数学物理学报, 2022, 42(4): 969-977 doi:

论文

Bernoulli泛函上典则酉对合的扰动

范楠, 王才士,, 姬红

西北师范大学数学与统计学院 兰州 730070

Perturbations of Canonical Unitary Involutions Associated with Quantum Bernoulli Noises

Fan Nan, Wang Caishi,, Ji Hong

School of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070

通讯作者: 王才士, E-mail: wangcs@nwnu.edu.cn

收稿日期: 2021-07-29  

基金资助: 国家自然科学基金.  11861057

Received: 2021-07-29  

Fund supported: the NSFC.  11861057

Abstract

Quantum Bernoulli noises (QBN) are annihilation and creation operators acting on the space of square integrable Bernoulli functionals, which satisfy a canonical anti-commutation relation (CAR) in equal time and can play an important role in describing the environment of an open quantum system. In this paper, we address a type of perturbations of the canonical unitary involutions associated with QBN. We analyze these perturbations from a perspective of spectral theory and obtain exactly their spectra, which coincide with their point spectra. We also discuss eigenvectors of these perturbations from an algebraic point of view and unveil the structures of the subspaces consisting of their eigenvectors. Finally, as application, we consider the abstract quantum walks driven by these perturbations and obtain infinitely many invariant probability distributions of these walks.

Keywords: Quantum probability ; Quantum Bernoulli noise ; Perturbation of unitary involution ; Spectrum ; Quantum walk

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本文引用格式

范楠, 王才士, 姬红. Bernoulli泛函上典则酉对合的扰动. 数学物理学报[J], 2022, 42(4): 969-977 doi:

Fan Nan, Wang Caishi, Ji Hong. Perturbations of Canonical Unitary Involutions Associated with Quantum Bernoulli Noises. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(4): 969-977 doi:

1 引言

量子Bernoulli噪声[1] (QBN) 是平方可积Bernoulli泛函[2]空间$ \mathfrak{h} $上的湮灭和增生算子族$ \{\partial_k, \partial_k^* \mid k\geq 0\} $, 满足一种等时的典则反交换关系(CAR), 在开放量子系统的研究中起着重要作用[3-6]. 近年来, 量子Bernoulli噪声引起了学者们的广泛关注并引发了较多的研究(见文献[7-11]).

$ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $, 则$ \{\Xi_k \mid k\geq 0\} $$ \mathfrak{h} $上的一列酉对合(自伴酉算子), 称之为Bernoulli泛函上的典则酉对合. 文献[12] 以上述典则酉对合为关键工具证明了一个针对量子游荡的极限定理, 改进了文献[13] 中的相应结果. 本文研究上述典则酉对合的如下一类扰动(算子)

$ \begin{equation} \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1), \quad k\geq 0, \end{equation} $

其中$ Z_k $$ \mathfrak{h} $的标准正交基的基向量(详见2.1节), $ |Z_k\rangle\!\langle Z_k| $是相应的Dirac算子. 简单计算可见

这表明$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的确为典则酉对合$ \Xi_k $$ 1 $ -秩扰动. 另一方面, 上述扰动(算子) 同时也是$ \mathfrak{h} $上的酉算子, 因而可作为一类抽象量子游荡的演化算子.

2019年, Segawa和Suzuki [14]研究了一般Hilbert空间$ {\cal H} $上的算子$ S(2d_A^*d_A-1) $, 其中$ S $$ {\cal H} $上的一个酉对合, $ d_A $$ {\cal H} $到另一个Hilbert空间的余等距算子. 他们得到了算子$ S(2d_A^*d_A-1) $与其判别式之间的谱映射定理(详见2.2节). 本文利用Segawa-Suzuki的上述结果精确计算出了扰动$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的谱和点谱, 并发现两者相同. 此外, 本文也得到了$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的特征子空间的构造. 最后, 作为应用, 本文也讨论了以$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $为演化算子的抽象量子游荡, 得到了该抽象量子游荡的无穷多个平稳分布.

2 预备知识

本节主要回顾一些关于量子Bernoulli噪声的基本概念和事实. 此外, 为便于应用, 本节也引述了Segawa和Suzuki在文献[14]中建立的谱映射定理.

2.1 量子Bernoulli噪声

$ \Omega $表示所有映射$ \omega\colon {\Bbb N} \mapsto \{-1, 1\} $构成的集合, $ (\zeta_n)_{n\geq 0} $$ \Omega $上的典则投影序列, 亦即

$ \begin{equation} \zeta_n(\omega)=\omega(n), \quad \omega\in \Omega. \end{equation} $

$ {\cal F} $表示$ \Omega $上由序列$ (\zeta_n)_{n\geq 0} $生成的$ \sigma $ -域. 设$ (p_n)_{n\geq 0} $是给定的正数序列, 其中$ 0 < p_n < 1 $, $ n\geq 0 $. 则在可测空间$ (\Omega, {\cal F}) $上存在唯一的概率测度$ {\Bbb P} $, 使得

$ \begin{equation} {\Bbb P}\circ(\zeta_{n_1}, \zeta_{n_2}, \cdots, \zeta_{n_k})^{-1}\big\{(\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_k)\big\} =\prod\limits_{j=1}^k p_{n_j}^{\frac{1+\epsilon_j}{2}}(1-p_{n_j})^{\frac{1-\epsilon_j}{2}}, \end{equation} $

其中$ k\geq 1 $, $ \epsilon_j\in \{-1, 1\} $, $ n_j\in {\Bbb N} $$ (1\leq j \leq k) $满足: 当$ i\neq j $时, 有$ n_i\neq n_j $. 此时得到一个概率测度空间$ (\Omega, {\cal F}, {\Bbb P}) $, 称之为Bernoulli空间, 该空间上的复值随机变量称为Bernoulli泛函. 设$ Z=(Z_n)_{n\geq 0} $是随机变量序列$ (\zeta_n)_{n\geq 0} $生成的Bernoulli泛函, 即

$ \begin{equation} Z_n = \frac{\zeta_n + q_n - p_n}{2\sqrt{p_nq_n}}, \quad n\geq0, \end{equation} $

其中$ q_n = 1-p_n $. 显然, $ Z=(Z_n)_{n\geq 0} $是概率测度空间$ (\Omega, {\cal F}, {\Bbb P}) $上的一列独立的随机变量. 设$ \mathfrak{h} $表示平方可积Bernoulli泛函空间, 即

$ \begin{equation} \mathfrak{h} = L^2(\Omega, {\cal F}, {\Bbb P}). \end{equation} $

其中$ \mathfrak{h} $上的内积和范数分别记作$ \langle\cdot, \cdot\rangle $$ \|\cdot\| $, 并约定$ \langle\cdot, \cdot\rangle $关于第一个变量共轭线性, 关于第二个变量线性. 由文献[13] 可知, $ Z $具有混沌表示性质, 从而$ \mathfrak{Z} = \{Z_{\tau}\mid \tau \in \Gamma\} $$ \mathfrak{h} $的标准正交基(ONB), 称之为$ \mathfrak{h} $的典则ONB, 其中$ Z_{\emptyset}=1 $,

$ \begin{equation} Z_{\tau} = \prod\limits_{j\in \tau}Z_j, \quad \tau \in \Gamma , \tau \neq \emptyset . \end{equation} $

显然$ \mathfrak{h} $是一个无穷维的复Hilbert空间. 易见, 对于每个$ n\geq 0 $, $ Z_n = Z_{\{n\}} $$ \mathfrak{h} $的典则ONB的一个基向量.

对每个非负整数$ k\geq 0 $, 在空间$ \mathfrak{h} $上存在有界算子$ \partial_k\colon \mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{h} $, 满足$ \|{\partial_{k}}\|=1 $

$ \begin{equation} \partial_k Z_{\tau} = \bf{1}_{\tau}(k)Z_{\tau\setminus k}, \quad \partial_k^{\ast} Z_{\tau} = [1-\bf{1}_{\tau}(k)]Z_{\tau\cup k}, \quad \tau \in \Gamma, \end{equation} $

其中$ \partial_k^{\ast} $表示$ \partial_k $的共轭算子, $ \tau\setminus k=\tau\setminus \{k\} $, $ \tau\cup k=\tau\cup \{k\} $, 且$ \bf{1}_{\tau}(k) $$ \tau $作为集合$ {\Bbb N} $的子集时的示性函数.

算子$ \partial_k $及其共轭算子$ \partial_k^{\ast} $称为作用于Bernoulli泛函的湮灭算子和增生算子, 且算子族$ \{\partial_k, \partial_k^{\ast}\}_{k \geq 0} $称为量子Bernoulli噪声.

由文献[1] 可知, 量子Bernoulli噪声满足如下等时典则反交换关系(CAR) 和其它运算关系

$ \begin{equation} \partial_k \partial_l = \partial_l\partial_k, \quad \partial_k^{\ast} \partial_l^{\ast} = \partial_l^{\ast}\partial_k^{\ast}, \quad \partial_k^{\ast} \partial_l = \partial_l\partial_k^{\ast}\quad (k\neq l), \end{equation} $

$ \begin{equation} \partial_k\partial_k= \partial_k^{\ast}\partial_k^{\ast}=0, \quad \partial_k\partial_k^{\ast} + \partial_k^{\ast}\partial_k=I, \end{equation} $

其中$ I $$ \mathfrak{h} $上的单位算子.

2.2 Segawa-Suzuki谱映射定理

以下, 若$ A $是某个Banach空间上的算子, 则$ \sigma(A) $$ \sigma_p(A) $分别表示$ A $的谱和点谱, 熟知$ \sigma_p(A)\subset \sigma(A) $.

$ {\cal H} $$ {\cal K} $是两个复Hilbert空间, $ S $$ {\cal H} $上的一个酉对合(即自伴酉算子). 又设$ d_A\colon {\cal H} \rightarrow {\cal K} $是一个从$ {\cal H} $$ {\cal K} $的余等距算子, 即$ d_{A} $是有界算子且满足$ d_Ad_A^*=I_{{\cal K}} $, 其中$ I_{{\cal K}} $表示$ {\cal K} $上的单位算子.

引理2.1[14]   令$ S $, $ d_A $如上所示. 记$ U= S(2d_A^*d_A-1) $, $ T=d_A Sd_A^* $. 则下列关系成立

$ \begin{equation} \sigma(U)= \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+}\cup \{-1\}^{M_-}, \quad \sigma_p(U)= \varphi^{-1}(\sigma_p(T)) \cup \{1\}^{M_+}\cup \{-1\}^{M_-}, \end{equation} $

其中$ M_{\pm} = \dim\big[\ker d_A \cap \ker(S\pm 1)\big] $, $ \varphi $是Joukowsky变换: $ \varphi(x)=(x+x^{-1})/2 $, $ \{\pm 1\}^{M_{\pm}} $表示特征值$ \pm1 $重数为$ M_{\pm} $. 此外, 对于$ \lambda\in \sigma_p(U) $, 有

$ \begin{equation} \dim \ker(U-\lambda)= \left\{ \begin{array}{ll} \dim\ker(T-\varphi(\lambda)), & \lambda\neq \pm 1 ; \\ \dim\ker(T\mp 1) + M_{\pm}, & \lambda = \pm 1 . \end{array} \right. \end{equation} $

注2.1   设$ S $$ {\cal H} $上的一个酉对合, $ d_A:{\cal H}\rightarrow {\cal K} $为一个余等距算子. 则称$ {\cal H} $上的算子$ U=S(2d_A^*d_A -1) $为(与$ S $$ d_A $关联的) 抽象演化算子, 相应地称$ {\cal K} $上算子$ T=d_ASd_A^* $$ U $的判别式. 如上所示, 引理$ 2.1 $实际上给出了抽象演化算子与其判别式之间的谱映射定理.

3 主要结果

本节将给出本文的主要结论. 为便于后续证明, 先给出一些必要的技术性命题. 回想$ \mathfrak{h} $表示平方可积Bernoulli泛函空间, 量子Bernoulli噪声$ \{\partial_k, \partial_k^* \mid k\geq 0\} $就是$ \mathfrak{h} $上的湮灭和增生算子.

命题3.1   设$ k\geq 0 $, 则$ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $$ \mathfrak{h} $上的酉对合, 并且如下关系成立

$ \begin{equation} {\rm span}\, \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker\, (\Xi_k\pm 1). \end{equation} $

   显然$ \Xi_k $$ \mathfrak{h} $上的自伴算子. 其次, 由等时典则反交换关系可得

因此$ \Xi_k $是酉对合. 对满足$ k\in \tau $$ \#\tau\geq 2 $的任意$ \tau \in \Gamma $, 有

这意味着$ Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k}\in \ker\, (\Xi_k + 1) $. 于是$ \{Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker\, (\Xi_k+ 1) $, 进而有$ {\rm span}\, \{Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker\, (\Xi_k+ 1) $. 同理可证另一个包含关系.

如前所示, 算子$ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $称为与QBN有关的典则酉对合, 其中$ k\geq 0 $.

命题3.2   设$ k\geq 0 $, 令$ {\cal D}_k={\rm span}\{Z_k\} $为基向量$ Z_k $张成的子空间. 视$ {\cal D}_k $为复Hilbert空间, 并定义映射$ P_k\colon \mathfrak{h} \rightarrow {\cal D}_k $如下

$ \begin{equation} P_k \xi = \langle Z_k, \xi\rangle Z_k, \quad \xi\in \mathfrak{h}. \end{equation} $

$ P_k:\mathfrak{h}\rightarrow {\cal D}_k $为余等距算子, 并且有$ \ker P_k = \{Z_k\}^{\perp} $, 此外其共轭算子$ P_k^*\colon {\cal D}_k \rightarrow \mathfrak{h} $满足$ P_k^*\xi =\xi $, $ \forall\, \xi \in {\cal D}_k $.

   显然$ P_k $$ \mathfrak{h} $$ {\cal D}_k $的有界算子. 设$ \xi \in {\cal D}_k $, 则有$ \xi = \langle Z_k, \xi\rangle Z_k $. 因此, 对任意的$ \eta\in \mathfrak{h} $, 有

于是$ P_k^*\xi = \xi $. 下证$ P_kP_k^* = I_{{\cal D}_k} $. 事实上, 对$ \forall\; \xi \in {\cal D}_k $, 通过计算可得

$ P_kP_k^*= I_{{\cal D}_k} $, 从而$ P_k $是余等距算子. 由$ P_k $的定义易得$ \ker P_k = \{Z_k\}^{\perp} $.

命题3.3   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k $, $ P_k $如命题3.1及命题3.2所示, 则有下式成立

$ \begin{equation} {\rm span}\, \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k\pm 1). \end{equation} $

特别地, $ \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k\pm 1) $$ \mathfrak{h} $的可数无限维子空间.

   对满足$ k\in \tau $$ \#\tau\geq 2 $的任意$ \tau \in \Gamma $, 易见$ \tau \neq \{k\} $$ \tau\setminus k \neq \{k\} $, 于是

此即$ Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k}\in \{Z_k\}^{\perp}=\ker P_k $. 因此

结合命题3.1可得

另一方面, 容易看出$ \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2\} $$ \mathfrak{h} $的两个可数无限的标准正交系. 故$ \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k+ 1) $$ \mathfrak{h} $的可数无限维子空间.

对任意的$ \xi \in {\cal D}_k $, 通过直接计算可以发现

由此可得下一个有用的命题.

命题3.4   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k $$ P_k $如命题3.1及命题3.2所示. 则$ P_k\Xi_kP_k^* = 0 $, 即$ P_k\Xi_kP_k^* $$ {\cal D}_k $上的零算子.

下一个定理为本文的第一个主要结果, 其中精确给出了$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的谱.

定理3.1   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $$ \mathfrak{h} $上的典则酉对合. 则算子$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $有如下形式的谱和点谱

$ \begin{equation} \sigma(U_k)= \sigma_p(U_k)= \{i, -i\}\cup \{1\}^{+\infty} \cup \{-1\}^{+\infty}, \end{equation} $

其中$ |Z_k\rangle\!\langle Z_k| $为基向量$ Z_k $对应的Dirac算子, $ i $为虚数单位. 此外, 特征子空间具有如下维数

$ \begin{equation} \dim\ker\, (U_k\pm i)=1, \quad \dim\ker\, (U_k\pm 1)=\infty. \end{equation} $

   考虑算子$ P_k^*P_k $. 根据命题3.2, 对任意$ \xi \in \mathfrak{h} $, 有

这意味着$ P_k^*P_k= |Z_k\rangle\!\langle Z_k| $, 于是$ U_k =\Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1)= \Xi_k(2P_k^*P_k-1) $. 由此可见, $ U_k $实际上是$ \mathfrak{h} $上的一个(与$ \Xi_k $$ P_k $关联的) 抽象演化算子, 而$ T_k = P_k\Xi_kP_k^* $实际上为$ U_k $$ {\cal D}_k $上的判别式.

由引理2.1知

其中$ M_{\pm} = \dim\big[\ker P_k \cap \ker(\Xi_k\pm 1)\big] $. 进一步由命题3.3及$ T_k= P_k\Xi_kP_k^*=0 $ (见命题3.4) 可得

其中$ \sigma(0) $表示$ {\cal D}_k $上零算子的谱. 由于$ \sigma(0)=\{0\} $, 进一步可得

$ \begin{equation} \sigma(U_k) = \varphi^{-1}(\{0\}) \cup \{1\}^{+\infty}\cup \{-1\}^{+\infty} = \{i, -i\} \cup \{1\}^{+\infty}\cup \{-1\}^{+\infty}. \end{equation} $

同样由于$ T_k=0 $, 故$ \sigma_p(T_k)=\{0\} $. 于是

$ \begin{equation} \sigma_p(U_k)= \{i, -i\}\cup \{1\}^{+\infty} \cup \{-1\}^{+\infty}. \end{equation} $

根据引理2.1, 命题3.3及命题3.4可得

$ \begin{equation} \dim \ker(U_k-\lambda)= \left\{ \begin{array}{ll} \dim {\cal D}_k, & \lambda= \pm i ; \\ M_{\pm}, & \lambda = \pm 1 . \end{array} \right. \end{equation} $

$ \dim {\cal D}_k = 1 $, $ M_{\pm}=+\infty $, 故(3.5) 式成立.

由上述定理可知, 算子$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的谱与其点谱相同, 即其谱中的每一个数值都是它的特征值. 接下来, 我们研究其特征子空间的构造.

命题3.5    设$ k\geq 0 $为非负整数, $ \Xi_k= \partial_k^* +\partial_k $为典则酉对合, 记$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则对$ \lambda\in \{1, -1, i, -i\} $, 成立

$ \begin{equation} \ker(U_k\pm \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} = \ker(\Xi_k\mp \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

   设$ \lambda\in \{1, -1, i, -i\} $. 对任意$ \xi\in \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $, 通过直接计算可得

此式连同$ \xi\in \{Z_k\}^{\perp} $意味着$ \xi\in \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $. 于是, 我们得到包含关系

$ \begin{equation} \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}\subset \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

反之, 对任意$ \xi\in \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $, 由于$ 2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|\xi= 0 $, 所以

此式连同$ \xi\in \{Z_k\}^{\perp} $蕴含着$ \xi\in \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $. 于是, 我们得到另一个包含关系

综上可得$ \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}= \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $. 类似地, 可证明(3.9) 式中的另一个等式.

命题3.6   设$ k\geq 0 $, 记$ U_k= \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则有

$ \begin{equation} \ker(U_k+1)\subset \{Z_k\}^{\perp}\quad 或 \quad\ker(U_k-1)\subset \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

  (反证法)  假设$ \ker(U_k+1)\setminus \{Z_k\}^{\perp}\neq \emptyset $$ \ker(U_k-1)\setminus \{Z_k\}^{\perp}\neq\emptyset $都成立. 则可取$ \xi\in \ker(U_k+1)\setminus \{Z_k\}^{\perp} $$ \eta\in \ker(U_k-1)\setminus \{Z_k\}^{\perp} $. 显然, $ \xi \notin \{Z_k\}^{\perp} $$ \eta \notin \{Z_k\}^{\perp} $. 此时, 由$ \xi\in \ker(U_k+1) $$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1)\xi=-\xi, $化简得$ 2\langle Z_k, \xi\rangle Z_k = (I-\Xi_k)\xi $. 类似地, 我们有$ 2\langle Z_k, \eta\rangle Z_k = (I+\Xi_k)\eta $. 两式的左端和右端对应地取内积得

这蕴含着$ \xi \in \{Z_k\}^{\perp} $$ \eta \in \{Z_k\}^{\perp} $. 与假设矛盾! 因此, 必有

这等价于(3.11)式.

由上述讨论可知, 对于$ \lambda \in \{1, -1, i, -i\} $, $ \ker(U_k\pm \lambda) $$ U_k $的对应于特征值$ \mp \lambda $的特征子空间. 下面两个定理给出了特征子空间的结构.

定理3.2   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k=\partial_k^* + \partial_k $为相应的典则酉对合, 记$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则有

$ \begin{equation} \ker(U_k+1)= \ker(\Xi_k-1) \cap \{Z_k\}^{\perp}\quad 或者 \quad \ker(U_k-1)= \ker(\Xi_k+1) \cap \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

   由命题3.5和命题3.6立得.

定理3.3   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k=\partial_k^* + \partial_k $为相应的典则酉对合, 记$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则有

$ \begin{equation} \ker(U_k\pm i)={\rm span}\{Z_k \pm iZ_{\emptyset}\}. \end{equation} $

   令$ \xi=Z_k + iZ_{\emptyset} $, 则经过直接计算可得

这表明$ \xi\in \ker(U_k +i) $, 即$ Z_k + iZ_{\emptyset}\in \ker(U_k +i) $, 于是$ {\rm span}\{Z_k + iZ_{\emptyset}\}\subset \ker(U_k +i) $. 又由于$ Z_k + iZ_{\emptyset}\neq 0 $, 且$ \dim \ker(U_k +i) =1 $ (见定理3.1), 所以

类似地可证明$ \ker(U_k- i)={\rm span}\{Z_k - iZ_{\emptyset}\} $.

4 应用

量子游荡是经典随机游荡的量子类似物, 在量子计算和量子信息有广泛的应用[15-16]. 本节讨论前一节所得主要结论在量子游荡中的应用. 为行文方便, 规定$ k\geq 0 $是一个给定的非负整数, 并记$ U_k= \Xi_k(2|Z_k\rangle\langle Z_k|-1) $.

$ \xi_0 $$ \mathfrak{h} $中的单位向量, 令$ \xi_n=U_k^n\xi_0 $, $ n\geq 1 $, 则可得$ \mathfrak{h} $上一个抽象量子游荡, 称之为$ U_k $驱动的抽象量子游荡. 此时, $ U_k $也称为该抽象量子游荡的演化算子, $ \xi_n $称为该抽象量子游荡在$ n\geq 0 $时刻的态, 特别地, $ \xi_0 $为其初始态. 对于$ n\geq 0 $, 由于

$ \begin{equation} \sum\limits_{\tau\in\Gamma}|\langle Z_{\tau}, \xi_n\rangle|^2 = \|\xi_n\|^2 = \|U_k^n\xi_0\|^2 =\|\xi_0\|^2=1, \end{equation} $

所以函数$ \tau\mapsto |\langle Z_{\tau}, \xi_n\rangle|^2 $$ \Gamma $上的一个概率分布, 称之为上述抽象量子游荡在$ n\geq 0 $时刻的概率分布.

定义4.1   设$ \mu $$ \Gamma $上的一个概率分布. 若存在单位向量$ \xi\in \mathfrak{h} $, 使得对一切$ n\geq 0 $都有

$ \begin{equation} \mu(\tau) = |\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2, \quad \tau\in \Gamma, \end{equation} $

则称$ \mu $$ U_k $驱动的抽象量子游荡的平稳分布, 简称为$ U_k $的平稳分布.

命题4.1   $ U_k $具有如下形式的平稳分布

$ \begin{equation} \mu_k(\tau)= \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{1}{2}, &\tau = \{k\}; \\ { } \frac{1}{2}, & \tau=\emptyset; \\ 0, &\tau\in \Gamma\setminus \{\emptyset, \{k\}\}. \end{array} \right. \end{equation} $

   令$ \xi = \frac{\sqrt{2}}{2}(Z_k + iZ_{\emptyset}) $.$ \xi $$ \mathfrak{h} $中的单位向量. 由定理3.3可知$ U_k\xi = -i \xi $. 于是, 对于任意$ n\geq 0 $, 通过计算可得

由此可知, 对一切$ \tau\in \Gamma $和一切$ n\geq 0 $, 都有$ \mu_k(\tau)=|\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2 $, 即(4.3) 所定义的函数$ \mu_k $$ U_k $的平稳分布.

命题4.2  设$ \gamma\in \Gamma $满足$ k\in \gamma $$ \#\gamma\geq 2 $. 则函数$ \mu_{\gamma} $$ U_k $的平稳分布, 其中$ \mu_{\gamma} $由下式定义

$ \begin{equation} \mu_{\gamma}(\tau)= \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{1}{2}, & \tau = \gamma ; \\ { } \frac{1}{2}, & \tau=\gamma\setminus k ; \\ 0, & \tau\in \Gamma\setminus \{\gamma, \gamma\setminus k\} . \end{array} \right. \end{equation} $

   根据定理3.2, 不妨假定$ \ker(U_k+1)= \ker(\Xi_k-1) \cap \{Z_k\}^{\perp} $.$ \xi = \frac{\sqrt{2}}{2}(Z_{\gamma} + Z_{\gamma\setminus k}) $, 则由命题3.3和命题3.5可知

$ U_k \xi= -\xi $. 于是, 对所有的$ n\geq 0 $, 有

这表明, 对一切$ n\geq 0 $和一切$ \tau \in \Gamma $, 都有$ \mu_{\gamma}(\tau)= |\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2 $, 即$ \mu_{\gamma} $$ U_k $的平稳分布.

由命题4.1及4.2知, $ U_k $具有可数无限多个的平稳分布, 亦即$ U_k $所驱动的抽象量子游荡具有可数无限多个的平稳分布.

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