某$ 1<p_0< \infty $成立, 且该算子的核为标准核.

在下面命题中, 我们将证明算子$ T_N $的$ L^2 $一致有界性.

命题2.1  存在依赖于$ n $, $ \alpha $和$ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $ (不依赖于$ N $)的常数$ C>0 $使得

$ \|T_N f \|_{L^2( {{{\Bbb R}} }^{n})}\leq C \|f \|_{L^2( {{{\Bbb R}} }^{n})}. $

证   假设$ f\in L^2( {{{\Bbb R}} }^{n}) $, 由Fourier变换的Plancherel定理, 得

$ \begin{eqnarray*} \left\Vert{T_N f }\right\Vert^2_{L^2( {{{\Bbb R}} }^{n})} & =& \Bigg\|\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} v_j \left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} f -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}f\right]\Bigg\|^2_{L^2( {{{\Bbb R}} }^{n})}\\ &= & \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Big\{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} v_j\left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} f(x) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}f(x)\right] \Big\}^2 {\rm d}x \\ &=& \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Bigg\{({\cal F}{\Big\{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} v_j\left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} f(\cdot) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}f(\cdot)\right] \Big\}}(\xi) \Bigg\}^2 {\rm d}\xi\\ & =& \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Big\{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} v_j \int_{a_j}^{a_{j+1}}\partial_t {\cal F} \left(e^{-t(-\Delta)^\alpha} f \right)(\xi){\rm d}t \Big\}^2 {\rm d}\xi\\ &\le& C\left\Vert{v}\right\Vert^2_{\ell^\infty({\Bbb Z})} \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Big\{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} \Big|\int_{a_j}^{a_{j+1}}\partial_t {\cal F}\left(e^{-t(-\Delta)^\alpha} f\right)(\xi){\rm d}t\Big| \Big\}^2 {\rm d}\xi\\ &=& C_v \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Big\{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2}\int_{a_j}^{a_{j+1}}\left\vert{\xi}\right\vert^{2\alpha} e^{-t\left\vert{\xi}\right\vert^{2\alpha}} \big|{\cal F}( f)(\xi)\big|{\rm d}t \Big\}^2 {\rm d}\xi\\ &\le & C_v \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Big\{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} \int_{a_j}^{a_{j+1}}\left\vert{\xi}\right\vert^{2\alpha} e^{-t\left\vert{\xi}\right\vert^{2\alpha}}{\rm d}t|{\cal F}( f)(\xi)| \Big\}^2 {\rm d}\xi\\ &\le& C_v \int_{{{\Bbb R}} ^n} \Big\{\Big|\int_0^\infty\left\vert{\xi}\right\vert^{2\alpha} e^{-t\left\vert{\xi}\right\vert^{2\alpha}}{\rm d}t \Big||{\cal F}( f)(\xi)| \Big\}^2 {\rm d}\xi\\ & \le & C_{v, \alpha, n} \|f\|_{L^2( {{{\Bbb R}} }^n)}^2. \end{eqnarray*} $

证毕.

引理2.1  存在依赖于$ n $和$ \alpha $的常数$ C>0 $, 有

(i)

$ \begin{eqnarray*} \label{1} 0<{e^{-t(-\Delta)^\alpha} (x)}\leq C \frac t{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|x|)^{n+2\alpha}}, \quad x\in {{{\Bbb R}} }^n, \; t>0, \end{eqnarray*} $

(ii)

$ \begin{eqnarray*} \left\vert{ \partial_t e^{-t(-\Delta)^\alpha} (x)}\right\vert\leq C \frac 1{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|x|)^{n+2\alpha}}, \quad x\in {{{\Bbb R}} }^n, \; t>0, \end{eqnarray*} $

(iii)

$ \begin{eqnarray*} \left\vert{ \nabla_x e^{-t(-\Delta)^\alpha} (x)}\right\vert\leq C \frac 1{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|x|)^{n+1}}, \quad x\in {{{\Bbb R}} }^n, \; t>0, \end{eqnarray*} $

(iv)

$ \begin{eqnarray*} { \left\vert{\partial_t \nabla_x e^{-t(-\Delta)^\alpha} (x)}\right\vert\leq C \frac {1}{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|x|)^{n+2\alpha+1}}, \quad x\in {{{\Bbb R}} }^n, \; t>0.} \end{eqnarray*} $

证   (i)的证明参见文献[9, 引理5.4]. 对于其他估计, 通过利用文献[12, 引理2.1–2.2, 注2.1]中的结果, 易证.

下面命题中的估计给出了Calderón-Zygmund理论中对于算子核的大小估计和光滑性估计.

命题2.2  如果$ f\in L^p({{\Bbb R}} ^n), 1\le p \le \infty $, 那么

$ T_Nf(x) = \int_{{{\Bbb R}} ^n} K_N(y)f(x-y){\rm d}y, $

其中

$ \begin{eqnarray*} \label{kernel} K_N(y) = \sum\limits_{j=N_1}^{N_2}v_j \left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} (y)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha} (y)\right]. \end{eqnarray*} $

进一步, 存在依赖于$ n, \alpha $和$ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $ (不依赖于$ N $)的常数$ C>0 $使得, 对于任意的$ y\neq 0, $都有

i) $ | K_N(y)|\leq \frac{C}{|y|^{n}} $,

ii) $ |\nabla_y K_N(y)| \leq \frac{C}{|y|^{n+1}} $.

证   由于$ e^{-t(-\Delta)^\alpha}f(x)=\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-t(-\Delta)^\alpha}(y)f(x-y){\rm d}y, $$ T_Nf $可以表示为本命题中的积分形式.

i) 由引理2.1, 得

$ \begin{eqnarray*} | K_N (y)| &\leq & \sum\limits_{j=N_1}^{N_2}\left\vert{v_j}\right\vert \left\vert{e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} (y)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha} (y)}\right\vert\\ &\le& C_{n, v} \sum\limits_{j=-fanxiexian_myfh}^{fanxiexian_myfh} \left|\int_{a_j}^{a_{j+1}}\partial_t e^{-t(-\Delta)^\alpha}(y) {\rm d}t\right|\\ &\le& C_{n, v, \alpha}\int_{0}^{\infty}\frac 1{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|y|)^{n+2\alpha}}{\rm d}t = C_{n, v, \alpha}{1 \over {|y|^{n}}}. \end{eqnarray*} $

ii) 与i)中证明类似, 由引理2.1, 有

$ \begin{eqnarray*} |\nabla_y K_N (y)| &\leq& \sum\limits_{j=N_1}^{N_2}\left\vert{v_j}\right\vert \left\vert{\nabla_y e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y)-\nabla_y e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y)}\right\vert\\ &\le& C_{n, v} \sum\limits_{j=-fanxiexian_myfh}^{fanxiexian_myfh}\int_{a_j}^{a_{j+1}}\left|\partial_t \nabla_y e^{-t(-\Delta)^\alpha}(y) \right|{\rm d}t\\ &\le& C_{n, v, \alpha}\int_{0}^{\infty}\frac {1}{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|y|)^{n+2\alpha+1}}{\rm d}t \\ &= &C_{n, v, \alpha}{1 \over {|y|^{n+1}}}. \end{eqnarray*} $

证毕.

从而, 我们可以得到如下关于$ T_N $一致有界性的定理.

定理2.1  假设$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $为递增正数列, $ \{T_N\}_{N=(N_1, N_2)} $为(1.2)式中所定义的算子, 那么

(a) 对于任意的$ 1<p<\infty $和$ \omega\in A_p $, 存在依赖于$ n, p, \omega $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \left\Vert{T_N f}\right\Vert_{L^p({{\Bbb R}} ^{n}, \omega)}\leq C\left\Vert{f}\right\Vert_{L^p({{\Bbb R}} ^{n}, \omega)} $

对所有函数$ f\in L^p( {{{\Bbb R}} }^{n}, \omega) $都成立;

(b) 对于任意的$ \omega\in A_1 $, 存在依赖于$ n, \omega $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \omega\left({\{x\in {{{\Bbb R}} }^{n}:\left\vert{T_N f(x)}\right\vert>\sigma\}}\right) \le C\frac{1}{\sigma}\left\Vert{f}\right\Vert_{L^1({{\Bbb R}} ^{n}, \omega)}, \quad \sigma>0 $

对所有函数$ f\in L^1( {{{\Bbb R}} }^{n}, \omega) $都成立;

(c) 存在依赖于$ n $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \left\Vert{T_N f}\right\Vert_{BMO({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty({{\Bbb R}} ^{n})} $

对所有函数$ f\in L^\infty( {{{\Bbb R}} }^{n}) $都成立;

(d) 存在依赖于$ n $, $ \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \alpha $的常数$ C $使得

$ \left\Vert{T_N f}\right\Vert_{BMO( {{{\Bbb R}} }^n)}\le C\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO( {{{\Bbb R}} }^n)} $

对所有函数$ f\in BMO( {{{\Bbb R}} }^n) $都成立.

上述命题中的常数$ C $都不依赖于$ N. $

证   由命题2.1和命题2.2我们知道, 算子$ T_N $为一个Calderón-Zygm算子. 在Calderón-Zygmund理论中, 要证明的算子$ T_N $的$ L^p $有界性常数只依赖于$ L^{p_0}({{\Bbb R}} ^n) $ (实际上, $ p_0=2 $)有界性中的常数和核估计中的常数. 从而, 算子$ T_N $的$ L^p( {{{\Bbb R}} }^n) $一致有界性可以由Calderón-Zygmund理论直接得出. 作用在$ L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n) $上的算子$ T_N $的有限性是显然的: 因为对于每个$ N $, $ K_N $是可积函数. 另一方面, 如果$ f\in BMO( {{{\Bbb R}} }^n) $, 我们可以证明如下. 令$ B=B(x_0, r_0) $和$ B^*=B(x_0, 2r_0) $, 其中$ x_0\in {{{\Bbb R}} }^n $且$ r_0>0 $. 分解$ f $为

$ f=(f-f_B)\chi_{B^*}+(f-f_B)\chi_{(B^*)^c}+f_B=:f_1+f_2+f_3. $

因为函数$ f_1 $是可积的, 所以$ T_N f_1(x)<\infty, $$ a.e.\ x\in {{{\Bbb R}} }^n. $对于$ T_N f_2 $, 注意到, 对于任意的$ x\in B $和$ t>0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} e^{-t(-\Delta)^{\alpha}} f_2(x)&= &\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} e^{-t(-\Delta)^{\alpha}}(x-y) f_2 (y){\rm d}y\\ & \le& C \sum\limits_{k=1}^\infty\int_{2^kr_0<|x_0-y|\le 2^{k+1}r_0} \frac t{(t^{\frac 1{2\alpha}}+|x-y|)^{n+2\alpha}}\left\vert{f(y)-f_B}\right\vert{\rm d}y\\ &\le &Ct\sum\limits_{k=1}^\infty{(2^kr_0)}^{-2\alpha}{1\over {(2^kr_0)}^{n}}\int_{|x_0-y|\le 2^{k+1}r_0} \left\vert{f(y)-f_B}\right\vert{\rm d}y\\ &\le & Ct \sum\limits_{k=1}^\infty{(2^kr_0)}^{-2\alpha}(1+2k)\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO( {{{\Bbb R}} }^n)}<\infty. \end{eqnarray*} $

故, 对于任意的$ x\in B $和$ t>0, $$ e^{-t(-\Delta)^{\alpha}} f_2(x) $是有限的. 因为$ T_N f_2(x) $是有限和, 而$ x_0, r_0 $是任意的, 所以$ T_N f_2(x)<\infty $$ a.e. $$ x\in {{{\Bbb R}} }^n. $最后, 注意到因为对于任意的$ j\in {\Bbb Z}, $都有$ e^{{- a_j(-\Delta)^{\alpha}}} f_3\equiv f_B $, 故$ T_N f_3(x)\equiv 0 $. 从而, $ T_N f(x)<\infty $$ a.e. $$ x\in {{{\Bbb R}} }^n. $那么, 由命题2.1和命题2.2, 我们得到定理2.1 (c)的证明. 对于(d), 因为$ T_N1=0 $, 故是显然的, 参见文献[3].

在本节中, 我们将给出定理1.1有关极大算子$ T^* $的有界性的证明. 下面的引理, 与文献[2, 命题3.2]类似(参见文献[5, 命题3.1]), 表明, 不失一般性, 我们可以假设

(3.1) $ \begin{equation} 1<\lambda \leq {a_{j+1} \over a_j}\leq \lambda^2, \quad j\in {\Bbb Z}. \end{equation} $

引理3.1  给定一个$ \lambda $ -缺项数列$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $和一个乘子数列$ \{v_j\}_{j\in {\Bbb Z}}\in \ell^\infty({\Bbb Z}) $, 我们可以定义一个新的$ \lambda $ -缺项数列$ \{\eta_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $和$ \{\omega_j\}_{j\in {\Bbb Z}}\in \ell^\infty({\Bbb Z}) $满足如下性质:

(i) $ 1<\lambda \leq \eta_{j+1}/\eta_j\leq \lambda^2, \quad \left\Vert{\{\omega_j\}}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})}=\left\Vert{\{v_j\}}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $.

(ii) 对所有的$ N=(N_1, N_2) $, 存在$ N'=(N_1', N_2') $使得$ T_N=\tilde{T}_{N'}, $其中$ \tilde{T}_{N'} $为由(1.2)式定义的与新数列$ \{\eta_j\}_{j\in {{\Bbb Z}}} $和$ \{\omega_j\}_{j\in {{\Bbb Z}}} $相关的算子.

证   该引理的证明与文献[2, 命题3.2]的证明类似, 此处略去.

有了如上引理, 在本文的剩余部分我们可以假设$ \lambda $ -缺项数列$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $满足(3.1)式.

为了证明定理1.1, 我们需要一个Cotlar型不等式来控制算子$ T^* $. 即, 我们有如下定理.

定理3.1  对于任意的$ q\in (1, +\infty), $存在依赖于$ n, \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} $和$ \lambda $的常数$ C $使得, 对于任意的$ x\in {{{\Bbb R}} }^n $和$ M\in {\Bbb Z}^+ $, 有

$ \begin{eqnarray*} T_M^*f(x)\le C\left\{ {\mathcal M}(T_{(-M, M)} f)(x)+ {\mathcal M}_q f(x)\right\}, \end{eqnarray*} $

其中

$ T_M^{*}f(x)=\sup\limits_{-M\le N_1<N_2\le M}\left\vert{ T_N f(x)}\right\vert $

且

$ \begin{eqnarray*} \label{Mq} {\mathcal M}_qf(x)=\sup\limits_{r>0} \left(\frac{1}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)}\left\vert{f(y)}\right\vert^q{\rm d}y\right)^{1\over q}, \quad 1< q<\infty. \end{eqnarray*} $

为了证明上面定理, 我们需要如下引理.

引理3.2  假设$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $为一个$ \lambda $ -缺项数列, $ \{v_j\}_{j\in {\Bbb Z}} \in \ell^\infty({\Bbb Z}) $, 那么

(i)

$ \left\vert{\sum\limits_{j=m}^{M}v_j \left[e^{-a_{j+1} (-\Delta)^\alpha}(x-y)- e^{-a_{j} (-\Delta)^\alpha}(x-y)\right] }\right\vert \le { {C_{v, \lambda, \alpha, n}} \over a_m^{n/2\alpha}}, $

(ii) 如果$ k\ge m $和$ z, y \in{{\Bbb R}} ^n $满足$ |z-y|\ge a_k^{1/2\alpha} $, 那么

$ \begin{eqnarray*} \Bigg|\sum\limits_{j=-M}^{m-1}v_j \left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(z-y)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(z-y) \right] \Bigg|\, \le C_{v, \alpha, n}(\lambda^2-1)\frac{\lambda^{-(k-m+1)}}{a_k^{n/2\alpha}}. \end{eqnarray*} $

证   由中值定理和引理2.1知, 存在$ \xi_j \in [a_j, a_{j+1}] $使得

$ \begin{eqnarray*} &&\left\vert{\sum\limits_{j=m}^{M}v_j \left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(x-y)- e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(x-y) \right] }\right\vert\\ &\le& C\left\Vert{v}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z})} \sum\limits_{j=m}^{M} (a_{j+1}-a_j)\left\vert{\partial_t e^{-t(-\Delta)^\alpha}(x-y)\big|_{t=\xi_j}}\right\vert\\ &\le& C_{v} \sum\limits_{j=m}^{M} (a_{j+1}-a_j) \left\vert{\frac 1{(\xi_j^{\frac{1}{2\alpha}}+|x-y|)^{n+2\alpha}}}\right\vert \\ &\le &C_{v} \sum\limits_{j=m}^{M} (\lambda^2-1)a_j ^{-{n\over 2\alpha}} \le C_{v, \lambda} \frac1{a_m^{n/2\alpha}} \sum\limits_{j=m}^{M} \frac1{\lambda^{n(j-m)/2\alpha}} \\ & \le& C_{v, \lambda, \alpha, n} {1\over a_m^{n/2\alpha}}, \end{eqnarray*} $

在上式中, 我们利用了$ \lambda\le {a_{j+1}\over a_j}\le \lambda^2. $ (ii). 由中值定理, 存在$ \xi_j \in [a_j, a_{j+1}] $使得

$ \begin{eqnarray*} && \left\vert{\sum\limits_{j=-M}^{m-1}v_j \left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(z-y)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(z-y) \right] }\right\vert\\ &\le& C\left\Vert{v}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z})} \sum\limits_{j=m}^{M} (a_{j+1}-a_j)\left\vert{\partial_t e^{-t(-\Delta)^\alpha}(x-y)\big|_{t=\xi_j}}\right\vert\\ &\le& C_{v, \alpha, n}\sum\limits_{j=-M}^{m-1}(\lambda^2-1)a_j \frac 1{(\xi_j^{ 1/{2\alpha}}+|x-y|)^{n+2\alpha}} \\ &\le& C_{v, \alpha, n}(\lambda^2-1)\sum\limits_{j=-M}^{m-1}{a_j \over (\xi_j^{ 1/{2\alpha}}+|x-y|)^{n+2\alpha}} \\ &\le &C_{ v, \alpha, n}(\lambda^2-1) \sum\limits_{j=-M}^{m-1} {\frac{ a_j }{a_k }}\bigg({1\over a_k^{n/2\alpha}}\bigg)\\ &\le &C_{ v, \alpha, n} (\lambda^2-1) {\lambda^{-(k-m+1)}\over a_k^{n/2\alpha}}, \end{eqnarray*} $

其中我们利用了$ k \ge m. $

下面我们给出定理3.1的证明.

定理3.1的证明  注意到, 对于任意的$ x_0\in {{{\Bbb R}} }^n $和$ N=(N_1, N_2), $有

$ T_N f(x_0)=T_{(N_1, M)} f(x_0)-T_{(N_2+1, M)} f(x_0), $

其中$ -M\le N_1<N_2\le M. $则, 只需要估计$ \left\vert{T_{(m, M)} f(x_0)}\right\vert $, 其中$ \left\vert{m}\right\vert\le M $, 且估计式中的常数必须不依赖于$ m $和$ M. $记$ B_k=B(x_0, a_k^{1/2\alpha}) $, $ k\in \mathbb N $. 我们分解$ f $为

$ \begin{eqnarray*} f=f\chi_{B_m}+f\chi_{B_m^c}=:f_1+f_2. \end{eqnarray*} $

那么, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \left\vert{T_{(m, M)} f(x_0)}\right\vert\le \left\vert{ T_{(m, M)} f_1(x_0)}\right\vert+\left\vert{T_{(m, M)} f_2(x_0)}\right\vert =: I+II. \end{eqnarray*} $

对于$ I $, 由引理3.2 (i), 有

$ \begin{eqnarray*} I&=&\left\vert{T_{(m, M)} f_1(x_0)}\right\vert\\ &=&\left\vert{\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \sum\limits_{j=m}^{M}v_j \left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(x_0-y)- e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(x_0-y)\right] f_1(y){\rm d}y}\right\vert\\ &\le& C_{n, v, \lambda, \alpha} {1\over \left\vert{a^{n/2\alpha}_m}\right\vert} \int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \left\vert{f_1(y)}\right\vert{\rm d}y \le C_{v, \lambda, n, \alpha} {\mathcal M} f(x_0). \end{eqnarray*} $

对于$ II $, 有

$ \begin{eqnarray*} \label{equ:II} II&=&\left\vert{T_{(m, M)} f_2(x_0)}\right\vert=\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha})} \left\vert{T_{(m, M)} f_2(x_0)}\right\vert{\rm d}z \\ &\le &\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha })}\left\vert{T_{(-M, M)} f(z)}\right\vert{\rm d}z\\ &\quad& +\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha})}\left\vert{T_{(-M, M)} f_1(z)}\right\vert{\rm d}z\\ &\quad &+\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha})}\left\vert{T_{(m, M)} f_2(z)-T_{(m, M)} f_2(x_0)}\right\vert{\rm d}z\\ &\quad &+\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha})}\left\vert{T_{(-M, m-1)} f_2(z)}\right\vert{\rm d}z\\ &=:&A_1+A_2+A_3+A_4. \end{eqnarray*} $

(若$ m=-M $, 则记$ A_4=0 $). 显然

$ \begin{eqnarray*} A_1\le {\mathcal M} (T_{(-M, M)} f)(x_0). \end{eqnarray*} $

对于$ A_2, $由$ T_{N} $的一致有界性, 有

$ \begin{eqnarray*} A_2&\le& \left(\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B_{m-1}}\left\vert{T_{(-M, M)} f_1(z)}\right\vert^q{\rm d}z\right)^{1/q}\le C\left(\frac{1}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\left\vert{f_1(z)}\right\vert^q{\rm d}z\right)^{1/q}\\ &=&C\left(\frac{1}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B_{m}}\left\vert{f(z)}\right\vert^q{\rm d}z\right)^{1/q}\le C\left(\frac{\lambda^{n/2\alpha}}{a_{m}^{n/2\alpha}}\int_{B_{m}}\left\vert{f(z)}\right\vert^q{\rm d}z\right)^{1/q}\le C {\mathcal M}_q f(x_0). \end{eqnarray*} $

对于第三部分$ A_3 $, 由$ z\in B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha}) $, 得

$ \begin{eqnarray*} &&\left\vert{T_{(m, M)} f_2(z)-T_{(m, M)} f_2(x_0)}\right\vert\\ &=&\left\vert{\int_{B_{m}^c} K_{(m, M)}(z- y)f(y){\rm d}y-\int_{B_m^c} K_{(m, M)}(x_0- y)f(y){\rm d}y }\right\vert\\ &\le& \int_{B_m^c} \left\vert{K_{(m, M)}(z- y)-K_{(m, M)}(x_0- y)}\right\vert\left\vert{f(y)}\right\vert{\rm d}y\\ &=&\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\int_{B_{2^jm} \setminus B_{2^{j-1}m}} \left\vert{K_{(m, M)}(z- y)-K_{(m, M)}(x_0- y)}\right\vert\left\vert{f(y)}\right\vert{\rm d}y, \end{eqnarray*} $

其中$ B_{2^jm}=B(x_0, 2^ja_m^{1/ 2\alpha}) $, $ j\ge 1. $由中值定理知, 在线段$ \overline{x_0z} $上存在某点$ \xi $使得

$ \begin{eqnarray*} \left\vert{K_{m, M}(z- y)-K_{m, M}(x_0- y)}\right\vert&\le& \left\vert{\bigtriangledown_\xi K_{m, M}(\xi- y)}\right\vert\left\vert{z-x_0}\right\vert\\ &\le& C \frac{\left\vert{z-x_0}\right\vert}{\left\vert{\xi-y}\right\vert^{n+1}} \le C\frac 1{2^{j}}\cdot\frac{a_{m-1}^{1/2\alpha}}{a_{m}^{1/2\alpha}}\cdot {1\over |2^ja_{m}^{1/2\alpha}|^{n}}, \end{eqnarray*} $

其中我们用到了在每个求和项中$ y \in B_{2^jm} \setminus B_{2^{j-1}m} $. 因此

$ \begin{eqnarray*} \left\vert{T_{m, M} f_2(z)-T_{m, M} f_2(x_0)}\right\vert & \le& C\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac 1{2^{j}}\frac{a_{m-1}^{1/2\alpha}}{a_m^{1/2\alpha}}{1\over |2^ja_{m}^{1/2\alpha}|^{n}}\int_{B_{2^jm}} \left\vert{f(y)}\right\vert{\rm d}y\\ &\le &C {\mathcal M} f(x_0)\frac{a_{m-1}^{1/2\alpha}}{a_m^{1/2\alpha}}\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac 1{2^{j}}\le C {\mathcal M} f(x_0). \end{eqnarray*} $

那么

$ \begin{eqnarray*} A_3=\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B_{m-1}}\left\vert{T_{m, M} f_2(z)-T_{m, M} f_2(x_0)}\right\vert{\rm d}z \le C {\mathcal M} f(x_0). \end{eqnarray*} $

对于最后一部分$ A_4, $有

$ \begin{eqnarray*} A_4&=&\frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha})}\left\vert{ T_{(-M, m-1)} f_2(z)}\right\vert{\rm d}z\\ &\le& \frac{2^{n}}{a_{m-1}^{n/2\alpha}}\int_{B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha})}\int_{B_m^c}\left\vert{ K_{(-M, m-1)}(z- y) f(y)}\right\vert{\rm d}y{\rm d}z. \end{eqnarray*} $

进而, 我们先考虑上述不等式中的内部积分. 因为$ z\in B(x_0, {1\over 2}a_{m-1}^{1/2\alpha}) $, $ y\in B_m^c $且数列$ \{a_j\}_{j\in {\Bbb Z}} $是$ \lambda $ -缺项数列, 所以, $ \left\vert{z-y}\right\vert\sim \left\vert{y-x_0}\right\vert. $再由引理3.2 (ii), 得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{B_m^c}\left\vert{K_{(-M, m-1)}(z- y) f(y)}\right\vert{\rm d}y\\ &=&\sum\limits_{k=m}^{+\infty}\int_{B_{k+1}\setminus B_{k}} \left\vert{\sum\limits_{j=-M}^{m-1}v_j \left[ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(z- y)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(z- y)\right] f(y)}\right\vert{\rm d}y\\ &\le& C_{ v, \alpha, n} (\lambda^2-1)\sum\limits_{k=m}^{+\infty}\lambda^{-(k-m+1)}\left({1\over a_k^{n/2\alpha}}\int_{B_{k+1}\setminus B_{k}} \left\vert{f(y)}\right\vert{\rm d}y\right)\\ &\le &C_{ v, \alpha, n} (\lambda^2-1) {\mathcal M} f(x_0)\sum\limits_{k=m}^{+\infty}\lambda^{-(k-m+1)}\\ &\le &C_{\lambda, v, \alpha, n} {\mathcal M} f(x_0). \end{eqnarray*} $

故

$ A_4\le C {\mathcal M} f(x_0). $

综合上述关于$ A_1, A_2, A_3 $和$ A_4 $的估计, 得

$ II\le {\mathcal M} ( T_{(-M, M)} f)(x_0)+C {\mathcal M}_q f(x_0). $

故

$ \left\vert{ T_{(m, M)} f(x_0)}\right\vert\le C\left( {\mathcal M} (T_{(-M, M)} f)(x_0)+ {\mathcal M}_q f(x_0)\right). $

由于上述不等式中出现的常数$ C $只依赖于$ \left\Vert{v}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z})} $, $ \lambda $, $ \alpha $和$ n $, 我们证得

$ T^{*}_M f(x_0)\le C\left\{ {\mathcal M}( T_{(-M, M)} f)(x_0)+ {\mathcal M}_q f(x_0)\right\}. $

证毕.

现在, 有了以上准备工作, 我们可以给出定理1.1的证明.

定理1.1的证明  对于任意给定的$ \omega \in A_p $, 我们可以选择$ 1<q<p $使得$ \omega \in A_{p/q} $. 众所周知, 极大算子$ {\mathcal M} $和$ {\mathcal M}_q $在$ L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega) $空间上是有界的, 参见文献[7]. 另一方面, 因为算子$ T_N $在$ L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)(\omega \in A_p) $空间上是一致有界的, 所以

$ \begin{eqnarray*} \left\Vert{T_M^*f}\right\Vert_{L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)}&\le& C\left(\left\Vert{ {\mathcal M} (T_{(-M, M)} f)}\right\Vert_{L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)} +\left\Vert{ {\mathcal M}_q f}\right\Vert_{L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)}\right)\\ &\le &C\left(\left\Vert{T_{(-M, M)} f}\right\Vert_{L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)} +\left\Vert{f}\right\Vert_{L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)}\right)\le C\left\Vert{f}\right\Vert_{L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega)}. \end{eqnarray*} $

注意, 上式中的常数$ C $不依赖于$ M $. 因此, 令$ M $递增地趋于无穷大, 可以得到极大算子$ T^* $的$ L^p $有界性. 从而, 该定理(a)证明完毕.

为了证明(b), 我们考虑$ \ell^\infty({\Bbb Z}^2) $ -值的算子$ {\cal T}f(x) = \{ T_N f(x) \}_{N\in {\Bbb Z}^2} $. 因为$ \|{\cal T}f(x) \|_{\ell^\infty({\Bbb Z}^2)} $$ = T^*f(x) $, 利用(a)知, 算子$ {\cal T} $是从$ L^p( {{{\Bbb R}} }^n, \omega) $到$ L^p_{\ell^\infty({\Bbb Z}^2)}({{\Bbb R}} ^n, \omega) $空间上有界的, 其中$ 1<p<\infty $且$ \omega \in A_p $. 算子$ {\cal T} $的核为$ {\cal K}(x) = \{ K_N(x)\} _{N\in {\Bbb Z}^2} $. 因此, 算子$ {\cal T} $为$ \ell^\infty({\Bbb Z}^2) $ -值的奇异积分算子. 由向量值的Calderón-Zygmund理论(参见文献[13])知, 算子$ {\cal T} $是从$ L^1({{\Bbb R}} ^n, \omega) $空间到弱- $ L^1_{\ell^\infty({\Bbb Z}^2)} ({{\Bbb R}} ^n, \omega) $空间上有界的, 其中$ \omega \in A_1 $. 最后, 由$ \|{\cal T}f(x) \|_{\ell^\infty({\Bbb Z}^2)}= T^*f(x) $, 我们可以得到$ (b) $的证明.

对于(c)和(d), 我们将首先证明, 如果$ f\in BMO({{\Bbb R}} ^n) $, 且存在$ x_0\in {{\Bbb R}} ^n $使得$ T^*f(x_0)<\infty, $那么, $ T^*f(x)<\infty $$ a.e. $$ x\in {{{\Bbb R}} }^n $成立. 令$ B=B(x_0, 4\left\vert{x-x_0}\right\vert) $, 其中$ x\neq x_0 $. 分解$ f $为

$ \begin{eqnarray*} f=(f-f_B)\chi_B+(f-f_B)\chi_{B^c}+f_B=:f_1+f_2+f_3. \end{eqnarray*} $

注意, 对于任意的$ 1<p<\infty, $$ T^* $是$ L^p $有界的. 因为, 对于任意的$ 1<p<\infty, $$ f_1\in L^p({{\Bbb R}} ^n) $, 所以, $ T^*f_1(x)<\infty $. 又由于对于任意的$ j\in {\Bbb Z}, $$ e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}f_3=f_3 $, 所以$ T^* f_3=0 $. 另一方面, 由核的光滑性知

$ \begin{eqnarray*} \Big|T_N f_2(x)-T_N f_2(x_0)\Big| &=&\Big| \int_{B^c}\left(K_N(x- y) - K_N (x_0- y)\right)f_2(y){\rm d}y\Big|\\ &\le& C \int_{B^c} \frac{\left\vert{x-x_0}\right\vert}{\left\vert{y-x_0}\right\vert^{n+1}}\left\vert{f(y)-f_B}\right\vert{\rm d}y \\ &\le &C \sum\limits_{k=1}^{+\infty}{ |x-x_0|} \int_{2^{k} B\setminus 2^{k-1}B} {\left\vert{f(y)-f_B}\right\vert\over |y-x_0|^{n+1}}{\rm d}y\\ &\le &C \sum\limits_{k=1}^{+\infty}{ |x-x_0|\over (2^{k+1}|x-x_0|)^{n+1}} \int_{2^kB} {\left\vert{f(y)-f_B}\right\vert}{\rm d}y \\ &\le& C \sum\limits_{k=1}^{+\infty}2^{-(k+1)}{ 1\over \left\vert{2^{k}B}\right\vert} \int_{2^{k}B} \left( {\left\vert{f(y)-f_{2^kB}}\right\vert}+\sum\limits_{l=1}^{k}\left\vert{f_{2^lB}-f_{2^{l-1}B}}\right\vert\right){\rm d}y\\ &\le &C\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2^{-(k+1)}{ 1\over \left\vert{2^{k}B}\right\vert} \int_{2^{k}B} \left( {\left\vert{f(y)-f_{2^kB}}\right\vert}+2k\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO( {{{\Bbb R}} }^n)}\right){\rm d}y\\ &\le &C\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2^{-(k+1)}{(1+2k)\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO( {{{\Bbb R}} }^n)}}\\ &\le &C\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO( {{{\Bbb R}} }^n)}, \end{eqnarray*} $

其中$ 2^kB=B(x_0, 2^{k}\cdot 4|x-x_0|) $, $ k\in \mathbb N. $从而,

$ \begin{eqnarray*} \left\Vert{T_N f_2(x)-T_N f_2(x_0)}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z}^2)} \le C\left\Vert{f}\right\Vert_{BMO({{\Bbb R}} ^n)}, \end{eqnarray*} $

并且$ T^*f(x) = \left\Vert{T_N f(x)}\right\Vert_{l^\infty({\Bbb Z}^2)} \le C < \infty. $

最后, 因为$ {\cal T}1(x) = \{T_N1(x)\}= 0 $, 所以(1.4)式的证明可由经典调和分析中的$ T1 $定理得到. 证毕.

由定理1.1, 我们可以得到下面结论.

定理3.2  (a) 如果$ 1<p<\infty $且$ \omega\in A_p $, 那么, 对于任意的$ f\in L^p({{\Bbb R}} ^n, \omega) $, 当$ N=(N_1, N_2) $趋于$ (-\infty, +\infty) $时, $ T_N f $ a.e.收敛, 且以$ L^p({{\Bbb R}} ^n, \omega) $ -范数收敛.

(b) 如果$ p=1 $且$ \omega\in A_1 $, 那么, 对于任意的$ f\in L^1({{\Bbb R}} ^n, \omega) $, 当$ N=(N_1, N_2) $趋于$ (-\infty, +\infty) $时, $ T_N f $ a.e.收敛, 且以测度收敛.

证   首先, 我们将证明, 如果$ \varphi $是一个测试函数, 那么, 对于任意的$ x\in {{{\Bbb R}} }^n $, $ T_N \varphi(x) $都收敛. 为了证明此结论, 只需要证明, 对于任意的$ (L, M) $$ (0<L<M) $, 当$ L, M\rightarrow +\infty $时级数

$ A= \sum\limits_{j=L}^M v_j [ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} \varphi(x) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha} \varphi(x)] $

和

$ B= \sum\limits_{j=-M}^{-L} v_j [ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} \varphi(x) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha} \varphi(x)] $

收敛到零即可. 由引理2.1, 得

$ \begin{eqnarray*} |A| &=&\left\vert{\sum\limits_{j=L}^M v_j \int_{ {{{\Bbb R}} }^n}[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(x-y) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}(x-y)] \varphi(y){\rm d}y}\right\vert\\ & \le & C\int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\Bigg(\sum\limits_{j=L}^{M} \int_{a_j}^{a_{j+1}} \frac{1}{(t^{1/2\alpha}+|x-y|)^{n+2\alpha}}{\rm d}t\Bigg) |\varphi(y)|{\rm d}y\\ &\le &C \big(a_{M+1}^{-{n\over 2\alpha}}-a_{L}^{-{n\over 2\alpha}}\big) \|\varphi\|_{L^1( {{{\Bbb R}} }^n)} \longrightarrow 0, \quad \hbox{若}\ { L, M \to +\infty}. \end{eqnarray*} $

另一方面, 因为, 对于任意的$ j\in {\Bbb Z}, $有$ \int_{ {{{\Bbb R}} }^n}[ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(x-y) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}(x-y)]{\rm d}y=0 $, 所以

$ \begin{eqnarray*} B=\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \sum\limits_{j=-M}^{-L}v_j [ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}(y)] \left[\varphi(x-y)-\varphi(x)\right]{\rm d}y. \end{eqnarray*} $

类似于$ A $中处理方式, 并利用$ \varphi $是测试函数, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} |B|&\le& C \left\Vert{v}\right\Vert_{\ell^\infty({\Bbb Z})} \int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \sum\limits_{j=-M}^{-L} \left\vert{ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}(y) }\right\vert\left\vert{ \varphi(x-y)-\varphi(x)}\right\vert{\rm d}y\\ &\le &C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}\sum\limits_{j=-M}^{-L} \int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \frac {a_{j+1}|y|} {(a_j^{1/2\alpha}+|y|)^{n+2\alpha}}{\rm d}y\\ &\le & C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}\sum\limits_{j=-M}^{-L} a_j^{1\over 2\alpha}\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \frac {|y|}{a_{j}^{1\over 2\alpha}} \frac 1 {(1+{|y|\over a_j^{1/2\alpha}} )^{n+2\alpha}} {{\rm d}y\over a_j^{n/2\alpha}} \\ &\le &C_{n, \alpha}\left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} a_{-L}^{1/2\alpha} \sum\limits_{j=-M}^{-L} {a_j^{1/2\alpha}\over a_{-L}^{1/2\alpha}}\\ &\le &C_{n, \alpha}\left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} { \lambda^{1/2\alpha}\over \lambda^{1/2\alpha}-1} a_{-L}^{1/2\alpha}\longrightarrow 0, \quad \hbox{若}\ { L, M \to +\infty}, \end{eqnarray*} $

其中, 我们用到假设条件$ {1\over 2}<\alpha<1 $使得上述不等式中的积分收敛.

至于情形$ 0<\alpha< {1\over 2} $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} B & =&\int_{B(0, 1)} \sum\limits_{j=-M}^{-L}v_j [ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}(y)] \left[\varphi(x-y)-\varphi(x)\right]{\rm d}y\\ &\quad& +\int_{B(0, 1)^c} \sum\limits_{j=-M}^{-L}v_j [ e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) - e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}(y)] \left[\varphi(x-y)-\varphi(x)\right]{\rm d}y\\ &:=&B_1+B_2. \end{eqnarray*} $

对于$ B_1 $, 得

$ \begin{eqnarray*} |B_1|&\le &C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}\sum\limits_{j=-M}^{-L} \int_{B(0, 1)} \frac {a_{j+1}|y|} {(a_j^{1/2\alpha}+|y|)^{n+2\alpha}}{\rm d}y\\ &\le & C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}\sum\limits_{j=-M}^{-L} a_j^{1\over 2\alpha}\int_{B(0, 1)} \frac {|y|}{a_{j}^{1\over 2\alpha}} \frac 1 {(1+{|y|\over a_j^{1/2\alpha}} )^{n+2\alpha}} {{\rm d}y\over a_j^{n/2\alpha}} \\ &\le& C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} \sum\limits_{j=-M}^{-L} a_j^{1/2\alpha}\int_0^{a_j^{-{1 / 2\alpha}}}{r^n\over {(1+r)^{n+2\alpha}}}{\rm d}r\\ &\le &C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} a_{-L}\sum\limits_{j=-M}^{-L} {a_j \over a_{-L} }\\ &\le &C \left\Vert{\nabla \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} { \lambda \over \lambda -1} a_{-L} \longrightarrow 0, \quad \hbox{若}\ { L, M \to +\infty}. \end{eqnarray*} $

对于$ B_2, $得

$ \begin{eqnarray*} |B_2|&\le& C \left\Vert{ \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}\sum\limits_{j=-M}^{-L} \int_{B(0, 1)^c} \frac {a_{j+1} } {(a_j^{1/2\alpha}+|y|)^{n+2\alpha}}{\rm d}y\\ &\le & C \left\Vert{ \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}\sum\limits_{j=-M}^{-L} \int_{B(0, 1)^c} \frac 1 {(1+{|y|\over a_j^{1/2\alpha}} )^{n+2\alpha}} {{\rm d}y\over a_j^{n/2\alpha}} \\ &\le& C \left\Vert{ \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} \sum\limits_{j=-M}^{-L} \int^{+\infty}_ {a_j^{-{1 / 2\alpha}}}r^{-2\alpha-1}{\rm d}r\\ &\le &C \left\Vert{ \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} a_{-L}\sum\limits_{j=-M}^{-L} {a_j \over a_{-L} }\\ &\le &C \left\Vert{ \varphi}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} { \lambda \over \lambda -1} a_{-L} \longrightarrow 0, \quad \hbox{若}\ { L, M \to +\infty}. \end{eqnarray*} $

因此, 当$ 0<\alpha<{1\over 2} $时, 我们也证明了, 当$ L, M\rightarrow +\infty $时, $ |B|\rightarrow 0. $而对于$ \alpha={1\over 2} $时的情形, 参见文献[14]即可. 因此, 对于任意的$ x\in {{{\Bbb R}} }^n $, 我们证明了$ T_N \varphi(x) $收敛, 其中$ \varphi $为测试函数.

由于测试函数类在$ L^p({{\Bbb R}} ^n) $空间中是稠密的, 由定理1.1, 我们得到, 对于任意$ L^p({{\Bbb R}} ^n) $中的函数$ f $, $ T_Nf $是a.e.收敛的. 类似地, 因为$ L^p({{\Bbb R}} ^n) \cap L^p({{\Bbb R}} ^n, \omega) $在$ L^p({{\Bbb R}} ^n, \omega)(1\le p<\infty) $中是稠密的, 我们得到, 对于任意的$ 1\le p<\infty $, $ T_Nf $在$ L^p({{\Bbb R}} ^n, \omega) $上a.e.收敛. 再由控制收敛定理，我们可以证明$ T_Nf $以$ L^p({{\Bbb R}} ^n, \omega))(1<p<\infty) $ -范数收敛和以测度收敛. 证毕.

在本节中, 我们将给出极大算子$ T^* $的局部增长性的证明.

定理1.2的证明  我们将只证明$ 1<p<\infty $的情形. 对于$ p=1 $和$ p=\infty $的情形, 其证明是类似的, 而且更简单, 故略去. 因为$ 2r<1, $所以, $ B\backslash B_{2r}\neq \emptyset. $令

$ f(x)=f_1(x)+f_2(x), $

其中$ f_1(x)=f(x)\chi_{B_{2r}}(x) $, $ f_2(x)=f(x)\chi_{B\backslash B_{2r}}(x) $. 则

$ \left\vert{T^* f(x)}\right\vert\le \left\vert{T^* f_1(x)}\right\vert+\left\vert{T^* f_2(x)}\right\vert. $

由定理1.1, 知

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left\vert{T^* f_1 (x)}\right\vert {\rm d}x &\le& \left(\frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left\vert{T^* f_1 (x)}\right\vert^2 {\rm d}x\right)^{1/2} \\ &\le& C \left(\frac{1}{|B_r|} \int_{{{\Bbb R}} ^n}\left\vert{ f_1 (x)}\right\vert^2 {\rm d}x\right)^{1/2}\le C\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty({{\Bbb R}} ^n)}. \end{eqnarray*} $

另一方面, 利用Hölder不等式、Fubini定理和引理2.1知, 对于任意的$ 1< p < \infty $和$ N=(N_1, N_2) $, 有

$ \begin{eqnarray} \label{equ:Palpha} &&\left\vert{\sum\limits_{j=N_1}^{N_2}v_j\left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}f_2(x)- e^{-a_j(-\Delta)^\alpha}f_2(x)\right]}\right\vert\\ &\le& C\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} \left\vert{v_j \int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\left[e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y)\right] f_2(x-y){\rm d}y}\right\vert\\ &\le &C\left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\left[ \sum\limits_{j=N_1}^{N_2}\left(\int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\left\vert{e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y)}\right\vert \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert{\rm d}y\right)^{p'}\right]^{1/p'} \\ &\le &C\left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\Bigg[\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} \bigg\{\int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\left\vert{e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y)}\right\vert \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y\bigg\} {}\\ && \times \bigg\{\int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\left\vert{e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y) }\right\vert{\rm d}y \bigg\}^{p'/p} \Bigg]^{1/p'} \\ &\le &C \left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\left[\sum\limits_{j=N_1}^{N_2} \int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\left\vert{e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y) }\right\vert \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y \right]^{1/p'} \\ &\le &C \left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\left[\int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\sum\limits_{j=-\infty}^{+\infty} \left\vert{e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha}(y) -e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha}(y)}\right\vert \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y \right]^{1/p'} \\ &\le &C \left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\left[\int_{ {{{\Bbb R}} }^n}\int_0^{+\infty}\frac t{(t^{1/2\alpha}+|y|)^{n+2\alpha}}{\rm d}t \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y \right]^{1/p'} \\ &\le &C \left\Vert{v}\right\Vert_{l^p({\Bbb Z})}\left(\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \frac1{|y|^n} \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y \right)^{1/p'}. \end{eqnarray} $

因此

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left\vert{T^* f_2(x)}\right\vert{\rm d}x &\le& C\frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left(\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \frac1{|y|^n} \left\vert{f_2(x-y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y \right)^{1/p'}{\rm d}x \\ &=& C\frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left(\int_{ {{{\Bbb R}} }^n} \frac1{|x-y|^n} \left\vert{f_2(y)}\right\vert^{p'}{\rm d}y \right)^{1/p'}{\rm d}x \\ &\le& C\frac{\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}}{|B_r|} \int_{B_r} \bigg(\int_{r\le |x-y| \le 2} \frac1{|x-y|^n} {\rm d}y \bigg)^{1/p'}{\rm d}x \\ &\sim& \Big(\log\frac{2}{r}\Big)^{1/p'}\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}, \end{eqnarray*} $

其中, 我们利用了$ y\in B\backslash B_{2r} $和$ x\in B_r $. 从而, 我们证明了

$ \frac{1}{|B_r|} \int_{B_r} \left\vert{T^* f(x)}\right\vert{\rm d}x\le C\left(1+\Big(\log\frac{2}{r}\Big)^{1/p'}\right)\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)} \le C\Big(\log\frac{2}{r}\Big)^{1/p'}\left\Vert{f}\right\Vert_{L^\infty( {{{\Bbb R}} }^n)}. $

证毕.