本文考虑全空间$ \mathbb{R} ^2 $上具有单位密度的理想流体的运动, 其运动满足以下的欧拉方程组

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}+(u\cdot\nabla)u=-\nabla p, &({\bf x}, t)\in \mathbb{R} ^{2}\times (0, \infty), \\ \nabla\cdot u=0, &({\bf x}, t)\in \mathbb{R} ^{2}\times (0, \infty), \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ u:\mathbb{R} ^2\to \mathbb{R} ^2 $是速度场, $ p:\mathbb{R} ^2\to \mathbb{R} $是压力.

$ u\cdot\nabla=u_{1}\partial _{1}+u_{2}\partial _{2}, \nabla\cdot u=\partial _{1}u_{1}+\partial _{2}u_{2}. $

由于$ u $的散度为零, 则由格林公式知$ -u_{2}dx_{1}+u_{1}dx_{2} $是恰当形式, 从而存在一个流函数$ \psi=\psi({\bf x}, t) $使得相应的速度场可以被表示为

(1.2) $ \begin{equation} u({\bf x}, t)=\nabla ^{\perp}\psi({\bf x}, t). \end{equation} $

对于给定函数$ f $, 记

$ \nabla^{\perp}f:=(\partial_{2}f, -\partial_{1}f), $

以上的偏导数都是关于空间变量的偏导数. 在流体的运动中, 流体粒子的运动可以看作平移, 伸缩和旋转这三种基本运动的叠加. 用来刻画流体旋转角速度的物理量称为涡度, 其定义为速度场的旋度

(1.3) $ \begin{equation} \omega=\nabla\times u=\partial_{1}u_{2}-\partial_{2}u_{1}. \end{equation} $

在方程组(1.1)中第一式两边求旋度, 得到涡度所满足的方程

(1.4) $ \begin{equation} \omega_{t}+u\cdot\nabla\omega=0. \end{equation} $

由流函数$ \psi $, 涡度$ \omega $和速度场$ u $三者之间的关系(1.2)–(1.3) 式可知流函数满足如下的泊松方程

(1.5) $ \begin{equation} -\Delta\psi=\omega. \end{equation} $

根据(1.2)和(1.5) 式可以形式上的导出著名的Biot-Savart定律

(1.6) $ \begin{equation} u=\nabla^{\perp}{\cal G}\omega, \end{equation} $

其中$ {\cal G}\omega $表示$ (-\Delta)^{-1} $作用在$ \omega $上, 其定义为

(1.7) $ \begin{equation} {\cal G}\omega({\bf x}, t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R} ^2} \log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega({\bf y}, t) {\rm d}{\bf y}. \end{equation} $

将通过(1.7)式反演得到的速度场带入(1.4) 式可以得到以下只含有涡度的方程

(1.8) $ \begin{equation} \omega_{t}+\nabla^{\perp}{\cal G}\omega\cdot\nabla\omega=0. \end{equation} $

关于方程(1.8)已经有很多的研究. 在定常解的情形, Turkington 1983年在文献[1, 2]中分别在单连通光滑有界区域以及上半空间的一个子区域研究了该方程的定常涡补丁解的存在性. Turkington给出该方程弱解的一个变分刻画, 从而通过解这个变分问题给出方程解的存在性. Turkington还进一步地研究了解的渐近行为. 在1985年Turkington使用类似的方法在文献[3]中研究了集中在正$ N $边形顶点的旋转解的存在性以及渐近行为. 以上两篇文章使用的方法通常称为涡方法, 本文将使用涡方法研究卡门涡街的情形. 除涡方法之外, Cao-Peng-Yan于2015年在文献[4]中通过Liapunov-Schmidt约化方法证明了有界区域上一族集中到Kirchhoff-Routh函数非退化临界点的解的存在性. 且在2019年, Cao-Wan-Wang在文献[5]中证明了涡补丁解的非线性稳定性. 对于卡门涡街情形, García在文献[6]中用轮廓动力学和隐函数方法给出了卡门点涡街的去奇异化.

本文主要考虑卡门涡街点涡模型的去奇异化. 卡门涡街是流体力学中的重要现象. 当定常流经过某些障碍物时, 物体的两侧会周期性地形成旋转方向相反、排列规则的双列涡, 这些涡之间相互作用所成的现象就称为卡门涡街. 从数学上来说, 卡门涡街是一种具有某些对称性的周期行波解. 本文考虑其中一种特殊的去奇异化问题, 即两列涡是关于$ x_{2} $轴对称分布的. 假设在初始时刻, 正涡集中分布在$ (a, ml), m\in {\Bbb Z} $上, 负涡集中在$ (-a, ml), m\in {\Bbb Z} $上$ (a>0, l>0) $, 即初始涡度具有以下形式

(1.9) $ \begin{equation} \omega_{0}=\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\delta({\bf x}-(a, ml))-\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\delta({\bf x}-(-a, ml)), \end{equation} $

其中$ \delta({\bf x}) $是集中在原点的Dirac测度, 以$ \omega_{0} $为初值演化得到集中点的位置满足如下的Hamiltonian系统^[6-9]

(1.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\rm d}{\bf x}_{m}}{{\rm d}t}=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{1\leq\left|k-m\right|\leq N}\frac{({\bf x}_{m}(t)-{\bf x}_{k}(t))^{\perp}}{\left|{\bf x}_{m}(t)-{\bf x}_{k}(t)\right|^2}-\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{\left|k\right|\leq N}\frac{({\bf x}_{m}(t)-{\bf y}_{k}(t))^{\perp}}{\left|{\bf x}_{m}(t)-{\bf y}_{k}(t)\right|^2}&m\in {\Bbb Z}, \\ \frac{{\rm d}{\bf y}_{m}}{{\rm d}t}=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{1\leq\left|k-m\right|\leq N}\frac{({\bf y}_{m}(t)-{\bf y}_{k}(t))^{\perp}}{\left|{\bf y}_{m}(t)-{\bf y}_{k}(t)\right|^2}-\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{\left|k\right|\leq N}\frac{({\bf y}_{m}(t)-{\bf x}_{k}(t))^{\perp}}{\left|{\bf y}_{m}(t)-{\bf x}_{k}(t)\right|^2}&m\in {\Bbb Z}, \\ {\bf x}_{m}(0)=(a, ml)&m\in {\Bbb Z}, \\ {\bf y}_{m}(0)=(-a, ml)&m\in {\Bbb Z}. \end{array} \right. \end{equation} $

可以验证每个点涡都是以

(1.11) $ \begin{equation} W=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{N\to+\infty}\sum\limits_{\left|m\right|\le N}\frac{2a}{4a^2+m^2l^2} =\frac{1}{2l}\coth{\frac{2\pi a}{l}} \end{equation} $

的速度沿着$ x_{2} $轴负方向进行运动.

本文的目标是构造方程(1.8) 的一族行波解, 使得在某个参数$ \lambda $趋于无穷时, 这族解在某种意义下收敛到以(1.9)式为初值的解. 并且研究在$ \lambda $趋于无穷时, 这族解的渐近行为. 因为卡门涡街是一种特殊的周期行波解, 先假设解具有如下的形式

(1.12) $ \begin{equation} \zeta({\bf x}, t)=\omega(x_{1}, x_{2}+Wt), \end{equation} $

将(1.12)式带入(1.8)式得

(1.13) $ \begin{equation} \nabla^\perp({\cal G}\omega-Wx_{1})\cdot\nabla{\omega}=0. \end{equation} $

但是涡补丁形式的解是一些特征函数, 这些函数无法求一阶偏导数. 因此我们需要定义弱解, 基于此在方程(1.13) 两边乘上一个检验函数$ \phi\in C_0^\infty(\mathbb{R} ^2) $, 形式上的分部积分就可以得到如下弱解的定义.

定义1.1 称$ \omega\in L^\infty(\mathbb{R} ^2) $是方程(1.13)的弱解, 如果对任意$ \phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R} ^2) $都成立

(1.14) $ \begin{equation} \int_{\mathbb{R} ^2}\omega\nabla^\perp({\cal G}\omega-Wx_{1})\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x}=0. \end{equation} $

对于一般的$ \omega\in L^\infty $, $ {\cal G}\omega $的定义(1.7) 中的积分可能不是绝对收敛的. 由于点涡(1.9) 关于$ x_{1} $方向是奇对称的, 且在$ x_{2} $方向是以$ l $为周期的. 因此, 我们将在$ L^\infty $中寻找满足前面两个条件的解. 假定$ \omega $是满足前述条件的函数且在$ \mathbb{R} \times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2}) $内的支集是有界的, 后文总是按积分主值的意义理解$ {\cal G}\omega $, 即

(1.15) $ \begin{equation} {\cal G}\omega({\bf x})=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{\left|m\right|\le N}\int_{\mathbb{R} \times (-\frac{l}{2}+ml, \frac{l}{2}+ml)}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}. \end{equation} $

下面说明这样定义的$ {\cal G}\omega $是$ C^1 $的. 这里我们只对一种特殊情况加以说明, 其余情况可以类似地处理. 设$ \Omega $是$ \mathbb{R} ^2 $的一个开子集, 并且假设对某个整数$ k $有$ \Omega\subset\subset (0, +\infty)\times(-\frac{l}{2}+kl, \frac{l}{2}+kl) $, 则当$ x\in\Omega $时, 由$ \omega $满足的性质可知

(1.16) $ \begin{eqnarray} {\cal G}\omega({\bf x})&=&\frac{1}{4\pi}\int_{(0, +\infty)\times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2})}\log\frac{1}{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-kl)^2}\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}\\ & &-\frac{1}{4\pi}\int_{(0, +\infty)\times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2})}\log\frac{1}{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-kl)^2}\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}\\ & &+\frac{1}{4\pi}\int_{(0, +\infty)\times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2})}\sum\limits_{m\neq k}\log\frac{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}\\ & =&I_{1}({\bf x})+I_{2}({\bf x})+I_{3}({\bf x}), \end{eqnarray} $

其中$ I_{1} $恰好是一个牛顿位势, 由经典的位势理论知$ I_{1}\in C^1 $. $ I_{2} $被积函数是调和的且没有奇性, 因此$ I_{2} $也是调和的.现考虑$ I_{3} $被积函数中的级数, 显然该级数的每一项关于$ x $是调和函数, 直接计算得到

(1.17) $ \begin{eqnarray} \log\frac{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}&= &\log(1+\frac{4x_{1}y_{1}}{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2})\\ &\le& \frac{4x_{1}y_{1}}{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}\\ &\le&\frac{C_{1}}{(ml-C_{2})^2}, \end{eqnarray} $

其中$ C_1, C_2 $是两个正常数. 因此可知该级数关于$ x\in\Omega $是一致收敛的, 而根据平均值定理知调和函数在一致收敛极限下是封闭的, 因此该级数仍是调和函数, 那么$ I_{3} $就是一个调和函数. 对于$ \Omega $可能与一些矩形边界相交的情况无非是在上述讨论中牛顿位势的个数可能不只一个, 因此都可以类似讨论. 这就说明了$ {\cal G}\omega $是$ C^1 $的, 那么(1.14)式是有意义的.

利用的对称性和周期性, 我们可以将问题限制在一个典型周期$ (0, +\infty)\times(-\frac{l}{2}, \frac{l}{2}) $上考虑. 对于定义在$ (0, +\infty)\times(-\frac{l}{2}, \frac{l}{2}) $上的有界可测函数$ \omega $定义

(1.18) $ \begin{equation} {\cal K}\omega({\bf x})={\cal G}\omega^*({\bf x}), \end{equation} $

其中$ \omega^* $表示$ \omega $先在$ x_{1} $方向做奇延拓, 再在$ x_{2} $方向做周期延拓得到的函数. 为了后文的方便将$ {\cal K}\omega $改写成以下形式

(1.19) $ \begin{equation} {\cal K}\omega({\bf x})=\frac{1}{2\pi}\int_{(0, +\infty)\times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2})}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}+\int_{(0, +\infty)\times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2})}T({\bf x}, {\bf y})\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}, \end{equation} $

其中

(1.20) $ \begin{equation} T({\bf x}, {\bf y})=-\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2} +\frac{1}{4\pi}\sum\limits_{m\neq 0}\log\frac{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2}-ml)^2}. \end{equation} $

易见$ T $在典型周期的平方区域内是光滑的, 从而在相应区域的任意紧子集上有界. 另外, $ T $关于$ x $是调和的. 并记

(1.21) $ \begin{equation} K({\bf x}, {\bf y})=\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}+T({\bf x}, {\bf y}), \end{equation} $

现在问题就约化为寻找一个定义在典型周期上的有界可测函数$ \omega $使得对任意的$ \phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R} ^2) $成立

(1.22) $ \begin{equation} \int_{(0, +\infty)\times (-\frac{l}{2}, \frac{l}{2})}\omega\nabla^\perp({\cal K}\omega-Wx_{1})\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x}=0. \end{equation} $

本文的主要结果如下.

定理1.1  对任意给定$ l>0 $及$ W>(2l)^{-1} $, 设$ a^* $是(1.11) 中关于a的方程的解. 则存在$ \lambda_{0} $使得$ \lambda\ge\lambda_{0} $时, 方程(1.8)有以下形式的行波解

(1.23) $ \begin{equation} \omega_\lambda({\bf x}, t)=\sum\limits_{m\in Z}\omega^{\lambda}(x_{1}, x_{2}+Wt+ml)-\sum\limits_{m\in Z}\omega^{\lambda}(-x_{1}, x_{2}+Wt+ml). \end{equation} $

此外如下结论成立

(ⅰ) $ \omega^{\lambda} $是方程(1.22)的解.

(ⅱ) 存在$ R_{0}>0 $使得

(1.24) $ \begin{equation} \omega^{\lambda}=\lambda I_{\{{\bf x}\in B_{R_{0}}(X^*):{\cal K}\omega^{\lambda}-Wx_{1}>\mu^{\lambda}\}}, \end{equation} $

其中$ X^*=(a^*, 0) $, $ \mu^{\lambda} $是被$ \omega^{\lambda} $决定的一个实数.

(ⅲ) 存在$ R>1 $ (不依赖于$ \lambda $)使得

(1.25) $ \begin{equation} {\rm diam(supp}\, \omega^{\lambda})\le R(\lambda\pi)^{-\frac{1}{2}}. \end{equation} $

(ⅳ) 当$ \lambda\to\infty $时, $ X_{\lambda}\to X^* $其中

(1.26) $ \begin{equation} X_{\lambda}=\int_{B_{R_{0}}(X^*)}{\bf x}\omega^{\lambda}{\rm d}{\bf x}. \end{equation} $

(ⅴ) 当$ \lambda\to\infty $时, 在测度的意义下成立

(1.27) $ \begin{equation} \omega^{\lambda}\to \delta({\bf x}-X^*). \end{equation} $

本文还对定理1.1中的解做了渐近分析并得到了以下结果.

定理1.2  设$ \omega^{\lambda} $和$ R>0 $是定理1.1所得到的解和常数, 令

(1.28) $ \begin{equation} \xi^{\lambda}({\bf y})=\lambda^{-1}\omega^{\lambda}(X_{\lambda}+(\lambda\pi)^{-\frac{1}{2}} {\bf y}), \end{equation} $

(1.29) $ \begin{equation} \zeta^{\lambda}({\bf y})=\pi\psi^{\lambda}(X_{\lambda}+(\lambda\pi)^{-\frac{1}{2}} {\bf y}), \end{equation} $

其中$ \psi^{\lambda}={\cal K}\omega^{\lambda}-Wx_{1}-\mu^{\lambda} $. 则以下结论成立

(ⅰ) 在$ L^\infty(B_{R}(0)) $的弱$ * $拓扑下, 当$ \lambda\to\infty $时有

(1.30) $ \begin{equation} \xi^{\lambda}\to I_{B_{1}(0)}. \end{equation} $

(ⅱ) 在$ C_{loc}^1(\mathbb{R} ^2) $拓扑下, 当$ \lambda\to\infty $时有

(1.31) $ \begin{equation} \zeta^{\lambda}\to \zeta^*, \end{equation} $

其中

(1.32) $ \begin{equation} \zeta^*({\bf y})=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{4}(1-\left|{\bf y}\right|^2) , &\left|{\bf y}\right|\le 1, \\ \frac{1}{2}\log\frac{1}{\left|{\bf y}\right|}, &\left|{\bf y}\right|\ge 1. \end{array} \right. \end{equation} $

在第2节, 本文研究一个具体的变分问题. 然后证明在一定条件下这个变分问题的解就是方程(1.22) 的解. 进一步, 我们证明在参数$ \lambda $趋于无穷的极限下, 这族解收敛到相应的点涡解. 在第3节, 通过比较能量的方法研究涡度和相应流函数做伸缩变换后的渐近行为, 并给出一些相关量的渐近展开.

回顾1.3节可知, 只需要构造方程(1.22)的解就可以通过在$ x_{1} $方向做奇延拓, 在$ x_{2} $方向做周期延拓就可以得到原问题的解. 从现在开始, 假定定理1.1的条件成立并且沿用相应的记号. 固定一个$ \overline{R}<\min\{l/2, a^*\} $, 设$ 0<R_{0}<\overline{R}/2 $是一个待定的参数. 如果不特别说明, $ B_{R_{0}} $总表示中心在$ X^*=(a^*, 0) $半径为$ R_{0} $的开球. 为了书写方便, 记$ \epsilon=(\lambda\pi)^{-\frac{1}{2}} $.

考虑容许类

(2.1) $ \begin{equation} \Lambda^{\lambda}=\left\{\omega\in L^\infty(B_{R_{0}}):0\le\omega\le\lambda, \int_{B_{R_{0}}}\omega {\rm d}{\bf x}=1, \omega(x_{1}, x_{2})=\omega(x_{1}, -x_{2})\right\}, \end{equation} $

其中$ \lambda $是一个参数, 易见当$ \lambda $充分大时$ \Lambda^{\lambda}\neq\varnothing $. 定义能量泛函

(2.2) $ \begin{equation} E(\omega)=\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\omega {\cal K}\omega {\rm d}{\bf x}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega {\rm d}{\bf x}. \end{equation} $

下面将研究极大化问题

(2.3) $ \begin{equation} m_{\lambda}=\sup\limits_{\omega\in\Lambda^{\lambda}}E(\omega). \end{equation} $

首先, 我们证明极大元的存在性.

引理2.1 存在$ \omega^{\lambda}\in\Lambda^{\lambda} $使得$ E(\omega^{\lambda})=\sup\limits_{\omega\in\Lambda^{\lambda}}E(\omega) $.

证  对任意的$ \omega\in\Lambda^{\lambda} $, 我们有

(2.4) $ \begin{eqnarray} E(\omega)&=&\frac{1}{4\pi}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega({\bf x})\omega({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ & &+\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\omega({\bf x})\omega({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega {\rm d}{\bf x}\\ &\le&\frac{1}{4\pi}\sup\limits_{{\bf x}\in B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega({\bf y}){\rm d}{\bf y}+C\\ &\le&\frac{1}{4\pi}\sup\limits_{{\bf x}\in B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\lambda I_{B_{\epsilon}({\bf x})}({\bf y}){\rm d}{\bf y}+C\\ &=&\frac{\lambda}{4\pi}\int_{B_{\epsilon}(0)}\log\frac{1}{\left|{\bf y}\right|}{\rm d}{\bf y}+C\\ &=&\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+C, \end{eqnarray} $

其中第二个不等号使用了浴缸原理(参见文献[10]), 以及$ T $的有界性. 常数$ C $与$ \lambda $无关, 从而$ m_{\lambda}<\infty $. 则可以取极大化序列$ \omega_{n}\in\Lambda^{\lambda} $使得$ E(\omega_{n})\to m_{\lambda} $. 因为$ \Lambda^{\lambda} $是$ L^\infty $中的有界集, 所以可以假设在$ L^\infty $的弱$ * $拓扑下有

(2.5) $ \begin{equation} \omega_{n}\to\omega_{0}\in L^\infty. \end{equation} $

接下来的证明分四步.

第一步  $ 0\le\omega_{0}\le\lambda $.

这里只证明右半边的不等式, 左半边类似可证.我们采用反证法. 假设$ \left|\{\omega_{0}>\lambda\}\right|>0 $ (其中$ \left|\cdot\right| $表示$ \mathbb{R} ^2 $中的勒贝格测度), 则存在一个$ n_{0}\in N $使得$ \left|\{\omega_{0}>\lambda+\frac{1}{n_{0}}\}\right|>0 $, 取$ \phi=I_{\{\omega_{0}>\lambda+\frac{1}{n_{0}}\}} $则

(2.6) $ \begin{equation} \int_{B_{R_{0}}}\omega_{n}\phi {\rm d}{\bf x}\le\lambda\left|\{\omega_{0}>\lambda+\frac{1}{n_{0}}\}\right|. \end{equation} $

令$ n\to\infty $, 由$ \omega_{n} $的弱$ * $收敛性得

(2.7) $ \begin{equation} \int_{B_{R_{0}}}\omega_{0}\phi {\rm d}{\bf x}\le\lambda\left|\{\omega_{0}>\lambda+\frac{1}{n_{0}}\}\right|. \end{equation} $

另一方面

(2.8) $ \begin{equation} \int_{B_{R_{0}}}\omega_{0}\phi {\rm d}{\bf x}\ge(\lambda+\frac{1}{n_{0}})\left|\{\omega_{0}>\lambda+\frac{1}{n_{0}}\}\right|, \end{equation} $

然而这会导致$ \lambda+\frac{1}{n_{0}}\le\lambda $, 矛盾.因此我们得到了$ \omega_{0}\le\lambda $.

第二步  $ \int_{B_{R_{0}}}\omega_{0} {\rm d}{\bf x}=1 $.

这个结论由$ \omega_{n} $的弱$ * $收敛性以及$ \int_{B_{R_{0}}}\omega_{n} {\rm d}{\bf x}=1 $立即得到.

第三步  $ \omega_{0}(x_{1}, x_{2})=\omega_{0}(x_{1}, -x_{2}) $.

对任意的$ \phi\in C_{0}^\infty(B_{R_{0}}) $, 我们有

(2.9) $ \begin{eqnarray} \int_{B_{R_{0}}}\omega_{0}(x_{1}, -x_{2})\phi(x_{1}, x_{2}){\rm d}{\bf x}&=&\int_{B_{R_{0}}}\omega_{0}(x_{1}, x_{2})\phi(x_{1}, -x_{2}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\int_{B_{R_{0}}}\omega_{n}(x_{1}, x_{2})\phi(x_{1}, -x_{2}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\int_{B_{R_{0}}}\omega_{n}(x_{1}, -x_{2})\phi(x_{1}, x_{2}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\int_{B_{R_{0}}}\omega_{n}(x_{1}, x_{2})\phi(x_{1}, x_{2}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\int_{B_{R_{0}}}\omega_{0}(x_{1}, x_{2})\phi(x_{1}, x_{2}){\rm d}{\bf x}, \end{eqnarray} $

因此$ \omega_{0}(x_{1}, x_{2})=\omega_{0}(x_{1}, -x_{2}) $ a.e.

第四步  $ E(\omega_{0})=m_{\lambda} $.

由于当$ n\to\infty $时, 按$ L^\infty $的弱$ * $拓扑有$ \omega_{n}\to\omega_{0} $, 因此按$ L^\infty(B_{R_{0}}\times B_{R_{0}}) $的弱$ * $拓扑有$ \omega_{n}({\bf x})\omega_{n}({\bf y})\to\omega_{0}({\bf x})\omega_{0}({\bf y}) $. 又因为$ K(\cdot, \cdot)\in L^{1}(B_{R_{0}}\times B_{R_{0}}) $以及$ x_{1}\in L^{1}(B_{R_{0}}) $则有

(2.10) $ \begin{eqnarray} E(\omega_{n})&=&\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}K({\bf x}, {\bf y})\omega_{n}({\bf x})\omega_{n}({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega_{n}{\rm d}{\bf x}\\ &\to&\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}K({\bf x}, {\bf y})\omega_{0}({\bf x})\omega_{0}({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega_{0}{\rm d}{\bf x}\\ &=&E(\omega_{0}) \end{eqnarray} $

因此$ E(\omega_{0})=m_{\lambda} $. 证毕.

现设$ \omega^{\lambda} $为变分问题(2.3) 的解. 为了估计一些与$ \omega^{\lambda} $相关的量, 通过选取适当的检验函数来得到解的显式表达.

引理2.2  $ \omega^\lambda=\lambda I_{\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}>\mu^\lambda\}} $, 其中$ \mu^\lambda\in\mathbb{R} $被$ \omega^\lambda $唯一决定.

证  对任意$ z_{0}, z_{1}\in L^\infty(B_{R_{0}}) $及$ 0<\delta<\lambda $满足

(2.11) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} z_{0}, z_{1}\ge 0, \\ \int_{B_{R_{0}}}z_{0}{\rm d}{\bf x}=\int_{B_{R_{0}}}z_{1}{\rm d}{\bf x}, \\ z_{0}=0\quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in\{w>\lambda-\delta\}, \\ z_{1}=0\quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in\{w<\delta\}, \\ z_{i}(x_{1}, x_{2})=z_{i}(x_{1}, -x_{2})\qquad i=1, 2. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

定义$ \omega^{\lambda} $的一个扰动

(2.12) $ \begin{equation} \omega_{s}^\lambda=\omega+s(z_{0}-z_{1}), \end{equation} $

则可以验证当$ s $充分小时(比如$ s<\min\{\frac{\lambda-\delta}{\Vert z_{0}\Vert_{\infty}}, \frac{\lambda-\delta}{\Vert z_{1}\Vert_{\infty}}, \frac{\delta}{\Vert z_{0}-z_{1}\Vert_{\infty}}\} $)有$ \omega_{s}^\lambda\in\Lambda^\lambda $. 定义一元函数

(2.13) $ \begin{equation} g(s)=E(\omega_{s}^\lambda), \end{equation} $

则$ g $在$ s=0 $取得最大值.那么必有

(2.14) $ \begin{equation} g'_{+}(0)\le 0. \end{equation} $

展开计算得到

(2.15) $ \begin{equation} \int_{B_{R_{0}}}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1})z_{0}{\rm d}{\bf x}\le \int_{B_{R_{0}}}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1})z_{1}{\rm d}{\bf x}. \end{equation} $

根据$ z_{0}, z_{1}, \delta $的任意性得

(2.16) $ \begin{equation} \sup\limits_{\omega^\lambda<\lambda}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1})\le \inf\limits_{\omega^\lambda>0}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}). \end{equation} $

另一方面由$ {\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1} $的连续性可知上述不等式必取等号. 因此记公共值

(2.17) $ \begin{equation} \mu^{\lambda}=\sup\limits_{\omega^\lambda<\lambda}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1})=\inf\limits_{\omega^\lambda>0}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}). \end{equation} $

下面分三步证明

(2.18) $ \begin{equation} \omega^{\lambda}=\lambda I_{\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}>\mu^\lambda\}}. \end{equation} $

第一步  $ \omega^\lambda=\lambda\quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}>\mu^\lambda\} $.

若不成立, 则必存在正测度集$ E\subset\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}>\mu^\lambda\} $使得

(2.19) $ \begin{equation} \omega^\lambda({\bf x})<\lambda, \quad\forall {\bf x}\in E. \end{equation} $

从而$ E\subset\{\omega^\lambda<\lambda\} $, 因此由$ \mu^\lambda $的定义式(2.17)的第一个等号知

(2.20) $ \begin{equation} {\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}\le\mu^\lambda\quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in E, \end{equation} $

这与$ E\subset\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}>\mu^\lambda\} $矛盾.

第二步 $ \omega^\lambda=0 $ a.e. $ {\bf x}\in\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}<\mu^\lambda\} $.

证明方法同第一步, 结合$ \mu^\lambda $的定义式(2.17) 的第二个等号即可.

第三步  $ \omega^\lambda=0 $ a.e. $ {\bf x}\in\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}=\mu^\lambda\} $.

注意到在弱可微的意义下成立

(2.21) $ \begin{equation} -\Delta({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1})=\omega^\lambda\quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in B_{R_{0}}, \end{equation} $

所以根据Sobolev函数的性质知

(2.22) $ \begin{equation} \omega^\lambda=0\quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in\{{\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}=\mu^\lambda\}. \end{equation} $

因此(2.18)式成立.证毕.

本小节仍用$ \omega^\lambda $表示变分问题(2.3)的解, 注意到$ \omega^\lambda $不仅依赖于$ \lambda $还依赖于$ R_{0} $. 记$ \psi^\lambda={\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}-\mu^\lambda $, 其中$ \mu^\lambda $根据(2.17) 式来定义. 定义涡核能量

(2.23) $ \begin{equation} {\cal T}(\omega^\lambda)=\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\omega^\lambda\psi^\lambda {\rm d}{\bf x}. \end{equation} $

(2.23)式的上界估计对于$ \omega^\lambda $支集的直径估计至关重要. 由于技术上的原因, 需要调节参数$ R_{0} $充分小使得

(2.24) $ \begin{equation} \psi^\lambda({\bf x})\le 0, \quad\forall {\bf x}\in\partial B_{\overline R}. \end{equation} $

引理2.3  存在充分小的$ R_{0}>0 $使得

(2.25) $ \begin{equation} \psi^\lambda={\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}-\mu^\lambda\le 0, \quad\forall {\bf x}\in\partial B_{\overline R}. \end{equation} $

证  根据$ \mu^\lambda $的定义知

(2.26) $ \begin{equation} \mu^\lambda=\inf\limits_{\omega^\lambda>0}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1})\ge\inf\limits_{B_{R_{0}}}({\cal K}\omega^\lambda-Wx_{1}). \end{equation} $

对任意的$ {\bf x}\in B_{R_{0}} $, 我们有

(2.27) $ \begin{eqnarray} {\cal K}\omega^\lambda({\bf x})-Wx_{1}&=&\frac{1}{2\pi}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}+\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}-Wx_{1}\\ &\ge&\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{2R_{0}}-C_{1}, \end{eqnarray} $

其中$ C_{1} $不依赖于$ \lambda $与$ R_{0} $. 且有

(2.28) $ \begin{equation} \mu^\lambda\ge\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{2R_{0}}-C_{1}. \end{equation} $

对任意的$ {\bf x}\in \partial B_{\overline R} $, 我们有

(2.29) $ \begin{eqnarray} k\omega^\lambda({\bf x})-Wx_{1}\le\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\overline R-R_{0}}+C_{2} \le\frac{1}{2\pi}\log\frac{2}{\overline R}+C_{2}\qquad(R_{0}<\frac{\overline R}{2}), \end{eqnarray} $

其中$ C_{2} $不依赖于$ \lambda $与$ R_{0} $. 因此可取定$ R_{0} $充分小使得

(2.30) $ \begin{equation} \frac{1}{2\pi}\log\frac{2}{\overline R}+C_{2}\le\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{2R_{0}}-C_{1}. \end{equation} $

因此成立

(2.31) $ \begin{equation} \psi^\lambda({\bf x})\le 0, \quad\forall {\bf x}\in\partial B_{\overline R}. \end{equation} $

引理2.3得证.

从现在起, 我们固定引理2.3中的$ R_{0} $. 下面, 我们来估计涡核能量的上界.

引理2.4 $ {\cal T}(\omega^\lambda)\le C $, 其中$ C $不依赖于$ \lambda $.

证  记$ A_{\lambda}=\{\psi^\lambda>0\} $, 显然有$ \left|A_{\lambda}\right|=1/\lambda $. 根据$ \omega^\lambda $的显式表示以及Sobolev嵌入$ W^{1, 1}\hookrightarrow L^2 $有

(2.32) $ \begin{eqnarray} {\cal T}(\omega^\lambda)&=&\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\omega^\lambda\psi^\lambda {\rm d}{\bf x} =\frac{\lambda}{2}\int_{A_{\lambda}}\psi^\lambda_{+}{\rm d}{\bf x}\\ &\le&\frac{\lambda^\frac{1}{2}}{2}\bigg(\int_{B_{R_{0}}}(\psi^\lambda_{+})^2{\rm d}{\bf x}\bigg)^\frac{1}{2} \le\frac{C\lambda^\frac{1}{2}}{2}\bigg(\int_{B_{R_{0}}}\psi^\lambda_{+}{\rm d}{\bf x}+\int_{B_{R_{0}}}\left|\nabla\psi^\lambda_{+}\right|{\rm d}{\bf x}\bigg)\\ &=&C\lambda^{-\frac{1}{2}}{\cal T}(\omega^\lambda)+\frac{C\lambda^\frac{1}{2}}{2}\int_{B_{R_{0}}}\left|\nabla\psi^\lambda_{+}\right|{\rm d}{\bf x}\\ &\le& C\lambda^{-\frac{1}{2}}{\cal T}(\omega^\lambda)+\frac{C}{2}\bigg(\int_{B_{R_{0}}}\left|\nabla\psi^\lambda_{+}\right|^2{\rm d}{\bf x}\bigg)^\frac{1}{2}, \end{eqnarray} $

其中$ C $是与$ \lambda $无关的正常数, 并且下文中不同行中的常数$ C $可以不同. 当$ \lambda $充分大时有$ C\lambda^{-\frac{1}{2}}<1/2 $. 将上式不等式右端第一项吸收即得

(2.33) $ \begin{equation} {\cal T}(\omega^\lambda)\le C\bigg(\int_{B_{R_{0}}}\left|\nabla\psi^\lambda_{+}\right|^2{\rm d}{\bf x}\bigg)^\frac{1}{2}. \end{equation} $

下面来估计不等式的右端, 由引理2.3以及分部积分有

(2.34) $ \begin{eqnarray} \int_{B_{R_{0}}}\left|\nabla\psi^\lambda_{+}\right|^2{\rm d}{\bf x}&\le&\int_{B_{\overline R}}\left|\nabla\psi^\lambda_{+}\right|^2{\rm d}{\bf x} =\int_{B_{\overline R}}\nabla\psi^\lambda_{+}\cdot\nabla\psi^\lambda {\rm d}{\bf x}\\ &=&-\int_{B_{\overline R}}\psi^\lambda_{+}\Delta\psi^\lambda {\rm d}{\bf x} =\int_{B_{\overline R}}\psi^\lambda_{+}\omega^\lambda {\rm d}{\bf x}\\ &=&\int_{B_{R_{0}}}\psi^\lambda\omega^\lambda {\rm d}{\bf x} =2{\cal T}(\omega^\lambda). \end{eqnarray} $

结合(2.32)–(2.34) 式就得到

(2.35) $ \begin{equation} {\cal T}(\omega^\lambda)\le C. \end{equation} $

引理2.4得证.

为了得到$ \omega^\lambda $的支集直径估计, 还需要得到涡能量的下界估计. 由于$ \omega^\lambda $是能量极大元, 因此可以通过选取适当的检验函数得到能量的下界估计.

引理2.5  $ E(\omega^\lambda)\ge\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}-C $, 其中正常数$ C $不依赖于$ \lambda $.

证  记$ \omega_{\epsilon}=\lambda I_{B_{\epsilon}(X^*)} $, 则$ \lambda $充分大时有$ \omega_{\epsilon}\in\Lambda^\lambda $. 由于$ \omega^\lambda $是极大元, 因此有

(2.36) $ \begin{eqnarray} E(\omega^\lambda)&\ge &E(\omega_\epsilon) =\frac{1}{4\pi}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega_\epsilon({\bf x})\omega_\epsilon({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y} \\ &&+\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\omega_\epsilon({\bf x})\omega_\epsilon({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega_\epsilon {\rm d}{\bf x}\\ &=&\frac{\lambda^2}{4\pi}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}{\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}+\frac{\lambda^2}{2}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}T({\bf x}, {\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &&-W\lambda\int_{B_{\epsilon}(X^*)}x_{1}{\rm d}{\bf x}\\ &\ge&\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{2\epsilon}+\frac{1}{2\left|B_\epsilon(X^*)\right|^2}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}T({\bf x}, {\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-\frac{W}{\left|B_\epsilon(X^*)\right|}\int_{B_{\epsilon}(X^*)}x_{1}{\rm d}{\bf x}\\ &=&\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{2\epsilon}+\frac{1}{2}T(X^*, X^*)-Wd^*+o(1)\\ &\ge&\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}-C. \end{eqnarray} $

引理2.5得证.

有了涡核能量的上界估计以及涡能量的下方估计就可以给支集的直径估计. 这里使用的证明思想来源于Turkington在文献[1, 定理3.3]的证明.

引理2.6 存在$ R>1 $ (不依赖于$ \lambda $)使得

(2.37) $ \begin{equation} {\rm diam(supp}\;\omega^\lambda)\le R(\lambda\pi)^{-\frac{1}{2}}. \end{equation} $

证  根据$ \omega^\lambda $的显式表达, 显然有下面的等式

(2.38) $ \begin{equation} \mu^\lambda=2[E(\omega^\lambda)-T(\omega^\lambda)]+W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega^\lambda {\rm d}{\bf x}. \end{equation} $

结合引理2.4和引理2.5可得

(2.39) $ \begin{equation} \mu^\lambda\ge\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\epsilon}-C. \end{equation} $

对任意$ {\bf x}\in {\rm supp}\, \omega^\lambda $, 由$ \omega^\lambda $的显式表达可知

(2.40) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\epsilon}-C&\le&\mu^\lambda \le k\omega^\lambda({\bf x})-Wx_{1}\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}+\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}-Wx_{1}\\ &\le&\frac{1}{2\pi}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}+C_{1}. \end{eqnarray} $

对任意$ R>1 $, 我们有

(2.41) $ \begin{eqnarray} -2\pi C&\le&\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}\\ &=&\int_{B_{R_{0}}\setminus B_{R\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}+\int_{B_{R\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}. \end{eqnarray} $

另一方面

(2.42) $ \begin{eqnarray} \int_{B_{R\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda {\rm d}{\bf y} &=&\int_{B_{R\epsilon}({\bf x})\setminus B_{\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda {\rm d}{\bf y}+\int_{B_{\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda {\rm d}{\bf y}\\ &\le&\int_{B_{\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda {\rm d}{\bf y}\le\lambda\int_{B_{\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}{\rm d}{\bf y}\\ &=&\lambda\int_{B_{\epsilon}(0)}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf y}\right|}{\rm d}{\bf y}\\ &=&\frac{1}{2}. \end{eqnarray} $

从而有

(2.43) $ \begin{equation} -2\pi C-\frac{1}{2}\le\int_{B_{R_{0}}\setminus B_{R\epsilon}({\bf x})}\log\frac{\epsilon}{\left|{\bf x}-{\bf y} \right|}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}\le\log\frac{1}{R}\int_{B_{R_{0}}\setminus B_{R\epsilon}({\bf x})} \omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}. \end{equation} $

等价地, 我们有

(2.44) $ \begin{equation} \int_{B_{R_{0}}\setminus B_{R\epsilon}({\bf x})}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}\le(2\pi C+\frac{1}{2})(\log R)^{-1}. \end{equation} $

固定一个$ R $充分大使得

(2.45) $ \begin{equation} (2\pi C+\frac{1}{2})(\log R)^{-1}<\frac{1}{2}, \end{equation} $

从而有

(2.46) $ \begin{equation} \int_{B_{R\epsilon}({\bf x})}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}=1-\int_{B_{R_{0}}\setminus B_{R\epsilon}({\bf x})}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}>\frac{1}{2}. \end{equation} $

下面证明diam(supp $ \omega^\lambda)\le 2R\epsilon $.如果结论不成立则存在$ {\bf x}_{1}, {\bf x}_{2}\in {\rm supp}\; \omega^\lambda $使得$ B_{R\epsilon}({\bf x}_{1})\cap B_{R\epsilon}({\bf x}_{2})=\varnothing $, 则有

(2.47) $ \begin{equation} \int_{B_{R_{0}}}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}\ge\int_{B_{R\epsilon}({\bf x}_{1})}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}+\int_{B_{R\epsilon}({\bf x}_{2})}\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}>1. \end{equation} $

这与$ \omega^\lambda\in\Lambda^\lambda $矛盾, 因此结论成立.

由于$ \omega^\lambda $是一个特征函数, 因此要研究$ \omega^\lambda $的渐近行为本质上是研究其支集的渐近行为. 根据2.4小节的引理2.6可知支集的直径会随着$ \lambda $趋于无穷而趋于零. 这说明其支集可能会收缩到一个点. 为了研究这种点所在的位置, 定义涡的中心

(2.48) $ \begin{equation} X_\lambda=\int_{B_{R_{0}}}{\bf x}\omega^\lambda {\rm d}{\bf x}. \end{equation} $

显然$ \{X_\lambda\} $是$ \mathbb{R} ^2 $中的有界集, 从现在起取定一个子列$ \lambda=\lambda_n\to\infty $使得

(2.49) $ \begin{equation} X_\lambda\to X_\infty\in\overline B_{R_{0}}. \end{equation} $

令

(2.50) $ \begin{equation} H(x)=\frac{1}{2}T({\bf x}, {\bf x})-Wx_{1} \end{equation} $

为相应的Kirchhoff-Routh函数. 下面, 先研究$ H $最大值点的位置.

引理2.7  $ H $在$ B_{R_{0}} $中所有的最大值点为$ (a^*, h) $, $ -R_{0}<h<R_{0} $.

证  由$ H $的定义

(2.51) $ \begin{eqnarray} H({\bf x})&=&\frac{1}{2}T({\bf x}, {\bf x})-Wx_{1}\\ &=&\frac{1}{8\pi}\sum\limits_{m\neq 0}\log(1+\frac{4x_1^2}{m^2l^2})+\frac{1}{8\pi}\log4x_1^2-Wx_1=f(x_1). \end{eqnarray} $

直接计算$ f $的导数得

(2.52) $ \begin{eqnarray} f'(x_1)&=&\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{m\neq 0}\frac{2x_1}{m^2l^2+4x_1^2}+\frac{1}{4\pi x_1}-W\\ &=&\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{m\in Z}\frac{2x_1}{m^2l^2+4x_1^2}-W\\ &=&\frac{1}{2l}\coth(\frac{2\pi x_1}{l})-W. \end{eqnarray} $

由$ a^* $的定义可知$ f'(a^*)=0 $. 又因为$ f' $是单调递减的, 所以$ a^* $是$ f $在$ (a^*-R_{0}, a^*+R_{0}) $的唯一最大值点. 进一步的可知$ H $的最大值点为$ (a^*, h) $, $ -R_{0}<h<R_{0} $.

由引理2.7可知$ X^* $是$ H $在$ B_{R_{0}} $中的最大值点.下面将通过比较能量以及$ \omega^\lambda $在$ x_2 $方向的偶对称性说明$ X_\lambda\to X^* $.

引理2.8  $ X_\infty=X^* $.

证  设$ \omega_\epsilon=\lambda I_{B_{\epsilon}(X^*)} $, 则$ \lambda $充分大时有$ \omega_\epsilon\in \Lambda^\lambda $. 比较能量

(2.53) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\omega^\lambda({\bf x})\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega^\lambda({\bf x}){\rm d}{\bf x}\\ &=&E(\omega^\lambda)-\frac{1}{4\pi}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega^\lambda({\bf x})\omega^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &\ge & E(\omega_\epsilon)-\frac{1}{4\pi}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\omega_\epsilon({\bf x})\omega_\epsilon({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &=&\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\omega_\epsilon({\bf x})\omega_\epsilon ({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega_\epsilon({\bf x}){\rm d}{\bf x}, \end{eqnarray} $

其中的不等号使用了Riesz重排不等式^[10]. 结合$ \omega^\lambda $的渐近估计, 令$ n\to\infty $得到

(2.54) $ \begin{equation} H(X_\infty)\ge H(X^*). \end{equation} $

这说明$ X_\infty $也是$ H $的最大值点. 又根据

(2.55) $ \begin{equation} X_\lambda=\bigg(\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega^\lambda {\rm d}{\bf x}, \int_{B_{R_{0}}}x_{2}\omega^\lambda {\rm d}{\bf x}\bigg)= \bigg(\int_{B_{R_{0}}}x_{1}\omega^\lambda {\rm d}{\bf x}, 0\bigg), \end{equation} $

可知$ X_\infty $的第二个分量为0. 则由引理2.7必有$ X_\infty=X^* $. 证毕.

证  由引理2.1–2.8可见, 为了证明定理1.1还需证明当$ \lambda $充分大时, $ \omega^\lambda $是方程(1.22)的解以及按测度的意义有$ \omega^\lambda\to\delta(x-X^*) $两部分.

第一部分的证明: 由引理2.6和引理2.8知当$ \lambda $充分大时成立

(2.56) $ \begin{equation} {\rm dist(supp}\ \omega^\lambda, \partial B_{R_{0}})>0. \end{equation} $

特别地, 在$ \partial B_{R_{0}} $上有

(2.57) $ \begin{equation} \psi^\lambda\le 0. \end{equation} $

那么根据分部积分, 对任意的$ \phi\in C_0^\infty(\mathbb{R} ^2) $, 我们有

(2.58) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\mathbb{R} ^2}\omega^\lambda\nabla^\perp(k\omega^\lambda-Wx_{1})\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x}=\lambda\int_{A_\lambda}\nabla^\perp(k\omega^\lambda-Wx_{1})\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x}\\ &=&\lambda\int_{A_\lambda}\nabla^\perp(k\omega^\lambda-Wx_{1}-\mu^\lambda)\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x}=\lambda\int_{A_\lambda}\nabla^\perp\psi^\lambda\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x}\\ &=&\lambda\int_{B_{R_{0}}}\nabla^\perp\psi_+^\lambda\cdot\nabla\phi {\rm d}{\bf x} =\lambda\int_{B_{R_{0}}}\partial_{2}\psi_+^\lambda\partial_{1}\phi-\partial_{1}\psi_+^\lambda\partial_{2}\phi {\rm d}{\bf x}\\ &=&-\lambda\int_{B_{R_{0}}}\psi_+^\lambda\partial_{12}\phi {\rm d}{\bf x}+\lambda\int_{B_{R_{0}}}\psi_+^\lambda\partial_{12}\phi {\rm d}{\bf x}\qquad(\psi_+^\lambda({\bf x})=0, {\bf x}\in \partial B_{R_{0}})\\ &=&0. \end{eqnarray} $

因此$ \lambda $充分大时, $ \omega^\lambda $是方程(1.22) 的解.

第二部分的证明: 对任意的$ \phi\in C_0^\infty(\mathbb{R} ^2) $有

(2.59) $ \begin{eqnarray} I&=&\left|\int_{\mathbb{R} ^2}\omega^\lambda\phi {\rm d}{\bf x}-\phi(X^*)\right| =\left|\int_{\mathbb{R} ^2}\omega^\lambda(\phi-\phi(X^*) ){\rm d}{\bf x}\right|\\ &\le& \int_{\mathbb{R} ^2}\omega^\lambda\left|\phi-\phi(X^*)\right| {\rm d}{\bf x} =\lambda\int_{A_\lambda}\left|\phi-\phi(X^*)\right| {\rm d}{\bf x}. \end{eqnarray} $

注意到对任意的$ {\bf x}\in A_\lambda $

(2.60) $ \begin{eqnarray} \left|{\bf x}-X^*\right|&=&\left|{\bf x}-X_\lambda\right|+\left|X_\lambda-X^*\right|\\ &\le&{\rm diam(supp}\ \omega^\lambda)+\left|X_\lambda-X^*\right| \to 0\quad(\lambda\to\infty). \end{eqnarray} $

由$ \phi $的连续性容易验证当$ \lambda\to\infty $, 有$ I\to 0 $. 因此按测度的意义有

(2.61) $ \begin{equation} \omega^\lambda\to\delta({\bf x}-X^*). \end{equation} $

定理1.1得证.

在上一节中证明了$ \omega^\lambda $在测度的意义下收敛到一个Dirac测度, 但这个结果是比较粗糙的. 本节将给出更精确的渐近行为, 为此定义

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} &\xi^\lambda({\bf y})=\lambda^{-1}\omega^\lambda(X_\lambda+\epsilon {\bf y}), \\ &\zeta^\lambda({\bf y})=\pi\psi^\lambda(X_\lambda+\epsilon {\bf y}). \end{array} \right. \end{eqnarray} $

下面将考虑这些函数的渐近行为.为了研究$ \xi^\lambda $的渐近行为, 这里需要位势理论中的一个对称性引理.该引理说明了一类泛函的极大元必为球对称的. 根据Turkington在文献[1, 引理4.2], 容易得到下面的结论.

引理3.1  给定$ R>1 $, 容许类

(3.2) $ \begin{equation} K^*=\left\{\xi\in L^\infty(B_{R}(0)):0\le\xi\le 1, \int_{B_{R}(0)}\xi {\rm d}{\bf x}=\pi, \xi(x_1, -x_{2})=\xi(x_1, x_2)\right\}, \end{equation} $

以及泛函

(3.3) $ \begin{equation} F(\xi)=\frac{1}{4\pi}\int_{B_R(0)}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\xi({\bf x})\xi({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}. \end{equation} $

则函数$ I_{B_1(0)} $是$ F $在$ K^* $上满足$ \int_{B_R(0)}{\bf x} \quad \xi({\bf x}) {\rm d}{\bf x}=0 $的唯一最大元.

证  由$ \xi^\lambda $的定义知$ \Vert\xi^\lambda\Vert_\infty\le1 $, 因此$ \{\xi^\lambda\} $在$ L^\infty $中有界. 于是可以假定按$ L^\infty $中的弱$ * $拓扑有

(3.4) $ \begin{equation} \xi^\lambda\to\xi. \end{equation} $

又根据以下明显的结论

(3.5) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} 0\le\xi^\lambda\le 1, \\ \int_{B_R(0)}\xi^\lambda {\rm d}{\bf x}=\pi, \\ \xi^\lambda(x_1, -x_2)=\xi^\lambda(x_1, x_2), \end{array} \right. \end{eqnarray} $

以及类似引理2.1证明中的第一步到第三步的推理可知$ \xi\in K^* $. 下面证明$ \xi $是$ F $在$ K^* $上的最大元. 对任意的$ \overline{\xi}\in K^* $, 令

(3.6) $ \begin{equation} \overline{\omega^\lambda}({\bf x})=\left\{\begin{array}{ll} \lambda\overline{\xi}\left(\frac{{\bf x}-X_\lambda}{\epsilon}\right), &{\bf x}\in B_{R\epsilon}(X_\lambda), \\ 0, &{\bf x}\in B_{R_{0}}\setminus B_{R\epsilon}(X_\lambda). \end{array} \right. \end{equation} $

则显然有$ \overline{\omega^\lambda}\in\Lambda^\lambda $. 直接计算得

(3.7) $ \begin{eqnarray} E(\overline{\omega^\lambda})&=&\frac{1}{4\pi}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\overline{\omega^\lambda}({\bf x})\overline{\omega^\lambda}({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &&+\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\int_{B_{R_{0}}}T({\bf x}, {\bf y})\overline{\omega^\lambda}({\bf x})\overline{\omega^\lambda}({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}-W\int_{B_{R_{0}}}x_1\overline{\omega^\lambda}{\rm d}{\bf x}\\ &=&\frac{\lambda^2}{4\pi}\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\overline{\xi}(\frac{{\bf x}-X_\lambda}{\epsilon})\overline{\xi}(\frac{{\bf y}-X_\lambda}{\epsilon}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &&+\frac{\lambda^2}{2}\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}T({\bf x}, {\bf y})\overline{\xi}(\frac{{\bf x}-X_\lambda}{\epsilon})\overline{\xi}(\frac{{\bf y}-X_\lambda}{\epsilon}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &&-W\lambda\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}x_1\overline{\xi}(\frac{{\bf x}-X_\lambda}{\epsilon}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\frac{1}{4\pi^3}\int_{B_{R}(0)}\int_{B_{R}(0)}\log\frac{1}{\epsilon\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\overline{\xi}({\bf x})\overline{\xi}({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &&+\frac{1}{2\pi^2}\int_{B_{R}(0)}\int_{B_{R}(0)}T(X_\lambda+\epsilon {\bf x}, X_\lambda+\epsilon {\bf y})\overline{\xi}({\bf x})\overline{\xi}({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y}\\ &&-\frac{W}{\pi}\int_{B_{R}(0)}(\epsilon x_1+X_\lambda^1)\overline{\xi}({\bf x}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{\pi^2}F(\overline{\xi})+H(X^*)+o(1). \end{eqnarray} $

类似的计算可以得到

(3.8) $ \begin{equation} E(\omega^\lambda)=\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{\pi^2}F(\xi^\lambda)+H(X^*)+o(1). \end{equation} $

因为$ \omega^\lambda $是$ E $在$ \Lambda^\lambda $上的极大元, 所以根据$ E(\overline{\omega^\lambda})\le E(\omega^\lambda) $, 我们可得

(3.9) $ \begin{equation} F(\overline{\xi})\le F(\xi^\lambda)+o(1). \end{equation} $

令$ \lambda\to\infty $, 由$ F $的弱$ * $连续性得

(3.10) $ \begin{equation} F(\overline{\xi})\le F(\xi), \end{equation} $

这说明$ \xi $是$ F $在$ K^* $上的最大元. 另一方面

(3.11) $ \begin{eqnarray} \int_{B_{R}(0)}{\bf y} \quad \xi({\bf y}){\rm d}{\bf y}&=&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_{B_{R}(0)}{\bf y} \quad \xi^\lambda({\bf y}){\rm d}{\bf y}\\ &=&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\lambda\epsilon^3}\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}({\bf x}-X_\lambda)\omega^\lambda({\bf x}){\rm d}{\bf x}\\ &=&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\lambda\epsilon^3}(\int_{B_{R\epsilon}(X_\lambda)}{\bf x}\omega^\lambda({\bf x}){\rm d}{\bf x}-X_\lambda)\\ &=&0. \end{eqnarray} $

由引理3.1可知$ \xi=I_{B_{1}(0)} $. 证毕.

证  对任意的$ R'>R $下面证明按$ C^1(\overline{B_{R'}(0)}) $拓扑有

(3.12) $ \begin{equation} \zeta^\lambda\to\zeta^*, \end{equation} $

其中$ \zeta^* $按(1.32)式定义. 首先研究$ \zeta^\lambda $中的一部分, 令

(3.13) $ \begin{equation} V^\lambda({\bf y})=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R} ^2}\log\frac{1}{\left|{\bf y}-{\bf y}'\right|}\xi^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}'. \end{equation} $

由于按$ L^\infty $的弱$ * $拓扑有$ \xi^\lambda\to I_{B_{1}(0)} $, 因此有

(3.14) $ \begin{eqnarray} V^\lambda({\bf y})&=&\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R} ^2}\log\frac{1}{\left|{\bf y}-{\bf y}'\right|}\xi^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}'\\ &\to& \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R} ^2}\log\frac{1}{\left|{\bf y}-{\bf y}'\right|}I_{B_{1}(0)}{\rm d}{\bf y}' =\zeta^*({\bf y}). \end{eqnarray} $

另一方面由经典的位势理论知, 对任意的$ R''>R' $

(3.15) $ \begin{equation} -\Delta V^\lambda=\xi^\lambda, \quad {\rm a.e.}\quad {\bf x}\in B_{R''}(0). \end{equation} $

根据经典椭圆理论的$ L^p $内估计有

(3.16) $ \begin{equation} \Vert V^\lambda\Vert_{W^{2, p}(B_{R'}(0))}\le C\Vert \xi^\lambda\Vert_{L^p(B_{R''}(0))}\le C. \end{equation} $

由Sobolev嵌入$ W^{2, p}\hookrightarrow C^{1, \alpha} $得

(3.17) $ \begin{equation} \Vert V^\lambda\Vert_{C^{1, \alpha}(\overline{B_{R'}(0)})}\le C. \end{equation} $

根据Arzela-Ascoli定理, 可以假定按$ C^1(\overline{B_{R'}(0)}) $拓扑有

(3.18) $ \begin{equation} V^\lambda\to V^*. \end{equation} $

另一方面, 根据(3.24)式可知$ \zeta^*=V^* $. 从而得到按$ C^1(\overline{B_{R'}(0)}) $拓扑有

(3.19) $ \begin{equation} V^\lambda\to \zeta^*. \end{equation} $

注意到还有$ -\Delta\zeta^\lambda=\xi^\lambda $. 类似于上面的讨论可以假定按$ C^1(\overline{B_{R'}(0)}) $拓扑有

(3.20) $ \begin{equation} \zeta^\lambda\to \zeta_0, \end{equation} $

因此按$ C^1(\overline{B_{R'}(0)}) $拓扑有

(3.21) $ \begin{equation} V^\lambda-\zeta^\lambda\to \zeta^*-\zeta_0. \end{equation} $

下面证明$ \nabla(\zeta^*-\zeta_0)=0 $. 为此计算

(3.22) $ \begin{eqnarray} \zeta^\lambda({\bf y})&=&\pi\psi^\lambda(X_\lambda+\epsilon {\bf y})\\ &=&\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R} ^2}\log\frac{1}{\left|X_\lambda+\epsilon {\bf y}-{\bf y}'\right|}\omega^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}' +\pi\int_{\mathbb{R} ^2}T(X_\lambda+\epsilon {\bf y}, {\bf y}')\omega^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}'\\ &&-\pi W(X_\lambda^1+\epsilon y_1)-\pi\mu^\lambda\\ &=&\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R} ^2}\log\frac{1}{\epsilon\left|{\bf y}-{\bf y}'\right|}\xi^\lambda({\bf y}') {\rm d}{\bf y}' +\int_{\mathbb{R} ^2}T(X_\lambda+\epsilon {\bf y}, X_\lambda+\epsilon {\bf y}')\xi^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}'\\ &&-\pi W(X_\lambda^1+\epsilon y_1)-\pi\mu^\lambda\\ &=&\frac{1}{2}\log\frac{1}{\epsilon}+V^\lambda({\bf y})+\int_{\mathbb{R} ^2}T(X_\lambda+\epsilon {\bf y}, X_\lambda+\epsilon {\bf y}')\xi^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}'\\ &&-\pi W(X_\lambda^1+\epsilon y_1)-\pi\mu^\lambda. \end{eqnarray} $

结合(2.4), (2.38)和(2.39) 式容易得到

(3.23) $ \begin{equation} \mu^\lambda=\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+O(1). \end{equation} $

记$ D_\lambda=\{{\bf y}:X^\lambda+\epsilon {\bf y}\in B_{R_{0}}\} $, 那么对任意的$ {\bf y}\in D_\lambda $

(3.24) $ \begin{eqnarray} \left|V^\lambda({\bf y})-\zeta^\lambda({\bf y})\right| &\le&\pi\left|\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\epsilon}-\mu^\lambda\right|\\ &&+\int_{\mathbb{R} ^2}\left|T(X_\lambda+\epsilon {\bf y}, X_\lambda+ \epsilon {\bf y}')\right|\xi^\lambda({\bf y}'){\rm d}{\bf y}'+\pi W\left|X_\lambda^1+\epsilon y_1\right|\\ &\le& C, \end{eqnarray} $

其中常数$ C $与$ \lambda $无关. 因此有

(3.25) $ \begin{equation} \sup\limits_{{\bf y}\in D_\lambda}\left|V^\lambda({\bf y})-\zeta^\lambda({\bf y})\right|\le C. \end{equation} $

注意到$ V^\lambda-\zeta^\lambda $是调和函数, 因此根据调和函数的内部梯度估计得

(3.26) $ \begin{equation} \sup\limits_{B_{R'}(0)}\left|\nabla(V^\lambda-\zeta^\lambda)\right|\le\frac{2C}{{\rm dist}(B_{R'}(0), \partial D_\lambda)} \le C\epsilon\to 0. \end{equation} $

这说明$ \nabla(\zeta^*-\zeta_0)=0 $. 因此$ \zeta_0=\zeta^*+m $其中$ m $为常数.另一方面由控制收敛定理有

(3.27) $ \begin{eqnarray} \left|\{\zeta_0>0\}\right|=\int_{B_{R'}(0)}I_{\{\zeta_0>0\}}{\rm d}{\bf x} =\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_{B_{R'}(0)}I_{\{\zeta^\lambda>0\}}{\rm d}{\bf x} =\lim\limits_{\lambda\to\infty}\left|\{\zeta^\lambda>0\}\right| =\pi. \end{eqnarray} $

因此$ \left|\{\zeta^*+m>0\}\right|=\pi $. 根据$ \zeta^* $的定义(1.32)知必有$ m=0 $. 因此$ \zeta_0=\zeta^* $. 证毕.

有了前面涡度和流函数的渐近刻画, 就可以得到一些相关量的渐近展开.

推论3.1  当$ \lambda\to\infty $时成立以下的渐近展开

(3.28) $ \begin{eqnarray} &&E(\omega^\lambda)=\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{16\pi}+H(X^*)+o(1), \\ &&{\cal T}(\omega^\lambda)=\frac{1}{16\pi}+o(1), \\ &&\mu^\lambda=\frac{1}{2\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+T(X^*, X^*)-Wa^*+o(1). \end{eqnarray} $

证  根据类似(3.22)式的计算容易得到

(3.29) $ \begin{equation} E(\omega^\lambda)=\frac{1}{4\pi}\log\frac{1}{\epsilon}+\frac{1}{\pi^2}F(\xi)+H(X^*)+o(1). \end{equation} $

因此只需要计算

(3.30) $ \begin{eqnarray} F(\xi)&=&\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R} ^2}\int_{\mathbb{R} ^2}\log\frac{1}{\left|{\bf x}-{\bf y}\right|}\xi({\bf x})\xi({\bf y}){\rm d}{\bf x}{\rm d}{\bf y} =\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R} ^2}\zeta^*({\bf y})\xi({\bf y}){\rm d}{\bf y}\\ &=&\frac{1}{8}\int_{B_{1}(0)}(1-\left|{\bf y}\right|^2){\rm d}{\bf y} =\frac{\pi}{16}. \end{eqnarray} $

另一方面, 当$ \lambda $充分大时根据分部积分得到

(3.31) $ \begin{eqnarray} {\cal T}(\omega^\lambda)&=&\frac{1}{2}\int_{B_{R_{0}}}\omega^\lambda\psi^\lambda {\rm d}{\bf x} =\frac{1}{2}\int_{A_\lambda}\left|\nabla\psi^\lambda\right|^2{\rm d}{\bf x} =\frac{1}{2\pi}\int_{B_{R}(0)}\left|\nabla\zeta_+^\lambda\right|^2{\rm d}{\bf y}\\ &\to&\frac{1}{2\pi}\int_{B_{R}(0)}\left|\nabla\zeta_+^*\right|^2{\rm d}{\bf y} =\frac{1}{16\pi}. \end{eqnarray} $

最后由(2.38)式就得到$ \mu^\lambda $的渐近展开.证毕.