丢番图逼近问题最初关注的是一个给定的无理数, 能被分母不超过$ q_0 $的有理数$ p/q $逼近到什么程度的问题. 狄利克雷^[6]证明了著名的狄利克雷定理.

狄利克雷定理   任给两个实数$ \theta, \; Q $ (其中$ Q\geq 1 $), 总存在整数$ n\in[1, Q] $使得

$ \| n \theta\| <Q^{-1}, $

其中$ \| \xi\| $表示$ \xi $到最近的整数的距离.

狄利克雷定理在文献[18] 中被称为一致逼近定理. 在文献[18] 中被称为渐进逼近定理的更弱版本的狄利克雷定理(勒让德^[12]称其为狄利克雷定理的推论)指出: 对任意实数$ \theta $, 存在无穷多个整数$ n\in{\Bbb N} $使得

$ \| n\theta\| <n^{-1}. $

辛钦^[10]将这个结果一般化, 证明对任意正函数$ \psi:{\Bbb N}\rightarrow {\Bbb R}^+ $, 如果$ n\mapsto n\psi(n) $是单调不增的, 那么当级数$ \sum\psi(n) $收敛时, 集合

$ {\cal L}_\psi:=\left\{\theta\in{\Bbb R}:\| n\theta\| <\psi(n), 对无穷多个 n\in{\Bbb N} 成立 \right\} $

是勒贝格零测集. 否则, 集合$ {\cal L}_\psi $是勒贝格满测集. 当集合$ {\cal L}_\psi $是勒贝格零测集时, 一个自然的想法是计算集合$ {\cal L}_\psi $的豪斯道夫维数. 集合$ {\cal L}_\psi $的豪斯道夫维数可以追溯到Jarník-Bosicovitch定理^{[2, 9]}. 该定理指出对所有的$ \tau>1 $, 均有

$ {\rm dim}_H\left( \left\{\theta\in{\Bbb R}:\| n\theta\| <\frac{1}{n^\tau}, 对无穷多个 n\in{\Bbb N} 成立 \right\}\right)=\frac{2}{1+\tau} $

成立, 其中$ {\rm dim}_H(\cdot) $表示集合的豪斯道夫维数.

类比经典的丢番图逼近问题, Hill和Velani^[8]研究了一个动力系统轨道的逼近性质并提出了著名的收缩靶问题: 对于流形$ M $上的保测变换$ T:M\rightarrow M $, 集合

$ \left\{x\in M:T^nx\in B(x_0, r(n)), 对无穷多个 n\in{\Bbb N} 成立 \right\} $

的尺寸(勒贝格测度, 豪斯道夫维数)是多少?其中$ B(x_0, r(n)) $是球心为$ x_0 $, 半径为$ r(n) $ ($ r(n)\rightarrow 0 $) 的小球. 当$ T $是黎曼球$ \overline{{\Bbb C}}={\Bbb C}\cup\{\infty\} $上的有理可扩映射时, Hill和Velani^[8]给出了答案. 该文研究$ \beta $ -变换下轨道的逼近性质. 区间$ [0, 1) $上的$ \beta $ - 变换$ T_\beta\; (\beta>1) $定义如下

$ T_\beta(x):=\beta x-\lfloor\beta x\rfloor, $

其中$ \lfloor\cdot\rfloor $为取整函数. 对于任意正函数$ \psi:{\Bbb N}\rightarrow {\Bbb R}^+ $, 点$ x_0 $的$ \psi $ -良好渐进逼近点集定义为

$ {\cal L}(\psi, x_0):=\{x\in[0, 1]:| T_\beta^n x-x_0| <\psi(n), 对无穷多个 n\in{\Bbb N} 成立 \}. $

文献[15] 指出集合$ {\cal L}(\psi, x_0) $为勒贝格零测集当且仅当级数$ \sum\psi(n) $收敛. Shen等^[17]给出了集合$ {\cal L}(\psi, x_0) $的豪斯道夫维数如下.

定理SW^[17]   对任意实数$ \beta>1 $, 任意点$ x_0\in[0, 1] $, 均有

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi, x_0)\right)=\frac{1}{1+v}, \quad {其中 }\ v:=\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi(n)}{n}. $

对丢番图逼近定理结果的改进已被广泛研究, 并得到了许多深刻的结果. 然而, 一致丢番图定理的改进还远远落后. 直到2016年, Bugeaud等^[4]研究了$ \beta $ -变换的一致丢番图逼近. 对任意的点$ x\in[0, 1) $, 定义指数

$ \nu_\beta(x):=\sup\left\{v\in{\Bbb R}:T^n_\beta x<(\beta^n)^{-v}, { 对无穷多个 n\in{\Bbb N} } { 成立}\right\}, $

$ \hat{\nu}_\beta(x):=\sup\left\{v\in{\Bbb R}:\forall\; N\gg 1, \; T^n_\beta x<(\beta^N)^{-v} { 有解 n\in[0, N] }\right\}. $

Bugeaud等^[4]证明了如下的定理.

定理BL^[4]   对任意$ v\in(0, +\infty) $, 任意$ \hat{v}\in(0, 1) $, 如果$ v<\hat{v}/(1-\hat{v}) $, 那么集合

$ \left\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)= v\right\}\cap\left\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq \hat{v}\right\} $

为空集. 否则

$ {\rm dim}_H \left(\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)= v\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\hat{v}\}\right)=\frac{v-\hat{v}-v\hat{v}}{(1+v)(v-\hat{v})}. $

指数$ \nu_\beta $和$ \hat{\nu}_\beta $可以参见文献[1, 3]. 同时, 这两个指数也与$ \beta $ -变换中的游程函数有很大关系^[19]. 本文将文献[4] 中速度函数$ n\mapsto\beta^{-nv} $变为一般正函数, 并研究相应集合的丢番图逼近性质. 详细而言, 给定两个正函数$ \psi_1, \; \psi_2:{\Bbb N}\rightarrow {\Bbb R}^+ $, 定义

$ {\cal L}(\psi_1):=\left\{x\in [0, 1]:T_\beta^n x<\psi_1(n), { 对无穷多个 n\in{\Bbb N} } { 成立}\right\}, $

$ {\cal U}(\psi_2):=\left\{x\in [0, 1]:\forall\; N\gg 1, \; T^n_\beta x<\psi_2(N) { 有解 n\in[0, N] }\right\}. $

我们给出集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $和$ {\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数的估计. 令

$ \underline{v}_1:=\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_1(n)}{n}, \qquad\overline{v}_1:=\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_1(n)}{n}, $

$ \underline{v}_2:=\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n)}{n}, \qquad\overline{v}_2:=\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n)}{n}. $

一方面, 当$ \underline{v}_1<0 $时, 根据$ \underline{v}_1 $的定义, 存在整数列$ \{n_j\} $使得

$ \lim\limits_{j\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_1(n_j)}{n_j}=\underline{v}_1. $

因此, 对充分小的$ \varepsilon>0 $, 存在整数$ j_0 $使得

$ 1<\beta^{-n_j(\underline{v}_1+\varepsilon)}\leq\psi_1(n_j), { 对任意 j\geq j_0 成立}. $

事实上, 由于$ T^n_\beta x<1 $, 所以对任意$ x\in[0, 1) $和任意$ n\in{\Bbb N} $, 均有

$ T^{n_j}_\beta x<1<\psi_1(n_j), { 对任意 x\in[0, 1) 成立}. $

这意味着$ [0, 1)\subseteq{\cal L}(\psi_1) $. 另一方面, 如果取出所有满足条件

$ \psi_2(n_i)>1, \; { i=1, 2, 3\cdots } $

的整数$ n_i $, 则对所有的点$ x\in[0, 1) $和整数$ n\in[1, n_i] $, 均有$ T^n_\beta x<1<\psi_2(n_i) $. 因此函数$ \psi_2(n) $可以被下面的函数取代

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{\psi}_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} \psi_2(n), & { 如果 n\neq n_i }\\ 1, & { 如果 n=n_i } \end{array}\right., \; i=1, 2, \cdots \end{eqnarray*} $

而且集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $和集合$ {\cal U}(\psi_2) $的尺寸(勒贝格测度, 豪斯道夫维数) 与集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\widetilde{\psi}_2) $和集合$ {\cal U}(\widetilde{\psi}_2) $一样. 由于我们主要研究集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\widetilde{\psi}_2) $的尺寸. 所以(不失一般性), 可以假设$ \underline{v}_1\geq0 $和$ \underline{v}_2\geq0 $. 我们得到如下有关集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数的定理.

定理1.1   (1) 如果$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=\underline{v}_2=\overline{v}_2=0 $, 那么$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=1 $.

(2) 如果$ \underline{v}_2=\infty $且$ 0\leq\underline{v}_1\leq\overline{v}_1\leq\infty $, 那么$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是可数集.

(3) 如果$ \overline{v}_2=\infty $且$ 0\leq\underline{v}_1\leq\overline{v}_1\leq\infty $, 那么$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0 $.

(4) 如果$ \underline{v}_1=\infty $且$ 0\leq\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq\infty $, 那么$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0 $.

注1.1   对于$ (1) $, 集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $不一定是满测集. 事实上, 如果级数$ \sum\psi_1(n) $收敛, 根据文献$ \rm [15] $可知

$ m\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0, $

其中$ m(A) $表示集合$ A $的勒贝格测度. 同时, 集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $也可以是满测集. 举个例子, 如果

$ \psi_1(n)=\psi_2(n)=\frac{(\log n)^2}{\sqrt{n}}, $

根据文献[11] 可知$ m\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=1 $.

对于$ (3) $, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $既可以是可数的(见引理3.2), 也可以是不可数的(见例5.7).

对于$ (4) $, 如果$ \underline{v}_2=\infty $, 则$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是可数的. 如果$ 1<\underline{v}_2<\infty $, 则$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是空集(见引理3.3). 如果$ 0<\underline{v}_2\leq1 $, 则$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是不可数的(见命题3.2).

定理1.2   如果$ \underline{v}_2>1 $, 那么$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是可数集. 如果$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)\leq\underline{v}_2\leq1<\overline{v}_2 $, 则

$ 0\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq1 $且$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2 $, 则

$ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $且$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2\leq1 $, 则

$ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

如果$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 则

$ \frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}\leq{\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $且$ \overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 则

$ \frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}\leq{\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

需要指出的是定理1.2包含了$ \overline{v}_1\geq\underline{v}_1\geq 0 $, $ \overline{v}_2\geq\underline{v}_2\geq 0 $的所有情况. 当指数($ \underline{v}_1 $, $ \overline{v}_1 $, $ \underline{v}_2 $和$ \overline{v}_2 $) 是零(或无穷) 时, 集合豪斯道夫维数的上界(或下界) 是定理中的公式在各个指数趋于零(或无穷) 的极限. 定理1.1是定理1.2的特例. 我们同样估计了集合$ {\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数.

定理1.3   如果$ \underline{v}_2>1 $, 则$ {\cal U}(\psi_2) $是可数集. 如果$ \underline{v}_2\leq1<\overline{v}_2 $, 则

$ 0\leq{\rm dim}_H \left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \overline{v}_2\leq1 $, 则

$ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2\leq{\rm dim}_H \left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

我们给出例5.1–5.6, 说明定理1.2和1.3给出的豪斯道夫维数的上界和下界均是可达的. 值得注意的是, 相比指数函数$ \beta^{-nv} $而言, 一般正函数丧失了单调性. 更重要的是, 我们不能像指数函数那样可以直接比较点$ x $的$ \beta $ -展式中连续为零的最长的字符串的长度和速度函数的关系. 当$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=0 $, 我们有如下定理1.4.

定理1.4   假设$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=0 $. 如果$ \underline{v}_2>0 $, 则$ {\cal U}(\psi_2)\subseteq {\cal L}(\psi_1) $.

本文的结构安排如下: 第$ 2 $部分回顾经典的$ \beta $ -展式, 定理1.1和1.2在第$ 3 $部分证明, 第$ 4 $部分证明定理1.3和1.4, 第$ 5 $部分, 给出例子说明定理1.2和1.3的估计是严格的.

$ \beta $ -展式的概念是Rényi ^[16]在1957年率先提出来的. 对任意$ \beta>1 $, 区间$ [0, 1) $上的$ \beta $ -变换$ T_{\beta} $定义如下

$ T_\beta x=\beta x-\lfloor\beta x\rfloor, $

其中$ \lfloor\xi\rfloor $表示$ \xi $的整数部分. 令

$ \begin{eqnarray*} \lceil\beta\rfloor= \left\{\begin{array}{ll} \beta -1, & {如果}\; \beta { 是正整数}, \\ \lfloor \beta \rfloor, & {其它}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

定义2.1   一个数$ x\in[0, 1) $的$ \beta $ -展式是集合$ \{0, 1, \cdots, \lceil\beta\rfloor\} $中的整数组成的一列字符串$ \{\varepsilon_n:\varepsilon_n=\varepsilon_n(x, \beta)\}_{n\geq 1} $满足

(2.1) $ \begin{equation} x=\frac{\varepsilon_1}{\beta}+\frac{\varepsilon_2}{\beta^2}+\cdots+\frac{\varepsilon_n}{\beta^n}+\cdots, \end{equation} $

其中$ \varepsilon_1=\lfloor\beta x \rfloor, \; \varepsilon_n=\lfloor\beta T^{n-1}_\beta x\rfloor $ ($ n\geq 2 $). 也可以写成

$ d_\beta(x)=\left(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n, \cdots\right). $

通过如下方式将$ \beta $ -变换的定义延拓到点$ 1 $, 有

$ T_\beta 1=\beta-\lfloor\beta \rfloor. $

可以得到

$ 1=\frac{\varepsilon_1(1, \beta)}{\beta}+\frac{\varepsilon_2(1, \beta)}{\beta^2}+\cdots+\frac{\varepsilon_n(1, \beta)}{\beta^n}+\cdots, $

其中$ \varepsilon_1(1, \beta)=\lfloor\beta\rfloor, \; \varepsilon_n=\lfloor\beta T^{n-1}_\beta 1\rfloor {( n\geq 2 )} $. 同样可以写成

$ d_\beta(1)=\left(\varepsilon_1(1, \beta), \cdots, \varepsilon_n(1, \beta), \cdots\right). $

如果$ d_\beta(1) $是有限的, 即存在一个整数$ m>0 $, 使得$ \varepsilon_m(1, \beta)\neq 0 $且$ \varepsilon_i(1, \beta)=0 $对所有$ i>m $成立, 则称$ \beta $为简单Parry数. 这种情况下, $ 1 $的无穷$ \beta $ -展式定义为

$ (\varepsilon^\ast_1(\beta), \varepsilon^\ast_2(\beta), \cdots, \varepsilon^\ast_n(\beta), \cdots):=(\varepsilon_1(1, \beta), \varepsilon_2(1, \beta), \cdots, \varepsilon_m(1, \beta)-1)^\infty, $

其中$ (\omega)^\infty $表示周期字符串$ (\omega, \omega, \cdots) $. 如果$ d_\beta(1) $是无限的, 则定义为

$ (\varepsilon^\ast_1(\beta), \varepsilon^\ast_2(\beta), \cdots, \varepsilon^\ast_n(\beta), \cdots):=(\varepsilon_1(1, \beta), \varepsilon_2(1, \beta), \cdots, \varepsilon_n(1, \beta), \cdots). $

在集合$ \{0, 1, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}^{{\Bbb N}} $上赋予乘积拓扑, 定义单边转移算子$ \sigma $为

$ \sigma\left((\omega_n)_{n\geq1}\right):=(\omega_{n+1})_{n\geq1}, $

对所有的在$ \{0, 1, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}^{{\Bbb N}} $中的无穷字符串, 字典序$ <_{lex} $定义为

$ \omega=(\omega_1, \omega_2, \cdots)<_{lex}\omega'=(\omega'_1, \omega'_2, \cdots), $

如果$ \omega_1<\omega'_1 $或则存在整数$ k\geq 2 $使得对所有的$ 1\leq i< k $, 均有$ \omega_i=\omega'_i $且$ \omega_k<\omega'_k $. 如果$ \omega<_{lex}\omega' $或$ \omega=\omega' $, 则表示为$ \omega\leq_{lex}\omega' $.

定义2.2  一个有限词$ (\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n) $称为$ \beta $ -容许的, 如果存在$ x\in[0, 1] $使得其$ \beta $ -展式以字符串$ (\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n) $开始. 一个无穷字符串$ (\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n, \cdots) $称为$ \beta $ -容许的, 如果存在$ x\in[0, 1] $使得其$ \beta $ -展式为$ (\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n, \cdots). $

用$ \Sigma_\beta $表示所有无穷$ \beta $ -容许的序列组成的集合, $ \Sigma^n_\beta $表示所有长度为$ n $的$ \beta $ -容许的序列组成的集合. $ \beta $ -容许的序列的性质参见文献[14, 16].

定理2.1^[14]   令$ \beta>1 $,

$ \rm (1) $一个词$ \omega=(\omega_n)_{n\geq 1}\in\Sigma_\beta $当且仅当

$ \sigma^k(\omega)\leq_{lex}(\varepsilon^\ast_1(\beta), \varepsilon^\ast_2(\beta), \cdots, \varepsilon^\ast_n(\beta), \cdots), \; {对所有 k\geq 0 成立}. $

$ \rm (2) $对任意$ x_1, \; x_2\in[0, 1] $, $ x_1<x_2 $当且仅当$ d_\beta(x_1)<_{lex}d_\beta(x_2) $.

$ \rm (3) $对任意$ \beta_2>\beta_1>1 $, 均有$ \Sigma^n_{\beta_1}\subseteq\Sigma^n_{\beta_2}, \; \Sigma_{\beta_1}\subseteq\Sigma_{\beta_2} $.

定理2.2^[16]   对所有$ \beta>1 $, 均有

$ \beta^n\leq\sharp \Sigma^n_\beta\leq\frac{\beta^{n+1}}{\beta-1}, $

其中$ \sharp $表示有限集合的基.

对每一个$ (\omega_1, \cdots, \omega_n)\in\Sigma^n_\beta $, 其关于$ \beta $的$ n $ -阶基本区间定义为

$ I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n):=\{x\in[0, 1]:d_\beta(x) { 从 }(\omega_1, \cdots, \omega_n) { 开始}\}. $

用$ I_n(x) $表示包含$ x $的$ n $ -阶基本区间. 估计$ \beta $ -展式中集合的豪斯道夫维数的下界的关键是计算基本区间的长度. 我们会用到"满基本区间" 这一概念(参见文献[7, 13]).

定义2.3   对任意$ (\omega_1, \cdots, \omega_n)\in\Sigma^n_\beta $, 基本区间$ I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n) $是满的如果其长度为$ \beta^{-n} $.

命题2.1^{[7, 17]}   对任意$ (\omega_1, \cdots, \omega_n)\in\Sigma^n_\beta $, 下列陈述等价

$ \rm (1) $$ I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n) $是满基本区间;

$ \rm (2) $$ T^n_\beta I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n)=[0, 1) $;

$ \rm (3) $对任意$ \omega'=(\omega'_1, \cdots, \omega'_m)\in\Sigma^m_\beta $, 连接

$ (\omega_1, \cdots, \omega_n, \omega'_1, \cdots, \omega'_m)\in\Sigma^{n+m}_\beta, { 是 \beta -容许的.} $

命题2.2^[17]   $ \rm (1) $如果$ (\omega_1, \cdots, \omega_{n+1}) $是$ \beta $ -容许的序列且$ \omega_{n+1}\neq0 $, 那么$ I_{n+1}(\omega_1, \cdots, \omega'_{n+1}) $是满的，对任意$ 0\leq \omega'_{n+1}<\omega_{n+1} $成立.

$ \rm (2) $对每一个$ \omega\in\Sigma^n_\beta $, 如果$ I_n(\omega) $是满的, 那么对任意的$ \omega'\in\Sigma^m_\beta $, 均有

$ | I_{n+m}(\omega, \omega')| =| I_n(\omega)| \cdot| I_m(\omega')| =\frac{| I_m(\omega')| }{\beta^n}. $

$ \rm (3) $对任意$ \omega\in\Sigma^n_\beta $, 如果$ I_{n+m}(\omega, \omega') $是包含在$ I_n(\omega) $中的满基本区间且具有最小的阶, 那么

$ | I_{n+m}(\omega, \omega')| \geq\frac{| I_n(\omega)| }{\beta}. $

现在, 我们按照如下方式定义一列趋于$ \beta $的数$ \beta_N $. 假设$ \{\varepsilon^\ast_k(\beta):k\geq 1\} $是$ 1 $的无穷$ \beta $ -展式. 对每一个满足条件$ \varepsilon^\ast_k(\beta)\neq 0 $的$ N $, 令$ \beta_N $是方程

(2.2) $ \begin{equation} 1=\frac{\varepsilon^\ast_1(\beta)}{z}+\cdots+\frac{\varepsilon^\ast_N(\beta)}{z^N} \end{equation} $

的唯一实数解. 由$ \beta_N $的定义可知, $ \beta_N<\beta $, $ \{\beta_N:N\geq 1\} $随着$ N $的增大单调递增趋于$ \beta $.

引理2.1^[17]   对每一个可以视为$ \Sigma^n_\beta $中元素的$ \omega\in\Sigma^n_{\beta_N} $, 均有

$ \frac{1}{\beta^{n+N}}\leq| I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n)| \leq\frac{1}{\beta^n}. $

首先, 我们陈述一个依据$ \nu_\beta(x) $和$ \hat{\nu}_\beta(x) $的定义可知的基本事实.

事实3.1   对任意$ x\in[0, 1) $, 如果存在整数$ n_0 $使得$ T^{n_0}_\beta x=0 $, 那么

$ \nu_\beta(x)=\hat{\nu}_\beta(x)=\infty. $

我们证明如果$ \overline{v}_2=\infty $, 那么集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $和$ {\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数均为零.

命题3.1   如果$ \overline{v}_2=\infty $, 那么$ {\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\} $. 从而

$ {\rm dim}_H({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2))={\rm dim}_H({\cal U}(\psi_2))=0. $

证   对每一个点$ x\in{\cal U}(\psi_2) $, 我们分两种情况讨论.

情形1  若存在整数$ n_0 $使得$ T^{n_0}_\beta x=0 $. 根据事实3.1可知, $ \nu_\beta(x)=\infty $.

情形2  对任意$ n\in{\Bbb N} $, 总有$ T^n_\beta x>0 $. 由于$ x\in{\cal U}(\psi_2) $, 所以存在$ N_0\geq1 $使得对任意$ N\geq N_0 $, 均存在整数$ n\in[0, N] $满足$ 0<T_\beta^nx<\psi_2(N) $. 对充分大的$ L>0 $, 因为$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n)}{n}=\overline{v}_2=\infty $, 所以存在数列$ \{n_i\} $使得$ \psi_2(n_i)\leq\beta^{-n_iL} $. 令$ m_1:=\min\{n_i:\; n_i\geq N_0\} $, 存在整数$ j_1\in[0, m_1] $使得

$ 0<T_\beta^{j_1}x<\psi_2(m_1)\leq\beta^{-m_1L}\leq\beta^{-j_1L}. $

取$ m_2:=\min\left\{n_i>m_1:\beta^{-n_iL}<T_\beta^{j_1}x\right\} $, 则存在整数$ j_2\in[0, m_2] $满足

$ 0<T_\beta^{j_2}x<\psi_2(m_2)\leq\beta^{-m_2L}\leq\beta^{-j_2L}. $

由于$ T_\beta^{j_2}x<\psi_2(m_2)\leq\beta^{-m_2L}<T_\beta^{j_1}x $, 所以$ j_2\neq j_1 $. 重复这个过程, 可以得到两两不同的整数列$ \{j_i:i\geq1\} $使得

$ 0<T_\beta^{j_i}x<\psi_2(m_i)\leq\beta^{-m_iL}\leq\beta^{-j_iL}. $

因此, $ \nu_\beta(x)\geq L $. 根据$ L $的任意性可得$ \nu_\beta(x)=\infty $.

因此, 无论哪种情形, 均有$ {\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\} $. 依据定理SW可得

$ {\rm dim}_H({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2))\leq{\rm dim}_H({\cal U}(\psi_2))\leq{\rm dim}_H(\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\})=0. $

命题3.1得证.

现将通过讨论指数$ \nu_\beta(x) $, $ \hat{\nu}_\beta(x) $和数$ \underline{v}_1 $, $ \overline{v}_1 $, $ \underline{v}_2 $, $ \overline{v}_2 $之间的关系来证明定理1.2.

引理3.1   对于$ 0\leq\underline{v}_1\leq\overline{v}_1<\infty $和$ 0\leq\underline{v}_2\leq\overline{v}_2<\infty $, 均有

(1) $ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2); $

(2) $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq \underline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}. $

证   $ (1) $对任意$ x $满足$ \nu_\beta(x)>\overline{v}_1 $和任意足够小的$ \varepsilon>0 $, 存在数列$ \{n_i\} $使得$ T_\beta^{n_i}x<\beta^{-n_i(\overline{v}_1+\varepsilon)} $. 由$ \overline{v}_1 $的定义可知, 对上述$ \varepsilon $, 存在整数$ i_0 $使得

$ \psi_1(n_i)>\beta^{-n_i(\overline{v}_1+\varepsilon)}, { 对任意 i\geq i_0 成立}. $

因此, $ T_\beta^{n_i}x<\beta^{-n_i(\overline{v}_1+\varepsilon)}<\psi_1(n_i), { 对任意 i\geq i_0 成立} $. 从而, $ x\in{\cal L}(\psi_1) $. 故,

$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\subseteq{\cal L}(\psi_1). $

类似讨论可得, $ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq {\cal U}(\psi_2). $所以

$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2). $

$ (2) $对任意点$ x\in{\cal L}(\psi_1) $, 存在数列$ \{n_i\} $使得$ T_\beta^{n_i}x<\psi_1(n_i) $. 由$ \underline{v}_1 $的定义可知, 对任意$ \varepsilon>0 $, 存在整数$ i_0 $使得

$ T_\beta^{n_i}x<\psi_1(n_i)<\beta^{-n_i(\underline{v}_1-\varepsilon)}, \; {对任意 i\geq i_0 成立}. $

因此, $ \nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1-\varepsilon $. 从而$ {\cal L}(\psi_1)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1-\varepsilon\} $. 根据$ \varepsilon $的任意性可得

$ {\cal L}(\psi_1)\subseteq\cap_{\varepsilon>0}\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1-\varepsilon\}=\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1\}. $

类似的讨论可得$ {\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\} $. 从而

$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}. $

引理3.1得证.

为了证明定理1.1, 我们研究指数满足$ \nu_\beta(x)=\infty $和$ \hat{\nu}_\beta(x)=\infty $的点的集合的性质.

引理3.2   如果指数满足$ \nu_\beta(x)=\infty $, $ \hat{\nu}_\beta(x)=\infty $, 那么

$ (1)\; \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}; $

$ (2)\; \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}=\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}. $

证   事实3.1意味着陈述(1) 和结论

$ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}\subseteq\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\} $

是正确的. 只需证明

$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}\subseteq\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}. $

若不然, 对任意$ x $满足$ \hat{\nu}_\beta(x)=\infty $, 假设$ x\notin\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\} $. 那么, $ T^n_\beta x>0 $对所有整数$ n $成立. 将$ x $的$ \beta $ -展式表示为

$ x=\frac{a_1}{\beta}+\frac{a_2}{\beta^2}+\cdots+\frac{a_n}{\beta^n}+\cdots, $

其中$ a_i\in\{0, \cdots, \lceil\beta\rfloor\} $, 对所有的$ i\geq1 $. 取两列递增数列$ \left\{n'_i:i\geq 1\right\} $和$ \left\{m'_i:i\geq1\right\} $满足如下性质

(1) 对每一个$ i\geq1 $, 均有$ a_{n'_i}>0, \quad a_{n'_i+1}=\cdots=a_{m'_i-1}=0, \quad a_{m'_i}>0 $.

(2) 对每一个$ a_n=0 $, 存在整数$ i $使得$ n'_i<n<m'_i $.

由数列$ \left\{n'_i: i\geq 1\right\} $和$ \left\{m'_i:i\geq1\right\} $的选择可知, 对每一个$ i\geq1 $, 均有$ n'_i<m'_i<n'_{i+1} $. 由于$ \hat{\nu}_\beta(x)>0 $, 所以$ \limsup\limits_{i\rightarrow \infty}(m'_i-n'_i)=\infty $. 令$ n_1=n'_1 $, $ m_1=m'_1 $. 假设$ m_k, \; n_k $已选定. 令

$ i_1=1, \; \; i_{k+1}:=\min\{i>i_k:m'_i-n'_i> m_k-n_k\}, \; {\rm 对 }\; k=1, 2, 3, \cdots, $

然后, 定义

$ n_{k+1}:=n'_{i_{k+1}}, \quad m_{k+1}:=m'_{i_{k+1}}. $

由于$ \limsup\limits_{i\rightarrow \infty}(m'_i-n'_i)=\infty $, 所以数列$ \{i_k:k\geq1\} $是可取到的. 通过这种方式, 我们得到数列$ \left\{n'_i:i\geq 1\right\} $和$ \left\{m'_i:i\geq1\right\} $的两个子列$ \{n_k:k\geq1\} $和$ \{m_k:k\geq1\} $, 使得数列$ \{m_k-n_k: k\geq1\} $是单调不减的. 根据文献[4] 可知

$ \hat{\nu}_\beta(x)=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}\leq1. $

这与假设$ \hat{\nu}_\beta(x)=\infty $矛盾. 因此

$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}\subseteq\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}. $

故, $ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}. $这意味着集合$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\} $是可数集.

引理3.3   集合$ \{x\in[0, 1]:1<\hat{\nu}_\beta(x)<\infty\} $是空集.

证   由引理3.2的第$ (2) $项的证明可知.

命题3.2   集合$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}, \; \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\} $均是不可数集.

证   对任意实数$ a>1 $, 构造对应关系

$ \Psi(a)\mapsto 10^{\left\lfloor 2^a\right\rfloor}10^{\left\lfloor 2^{a^{2^2}}\right\rfloor}10^{\left\lfloor2^{a^{3^2}}\right\rfloor}1\cdots10^{\left\lfloor2^{a^{k^2}}\right\rfloor}1\cdots. $

这个无穷字符串是某个$ x\in[0, 1) $的$ \beta $ -展式. 用$ x_a $表示这个$ x $. 从而可得由$ \{a: a>1\} $到$ \{x_a\}_{a>1} $的对应关系$ \Phi(a)\mapsto x_a $. 显然有$ \nu_\beta(x_a)=\infty $且$ \hat{\nu}_\beta(x_a)=1 $. 因此

$ \{x_a \}_{a>1}\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}, \quad\{x_a\}_{a>1}\subseteq\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\}. $

对不同的$ a_1>1 $和$ a_2>1 $, 存在正整数$ k_0 $使得

$ \left|2^{a_1^{k^2}}-2^{a_2^{k^2}}\right|>1, \ { 对任意 }\ k\geq k_0 { 成立}. $

因此, $ \Psi(a_1)\neq\Psi(a_2) $. 从而, $ \Phi(a_1)\neq\Phi(a_2) $. 所以, 集合$ \{a: a>1\} $的基数小于或等于集合$ \{x_a\}_{a>1} $的基数. 类似的, 集合$ \{x_a: a>1\} $的基数小于或等于集合$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\} $ ($ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\} $) 的基数. 因为$ \{a: a>1\} $是不可数集, 所以集合$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\} $和$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\} $都是不可数集.

定理1.1的证明   $ (1) $如果$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=\underline{v}_2=\overline{v}_2=0 $, 那么

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_1(n)}{n}=0, \qquad\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n)}{n}=0. $

从而, 对任意足够大的正整数$ m $, 存在$ n_0 $使得

$ \beta^{-n/m}\leq\psi_1(n), \; \beta^{-n/m}\leq\psi_2(n), { 对任意 n\geq n_0 成立}. $

因此, $ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq1/m\}\subseteq{\cal L}(\psi_1), \; \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1/m\}\subseteq{\cal U}(\psi_2) $. 由事实$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1/m\}\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq1/m\} $可知

$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1/m\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2). $

由文献[4] 可知

$ 1=\sup\limits_{m\in{\Bbb N}^+}{\rm dim}_H\left(\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1/m\}\right)\leq{\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right). $

故, $ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=1. $

$ (2) $如果$ \underline{v}_2=\infty $, 那么

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n)}{n}=\infty. $

对充分大的$ L>0 $, 存在整数$ n_0 $使得$ \psi_2(n)\leq\beta^{-nL}, \; { 对任意 n\geq n_0 成立} $. 因此, 对任意$ x\in{\cal U}(\psi_2) $, 均有$ \hat{\nu}_\beta(x)\geq L $.

根据$ L $的任意性可知, $ \hat{\nu}_\beta(x)=\infty $. 故, $ {\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\} $. 由引理3.2 (2) 可知

$ {\cal U}(\psi_2)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}=\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}. $

由引理3.2 (1) 知, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)=\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\} $. 由于$ \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\} $是可数集, 所以集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $也是可数集.

$ (3) $根据命题3.1可得此结论.

$ (4) $如果$ \underline{v}_1=\infty $, 由定理SW可知

$ {\rm dim}_H({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2))\leq{\rm dim}_H({\cal L}(\psi_1))=0. $

定理1.1得证.

现在, 我们将定理1.2的证明分成如下三个命题: 3.3, 3.4, 3.5.

命题3.3   对任意$ 0\leq\underline{v}_2\leq\overline{v}_2<\infty $, 均有

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{1+\overline{v}_2}. $

证   由$ \overline{v}_2 $的定义可知, 可以取子列$ \{n_k:k\geq1\} $使得

$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n_k)}{n_k}=\overline{v}_2. $

从而, 对任意$ \varepsilon>0 $, 存在整数$ k_0 $使得

$ \beta^{-n_k(\overline{v}_2+\varepsilon)}\leq\psi_2(n_k)\leq\beta^{-n_k(\overline{v}_2-\varepsilon)}, \; {对任意 k\geq k_0 成立}. $

对每一个$ x\in{\cal U}(\psi_2) $, 通过命题3.1中类似的讨论可以得到

$ {\cal U}(\psi_2)\subseteq\left\{x\in[0, 1]:T_\beta^n x <\beta^{-n(\overline{v}_2-\varepsilon)}, { 对无穷多个 n\in{\Bbb N} 成立}\right\}. $

由定理SW可知$ {\rm dim}_H\left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{1+\overline{v}_2} $. 从而

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq{\rm dim}_H\left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{1+\overline{v}_2}. $

命题3.3得证.

命题3.4   如果$ \underline{v}_2>1 $, 那么集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是可数集. 如果$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq1 $, 则

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2. $

如果$ \underline{v}_2\leq \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $, 则

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq \frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

证   通过引理3.1 $ (2) $可知

$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}. $

集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数的上界可以通过讨论集合

$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq \underline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\} $

的自然覆盖得到. 由定理1.1的$ (2) $, $ (3) $和$ (4) $, 我们只需考虑$ \nu_\beta(x)\in[\underline{v}_1, \infty) $和$ \hat{\nu}_\beta(x)\in[\underline{v}_2, \infty) $这种情况. 对任意$ x\in{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $, 存在数$ v_\beta\in[\underline{v}_1, \infty) $使得

$ x\in{\Bbb B}:=\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=v_\beta\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}. $

将$ x $的$ \beta $ -展式表示为

$ x=\frac{a_1}{\beta}+\frac{a_2}{\beta^2}+\cdots+\frac{a_n}{\beta^n}+\cdots, $

其中$ a_i\in\{0, \cdots, \lceil\beta\rfloor\} $, 对所有$ i\geq1 $. 因为$ \nu_\beta(x)<\infty $, 所以$ T_\beta^nx>0, { 对所有 n\geq0 成立} $. 采用引理3.2的方法, 取出极大数列$ \{n_k:k\geq1\} $和$ \{m_k:k\geq1\} $. 由于

$ \beta^{n_k-m_k}<T^{n_k}_\beta x<\beta^{n_k-m_k+1}, $

所以我们给出下面的断言.

断言3.1   $ v_\beta=\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}, \quad \underline{v}_2\leq\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}. $

断言3.1的证明   不失一般性, 假设

$ \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}=c_1, \quad\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}=c_2. $

首先证明$ v_\beta=c_1 $. 一方面, 对任意$ \varepsilon>0 $, 存在整数$ k_0>0 $使得

$ m_k-n_k\leq n_k(c_1+\varepsilon), { 对所有 k\geq k_0 成立}. $

由于$ T^{n_k}_\beta x>\beta^{n_k-m_k} $, 所以$ T^{n_k}_\beta x>\beta^{n_k-m_k}\geq\beta^{-n_k(c_1+\varepsilon)} $. 对任意$ n\geq n_{k_0} $, 存在整数$ k\geq k_0 $使得$ n_k\leq n<n_{k+1} $. 根据$ \{n_k\} $的选择可知

$ T^n_\beta x>T^{n_k}_\beta x>\beta^{-n_k(c_1+\varepsilon)}>\beta^{-n(c_1+\varepsilon)}. $

从而, $ v_\beta=v_\beta(x)<c_1+\varepsilon $. 另一方面, 根据$ c_1 $的定义, 可取子列$ \{n_{k_i}\} $和$ \{m_{k_i}\} $满足

$ \frac{m_{k_i}-n_{k_i}}{n_{k_i}}\geq c_1-\varepsilon, $

从而, $ T^{n_{k_i}}_\beta x<\beta^{n_{k_i}-m_{k_i}+1}\leq\beta^{-n_{k_i}(c_1-\varepsilon)+1} $. 因此, $ v_\beta=\nu_\beta(x)\geq c_1-\varepsilon $. 由$ \varepsilon $的任意性可知$ v_\beta=c_1 $.

然后, 证明$ \underline{v}_2\leq c_2 $. 由$ \underline{v}_2 $的定义可知对任意$ \varepsilon>0 $, 存在整数$ n_0>0 $使得

$ \psi_2(n)\leq\beta^{-n(\underline{v}_2-\varepsilon)}, { 对任意 n\geq n_0 成立}. $

根据$ c_2 $的定义可知: 可以取出子列$ \{k_i:i\geq 1\} $使得$ \lim\limits_{i\rightarrow \infty}\frac{m_{k_i}-n_{k_i}}{n_{k_{i+1}}}=c_2 $. 对上述$ \varepsilon>0 $, 存在整数$ i_0=i_0(\varepsilon)>0 $使得$ m_{k_i}-n_{k_i}\leq n_{k_{i+1}}(c_2+\varepsilon), { 对任意 i\geq i_0 成立} $. 为了得到矛盾, 假设$ c_2<\underline{v}_2 $. 那么, 对任意$ \varepsilon\in\left(0, \frac{\underline{v}_2-c_2}{4}\right) $和任意整数$ J\geq K $ ($ K:=\max\{n_0(\varepsilon), \; n_{i_0(\varepsilon)}\} $), 存在整数$ n_{k_{i+1}}>J $使得对任意整数$ n\in[1, n_{k_{i+1}}] $, 均有

$ T^n_\beta x>T^{n_{k_i}}_\beta x>\beta^{n_{k_i}-m_{k_i}}\geq\beta^{-n_{k_{i+1}}(c_2+\varepsilon)}>\beta^{-n_{k_{i+1}}(\underline{v}_2-\varepsilon)}\geq\psi_2(n_{k_{i+1}}). $

这与事实$ x\in{\cal U}(\psi_2) $矛盾. 因此

$ \underline{v}_2\leq c_2=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}. $

断言3.1得证.

现在, 考虑

(3.1) $ \begin{equation} v_\beta=\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}=\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{m_k}{n_k}-1, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \underline{v}_2\leq\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}\leq\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{m_k}=1-\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n_k}{m_k}. \end{equation} $

由于

$ \left(\limsup\frac{n_k}{m_k}\right)\cdot\left(\limsup\frac{m_k}{n_k}\right)\geq 1, $

所以从(3.1) 和(3.2) 式可以得到

(3.3) $ \begin{equation} v_\beta\geq\frac{\underline{v}_2}{1-\underline{v}_2}, \qquad \underline{v}_2\leq\frac{v_\beta}{1+v_\beta}. \end{equation} $

如果$ \underline{v}_2>1 $, 那么$ \underline{v}_2>v_\beta/(1+v_\beta) $, 对任意$ v_\beta\geq \underline{v}_1 $. 这与不等式(3.3) 矛盾. 因此, 集合$ {\Bbb B} $是空集. 根据引理3.2可得

$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}. $

所以, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是可数集.

如果$ \underline{v}_2\leq1 $, 通过不等式(3.3) 可知对任意$ v_\beta<\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $, $ {\Bbb B} $是空集. 只需考虑$ v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $的情况. 用引理3.2的方法, 选择数列$ \{n_k:k\geq1\} $和$ \{m_k:k\geq1\} $满足

$ v_\beta=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}, \quad \underline{v}_2\leq\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}. $

给定$ 0<\varepsilon<\underline{v}_2/2 $, 对充分大的$ k $, 均有

(3.4) $ \begin{equation} (v_\beta-\varepsilon)n_k\leq m_k-n_k\leq(v_\beta+\varepsilon)n_k, \end{equation} $

(3.5) $ \begin{equation} m_k-n_k\geq(\underline{v}_2-\varepsilon)n_{k+1}. \end{equation} $

由不等式(3.4) 可知$ (1+v_\beta-\varepsilon)m_{k-1}\leq(1+v_\beta-\varepsilon)n_k\leq m_k $. 因此, 数列$ \{m_k:k\geq1\} $至少是指数增长的. 由于$ n_k\geq m_{k-1} $对所有$ k\geq2 $成立, 因此数列$ \{n_k:k\geq1\} $也至少是指数增长的. 从而, 存在正常数$ C $使得$ k\leq C\log_\beta n_k $. 根据公式(3.4) 和(3.5) 可得$ (\underline{v}_2-\varepsilon)n_{k+1}\leq(v_\beta+\varepsilon)n_k $. 因此, 对足够大的$ k $, 存在整数$ n_0 $和足够小的正实数$ \varepsilon_1 $使得无穷字符串$ a_1a_2\cdots $的前$ n_k $中, $ 0 $的字符块的所有长度的和至少为

$ \begin{eqnarray*} \sum^k_{i=1}(\underline{v}_2-\varepsilon)n_i-n_0=n_k(\underline{v}_2-\varepsilon)\left\lgroup \frac{1-\left(\frac{\underline{v}_2-\varepsilon}{v_\beta+\varepsilon}\right)^k}{1-\left(\frac{\underline{v}_2-\varepsilon}{v_\beta+\varepsilon}\right)}\right\rgroup-n_0 \geq n_k\left(\frac{v_\beta \cdot \underline{v}_2}{v_\beta-\underline{v}_2}-\varepsilon_1\right). \end{eqnarray*} $

在字符串$ a_1\cdots a_{m_k} $中, 有$ k $个块是"自由" 的. 将它们的长度表示为$ l_1, \cdots, l_k $. 令$ \varepsilon_2=\frac{(v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2)\varepsilon_1}{v_\beta-\underline{v}_2} $, 则有

$ \sum\limits_{i=1}^kl_i\leq n_k-n_k\left(\frac{v_\beta\cdot \underline{v}_2}{v_\beta-\underline{v}_2}-\varepsilon_1\right)= n_k(1+\varepsilon_2)\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot\underline{v}_2}{v_\beta-\underline{v}_2}. $

根据定理2.2可知长度为$ l_i $的字符块至多有$ \beta\cdot\beta^{l_i}/(\beta-1) $种选择方式. 因此, 字符串$ a_1\cdots a_{m_k} $一共至多有

$ \left(\frac{\beta}{\beta-1}\right)^k\cdot\beta^{\sum\limits_{i=1}^kl_i}\leq \left(\frac{\beta}{\beta-1}\right)^k\cdot\beta^{n_k(1+\varepsilon_2)(v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2)/(v_\beta-\underline{v}_2)} $

种选择方式. 另一方面, 无穷字符串$ a_1a_2\cdots $的前$ n_k $中, 至多有$ k(k\leq C\log_\beta n_k) $个$ 0 $字符块. 因为$ 0 $字符块的第一个指标至多有$ n_k $种选择方式, 所以至多有$ (n_k)^{C\log_\beta n_k} $种选择方式. 从而, 集合$ {\Bbb B} $被

$ \left(\frac{\beta n_k}{\beta-1}\right)^{C\log_\beta n_k}\cdot\beta^{n_k(1+\varepsilon_2)(v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot\underline{v}_2)/(v_\beta-\underline{v}_2)} $

个长度最长为$ \beta^{-m_k} $的基本区间覆盖. 通过公式(3.4) 可知令$ \varepsilon_3=\varepsilon/(1+v_\beta) $可得$ \beta^{-m_k}\leq \beta^{-(1+v_\beta)(1-\varepsilon_3)n_k} $. 令$ \varepsilon'=\max\{\varepsilon_2, \; \varepsilon_3\} $. 集合$ {\Bbb B} $被

$ \left(\frac{\beta n_k}{\beta-1}\right)^{C\log_\beta n_k}\cdot\beta^{n_k(1+\varepsilon')(v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2)/(v_\beta-\underline{v}_2)} $

个长度最长为$ \beta^{-(1+v_\beta)(1-\varepsilon')n_k} $的基本区间覆盖. 考察级数

$ \sum\limits_{N\geq1}N^{C\log_\beta N}\beta^{N(1+\varepsilon')(v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2)/(v_\beta-\underline{v}_2)}\beta^{-(1+v_\beta)(1-\varepsilon')Ns}. $

临界点$ s_0 $为

$ s_0=\frac{1+\varepsilon'}{1-\varepsilon'}\cdot\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot\underline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\underline{v}_2)}. $

当$ s>s_0 $时, 级数收敛; 当$ s<s_0 $时, 级数发散. 根据$ \varepsilon' $的任意性, 通过经典的开覆盖定理可知集合$ {\Bbb B}':=\{x\in[0, 1]: \nu_\beta(x)=\nu_\beta\}\cap{\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数至多为

(3.6) $ \begin{equation} {\rm dim}_H \left({\Bbb B}'\right)\leq\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot\underline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\underline{v}_2)}. \end{equation} $

对于$ v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $, 固定足够大的正整数$ L $. 考虑

$ {\Bbb D}:=\{x\in[0, 1]:v_\beta\leq \nu_\beta(x)<v_\beta+1/L\}\cap{\cal U}(\psi_2). $

重复上面的讨论, 如果$ \underline{v}_2<1 $, 则

$ {\rm dim}_H \left({\Bbb D}\right)\leq\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\underline{v}_2)}+\frac{\underline{v}_2^2/L}{1-\underline{v}_2}. $

如果$ \underline{v}_2=1 $, 则$ v_\beta=\infty $. 通过定理SW可知$ {\rm dim}_H \left({\Bbb D}\right)=0 $. 如果$ \underline{v}_2<1 $, 由于集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是集合

$ \bigcup\limits_{K=0}^{+\infty}\bigcup\limits^L_{i=1}\left\{x\in[0, 1]:v_1+K+(i-1)/L\leq\nu_\beta(x)<v_1+K+i/L\right\}\cap{\cal U}(\psi_2) $

的子集, 所以当$ L $趋于$ +\infty $时, 均有

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\sup\limits_{v_\beta\geq \underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)}\left\{\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\underline{v}_2)}\right\}. $

将右边公式看成$ v_\beta $的函数, 如果$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2 $, 则当$ v_\beta=2\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $时, 取得最大值. 因此

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2. $

如果$ \underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $, 则当$ v_\beta=\underline{v}_1 $时, 取得最大值. 故

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq \frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

命题3.4得证.

命题3.5   如果$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2\leq1 $, 则

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2. $

如果$ \overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 则

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}. $

证   由引理3.1$ (1) $可知

$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2). $

如果$ \overline{v}_2=1 $, 则总有$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq0 $. 如果$ \overline{v}_2<1 $, 则固定$ \delta>0 $满足$ \overline{v}_2+\delta<1 $, 我们就可以考虑集合

$ {\Bbb F}:=\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=v_\beta+\delta\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\overline{v}_2+\delta\} $

的豪斯道夫维数的下界. 其中$ v_\beta\geq\overline{v}_1 $是一个实数. 由定理BL可知如果$ \frac{\overline{v}_1+\delta}{\overline{v}_2+\delta}<\frac{1}{1-(\overline{v}_2+\delta)} $, 则$ {\Bbb F} $是空集. 因此, 考虑$ \frac{\overline{v}_1+\delta}{\overline{v}_2+\delta}\geq\frac{1}{1-(\overline{v}_2+\delta)} $这种情况.如果$ \overline{v}_2>0 $, 则存在$ \delta_0>0 $使得对任意$ \delta\in(0, \delta_0] $, 均有

$ \frac{v_\beta+\delta}{\overline{v}_2+\delta}\geq\frac{\overline{v}_1+\delta}{\overline{v}_2+\delta}\geq\frac{1}{1-(\overline{v}_2+\delta)}>1. $

对任意$ \delta\in(0, \delta_0] $, 构造集合$ {\Bbb F} $的康托子集$ E_\delta $. 固定充分大的$ N $, 令$ \beta_N $为公式(2.2) 中定义的实数. 同时令

$ n'_k=\left\lfloor\left(\frac{v_\beta+\delta}{\overline{v}_2+\delta}\right)^k\right\rfloor, \quad m'_k=\lfloor(1+v_\beta+\delta)n'_k\rfloor, \quad k=1, 2, \cdots, $

如果$ \overline{v}_2=0 $, 则令$ n'_k=k^k, \; m'_k=\lfloor(1+ v_\beta+\delta)n'_k\rfloor, \; k=1, 2, \cdots $做适当调整, 可选择两个子列$ \{n_k\} $和$ \{m_k\} $满足条件$ n_k<m_k<n_{k+1} $ (对任意$ k\geq1 $都成立)使得$ \{m_k-n_k\} $是单调不减, $ m_1-n_1>N $且

(3.7) $ \begin{equation} \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}=v_\beta+\delta, \qquad \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}=\overline{v}_2+\delta. \end{equation} $

考虑所有$ \beta $ -展式为

$ x=\frac{a_1}{\beta}+\frac{a_2}{\beta^2}+\cdots+\frac{a_n}{\beta^n}+\cdots, $

且对所有的$ k\geq1 $, 均满足

$ a_{n_k}=1, \; a_{n_k+1}=\cdots=a_{m_k-1}=0, \; a_{m_k}=1, $

$ a_{m_k+(m_k-n_k)}=a_{m_k+2(m_k-n_k)}=\cdots=a_{m_k+t_k(m_k-n_k)}=1, $

(其中$ t_k $是满足条件$ m_k+t_k(m_k-n_k)<n_{k+1} $的最大整数) 的实数$ x\in[0, 1) $组成的集合. 那么, 对于足够大的$ k $, 均有

$ t_k\leq\frac{n_{k+1}-m_k}{m_k-n_k}\leq\frac{2}{\overline{v}_2+\delta}. $

因此, $ \{t_k:k\geq1\} $是有界数列. 将字符$ a_{n_k}, \; a_{m_k} $用数字$ 1 $替换, 对于任意$ 1\leq i\leq t_k $, 将字符$ a_{m_k+i(m_k-n_k)} $用字符块$ 0^N10^N $替换. 其它位置用$ \Sigma_{\beta_N} $中的字符块填充. 从而, 依据$ N $的取值, 我们构造了康托子集$ E_\delta $. 由于$ \{t_k\} $有界, 所以

$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k-1+2N}{n_k+(4k-2)N+\sum\limits_{i=1}^{k-1}2Nt_i}=\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}=v_\beta+\delta, $

$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k-1+2N}{n_{k+1}+(4k+2)N+\sum\limits_{i=1}^k2Nt_i}=\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}=\overline{v}_2+\delta. $

根据构造可知字符串$ d_\beta(x) $属于$ \Sigma_{\beta_N} $.

断言3.2  $ E_\delta\subseteq {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $.

断言3.2的证明   给定$ \varepsilon>0 $, 由公式(3.7) 可知存在整数$ k_0 $使得

$ m_k-n_k\leq(v_\beta+\delta+\varepsilon)n_k, \; m_k-n_k\leq(\overline{v}_2+\delta+\varepsilon)n_{k+1}, { 对任意 k\geq k_0 成立}. $

根据$ \overline{v}_1 $和$ \overline{v}_2 $的定义可知存在整数$ n_0 $使得

$ \beta^{-n(\overline{v}_1+\delta+\varepsilon)}\leq\psi_1(n), \; \beta^{-n(\overline{v}_2+\delta+\varepsilon)}\leq\psi_2(n), { 对任意 n\geq n_0 成立}. $

令$ K_0=\max\{n_{k_0}, \; n_0\} $, 对任意的点$ x\in E_\delta $和任意的$ n_k\geq K_0 $, 均有

$ T^{n_k}_\beta x<\beta^{n_k-m_k+1}\leq\beta^{-n_k(v_\beta+\delta+\varepsilon-1/n_k)}\leq\beta^{-n_k(\overline{v}_1+\delta+\varepsilon-1/n_k)}\leq\psi_1(n_k). $

从而, $ x\in{\cal L}(\psi_1) $. 另一方面, 对于$ K\geq K_0 $, 存在整数$ i $使得$ n_{k+i}\leq K<n_{k+i+1} $. 因此

$ T^{n_{k+i}}_\beta x<\beta^{n_{k+i}-m_{k+i}+1}\leq\beta^{-N(\overline{v}_2+\delta+\varepsilon-1/n_{k+i+1})}\leq\psi_2(K). $

从而, $ x\in{\cal U}(\psi_2) $. 故, $ x\in{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $. 所以, $ E_\delta\subseteq {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $. 证毕.

当碰到$ \Sigma_{\beta_N} $中的字符块时, 将均匀分布质量到每一个字符块; 当碰到康托集$ E_\delta $中字符所在的位置时, 则保持该质量不变. 集合$ E_\delta $上的伯努利测度$ \mu $定义如下: 如果$ n<n_1 $, 则定义$ \mu(I_n)=1/\sharp\Sigma^n_{\beta_N} $. 如果$ n\in[n_1, m_1+4N] $, 则定义$ \mu(I_n)=1/\sharp\Sigma^{n_1-1}_{\beta_N} $. 如果存在整数$ t\in[0, t_1-1] $使得

$ m_1+4N+(t+1)(m_1-n_1)+2Nt<n\leq m_1+4N+(t+1)(m_1-n_1)+2N(t+1), $

则定义

$ \mu(I_n)=\frac{1}{\sharp\Sigma^{n_1-1}_{\beta_N}}\cdot\frac{1}{\left(\sharp\Sigma^{m_1-n_1-1}_{\beta_N}\right)^{t+1}}. $

如果存在整数$ t\in[0, t_1] $使得$ m_1+4N+t(m_1-n_1)+2Nt<n\leq c $ (其中$ c=\min\{n_2+4N+2Nt_1, m_1+4N+(t+1)(m_1-n_1)+2Nt\} $), 则定义

$ \mu(I_n)=\frac{1}{\sharp\Sigma^{n_1-1}_{\beta_N}}\cdot\frac{1}{\left(\sharp\Sigma^{m_1-n_1-1}_{\beta_N}\right)^t}\cdot\frac{1}{\sharp\Sigma^{n-(m_1+4N+t(m_1-n_1)+2Nt)}_{\beta_N}}. $

对于$ k\geq2 $, 令

$ l_k:=n_k+4(k-1)N+\sum\limits^{k-1}_{i=1}2Nt_i, \quad h_k:=m_k+4kN+\sum\limits^{k-1}_{i=1}2Nt_i, $

$ p_k:=m_k-n_k-1, \quad q_k:=h_k+t_k(m_k-n_k)+2Nt_k. $

如果$ l_k\leq n\leq h_k $, 则定义

$ \mu(I_n)=\frac{1}{\sharp\Sigma^{n_1-1}_{\beta_N}}\cdot\frac{1}{\prod\limits^{k-1}_{i=1}\left(\sharp \Sigma^{p_i}_{\beta_N}\right)^{t_i}\cdot\left(\sharp\Sigma^{l_{i+1}-q_i-1}_{\beta_N}\right)}=\mu(I_{l_k})=\mu(I_{h_k}). $

如果存在整数$ t\in[0, t_k-1] $使得

$ h_k+(t+1)(m_k-n_k)+2Nt<n\leq h_k+(t+1)(m_k-n_k)+2N(t+1), $

则定义$ \mu(I_n)=\mu(I_{h_k})\cdot\frac{1}{\left(\sharp\Sigma^{p_k}_{\beta_N}\right)^{t+1}} $. 如果存在整数$ t\in[0, t_k] $使得

$ h_k+t(m_k-n_k)+2Nt<n\leq\min\{l_{k+1}, h_k+(t+1)(m_k-n_k)+2Nt\}, $

则定义$ \mu(I_n)=\mu(I_{h_k})\cdot\frac{1}{\left(\sharp\Sigma^{p_k}_{\beta_N}\right)^t}\cdot\frac{1}{\sharp\Sigma^{n-(h_k+t(m_k-n_k)+2Nt)}_{\beta_N}} $.

由命题2.1和构造过程可知$ I_{h_k} $是满的. 为了计算测度$ \mu $的局部维数, 进行如下分类讨论.

情形1   如果$ n=h_k $, 则

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_{h_k})}{\log_\beta | I_{h_k}| } &=&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{n_1-1+\sum\limits_{i=1}^{k-1}\left(t_ip_i+l_{i+1}-q_i-1\right)}{h_k}\cdot\log_\beta\beta_N\\ & =&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{n_1-1+\sum\limits_{i=1}^{k-1}\left(l_{i+1}-h_i-2Nt_i-1\right)}{h_k}\cdot\log_\beta\beta_N. \end{eqnarray*} $

因为$ \{t_k:k\geq1\} $是有界列且$ \{m_k:k\geq1\} $关于指标$ k $是指数增长的, 所以

$ \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_{h_k})}{\log_\beta | I_{h_k}| }=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{k-1}\left(n_{i+1}-m_i\right)}{m_k}\log_\beta\beta_N. $

根据公式(3.7) 可知

$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k}{n_k}=1+v_\beta+\delta, \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_{k+1}}{m_k}=\frac{v_\beta+\delta}{\overline{v}_2+\delta}, \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{n_{k+1}}{m_k}=\frac{v_\beta+\delta}{(\overline{v}_2+\delta)(1+v_\beta+\delta)}. $

利用Stolz-Cesàro定理可知

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{k-1}\left(n_{i+1}-m_i\right)}{m_k}&=&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{n_{k+1}-m_k}{m_{k+1}-m_k}\\&=&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\frac{n_{k+1}}{m_k}-1}{\frac{m_{k+1}}{m_k}-1}=\frac{v_\beta-\overline{v}_2-(v_\beta+\delta) (\overline{v}_2+\delta)}{(1+v_\beta+\delta)(v_\beta-\overline{v}_2)}. \end{eqnarray*} $

从而

$ \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_{h_k})}{\log_\beta | I_{h_k}| }=\frac{v_\beta-\overline{v}_2-(v_\beta+\delta) (\overline{v}_2+\delta)}{(1+v_\beta+\delta)(v_\beta-\overline{v}_2)}\cdot\log_\beta\beta_N. $

情形2   对于充分大的整数$ n $, 如果存在$ k\geq2 $使得$ l_k\leq n\leq h_k $, 则

$ \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_n)}{\log_\beta| I_n| }\geq \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_n)}{\log_\beta| I_{h_k}| }=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_{h_k})}{\log_\beta| I_{h_k}| }. $

情形3  对于$ n $, 如果存在整数$ t\in[0, t_k-1] $使得

$ h_k+(t+1)(m_k-n_k)+2Nt<n\leq h_k+(t+1)(m_k-n_k)+2N(t+1), $

则有$ \mu(I_n)\leq\mu(I_{h_k})\cdot\beta^{-(t+1)p_k}_N $. 由于$ I_{h_k} $是满的, 由命题2.2可知$ | I_n| =| I_{h_k}| \cdot| I_{n-h_k}(\omega')| $, 其中$ \omega' $是$ \Sigma^{n-h_k}_{\beta_N} $中的可容许块. 由引理2.1可知$ | I_n| \geq| I_{h_k}| \cdot\beta^{-(n-h_k+N)} $. 因此

$ \frac{-\log_\beta\mu(I_n)}{-\log_\beta| I_n| }\geq\frac{-\log_\beta\mu(I_{h_k})+(t+1)p_k\log_\beta\beta_N}{-\log_\beta| I_{h_k}| +(t+1)p_k+N(2t+1)}\geq\frac{-\log_\beta\mu(I_{h_k})}{-\log_\beta| I_{h_k}| }\cdot\varphi(N), $

其中$ \varphi(N)<1 $且当$ N $趋于无穷大时, $ \varphi(N) $趋于$ 1 $. 如果存在整数$ t\in[0, t_k] $使得

$ h_k+t(m_k-n_k)+2Nt<n\leq\min\{l_{k+1}, h_k+(t+1)(m_k-n_k)+2Nt\}, $

则令$ l:=n-(h_k+t(m_k-n_k)+2Nt) $, 从而$ \mu(I_n)\leq\mu(I_{h_k})\cdot\beta^{-tp_k-l}_N $. 因为$ I_{h_k} $是满的, 根据命题2.2可知$ | I_n| =| I_{h_k}| \cdot| I_{n-h_k}(\omega')| $, 其中$ \omega' $是$ \Sigma^{n-h_k}_{\beta_N} $中的可容许块. 由引理2.1可知$ | I_{n-h_k}(\omega')| \geq\beta^{-(n-h_k+N)} $. 因此, $ | I_n| \geq| I_{h_k}| \cdot\beta^{-(n-h_k+N)} $. 从而

$ \frac{-\log_\beta\mu(I_n)}{-\log_\beta| I_n| }\geq\frac{-\log_\beta\mu(I_{h_k})+(tp_k+l)\log_\beta\beta_N}{-\log_\beta| I_{h_k}| +tp_k+l+t+N(2t+1)}\geq\frac{-\log_\beta\mu(I_{h_k})}{-\log_\beta| I_{h_k}| }\cdot\varphi(N). $

由上面的讨论可知

$ \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_n)}{\log_\beta| I_n| }\geq\frac{v_\beta-\overline{v}_2-(v_\beta+\delta)(\overline{v}_2+\delta)}{(1+v_\beta+\delta)(v_\beta-\overline{v}_2)}\cdot\log_\beta\beta_N\cdot\varphi(N). $

根据$ \delta\in(0, \delta_0] $的任意性可得

$ \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\log_\beta\mu(I_n)}{\log_\beta| I_n| }\geq\frac{v_\beta-\overline{v}_2-v_\beta\cdot\overline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\overline{v}_2)}\cdot\log_\beta\beta_N\cdot\varphi(N). $

令$ N $趋于无穷, 通过修正的质量分布原理^[5]可得

(3.8) $ \begin{equation} {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq \frac{v_\beta-\overline{v}_2-v_\beta\overline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\overline{v}_2)}. \end{equation} $

将右边公式视为$ v_\beta $的函数, 如果$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2 $, 则当$ v_\beta=2\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2) $时, 取得最大值. 因此

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2. $

如果$ \overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 则当$ v_\beta=\overline{v}_1 $时, 取得最大值. 因此

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq \frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}. $

命题3.5得证.

定理1.2的证明   如果$ \underline{v}_2>1 $, 由命题3.4可知$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是可数集. 如果$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)\leq\underline{v}_2\leq1<\overline{v}_2 $, 由命题3.3可知

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{1+\overline{v}_2}. $

由命题3.4和豪斯道夫维数的定义可知

$ 0\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq1 $且$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2 $, 由命题3.3和3.4可知

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

因为$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2 $, 所以由命题3.5可知

$ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right). $

从而

$ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $且$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2\leq 1 $, 由命题3.3, 3.4和3.5可知

$ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2\leq{\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq \frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

如果$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 由命题3.3和3.4可知

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

根据命题3.5可知

$ {\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}. $

因此

$ \frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}\leq{\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $且$ \overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 由命题3.3, 3.4和3.5可知

$ \frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\cdot\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}\leq{\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

定理1.2得证.

这一部分, 我们给出定理1.3和1.4的证明.

定理1.3的证明  由引理3.1可知

$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}. $

用$ v_\beta $代替$ \underline{v}_1 $的位置, 对于充分大的$ L $, 考虑集合

$ {\Bbb D}:=\{x\in[0, 1]:v_\beta\leq\nu_\beta(x)< v_\beta+1/L\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}. $

通过和命题3.4相似的讨论可知如果$ \underline{v}_2>1 $, 则$ \underline{v}_2\geq\frac{v_\beta+1/L}{1+v_\beta+1/L}, { 对任意 v_\beta 成立} $. 因此, $ {\Bbb D} $是空集. 从而$ {\cal U}(\psi_2)=\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=+\infty\} $. 由命题3.4和引理3.2可知$ {\cal U}(\psi_2) $是可数集.

如果$ \underline{v}_2=1 $, 则$ v_\beta=\infty $. 由定理SW可知$ {\rm dim}_H \left({\Bbb D}\right)=0 $. 如果$ \underline{v}_2<1 $, 那么对任意$ v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $, 均有

$ {\rm dim}_H \left({\Bbb D}\right)\leq\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\underline{v}_2)}+\frac{\underline{v}_2^2/L}{1-\underline{v}_2}. $

注意到$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是集合

$ \bigcup\limits_{K=0}^{+\infty}\bigcup\limits^L_{i=1}\{x\in[0, 1]:\underline{v}_1+K+(i-1)/L\leq\nu_\beta(x)<v_1+K+i/L\}\cap{\cal U}(\psi_2) $

的子集. 当$ L $趋于无穷时, 可以得到

$ {\rm dim}_H\left( {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\sup\limits_{v_\beta\geq \underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)}\left\{\frac{v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\underline{v}_2)}\right\}. $

同样, 将右边公式看成$ v_\beta $的函数, 其定义域为$ v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $, 当$ v_\beta=2\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2) $时, 可以取得最大值. 从而

$ {\rm dim}_H \left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2. $

再由命题3.3可得

$ 0\leq{\rm dim}_H \left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

如果$ \overline{v}_2\leq1 $, 则$ \underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq1 $且

$ {\rm dim}_H \left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\min\left\{\frac{1}{1+\overline{v}_2}, \; \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2\right\}. $

为了得到集合$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $的豪斯道夫维数的下界, 我们构造其康托子集$ E $. 由引理3.1可知$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $. 用$ v_\beta $代替$ \underline{v}_1 $的位置, 其中$ v_\beta $取值范围为$ v_\beta\geq\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2) $. 固定$ \delta>0 $, 考虑

$ \{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)= v_\beta+\delta\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\overline{v}_2+\delta\}. $

如果$ \overline{v}_2=0 $, 则令

$ n'_k=k^k, \; m'_k=\lfloor(1+ v_\beta+\delta)n'_k\rfloor, \; k=1, 2, \cdots, $

如果$ \overline{v}_2>0 $, 则令

$ n'_k=\left\lfloor\left(\frac{v_\beta+\delta}{\overline{v}_2+\delta}\right)^k\right\rfloor, \; m'_k=\lfloor(1+v_\beta+\delta)n'_k\rfloor, \; k=1, 2, \cdots, $

通过和命题3.5的证明中类似的讨论可得

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq \frac{v_\beta-\overline{v}_2-v_\beta\overline{v}_2}{(1+v_\beta)(v_\beta-\overline{v}_2)}. $

将右边公式看成$ v_\beta $的函数, 由于$ v_\beta\geq\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2) $, 所以当$ v_\beta=2\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2) $时, 取得最大值. 因此

$ {\rm dim}_H\left({\cal U}(\psi_2)\right)\geq\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2. $

定理1.3得证.

定理1.4的证明   如果$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=0 $, 则$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_1(n)}{n}=0 $. 如果$ \underline{v}_2>0 $, 由$ \underline{v}_2 $和$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=0 $的定义可知对任意$ \varepsilon\in(0, \underline{v}_2/2) $, 存在整数$ n_0 $使得对任意$ n\geq n_0 $, 均有$ \psi_2(n)\leq \beta^{-n(\underline{v}_2-\varepsilon)}<\beta^{-n\varepsilon}\leq \psi_1(n) $. 对于任意$ x\in{\cal U}(\psi_2) $, 经过和命题3.1一样的讨论可得

$ {\cal U}(\psi_2)\subseteq{\cal L}(\psi_1). $

定理1.4得证.

这一部分, 我们说明定理1.2和1.3所给出的豪斯道夫维数的上界和下界都是可达的. 其中, 例5.1, 5.2和5.3分别说明上界$ \frac{1}{1+\overline{v}_2} $, $ \left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2 $和$ \frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)} $是可达的.

例5.1   假设$ \psi_1(n)=1 $ ($ n=1, 2, \cdots $),

$ \begin{eqnarray*} \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-3n}, & { 如果 n=k^k }\\ 1, & { 如果 n\neq k^k } \end{array}\right., \quad k=1, 2, \cdots, \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=\overline{v}_1=0 $, $ \underline{v}_2=0 $, $ \overline{v}_2=3 $且$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{1+\overline{v}_2} $.

证   由命题3.3可知只需证明$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{1}{4} $. 现构造集合$ {\cal L}(\psi_1)\bigcap{\cal U}(\psi_2) $的一个满足$ {\rm dim}_H(E)\geq\frac{1}{4} $的康托子集$ E $. 对于$ k=1, 2, \cdots $, 令$ n_k=k^k $, $ m_k=4k^k $. 用命题3.5中的方式构造康托子集$ E $, 可以得到

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{1}{4}=\frac{1}{1+\overline{v}_2}. $

例5.1得证.

例5.2   假设$ \psi_1(n)=1 $ ($ n=1, 2, \cdots $),

$ \begin{eqnarray*} \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-2n}, & {如果 n=4^k }\\ \beta^{-n/2}, & {如果 n\neq 4^k } \end{array}\right., \quad k=0, 1, 2, \cdots, \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=\overline{v}=0 $, $ \underline{v}_2=1/2 $, $ \overline{v}_2=2 $且

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=\frac{1}{9}=\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2. $

证   由于$ \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2 $, 所以根据命题3.4, 只需证明

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{1}{9}=\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2. $

对于$ k=0, 1, 2, \cdots $, 令$ n_k=4^k $, $ m_k=3\cdot 4^k $. 用命题3.5中的方式构造康托子集$ E $, 可以得到

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{1}{9}=\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2. $

例5.2得证.

例5.3   对于$ k=0, 1, 2, \cdots $, 假设

$ \begin{eqnarray*} \psi_1(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-n/2}, & { 如果 n=3^k }\\ \beta^{-n}, & { 如果 n\neq 3^k } \end{array}\right., \ \ \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-n/2}, & { 如果 n=3^k }\\ \beta^{-n/6, } & { 如果 n\neq 3^k }. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=1/2 $, $ \overline{v}_1=1 $, $ \underline{v}_2=1/6 $, $ \overline{v}_2=1/2 $且

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=\frac{1}{2}=\frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

证   由于$ \underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1) $, 由命题3.4可知

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq \frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-v_1\cdot\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}=\frac{1}{2}. $

只需证明$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq1/2 $. 令

$ n_k=3^k, \; m_k=\left\lfloor\frac{3}{2}\cdot 3^k\right\rfloor, \quad { 对于 k=0, 1, 2, \cdots , } $

用命题3.5中的方式构造康托子集$ E $, 可以得到

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{1}{2}=\frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}. $

例5.3得证.

例5.4, 5.5和5.6分别说明维数的下界$ 0 $, $ \left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2 $和$ \frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)} $是可达的.

例5.4   假设$ \psi_1(n)=\beta^{-n^2} $ ($ n=1, 2, \cdots $),

$ \begin{eqnarray*} \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-3n}, & { 如果 n=4^k }\\ \beta^{-n/2}, & { 如果 n\neq 4^k } \end{array}\right., \quad k=0, 1, 2, \cdots, \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=\overline{v}_1=+\infty $, $ \underline{v}_2=1/2 $, $ \overline{v}_2=3 $且$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0 $.

证   由于$ \underline{v}_1=\overline{v}_1=+\infty $, 所以由定理SW可知$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\right)=0. $利用实数

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\right) $

可得$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0 $. 例5.4得证.

例5.5   对于$ k=1, 2, \cdots $, 假设

$ \begin{eqnarray*} \psi_1(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-3n}, & { 如果 n=k^k }\\ \beta^{-2n/3}, & { 如果 n\neq k^k } \end{array}\right., \ \ \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} 1, & { 如果 n=k^k }\\ \beta^{-2n/3}, & { 如果 n\neq k^k }. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=2/3 $, $ \overline{v}_1=3 $, $ \underline{v}_2=0 $且$ \overline{v}_2=2/3 $. 所以

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=\frac{1}{25}=\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2. $

证   由于$ \overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2 $, 所以根据命题3.5, 只需证明

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{25}=\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2. $

现在, 我们证明$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq1/25 $. 事实上, 对于每一个$ x\in{\cal U}(\psi_2) $, 均有$ x\in{\cal L}(\psi_1) $. 因此, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)={\cal U}(\psi_2) $. 根据命题3.4中的方式, 可以找到集合$ {\cal U}(\psi_2) $的自然覆盖, 从而有

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)={\rm dim}_H\left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{25}=\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2. $

例5.5得证.

例5.6   对于$ k=1, 2, \cdots $, 假设

$ \begin{eqnarray*} \psi_1(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-n}, & { 如果 n=k^k }\\ 1, & { 如果 n\neq k^k } \end{array}\right., \ \ \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} 1, & { 如果 n=k^k }\\ \beta^{-n/3}, & { 如果 n\neq k^k } \end{array}\right., \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=0 $, $ \overline{v}_1=1 $, $ \underline{v}_2=0 $, $ \overline{v}_2=1/3 $且

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=\frac{1}{4}=\frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}. $

证   由于$ \overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1) $, 所以根据命题3.5, 只需证明

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{4}=\frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}. $

因为$ \psi_1(n)=1 $, 所以对所有$ n\neq k^k $, 均有$ {\cal L}(\psi_1)=[0, 1] $. 从而, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)={\cal U}(\psi_2) $. 根据命题3.4中的方式, 可以找到集合$ {\cal U}(\psi_2) $的一个自然覆盖, 从而有

$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)={\rm dim}_H\left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{4}=\frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}. $

例5.6得证.

例5.7说明当$ \overline{v}_2=\infty $时, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $可以是不可数集.

例5.7   假设$ \psi_1(n)=1 $ ($ n=1, 2, \cdots $),

$ \begin{eqnarray*} \psi_2(n)= \left\{\begin{array}{ll} \beta^{-n^2}, & { 如果 n=k^k }\\ \beta^{-n}, & { 如果 n\neq k^k } \end{array}\right., \quad k=1, 2, \cdots, \end{eqnarray*} $

从而, $ \underline{v}_1=\overline{v}_1=0 $, $ \underline{v}_2=1 $, $ \overline{v}_2=\infty $且$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0 $. 更进一步, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是不可数集.

证   根据命题3.1可知$ {\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0 $. 现证明$ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是不可数的. 对任意$ a>1 $, 先给定字符串

$ 10^{\left\lfloor 2^a\right\rfloor}10^{\left\lfloor 2^{2a}\right\rfloor}10^{\left\lfloor2^{3a}\right\rfloor}1\cdots10^{\left\lfloor2^{ia}\right\rfloor}1\cdots, \quad i=1, 2, \cdots $

对足够大的整数$ k $, 存在整数$ m=m(k) $使得

$ \sum\limits_{i=1}^{m}(1+\lfloor2^{ia}\rfloor)\leq k^k< \sum\limits_{i=1}^{m+1}(1+\lfloor2^{ia}\rfloor). $

令

$ t(k):=\min\left\{n:\sum\limits_{i=m(k)}^{n}(1+\lfloor2^{ia}\rfloor)\geq k^{2k}\right\}. $

然后, 用字符串$ 10^{\sum\limits_{i=m(k)}^{t(k)}(1+\lfloor2^{ia}\rfloor)-1} $代替上述字符串中

$ 10^{\left\lfloor 2^ma\right\rfloor}10^{\left\lfloor 2^{(m+1)a}\right\rfloor}1\cdots1\cdots10^{\left\lfloor2^{ta}\right\rfloor} $

的部分. 从而, 得到某个$ x\in[0, 1) $的$ \beta $ -展式的无穷字符串. 用$ x_a $表示该$ x $. 因而, 我们得到从$ \{a: a>1\} $到$ \{x_a\}_{a>1} $的对应关系$ \Phi(a)\mapsto x_a $. 可以得到$ x_a\in{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $. 因此, $ \{x_a \}_{a>1}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $. 根据构造可以验证, 对于不同的$ a_1>1 $, $ a_2>1 $, 均有$ \Phi(a_1)\neq\Phi(a_2) $. 因此, 集合$ \{a: a>1\} $的基小于或等于集合$ \{x_a\}_{a>1} $的基. 所以, $ {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2) $是不可数集. 例5.7得证.