随机偏微分方程在数学和其他领域得到了很广泛的研究, 可广泛应用于概率论、应用数学、统计力学、理论物理、复杂化学反应、数理金融等许多交叉领域. 本文中, 我们主要研究如下伴有Cauchy初值条件的分数阶随机热方程

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} { } \left(\frac{\partial }{\partial t}-{\cal D}_\delta^\alpha\right)u(t, x)=g(u(t, x))\frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x), \quad 0<t\leq T, \quad x\in{{\Bbb R}} , \\ u(0, x)=u_0(x), \quad {x\in{{\Bbb R}} }, \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中, 初始条件$ u_{0} \in L^{p} ({{{\Bbb R}} }) $且$ p\geq2 $, 参数$ \alpha\in(1, 2] $为算子$ {\cal D}_{\delta}^{\alpha} $的阶数, $ \delta (|\delta|\leq2-\alpha) $为偏度参数. 在方程(1.1) 中, 扩散系数$ g(\cdot):{{\Bbb R}} \mapsto{{\Bbb R}} $为非随机的可测函数, $ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x) $表示空间非齐次白噪声, 其强度测度为$ {\rm d}t\rho({\rm d}x) $, 这里的$ \rho $表示定义在$ {{\Bbb R}} $上的$ \sigma $ -有限的正Radon测度. $ w_\rho(\cdot, \cdot) $表示关联于噪声的非齐次布朗单, 在[18, 19]等文献中已有相关研究.

由于空间非齐次时空白噪声驱动的方程(1.1) 与人口模型联系紧密, 常用来刻画临界二分支布朗粒子的无穷维系统的发展, 也与催化超布朗运动联系紧密. 从形式上来说, 它是临界二分支布朗粒子的一个高密度或者短生命时间的极限, 其中分支强度由催化强度$ {\rm d}t\rho({\rm d}x) $来刻画^{[15, 17−19]}. 特别地, 若$ \rho({\rm d}x)=c_1{\rm d}x $, 其中$ c_1\in{{\Bbb R}} _+ $是常数, 则催化布朗运动为经典超布朗运动, 其分支速率为常数$ c_1 $, 在此情形下, 超布朗运动有定义在$ {{\Bbb R}} _+\times{{\Bbb R}} $上的连续密度场, 且该密度场满足方程(1.1), 其中$ {\cal D}_\delta^\alpha=\Delta $和$ g(u)=\sqrt{u} $ (参见文献[11]). 若$ \rho({\rm d}x)=\delta_{c_2}({\rm d}x) $, $ c_2\in{{\Bbb R}} $是固定的, 则超布朗运动在除了催化位置$ c_2 $之外, 在$ {{\Bbb R}} _+\times{{\Bbb R}} $上具有连续密度场. 而当密度到达催化位置$ c_2 $时, 会发生爆炸^[3]. 在文献[19]中, 作者证明, 当催化测度$ \rho({\rm d}x) $满足适当条件时, 催化超布朗运动在$ {{\Bbb R}} $上具有连续的时空Lebesgue测度. 该结果可由类似方程(1.1) 进行刻画, 其中$ {\cal D}_\delta^\alpha=\Delta $和$ g(u)=\sqrt{u} $.

另一方面, 在随机偏微分方程的研究中, 诸如方程解的样本轨道性质、间歇性质、噪声激励问题等若干分析性质被广泛研究, 详见文献[6−10, 17]. 在现有随机偏微分方程的框架下, 间歇性主要是指, 给定足够的噪声, 方程的解在小的空间区域内可以达到某些高峰, 如文献[6, 9]中所证明的一些重要结果. 关于随机偏微分方程中该性质的研究始于文献[1], 其中主要研究对象为抛物型Anderson模型. 在文献[6], 作者开始研究由齐次高斯时空白噪声所驱动地非线性抛物型随机偏微分方程解的间歇性问题, 并证明, 当时间变量$ t $趋于无穷时, 方程解的二阶矩$ E[|u(t, x)|^2] $的增长类似$ e^{ct}, c>0 $, 其中初始条件$ u_0(x) $要求有下界. 当初始条件$ u_0(x) $无下界的时候, 证明其指数阶增长速度比较困难. 之后, 很多学者开始研究若干种不同类型的随机偏微分方程的间歇性问题, 并介绍了若干不同的方法, 如文献[7−8]). 在文献[10]中, 作者则研究了非线性噪声激励问题的一些重要问题.

受到上述结果的启发, 该文拟研究随机偏微分方程(1.1) 解的矩估计和间歇性性质, 其中方程(1.1) 中包含有非局部分数阶微分算子$ {\cal D}_\delta^\alpha $和非齐次时空白噪声$ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x) $. 为证明该文的主要结果, 需要客服若干技术性困难, 类比于对传统随机热方程的研究, 分数阶随机热方程的解有着很不相同的行为和性质, 我们主要依赖于方程$ \left(\frac{\partial}{\partial t}-{\cal D}_\delta^\alpha \right)u=0 $基本解的若干性质和关于噪声$ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x) $随机积分的相关估计.

该文的结构安排如下. 在第2节中, 主要回顾关联于空间非齐次包噪声和非局部分数阶微分算子$ {\cal D}_\delta^\alpha $的相关知识. 在第3.1节, 主要证明了随机偏微分方程(1.1) 解的存在性、唯一性和Hölder连续性, 同时推导出了该方程解的$ p (p\geq2) $ -阶矩的上界. 随后在第3.2节, 证明了该方程解二阶矩的下界. 基于上述结果, 可证明随机偏微分方程(1.1) 的解具有弱间歇现象. 最后, 在附录中给出并证明一些有用的估计.

本小节首先回顾方程(1.1) 中的空间非齐次白噪声$ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x) $的相关知识, 以及关于催化测度$ \rho({\rm d}x) $的一些重要假设^[17−19].

假设非齐次时空白噪声的强度测度为$ {\rm d}t\rho({\rm d}x) $, 其中$ \rho({\rm d}x) $是$ \sigma $ -有限的正测度. 为避免引起混淆, 记$ \rho({\rm d}t, {\rm d}x)={\rm d}t\rho({\rm d}x) $. 本章中, 令$ (\Omega, {\cal F}, {\cal F}_t, P) $为一完备概率空间, 其中域流$ ({\cal F}_t) $满足通常假设. 下面给出噪声$ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x) $的定义(文献[17−19]中亦有相关介绍).

定义2.1  1) 令$ W_\rho $为定义在$ {\cal B}([0, +\infty)\times{{\Bbb R}} ) $上的实值集函数. 则$ W_\rho $被称之为$ [0, +\infty)\times{{\Bbb R}} \times\Omega $上的高斯白噪声, 且强度测度为$ \rho({\rm d}t, {\rm d}x):={\rm d}t\rho({\rm d}x) $, 如果下述条件成立

$ ({\rm{a}}) $ 对于任意的$ A\in{\cal B}([0, +\infty)\times{{\Bbb R}} ) $满足$ \rho(A)<+\infty $, 则随机变量$ W_\rho(A) $是中心高斯随机变量, 且方差为$ \rho(A) $.

$ ({\rm{b}}) $ 对于任意不相交的集合$ A, B\in{\cal B}([0, +\infty)\times{{\Bbb R}} ) $, 其中$ \rho(A)<+\infty $和$ \rho(B)<+\infty $, 随机变量$ W_\rho(A) $与$ W_\rho(B) $相互独立且

$ W_\rho(A\cup B)=W_\rho(A)+W_\rho(B), \quad {\rm a.s.} . $

$ 2) $ 双参数过程$ \{w_\rho(t, x);t\geq0, x\in{{\Bbb R}} \} $由如下等式决定: 对于任意的$ 0\leq t<t' $, $ x<x' $, 有

$ W_\rho((t, t']\times(x, x'])=w_\rho(t', x')-w_\rho(t', x)-w_\rho(t, x')+w_\rho(t, x), \quad {\rm a.s.} . $

记$ W_\rho(t, A):=W_\rho([0, t]\times A) $, 其中$ t\geq0 $和$ A\in{\cal B} $, 则$ \{W_\rho(t, A), t\geq0, A\in{\cal B}\} $是$ {\cal F}_t $ -正交鞅测度^{[17, 19]}. 进一步, $ W_\rho(t, A) $的二次变差为$ \langle W_\rho(\cdot, A)\rangle_t=t\rho(A) $, 其中$ t\geq0 $和$ A\in{\cal B} $. 根据文献[16]中的随机积分理论, 对于定义在$ [0, +\infty)\times{{\Bbb R}} \times\Omega $上的任意可料过程$ u $且满足

$ E\left[\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }u^2(s, x){\rm d}s\rho({\rm d}x)\right]<+\infty, \quad t\geq0. $

可基于如下Itô's同构关系定义随机积分$ u\cdot w_\rho=\{(u\cdot w_\rho)(t), t\geq0\} $

$ E\left[\left|(u\cdot w_\rho)(t)\right|^2\right]=E\left[\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }u^2(s, x){\rm d}s\rho({\rm d}x)\right]. $

一般地, 记随机积分$ (u\cdot w_\rho)(t) $为^[17−19]

$ (u\cdot w_\rho)(t):=\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }u(s, x)w_\rho({\rm d}s, {\rm d}x). $

进一步, 随机积分$ (u\cdot w_\rho)(t) $是$ {\cal F}_t $ -鞅且其二次变差过程为

$ \langle (u\cdot w_\rho)(\cdot)\rangle_t=\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }u^2(s, x){\rm d}s\rho({\rm d}x), \quad 0<t\leq T. $

受到文献[15, 17, 19]等相关结果的启发, 为研究方程(1.1) 解的样本轨道性质及相关矩估计, 对于催化测度$ \rho $需要一些适当假设, 具体如下

$ ({\rm{A1}}) $ 催化测度$ \rho $是$ {{\Bbb R}} $上$ \sigma $ -有限的正Radon测度且满足

$ \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\rho(B(x, 1))<+\infty. $

此处, 对于任意的$ r>0 $, $ B(x, r) $表示$ x\in{{\Bbb R}} $的$ r $ -邻域, 记$ B(x, r)=\{y\in{{\Bbb R}} :y\in(x-r, x+r)\} $.

$ ({\rm{A2}}) $ 对于任意的$ r\in(0, 1] $, 存在正数$ C_U >0 $和$ \overline{\theta}\in(0, 1] $满足

$ \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\rho(B(x, r))\leq C_Ur^{\overline{\theta}}. $

条件$ ({\rm{A2}}) $等价于如下的位势型条件, 即存在常数$ C>0 $以及$ \overline{\theta}\in(0, 1] $, 使得下式成立

(2.1) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{B(x, 1)}|x-y|^{-\overline{\theta}}\rho(dy)\leq C. \end{eqnarray} $

在假设$ {\rm{(A1)}} $和$ {\rm{(A2)}} $下, 在文献[19]中, 作者证明催化超布朗运动具有连续密度场, 且该密度场可由方程(1.1) 的唯一解刻画, 其中$ {\cal D}_\delta^\alpha=\frac12\Delta $和$ g(u)=\sqrt{u} $.

注  满足假设$ {\rm{(A1)}} $和$ {\rm{(A2)}} $要求的$ \rho(\cdot) $的具体例子可参考文献[19, 例1.1, 例1.2]. 特别地, 由文献[19, 例1.2] 可知, 催化测度$ \rho $关于Lebesgue测度未必绝对连续.

同样关于扩散系数$ g $, 需要如下假设(B)

$ ({\rm{B}}) $ 系数$ g $在$ {{\Bbb R}} $中是Lipschitz连续, 即, 存在常数$ K_U>0 $使得对于所有的$ u_1, u_2\in{{\Bbb R}} $,

$ |g(u_1)-g(u_2)|\leq K_U|u_1-u_2|. $

对于任意$ \eta>0 $和$ p\geq2 $, 记$ {\mathbb B}_{p, \eta} $为满足条件

$ \sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[e^{-\eta t}|u(t, x)|^p]<+\infty $

的$ {\cal F}_t $ -适应的连续随机场$ \{u(t, x);0<t\leq T, x\in{{\Bbb R}} \} $所构成的集合. 考虑如下定义在$ {\mathbb B}_{p, \eta} $的范数$ \|\cdot\|_{p, \eta} $

$ \|u\|_{p, \eta}=\left(\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[e^{-\eta t}|u(t, x)|^p]\right)^{1/p}, \quad u\in{\mathbb B}_{p, \eta}. $

易验证$ ({\mathbb B}_{p, \eta}, \|\cdot\|_{p, \eta}) $是Banach空间^[17].

接下来, 考虑方程(1.1) 解的矩估计的下界, 从中蕴含着方程(1.1) 的解$ u $的二阶矩至少指数级增长. 我们同样需要如下关于扩散系数$ g(\cdot) $和催化测度$ \rho $的假设

$ ({\rm{C1}}) $ 假设$ g(0)=0 $, 存在常数$ K_L>0 $使得

$ K_L|u|\leq |g(u)|, \quad u\in{{\Bbb R}} . $

自然地, 可以要求$ K_L\leq K_U $, 其中$ K_U $为在假设$ ({\rm{B}}) $中出现的Lipschitz常数.

$ ({\rm{C2}}) $ 存在$ \underline{\theta}\in[1, 2) $和常数$ C_L>0 $使得

$ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\rho(B(x, r))\geq C_Lr^{\underline{\theta}}, \quad r\in(0, 1]. $

特别地, 有$ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\rho(B(x, 1))>0 $.

接下来, 给出关于非局部分数微分算子$ {\cal D}_\delta^\alpha $的相关内容以及关联于基本解$ G_t(x) $的若干有用的估计. 对于光滑可积函数$ \varphi $来说, 非局部分数微分算子$ {\cal D}_\delta^\alpha $主要是通过其作用在$ \varphi $上的Fourier变换$ {\cal F} $定义^{[2, 4, 12]}

$ {\cal F}( {\cal D}_{\delta}^{\alpha}\varphi)(\xi)=-|\xi|^{\alpha}\exp\left(-{\rm i}\delta\frac{\pi}{2} sgn(\xi)\right){\mathcal F}(\varphi)(\xi), \quad \xi\in{{\Bbb R}} , $

其中$ {\cal F}(\varphi)(\xi)=\int_{{{\Bbb R}} }e^{-{\rm i}\xi x}\varphi(x){\rm d}x $表示$ \varphi $的Fourier变换.

从概率角度来看, 非局部分数微分算子$ {\cal D}_{\delta}^{\alpha} $是一个定义在$ L^{2}({{\Bbb R}} ) $上闭的且有稠密定义的算子, 它是某非对称和非压缩半群的无穷小生成元. 该算子是若干已知算子的推广, 如Laplacian算子(当$ \alpha=2 $时), Riemann-Liouville微分算子(当$ |\delta|=\alpha-[\alpha] $时). 当$ \delta=0 $时, 它是自共轭的, 显然, 此时和分数阶Laplacian算子是一致的. 该算子的更多知识可参考文献[2, 4−5]. 进一步地, 令$ G_{t}(x) $为如下Cauchy问题的基本解(也称为格林函数)

(2.2) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial G_{t}}{\partial t}(x)={\cal D}_{\delta}^{\alpha}G_{t}(x), \quad t>0, \quad x\in{{\Bbb R}} , \end{eqnarray} $

其中$ G_{0}(x)=\delta_{0}(x) $, $ \delta_{0}(\cdot) $是Dirac函数. 基于Fourier变换, $ G_{t}(x) $可表示为^{[2, 4−5]}

(2.3) $ \begin{eqnarray} G_{t}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{{{\Bbb R}} }\exp\bigg(-{\rm i}zx-t|z|^{\alpha}\exp\big(-{\rm i}\delta\frac{\pi}{2}sgn(z)\big)\bigg){\rm d}z, \end{eqnarray} $

进一步地, $ G_{t}(x) $关于空间变量$ x $的Fourier变换为

(2.4) $ \begin{eqnarray} {\cal F}G_{t}(\cdot)(\xi)=\exp\left\{-t|\xi|^{\alpha}\exp\left(-{\rm i}\delta\frac{\pi}{2}sgn(\xi)\right)\right\}. \end{eqnarray} $

最后回顾一些关于格林函数$ G_{t}(x) $的重要事实^{[2, 4−5]}.

引理2.1  令$ \alpha\in(0, 2]/\{1\} $, 则有

$ 1) $ 对于固定$ t>0 $, 函数$ G_{t}(\cdot) $是一钟形密度函数. 特别地, $ \int_{{{\Bbb R}} }G_{t}(x){\rm d}x=1 $. 进一步, 它关于空间变量$ x $一般不是对称的, 也不是处处严格正的.

$ 2) $ 半群性质: $ G_{t}(x) $满足Chapman-Kolmogorov方程. 即, 对于任意的$ 0<s<t $和$ x\in{{\Bbb R}} $, 有

$ G_{t+s}(x)=\int_{{\Bbb R}} G_{t}(y)G_{s}(x-y){\rm d}y. $

$ 3) $ 尺度性质: 对于所有的$ n\geq0 $, 有

(2.5) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial ^n}{\partial x^n}G_{t}(x)=t^{-\frac{n+1}{\alpha}}\frac{\partial^n}{\partial x^n}G_{t}(\xi)|_{\xi=t^{-\frac1\alpha}x}. \end{eqnarray} $

$ 4) $ 存在常数$ C $使得对于所有的$ x\in{{\Bbb R}} $, 有

(2.6) $ \begin{eqnarray} |G_{1}(x)|\leq C (1+|x|^{1+\alpha})^{-1}. \end{eqnarray} $

特别地, 当$ \alpha\in(1, 2] $, 存在有限常数$ K_{\alpha, n} $使得

(2.7) $ \begin{eqnarray} \left|\frac{\partial ^n}{\partial x^n}G_{1}(x)\right|\leq \frac{K_{\alpha, n}}{1+|x|^{1+n+\alpha}}, \quad n\geq0 \end{eqnarray} $

成立. 进一步地, 对于所有的$ 0<t\leq T $, $ n\geq0 $和$ x\in{{\Bbb R}} $, 有

(2.8) $ \begin{eqnarray} \left|\frac{\partial ^n}{\partial x^n}G_{t}(x)\right|\leq t^{-\frac{n+1}{\alpha}}\frac{K_{\alpha, n}}{1+|t^{-\frac1\alpha}x|^{1+n+\alpha}}\leq K_{\alpha, n}t^{-\frac{n+1}{\alpha}}\frac{(T\vee1)^{1+\frac{n+1}{\alpha}}}{1+|x|^{1+n+\alpha}}. \end{eqnarray} $

在本小节中, 首先给出方程(1.1) 的解$ u(t, x) $在Banach空间$ {\mathbb B}_{p, \eta} $中的存在性、唯一性、Hölder连续性. 同时, 证明该解$ u(t, x) $的$ p $ -阶矩的上界$ (p\geq2) $. 其次证明方程(1.1) 的解$ u(t, x) $的一致下Lyapunov's指数, 进而证明方程(1.1) 的解$ u(t, x) $具有弱间歇现象.

首先回顾在随机场意义下随机偏微分方程(1.1) 解$ u(t, x) $的形式^{[9, 16]}.

定义3.1  随机场$ u=\{u(t, x):\equiv u(t, x, \omega); 0<t\leq T, x\in{{\Bbb R}} , \omega\in\Omega\} $称为方程(1.1) 的解, 其中初始条件为$ u_0 $, 如果$ u(t, x) $是$ {\cal F}_t $ -适应的且以概率$ 1 $满足

(3.1) $ \begin{eqnarray} u(t, x)=\int_{{{\Bbb R}} }G_t(x-y)u_0(y){\rm d}y+\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }g(u(s, y))G_{t-s}(x-y)w_\rho({\rm d}s, {\rm d}y), \end{eqnarray} $

其中$ G_t(x) $表示方程(2.2)的基本解.

为更精确给出本章的主要结果, 首先回顾具有弱间歇现象的定义, 这主要通过介绍关联于$ p $ -阶矩的Lyapunov指数^{[6, 9−10]}.

定义3.2  对于任意$ p\geq1 $, 记$ \overline{{\cal L}}(p;x) $和$ \underline{{\cal L}}(p;x) $为方程(1.1)解$ u(t, x) $的$ p $ -阶矩的上、下Lyapunov指数, 具体定义如下

$ \overline{{\cal L}}(p;x)=\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{\log E[|u(t, x)|^p]}{t}, \quad \underline{{\cal L}}(p;x)=\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{\log E[|u(t, x)|^p]}{t}. $

如果满足不等式$ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\underline{{\cal L}}(p;x)>0 $的最小整数$ \widetilde{p} $存在, 即

$ \widetilde{p}=\inf\left\{p\in{\mathbb N}:\inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\underline{{\cal L}}(p;x)>0\right\}, $

则称解$ u(t, x) $是$ \widetilde{p} $ -次弱间歇. 特别地, 若$ \widetilde{p}=2 $, 则称$ u(t, x) $具有弱全间歇性.

本小节的主要结果陈述如下.

定理3.1  如果假设$ {\rm{(A1)}} $, $ {\rm{(A2)}} $和$ ({\rm{B}}) $成立, 若$ \alpha\in(1, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且满足$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $, 则有

$ 1) $ 对于每个$ p\geq2 $, 则存在依赖于$ p, \overline{\theta} $的常数$ \eta_0>0 $, 使得对于任意的$ \eta>\eta_0 $, 方程(1.1) 在Banach空间$ {\mathbb B}_{p, \eta} $中存在唯一解$ u(t, x) $.

进一步, 若初始条件$ u_0 $是Hölder连续, 且其阶$ \mu\in(0, 1) $, 则$ u(t, x) $关于时间变量是局部$ \tau $ -Hölder连续, 关于空间变量$ x\in{{\Bbb R}} $为$ \kappa $ -Hölder连续, 其中$ \tau\in\left(0, \min\left\{\frac{\mu}{\alpha}, \frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}\right\}\right) $和$ \kappa\in\left(0, \min\left\{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2}, 1\right\}\right) $.

$ 2) $ 存在两个独立于$ K_U $的正常数$ L_1 $和$ L_2 $使得

(3.2) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^p]\leq L_1^{\frac p2}\left(1+\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(x)|^p]\right) \exp\left\{L_2K_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}t\right\}, \end{eqnarray} $

对于$ p\geq2 $和$ t>0 $成立. 特别地, $ u(t, x) $的上Lyapunov指数满足

(3.3) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\overline{{\cal L}}(p;x)\leq L_2K_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}. \end{eqnarray} $

注  从上述定理可知, 当催化测度$ \rho({\rm d}x)=c{\rm d}x $时, 其中$ c $为正常数, 此时有$ \overline{\theta}=1 $, 则在上界(3.3)式中的指数$ K_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+ \overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}} $退化为$ K_U^{\frac{2\alpha}{\alpha-1}}p^{\frac{2\alpha-1}{\alpha-1}} $, 这一结果在文献[8]中关于分数随机热方程的相关结果被证明.

另一方面, 若参数$ \alpha=2 $, 则上界(3.3) 式中的指数$ K_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}} $退化为$ K_U^{\frac{4}{\overline{\theta}}}p^{1+\frac{2}{\overline{\theta}}} $, 这点在文献[17]中关于$ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x}w_\rho(t, x) $驱动的随机热方程已经被证明.

为了给出定理3.1的证明, 首先给五个重要引理. 假设$ u(t, x)\in{\mathbb B}_{p, \eta} $, 记$ (\Phi u)(t, x) $为随机卷积

$ (\Phi u)(t, x):=\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}(x-y)u(s, y)w_\rho({\rm d}s, {\rm d}y), \quad t\geq0, \quad x\in{{\Bbb R}} . $

首先回顾在文献[17]中已被证明的随机Young型不等式.

引理3.1^{[17, 引理4.1]}  对于任意的$ u\in{\mathbb B}_{p, \eta} $, 其中$ p\geq2 $, 则有

(3.4) $ \begin{eqnarray} E\left[|(\Phi u)(t, x)|^p\right]^{\frac2p}\leq 4p\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x-y)E[|u(s, y)|^p]^\frac2p\rho({\rm d}y){\rm d}s. \end{eqnarray} $

接下来, 我们有如下结果.

引理3.2  假设$ \alpha\in(1, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且满足$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $, 则对于任意的$ u\in{\mathbb B}_{p, \eta} $, 有$ (\Phi u)(t, x)\in{\mathbb B}_{p, \eta} $成立. 更精确地, 存在(4.6) 式中出现的常数$ C_3>0 $且不依赖$ \overline{\theta}, \eta, \alpha, p $, 使得对任意的$ u\in {\mathbb B}_{p, \eta} $, 有

(3.5) $ \begin{eqnarray} \|(\Phi u)\|_{p, \eta}^2\leq 4pC_3C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)\|u\|_{p, \eta}^2 \end{eqnarray} $

成立, 其中$ C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) $定义为

(3.6) $ \begin{eqnarray} C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)&=\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\frac{2\eta}{p}\right)^{\frac1\alpha-1} +\Gamma\left(\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{\alpha}\right)\left(\frac{2\eta}{p}\right)^{-\frac{\alpha+\overline{\theta}-2} {\alpha}}. \end{eqnarray} $

证  基于$ \|\cdot\|_{p, \eta} $的定义和引理3.1, 有

$ \begin{eqnarray*} \|(\Phi u)\|_{p, \eta}^2&=&\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{2\eta t}{p}\right\}E[|(\Phi u)(t, x)|^{p}]^{\frac2p}\\ &\leq& 4p\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{2\eta t}{p}\right\} \int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x-y)E[|u(s, y)|^p]^\frac2p\rho({\rm d}y){\rm d}s\\ &\leq & 4p\|u\|_{p, \eta}^2\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{2\eta t}{p}\right\} \int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x-y)\exp\left\{\frac{2\eta s}{p}\right\}\rho({\rm d}y){\rm d}s\\ &\leq &4p\|u\|_{p, \eta}^2\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{s}^2(x-y)\exp\left\{-\frac{2\eta s}{p}\right\}\rho({\rm d}y){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

最后, 利用附录中的引理4.3, 可证得该结果.

同时, 我们还有如下结果.

引理3.3  假设$ \alpha\in(1, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且满足$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $, 对于任意的$ p\geq2 $和$ \eta>0 $, 存在不依赖$ \overline{\theta}, \eta, p $的常数$ C_3'>0 $, 使得对于任意的$ u, v\in {\mathbb B}_{p, \eta} $, 有如下不等式

(3.7) $ \begin{eqnarray} \|(\Phi u)-(\Phi v)\|_{p, \eta}^2\leq 4pC_3'C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)\|u-v\|_{p, \eta}^2 \end{eqnarray} $

成立, 其中$ C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) $由(3.6)式定义.

证  该结果证明与引理3.2的证明类似. 事实上, 基于随机卷积$ (\Phi u)(t, x) $的定义, 有

$ \begin{eqnarray*} & &\|(\Phi u)-(\Phi v)\|_{p, \eta}^2 \\&=&\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{2\eta t}{p}\right\}E[|(\Phi u)(t, x)-(\Phi v)(t, x)|^{p}]^{\frac2p}\\ &=&\sup\limits_{0<t\leq T}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{2\eta t}{p}\right\} E\left[\left|\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}(x-y)(u(s, y)-v(s, y))w_\rho({\rm d}s, {\rm d}y)\right|^p\right]^{\frac2p}. \end{eqnarray*} $

因为$ {\mathbb B}_{p, \eta} $是Banach空间, 利用引理3.2可证得该结果.

接下来证明当$ u\in{\mathbb B}_{p, \eta} $时, 随机卷积$ (\Phi u)(t, x) $关于$ (t, x) $有连续修正. 为证明这点, 我们首先给出如下引理. 为了简单起见, 规定：当$ t<0 $时, $ G_t(x-y)=0 $.

引理3.4  令$ \rho $满足假设$ ({\rm{A}}) $, 同时假设$ \alpha\in(1, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且满足$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $, 则对任意固定的$ T>0 $, 存在常数$ C>0 $, 使得对所有的$ 0< t_1<t_2\leq T $和$ x_1, x_2\in{{\Bbb R}} $, 有

$ \int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }\left|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)\right|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s\leq C\left(|t_2-t_1|^{2\tau}+|x_2-x_1|^{2\kappa}\right) $

成立, 其中$ \tau\in\left(0, \frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}\right) $和$ \kappa\in\left(0, \min\left\{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2}, 1\right\}\right) $.

证  令$ 0< t_1<t_2\leq T $和$ x_1, x_2\in{{\Bbb R}} $, 有

$ \int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s\leq 2(A_1+A_2+A_3), $

其中

$ \begin{eqnarray*} &&A_1:=\int_{t_1}^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s, \\ &&A_2:=\int_0^{t_1}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s, \\ &&A_3:=\int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

接下来, 我们依次证明$ A_i $的上界, 其中$ i=1, 2, 3 $.

首先, 对于$ A_1 $, 利用引理2.1中关于$ G_{t}(x) $的相关结果, 有

$ |G_t(x)|\leq \frac{K_{\alpha}}{t^{\frac1\alpha}}\cdot\frac{1}{1+|t^{-\frac1\alpha}x|^{1+\alpha}}. $

对$ G_{t}(x) $的上界做如下分解

(3.8) $ \begin{eqnarray} |G_t(x)|\leq C\left(t^{-\frac1\alpha}1_{\{|x|\leq t^{\frac1\alpha}\}}+\frac{t}{|x|^{1+\alpha}}1_{\{|x|> t^{\frac1\alpha}\}}\right). \end{eqnarray} $

则有

$ A_1=\int_{t_1}^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }G_{t_2-s}^2(x_2, y)\rho({\rm d}y){\rm d}s\leq C(A_{11}+A_{12}), $

其中

$ \begin{eqnarray*} &&A_{11}=\int_{t_1}^{t_2}(t_2-s)^{-\frac2\alpha}\int_{{{\Bbb R}} }1_{\left\{|x_2-y|\leq(t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){\rm d}s, \\ &&A_{12}= \int_{t_1}^{t_2}(t_2-s)^{2}\int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x_2-y|^{2(1+\alpha)}} 1_{\left\{|x_2-y|>(t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

利用类似引理4.2和引理4.3中的讨论, 有

$ \begin{eqnarray*} &&A_{11}\leq C\int_{t_1}^{t_2}\left[(t_2-s)^{-\frac1\alpha}+(t_2-s)^{-\frac{2-\overline{\theta}}{\alpha}}\right]ds, \\ &&A_{12}\leq C\int_{t_1}^{t_2}(t_2-s)^{-\frac{2-\overline{\theta}}{\alpha}}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

因为$ 1<\alpha\leq2 $和$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $, 则

$ A_1=\int_{t_1}^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }G_{t_2-s}^2(x_2, y)\rho({\rm d}y){\rm d}s\leq C\left[(t_2-t_1)^{1-\frac{1}{\alpha}}+(t_2-t_1)^{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{\alpha}}\right]. $

接下来处理$ A_2 $, 选择参数$ \tau\in(0, 1) $, 则有

$ \begin{eqnarray*} &&|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|\\ &=&|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^\tau\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^{1-\tau}\\ &\leq & C_\tau\left(|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^\tau\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{1-\tau}\right)\\ &&+C_\tau\left(|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^\tau\cdot|G_{t_1-s}(x_1-y)|^{1-\tau}\right). \end{eqnarray*} $

因此

(3.9) $ \begin{eqnarray} A_2& \leq & C_\tau\int_0^{t_1}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^{2\tau}\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2(1-\tau)}\rho({\rm d}y){\rm d}s{}\\ & &+C_\tau\int_0^{t_1}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_1-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^{2\tau}\cdot|G_{t_1-s}(x_1-y)|^{2(1-\tau)}\rho({\rm d}y){\rm d}s{}\\ &:=&C_\tau(A_{21}+A_{22}). \end{eqnarray} $

对于$ A_{21} $, 利用中值定理, 存在$ \gamma\in(t_1, t_2) $, 使得

(3.10) $ \begin{eqnarray} A_{21}=|t_2-t_1|^{2\tau}\int_0^{t_1}\int_{{{\Bbb R}} }\left|\frac{\partial G_{\gamma}}{\partial t}(x_1-y)\right|^{2\tau}\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2(1-\tau)}\rho({\rm d}y){\rm d}s . \end{eqnarray} $

从文献[2, 引理4.9] 的证明过程可知

$ \frac{\partial}{\partial t}G_t(x)=-\frac{1}{\alpha t}\left[G_t(x)+x\frac{\partial}{\partial x}G_t(x)\right]. $

再次利用引理2.1中关于$ G_{t}(x) $和$ \frac{\partial}{\partial x}G_t(x) $的结果, 有

(3.11) $ \begin{eqnarray} \left|\frac{\partial}{\partial t}G_t(x)\right|\leq C\left(t^{-1-\frac1\alpha}1_{\{|x|\leq t^{\frac1\alpha}\}}+\frac{1}{|x|^{1+\alpha}}1_{\{|x|> t^{\frac1\alpha}\}}\right). \end{eqnarray} $

利用附录中的引理4.2和引理4.3, 有

(3.12) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} }\left|\frac{\partial G_{\gamma}}{\partial t}(x_1-y)\right|^{2\tau}\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2(1-\tau)}\rho({\rm d}y){}\\ &\leq & C(t_2-s)^{-2\tau-\frac2\alpha}\left[(t_2-s)^{\frac1\alpha}+(t_2-s)^{\frac{\overline{\theta}}{\alpha}} +(t_2-s)^{\frac{\overline{\theta}}{\alpha}}\right]{}\\ &=&C(t_2-s)^{-2\tau+\frac{\overline{\theta}-2}{\alpha}}\left[(t_2-s)^{\frac{1-\overline{\theta}}{\alpha}}+2\right]{}\\ &\leq& C(t_2-s)^{-2\tau+\frac{\overline{\theta}-2}{\alpha}}, \end{eqnarray} $

因为$ (t_2-s)^{\frac{1-\overline{\theta}}{\alpha}} $的指数是正的, 因此其存在一个依赖于$ T, \alpha, \overline{\theta} $的上界$ C>0 $, 所以选择$ \tau\in(0, 1) $使得$ 1-2\tau+\frac{\overline{\theta}-2}{\alpha}>0 $, 即$ 0<\tau<\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha} $, 则有

$ A_{21}\leq C|t_2-t_1|^{2\tau}\int_0^{T}(t_2-s)^{-2\tau+\frac{\overline{\theta}-2}{\alpha}}{\rm d}s\leq C|t_2-t_1|^{2\tau} $

成立. 同理可证

$ A_{22}\leq C|t_2-t_1|^{2\tau}, \quad 0<\tau<\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}. $

综上所证, 有

(3.13) $ \begin{eqnarray} A_{2}\leq C|t_2-t_1|^{2\tau}, \quad 0<\tau<\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}. \end{eqnarray} $

最后来处理$ A_3 $, 选择参数$ \kappa\in(0, 1) $使得下式成立

$ \begin{eqnarray*} &&|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|\\ &=&|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^\kappa\cdot|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^{1-\kappa}\\ &\leq& C_\kappa|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^\kappa\cdot|G_{t_2-s}(x_2-y)|^{1-\kappa}\\ &&+C_\kappa|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^\kappa\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{1-\kappa}. \end{eqnarray*} $

因此

(3.14) $ \begin{eqnarray} A_3& \leq & C_\kappa\int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2\kappa}\cdot|G_{t_2-s}(x_2-y)|^{2(1-\kappa)}\rho({\rm d}y){\rm d}s{}\\ &&+C_\kappa\int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2\kappa}\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2(1-\kappa)}\rho({\rm d}y){\rm d}s{}\\ &:=&C_\kappa\int_0^{t_2}(A_{31}+A_{32}){\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} && A_{31}=\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2\kappa}\cdot|G_{t_2-s}(x_2-y)|^{2(1-\kappa)}\rho({\rm d}y), \\ && A_{32}=\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2\kappa}\cdot|G_{t_2-s}(x_1-y)|^{2(1-\kappa)}\rho({\rm d}y). \end{eqnarray*} $

利用中值定理, 对于在$ x_1 $和$ x_2 $之间的$ \vartheta $, 有

(3.15) $ \begin{eqnarray} A_{31}=|x_2-x_1|^{2\kappa}\int_{{{\Bbb R}} }\left|\frac{\partial}{\partial x}G_{t_2-s}(\vartheta-y)\right|^{2\kappa}\cdot|G_{t_2-s}(x_2-y)|^{2(1-\kappa)}\rho({\rm d}y). \end{eqnarray} $

利用引理2.1中关于$ \frac{\partial}{\partial x}G_t(x-y) $的结果, 有

(3.16) $ \begin{eqnarray} \left|\frac{\partial}{\partial x}G_t(x)\right|\leq C\left(t^{-\frac2\alpha}1_{\{|x|\leq t^{\frac1\alpha}\}}+\frac{t}{|x|^{2+\alpha}}1_{\{|x|> t^{\frac1\alpha}\}}\right). \end{eqnarray} $

通过对比发现, (3.16) 式给出的$ \frac{\partial}{\partial x}G_t(x-y) $上界与(3.11) 式给出的$ \frac{\partial}{\partial t}G_t(x-y) $上界有所不同, 在这里, 我们将用Hölder不等式来证明(3.15) 式的上界. 因此, 有

(3.17) $ \begin{eqnarray} A_{31}\leq C|x_2-x_1|^{2\kappa}(A_{311}\cdot A_{312}), \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} && A_{311}=\left(\int_{{{\Bbb R}} }\left|\left((t_2-s)^{-\frac2\alpha}1_{\left\{|x_2-y|\leq (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{t_2-s}{|x_2-y|^{2+\alpha}}1_{\left\{|x_2-y|> (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\right)\right|^{4\kappa}\rho({\rm d}y)\right)^{\frac12}, \\ &&A_{312}=\left(\int_{{{\Bbb R}} }\left|\left((t_2-s)^{-\frac1\alpha}1_{\left\{|x_2-y|\leq (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{t_2-s}{|x_2-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x_2-y|> (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\right)\right|^{4(1-\kappa)}\rho({\rm d}y)\right)^{\frac12}. \end{eqnarray*} $

对于$ A_{311} $, 利用附录中的引理4.2和引理4.3, 有

$ \int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x_2-y|^{4\kappa(2+\alpha)}}1_{\left\{|x_2-y|> (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y) \leq C(t_2-s)^{-\frac{4\kappa(2+\alpha)}{\alpha}+\frac{\overline{\theta}}{\alpha}} $

成立. 因此

$ \begin{eqnarray*} A_{311}&\leq& C(t_2-s)^{-\frac{4\kappa}{\alpha}}\left(\int_{{{\Bbb R}} }1_{\left\{|x_2-y|\leq (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y)\right)^{\frac12}\\ &&+C(t_2-s)^{2\kappa}\left(\int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x_2-y|^{4\kappa(2+\alpha)}}1_{\left\{|x_2-y|> (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y)\right)^{\frac12}\\ &\leq& C(t_2-s)^{-\frac{4\kappa}{\alpha}} \max\left\{(t_2-s)^{\frac{1}{2\alpha}}, (t_2-s)^{\frac{\overline{\theta}}{2\alpha}}\right\} +C(t_2-s)^{-2\kappa-\frac{4\kappa}{\alpha}+\frac{\overline{\theta}}{2\alpha}}\\ &\leq& C(t_2-s)^{-\frac{4\kappa}{\alpha}+\frac{\overline{\theta}}{2\alpha}}. \end{eqnarray*} $

对于$ A_{312} $来说, 采用与$ A_{311} $相类似的讨论, 有

$ \int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x_2-y|^{4(1-\kappa)(1+\alpha)}}1_{\left\{|x_2-y|> (t_2-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y) \leq C(t_2-s)^{-\frac{4(1-\kappa)(1+\alpha)}{\alpha}+\frac{\overline{\theta}}{\alpha}}. $

因此

$ \begin{eqnarray*} A_{312}&\leq & C(t_2-s)^{-\frac{2(1-\kappa)}{\alpha}} \max\left\{(t_2-s)^{\frac{1}{2\alpha}}, (t_2-s)^{\frac{\overline{\theta}}{2\alpha}}\right\} +C(t_2-s)^{-\frac{2(1-\kappa)}{\alpha}+\frac{\overline{\theta}}{2\alpha}}\\ &\leq & C(t_2-s)^{-\frac{2(1-\kappa)}{\alpha}+\frac{\overline{\theta}}{2\alpha}}. \end{eqnarray*} $

所以

$ A_{31}\leq C|x_2-x_1|^{2\kappa}(t_2-s)^{-\frac{2\kappa+2-\overline{\theta}}{\alpha}}. $

类似地, 有

$ A_{32}\leq C|x_2-x_1|^{2\kappa}(t_2-s)^{-\frac{2\kappa+2-\overline{\theta}}{\alpha}}. $

综上所证, 基于(3.14) 式, 有

(3.18) $ \begin{eqnarray} A_3\leq C|x_2-x_1|^{2\kappa}\int_0^{T}(t_2-s)^{-\frac{2\kappa+2-\overline{\theta}}{\alpha}}{\rm d}s \leq C|x_2-x_1|^{2\kappa} \end{eqnarray} $

成立, 选择$ \kappa $使得$ 1-\frac{2\kappa+2-\overline{\theta}}{\theta}>0 $, 这意味着$ 0<\kappa<\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2} $. 因此, 该引理结果得证.

基于引理3.4, 有如下结果.

引理3.5  固定$ T>0 $, 假设$ \alpha\in(1, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且满足$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $. 若对任意$ p\geq2 $, 有

$ \sup\limits_{t\in(0, T]}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^p]<\infty $

成立, 则存在与$ p $无关的常数$ C>0 $, 使得对于所有的$ 0< t_1<t_2\leq T $和$ x_1, x_2\in{{\Bbb R}} $, 有

(3.19) $ \begin{eqnarray} &&E[|(\Phi u)(t_2, x_2)-(\Phi u)(t_1, x_1)|^p]{}\\ & \leq& C(4p)^{\frac p2}\sup\limits_{t\in(0, T]}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^p]\cdot\left(|t_2-t_1|^{2\tau} +|x_2-x_1|^{2\kappa}\right)^{\frac p2}, \end{eqnarray} $

其中$ \tau\in(0, \frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}) $和$ \kappa\in(0, \min\{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2}, 1\}) $. 特别地, 随机卷积$ (\Phi u)(t, x) $关于时间变量是局部$ \tau $-Hölder连续, 关于空间变量是$ \kappa $-Hölder连续.

证  假设$ p\geq2 $和$ 0< t_1<t_2\leq T $, 其中$ T>0 $是固定的. 利用Burkholder不等式和引理3.4, 对所有的$ x_1, x_2\in{{\Bbb R}} $和$ 0< t_1<t_2\leq T $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&E[|(\Phi u)(t_2, x_2)-(\Phi u)(t_1, x_1)|^p]\\ &\leq&(4p)^{\frac p2}E\left[\left|\int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }(G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_1-s}(x_1-y))u(s, y) w_\rho({\rm d}s, {\rm d}y)\right|^2\right]^{\frac{p}{2}}\\ &&+(4p)^{\frac p2}E\left[\left|\int_{t_1}^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }G_{t_2-s}(x_2-y)u(s, y) w_\rho({\rm d}s, {\rm d}y)\right|^2\right]^{\frac{p}{2}}\\ &=& (4p)^{\frac p2}E\left[\left(\int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^2\cdot|u(s, y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s\right)^{\frac p2}\right]\\ &&+(4p)^{\frac p2}E\left[\int_{t_1}^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }(G_{t_2-s}(x_2-y)u(s, y))^2 \rho({\rm d}y){\rm d}s\right]^{\frac{p}{2}}\\ &\leq& (4p)^{\frac p2}\sup\limits_{(s, y)\in(0, T]\times{{\Bbb R}} }E[|u(s, y)|^p] \left(\int_0^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }|G_{t_2-s}(x_2-y)-G_{t_1-s}(x_1-y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s\right)^{\frac p2}\\ &&+(4p)^{\frac p2}\sup\limits_{(s, y)\in(0, T]\times{{\Bbb R}} }E[|u(s, y)|^p]\left[\int_{t_1}^{t_2}\int_{{{\Bbb R}} }G_{t_2-s}^2(x_2-y) \rho({\rm d}y){\rm d}s \right]^{\frac{p}{2}}\\ &\leq& (4p)^{\frac p2}\sup\limits_{(s, y)\in(0, T]\times{{\Bbb R}} }E[|u(s, y)|^p]\left(|t_2-t_1|^{2\tau}+|x_2-x_1|^{2\kappa}\right)^{\frac p2}, \end{eqnarray*} $

其中$ \tau\in(0, \frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}) $和$ \kappa\in\left(0, \min\left\{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2}, 1\right\}\right) $, 因此(3.19) 式得证. 对于该引理的最后结论, 可利用Kolmogorov连续定理得证.

下面给出定理3.1的证明.

定理3.1的证明  首先给出定理3.1的第一部分证明. 基于初始条件$ u_0(x) $的假设, 易验证, 对于任意的$ \eta>0 $, (3.1) 式右边的第一部分

$ {\mathbb T}_{0, t}u_0(x):=G_t\ast u_0(x)=\int_{{{\Bbb R}} }G_t(x-y)u_0(y){\rm d}y, $

属于Banach空间$ {\mathbb B}_{p, \eta} $. 事实上, 基于映射$ {\mathbb T}_{0, t}u_0(x) $的压缩性质, 有

(3.20) $ \begin{eqnarray} \|{\mathbb T}_{0, t}u_0(x)\|_{p, \eta}^p&=&\sup\limits_{0<t\leq T, x\in{{\Bbb R}} }E\left[e^{-\eta t}\left|\int_{{{\Bbb R}} }G_t(x-y)u_0(y){\rm d}y\right|^p\right]{}\\ &\leq& \sup\limits_{0<t\leq T, y\in{{\Bbb R}} }E\left[e^{-\eta t}\int_{{{\Bbb R}} }G_t(x-y)|u_0(y)|^p {\rm d}y\right]{}\\ &\leq& \sup\limits_{y\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(y)|^p]\sup\limits_{0<t\leq T}e^{-\eta t} \leq \sup\limits_{y\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(y)|^p]. \end{eqnarray} $

定义映射$ {\mathbb T} $如下

(3.21) $ \begin{eqnarray} {\mathbb T}u(t, x)={\mathbb T}_{0, t}u_0(x)+(\Phi g)(u(t, x)), \quad u\in{\mathbb B}_{p, \eta}. \end{eqnarray} $

基于引理3.2和(3.20)式, 可知(3.21) 式定义的算子$ {\mathbb T} $是从$ {\mathbb B}_{p, \eta} $到$ {\mathbb B}_{p, \eta} $的满射. 事实上, 两次利用引理3.2和Minkowski不等式, 对于$ u\in {\mathbb B}_{p, \eta} $, 有

(3.22) $ \begin{eqnarray} \|{\mathbb T}u(t, x)\|_{p, \eta, \alpha}^2&\leq&2\|{\mathbb T}_{0, t}u_0(x)\|_{p, \eta}^2+2\|(\Phi g)(u(t, x))\|_{p, \eta}^2{}\\ &\leq &2\sup\limits_{y\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(y)|^p]^{\frac2p}+8pC_3C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)\left(|g(0)|^2+K_U^2\|u\|_{p, \eta}^2\right), \end{eqnarray} $

其中$ C_3 $和$ C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) $是在引理3.2中出现的常数, 因此知$ {\mathbb T}u\in{\mathbb B}_{p, \eta} $.

接下来证明, 当$ \eta $足够大时, 定义在$ {\mathbb B}_{p, \eta} $上的算子$ {\mathbb T} $具有紧压缩性. 基于扩散系数$ g(\cdot) $的Lipschitz连续性以及假设$ ({\rm{B}}) $, 利用引理3.3, 对于任意的$ u, v\in{\mathbb B}_{p, \eta} $, 有

(3.23) $ \begin{equation} \|{\mathbb T}u-{\mathbb T}v\|^2_{p, \eta}\leq\|(\Phi g)(u(t, x))-(\Phi g)(v(t, x))\|_{p, \eta}^2\leq4 pC_3'C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)K_U^2\|u-v\|^2_{p, \eta}. \end{equation} $

记

$ \eta_0=\inf\left\{\eta>0:4pC_3'C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)K_U^2<1\right\}. $

同时, 假定$ \inf\{\varnothing\}=\infty $. 因为$ \overline{\theta}\in(0, 1] $且$ \alpha+\overline{\theta}>2 $, 可知(3.6) 定义的$ C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) $关于$ \eta $是递减的, 且$ \lim\limits_{\eta\rightarrow \infty}C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)=0 $, 因此存在$ \eta_0 $使得对于所有的$ \eta>\eta_0 $, 有$ 4pC_3'C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) K_U^2<1 $成立. 因此, 从(3.23) 式可知, 当$ \eta>\eta_0 $时, 映射$ {\mathbb T}:{\mathbb B}_{p, \eta}\rightarrow {\mathbb B}_{p, \eta} $是紧压缩的. 基于不动点定理, 可知方程(1.1) 在$ {\mathbb B}_{p, \eta} $中存在唯一解.

接下来, 证明方程(1.1) 解的Hölder连续性. 首先, 基于文献[13]中的不等式(4.5) 和(4.15), 对于$ 0\leq t_1<t_2\leq T $和$ x_1, x_2\in{{\Bbb R}} $, 有

(3.24) $ \begin{eqnarray} E\left[|{\mathbb T}_{0, t_2}u_0(x_1)-{\mathbb T}_{0, t_1}u_0(x_1)|^p\right]\leq C|t_2-t_1|^{\frac{p\mu}{\alpha}}, \end{eqnarray} $

其中$ \mu $是初始条件$ u_0(x) $ Hölder连续的阶. 同时有

(3.25) $ \begin{eqnarray} E\left[|{\mathbb T}_{0, t_2}u_0(x_2)-{\mathbb T}_{0, t_2}u_0(x_1)|^p\right]\leq C|x_2-x_1|^{p}. \end{eqnarray} $

因此, 综合(3.24)式, (3.25) 式和引理3.5, 对于$ 0< t_1<t_2\leq T $和$ x_1, x_2\in{{\Bbb R}} $, 有

$ \begin{eqnarray*} E[|u(t_2, x_1)-u(t_1, x_1)|^p]&\leq& C_p|t_2-t_1|^{p\pi}+C_p|t_2-t_1|^{p}\\ &&+C(4p)^{2p}\sup\limits_{t\in(0, T]}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^p]|t_2-t_1|^{p\tau}, \end{eqnarray*} $

其中$ 0<\tau<\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha} $. 因此

(3.26) $ \begin{eqnarray} E[|u(t_2, x_1)-u(t_1, x_1)|^p]\leq C|t_2-t_1|^{p\tau}, \quad 0<\tau<\min\left\{\frac{\mu}{\alpha}, \frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2\alpha}\right\}. \end{eqnarray} $

进一步地, 对于空间变量$ x $, 有

$ E[|u(t_2, x_2)-u(t_2, x_1)|^p] \leq C_p|x_2-x_1|^{p}+C(4p)^{\frac p2}\sup\limits_{t\in[0, T]}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^p]|x_2-x_1|^{p\kappa}, $

其中$ 0<\kappa<\min\{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2}, 1\} $. 因此

(3.27) $ \begin{eqnarray} E[|u(t_2, x_2)-u(t_2, x_1)|^p]\leq C|x_2-x_1|^{p\kappa}, \quad 0<\kappa<\min\left\{\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{2}, 1\right\}. \end{eqnarray} $

该定理的第一部分得证.

接下来证明定理的第二点. 首先, 由于$ \overline{\theta}\in(0, 1] $, 因此, 对于任意的$ p\geq2 $, 选择足够大的正常数$ L>0 $仅依赖(3.22) 和(3.23) 式中出现的常数$ C_3, C_3' $. 当

$ \eta=LK_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}>\eta_0 $

时, 有$ 8pC_3C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)K_u^2\leq \frac12 $成立. 记$ C'=8pC_3C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta)|g(0)|^2 $. 注意到, 对于如上定义的$ \eta $, $ pC^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) $有界. 另一方面, 方程(1.1) 的解是从$ {\mathbb B}_{p, \eta} $到$ {\mathbb B}_{p, \eta} $的映射$ {\mathbb T} $的不动点, 因此有

$ {\mathbb T}u(t, x)=u(t, x), \quad {\rm a.s.} . $

从(3.22) 式可知, 当$ \eta=LK_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}} $时

$ \|u\|^2_{p, \eta}\leq 2\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(x)|^p]^{\frac2p}+C'+\frac12\|u\|^2_{p, \eta}, $

因此

$ \|u\|^2_{p, \eta}\leq 4\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(x)|^p]^{\frac2p}+2C'. $

基于$ \|\cdot\|_{p, \eta}^2 $的定义, 对于任意的$ p\geq2 $, 可知, 存在一个仅依赖于$ \overline{\theta}, g(0), K_U $的正常数$ L>0 $使得

$ \begin{eqnarray*} E[|u(t, x)|^p]\leq \left(4\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(x)|^p]^{\frac2p}+2C'\right) \exp\left\{LK_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}t\right\}, \end{eqnarray*} $

这蕴含着(3.2) 式成立. 最后, 根据$ \overline{{\cal L}}(p, x) $的定义, (3.3) 式可由(3.2) 式推出. 定理得证.

本节中, 我们假设初始条件$ u_0 $是非负的. 本小节的主要结果陈述如下.

定理3.2  假设$ \alpha\in(1, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $以及假设$ ({\rm{A}}) $–$ ({\rm{C}}) $均成立, 则下面两个结果成立

$ 1) $ 若初始条件$ u_0(x) $满足$ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }u_0(x)\geq\zeta $, 其中$ \zeta>0 $, 则对于$ T>1 $, 存在两个常数$ \vartheta_0>0, \widetilde{\vartheta}_0>0 $且不依赖于$ K_L $和$ p $, 使得

(3.28) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^2]\geq \zeta^2\exp\left\{\vartheta_0K_L^2t\right\}, \quad (t, x)\in(0, T]\times{{\Bbb R}} \end{eqnarray} $

成立. 同时, 对于任意的$ \varepsilon\in(0, 1) $和$ t>T $, 有

(3.29) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u(t, x)|^2]\geq \zeta^2\varepsilon\exp\left\{(1-\varepsilon)\widetilde{\vartheta}_0K_L^{\frac{2\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}}t \right\}. \end{eqnarray} $

$ 2) $ 假设对于$ r>0 $和$ x\in{{\Bbb R}} $, 有

(3.30) $ \begin{eqnarray} \min\{\rho(y:x\leq y<x+r), \rho(y:x-r<y\leq x)\}\geq C\rho(B(x, r)) \end{eqnarray} $

成立, 其中$ C>0 $. 进一步, 假设存在一个集合$ B\in{\cal B}({{\Bbb R}} ) $其中$ |B|>0 $且

$ \int_{B}u_0(x){\rm d}x>0, $

则对于充分大且固定的$ T>1 $, 存在两个不依赖$ K_L $和$ p $的常数$ \vartheta_1>0, \widetilde{\vartheta}_1>0 $, 使得

(3.31) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in B(0, t^{1/\alpha})}E[|u(t, x)|^2]\geq \vartheta_1\varepsilon\exp\left\{(1-\varepsilon)\widetilde{\vartheta}_1 K_L^{\frac{2\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}}t\right\}, \quad t\geq T \end{eqnarray} $

成立.

证  回顾由(3.1) 式给出的方程(1.1) 的解, 因为初始条件$ u_0 $有下界$ \zeta>0 $, 因此根据基本解$ G_t(x) $的性质, 可知

$ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }{\mathbb T}_{0, t}u_0(x)\geq\zeta. $

根据假设$ ({\rm{C}}) $中关于扩散系数$ g(\cdot) $的条件, 利用Itô's同构关系可知

(3.32) $ \begin{eqnarray} E[|u(t, x)|^2]\geq\zeta^2+K_L^2\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x-y)E[|u(s, y)|^2]\rho({\rm d}y){\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中用到随机积分

(3.33) $ \begin{eqnarray} \int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}(x-y)g(u(s, y))w_\rho({\rm d}s, {\rm d}y), \quad t\geq0 \end{eqnarray} $

的鞅性质. 记

$ h(t)=\inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E\left[|u(t, x)|^2\right]. $

将(4.8) 式代入到(3.32) 式中, 可知下述不等式成立

$ h(t)\geq\zeta^2+C_4K_L^2\int_0^th(s)\min\left\{(t-s)^{-\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\}{\rm d}s. $

假设

$ T_0=\inf\left\{t\in(0, T]:\min\left\{(t-s)^{-\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\}\geq C_4K_L^2\right\}. $

若$ t\leq T_0 $, 则

$ h(t)\geq\zeta^2+C_4K_L^2\min\left\{T_0^{-\frac1\alpha}, T_0^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\}\int_0^th(s){\rm d}s, $

根据文献[17, 引理3.5], 对于任意的$ t\in[0, T_0] $, 有

$ h(t)\geq\zeta^2\exp\left\{C_4K_L^2\min\left\{T_0^{-\frac1\alpha}, T_0^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\} t\right\}. $

因此(3.28) 式得证. 同样注意到, 该不等式对固定的$ T_0 $也同样成立. 不失一般性, 我们假设$ T_0>1 $.

若$ t\geq T_0 $, 同样根据文献[17, 引理3.5], 对于任意的$ \varepsilon\in(0, 1) $, 有

$ h(t)\geq\zeta^2\delta\exp\left\{(1-\varepsilon)\left(C_4K_L^2 \min\left\{t^{1-\frac1\alpha}, t^{1+\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}} +1\right\}, $

这蕴含着(3.29) 式成立, 因此该定理的第一部分得证.

接下来, 证明该定理的第二部分. 将(3.32) 式重写如下

$ E[|u(t_0+t, x)|^2]\geq({\mathbb T}_{0, t_0+t}u_0(x))^2 +K_L^2\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x-y)E[|u(t_0+s, y)|^2]\rho({\rm d}y){\rm d}s. $

将上述不等式迭代一次, 有

$ \begin{eqnarray*} &&E[|u(t_0+t, x)|^2]\\ &\geq & ({\mathbb T}_{0, t_0+t}u_0(x))^2+K_L^2\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x-y)|{\mathbb T}_{0, t_0+s}u_0(y)|^2\rho({\rm d}y){\rm d}s\\ & &+K_L^4\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{s_1}\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s_1}^2(x-y_1)G_{s_1-s_2}^2(y_1-y_2) E[|u(t_0+s_2, y_2)|^2]\rho({\rm d}y_2){\rm d}s_2\rho({\rm d}y_1){\rm d}s_1. \end{eqnarray*} $

将上述运算继续迭代$ (n-2) $次, 可得

$ \begin{eqnarray*} E[|u(t_0+t, x)|^2] &\geq&({\mathbb T}_{0, t_0+t}u_0(x))^2+\sum\limits_{n=1}^\infty K_L^{2n}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{s_1}\int_{{{\Bbb R}} } \cdots\int_0^{s_{n-1}}\int_{{{\Bbb R}} }|{\mathbb T}_{0, t_0+s_{n}}u_0(y_n)|^2\\ &&\cdot\prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i-1}-s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i} \end{eqnarray*} $

成立, 其中记$ s_0:=t $和$ y_0:=x $. 在初始条件$ u_0(x) $的假设下, 同时结合(4.10) 式, 有

(3.34) $ \begin{eqnarray} {\mathbb T}_{0, t_0+t}u_0(x) &\geq& C\int_{{{\Bbb R}} }G_{t_0+t-s}(x-y){\rm d}y{}\\ & \geq & C\widetilde{C}_{\alpha, \delta}\int_{{{\Bbb R}} } \bigg[(t_0+t-s)^{-\frac1\alpha} 1_{\left\{|x-y|\leq(t_0+t-s)^{\frac1\alpha}\right\}} {}\\ && +\frac{t_0+t-s}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t_0+t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\bigg]{\rm d}y. \end{eqnarray} $

下面证明在(3.34) 式中出现的积分下界. 事实上, 利用变量替换公式$ u=\frac{x-y}{(t_0+t-s)^{\frac1\alpha}} $, 有

(3.35) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} }\left[(t_0+t-s)^{-\frac1\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t_0+t-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{t_0+t-s}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t_0+t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\right]{\rm d}y{}\\ & =&\int_{|u|\leq1}{\rm d}u+\int_{|u|>1}\frac{1}{|u|^{1+\alpha}}{\rm d}u=2+\frac2\alpha. \end{eqnarray} $

将(3.35) 式代入(3.34)式, 则对于任意的$ t_0>0 $, 其中$ t>t_0 $和$ x\in B(0, t^{\frac1\alpha}) $, 有

$ {\mathbb T}_{0, t_0+t}u_0(x)\geq C. $

对所有的$ n\geq0 $, 限制$ y_n\in B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha}) $. 则$ E[|u(t_0+t, x)|^2] $满足

(3.36) $ \begin{eqnarray} E[|u(t_0+t, x)|^2]&\geq &C^2+C^2\sum\limits_{n=1}^\infty K_L^{2n}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{s_1}\int_{{{\Bbb R}} }\cdots\int_0^{s_{n-1}}\int_{B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha})}{}\\ & &\cdot \prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i-1}-s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i}. \end{eqnarray} $

接下来我们验证下述积分的下界

$ \int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{s_1}\int_{{{\Bbb R}} } \cdots\int_0^{s_{n-1}}\int_{B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha})}\prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i-1}-s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i}, $

其中$ n=1, 2, \ldots $. 对于任意$ n\in{\mathbb N} $, 有

(3.37) $ \begin{eqnarray} & &\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{s_1}\int_{{{\Bbb R}} } \cdots\int_0^{s_{n-1}}\int_{B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha})}\prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i-1}-s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i}{}\\ & \geq&\int_{t-t/n}^t\int_{{{\Bbb R}} }\int_{s_1-t/n}^{s_1}\int_{{{\Bbb R}} } \cdots\int_{s_{n-1}-t/n}^{s_{n-1}}\int_{B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha})}\prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i-1}-s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i}{}\\ & \geq& \int_0^{t/n}\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{t/n}\int_{{{\Bbb R}} } \cdots\int_0^{t/n}\int_{B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha})}\prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i}. \end{eqnarray} $

下面通过适当选择"$ y_i $", 使得对于所有$ i=1, 2, \ldots, n $, "$ y_i $" 都"离着不算远"来处理$ \prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) $. 事实上, 对于所有的$ i=1, \ldots, n $, 令

$ y_i\in {\cal A}_i=\left\{y:y\in B\left(y_{i-1}, s_i^{\frac1\alpha}\right)\cap B\left(0, (t_0+t)^{\frac1\alpha}\right)\right\}. $

则有$ |y_i-y_{i-1}|\leq s_i^{\frac1\alpha} $成立. 利用条件$ ({\rm{C}}) $中关于$ \rho $的假设, 存在常数$ C>0 $使得

$ \rho({\cal A}_i)\geq C\min\left\{s_i^{1/\alpha}, s_i^{\underline{\theta}/\alpha}\right\} $

成立, 这意味着, 对于任意的$ n\in{\mathbb N} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{B(0, (t+t_0)^{\frac1\alpha})}G_{s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i)\rho({\rm d}y_{i})\geq\int_{{\cal A}_i}G_{s_{i}}^2(y_{i-1}, y_i)\rho({\rm d}y_{i}) \geq C\min\left\{s_i^{-1/\alpha}, s_i^{(\underline{\theta}-2)/\alpha}\right\}. \end{eqnarray*} $

因此, (3.37) 式的右边有下界

(3.38) $ \begin{eqnarray} & &\int_0^{t/n}\int_{{{\Bbb R}} }\int_0^{t/n}\int_{{{\Bbb R}} } \cdots\int_0^{t/n}\int_{{{\Bbb R}} }\prod\limits_{i=1}^nG_{s_{i}}^2(y_{i-1}-y_i) \rho({\rm d}y_{n+1-i}){\rm d}s_{n+1-i}{}\\ & \geq &C^n\left(\int_0^{t/n}\min\{s^{-1/\alpha}, s^{(\underline{\theta}-2)/\alpha}\}{\rm d}s\right)^n{}\\ & \geq & C^n\left(\min\left\{(t/n)^{1-1/\alpha}, (t/n)^{(\alpha+\underline{\theta}-2)/\alpha}\right\}\right)^n. \end{eqnarray} $

结合估计(3.36)、(3.37) 和(3.38)式, 有

$ \inf\limits_{x\in B(0, (t_0+t)^{1/\alpha})}E[|u(t_0+t, x)|^2]\geq \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{CK_L^2\min\{t^{1-1/\alpha}, t^{(\alpha+\underline{\theta}-2)/\alpha}\}} {n^{(\alpha+\underline{\theta}-2)/\alpha}}\right)^n. $

由文献[17, 注3.3]可知: 对于任意的$ \gamma>0, \varepsilon\in(0, 1) $, 有

$ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{k^n}{n^{\gamma n}}\geq \varepsilon e^{1+e^{-1}(1-\varepsilon)\gamma k^{\frac1\gamma}}. $

因此, 对于$ \varepsilon\in(0, 1) $和充分大的$ t_0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\inf\limits_{x\in B(0, (t_0+t)^{1/\alpha})}E[|u(t_0+t, x)|^2]\\ &\geq&\varepsilon\exp\left\{(1-\varepsilon)e^{-1}\left(CK_L^2\min\{t^{1-1/\alpha}, t^{(\alpha+\underline{\theta}-2)/\alpha}\}\right) ^{\frac{\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}}\frac{\alpha+\underline{\theta}-2}{\alpha}+1\right\}. \end{eqnarray*} $

因此(3.31) 式得证.

下面证明方程(1.1) 解$ u(t, x) $的弱间歇性质. 事实上, 该结果可直接由定理3.1和定理3.2中的结果得知.

定理3.3  假设定理3.2中的条件成立, 则在其中两种情形下, 则方程(1.1) 的解$ u(t, x) $具有弱全间歇性质. 即存在两个不依赖$ K_L, K_U $和$ p $的常数$ \vartheta_2, \widetilde{\vartheta}_2>0 $, 使得对所有的$ p\geq2 $成立, 有

(3.39) $ \begin{eqnarray} \vartheta_2K_L^{\frac{2\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}}p\leq p\inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\underline{{\cal L}}(2, x)\leq 2\inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\underline{{\cal L}}(p, x) \leq 2\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\overline{{\cal L}}(p, x)\leq \widetilde{\vartheta}_2 K_U^{\frac{2\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}} \end{eqnarray} $

成立.

证  从弱间歇性的定义可知, 关键证明(3.39) 式即可. 事实上, 上界可从定理3.1得到. 第二个不等号可根据$ \underline{{\cal L}}(p, x)/p $关于$ p $的非减性得到.

关于定理3.2中的第一种情形, 由(3.29) 式可知(3.39) 式对所有的$ x\in{{\Bbb R}} $均成立.

定理3.2中的第二种情形, 对于任意固定的$ x $, 选择足够大的$ t_0>0 $使得对于$ x\in B(0, t^{1/\alpha}) $, 其中$ t>t_0 $. 因此对于任意的$ t>\max\{t_0, T_0\} $, 由(3.31) 式可知下式成立

$ E[|u(t, x)|^2]\geq\vartheta_1\varepsilon\exp\left\{(1-\varepsilon)\widetilde{\vartheta}_1 K_l^{\frac{2\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}}t\right\}. $

因此, 易验证(3.39) 式的下界, 至此, 整个定理结果得证.

从定理3.1与定理3.2中的结果可知, 矩估计中的相关结果关联着常数$ K_U, K_L $以及扩散系数$ g $. 这启发我们考虑另一个很重要的问题, 即噪声激励, 该问题首先在文献[10]中进行研究, 随后吸引了很多学者做了相关的研究, 参见文献[8−9, 17]. 进一步, 考虑在方程(1.1) 中用$ \sigma g $代替扩散系数$ g $, 其中常数$ \sigma>0 $称为噪声强度. 为强调方程(1.1) 的解对噪声强度$ \sigma $的依赖性, 将$ u(t, x) $记为$ u_\sigma(t, x) $. 在文献[10]的工作中, 噪声激励定义为$ u_\sigma(t, x) $的能量在$ \sigma $趋于无穷时的渐近行为, 具体详见文献[10, (2.7)式]. 本节中, 我们的结果如下.

推论3.1  在定理3.2的假设下, 有

(3.40) $ \begin{equation} \frac{2\alpha}{\alpha+\underline{\theta}-2}\leq\liminf\limits_{\sigma\rightarrow \infty}\frac{\log\log E[|u_\sigma(t, x)|^p]}{\log\sigma} \leq\limsup\limits_{\sigma\rightarrow \infty}\frac{\log\log E[|u_\sigma(t, x)|^p]}{\log\sigma}\leq\frac{2\alpha} {\alpha+\overline{\theta}-2}. \end{equation} $

证  根据定理3.1, 对于任意的$ \sigma>0 $, 有

(3.41) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u_\sigma(t, x)|^p]\leq L_1^{\frac p2}\left(1+\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }E[|u_0(x)|^p]\right) \exp\left\{L_2(\sigma K_U)^{\frac{2\theta}{\alpha+\overline{\theta}-2}}p^{1+\frac{\alpha}{\alpha+\overline{\theta}-2}}t\right\} \end{eqnarray} $

成立. 因此, 在(3.41) 式两边同时取对数函数, 再利用洛比塔法则, 可知(3.40) 式右边第一个不等式成立.

对于下界, 利用定理3.2中的结果, 用$ \sigma K_L $代替$ K_L $, 在两种情形下, 易验证(3.40) 式的左边对任意的$ t>T_0 $成立, 其中$ T_0 $是在定理3.1中定义的时间. 然而, 对于任意的$ t<T_0 $, 可以用在文献[8, 定理1.4] 的证明思路, 在此略去细节.

特别地, 从上述推论中可见, 若$ \rho({\rm d}x)=c{\rm d}x $, 则$ \overline{\theta}=\underline{\theta}=1 $, 在(3.40) 式中出现的上、下界等于$ \frac{2\alpha}{\alpha-1} $, 该结果在文献[14]已经被证明.

下面第一个引理来自文献[17, 引理3.1, 引理3.3].

引理4.1  $ 1) $ 令$ \rho $满足假设$ ({\rm{A}}) $, 则存在常数$ C_{11}>0 $使得对所有的$ r>0 $,

(4.1) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{(x-y)^2}{r}\right\}\rho({\rm d}y)\leq C_{11}\max\left\{r^{\frac12}, r^{\frac{\overline{\theta}}{2}}\right\}. \end{eqnarray} $

$ 2) $ 若$ \rho $满足假设$ ({\rm{C}}2) $, 则如下结论成立

$ ({\rm{a}}) $ 存在常数$ C_{12}>0 $使得对所有的$ r\in(0, 1] $, 有

(4.2) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{(x-y)^2}{r}\right\}\rho({\rm d}y)\geq C_{12}r^{\frac{\underline{\theta}}{2}}, \end{eqnarray} $

其存在常数$ C_{13}>0 $使得对所有的$ r>0 $, 有

(4.3) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{(x-y)^2}{r}\right\}\rho({\rm d}y)\geq C_{13}e^{-1}\min\left\{r^{\frac{\underline{\theta}}{2}}, r^{\frac12}\right\}. \end{eqnarray} $

$ ({\rm{b}}) $ 如下的位势关系成立

(4.4) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }|x-y|^{-\underline{\theta}}\rho({\rm d}y)>C_{l}, \end{eqnarray} $

其中常数$ C_{l}>0 $与假设$ ({\rm{C}}2) $中的相同.

进一步地, 有如下引理.

引理4.2  若$ \rho $满足假设$ ({\rm{A}}) $, 则对所有的$ t> 0 $, 有

(4.5) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }G_{t}(x-y)\rho({\rm d}y)\leq C_2\max\left\{1, t^{\frac{\overline{\theta}-1}{\alpha}}\right\}, \end{eqnarray} $

其中常数$ C_2>0 $与$ t $和$ x $独立.

证  从(3.8) 式中, 可知

$ \int_{{{\Bbb R}} }G_{t}(x-y)\rho({\rm d}y)\leq C(I_1+I_2), $

其中

$ \begin{eqnarray*} I_1=t^{-\frac1\alpha}\int_{{{\Bbb R}} }1_{\left\{|x-y|\leq t^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y), \quad I_2=t\int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>t^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y). \end{eqnarray*} $

对于第一项$ I_1 $, 有

$ \begin{eqnarray*} e^{-1}\int_{{{\Bbb R}} }1_{\left\{|x-y|\leq t^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y) \leq\int_{{{\Bbb R}} }e^{-\frac{|x-y|^2}{t^{\frac2\alpha}}}\rho({\rm d}y)\leq C\max\{t^{\frac1\alpha}, t^{\frac{\overline{\theta}}{\alpha}}\}, \end{eqnarray*} $

即

$ I_1\leq C\max\{1, t^{\frac{\overline{\theta}-1}{\alpha}}\}. $

对于第二项$ I_2 $, 利用$ {\rm{(A2)}} $, 可知

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>t^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y) &=&\int_0^\infty\rho\left(y:\frac{1}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>t^{\frac1\alpha}\right\}}\geq u\right){\rm d}u\\ &=&\int_0^{t^{-\frac{1+\alpha}{\alpha}}}\rho(B(x, u^{-\frac{1}{1+\alpha}})){\rm d}u\\ &\leq& C\int_0^{t^{-\frac{1+\alpha}{\theta}}}u^{-\frac{\overline{\theta}}{1+\alpha}}{\rm d}u =Ct^{-\frac{1+\alpha-\overline{\theta}}{\alpha}}, \end{eqnarray*} $

即

$ I_2\leq Ct^{1-\frac{1+\alpha-\overline{\theta}}{\alpha}}= Ct^{\frac{\overline{\theta}-1}{\alpha}}. $

最后, 结合关于$ I_1 $和$ I_2 $的估计, 引理4.2得证.

引理4.3  令$ \rho $满足假设$ ({\rm{A}}) $, 对于任意的$ \eta>0 $, $ \alpha\in(0, 2], \overline{\theta}\in(0, 1] $且$ \alpha+\overline{\theta}-2>0 $, 有

(4.6) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{t\geq0}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }e^{-\eta s}G_{s}^2(x-y)\rho({\rm d}y){\rm d}s \leq C_3C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta), \end{eqnarray} $

其中常数$ C_3>0 $不依赖$ t $和由(3.6)式定义的$ C^\ast_{p, \overline{\theta}, \alpha}(\eta) $.

证  由(3.8) 式可知

$ \int_0^t\int_{{{\Bbb R}} }e^{-\eta s}G_{s}^2(x-y)\rho({\rm d}y){\rm d}s\leq C(J_1+J_2), $

其中

$ \begin{eqnarray*} &&J_1:=\int_0^te^{-\eta s}s^{-\frac2\alpha}\int_{{{\Bbb R}} }1_{\left\{|x-y|\leq s^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){\rm d}s, \\ && J_2:=\int_0^te^{-\eta s}s^2\int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>s^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

对于第一项$ J_1 $, 利用类似引理4.2证明过程的讨论, 有

$ \begin{eqnarray*} J_1&\leq &C\int_0^te^{-\eta s}s^{-\frac2\alpha}\max\left\{s^{\frac1\alpha}, s^{\frac{\overline{\theta}}{\alpha}}\right\}{\rm d}s\\ &\leq & C\int_0^\infty e^{-\eta s}s^{-\frac2\alpha}\left(s^{\frac1\alpha}+s^{\frac{\overline{\theta}}{\alpha}}\right){\rm d}s\\ &=&C\left[\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\eta^{\frac1\alpha-1} +\Gamma\left(\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{\alpha}\right) \eta^{-\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{\alpha}}\right]. \end{eqnarray*} $

对于第二项$ J_2 $, 首先

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>s^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y) &=&\int_0^\infty\rho\left(y:\frac{1}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>s^{\frac1\alpha}\right\}}\geq u\right){\rm d}u\\ &=&\int_0^{s^{-\frac{2(1+\alpha)}{\alpha}}}\rho\left(B\left(x, u^{-\frac{1}{2(1+\alpha)}}\right)\right){\rm d}u\\ &\leq & C\int_0^{s^{-\frac{2(1+\alpha)}{\alpha}}}u^{-\frac{\overline{\theta}}{2(1+\alpha)}}{\rm d}u \leq Cs^{-\frac{2+2\alpha-\overline{\theta}}{\alpha}}, \end{eqnarray*} $

其中结合假设$ {\rm{(A2)}} $可得到上述表达式的第一个等式. 因此有

$ \begin{eqnarray*} J_2\leq C\int_0^\infty e^{-\eta s}s^{2-\frac{2+2\alpha-\overline{\theta}}{\alpha}}{\rm d}s\leq C\Gamma\left(\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{\alpha}\right)\eta^{-\frac{\alpha+\overline{\theta}-2}{\alpha}}. \end{eqnarray*} $

引理4.3得证.

引理4.4  令$ \rho $满足假设$ ({\rm{C}}2) $, 则

(4.7) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}(x, y)\rho({\rm d}y)\geq C_4\min\left\{1, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-1}{\alpha}}\right\}+C(t-s)^{1+\frac{\underline{\theta}}{\alpha}} \end{eqnarray} $

和

(4.8) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} }\int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}^2(x, y)\rho({\rm d}y)\geq C_5\min\left\{(t-s)^{-\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\} +C(t-s)^{2+\frac{\underline{\theta}}{\alpha}} \end{eqnarray} $

成立, 其中$ C_4>0, C_5>0 $为两个常数, 且与$ t $相独立.

证  回顾文献[2, 引理5.1], 关于格林函数$ G_{t}(x) $有如下下界

(4.9) $ \begin{eqnarray} G_{t}(x)\geq \widetilde{C}_{\alpha, \delta}\pi g_\alpha(t, x), \end{eqnarray} $

其中常数$ \widetilde{C}_{\alpha, \delta} $定义为$ \widetilde{C}_{\alpha, \delta}=\inf\limits_{(t, x)\in{{\Bbb R}} ^\ast\times{{\Bbb R}} }\frac{G_{t}(x)}{\pi g_\alpha(t, x)} $且$ g_\alpha(t, x)=\frac{1}{\pi}\frac{t}{(t^{2/\alpha}+x^2)^{\frac\alpha2+\frac12}} $, 则

(4.10) $ \begin{eqnarray} G_{t-s}(x-y)\geq \widetilde{C}_{\alpha, \delta}\left[(t-s)^{-\frac1\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{t-s}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\right]. \end{eqnarray} $

进一步有

(4.11) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}(x, y)\rho({\rm d}y)\geq \widetilde{C}_{\alpha, \delta}\int_{{{\Bbb R}} }\Big[(t-s)^{-\frac1\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{t-s}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\Big]\rho({\rm d}y). \end{equation} $

首先证明(4.11) 式中表达式右边中的第一项

$ \int_{{{\Bbb R}} }(t-s)^{-\frac1\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y) $

的下界. 事实上

(4.12) $ \begin{eqnarray} &&(t-s)^{-\frac1\alpha}\int_{{{\Bbb R}} }1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){}\\ &\geq&(t-s)^{-\frac1\alpha}\int_{{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{|x-y|^2}{(t-s)^{\frac2\alpha}}\right\} 1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){}\\ &\geq & Ce^{-1}(t-s)^{-\frac1\alpha}\min\left\{(t-s)^{\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}}{\alpha}}\right\}{}\\ &\geq& Ce^{-1}\min\left\{1, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-1}{\theta}}\right\}. \end{eqnarray} $

对于(4.11) 式中右边的第二项

(4.13) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} }\frac{t-s}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){}\\ & \geq& (t-s)\int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\rho({\rm d}y){}\\ & \geq& \int_0^{+\infty}\rho\left(y:\frac{1}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\geq u\right){\rm d}u{}\\ & \geq& C(t-s)^{1+\frac{\underline{\theta}}{\alpha}}. \end{eqnarray} $

将(4.12)和(4.13) 式代入到(4.11)式中, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} }G_{t-s}(x-y)\rho({\rm d}y)\geq Ce^{-1}\min\left\{1, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-1}{\alpha}}\right\} +C(t-s)^{1+\frac{\underline{\theta}}{\alpha}} \geq C_4\min\left\{1, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-1}{\alpha}}\right\}, \end{eqnarray*} $

其中常数$ C_4>0 $不依赖于$ t $和$ x $, 因此(4.7) 式得证.

下面证明(4.8) 式. 事实上, 利用与(4.7) 式相类似的证明思路, 由(4.10) 式可知

(4.14) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} }(G_{t-s}(x-y))^2\rho({\rm d}y){}\\ & \geq & \widetilde{C}_{\alpha, \delta}\int_{{{\Bbb R}} }\left[(t-s)^{-\frac1\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{t-s}{|x-y|^{1+\alpha}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\right]^2\rho({\rm d}y){}\\ & \geq & \widetilde{C}_{\alpha, \delta}\int_{{{\Bbb R}} }\left[(t-s)^{-\frac2\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}} +\frac{(t-s)^2}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\right]\rho({\rm d}y). \end{eqnarray} $

同理, 类似与(4.12) 和(4.13) 式的证明思路, 有

(4.15) $ \begin{eqnarray} & &\int_{{{\Bbb R}} }\left[(t-s)^{-\frac2\alpha}1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}(y) +\frac{(t-s)^2}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}(y)\right]\rho({\rm d}y){}\\ & \geq& (t-s)^{-\frac2\alpha}\int_{{{\Bbb R}} }\exp\left\{-\frac{|x-y|^2}{(t-s)^{\frac2\alpha}}\right\} 1_{\left\{|x-y|\leq(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}(y)\rho({\rm d}y){}\\ &&+(t-s)^2\int_{{{\Bbb R}} }\frac{1}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}(y)\rho({\rm d}y){}\\ & \geq & Ce^{-1}(t-s)^{-\frac2\alpha}\min\{(t-s)^{\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}}{\alpha}}\} {}\\ &&+\int_0^{+\infty}\rho\left(y:\frac{1}{|x-y|^{2(1+\alpha)}}1_{\left\{|x-y|>(t-s)^{\frac1\alpha}\right\}}\geq u\right){\rm d}u{}\\ & \geq& Ce^{-1}\min\left\{(t-s)^{-\frac{1}{\alpha}}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\} +C(t-s)^{2+\frac{\underline{\theta}}{\alpha}}. \end{eqnarray} $

将(4.15) 式代入到(4.14) 式中, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} }(G_{t-s}(x-y))^2\rho({\rm d}y)&\geq & Ce^{-2}\min\left\{(t-s)^{-\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\} +(t-s)^{2+\frac{\underline{\theta}}{\alpha}}\\ &\geq & C_5\min\left\{(t-s)^{-\frac1\alpha}, (t-s)^{\frac{\underline{\theta}-2}{\alpha}}\right\}, \end{eqnarray*} $

其中常数$ C_5>0 $不依赖$ t $和$ x $. 因此(4.8) 式得证.