量子Bernoulli噪声^[1] (QBN) 是平方可积Bernoulli泛函^[2]空间$ \mathfrak{h} $上的湮灭和增生算子族$ \{\partial_k, \partial_k^* \mid k\geq 0\} $, 满足一种等时的典则反交换关系(CAR), 在开放量子系统的研究中起着重要作用^[3-6]. 近年来, 量子Bernoulli噪声引起了学者们的广泛关注并引发了较多的研究(见文献[7-11]).

令$ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $, 则$ \{\Xi_k \mid k\geq 0\} $为$ \mathfrak{h} $上的一列酉对合(自伴酉算子), 称之为Bernoulli泛函上的典则酉对合. 文献[12] 以上述典则酉对合为关键工具证明了一个针对量子游荡的极限定理, 改进了文献[13] 中的相应结果. 本文研究上述典则酉对合的如下一类扰动(算子)

(1.1) $ \begin{equation} \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1), \quad k\geq 0, \end{equation} $

其中$ Z_k $是$ \mathfrak{h} $的标准正交基的基向量(详见2.1节), $ |Z_k\rangle\!\langle Z_k| $是相应的Dirac算子. 简单计算可见

$ \begin{eqnarray*} \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) = 2|Z_{\emptyset}\rangle\!\langle Z_k|-\Xi_k. \end{eqnarray*} $

这表明$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的确为典则酉对合$ \Xi_k $的$ 1 $ -秩扰动. 另一方面, 上述扰动(算子) 同时也是$ \mathfrak{h} $上的酉算子, 因而可作为一类抽象量子游荡的演化算子.

2019年, Segawa和Suzuki ^[14]研究了一般Hilbert空间$ {\cal H} $上的算子$ S(2d_A^*d_A-1) $, 其中$ S $为$ {\cal H} $上的一个酉对合, $ d_A $为$ {\cal H} $到另一个Hilbert空间的余等距算子. 他们得到了算子$ S(2d_A^*d_A-1) $与其判别式之间的谱映射定理(详见2.2节). 本文利用Segawa-Suzuki的上述结果精确计算出了扰动$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的谱和点谱, 并发现两者相同. 此外, 本文也得到了$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的特征子空间的构造. 最后, 作为应用, 本文也讨论了以$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $为演化算子的抽象量子游荡, 得到了该抽象量子游荡的无穷多个平稳分布.

本节主要回顾一些关于量子Bernoulli噪声的基本概念和事实. 此外, 为便于应用, 本节也引述了Segawa和Suzuki在文献[14]中建立的谱映射定理.

设$ \Omega $表示所有映射$ \omega\colon {\Bbb N} \mapsto \{-1, 1\} $构成的集合, $ (\zeta_n)_{n\geq 0} $为$ \Omega $上的典则投影序列, 亦即

(2.1) $ \begin{equation} \zeta_n(\omega)=\omega(n), \quad \omega\in \Omega. \end{equation} $

以$ {\cal F} $表示$ \Omega $上由序列$ (\zeta_n)_{n\geq 0} $生成的$ \sigma $ -域. 设$ (p_n)_{n\geq 0} $是给定的正数序列, 其中$ 0 < p_n < 1 $, $ n\geq 0 $. 则在可测空间$ (\Omega, {\cal F}) $上存在唯一的概率测度$ {\Bbb P} $, 使得

(2.2) $ \begin{equation} {\Bbb P}\circ(\zeta_{n_1}, \zeta_{n_2}, \cdots, \zeta_{n_k})^{-1}\big\{(\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_k)\big\} =\prod\limits_{j=1}^k p_{n_j}^{\frac{1+\epsilon_j}{2}}(1-p_{n_j})^{\frac{1-\epsilon_j}{2}}, \end{equation} $

其中$ k\geq 1 $, $ \epsilon_j\in \{-1, 1\} $, $ n_j\in {\Bbb N} $$ (1\leq j \leq k) $满足: 当$ i\neq j $时, 有$ n_i\neq n_j $. 此时得到一个概率测度空间$ (\Omega, {\cal F}, {\Bbb P}) $, 称之为Bernoulli空间, 该空间上的复值随机变量称为Bernoulli泛函. 设$ Z=(Z_n)_{n\geq 0} $是随机变量序列$ (\zeta_n)_{n\geq 0} $生成的Bernoulli泛函, 即

(2.3) $ \begin{equation} Z_n = \frac{\zeta_n + q_n - p_n}{2\sqrt{p_nq_n}}, \quad n\geq0, \end{equation} $

其中$ q_n = 1-p_n $. 显然, $ Z=(Z_n)_{n\geq 0} $是概率测度空间$ (\Omega, {\cal F}, {\Bbb P}) $上的一列独立的随机变量. 设$ \mathfrak{h} $表示平方可积Bernoulli泛函空间, 即

(2.4) $ \begin{equation} \mathfrak{h} = L^2(\Omega, {\cal F}, {\Bbb P}). \end{equation} $

其中$ \mathfrak{h} $上的内积和范数分别记作$ \langle\cdot, \cdot\rangle $和$ \|\cdot\| $, 并约定$ \langle\cdot, \cdot\rangle $关于第一个变量共轭线性, 关于第二个变量线性. 由文献[13] 可知, $ Z $具有混沌表示性质, 从而$ \mathfrak{Z} = \{Z_{\tau}\mid \tau \in \Gamma\} $是$ \mathfrak{h} $的标准正交基(ONB), 称之为$ \mathfrak{h} $的典则ONB, 其中$ Z_{\emptyset}=1 $,

(2.5) $ \begin{equation} Z_{\tau} = \prod\limits_{j\in \tau}Z_j, \quad \tau \in \Gamma , \tau \neq \emptyset . \end{equation} $

显然$ \mathfrak{h} $是一个无穷维的复Hilbert空间. 易见, 对于每个$ n\geq 0 $, $ Z_n = Z_{\{n\}} $为$ \mathfrak{h} $的典则ONB的一个基向量.

对每个非负整数$ k\geq 0 $, 在空间$ \mathfrak{h} $上存在有界算子$ \partial_k\colon \mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{h} $, 满足$ \|{\partial_{k}}\|=1 $且

(2.6) $ \begin{equation} \partial_k Z_{\tau} = \bf{1}_{\tau}(k)Z_{\tau\setminus k}, \quad \partial_k^{\ast} Z_{\tau} = [1-\bf{1}_{\tau}(k)]Z_{\tau\cup k}, \quad \tau \in \Gamma, \end{equation} $

其中$ \partial_k^{\ast} $表示$ \partial_k $的共轭算子, $ \tau\setminus k=\tau\setminus \{k\} $, $ \tau\cup k=\tau\cup \{k\} $, 且$ \bf{1}_{\tau}(k) $是$ \tau $作为集合$ {\Bbb N} $的子集时的示性函数.

算子$ \partial_k $及其共轭算子$ \partial_k^{\ast} $称为作用于Bernoulli泛函的湮灭算子和增生算子, 且算子族$ \{\partial_k, \partial_k^{\ast}\}_{k \geq 0} $称为量子Bernoulli噪声.

由文献[1] 可知, 量子Bernoulli噪声满足如下等时典则反交换关系(CAR) 和其它运算关系

(2.7) $ \begin{equation} \partial_k \partial_l = \partial_l\partial_k, \quad \partial_k^{\ast} \partial_l^{\ast} = \partial_l^{\ast}\partial_k^{\ast}, \quad \partial_k^{\ast} \partial_l = \partial_l\partial_k^{\ast}\quad (k\neq l), \end{equation} $

且

(2.8) $ \begin{equation} \partial_k\partial_k= \partial_k^{\ast}\partial_k^{\ast}=0, \quad \partial_k\partial_k^{\ast} + \partial_k^{\ast}\partial_k=I, \end{equation} $

其中$ I $是$ \mathfrak{h} $上的单位算子.

以下, 若$ A $是某个Banach空间上的算子, 则$ \sigma(A) $和$ \sigma_p(A) $分别表示$ A $的谱和点谱, 熟知$ \sigma_p(A)\subset \sigma(A) $.

设$ {\cal H} $和$ {\cal K} $是两个复Hilbert空间, $ S $为$ {\cal H} $上的一个酉对合(即自伴酉算子). 又设$ d_A\colon {\cal H} \rightarrow {\cal K} $是一个从$ {\cal H} $到$ {\cal K} $的余等距算子, 即$ d_{A} $是有界算子且满足$ d_Ad_A^*=I_{{\cal K}} $, 其中$ I_{{\cal K}} $表示$ {\cal K} $上的单位算子.

引理2.1^[14]   令$ S $, $ d_A $如上所示. 记$ U= S(2d_A^*d_A-1) $, $ T=d_A Sd_A^* $. 则下列关系成立

(2.9) $ \begin{equation} \sigma(U)= \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+}\cup \{-1\}^{M_-}, \quad \sigma_p(U)= \varphi^{-1}(\sigma_p(T)) \cup \{1\}^{M_+}\cup \{-1\}^{M_-}, \end{equation} $

其中$ M_{\pm} = \dim\big[\ker d_A \cap \ker(S\pm 1)\big] $, $ \varphi $是Joukowsky变换: $ \varphi(x)=(x+x^{-1})/2 $, $ \{\pm 1\}^{M_{\pm}} $表示特征值$ \pm1 $重数为$ M_{\pm} $. 此外, 对于$ \lambda\in \sigma_p(U) $, 有

(2.10) $ \begin{equation} \dim \ker(U-\lambda)= \left\{ \begin{array}{ll} \dim\ker(T-\varphi(\lambda)), & \lambda\neq \pm 1 ; \\ \dim\ker(T\mp 1) + M_{\pm}, & \lambda = \pm 1 . \end{array} \right. \end{equation} $

注2.1   设$ S $为$ {\cal H} $上的一个酉对合, $ d_A:{\cal H}\rightarrow {\cal K} $为一个余等距算子. 则称$ {\cal H} $上的算子$ U=S(2d_A^*d_A -1) $为(与$ S $和$ d_A $关联的) 抽象演化算子, 相应地称$ {\cal K} $上算子$ T=d_ASd_A^* $为$ U $的判别式. 如上所示, 引理$ 2.1 $实际上给出了抽象演化算子与其判别式之间的谱映射定理.

本节将给出本文的主要结论. 为便于后续证明, 先给出一些必要的技术性命题. 回想$ \mathfrak{h} $表示平方可积Bernoulli泛函空间, 量子Bernoulli噪声$ \{\partial_k, \partial_k^* \mid k\geq 0\} $就是$ \mathfrak{h} $上的湮灭和增生算子.

命题3.1   设$ k\geq 0 $, 则$ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $为$ \mathfrak{h} $上的酉对合, 并且如下关系成立

(3.1) $ \begin{equation} {\rm span}\, \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker\, (\Xi_k\pm 1). \end{equation} $

证   显然$ \Xi_k $是$ \mathfrak{h} $上的自伴算子. 其次, 由等时典则反交换关系可得

$ \begin{eqnarray*} \Xi_k^2 = (\partial_k^* + \partial_k)^2 = \partial_k^*\partial_k^* + \partial_k^* \partial_k + \partial_k\partial_k^* + \partial_k\partial_k = \partial_k^* \partial_k + \partial_k\partial_k^* = I. \end{eqnarray*} $

因此$ \Xi_k $是酉对合. 对满足$ k\in \tau $且$ \#\tau\geq 2 $的任意$ \tau \in \Gamma $, 有

$ \begin{eqnarray*} \Xi_k(Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k}) = (\partial_k^* + \partial_k)Z_{\tau}-(\partial_k^* + \partial_k)Z_{\tau\setminus k} = Z_{\tau\setminus k} - Z_{\tau} = -(Z_{\tau}-Z_{\tau\setminus k}), \end{eqnarray*} $

这意味着$ Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k}\in \ker\, (\Xi_k + 1) $. 于是$ \{Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker\, (\Xi_k+ 1) $, 进而有$ {\rm span}\, \{Z_{\tau}- Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker\, (\Xi_k+ 1) $. 同理可证另一个包含关系.

如前所示, 算子$ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $称为与QBN有关的典则酉对合, 其中$ k\geq 0 $.

命题3.2   设$ k\geq 0 $, 令$ {\cal D}_k={\rm span}\{Z_k\} $为基向量$ Z_k $张成的子空间. 视$ {\cal D}_k $为复Hilbert空间, 并定义映射$ P_k\colon \mathfrak{h} \rightarrow {\cal D}_k $如下

(3.2) $ \begin{equation} P_k \xi = \langle Z_k, \xi\rangle Z_k, \quad \xi\in \mathfrak{h}. \end{equation} $

则$ P_k:\mathfrak{h}\rightarrow {\cal D}_k $为余等距算子, 并且有$ \ker P_k = \{Z_k\}^{\perp} $, 此外其共轭算子$ P_k^*\colon {\cal D}_k \rightarrow \mathfrak{h} $满足$ P_k^*\xi =\xi $, $ \forall\, \xi \in {\cal D}_k $.

证   显然$ P_k $是$ \mathfrak{h} $到$ {\cal D}_k $的有界算子. 设$ \xi \in {\cal D}_k $, 则有$ \xi = \langle Z_k, \xi\rangle Z_k $. 因此, 对任意的$ \eta\in \mathfrak{h} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \langle P_k^*\xi, \eta\rangle = \langle \xi, P_k\eta\rangle = \langle \xi, \langle Z_k, \eta\rangle Z_k \rangle =\langle \xi, Z_k \rangle \langle Z_k, \eta\rangle = \langle \langle Z_k, \xi \rangle Z_k, \eta\rangle = \langle \xi, \eta\rangle, \end{eqnarray*} $

于是$ P_k^*\xi = \xi $. 下证$ P_kP_k^* = I_{{\cal D}_k} $. 事实上, 对$ \forall\; \xi \in {\cal D}_k $, 通过计算可得

$ \begin{eqnarray*} P_kP_k^*\xi = P_k\xi= \langle Z_k, \xi\rangle Z_k =\xi, \end{eqnarray*} $

故$ P_kP_k^*= I_{{\cal D}_k} $, 从而$ P_k $是余等距算子. 由$ P_k $的定义易得$ \ker P_k = \{Z_k\}^{\perp} $.

命题3.3   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k $, $ P_k $如命题3.1及命题3.2所示, 则有下式成立

(3.3) $ \begin{equation} {\rm span}\, \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k\pm 1). \end{equation} $

特别地, $ \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k\pm 1) $是$ \mathfrak{h} $的可数无限维子空间.

证   对满足$ k\in \tau $且$ \#\tau\geq 2 $的任意$ \tau \in \Gamma $, 易见$ \tau \neq \{k\} $且$ \tau\setminus k \neq \{k\} $, 于是

$ \begin{eqnarray*} \langle Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k}, Z_k\rangle =0, \end{eqnarray*} $

此即$ Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k}\in \{Z_k\}^{\perp}=\ker P_k $. 因此

$ \begin{eqnarray*} {\rm span}\, \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker P_k, \end{eqnarray*} $

结合命题3.1可得

$ \begin{eqnarray*} {\rm span}\, \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2 \} \subset \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k\pm 1). \end{eqnarray*} $

另一方面, 容易看出$ \{Z_{\tau}\mp Z_{\tau\setminus k} \mid \tau \in \Gamma, \, k\in \tau, \, \#\tau\geq 2\} $为$ \mathfrak{h} $的两个可数无限的标准正交系. 故$ \ker P_k \cap \ker\, (\Xi_k+ 1) $是$ \mathfrak{h} $的可数无限维子空间.

对任意的$ \xi \in {\cal D}_k $, 通过直接计算可以发现

$ \begin{eqnarray*} P_k\Xi_kP_k^*\xi = P_k\Xi_k\xi= \langle Z_k, \xi\rangle P_k\Xi_kZ_k=\langle Z_k, \xi\rangle P_k Z_{\emptyset}=0. \end{eqnarray*} $

由此可得下一个有用的命题.

命题3.4   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k $和$ P_k $如命题3.1及命题3.2所示. 则$ P_k\Xi_kP_k^* = 0 $, 即$ P_k\Xi_kP_k^* $为$ {\cal D}_k $上的零算子.

下一个定理为本文的第一个主要结果, 其中精确给出了$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的谱.

定理3.1   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k = \partial_k^* + \partial_k $为$ \mathfrak{h} $上的典则酉对合. 则算子$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $有如下形式的谱和点谱

(3.4) $ \begin{equation} \sigma(U_k)= \sigma_p(U_k)= \{i, -i\}\cup \{1\}^{+\infty} \cup \{-1\}^{+\infty}, \end{equation} $

其中$ |Z_k\rangle\!\langle Z_k| $为基向量$ Z_k $对应的Dirac算子, $ i $为虚数单位. 此外, 特征子空间具有如下维数

(3.5) $ \begin{equation} \dim\ker\, (U_k\pm i)=1, \quad \dim\ker\, (U_k\pm 1)=\infty. \end{equation} $

证   考虑算子$ P_k^*P_k $. 根据命题3.2, 对任意$ \xi \in \mathfrak{h} $, 有

$ \begin{eqnarray*} P_k^*P_k\xi= P_k^*(\langle Z_k, \xi\rangle Z_k)= \langle Z_k, \xi\rangle Z_k = |Z_k\rangle\!\langle Z_k|\xi, \end{eqnarray*} $

这意味着$ P_k^*P_k= |Z_k\rangle\!\langle Z_k| $, 于是$ U_k =\Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1)= \Xi_k(2P_k^*P_k-1) $. 由此可见, $ U_k $实际上是$ \mathfrak{h} $上的一个(与$ \Xi_k $和$ P_k $关联的) 抽象演化算子, 而$ T_k = P_k\Xi_kP_k^* $实际上为$ U_k $在$ {\cal D}_k $上的判别式.

由引理2.1知

$ \begin{eqnarray*} \sigma(U_k)= \varphi^{-1}(\sigma(T_k)) \cup \{1\}^{M_+}\cup \{-1\}^{M_-}, \end{eqnarray*} $

其中$ M_{\pm} = \dim\big[\ker P_k \cap \ker(\Xi_k\pm 1)\big] $. 进一步由命题3.3及$ T_k= P_k\Xi_kP_k^*=0 $ (见命题3.4) 可得

$ \begin{eqnarray*} \sigma(U_k) = \varphi^{-1}(\sigma(0)) \cup \{1\}^{+\infty}\cup \{-1\}^{+\infty}, \end{eqnarray*} $

其中$ \sigma(0) $表示$ {\cal D}_k $上零算子的谱. 由于$ \sigma(0)=\{0\} $, 进一步可得

(3.6) $ \begin{equation} \sigma(U_k) = \varphi^{-1}(\{0\}) \cup \{1\}^{+\infty}\cup \{-1\}^{+\infty} = \{i, -i\} \cup \{1\}^{+\infty}\cup \{-1\}^{+\infty}. \end{equation} $

同样由于$ T_k=0 $, 故$ \sigma_p(T_k)=\{0\} $. 于是

(3.7) $ \begin{equation} \sigma_p(U_k)= \{i, -i\}\cup \{1\}^{+\infty} \cup \{-1\}^{+\infty}. \end{equation} $

根据引理2.1, 命题3.3及命题3.4可得

(3.8) $ \begin{equation} \dim \ker(U_k-\lambda)= \left\{ \begin{array}{ll} \dim {\cal D}_k, & \lambda= \pm i ; \\ M_{\pm}, & \lambda = \pm 1 . \end{array} \right. \end{equation} $

又$ \dim {\cal D}_k = 1 $, $ M_{\pm}=+\infty $, 故(3.5) 式成立.

由上述定理可知, 算子$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $的谱与其点谱相同, 即其谱中的每一个数值都是它的特征值. 接下来, 我们研究其特征子空间的构造.

命题3.5    设$ k\geq 0 $为非负整数, $ \Xi_k= \partial_k^* +\partial_k $为典则酉对合, 记$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则对$ \lambda\in \{1, -1, i, -i\} $, 成立

(3.9) $ \begin{equation} \ker(U_k\pm \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} = \ker(\Xi_k\mp \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

证   设$ \lambda\in \{1, -1, i, -i\} $. 对任意$ \xi\in \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $, 通过直接计算可得

$ \begin{eqnarray*} 0= (U_k+ \lambda)\xi = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1)\xi + \lambda\xi = -(\Xi_k-\lambda)\xi, \end{eqnarray*} $

此式连同$ \xi\in \{Z_k\}^{\perp} $意味着$ \xi\in \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $. 于是, 我们得到包含关系

(3.10) $ \begin{equation} \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}\subset \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

反之, 对任意$ \xi\in \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $, 由于$ 2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|\xi= 0 $, 所以

$ \begin{eqnarray*} (U_k+ \lambda)\xi = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1)\xi + \lambda\xi = -(\Xi_k-\lambda)\xi=0, \end{eqnarray*} $

此式连同$ \xi\in \{Z_k\}^{\perp} $蕴含着$ \xi\in \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $. 于是, 我们得到另一个包含关系

$ \begin{eqnarray*} \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}\subset \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}, \end{eqnarray*} $

综上可得$ \ker(U_k+ \lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp}= \ker(\Xi_k-\lambda)\cap \{Z_k\}^{\perp} $. 类似地, 可证明(3.9) 式中的另一个等式.

命题3.6   设$ k\geq 0 $, 记$ U_k= \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则有

(3.11) $ \begin{equation} \ker(U_k+1)\subset \{Z_k\}^{\perp}\quad 或 \quad\ker(U_k-1)\subset \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

证  (反证法)  假设$ \ker(U_k+1)\setminus \{Z_k\}^{\perp}\neq \emptyset $和$ \ker(U_k-1)\setminus \{Z_k\}^{\perp}\neq\emptyset $都成立. 则可取$ \xi\in \ker(U_k+1)\setminus \{Z_k\}^{\perp} $和$ \eta\in \ker(U_k-1)\setminus \{Z_k\}^{\perp} $. 显然, $ \xi \notin \{Z_k\}^{\perp} $且$ \eta \notin \{Z_k\}^{\perp} $. 此时, 由$ \xi\in \ker(U_k+1) $得$ \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1)\xi=-\xi, $化简得$ 2\langle Z_k, \xi\rangle Z_k = (I-\Xi_k)\xi $. 类似地, 我们有$ 2\langle Z_k, \eta\rangle Z_k = (I+\Xi_k)\eta $. 两式的左端和右端对应地取内积得

$ \begin{eqnarray*} 4\langle Z_k, \xi\rangle\langle Z_k, \eta\rangle = \langle (I-\Xi_k)\xi , (I+\Xi_k)\eta\rangle = \langle \xi , (I-\Xi_k)(I+\Xi_k)\eta\rangle = \langle \xi , 0\rangle =0, \end{eqnarray*} $

这蕴含着$ \xi \in \{Z_k\}^{\perp} $或$ \eta \in \{Z_k\}^{\perp} $. 与假设矛盾! 因此, 必有

$ \begin{eqnarray*} \ker(U_k+1)\setminus \{Z_k\}^{\perp}= \emptyset\quad 或 \quad\ker(U_k-1)\setminus \{Z_k\}^{\perp}=\emptyset. \end{eqnarray*} $

这等价于(3.11)式.

由上述讨论可知, 对于$ \lambda \in \{1, -1, i, -i\} $, $ \ker(U_k\pm \lambda) $是$ U_k $的对应于特征值$ \mp \lambda $的特征子空间. 下面两个定理给出了特征子空间的结构.

定理3.2   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k=\partial_k^* + \partial_k $为相应的典则酉对合, 记$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则有

(3.12) $ \begin{equation} \ker(U_k+1)= \ker(\Xi_k-1) \cap \{Z_k\}^{\perp}\quad 或者 \quad \ker(U_k-1)= \ker(\Xi_k+1) \cap \{Z_k\}^{\perp}. \end{equation} $

证   由命题3.5和命题3.6立得.

定理3.3   设$ k\geq 0 $, $ \Xi_k=\partial_k^* + \partial_k $为相应的典则酉对合, 记$ U_k = \Xi_k(2|Z_k\rangle\!\langle Z_k|-1) $. 则有

(3.13) $ \begin{equation} \ker(U_k\pm i)={\rm span}\{Z_k \pm iZ_{\emptyset}\}. \end{equation} $

证   令$ \xi=Z_k + iZ_{\emptyset} $, 则经过直接计算可得

$ \begin{eqnarray*} U_k\xi =\Xi_kZ_k -i \Xi_kZ_{\emptyset} = Z_{\emptyset} -i Z_k = -i (Z_k + i Z_{\emptyset})=-i \xi, \end{eqnarray*} $

这表明$ \xi\in \ker(U_k +i) $, 即$ Z_k + iZ_{\emptyset}\in \ker(U_k +i) $, 于是$ {\rm span}\{Z_k + iZ_{\emptyset}\}\subset \ker(U_k +i) $. 又由于$ Z_k + iZ_{\emptyset}\neq 0 $, 且$ \dim \ker(U_k +i) =1 $ (见定理3.1), 所以

$ \begin{eqnarray*} \ker(U_k +i)={\rm span}\{Z_k + iZ_{\emptyset}\}. \end{eqnarray*} $

类似地可证明$ \ker(U_k- i)={\rm span}\{Z_k - iZ_{\emptyset}\} $.

量子游荡是经典随机游荡的量子类似物, 在量子计算和量子信息有广泛的应用^[15-16]. 本节讨论前一节所得主要结论在量子游荡中的应用. 为行文方便, 规定$ k\geq 0 $是一个给定的非负整数, 并记$ U_k= \Xi_k(2|Z_k\rangle\langle Z_k|-1) $.

设$ \xi_0 $为$ \mathfrak{h} $中的单位向量, 令$ \xi_n=U_k^n\xi_0 $, $ n\geq 1 $, 则可得$ \mathfrak{h} $上一个抽象量子游荡, 称之为$ U_k $驱动的抽象量子游荡. 此时, $ U_k $也称为该抽象量子游荡的演化算子, $ \xi_n $称为该抽象量子游荡在$ n\geq 0 $时刻的态, 特别地, $ \xi_0 $为其初始态. 对于$ n\geq 0 $, 由于

(4.1) $ \begin{equation} \sum\limits_{\tau\in\Gamma}|\langle Z_{\tau}, \xi_n\rangle|^2 = \|\xi_n\|^2 = \|U_k^n\xi_0\|^2 =\|\xi_0\|^2=1, \end{equation} $

所以函数$ \tau\mapsto |\langle Z_{\tau}, \xi_n\rangle|^2 $是$ \Gamma $上的一个概率分布, 称之为上述抽象量子游荡在$ n\geq 0 $时刻的概率分布.

定义4.1   设$ \mu $为$ \Gamma $上的一个概率分布. 若存在单位向量$ \xi\in \mathfrak{h} $, 使得对一切$ n\geq 0 $都有

(4.2) $ \begin{equation} \mu(\tau) = |\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2, \quad \tau\in \Gamma, \end{equation} $

则称$ \mu $为$ U_k $驱动的抽象量子游荡的平稳分布, 简称为$ U_k $的平稳分布.

命题4.1   $ U_k $具有如下形式的平稳分布

(4.3) $ \begin{equation} \mu_k(\tau)= \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{1}{2}, &\tau = \{k\}; \\ { } \frac{1}{2}, & \tau=\emptyset; \\ 0, &\tau\in \Gamma\setminus \{\emptyset, \{k\}\}. \end{array} \right. \end{equation} $

证   令$ \xi = \frac{\sqrt{2}}{2}(Z_k + iZ_{\emptyset}) $. 则$ \xi $为$ \mathfrak{h} $中的单位向量. 由定理3.3可知$ U_k\xi = -i \xi $. 于是, 对于任意$ n\geq 0 $, 通过计算可得

$ \begin{eqnarray*} |\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2 = |\langle Z_{\tau}, (-i)^n\xi\rangle|^2 = \frac{1}{2}|\langle Z_{\tau}, Z_k + iZ_{\emptyset}\rangle|^2 =\left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{1}{2}, & \tau = \{k\} ; \\ { } \frac{1}{2}, & \tau=\emptyset ; \\ 0, & \tau\in \Gamma\setminus \{\emptyset, \{k\}\} . \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

由此可知, 对一切$ \tau\in \Gamma $和一切$ n\geq 0 $, 都有$ \mu_k(\tau)=|\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2 $, 即(4.3) 所定义的函数$ \mu_k $是$ U_k $的平稳分布.

命题4.2  设$ \gamma\in \Gamma $满足$ k\in \gamma $且$ \#\gamma\geq 2 $. 则函数$ \mu_{\gamma} $是$ U_k $的平稳分布, 其中$ \mu_{\gamma} $由下式定义

(4.4) $ \begin{equation} \mu_{\gamma}(\tau)= \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{1}{2}, & \tau = \gamma ; \\ { } \frac{1}{2}, & \tau=\gamma\setminus k ; \\ 0, & \tau\in \Gamma\setminus \{\gamma, \gamma\setminus k\} . \end{array} \right. \end{equation} $

证   根据定理3.2, 不妨假定$ \ker(U_k+1)= \ker(\Xi_k-1) \cap \{Z_k\}^{\perp} $. 令$ \xi = \frac{\sqrt{2}}{2}(Z_{\gamma} + Z_{\gamma\setminus k}) $, 则由命题3.3和命题3.5可知

$ \begin{eqnarray*} \xi \in \ker(\Xi_k-1) \cap \{Z_k\}^{\perp} = \ker(U_k+1). \end{eqnarray*} $

故$ U_k \xi= -\xi $. 于是, 对所有的$ n\geq 0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} |\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2 = |\langle Z_{\tau}, (-1)^n\xi\rangle|^2 = \frac{1}{2}|\langle Z_{\tau}, Z_{\gamma} + Z_{\gamma\setminus k}\rangle|^2 =\left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{1}{2}, & \tau = \gamma ; \\ { } \frac{1}{2}, & \tau=\gamma\setminus k ; \\ 0, & \tau\in \Gamma\setminus \{\gamma\setminus k\} . \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

这表明, 对一切$ n\geq 0 $和一切$ \tau \in \Gamma $, 都有$ \mu_{\gamma}(\tau)= |\langle Z_{\tau}, U_k^n\xi\rangle|^2 $, 即$ \mu_{\gamma} $是$ U_k $的平稳分布.

由命题4.1及4.2知, $ U_k $具有可数无限多个的平稳分布, 亦即$ U_k $所驱动的抽象量子游荡具有可数无限多个的平稳分布.