丢番图逼近问题最初关注的是一个给定的无理数, 能被分母不超过$q_0$的有理数$p/q$逼近到什么程度的问题. 狄利克雷^[6]证明了著名的狄利克雷定理.

狄利克雷定理   任给两个实数$\theta, \; Q$ (其中$Q\geq 1$), 总存在整数$n\in[1, Q]$使得

其中$\| \xi\|$表示$\xi$到最近的整数的距离.

狄利克雷定理在文献[18] 中被称为一致逼近定理. 在文献[18] 中被称为渐进逼近定理的更弱版本的狄利克雷定理(勒让德^[12]称其为狄利克雷定理的推论)指出: 对任意实数$\theta$, 存在无穷多个整数$n\in{\Bbb N}$使得

辛钦^[10]将这个结果一般化, 证明对任意正函数$\psi:{\Bbb N}\rightarrow {\Bbb R}^+$, 如果$n\mapsto n\psi(n)$是单调不增的, 那么当级数$\sum\psi(n)$收敛时, 集合

是勒贝格零测集. 否则, 集合${\cal L}_\psi$是勒贝格满测集. 当集合${\cal L}_\psi$是勒贝格零测集时, 一个自然的想法是计算集合${\cal L}_\psi$的豪斯道夫维数. 集合${\cal L}_\psi$的豪斯道夫维数可以追溯到Jarník-Bosicovitch定理^{[2, 9]}. 该定理指出对所有的$\tau>1$, 均有

成立, 其中${\rm dim}_H(\cdot)$表示集合的豪斯道夫维数.

类比经典的丢番图逼近问题, Hill和Velani^[8]研究了一个动力系统轨道的逼近性质并提出了著名的收缩靶问题: 对于流形$M$上的保测变换$T:M\rightarrow M$, 集合

的尺寸(勒贝格测度, 豪斯道夫维数)是多少?其中$B(x_0, r(n))$是球心为$x_0$, 半径为$r(n)$ ($r(n)\rightarrow 0$) 的小球. 当$T$是黎曼球$\overline{{\Bbb C}}={\Bbb C}\cup\{\infty\}$上的有理可扩映射时, Hill和Velani^[8]给出了答案. 该文研究$\beta$ -变换下轨道的逼近性质. 区间$[0, 1)$上的$\beta$ - 变换$T_\beta\; (\beta>1)$定义如下

其中$\lfloor\cdot\rfloor$为取整函数. 对于任意正函数$\psi:{\Bbb N}\rightarrow {\Bbb R}^+$, 点$x_0$的$\psi$ -良好渐进逼近点集定义为

文献[15] 指出集合${\cal L}(\psi, x_0)$为勒贝格零测集当且仅当级数$\sum\psi(n)$收敛. Shen等^[17]给出了集合${\cal L}(\psi, x_0)$的豪斯道夫维数如下.

定理SW^[17]   对任意实数$\beta>1$, 任意点$x_0\in[0, 1]$, 均有

对丢番图逼近定理结果的改进已被广泛研究, 并得到了许多深刻的结果. 然而, 一致丢番图定理的改进还远远落后. 直到2016年, Bugeaud等^[4]研究了$\beta$ -变换的一致丢番图逼近. 对任意的点$x\in[0, 1)$, 定义指数

Bugeaud等^[4]证明了如下的定理.

定理BL^[4]   对任意$v\in(0, +\infty)$, 任意$\hat{v}\in(0, 1)$, 如果$v<\hat{v}/(1-\hat{v})$, 那么集合

为空集. 否则

指数$\nu_\beta$和$\hat{\nu}_\beta$可以参见文献[1, 3]. 同时, 这两个指数也与$\beta$ -变换中的游程函数有很大关系^[19]. 本文将文献[4] 中速度函数$n\mapsto\beta^{-nv}$变为一般正函数, 并研究相应集合的丢番图逼近性质. 详细而言, 给定两个正函数$\psi_1, \; \psi_2:{\Bbb N}\rightarrow {\Bbb R}^+$, 定义

我们给出集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$和${\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数的估计. 令

一方面, 当$\underline{v}_1<0$时, 根据$\underline{v}_1$的定义, 存在整数列$\{n_j\}$使得

因此, 对充分小的$\varepsilon>0$, 存在整数$j_0$使得

事实上, 由于$T^n_\beta x<1$, 所以对任意$x\in[0, 1)$和任意$n\in{\Bbb N}$, 均有

这意味着$[0, 1)\subseteq{\cal L}(\psi_1)$. 另一方面, 如果取出所有满足条件

的整数$n_i$, 则对所有的点$x\in[0, 1)$和整数$n\in[1, n_i]$, 均有$T^n_\beta x<1<\psi_2(n_i)$. 因此函数$\psi_2(n)$可以被下面的函数取代

而且集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$和集合${\cal U}(\psi_2)$的尺寸(勒贝格测度, 豪斯道夫维数) 与集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\widetilde{\psi}_2)$和集合${\cal U}(\widetilde{\psi}_2)$一样. 由于我们主要研究集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\widetilde{\psi}_2)$的尺寸. 所以(不失一般性), 可以假设$\underline{v}_1\geq0$和$\underline{v}_2\geq0$. 我们得到如下有关集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数的定理.

定理1.1   (1) 如果$\underline{v}_1=\overline{v}_1=\underline{v}_2=\overline{v}_2=0$, 那么${\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=1$.

(2) 如果$\underline{v}_2=\infty$且$0\leq\underline{v}_1\leq\overline{v}_1\leq\infty$, 那么${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是可数集.

(3) 如果$\overline{v}_2=\infty$且$0\leq\underline{v}_1\leq\overline{v}_1\leq\infty$, 那么${\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0$.

(4) 如果$\underline{v}_1=\infty$且$0\leq\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq\infty$, 那么${\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0$.

注1.1   对于$(1)$, 集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$不一定是满测集. 事实上, 如果级数$\sum\psi_1(n)$收敛, 根据文献$\rm [15]$可知

其中$m(A)$表示集合$A$的勒贝格测度. 同时, 集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$也可以是满测集. 举个例子, 如果

根据文献[11] 可知$m\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=1$.

对于$(3)$, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$既可以是可数的(见引理3.2), 也可以是不可数的(见例5.7).

对于$(4)$, 如果$\underline{v}_2=\infty$, 则${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是可数的. 如果$1<\underline{v}_2<\infty$, 则${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是空集(见引理3.3). 如果$0<\underline{v}_2\leq1$, 则${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是不可数的(见命题3.2).

定理1.2   如果$\underline{v}_2>1$, 那么${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是可数集. 如果$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)\leq\underline{v}_2\leq1<\overline{v}_2$, 则

如果$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq1$且$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2$, 则

如果$\underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$且$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2\leq1$, 则

如果$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 则

如果$\underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$且$\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 则

需要指出的是定理1.2包含了$\overline{v}_1\geq\underline{v}_1\geq 0$, $\overline{v}_2\geq\underline{v}_2\geq 0$的所有情况. 当指数($\underline{v}_1$, $\overline{v}_1$, $\underline{v}_2$和$\overline{v}_2$) 是零(或无穷) 时, 集合豪斯道夫维数的上界(或下界) 是定理中的公式在各个指数趋于零(或无穷) 的极限. 定理1.1是定理1.2的特例. 我们同样估计了集合${\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数.

定理1.3   如果$\underline{v}_2>1$, 则${\cal U}(\psi_2)$是可数集. 如果$\underline{v}_2\leq1<\overline{v}_2$, 则

如果$\overline{v}_2\leq1$, 则

我们给出例5.1–5.6, 说明定理1.2和1.3给出的豪斯道夫维数的上界和下界均是可达的. 值得注意的是, 相比指数函数$\beta^{-nv}$而言, 一般正函数丧失了单调性. 更重要的是, 我们不能像指数函数那样可以直接比较点$x$的$\beta$ -展式中连续为零的最长的字符串的长度和速度函数的关系. 当$\underline{v}_1=\overline{v}_1=0$, 我们有如下定理1.4.

定理1.4   假设$\underline{v}_1=\overline{v}_1=0$. 如果$\underline{v}_2>0$, 则${\cal U}(\psi_2)\subseteq {\cal L}(\psi_1)$.

本文的结构安排如下: 第$2$部分回顾经典的$\beta$ -展式, 定理1.1和1.2在第$3$部分证明, 第$4$部分证明定理1.3和1.4, 第$5$部分, 给出例子说明定理1.2和1.3的估计是严格的.

$\beta$ -展式的概念是Rényi ^[16]在1957年率先提出来的. 对任意$\beta>1$, 区间$[0, 1)$上的$\beta$ -变换$T_{\beta}$定义如下

其中$\lfloor\xi\rfloor$表示$\xi$的整数部分. 令

定义2.1   一个数$x\in[0, 1)$的$\beta$ -展式是集合$\{0, 1, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}$中的整数组成的一列字符串$\{\varepsilon_n:\varepsilon_n=\varepsilon_n(x, \beta)\}_{n\geq 1}$满足

其中$\varepsilon_1=\lfloor\beta x \rfloor, \; \varepsilon_n=\lfloor\beta T^{n-1}_\beta x\rfloor$ ($n\geq 2$). 也可以写成

通过如下方式将$\beta$ -变换的定义延拓到点$1$, 有

可以得到

其中$\varepsilon_1(1, \beta)=\lfloor\beta\rfloor, \; \varepsilon_n=\lfloor\beta T^{n-1}_\beta 1\rfloor {( n\geq 2 )}$. 同样可以写成

如果$d_\beta(1)$是有限的, 即存在一个整数$m>0$, 使得$\varepsilon_m(1, \beta)\neq 0$且$\varepsilon_i(1, \beta)=0$对所有$i>m$成立, 则称$\beta$为简单Parry数. 这种情况下, $1$的无穷$\beta$ -展式定义为

其中$(\omega)^\infty$表示周期字符串$(\omega, \omega, \cdots)$. 如果$d_\beta(1)$是无限的, 则定义为

在集合$\{0, 1, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}^{{\Bbb N}}$上赋予乘积拓扑, 定义单边转移算子$\sigma$为

对所有的在$\{0, 1, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}^{{\Bbb N}}$中的无穷字符串, 字典序$<_{lex}$定义为

如果$\omega_1<\omega'_1$或则存在整数$k\geq 2$使得对所有的$1\leq i< k$, 均有$\omega_i=\omega'_i$且$\omega_k<\omega'_k$. 如果$\omega<_{lex}\omega'$或$\omega=\omega'$, 则表示为$\omega\leq_{lex}\omega'$.

定义2.2  一个有限词$(\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n)$称为$\beta$ -容许的, 如果存在$x\in[0, 1]$使得其$\beta$ -展式以字符串$(\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n)$开始. 一个无穷字符串$(\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n, \cdots)$称为$\beta$ -容许的, 如果存在$x\in[0, 1]$使得其$\beta$ -展式为$(\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n, \cdots).$

用$\Sigma_\beta$表示所有无穷$\beta$ -容许的序列组成的集合, $\Sigma^n_\beta$表示所有长度为$n$的$\beta$ -容许的序列组成的集合. $\beta$ -容许的序列的性质参见文献[14, 16].

定理2.1^[14]   令$\beta>1$,

$\rm (1)$一个词$\omega=(\omega_n)_{n\geq 1}\in\Sigma_\beta$当且仅当

$\rm (2)$对任意$x_1, \; x_2\in[0, 1]$, $x_1<x_2$当且仅当$d_\beta(x_1)<_{lex}d_\beta(x_2)$.

$\rm (3)$对任意$\beta_2>\beta_1>1$, 均有$\Sigma^n_{\beta_1}\subseteq\Sigma^n_{\beta_2}, \; \Sigma_{\beta_1}\subseteq\Sigma_{\beta_2}$.

定理2.2^[16]   对所有$\beta>1$, 均有

其中$\sharp$表示有限集合的基.

对每一个$(\omega_1, \cdots, \omega_n)\in\Sigma^n_\beta$, 其关于$\beta$的$n$ -阶基本区间定义为

用$I_n(x)$表示包含$x$的$n$ -阶基本区间. 估计$\beta$ -展式中集合的豪斯道夫维数的下界的关键是计算基本区间的长度. 我们会用到"满基本区间" 这一概念(参见文献[7, 13]).

定义2.3   对任意$(\omega_1, \cdots, \omega_n)\in\Sigma^n_\beta$, 基本区间$I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n)$是满的如果其长度为$\beta^{-n}$.

命题2.1^{[7, 17]}   对任意$(\omega_1, \cdots, \omega_n)\in\Sigma^n_\beta$, 下列陈述等价

$\rm (1)$$I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n)$是满基本区间;

$\rm (2)$$T^n_\beta I_n(\omega_1, \cdots, \omega_n)=[0, 1)$;

$\rm (3)$对任意$\omega'=(\omega'_1, \cdots, \omega'_m)\in\Sigma^m_\beta$, 连接

命题2.2^[17]   $\rm (1)$如果$(\omega_1, \cdots, \omega_{n+1})$是$\beta$ -容许的序列且$\omega_{n+1}\neq0$, 那么$I_{n+1}(\omega_1, \cdots, \omega'_{n+1})$是满的，对任意$0\leq \omega'_{n+1}<\omega_{n+1}$成立.

$\rm (2)$对每一个$\omega\in\Sigma^n_\beta$, 如果$I_n(\omega)$是满的, 那么对任意的$\omega'\in\Sigma^m_\beta$, 均有

$\rm (3)$对任意$\omega\in\Sigma^n_\beta$, 如果$I_{n+m}(\omega, \omega')$是包含在$I_n(\omega)$中的满基本区间且具有最小的阶, 那么

现在, 我们按照如下方式定义一列趋于$\beta$的数$\beta_N$. 假设$\{\varepsilon^\ast_k(\beta):k\geq 1\}$是$1$的无穷$\beta$ -展式. 对每一个满足条件$\varepsilon^\ast_k(\beta)\neq 0$的$N$, 令$\beta_N$是方程

的唯一实数解. 由$\beta_N$的定义可知, $\beta_N<\beta$, $\{\beta_N:N\geq 1\}$随着$N$的增大单调递增趋于$\beta$.

引理2.1^[17]   对每一个可以视为$\Sigma^n_\beta$中元素的$\omega\in\Sigma^n_{\beta_N}$, 均有

首先, 我们陈述一个依据$\nu_\beta(x)$和$\hat{\nu}_\beta(x)$的定义可知的基本事实.

事实3.1   对任意$x\in[0, 1)$, 如果存在整数$n_0$使得$T^{n_0}_\beta x=0$, 那么

我们证明如果$\overline{v}_2=\infty$, 那么集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$和${\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数均为零.

命题3.1   如果$\overline{v}_2=\infty$, 那么${\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}$. 从而

证   对每一个点$x\in{\cal U}(\psi_2)$, 我们分两种情况讨论.

情形1  若存在整数$n_0$使得$T^{n_0}_\beta x=0$. 根据事实3.1可知, $\nu_\beta(x)=\infty$.

情形2  对任意$n\in{\Bbb N}$, 总有$T^n_\beta x>0$. 由于$x\in{\cal U}(\psi_2)$, 所以存在$N_0\geq1$使得对任意$N\geq N_0$, 均存在整数$n\in[0, N]$满足$0<T_\beta^nx<\psi_2(N)$. 对充分大的$L>0$, 因为$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_2(n)}{n}=\overline{v}_2=\infty$, 所以存在数列$\{n_i\}$使得$\psi_2(n_i)\leq\beta^{-n_iL}$. 令$m_1:=\min\{n_i:\; n_i\geq N_0\}$, 存在整数$j_1\in[0, m_1]$使得

取$m_2:=\min\left\{n_i>m_1:\beta^{-n_iL}<T_\beta^{j_1}x\right\}$, 则存在整数$j_2\in[0, m_2]$满足

由于$T_\beta^{j_2}x<\psi_2(m_2)\leq\beta^{-m_2L}<T_\beta^{j_1}x$, 所以$j_2\neq j_1$. 重复这个过程, 可以得到两两不同的整数列$\{j_i:i\geq1\}$使得

因此, $\nu_\beta(x)\geq L$. 根据$L$的任意性可得$\nu_\beta(x)=\infty$.

因此, 无论哪种情形, 均有${\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}$. 依据定理SW可得

命题3.1得证.

现将通过讨论指数$\nu_\beta(x)$, $\hat{\nu}_\beta(x)$和数$\underline{v}_1$, $\overline{v}_1$, $\underline{v}_2$, $\overline{v}_2$之间的关系来证明定理1.2.

引理3.1   对于$0\leq\underline{v}_1\leq\overline{v}_1<\infty$和$0\leq\underline{v}_2\leq\overline{v}_2<\infty$, 均有

(1) $\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2);$

(2) ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq \underline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}.$

证   $(1)$对任意$x$满足$\nu_\beta(x)>\overline{v}_1$和任意足够小的$\varepsilon>0$, 存在数列$\{n_i\}$使得$T_\beta^{n_i}x<\beta^{-n_i(\overline{v}_1+\varepsilon)}$. 由$\overline{v}_1$的定义可知, 对上述$\varepsilon$, 存在整数$i_0$使得

因此, $T_\beta^{n_i}x<\beta^{-n_i(\overline{v}_1+\varepsilon)}<\psi_1(n_i), { 对任意 i\geq i_0 成立}$. 从而, $x\in{\cal L}(\psi_1)$. 故,

类似讨论可得, $\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq {\cal U}(\psi_2).$所以

$(2)$对任意点$x\in{\cal L}(\psi_1)$, 存在数列$\{n_i\}$使得$T_\beta^{n_i}x<\psi_1(n_i)$. 由$\underline{v}_1$的定义可知, 对任意$\varepsilon>0$, 存在整数$i_0$使得

因此, $\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1-\varepsilon$. 从而${\cal L}(\psi_1)\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq\underline{v}_1-\varepsilon\}$. 根据$\varepsilon$的任意性可得

类似的讨论可得${\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)\geq\underline{v}_2\}$. 从而

引理3.1得证.

为了证明定理1.1, 我们研究指数满足$\nu_\beta(x)=\infty$和$\hat{\nu}_\beta(x)=\infty$的点的集合的性质.

引理3.2   如果指数满足$\nu_\beta(x)=\infty$, $\hat{\nu}_\beta(x)=\infty$, 那么

证   事实3.1意味着陈述(1) 和结论

是正确的. 只需证明

若不然, 对任意$x$满足$\hat{\nu}_\beta(x)=\infty$, 假设$x\notin\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}$. 那么, $T^n_\beta x>0$对所有整数$n$成立. 将$x$的$\beta$ -展式表示为

其中$a_i\in\{0, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}$, 对所有的$i\geq1$. 取两列递增数列$\left\{n'_i:i\geq 1\right\}$和$\left\{m'_i:i\geq1\right\}$满足如下性质

(1) 对每一个$i\geq1$, 均有$a_{n'_i}>0, \quad a_{n'_i+1}=\cdots=a_{m'_i-1}=0, \quad a_{m'_i}>0$.

(2) 对每一个$a_n=0$, 存在整数$i$使得$n'_i<n<m'_i$.

由数列$\left\{n'_i: i\geq 1\right\}$和$\left\{m'_i:i\geq1\right\}$的选择可知, 对每一个$i\geq1$, 均有$n'_i<m'_i<n'_{i+1}$. 由于$\hat{\nu}_\beta(x)>0$, 所以$\limsup\limits_{i\rightarrow \infty}(m'_i-n'_i)=\infty$. 令$n_1=n'_1$, $m_1=m'_1$. 假设$m_k, \; n_k$已选定. 令

然后, 定义

由于$\limsup\limits_{i\rightarrow \infty}(m'_i-n'_i)=\infty$, 所以数列$\{i_k:k\geq1\}$是可取到的. 通过这种方式, 我们得到数列$\left\{n'_i:i\geq 1\right\}$和$\left\{m'_i:i\geq1\right\}$的两个子列$\{n_k:k\geq1\}$和$\{m_k:k\geq1\}$, 使得数列$\{m_k-n_k: k\geq1\}$是单调不减的. 根据文献[4] 可知

这与假设$\hat{\nu}_\beta(x)=\infty$矛盾. 因此

故, $\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\omega\in\Sigma^n_\beta}\{x\in[0, 1]:d_\beta(x)=(\omega, 0^\infty)\}.$这意味着集合$\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}$是可数集.

引理3.3   集合$\{x\in[0, 1]:1<\hat{\nu}_\beta(x)<\infty\}$是空集.

证   由引理3.2的第$(2)$项的证明可知.

命题3.2   集合$\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}, \; \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\}$均是不可数集.

证   对任意实数$a>1$, 构造对应关系

这个无穷字符串是某个$x\in[0, 1)$的$\beta$ -展式. 用$x_a$表示这个$x$. 从而可得由$\{a: a>1\}$到$\{x_a\}_{a>1}$的对应关系$\Phi(a)\mapsto x_a$. 显然有$\nu_\beta(x_a)=\infty$且$\hat{\nu}_\beta(x_a)=1$. 因此

对不同的$a_1>1$和$a_2>1$, 存在正整数$k_0$使得

因此, $\Psi(a_1)\neq\Psi(a_2)$. 从而, $\Phi(a_1)\neq\Phi(a_2)$. 所以, 集合$\{a: a>1\}$的基数小于或等于集合$\{x_a\}_{a>1}$的基数. 类似的, 集合$\{x_a: a>1\}$的基数小于或等于集合$\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}$ ($\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\}$) 的基数. 因为$\{a: a>1\}$是不可数集, 所以集合$\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)=\infty\}$和$\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1\}$都是不可数集.

定理1.1的证明   $(1)$如果$\underline{v}_1=\overline{v}_1=\underline{v}_2=\overline{v}_2=0$, 那么

从而, 对任意足够大的正整数$m$, 存在$n_0$使得

因此, $\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq1/m\}\subseteq{\cal L}(\psi_1), \; \{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1/m\}\subseteq{\cal U}(\psi_2)$. 由事实$\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=1/m\}\subseteq\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)\geq1/m\}$可知

由文献[4] 可知

故, ${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=1.$

$(2)$如果$\underline{v}_2=\infty$, 那么

对充分大的$L>0$, 存在整数$n_0$使得$\psi_2(n)\leq\beta^{-nL}, \; { 对任意 n\geq n_0 成立}$. 因此, 对任意$x\in{\cal U}(\psi_2)$, 均有$\hat{\nu}_\beta(x)\geq L$.

根据$L$的任意性可知, $\hat{\nu}_\beta(x)=\infty$. 故, ${\cal U}(\psi_2)\subseteq\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}$. 由引理3.2 (2) 可知

由引理3.2 (1) 知, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)=\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}$. 由于$\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=\infty\}$是可数集, 所以集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$也是可数集.

$(3)$根据命题3.1可得此结论.

$(4)$如果$\underline{v}_1=\infty$, 由定理SW可知

定理1.1得证.

现在, 我们将定理1.2的证明分成如下三个命题: 3.3, 3.4, 3.5.

命题3.3   对任意$0\leq\underline{v}_2\leq\overline{v}_2<\infty$, 均有

证   由$\overline{v}_2$的定义可知, 可以取子列$\{n_k:k\geq1\}$使得

从而, 对任意$\varepsilon>0$, 存在整数$k_0$使得

对每一个$x\in{\cal U}(\psi_2)$, 通过命题3.1中类似的讨论可以得到

由定理SW可知${\rm dim}_H\left({\cal U}(\psi_2)\right)\leq\frac{1}{1+\overline{v}_2}$. 从而

命题3.3得证.

命题3.4   如果$\underline{v}_2>1$, 那么集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是可数集. 如果$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq1$, 则

如果$\underline{v}_2\leq \underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$, 则

证   通过引理3.1 $(2)$可知

集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数的上界可以通过讨论集合

的自然覆盖得到. 由定理1.1的$(2)$, $(3)$和$(4)$, 我们只需考虑$\nu_\beta(x)\in[\underline{v}_1, \infty)$和$\hat{\nu}_\beta(x)\in[\underline{v}_2, \infty)$这种情况. 对任意$x\in{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$, 存在数$v_\beta\in[\underline{v}_1, \infty)$使得

将$x$的$\beta$ -展式表示为

其中$a_i\in\{0, \cdots, \lceil\beta\rfloor\}$, 对所有$i\geq1$. 因为$\nu_\beta(x)<\infty$, 所以$T_\beta^nx>0, { 对所有 n\geq0 成立}$. 采用引理3.2的方法, 取出极大数列$\{n_k:k\geq1\}$和$\{m_k:k\geq1\}$. 由于

所以我们给出下面的断言.

断言3.1   $v_\beta=\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_k}, \quad \underline{v}_2\leq\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{m_k-n_k}{n_{k+1}}.$

断言3.1的证明   不失一般性, 假设

首先证明$v_\beta=c_1$. 一方面, 对任意$\varepsilon>0$, 存在整数$k_0>0$使得

由于$T^{n_k}_\beta x>\beta^{n_k-m_k}$, 所以$T^{n_k}_\beta x>\beta^{n_k-m_k}\geq\beta^{-n_k(c_1+\varepsilon)}$. 对任意$n\geq n_{k_0}$, 存在整数$k\geq k_0$使得$n_k\leq n<n_{k+1}$. 根据$\{n_k\}$的选择可知

从而, $v_\beta=v_\beta(x)<c_1+\varepsilon$. 另一方面, 根据$c_1$的定义, 可取子列$\{n_{k_i}\}$和$\{m_{k_i}\}$满足

从而, $T^{n_{k_i}}_\beta x<\beta^{n_{k_i}-m_{k_i}+1}\leq\beta^{-n_{k_i}(c_1-\varepsilon)+1}$. 因此, $v_\beta=\nu_\beta(x)\geq c_1-\varepsilon$. 由$\varepsilon$的任意性可知$v_\beta=c_1$.

然后, 证明$\underline{v}_2\leq c_2$. 由$\underline{v}_2$的定义可知对任意$\varepsilon>0$, 存在整数$n_0>0$使得

根据$c_2$的定义可知: 可以取出子列$\{k_i:i\geq 1\}$使得$\lim\limits_{i\rightarrow \infty}\frac{m_{k_i}-n_{k_i}}{n_{k_{i+1}}}=c_2$. 对上述$\varepsilon>0$, 存在整数$i_0=i_0(\varepsilon)>0$使得$m_{k_i}-n_{k_i}\leq n_{k_{i+1}}(c_2+\varepsilon), { 对任意 i\geq i_0 成立}$. 为了得到矛盾, 假设$c_2<\underline{v}_2$. 那么, 对任意$\varepsilon\in\left(0, \frac{\underline{v}_2-c_2}{4}\right)$和任意整数$J\geq K$ ($K:=\max\{n_0(\varepsilon), \; n_{i_0(\varepsilon)}\}$), 存在整数$n_{k_{i+1}}>J$使得对任意整数$n\in[1, n_{k_{i+1}}]$, 均有

这与事实$x\in{\cal U}(\psi_2)$矛盾. 因此

断言3.1得证.

现在, 考虑

由于

所以从(3.1) 和(3.2) 式可以得到

如果$\underline{v}_2>1$, 那么$\underline{v}_2>v_\beta/(1+v_\beta)$, 对任意$v_\beta\geq \underline{v}_1$. 这与不等式(3.3) 矛盾. 因此, 集合${\Bbb B}$是空集. 根据引理3.2可得

所以, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是可数集.

如果$\underline{v}_2\leq1$, 通过不等式(3.3) 可知对任意$v_\beta<\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$, ${\Bbb B}$是空集. 只需考虑$v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$的情况. 用引理3.2的方法, 选择数列$\{n_k:k\geq1\}$和$\{m_k:k\geq1\}$满足

给定$0<\varepsilon<\underline{v}_2/2$, 对充分大的$k$, 均有

由不等式(3.4) 可知$(1+v_\beta-\varepsilon)m_{k-1}\leq(1+v_\beta-\varepsilon)n_k\leq m_k$. 因此, 数列$\{m_k:k\geq1\}$至少是指数增长的. 由于$n_k\geq m_{k-1}$对所有$k\geq2$成立, 因此数列$\{n_k:k\geq1\}$也至少是指数增长的. 从而, 存在正常数$C$使得$k\leq C\log_\beta n_k$. 根据公式(3.4) 和(3.5) 可得$(\underline{v}_2-\varepsilon)n_{k+1}\leq(v_\beta+\varepsilon)n_k$. 因此, 对足够大的$k$, 存在整数$n_0$和足够小的正实数$\varepsilon_1$使得无穷字符串$a_1a_2\cdots$的前$n_k$中, $0$的字符块的所有长度的和至少为

在字符串$a_1\cdots a_{m_k}$中, 有$k$个块是"自由" 的. 将它们的长度表示为$l_1, \cdots, l_k$. 令$\varepsilon_2=\frac{(v_\beta-\underline{v}_2-v_\beta\cdot \underline{v}_2)\varepsilon_1}{v_\beta-\underline{v}_2}$, 则有

根据定理2.2可知长度为$l_i$的字符块至多有$\beta\cdot\beta^{l_i}/(\beta-1)$种选择方式. 因此, 字符串$a_1\cdots a_{m_k}$一共至多有

种选择方式. 另一方面, 无穷字符串$a_1a_2\cdots$的前$n_k$中, 至多有$k(k\leq C\log_\beta n_k)$个$0$字符块. 因为$0$字符块的第一个指标至多有$n_k$种选择方式, 所以至多有$(n_k)^{C\log_\beta n_k}$种选择方式. 从而, 集合${\Bbb B}$被

个长度最长为$\beta^{-m_k}$的基本区间覆盖. 通过公式(3.4) 可知令$\varepsilon_3=\varepsilon/(1+v_\beta)$可得$\beta^{-m_k}\leq \beta^{-(1+v_\beta)(1-\varepsilon_3)n_k}$. 令$\varepsilon'=\max\{\varepsilon_2, \; \varepsilon_3\}$. 集合${\Bbb B}$被

个长度最长为$\beta^{-(1+v_\beta)(1-\varepsilon')n_k}$的基本区间覆盖. 考察级数

临界点$s_0$为

当$s>s_0$时, 级数收敛; 当$s<s_0$时, 级数发散. 根据$\varepsilon'$的任意性, 通过经典的开覆盖定理可知集合${\Bbb B}':=\{x\in[0, 1]: \nu_\beta(x)=\nu_\beta\}\cap{\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数至多为

对于$v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$, 固定足够大的正整数$L$. 考虑

重复上面的讨论, 如果$\underline{v}_2<1$, 则

如果$\underline{v}_2=1$, 则$v_\beta=\infty$. 通过定理SW可知${\rm dim}_H \left({\Bbb D}\right)=0$. 如果$\underline{v}_2<1$, 由于集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是集合

的子集, 所以当$L$趋于$+\infty$时, 均有

将右边公式看成$v_\beta$的函数, 如果$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2$, 则当$v_\beta=2\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$时, 取得最大值. 因此

如果$\underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$, 则当$v_\beta=\underline{v}_1$时, 取得最大值. 故

命题3.4得证.

命题3.5   如果$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2\leq1$, 则

如果$\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 则

证   由引理3.1$(1)$可知

如果$\overline{v}_2=1$, 则总有${\rm dim}_H \left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq0$. 如果$\overline{v}_2<1$, 则固定$\delta>0$满足$\overline{v}_2+\delta<1$, 我们就可以考虑集合

的豪斯道夫维数的下界. 其中$v_\beta\geq\overline{v}_1$是一个实数. 由定理BL可知如果$\frac{\overline{v}_1+\delta}{\overline{v}_2+\delta}<\frac{1}{1-(\overline{v}_2+\delta)}$, 则${\Bbb F}$是空集. 因此, 考虑$\frac{\overline{v}_1+\delta}{\overline{v}_2+\delta}\geq\frac{1}{1-(\overline{v}_2+\delta)}$这种情况.如果$\overline{v}_2>0$, 则存在$\delta_0>0$使得对任意$\delta\in(0, \delta_0]$, 均有

对任意$\delta\in(0, \delta_0]$, 构造集合${\Bbb F}$的康托子集$E_\delta$. 固定充分大的$N$, 令$\beta_N$为公式(2.2) 中定义的实数. 同时令

如果$\overline{v}_2=0$, 则令$n'_k=k^k, \; m'_k=\lfloor(1+ v_\beta+\delta)n'_k\rfloor, \; k=1, 2, \cdots$做适当调整, 可选择两个子列$\{n_k\}$和$\{m_k\}$满足条件$n_k<m_k<n_{k+1}$ (对任意$k\geq1$都成立)使得$\{m_k-n_k\}$是单调不减, $m_1-n_1>N$且

考虑所有$\beta$ -展式为

且对所有的$k\geq1$, 均满足

(其中$t_k$是满足条件$m_k+t_k(m_k-n_k)<n_{k+1}$的最大整数) 的实数$x\in[0, 1)$组成的集合. 那么, 对于足够大的$k$, 均有

因此, $\{t_k:k\geq1\}$是有界数列. 将字符$a_{n_k}, \; a_{m_k}$用数字$1$替换, 对于任意$1\leq i\leq t_k$, 将字符$a_{m_k+i(m_k-n_k)}$用字符块$0^N10^N$替换. 其它位置用$\Sigma_{\beta_N}$中的字符块填充. 从而, 依据$N$的取值, 我们构造了康托子集$E_\delta$. 由于$\{t_k\}$有界, 所以

根据构造可知字符串$d_\beta(x)$属于$\Sigma_{\beta_N}$.

断言3.2  $E_\delta\subseteq {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$.

断言3.2的证明   给定$\varepsilon>0$, 由公式(3.7) 可知存在整数$k_0$使得

根据$\overline{v}_1$和$\overline{v}_2$的定义可知存在整数$n_0$使得

令$K_0=\max\{n_{k_0}, \; n_0\}$, 对任意的点$x\in E_\delta$和任意的$n_k\geq K_0$, 均有

从而, $x\in{\cal L}(\psi_1)$. 另一方面, 对于$K\geq K_0$, 存在整数$i$使得$n_{k+i}\leq K<n_{k+i+1}$. 因此

从而, $x\in{\cal U}(\psi_2)$. 故, $x\in{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$. 所以, $E_\delta\subseteq {\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$. 证毕.

当碰到$\Sigma_{\beta_N}$中的字符块时, 将均匀分布质量到每一个字符块; 当碰到康托集$E_\delta$中字符所在的位置时, 则保持该质量不变. 集合$E_\delta$上的伯努利测度$\mu$定义如下: 如果$n<n_1$, 则定义$\mu(I_n)=1/\sharp\Sigma^n_{\beta_N}$. 如果$n\in[n_1, m_1+4N]$, 则定义$\mu(I_n)=1/\sharp\Sigma^{n_1-1}_{\beta_N}$. 如果存在整数$t\in[0, t_1-1]$使得

则定义

如果存在整数$t\in[0, t_1]$使得$m_1+4N+t(m_1-n_1)+2Nt<n\leq c$ (其中$c=\min\{n_2+4N+2Nt_1, m_1+4N+(t+1)(m_1-n_1)+2Nt\}$), 则定义

对于$k\geq2$, 令

如果$l_k\leq n\leq h_k$, 则定义

如果存在整数$t\in[0, t_k-1]$使得

则定义$\mu(I_n)=\mu(I_{h_k})\cdot\frac{1}{\left(\sharp\Sigma^{p_k}_{\beta_N}\right)^{t+1}}$. 如果存在整数$t\in[0, t_k]$使得

则定义$\mu(I_n)=\mu(I_{h_k})\cdot\frac{1}{\left(\sharp\Sigma^{p_k}_{\beta_N}\right)^t}\cdot\frac{1}{\sharp\Sigma^{n-(h_k+t(m_k-n_k)+2Nt)}_{\beta_N}}$.

由命题2.1和构造过程可知$I_{h_k}$是满的. 为了计算测度$\mu$的局部维数, 进行如下分类讨论.

情形1   如果$n=h_k$, 则

因为$\{t_k:k\geq1\}$是有界列且$\{m_k:k\geq1\}$关于指标$k$是指数增长的, 所以

根据公式(3.7) 可知

利用Stolz-Cesàro定理可知

从而

情形2   对于充分大的整数$n$, 如果存在$k\geq2$使得$l_k\leq n\leq h_k$, 则

情形3  对于$n$, 如果存在整数$t\in[0, t_k-1]$使得

则有$\mu(I_n)\leq\mu(I_{h_k})\cdot\beta^{-(t+1)p_k}_N$. 由于$I_{h_k}$是满的, 由命题2.2可知$| I_n| =| I_{h_k}| \cdot| I_{n-h_k}(\omega')|$, 其中$\omega'$是$\Sigma^{n-h_k}_{\beta_N}$中的可容许块. 由引理2.1可知$| I_n| \geq| I_{h_k}| \cdot\beta^{-(n-h_k+N)}$. 因此

其中$\varphi(N)<1$且当$N$趋于无穷大时, $\varphi(N)$趋于$1$. 如果存在整数$t\in[0, t_k]$使得

则令$l:=n-(h_k+t(m_k-n_k)+2Nt)$, 从而$\mu(I_n)\leq\mu(I_{h_k})\cdot\beta^{-tp_k-l}_N$. 因为$I_{h_k}$是满的, 根据命题2.2可知$| I_n| =| I_{h_k}| \cdot| I_{n-h_k}(\omega')|$, 其中$\omega'$是$\Sigma^{n-h_k}_{\beta_N}$中的可容许块. 由引理2.1可知$| I_{n-h_k}(\omega')| \geq\beta^{-(n-h_k+N)}$. 因此, $| I_n| \geq| I_{h_k}| \cdot\beta^{-(n-h_k+N)}$. 从而

由上面的讨论可知

根据$\delta\in(0, \delta_0]$的任意性可得

令$N$趋于无穷, 通过修正的质量分布原理^[5]可得

将右边公式视为$v_\beta$的函数, 如果$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2$, 则当$v_\beta=2\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2)$时, 取得最大值. 因此

如果$\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 则当$v_\beta=\overline{v}_1$时, 取得最大值. 因此

命题3.5得证.

定理1.2的证明   如果$\underline{v}_2>1$, 由命题3.4可知${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是可数集. 如果$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)\leq\underline{v}_2\leq1<\overline{v}_2$, 由命题3.3可知

由命题3.4和豪斯道夫维数的定义可知

如果$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq1$且$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2$, 由命题3.3和3.4可知

因为$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2$, 所以由命题3.5可知

从而

如果$\underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$且$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2\leq 1$, 由命题3.3, 3.4和3.5可知

如果$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 由命题3.3和3.4可知

根据命题3.5可知

因此

如果$\underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$且$\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 由命题3.3, 3.4和3.5可知

定理1.2得证.

这一部分, 我们给出定理1.3和1.4的证明.

定理1.3的证明  由引理3.1可知

用$v_\beta$代替$\underline{v}_1$的位置, 对于充分大的$L$, 考虑集合

通过和命题3.4相似的讨论可知如果$\underline{v}_2>1$, 则$\underline{v}_2\geq\frac{v_\beta+1/L}{1+v_\beta+1/L}, { 对任意 v_\beta 成立}$. 因此, ${\Bbb D}$是空集. 从而${\cal U}(\psi_2)=\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)=+\infty\}$. 由命题3.4和引理3.2可知${\cal U}(\psi_2)$是可数集.

如果$\underline{v}_2=1$, 则$v_\beta=\infty$. 由定理SW可知${\rm dim}_H \left({\Bbb D}\right)=0$. 如果$\underline{v}_2<1$, 那么对任意$v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$, 均有

注意到${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是集合

的子集. 当$L$趋于无穷时, 可以得到

同样, 将右边公式看成$v_\beta$的函数, 其定义域为$v_\beta\geq\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$, 当$v_\beta=2\underline{v}_2/(1-\underline{v}_2)$时, 可以取得最大值. 从而

再由命题3.3可得

如果$\overline{v}_2\leq1$, 则$\underline{v}_2\leq\overline{v}_2\leq1$且

为了得到集合${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$的豪斯道夫维数的下界, 我们构造其康托子集$E$. 由引理3.1可知$\{x\in[0, 1]:\nu_\beta(x)>\overline{v}_1\}\cap\{x\in[0, 1]:\hat{\nu}_\beta(x)>\overline{v}_2\}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$. 用$v_\beta$代替$\underline{v}_1$的位置, 其中$v_\beta$取值范围为$v_\beta\geq\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2)$. 固定$\delta>0$, 考虑

如果$\overline{v}_2=0$, 则令

如果$\overline{v}_2>0$, 则令

通过和命题3.5的证明中类似的讨论可得

将右边公式看成$v_\beta$的函数, 由于$v_\beta\geq\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2)$, 所以当$v_\beta=2\overline{v}_2/(1-\overline{v}_2)$时, 取得最大值. 因此

定理1.3得证.

定理1.4的证明   如果$\underline{v}_1=\overline{v}_1=0$, 则$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{-\log_\beta\psi_1(n)}{n}=0$. 如果$\underline{v}_2>0$, 由$\underline{v}_2$和$\underline{v}_1=\overline{v}_1=0$的定义可知对任意$\varepsilon\in(0, \underline{v}_2/2)$, 存在整数$n_0$使得对任意$n\geq n_0$, 均有$\psi_2(n)\leq \beta^{-n(\underline{v}_2-\varepsilon)}<\beta^{-n\varepsilon}\leq \psi_1(n)$. 对于任意$x\in{\cal U}(\psi_2)$, 经过和命题3.1一样的讨论可得

定理1.4得证.

这一部分, 我们说明定理1.2和1.3所给出的豪斯道夫维数的上界和下界都是可达的. 其中, 例5.1, 5.2和5.3分别说明上界$\frac{1}{1+\overline{v}_2}$, $\left(\frac{1-\underline{v}_2}{1+\underline{v}_2}\right)^2$和$\frac{\underline{v}_1-\underline{v}_2-\underline{v}_1\underline{v}_2}{(1+\underline{v}_1)(\underline{v}_1-\underline{v}_2)}$是可达的.

例5.1   假设$\psi_1(n)=1$ ($n=1, 2, \cdots$),

从而, $\underline{v}_1=\overline{v}_1=0$, $\underline{v}_2=0$, $\overline{v}_2=3$且${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{1+\overline{v}_2}$.

证   由命题3.3可知只需证明${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq\frac{1}{4}$. 现构造集合${\cal L}(\psi_1)\bigcap{\cal U}(\psi_2)$的一个满足${\rm dim}_H(E)\geq\frac{1}{4}$的康托子集$E$. 对于$k=1, 2, \cdots$, 令$n_k=k^k$, $m_k=4k^k$. 用命题3.5中的方式构造康托子集$E$, 可以得到

例5.1得证.

例5.2   假设$\psi_1(n)=1$ ($n=1, 2, \cdots$),

从而, $\underline{v}_1=\overline{v}=0$, $\underline{v}_2=1/2$, $\overline{v}_2=2$且

证   由于$\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)<\underline{v}_2$, 所以根据命题3.4, 只需证明

对于$k=0, 1, 2, \cdots$, 令$n_k=4^k$, $m_k=3\cdot 4^k$. 用命题3.5中的方式构造康托子集$E$, 可以得到

例5.2得证.

例5.3   对于$k=0, 1, 2, \cdots$, 假设

从而, $\underline{v}_1=1/2$, $\overline{v}_1=1$, $\underline{v}_2=1/6$, $\overline{v}_2=1/2$且

证   由于$\underline{v}_2\leq\underline{v}_1/(2+\underline{v}_1)$, 由命题3.4可知

只需证明${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\geq1/2$. 令

用命题3.5中的方式构造康托子集$E$, 可以得到

例5.3得证.

例5.4, 5.5和5.6分别说明维数的下界$0$, $\left(\frac{1-\overline{v}_2}{1+\overline{v}_2}\right)^2$和$\frac{\overline{v}_1-\overline{v}_2-\overline{v}_1\overline{v}_2}{(1+\overline{v}_1)(\overline{v}_1-\overline{v}_2)}$是可达的.

例5.4   假设$\psi_1(n)=\beta^{-n^2}$ ($n=1, 2, \cdots$),

从而, $\underline{v}_1=\overline{v}_1=+\infty$, $\underline{v}_2=1/2$, $\overline{v}_2=3$且${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0$.

证   由于$\underline{v}_1=\overline{v}_1=+\infty$, 所以由定理SW可知${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\right)=0.$利用实数

可得${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0$. 例5.4得证.

例5.5   对于$k=1, 2, \cdots$, 假设

从而, $\underline{v}_1=2/3$, $\overline{v}_1=3$, $\underline{v}_2=0$且$\overline{v}_2=2/3$. 所以

证   由于$\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)<\overline{v}_2$, 所以根据命题3.5, 只需证明

现在, 我们证明${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)\leq1/25$. 事实上, 对于每一个$x\in{\cal U}(\psi_2)$, 均有$x\in{\cal L}(\psi_1)$. 因此, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)={\cal U}(\psi_2)$. 根据命题3.4中的方式, 可以找到集合${\cal U}(\psi_2)$的自然覆盖, 从而有

例5.5得证.

例5.6   对于$k=1, 2, \cdots$, 假设

从而, $\underline{v}_1=0$, $\overline{v}_1=1$, $\underline{v}_2=0$, $\overline{v}_2=1/3$且

证   由于$\overline{v}_2\leq\overline{v}_1/(2+\overline{v}_1)$, 所以根据命题3.5, 只需证明

因为$\psi_1(n)=1$, 所以对所有$n\neq k^k$, 均有${\cal L}(\psi_1)=[0, 1]$. 从而, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)={\cal U}(\psi_2)$. 根据命题3.4中的方式, 可以找到集合${\cal U}(\psi_2)$的一个自然覆盖, 从而有

例5.6得证.

例5.7说明当$\overline{v}_2=\infty$时, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$可以是不可数集.

例5.7   假设$\psi_1(n)=1$ ($n=1, 2, \cdots$),

从而, $\underline{v}_1=\overline{v}_1=0$, $\underline{v}_2=1$, $\overline{v}_2=\infty$且${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0$. 更进一步, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是不可数集.

证   根据命题3.1可知${\rm dim}_H\left({\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)\right)=0$. 现证明${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是不可数的. 对任意$a>1$, 先给定字符串

对足够大的整数$k$, 存在整数$m=m(k)$使得

令

然后, 用字符串$10^{\sum\limits_{i=m(k)}^{t(k)}(1+\lfloor2^{ia}\rfloor)-1}$代替上述字符串中

的部分. 从而, 得到某个$x\in[0, 1)$的$\beta$ -展式的无穷字符串. 用$x_a$表示该$x$. 因而, 我们得到从$\{a: a>1\}$到$\{x_a\}_{a>1}$的对应关系$\Phi(a)\mapsto x_a$. 可以得到$x_a\in{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$. 因此, $\{x_a \}_{a>1}\subseteq{\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$. 根据构造可以验证, 对于不同的$a_1>1$, $a_2>1$, 均有$\Phi(a_1)\neq\Phi(a_2)$. 因此, 集合$\{a: a>1\}$的基小于或等于集合$\{x_a\}_{a>1}$的基. 所以, ${\cal L}(\psi_1)\cap{\cal U}(\psi_2)$是不可数集. 例5.7得证.