随着资本市场的发展和人口老龄化问题日益突出, 养老金问题已成为一个热点话题, 同时制定一个可以使收益达到最优的养老金计划也显得尤为重要. 传统上主要有两种养老金计划: 确定收益型($ DB $) 和确定缴费型($ DC $). $ DB $型养老金计划是收益提前确定, 缴费率随时调整, 基金管理者承担风险; $ DC $型养老金计划是缴费率提前确定, 收益与养老金的投资收益相关, 投资风险由受益人承担. 由于长寿风险的增加和人口结构的转变, 让基金管理者或参保人一方独自承担所有风险的方案越显不合理, 通过修改其基本结构来改变现有养老金计划很有必要. 因此, 有学者结合$ DB $型和$ DC $型养老金计划的特点, 提出混合养老金计划. 例如, 加拿大目标福利($ TBP $)计划和日本的风险分担计划. 越来越多的加拿大基金管理者选择目标福利计划和其他混合养老金来替代传统的$ DB $型和$ DC $型养老金计划. $ TBP $以固定缴费和目标福利水平为特征, 由不同世代的计划成员共同承担所有风险, 该计划促进了成员之间的风险转移, 有助于长期保持相对稳定的福利水平.

有关养老金计划随机控制的文献相当丰富. 从方法论角度来看, 有两种常见方法研究养老金计划的最优投资问题. 一种是鞅方法, Guan等^[1]研究了损失厌恶和风险价值约束下的$ DC $养老金计划的最优配置问题. Chen等^[2]研究了具有通货膨胀的$ DC $养老金计划在损失厌恶和最低性能约束下的资产配置问题. Wang等^[3]研究了损失厌恶下目标收益型养老金的最优投资和代际风险分担. He等^[4]研究了基于习惯缴费率的最优$ DB $型现收现付制养老金问题, 提出一个反映养老金系统中不稳定缴费风险与不连续风险的期望贴现成本函数. 另一种是随机动态规划方法, 本文也采用了这种方法. Gao^[5]将风险资产价格的驱动方程由几何布朗运动($ GBM $) 模型扩展到$ CEV $模型, 分别研究了$ CARA $和$ CRRA $两种效用函数下的最优投资策略. Li等^[6]研究了$ CEV $模型下具有违约风险和保费返还条款的$ DC $型养老金计划均衡投资策略问题. Wang等^[7]研究了目标收益型养老金的最优投资和代际风险分担, 其风险资产价格由几何布朗运动驱动; 进一步考虑同时调整缴费和福利的混合养老金计划^[8]. Wang等^[9]在文献[7]研究基础上考虑违约风险下的目标收益型养老金计划最优投资. 本文受文献[6, 9]启发, 考虑$ CEV $模型下具有违约风险和保费返还条款的目标收益型养老金计划投资问题.

在早期的养老金计划文献中, 一般假设决策者准确知道真实的概率测度. 事实上, 这一假设很难在现实中得到满足, 决策者往往无法准确知道金融模型的真实概率测度, 这意味着用于描述金融模型的任何特定概率测度都具有很大的不确定性. 因此, 有学者提出并研究了模型不确定性对养老金计划投资问题的影响. 例如, Wang等^[10]研究了随机利率和随机波动率的$ DC $养老金计划的模糊厌恶者的鲁棒最优投资问题. Zeng等^[11]将模糊厌恶和衍生投资引入$ DC $养老金计划管理问题. Wang等^[9]得到了违约风险下目标收益型养老金计划的鲁棒最优投资与收益支付调整策略. 虽然已有不少文献对养老金计划的鲁棒最优问题进行了研究, 但这些研究中的鲁棒情境并不能很好地描述现实世界的状态, 因为人们的模糊厌恶态度应该是多种多样的. 而一般的鲁棒效用, 它只允许极端模糊厌恶态度, 也很少有行为实验支持这种极端悲观模糊态度的决策者. Heath等^[12]的一系列实验表明, 当人们在一些感到自己有知识、有经验或有能力的情境下, 他们的反应可以规避模糊或寻求模糊. 鉴于对模糊性的复杂态度, 我们将使用一种更合适的模型, 称为$ \alpha $ -鲁棒模型^[13-16]. $ \alpha $ -鲁棒模型允许投资者具有不同程度的模糊厌恶, 许多经济学家也引入了这种厌恶并对其特征进行分析, 如Marinacci^[17], Ghirardato等^[18], Klibanoff等^[19].

Li等^[16]考虑了养老金计划的$ \alpha $ -鲁棒均值方差优化问题, 给出了$ \alpha $ -鲁棒最优投资策略. 本文受其启发, 在Wang等^[9]研究的基础上, 将目标收益养老金计划最优投资问题推广到$ \alpha $ -鲁棒框架, 并考虑保费返还条款. 本文的主要贡献如下: (ⅰ) 为了更好模拟风险资产价格变化, 本文考虑的风险资产由$ CEV $模型驱动, 而以往的目标收益养老金计划的风险资产都服从几何布朗运动. (ⅱ) 在目标收益养老金计划中考虑保费返还条款. 部分养老金参保成员可能在积累阶段发生死亡, 为保障参保成员权益, 在养老金计划中引入保费返还条款, 且研究的动态财富对象为所有参保人, 这不同于先前养老金保费返还的文献. (ⅲ) 考虑管理者不同程度的模糊厌恶, 将目标收益养老金计划的最优投资问题推广到$ \alpha $ -鲁棒框架.

考虑一种集体养老金计划, 其目标收益由发起人在初始时设定, 并随时间以一定的预定比率增长. 每一时刻向退休成员群体支付的实际收益受外生工资过程控制, 其随机来源与金融市场有关. 养老基金投资于三种资产: 无风险资产、股票和可违约债券. 计划受托人管理基金的资产组合, 并调整支付给退休人员的福利, 使其福利足够接近目标, 且不会向未来的参保人借太多的钱(或余留太多的钱). 在下面前部分中, 将描述金融市场模型和$ TBP $模型.

设$ (\Omega, {\cal F}, {\cal P}) $为一概率空间带有域流$ \{{\cal F}_t\}_{t\in[0, T]} $, 并且$ \{{\cal F}_t\} $满足通常条件. $ T $表示养老金投资期限, $ {\cal P} $是实际概率测度. 下面的过程均为该概率空间$ (\Omega, {\cal F}, {\cal P}) $上的随机过程.

1) 金融市场

假设金融市场由三种资产组成: 无风险资产、股票和可违约债券. 定义$ t $时刻无风险资产的价格为$ S_0(t) $, 满足下面微分方程

(2.1) $ \begin{equation} {\rm{d}}S_0(t)=r_0S_0(t){\rm{d}}t, \qquad t\geq0, \end{equation} $

这里$ r_0 $为无风险利率.

定义$ t $时刻风险资产(股票)的价格为$ S_t $, 由$ CEV $模型驱动

(2.2) $ \begin{equation} \frac{{\rm{d}}S_t}{S_t}=\mu{\rm{d}}t+\sigma S_t^\beta{\rm{d}}W_t, \end{equation} $

其中$ \mu $表示股票的预期瞬时收益率, 满足一般条件$ \mu>r_0 $. $ \sigma S_t^\beta $为瞬时波动率, $ \beta $是弹性参数并满足一般条件$ \beta\leq0 $. $ \{W_t:t\geq0\} $为标准布朗运动. 当$ \beta=0 $时, $ (2.2) $式退化为几何布朗运动模型; 当$ \beta<0 $时, 瞬时波动率随股票价格增加而递减, 并且可以产生一个左偏厚尾的分布.

为了研究可违约债券的价格过程, 参考Bielecki^[20], 定义如下违约过程.

定义2.1  令$ \tau $为$ (\Omega, {\cal F}, P) $上的非负随机变量, 表示发行债券公司的违约时间. 在随机时间$ \tau $发生离散跳跃的非递减右连续过程称为违约过程, 用$ Z(t):={\bf 1}_{\{\tau\leq t\}} $表示违约过程, 其中$ {\bf 1} $表示指示函数, 如果有跳跃则值为$ 1 $, 否则为$ 0 $. 因此, $ Z(t)=1 $对应违约后情况, $ Z(t)=0 $对应违约前情况.

假定在P测度下泊松点过程$ Z(t) $的强度为$ h^p $, $ h^p $表示违约值的到达率.

定义2.2  鞅违约过程: $ M^p(t):=Z(t)-\int_0^t(1-Z(v))h^p{\rm{d}}v $. $ M^p(t) $的随机微分方程为$ {\rm{d}}M^p(t)={\rm{d}}Z(t)-(1-Z(t))h^p{\rm{d}}t $.

根据Bielecki^[20], 得到$ P $测度下的违约债券的价格过程

(2.3) $ \begin{equation} {\rm{d}}P(t, T_1)=P(t-, T_1)[r{\rm{d}}t+(1-Z(t))\delta(1-\Delta){\rm{d}}t-(1-Z(t-))\zeta{\rm{d}}M^p(t)], \end{equation} $

这里$ T_1 $表示违约债券的到期日, 假定$ T<T_1 $. $ 1/\Delta $表示违约风险溢价, $ \zeta\in[0, 1] $表示损失率, $ 1-\zeta $表示恢复率. 违约风险溢价$ 1/\Delta:=h^{p^*}/h^p $, 其中$ h^{p^*} $表示风险中性测度$ P^* $下违约值的到达率, 由Duffie^[21]知: 风险中性测度$ P^* $下的违约概率高于实际概率测度$ P $下的违约概率, 即$ 1/\Delta\geq1 $. $ \delta=h^{p^*}\zeta $表示风险中性信用利差.

2) 成员和计划条款

该养老金计划由活跃成员和退休成员构成. 活跃成员向养老基金缴费, 退休成员从养老基金获取收益. 假定所有成员在年龄$ a $时加入$ TBP $计划, 在年龄$ r $时退休, 生存函数$ s(x), (a\leq x\leq \omega) $且有$ s(a)=1 $. 为了保障积累阶段发生死亡的活跃成员的权益, 将保费返还条款考虑到模型中, 因此, 积累阶段发生死亡的参保人可以撤回保费.

使用Bowers^[22]的记号, 用$ n(t) $表示$ t $时刻年龄为$ a $的新入者密度, 则$ t $时刻年龄为$ x $的队列密度可表示为

$ n(t-(x-a))s(x), \qquad x>a, {\nonumber} $

其中$ t-(x-a) $指该队列加入计划的时刻. $ t $时刻活跃成员的总人数可表示为

$ {\cal A}(t)=\int_a^rn(t-(x-a))s(x){\rm{d}}x.{\nonumber} $

$ t $时刻退休成员的总人数可表示为

$ {\cal R}(t)=\int_r^\omega n(t-(x-a))s(x){\rm{d}}x.{\nonumber} $

我们用$ L(t) $定义$ t $时刻退休人员的年工资率, 它以指数速率$ \xi(\xi\in {{\Bbb R}} ^+) $增长, 满足等式

$ L(t)=L(0)e^{\xi t}, \qquad t\geq 0.{\nonumber} $

该养老金计划从退休年龄$ r $开始向退休成员连续支付退休金. 假设养老金的初始年支付率是退休时薪金率的一个比例, 对于$ t $时刻退休成员年工资率为$ L(t) $, 养老金初始支付率为$ f(t)L(t) $, 这里的$ f(t) $是一个控制变量, 由计划受托人根据新出现的经验动态决定. 函数$ f(t) $可被视为$ t $时刻新退休人员的瞬时替代率.

为确定$ t $时刻年龄为$ x $的退休人员的养老金年支付率, 我们用$ \tilde{L}(x, t) $来表示$ t $时刻$ x(x\geq r) $岁的退休人员在退休时刻的工资, 则

$ \tilde{L}(x, t)=L(t)e^{-\xi(x-r)}, \qquad 0\leq t\leq T, x\geq r.{\nonumber} $

假设该计划对养老金的生活成本进行调整的年固定比例为$ \eta $, 则对于一个$ t $时刻$ x $岁的退休人员(提前$ x $ -$ r $年退休)来说, 假设有两个调整因子作用于工资率$ \tilde{L}(x, t) $: $ e^{\eta(x-r)} $表示生活成本调整因子; $ f(t) $表示$ t $时刻适用于所有退休人员的控制变量. $ t $时刻年龄为$ x $的退休人员的养老金年支付率用$ B(x, t) $表示, 则

$ B(x, t)=f(t)\tilde{L}(x, t)e^{\eta(x-r)}=f(t)L(t)e^{-(\xi-\eta)(x-r)}, \qquad x\geq r.{\nonumber} $

这个过程包括生活成本的自动增加和因新兴经验驱动的负担能力的调整.

假设该计划在0时刻有一个预先设定的退休福利总额的目标$ B^* $, 表示该计划给当前时刻退休成员群体提供的初始支付率. 福利目标以$ \beta_0 $比率呈指数增长, 则$ t(>0) $时刻总目标福利为$ B^*e^{\beta_0 t} $.

$ t $时刻所有退休成员的实际总支付率$ B(t) $为

(2.4) $ \begin{equation} B(t)=\int_r^\omega n(t-x+a)s(x)B(x, t){\rm{d}}x=I(t)f(t)L(t), \qquad 0\leq t\leq T, \end{equation} $

其中$ I(t)=\int_r^\omega n(t-x+a)s(x)e^{-(\xi-\eta)(x-r)}{\rm{d}}x $.

记0时刻每位活跃成员的瞬时缴费率为$ c_0 $, 假设缴费随时间以$ \xi $(同工资增长率)比率呈指数增长. 因此, $ t $时刻所有活跃成员的总缴费率为

(2.5) $ \begin{equation} C(t)=\int_a^r n(t-x+a)s(x)c_0e^{\xi t}{\rm{d}}x=C_1(t)\cdot e^{\xi t}, \qquad 0\leq t\leq T, \end{equation} $

其中$ C_1(t)=c_0\int_a^r n(t-x+a)s(x){\rm{d}}x=c_0{\cal A}(t) $. 当计划成员固定, $ n(t-x+a) $为常数时, $ C_1(t) $为正常数, 此时所有活跃成员的总缴费率与每位成员缴费率的指数增长一致.

3) 养老金财富过程

假设计划受托人将养老金投资于无风险资产、股票和可违约债券. 记$ x_0 $为初始养老金财富, $ \pi_1(t) $为$ t $时刻股票投资额, $ \pi_2(t) $为$ t $时刻违约债券投资额, $ X(t) $为$ t $时刻养老金财富.

类似文献[6, 9, 16], 养老金财富过程$ X(t) $满足如下的微分方程

(2.6) $ \begin{equation} \label{eq6} \left\{\begin{array}{ll} { } {\rm{d}}X(t)=X(t) \bigg[(1-\frac{\pi_1(t)}{X(t)}-\frac{\pi_2(t)}{X(t)})\frac{{\rm{d}}S_0(t)}{S_0(t)}+\frac{\pi_1(t)}{X(t)}\frac{{\rm{d}}S(t)}{S(t)}+\frac{\pi_2(t)}{X(t)}\frac{{\rm{d}}P(t)}{P(t-)}\bigg] {\nonumber}\\ \qquad\quad\; \; +(C(t)-B(t)-bC(t)\mu(a+t)){\rm{d}}t, \\ X(0)=x_0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ C(t) $表示$ t $时刻保费总累积额, $ B(t) $表示$ t $时刻总福利支出. 引入参数$ b $, $ b=1 $表示含有保费返还条款, $ b=0 $表示无保费返还条款.

本文考虑Makeham模型的死亡力函数形式, 即死亡函数$ \mu(t) $的形式设定为

$ \mu(x)=A+D\theta^x, \qquad x\geq0, \, D>0, \, A\geq-D, \, \theta>1.{\nonumber} $

由(2.1)–(2.5)式, 我们可将方程$ (2.6) $改写为

(2.7) $ \begin{eqnarray} {\rm{d}}X(t)&=&[r_0X(t)+(\mu-r_0)\pi_1(t)+\pi_2(t)(1-Z(t))\delta+C_1(t)e^{\xi t}-I(t)f(t)L(t){}\\ &&-b(A+D\theta^{a+t})C_1(t)e^{\xi t}]{\rm{d}}t+\pi_1(t)\sigma S_t^\beta{\rm{d}}W_t-\pi_2(t)(1-Z(t-))\zeta{\rm{d}}Z(t). \end{eqnarray} $

$ TBP $主要考虑养老金计划的代际风险和福利风险, 其中代际风险由实际终端财富$ X(t) $与目标之间的偏差来度量, 福利风险由实际总福利$ B(t) $与目标福利$ B^*e^{\beta_0 t} $的偏差来度量. 计划受托人必须寻找一个最优的资产配置和福利支付策略, 最小化代际风险和福利风险. 理想情况下, 养老基金能够以稳定而可持续的方式, 向每位退休成员分配福利, 使其尽可能接近目标或超过相应目标值. 假定$ T $时刻的养老金财富目标值是初始基金值随无风险利率呈指数增长, 即$ x_0e^{r_0T} $. 文献Wang等^[9]采用指数函数的形式来描述实际终端财富和实际福利支出与相应目标值的偏离, 其目标函数为

$ \sup\limits_{\pi}E^p\bigg[-\frac{\lambda}{m}e^{-m(X(T)-x_0e^{r_0T})}\cdot e^{-r_0T}-\int_0^T\frac{1}{m}e^{-m(B(v)-B^*e^{\beta_0v})}\cdot e^{-r_0v}{\rm{d}}v\bigg].{\nonumber} $

为引入金融风险的模糊性, 下面定义一组与$ P $测度等价的概率测度

$ {\cal Q}:=\{Q^\phi|Q^\phi\sim P\}.{\nonumber} $

在可替代测度$ Q^\phi $与参考测度$ P $下的布朗运动和泊松过程存在差异. 对每个$ Q^\phi\in{\cal Q} $, 存在一个概率扭曲过程$ \phi:=(\phi_W(t), \phi_N(t))_{t\in[0, T]} $, 使得

$ \frac{{\rm{d}}Q^\phi}{{\rm{d}}P}\Big|_{{\cal F}_t}:=\Lambda^\phi(t), {\nonumber} $

其中

$ \begin{eqnarray*} \Lambda^\phi(t):&=&\exp\bigg\{-\frac{1}{2}\int_0^t(\phi_W(v))^2{\rm{d}}v-\int_0^t\phi_W(v){\rm{d}}W(v)\\ &&+\int_0^t\ln\phi_N(v){\rm{d}}Z(v)+h^p\int_0^t(1-\phi_N(v))(1-Z(v)){\rm{d}}v\bigg\}, {\nonumber} \end{eqnarray*} $

且$ \phi:=(\phi_W(t), \phi_N(t))_{t\in[0, T]} $满足以下条件:

(ⅰ) 对于每个$ t\in[0, T], \, \phi_W(t) $和$ \phi_N(t) $都$ {\cal F}_t $ -可测;

(ⅱ) $ \int_0^T[(\phi_W(t))^2+(\phi_N(t))^2]{\rm{d}}t<\infty $;

(ⅲ) 对$ a.s.(t, \omega)\in[0, T]\times\Omega, \, \phi_N(t)=\phi_N(t, \omega)>0 $.

因为$ \phi:=(\phi_W(t), \phi_N(t)) $满足Novikov条件, 则$ \Lambda^\phi(t) $为一个$ P $ -鞅. $ \Theta $表示所有这些扭曲过程的集合.

根据Girsanov定理, 在可替代测度$ Q^\phi $下, 对每个$ \phi\in\Theta $, 我们有

$ {\rm{d}}W^\phi(t)={\rm{d}}W(t)+\phi_W(t){\rm{d}}t, {\nonumber} $

且泊松过程$ Z(t) $在测度$ Q^\phi $下转换为强度为$ h^p\phi_N(t) $的$ Z^\phi(t) $过程.

因此, 我们得到$ Q^\phi $测度下的动态财富过程

(3.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} {\rm{d}}X(t)=[r_0X(t)+(\mu-r_0)\pi_1(t)+\pi_2(t)(1-Z(t))\delta+C_1(t)e^{\xi t}-I(t)f(t)L(t)\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -b(A+D\theta^{a+t})C_1(t)e^{\xi t}-\pi_1(t)\sigma S_t^\beta\phi_W(t)]{\rm{d}}t\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; +\pi_1(t)\sigma S_t^\beta{\rm{d}}W^\phi(t)-\pi_2(t)(1-Z(t-))\zeta{\rm{d}}Z^\phi(t), \\ X(0)=x_0. \end{array}\right. \end{equation} $

由Hurwitz的$ \alpha $ -悲观规则和$ \alpha $ -最大最小期望效用^{[17, 19]}, 给出$ \alpha $ -鲁棒的回报函数

(3.2) $ \begin{eqnarray} J_\alpha^{\pi}(t, x, s, z):&=&\alpha\inf\limits_{\phi\in\Theta}\underline{J}^{\pi, \phi}(t, x, s, z)+\hat{\alpha}\sup\limits_{\phi\in\Theta}\overline{J}^{\pi, \phi}(t, x, s, z) {}\\ &=&\alpha\underline{J}^{\pi, \underline{\phi}^{\pi}}(t, x, s, z)+\hat{\alpha}\overline{J}^{\pi, \overline{\phi}^{\pi}}(t, x, s, z), \end{eqnarray} $

其中$ \alpha\in[0, 1], \hat{\alpha}=1-\alpha $,

(3.3) $ \begin{eqnarray} \underline{J}^{\pi, \phi}(t, x, s, z)&=&E_{t, x, s, z}^\phi\bigg[-\frac{\lambda}{m}e^{-m(X(T)-x_0e^{r_0T})}\cdot e^{-r_0T} {} \\ &&-\int_t^T\frac{1}{m}e^{-m(B(v)-B^*e^{\beta_0v})}\cdot e^{-r_0v}{\rm{d}}v+\int_t^Tg_\beta(\phi(v)){\rm{d}}v\bigg], \end{eqnarray} $

(3.4) $ \begin{eqnarray} \overline{J}^{\pi, \phi}(t, x, s, z)&=&E_{t, x, s, z}^\phi\bigg[-\frac{\lambda}{m}e^{-m(X(T)-x_0e^{r_0T})}\cdot e^{-r_0T} {} \\ &&-\int_t^T\frac{1}{m}e^{-m(B(v)-B^*e^{\beta_0v})}\cdot e^{-r_0v}{\rm{d}}v-\int_t^Tg_\beta(\phi(v)){\rm{d}}v\bigg], \end{eqnarray} $

其中$ \lambda $表示$ X(T) $与$ x_0e^{r_0T} $、$ B(v) $与$ B^*e^{\beta_0v} $之间超额或偏差的权重系数. 惩罚函数

$ g_\beta(\phi)=\frac{(\phi_W(v))^2}{2\beta_W}+\frac{h^p(\phi_N(v)\ln\phi_N(v)-\phi_N(v)+1)(1-z)}{\beta_N}. $

假设$ \underline{\phi}^\pi $和$ \overline{\phi}^\pi $分别为实现$ (3.2) $式下确界和上确界的概率扭曲函数. 在$ \alpha $ -鲁棒指数效用准则$ (3.2) $中, 若偏离参考测度将会受到$ \int_t^Tg_\beta(\phi(v)){\rm{d}}v $项的惩罚; $ \beta_W, \beta_N $均为正, 反映了关于参考测度的模糊性, 分别代表计划受托人对股票价格扩散风险和对违约债券跳跃风险的模糊水平. $ \beta_W, \beta_N $越大, 意味着模糊水平越高, 即受托人越不相信参考测度, 则偏离参考测度受到的惩罚就越小. 当$ \beta_W\rightarrow \infty, \beta_N\rightarrow \infty $时, 计划受托人没有真实模型的信息, 对参考模型失去所有信心, 这时惩罚项消失, 意味着受托人对金融风险是极端模糊的. 当$ \beta_W\rightarrow0, \beta_N\rightarrow0 $时, $ { }\inf\limits_{\phi\in\Theta}\underline{J}^{\pi, \phi}(t, x, s, z) $与$ { }\sup\limits_{\phi\in\Theta}\overline{J}^{\pi, \phi}(t, x, s, z) $中的$ \phi_W $=0, $ \phi_N $=1; 计划受托人完全相信真正模型就是$ P $测度下的参考模型, 这种情形退化为没有模糊性的经典预期效用最大化问题.

这里$ \alpha $区分不同程度的模糊厌恶. $ \alpha $越大, 意味着模糊厌恶态度越强. 特别地, $ \alpha=\frac{1}{2} $代表模糊中性态度, $ \alpha=1 $代表极端模糊厌恶态度.

本文的目标函数定义如下

(3.5) $ \begin{equation} V(t, x, s, z):=\sup\limits_{\pi\in\Pi}J_\alpha^\pi(t, x, s, z), \end{equation} $

其中$ J_\alpha^\pi(t, x, s, z) $由$ (3.2) $式给出, $ z $表示违约状态, $ z=0 $和$ z=1 $分别对应违约前和违约后.

为了便于分析, 我们假设$ \beta_W(t) $与$ \beta_N(t) $分别为

$ \beta_W(t, x, s, z)=-\frac{\rho_1}{mV(t, x, s, z)}, \qquad\beta_N(t, x, s, z)=-\frac{\rho_2}{mV(t, x, s, z)}, $

其中$ \rho_1, \rho_2 $均为正数且分别表示计划受托人关于扩散风险和跳跃风险的模糊系数.

定义3.1 (容许策略)  对于任何固定的$ t\in[0, T] $, 称$ \pi=\{(\pi_1(\mu), \pi_2(\mu), f(\mu))\}_{\mu\in[t, T]} $为容许策略, 若满足以下条件:

$ ({\rm{i}}) $$ \pi $是$ {\cal F}_t $ -可测的;

$ ({\rm{ii}}) $$ \forall\;\mu\in[t, T], f(\mu)\geq 0 $并且

$ E_{t, x, s, z}^{\underline{\phi}^\pi}\bigg[\int_t^T[\pi_1(\mu)^2+\pi_2(\mu)^2]{\rm{d}}\mu\bigg]<+\infty, {\quad} E_{t, x, s, z}^{\overline{\phi}^\pi}\bigg[\int_t^T[\pi_1(\mu)^2 +\pi_2(\mu)^2]{\rm{d}}\mu\bigg]<+\infty; $

$ ({\rm{iii}}) $$ \forall(t, x, s, z)\in[0, T]\times {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} ^+\times\{0, 1\} $, 有$ (3.1) $式的唯一解.

$ \Pi $表示所有可容许策略的集合.

下面我们出示验证定理, 可以利用经典随机控制理论给出证明, 其过程省略.

定理4.1 (验证定理)  假设存在函数$ W(t, x, s, z)\in C^{1, 2, 2}([0, T]\times {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} ^+\times\{0, 1\}) $满足如下$ {\rm{Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)}} $方程

(4.1) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{\pi\in\Pi}\Big\{W_t+[r_0x+(\mu-r_0)\pi_1+\pi_2(1-z)\delta+C_1e^{\xi t}-IfL{}\\ &&-b(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}]W_x+\frac{1}{2}\pi_1^2\sigma^2s^{2\beta}W_{xx} +\mu sW_s{}\\ &&+\frac{1}{2}\sigma^2s^{2\beta+2}W_{ss}+\pi_1\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}-\frac{1}{m}e^{-m(IfL-B^*e^{\beta_0t})}e^{-r_0t}{}\\ &&+\alpha\inf\limits_{\phi\in\Theta}[H^{\pi, \phi}(W)+g_\beta(\phi)]+\hat{\alpha}\sup\limits_{\phi\in\Theta}[H^{\pi, \phi}(W)-g_\beta(\phi)]\Big\}=0, \end{eqnarray} $

其中

$ H^{\pi, \phi}(W)=-\sigma s^{\beta+1}\phi_WW_s-\pi_1\sigma s^\beta\phi_WW_x+[W(t, x-\pi_2\zeta, s, 1)-W(t, x, s, 0)]\phi_Nh^p(1-z), {\nonumber} $

边界条件

(4.2) $ \begin{equation} W(T, x, s, z)=-\frac{\lambda}{m}e^{-m(x-x_0e^{r_0T})}\cdot e^{-r_0T}, \end{equation} $

这里$ W_t, W_x, W_{xx}, W_s, W_{ss}, W_{xs} $表示$ W(t, x, s, z) $关于$ t, x, s $的一阶和二阶偏导,

(4.3) $ \begin{eqnarray} (\pi^*, \underline{\phi}^*, \overline{\phi}^*):&=&\arg\sup\limits_{\pi\in\Pi} \Big\{W_t+[r_0x+(\mu-r_0)\pi_1+\pi_2(1-z)\delta{}\\ &&+C_1e^{\xi t}-IfL-b(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}]W_x +\frac{1}{2}\pi_1^2\sigma^2s^{2\beta}W_{xx}{}\\ &&+\mu sW_s+\frac{1}{2}\sigma^2s^{2\beta+2}W_{ss} +\pi_1\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs} -\frac{1}{m}e^{-m(IfL-B^*e^{\beta_0t})}e^{-r_0t}{}\\ &&+\alpha\inf\limits_{\phi\in\Theta}[H^{\pi, \phi}(W)+g_\beta(\phi)]+\hat{\alpha}\sup\limits_{\phi\in\Theta}[H^{\pi, \phi}(W)-g_\beta(\phi)]\Big\}, \end{eqnarray} $

则$ (3.5) $式给出的目标函数$ V(t, x, s, z)=W(t, x, s, z) $, $ \pi^* $为最优策略.

定理4.2  对于目标收益养老金计划的$ \alpha $ -鲁棒最优投资问题$ (3.5) $, 目标函数为

(4.4) $ \begin{equation} V(t, x, s, z)=W(t, x, s, z)=(1-z)W(t, x, s, 0)+zW(t, x, s, 1), \end{equation} $

其中$ z=0 $或$ z=1 $, $ W(t, x, s, 0)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_2(t)x+Q_2(t)} $, $ W(t, x, s, 1)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_1(t)x+Q_1(t)} $, 最优资产配置策略和收益调整策略分别为

(4.5) $ \begin{equation} \pi_1^*(t)=\frac{\mu-r_0}{(m-(1-2\alpha)\rho_1)P(t)\sigma^2s^{2\beta}}, \quad t\in[0, T], \end{equation} $

(4.6) $ \begin{equation} \pi_2^*(t)= \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{1}{m\zeta P(t)}\cdot \bigg[\ln\frac{\delta}{(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)h^p\zeta}-(Q_1(t)-Q_2(t))\bigg], &t\in[0, \tau\wedge T), \\ 0, &t\in[\tau\wedge T, T], \end{array}\right. \end{equation} $

(4.7) $ \begin{equation} f^*(t)= \left\{\begin{array}{ll} { }\frac{1}{I(t)L(t)}\cdot \Big(-\frac{\ln\lambda P(t)-m P(t)x+Q_2(t)+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big), &t\in[0, \tau\wedge T), \\ { }\frac{1}{I(t)L(t)}\cdot \Big(-\frac{\ln\lambda P(t)-m P(t)x+Q_1(t)+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big), &t\in[\tau\wedge T, T], \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ P(t):=P_1(t)=P_2(t) $, 且$ P_1(t), P_2(t), Q_1(t), Q_2(t) $由$ (4.17) $和$ (4.27) $式给出. 极端模糊厌恶和极度寻求模糊的概率扭曲函数分别为

(4.8) $ \begin{equation} \underline{\phi}_W^*=\frac{\rho_1(\mu-r_0)}{(m-(1-2\alpha)\rho_1)\sigma s^\beta}, \qquad \overline{\phi}_W^*=-\frac{\rho_1(\mu-r_0)}{(m-(1-2\alpha)\rho_1)\sigma s^\beta}, \end{equation} $

$ \underline{\phi}_N^*, \overline{\phi}_N^* $满足方程

(4.9) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \alpha h^p\underline{\phi}_N^*+\frac{mh^p\alpha \underline{\phi}_N^*\ln\underline{\phi}_N^*}{\rho_2}-\frac{\delta\alpha\underline{\phi}_N^*}{\zeta(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)}=0, \ &t\in[0, \tau\wedge T), \\ { } \hat{\alpha}h^p\overline{\phi}_N^*-\frac{mh^p\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*\ln\overline{\phi}_N^*}{\rho_2} -\frac{\delta\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*}{\zeta(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)}=0, & t\in[0, \tau\wedge T). \end{array}\right. \end{equation} $

证  (ⅰ) 违约后情况($ z=1 $)

当$ z=1 $时, 违约已经发生, 此时违约债券不再是可投资资产. $ (4.1) $式为

(4.10) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{\pi\in\Pi}\bigg\{W_t+[r_0x+(\mu-r_0)\pi_1+C_1e^{\xi t}-IfL-b(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}]W_x {}\\ &&+\frac{1}{2}\pi_1^2\sigma^2s^{2\beta}W_{xx}+\mu sW_s+\frac{1}{2}\sigma^2s^{2\beta+2}W_{ss} +\pi_1\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}{}\\ &&-\frac{1}{m}e^{-m(IfL-B^*e^{\beta_0t})}e^{-r_0t} +\alpha\inf\limits_{\phi\in\Theta} \Big[-\sigma s^{\beta+1}\phi_WW_s-\pi_1\sigma s^\beta\phi_WW_x+\frac{\phi_W^2}{2\beta_W}\Big] {}\\ &&+\hat{\alpha}\sup\limits_{\phi\in\Theta} \Big[-\sigma s^{\beta+1}\phi_WW_s-\pi_1\sigma s^\beta\phi_WW_x-\frac{\phi_W^2}{2\beta_W}\Big]\bigg\}=0, \end{eqnarray} $

这里$ W_t, W_x, W_{xx}, W_s, W_{ss}, W_{xs} $表示$ W(t, x, s, 1) $关于$ t, x, s $的一阶和二阶偏导.

由$ (4.10) $式关于$ \phi_W $一阶可微, 分别得到$ (4.10) $式取下确界和上确界的$ \underline{\phi}_W^*, \overline{\phi}_W^* $:

(4.11) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \underline{\phi}_W^*=\beta_W(\pi_1\sigma s^\beta W_x+\sigma s^{\beta+1}W_s), \\ \overline{\phi}_W^*=-\beta_W(\pi_1\sigma s^\beta W_x+\sigma s^{\beta+1}W_s). \end{array} \end{equation} $

将$ (4.11) $式代入$ (4.10) $式, 得到

(4.12) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{\pi\in\Pi}\bigg\{W_t+[r_0x+(\mu-r_0)\pi_1+C_1e^{\xi t}-IfL-b(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}]W_x{}\\ &&+\frac{1}{2}\pi_1^2\sigma^2s^{2\beta}W_{xx} +\mu sW_s+\frac{1}{2}\sigma^2s^{2\beta+2}W_{ss} +\pi_1\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}{}\\ &&-\frac{1}{m}e^{-m(IfL-B^*e^{\beta_0t})}e^{-r_0t}+\frac{(1-2\alpha)\beta_W(\pi_1\sigma s^\beta W_x+\sigma s^{\beta+1}W_s)^2}{2}\bigg\}=0. \end{eqnarray} $

对$ (4.12) $式关于$ \pi_1, f $求导, 得到$ \pi_1^*, f^* $,

(4.13) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { }\pi_1^*=-\frac{(\mu-r_0)W_x+\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}+(1-2\alpha)\beta_W\sigma^2s^{2\beta+1}W_xW_s}{W_{xx}\sigma^2s^{2\beta}+(1-2\alpha)\beta_W\sigma^2s^{2\beta}W_x^2}, \\ { } f^*=\frac{1}{IL}\cdot\Big(-\frac{\ln W_x+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big). \end{array} \end{equation} $

我们假设$ W(t, x, s, 1)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_1(t)x+Q_1(t)+U_1(t)s} $, 由边界条件$ (4.2) $知$ P_1(T)=1, $$ Q_1(T)=mx_0e^{r_0T}-r_0T, U_1(T)=0 $.

(4.14) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} W_t=[-mP_1^\prime(t)x+Q_1^\prime(t)+U_1^\prime(t)s]W(t, x, s, 1), {\quad} W_x=-mP_1(t)W(t, x, s, 1), \\ W_s=U_1(t)W(t, x, s, 1), {\quad} W_{xx}=m^2P_1^2(t)W(t, x, s, 1), \\ W_{xs}=-mP_1(t)U_1(t)W(t, x, s, 1), {\quad} W_{ss}=U_1^2(t)W(t, x, s, 1). \end{array} \end{equation} $

将$ (4.13) $和$ (4.14) $式代入$ (4.12) $式, 化简后, 得到

(4.15) $ \begin{eqnarray} & &-mP_1^\prime(t)x+Q_1^\prime(t)+U_1^\prime(t)s-mP_1(t)[r_0x+C_1e^{\xi t}-b(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}]{}\\ &&+r_0sU_1(t)-mP_1(t)\bigg[\frac{\ln \lambda P_1(t)-mP_1(t)x+Q_1(t)+U_1(t)s+r_0t}{m}-B^*e^{\beta_0t}-\frac{1}{m}\bigg]{}\\ &&-\frac{1}{2}\bigg[\frac{(\mu-r_0)^2}{\sigma^2s^{2\beta}(1-(1-2\alpha)\frac{\rho_1}{m})}-(1-2\alpha)\frac{\rho_1}{m}\sigma^2s^{2\beta+2}U_1^2(t)\bigg]=0. \end{eqnarray} $

令$ x, s, 1 $的系数为0, 则有

(4.16) $ \begin{eqnarray} && -mP_1^\prime(t)-mP_1(t)r_0+mP_1^2(t)=0, {}\\ && U_1^\prime(t)+(r_0-P_1(t))U_1(t)=0, {}\\ && Q_1^\prime(t)-P_1(t)Q_1(t)-P_1(t)[mC_1e^{\xi t}-mb(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}+\ln\lambda P_1(t)+r_0t\\ && -mB^*e^{\beta_0t}-1]-\frac{(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(1-(1-2\alpha)\frac{\rho_1}{m})}+\frac{(1-2\alpha)\rho_1\sigma^2s^{2\beta+2}U_1^2(t)}{2m}=0. {} \end{eqnarray} $

得到

(4.17) $ \begin{eqnarray} P_1(t)&=&\frac{r_0}{1+(r_0-1)\exp\{-r_0(T-t)\}}, \qquad U_1(t)=0, {}\\ Q_1(t)&=&(mx_0e^{r_0T}-r_0T)h_1(t)-h_2(t)\int_t^T \bigg[P_1(v)[m(C_1(v)e^{\xi v}{}\\ &&-b(A+D\theta^{a+v}) C_1(v)e^{\xi v}-B^*e^{\beta_0v})+\ln\lambda P_1(v)+r_0v-1]\\ &&+\frac{m(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(m-(1-2\alpha)\rho_1)}\bigg]h_3(v){\rm{d}}v, {} \end{eqnarray} $

其中$ h_1(t), h_2(t), h_3(t) $为

(4.18) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} h_1(t)=\exp\{r_0(t-T)+\ln r_0-\ln(1+(r_0-1)e^{r_0(t-T)})\}, \\ h_2(t)=\exp\{r_0t-\ln(1+(r_0-1)e^{r_0(t-T)})+\ln(1+(r_0-1)e^{-r_0T})\}, \\ h_3(t)=\exp\{-r_0t+\ln(1+(r_0-1)e^{r_0(t-T)})-\ln(1+(r_0-1)e^{-r_0T})\}. \end{array}\right. \end{equation} $

将$ (4.14) $式代入$ (4.13) $式, 得到违约后由$ (4.5) $和$ (4.7) $式给出的最优策略$ \pi_1^*(t) $, $ f^*(t) $.

(ⅱ) 违约前情况($ z=0 $)

接下来推导违约前的$ \alpha $ -鲁棒最优策略. $ (4.1) $式为

(4.19) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{\pi\in\Pi}\bigg\{W_t+[r_0x+(\mu-r_0)\pi_1+\pi_2\delta+C_1e^{\xi t}-IfL-b(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}]W_x {}\\ &&+\frac{1}{2}\pi_1^2\sigma^2s^{2\beta}W_{xx}+\mu sW_s+\frac{1}{2}\sigma^2s^{2\beta+2}W_{ss} +\pi_1\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}-\frac{1}{m}e^{-m(IfL-B^*e^{\beta_0t})}e^{-r_0t} {}\\ &&+\alpha\inf\limits_{\phi\in\Theta}\bigg[-\sigma s^{\beta+1}\phi_WW_s-\pi_1\sigma s^\beta\phi_WW_x +[W(t, x-\pi_2\zeta, s, 1)-W(t, x, s, 0)]\phi_Nh^p{}\\ &&+\frac{\phi_W^2}{2\beta_W} +\frac{h^p(\phi_N\ln\phi_N-\phi_N+1)}{\beta_N}\bigg] +\hat{\alpha}\sup\limits_{\phi\in\Theta}\bigg[-\sigma s^{\beta+1}\phi_WW_s -\pi_1\sigma s^\beta\phi_WW_x{}\\ &&+[W(t, x-\pi_2\zeta, s, 1)-W(t, x, s, 0)]\phi_Nh^p -\frac{\phi_W^2}{2\beta_W}-\frac{h^p(\phi_N\ln\phi_N-\phi_N+1)}{\beta_N} \bigg]\bigg\}=0, {\qquad} \end{eqnarray} $

这里$ W_t, W_x, W_{xx}, W_s, W_{ss}, W_{xs} $表示$ W(t, x, s, 0) $关于$ t, x, s $的一阶和二阶偏导.

假设

$ W(t, x, s, 0)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_2(t)x+Q_2(t)+U_2(t)s}, $

由边界条件$ (4.2) $知, $ P_2(T)=1, $$ Q_2(T)=mx_0e^{r_0T}-r_0T, U_2(T)=0 $.

(4.20) $ \begin{eqnarray} &&W_t=[-mP_2^\prime(t)x+Q_2^\prime(t)+U_2^\prime(t)s]W(t, x, s, 0), \quad W_x=-mP_2(t)W(t, x, s, 0), {}\\ &&W_s=U_2(t)W(t, x, s, 0), \qquad W_{xx}=m^2P_2^2(t)W(t, x, s, 0), {}\\ &&W_{xs}=-mP_2(t)U_2(t)W(t, x, s, 0), \qquad W_{ss}=U_2^2(t)W(t, x, s, 0), \\ && W(t, x-\pi_2\zeta, s, 1)-W(t, x, s, 0)=W(t, x, s, 0)[\exp\{-m(P_1(t)-P_2(t))x{}\\ && +Q_1(t)-Q_2(t)+(U_1(t)-U_2(t))s+mP_1(t)\pi_2\zeta\}-1].{} \end{eqnarray} $

由$ \pi_1^*, \pi_2^*, f^* $的一阶可微条件, 得到

(4.21) $ \begin{eqnarray} \begin{array}{ll} { } \pi_1^*=\frac{\alpha\sigma s^\beta\underline{\phi}_WW_x+\hat{\alpha}\sigma s^\beta\overline{\phi}_WW_x-\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}-(\mu-r_0)W_x}{W_{xx}\sigma^2s^{2\beta}}, \\ { } \pi_2^*=\frac{1}{mP_1(t)\zeta}\bigg[\ln\frac{-\delta W_x}{(\alpha\underline{\phi}_N+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N)h^pWmP_1(t)\zeta}+m(P_1(t)-P_2(t))x\\ {\qquad}{\quad} -(Q_1(t)-Q_2(t))-(U_1(t)-U_2(t))s\bigg], \\ { } f^*=\frac{1}{IL}\cdot\Big(-\frac{\ln W_x+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big). \end{array} \end{eqnarray} $

将$ \pi_1^*, \pi_2^*, f^* $代入$ (4.19) $式, 根据$ \phi_W, \phi_N $的一阶最优条件, 找到$ (4.19) $式取下确界和上确界的$ \phi_W, \phi_N $:

(4.22) $ \begin{eqnarray} &&\underline{\phi}_W^*=\frac{\beta_WW_x(-\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}-(\mu-r_0)W_x)+\beta_W\sigma^2s^{2\beta+1}W_sW_{xx}}{(W_{xx}+(1-2\alpha)W_x^2\beta_W)\sigma s^\beta}, {}\\ & &\overline{\phi}_W^*=-\frac{\beta_WW_x(-\sigma^2s^{2\beta+1}W_{xs}-(\mu-r_0)W_x)+\beta_W\sigma^2s^{2\beta+1}W_sW_{xx}}{(W_{xx}+(1-2\alpha)W_x^2\beta_W)\sigma s^\beta}, {}\\ &&\alpha\underline{\phi}_N^*h^p-\frac{\alpha h^p\underline{\phi}_N^*}{\beta_NW}\ln\underline{\phi}_N^*+\frac{W_x\delta \alpha\underline{\phi}_N^*}{mP_1(t)\zeta W(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)}=0, \\ &&\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*h^p+\frac{\hat{\alpha} h^p\overline{\phi}_N^*}{\beta_NW}\ln\overline{\phi}_N^*+\frac{W_x\delta \hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*}{mP_1(t)\zeta W(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)}=0.{} \end{eqnarray} $

因此$ (4.19) $式变为

(4.23) $ \begin{eqnarray} & &x\bigg[-mP_2^\prime(t)-mP_2(t)r_0+mP_2^2(t)-\frac{mP_2(t)\delta}{P_1(t)\zeta}(P_1(t)-P_2(t))\bigg]{}\\ &&s\bigg[U_2^\prime(t)+\mu U_2(t)-(\mu-r_0)U_2(t)-P_2(t)U_2(t)+\frac{P_2(t)\delta(U_1(t)-U_2(t))}{P_1(t)\zeta}\bigg]{}\\ &&+Q_2^\prime(t)-(P_2(t)+\frac{\delta P_2(t)}{\zeta P_1(t)})Q_2(t)-P_2(t)[mC_1e^{\xi t}-mb(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}{}\\ & &+\ln\lambda P_2(t)+r_0t-mB^*e^{\beta_0t}-1]-\frac{m(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(m-(1-2\alpha)\rho_1)}{}\\ &&-\frac{P_2(t)\delta}{P_1(t)\zeta} \bigg[\ln\frac{\delta P_2(t)}{(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)h^pP_1(t)\zeta}-Q_1(t)-1\bigg] -h^p(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*){}\\ & &+\frac{mh^p}{\rho_2}[-\alpha(\underline{\phi}_N^*\ln\underline{\phi}_N^*-\underline{\phi}_N^*+1)+\hat{\alpha}(\overline{\phi}_N^*\ln\overline{\phi}_N^*-\overline{\phi}_N^*+1)]=0. \end{eqnarray} $

令$ x, s $的系数及剩余项为0, 有

(4.24) $ \begin{eqnarray} & &-mP_2^\prime(t)-mP_2(t)(r_0+\frac{\delta}{\zeta})+m(1+\frac{\delta}{P_1(t)\zeta})P_2^2(t)=0, \end{eqnarray} $

(4.25) $ \begin{eqnarray} &&U_2^\prime(t)+r_0U_2(t)-P_2(t)U_2(t)+\frac{P_2(t)\delta(U_1(t)-U_2(t))}{P_1(t)\zeta}=0, \end{eqnarray} $

(4.26) $ \begin{eqnarray} &&Q_2^\prime(t)-(P_2(t)+\frac{\delta P_2(t)}{\zeta P_1(t)})Q_2(t)-P_2(t)[mC_1e^{\xi t}-mb(A+D\theta^{a+t})C_1e^{\xi t}{} \\ &&+\ln\lambda P_2(t)+r_0t-mB^*e^{\beta_0t}-1]-\frac{m(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(m-(1-2\alpha)\rho_1)}{} \\ & &-\frac{P_2(t)\delta}{P_1(t)\zeta} \bigg[\ln\frac{\delta P_2(t)}{(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)h^pP_1(t)\zeta}-Q_1(t)-1\bigg] -h^p(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*){}\\ &&+\frac{mh^p}{\rho_2}[-\alpha(\underline{\phi}_N^*\ln\underline{\phi}_N^*-\underline{\phi}_N^*+1)+\hat{\alpha}(\overline{\phi}_N^*\ln\overline{\phi}_N^*-\overline{\phi}_N^*+1)]=0. \end{eqnarray} $

得到

(4.27) $ \begin{eqnarray} P_2(t)&=&\frac{r_0}{1+(r_0-1)\exp\{-r_0(T-t)\}}, \qquad\qquad U_2(t)=0, {} \\ Q_2(t)&=&(mx_0e^{r_0T}-r_0T)h_4(t)-h_5(t)\int_t^T \bigg\{P_2(v)[m(C_1(v)e^{\xi v}-b(A+D\theta^{a+v})C_1(v)e^{\xi v}{} \\ & &-B^*e^{\beta_0v})+\ln\lambda P_2(v)+r_0v-1]+\frac{m(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(m-(1-2\alpha)\rho_1)}{} \\ &&+\frac{\delta}{\zeta} \bigg[\ln\frac{\delta}{(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)h^p\zeta}-Q_1(v)-1\bigg] +h^p(\alpha\underline{\phi}_N^*+\hat{\alpha}\overline{\phi}_N^*)\\ &&-\frac{mh^p}{\rho_2}[-\alpha(\underline{\phi}_N^*\ln\underline{\phi}_N^*-\underline{\phi}_N^*+1) +\hat{\alpha}(\overline{\phi}_N^*\ln\overline{\phi}_N^*-\overline{\phi}_N^*+1)]\bigg\}h_6(v){\rm{d}}v, {} \end{eqnarray} $

其中$ h_4(t), h_5(t), h_6(t) $为

(4.28) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } h_4(t)=\exp\bigg\{(r_0+\frac{\delta}{\zeta})(t-T)+\ln r_0-\ln(1+(r_0-1)e^{r_0(t-T)})\bigg\}, \\ { } h_5(t)=\exp\bigg\{(r_0+\frac{\delta}{\zeta})t-\ln(1+(r_0-1)e^{r_0(t-T)})+\ln(1+(r_0-1)e^{-r_0T})\bigg\}, \\ { } h_6(t)=\exp\bigg\{-(r_0+\frac{\delta}{\zeta})t+\ln(1+(r_0-1)e^{r_0(t-T)})-\ln(1+(r_0-1)e^{-r_0T})\bigg\}. \end{array}\right. \end{equation} $

将$ (4.20) $和$ (4.22) $式代入$ (4.21) $式, 得到违约前由$ (4.5) $和$ (4.6) $式给出的最优策略$ \pi_1^*(t) $, $ \pi_2^*(t) $, 以及$ (4.7) $式给出的$ f^*(t) $.

命题4.1(ⅰ) 若$ \alpha=1 $, 方程组$ (4.9) $存在一组正解;

$ ({\rm{ii}}) $若$ \alpha=0 $, 并且$ \frac{m}{\rho_2}e^{\frac{\rho_2-m}{m}}\geq\frac{1}{\Delta} $成立, 方程组$ (4.9) $存在一组正解;

$ ({\rm{iii}}) $若$ \alpha\in(0, 1) $, 并且$ h^p\geq\frac{2mh^p}{\rho_2}, \frac{\delta m}{\zeta\rho_2h^p}>1 $成立, 方程组$ (4.9) $存在一组正解.

证  (ⅰ) $ \alpha=1 $时, 只需证明存在一个$ \underline{\phi}_N^*>0 $即可. 令$ F_1(\underline{\phi}_N)= h^p\underline{\phi}_N+\frac{mh^p\underline{\phi}_N\ln\underline{\phi}_N}{\rho_2}-\frac{\delta}{\zeta} $, 则$ F_1^\prime(\underline{\phi}_N)= h^p+\frac{mh^p}{\rho_2}(\ln\underline{\phi}_N+1), $从而得到$ F_1(\underline{\phi}_N) $在$ (0, e^{-\frac{m+\rho_2}{m}}) $递减, 在$ (e^{-\frac{m+\rho_2}{m}}, +\infty) $递增, 且有$ \lim\limits_{\underline{\phi}_N\rightarrow0^+}F_1(\underline{\phi}_N) =-\frac{\delta}{\zeta}<0, \, \lim\limits_{\underline{\phi}_N\rightarrow +\infty}F_1(\underline{\phi}_N)=+\infty. $因此存在一个$ \underline{\phi}_N^*>0 $.

(ⅱ) $ \alpha=0 $时, 只需证明存在一个$ \overline{\phi}_N^*>0 $即可. 令$ F_2(\overline{\phi}_N)= h^p\overline{\phi}_N-\frac{mh^p\overline{\phi}_N\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2}-\frac{\delta}{\zeta} $, 则$ F_2^\prime(\overline{\phi}_N)= h^p-\frac{mh^p}{\rho_2}(\ln\overline{\phi}_N+1) $, 从而得到$ F_2(\overline{\phi}_N) $在$ (0, e^{\frac{\rho_2-m}{m}}) $递增, 在$ (e^{\frac{\rho_2-m}{m}}, +\infty) $递减, 且有$ F_2(e^{\frac{\rho_2-m}{m}})=\frac{mh^p}{\rho_2}e^{\frac{\rho_2-m}{m}}-\frac{\delta}{\zeta}\geq0 $, 因此存在一个$ \overline{\phi}_N^*>0 $.

(ⅲ) $ \alpha\in(0, 1) $时, 方程组$ (4.9) $可写为

(4.29) $ \begin{eqnarray} \overline{\phi}_N=\frac{\delta}{\hat{\alpha}\zeta(h^p+\frac{mh^p\ln\underline{\phi}_N}{\rho_2})} -\frac{\alpha\underline{\phi}_N}{\hat{\alpha}}, \end{eqnarray} $

(4.30) $ \begin{eqnarray} \underline{\phi}_N=\frac{\delta}{\alpha\zeta (h^p-\frac{mh^p\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2})}-\frac{\hat{\alpha}\overline{\phi}_N}{\alpha}. \end{eqnarray} $

令$ F_3(\overline{\phi}_N)=\delta\overline{\phi}_N-\alpha h^p\zeta+\frac{mh^p\alpha\zeta\ln\overline{\phi}_N} {\rho_2}-h^p\zeta\hat{\alpha}(\overline{\phi}_N)^2+\frac{mh^p\hat{\alpha}\zeta(\overline{\phi}_N)^2\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2}, $则有$ F_3(1)=\delta-h^p\zeta>0, $$ \lim\limits_{\overline{\phi}_N\rightarrow0^+}F_3(\overline{\phi}_N)=-\infty<0 $, 则由零点存在定理, 存在$ d_1\in(0, 1) $, 使得$ F_3(d_1)=0 $, 故$ F_3(\overline{\phi}_N)=0 $存在一个正根$ \overline{\phi}_N^*. $

对$ (4.30) $式两边求一阶导, 有$ \underline{\phi}_N^\prime=\frac{\delta mh^p}{\alpha\zeta\rho_2 \overline{\phi}_N(h^p-\frac{mh^p\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2})^2}-\frac{\hat{\alpha}}{\alpha} $; 对$ (4.30) $式两边求二阶导, 有$ \underline{\phi}_N^{\prime\prime}=\frac{-\delta mh^p (h^p-\frac{mh^p\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2})(h^p-\frac{mh^p\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2} -\frac{2mh^p}{\rho_2})}{\alpha\zeta\rho_2\overline{\phi}_N^2(h^p-\frac{mh^p\ln\overline{\phi}_N}{\rho_2})^4}. $当$ \overline{\phi}_N^*\in(0, 1) $时, $ \underline{\phi}_N^{\prime\prime}<0 $, 则$ \underline{\phi}_N^\prime $在$ (0, 1) $区间上递减. 当$ \overline{\phi}_N^*\rightarrow1 $时, $ \underline{\phi}_N^\prime=\frac{\delta m}{\alpha\zeta\rho_2 h^p}-\frac{\hat{\alpha}}{\alpha}>0 $, 则$ \underline{\phi}_N^\prime $在$ (0, 1) $区间上恒大于0, 故$ \underline{\phi}_N $在$ (0, 1) $区间上递增. 当$ \overline{\phi}_N^*\rightarrow0 $时, $ \underline{\phi}_N\rightarrow0^+>0 $, 则$ \underline{\phi}_N $在$ (0, 1) $区间上恒大于0. 结论得证.

推论4.1  若$ \alpha=1 $, 退化为极端模糊厌恶的目标收益养老金计划的最优投资问题, 目标函数为

(4.31) $ \begin{equation} \tilde{V}(t, x, s, z)=\tilde{W}(t, x, s, z)=(1-z)\tilde{W}(t, x, s, 0)+z\tilde{W}(t, x, s, 1), \end{equation} $

其中$ z=0 $或$ z=1 $, $ \tilde{W}(t, x, s, 0)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_2(t)x+\tilde{Q}_2(t)} $, $ \tilde{W}(t, x, s, 1)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_1(t)x+\tilde{Q}_1(t)} $, 最优资产配置策略和收益调整策略分别为

(4.32) $ \begin{equation} \tilde{\pi}_1^*(t)=\frac{\mu-r_0}{(m+\rho_1)P(t)\sigma^2s^{2\beta}}, \quad\;t\in[0, T], \end{equation} $

(4.33) $ \begin{equation} \tilde{\pi}_2^*(t)= \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{1}{m\zeta P(t)}\cdot \bigg[\ln\frac{\delta}{\underline{\phi}_N^*h^p\zeta}-(\tilde{Q}_1(t)-\tilde{Q}_2(t))\bigg], \ &t\in[0, \tau\wedge T), \\ 0, &t\in[\tau\wedge T, T], \end{array}\right. \end{equation} $

(4.34) $ \begin{equation} \tilde{f}^*(t)= \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{1}{I(t)L(t)}\cdot\Big(-\frac{\ln\lambda P(t)-m P(t)x+\tilde{Q}_2(t)+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big), &t\in[0, \tau\wedge T), \\ { } \frac{1}{I(t)L(t)}\cdot\Big(-\frac{\ln\lambda P(t)-m P(t)x+\tilde{Q}_1(t)+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big), \ &t\in[\tau\wedge T, T], \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ P(t):=P_1(t)=P_2(t) $, 且$ P_1(t), P_2(t) $的表达式同定理4.2. $ \tilde{Q}_1(t), \tilde{Q}_2(t) $的表达式如下

(4.35) $ \begin{eqnarray} \tilde{Q}_1(t)&=&(mx_0e^{r_0T}-r_0T)h_1(t)-h_2(t)\int_t^T\bigg\{P_1(v)[m(C_1(v)e^{\xi v}-b(A+D\theta^{a+v})C_1(v)e^{\xi v}{} \\ & &-B^*e^{\beta_0v})+\ln\lambda P_1(v)+r_0v-1]+\frac{m(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(m+\rho_1)}\bigg\}h_3(v){\rm{d}}v, \end{eqnarray} $

(4.36) $ \begin{eqnarray} \tilde{Q}_2(t)&=&(mx_0e^{r_0T}-r_0T)h_4(t)-h_5(t)\int_t^T \bigg\{P_2(v)[m(C_1(v)e^{\xi v}-b(A+D\theta^{a+v})C_1(v)e^{\xi v}{} \\ &&-B^*e^{\beta_0v})+\ln\lambda P_2(v)+r_0v-1]+\frac{m(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}(m+\rho_1)}+\frac{\delta}{\zeta} \bigg[\ln\frac{\delta}{\underline{\phi}_N^*h^p\zeta}-\tilde{Q}_1(v)-1\bigg]{} \\ &&+h^p\underline{\phi}_N^*+\frac{mh^p}{\rho_2}(\underline{\phi}_N^*\ln\underline{\phi}_N^*-\underline{\phi}_N^*+1) \bigg\}h_6(v){\rm{d}}v. \end{eqnarray} $

模糊厌恶的概率扭曲函数为

(4.37) $ \begin{equation} \underline{\phi}_W^*=\frac{\rho_1(\mu-r_0)}{(m+\rho_1)\sigma s^\beta}, \qquad\qquad \end{equation} $

$ \underline{\phi}_N^* $满足等式: $ h^p\underline{\phi}_N^*+\frac{mh^p\underline{\phi}_N^*\ln\underline{\phi}_N^*}{\rho_2}-\frac{\delta}{\zeta}=0, \;t\in[0, \tau\wedge T) $.

注4.1  由上述推论知, 若$ b=0, \beta=0 $, 则财富过程退化为无保费返还条款且股票价格服从几何布朗运动模型, 这时得到的结果与文献[9, 定理4.2]中的结论相同.

推论4.2  若$ \rho_1=\rho_2=0 $, 退化为没有模糊性的目标收益养老金计划的最优投资问题, 相应目标函数为

(4.38) $ \begin{equation} \overline{V}(t, x, s, z)=\overline{W}(t, x, s, z)=(1-z)\overline{W}(t, x, s, 0)+z\overline{W}(t, x, s, 1), \end{equation} $

其中$ z=0 $或$ z=1 $, $ \overline{W}(t, x, s, 0)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_2(t)x+\overline{Q}_2(t)} $, $ \overline{W}(t, x, s, 1)=-\frac{\lambda}{m}e^{-mP_1(t)x+\overline{Q}_1(t)} $, 最优资产配置策略和收益调整策略分别为

(4.39) $ \begin{equation} \overline{\pi}_1^*(t)=\frac{\mu-r_0}{mP(t)\sigma^2s^{2\beta}}, \quad\;t\in[0, T], \end{equation} $

(4.40) $ \begin{equation} \overline{\pi}_2^*(t)= \left\{\begin{array}{ll} { }\frac{1}{m\zeta P(t)}\cdot \bigg[\ln\frac{\delta}{h^p\zeta}-(\overline{Q}_1(t)-\overline{Q}_2(t))\bigg], \ &t\in[0, \tau\wedge T), \\ 0, &t\in[\tau\wedge T, T], \end{array}\right. \end{equation} $

(4.41) $ \begin{equation} \overline{f}^*(t)= \left\{\begin{array}{ll} { }\frac{1}{I(t)L(t)}\cdot\Big(-\frac{\ln\lambda P(t)-m P(t)x+\overline{Q}_2(t)+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big), &t\in[0, \tau\wedge T), \\ { }\frac{1}{I(t)L(t)}\cdot\Big(-\frac{\ln\lambda P(t)-m P(t)x+\overline{Q}_1(t)+r_0t}{m}+B^*e^{\beta_0t}\Big), \ &t\in[\tau\wedge T, T], \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ P(t):=P_1(t)=P_2(t) $, 且$ P_1(t), P_2(t) $的表达式同定理4.2. $ \overline{Q}_1(t), \overline{Q}_2(t) $的表达式如下

(4.42) $ \begin{eqnarray} \overline{Q}_1(t)&=&(mx_0e^{r_0T}-r_0T)h_1(t)-h_2(t)\int_t^T\bigg\{P_1(v)[m(C_1(v)e^{\xi v}-b(A+D\theta^{a+v})C_1(v)e^{\xi v}{} \\ & &-B^*e^{\beta_0v})+\ln\lambda P_1(v)+r_0v-1]+\frac{(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}}\bigg\}h_3(v){\rm{d}}v, \end{eqnarray} $

(4.43) $ \begin{eqnarray} \overline{Q}_2(t)&=&(mx_0e^{r_0T}-r_0T)h_4(t)-h_5(t)\int_t^T\bigg\{P_2(v)[m(C_1(v)e^{\xi v}-b(A+D\theta^{a+v})C_1(v)e^{\xi v}{} \\ &&-B^*e^{\beta_0v})+\ln\lambda P_2(v)+r_0v-1]+\frac{(\mu-r_0)^2}{2\sigma^2s^{2\beta}}{} \\ &&+\frac{\delta}{\zeta}\bigg[\ln\frac{\delta}{h^p\zeta}-\overline{Q}_1(v)-1\bigg]+h^p\bigg\}h_6(v){\rm{d}}v. \end{eqnarray} $

注4.2  若$ b=0, \beta=0 $, 财富过程模型退化为无保费返还条款且股票价格服从几何布朗运动的模型, 推论4.2中的结果简化为文献[9, 注4.1]中的结论.

在这一节, 将通过数值算例来分析目标收益养老金计划的$ \alpha $ -鲁棒最优策略结果.

类似文献[5, 9, 16], 假定参数取值如下: $ B^*=100, \beta_0=0.02, \eta=0.02, r_0=0.01, $$ \mu=0.05, $$ \sigma=16.16, \xi=0.03, \lambda=20, c_0=0.1, X(0)=4000, \beta=-1, L_0=1, $养老金的投资期限$ T=20 $, 参保人进入TBP计划的年龄$ a=30 $, 退休年龄$ r=65 $, 生命表最大年龄$ \omega=100 $, 股票初始价格$ s=67 $. 违约债券的价格参数$ \delta=0.01, \zeta=0.4, \Delta=0.25, h^{p^*}=0.025, h^p=0.00625 $. 风险厌恶系数$ m=1 $, 模糊系数$ \rho_1, \rho_2 $分别设定为1, 2. 模糊厌恶水平$ \alpha $设定为0.8. 假定死亡力函数$ \mu(x)=A+D\theta^x $, 相关参数设定为$ A=0.00022, D=2.7\times10^{-6}, \theta=1.124 $.

我们首先研究$ \pi_1^*(t) $的各参数变化对其影响, 为便于分析, 我们分别取时间$ t(=0, 5, 10, 15). $图 (a)反映了$ \alpha $对$ \pi_1^*(t) $的影响. 随着$ \alpha $的不断增大, $ \pi_1^*(t) $不断减小. 这主要是因为模糊厌恶越大, 计划受托人的投资就越保守, 所以降低股票投资额. 图 (b)呈现了$ \mu-r_0 $对$ \pi_1^*(t) $的影响. 我们发现$ \mu-r_0 $与$ \pi_1^*(t) $存在正向关系, 因为随$ \mu-r_0 $的增加, 股票的预期收益率与无风险资产利率的差值就越大, 这时计划受托人就会增大股票资产的投资额. 图 (c)反映了$ \sigma $对$ \pi_1^*(t) $的影响. $ \sigma $与$ \pi_1^*(t) $存在反向关系, $ \pi_1^*(t) $随$ \sigma $的增加而减少. $ \sigma $越大, 即股票的投资风险就越大, 则计划受托人为了规避投资风险, 减少股票投资额. 图 (d)、(e)表明风险厌恶系数$ m $和模糊系数$ \rho_1 $对$ \pi_1^*(t) $的影响. $ \pi_1^*(t) $随风险厌恶系数$ m $和模糊系数$ \rho_1 $的增大而减小. $ m $越大, 即计划受托人风险厌恶越大, 这时受托人减少股票投资; 而$ \rho_1 $越大, 即计划受托人对股票价格的模糊水平越高, 这时也将减少股票投资额.

然后我们给出一个确定时刻$ t=0 $时, 违约损失率$ \zeta $和违约风险溢价$ 1/\Delta $对$ \pi_2^*(0) $的影响. 图 (f)反映$ \zeta $和$ 1/\Delta $对$ \pi_2^*(0) $的影响. 我们发现, 当固定$ \zeta $取值时, $ 1/\Delta $对$ \pi_2^*(0) $的影响较小, 但总体上$ 1/\Delta $也与$ \pi_2^* $存在一个正向关系; 而固定$ 1/\Delta $取值, $ \pi_2^*(0) $随$ \zeta $的增加而减小. 这很直观, 因为$ \zeta $表示的是违约债券的损失率, 当损失率$ \zeta $增加时, 违约债券的恢复率下降, 此时违约发生得到的赔偿将减少, 所以计划受托人减少违约债券的投资额. 而$ 1/\Delta $表示的是违约风险溢价, 较高的风险溢价意味着债券发行者若在规定时间内不能支付利息和本金将支付较高的收益补偿, 这种潜在的投资收益增加也会使受托人增大违约债券投资额.

最后我们分别研究参数$ \xi $和$ \beta_0 $, $ \mu $和$ \sigma $, $ \zeta $和$ 1/\Delta $对$ f^* $的影响. 不失一般性, 我们考虑$ t=0 $且违约前这种情况. 图 (g)反映$ \xi $和$ \beta_0 $对$ f^*(0) $的影响. $ \xi $和$ \beta_0 $两参数变化范围均设定为: $ [0.02, 0.05] $. 我们发现固定$ \xi $值, $ f^*(0) $随$ \beta_0 $的减小而增大; 而固定$ \beta_0 $值, $ f^*(0) $随$ \xi $的增加而增加. $ \xi $增加, 即工资增长率增加, 则缴费率增加, 从而基金财富也增加. 这时较高的工资增长率可以为更高的目标福利水平提供资金, 则计划受托人愿意提高福利调整率$ f^* $. 反之, $ \beta_0 $增加, 即目标收益增长率增加, 则计划受托人需要累积更多财富才能达到目标收益水平. 这时计划受托人为了确保未来能够为退休人员提供足够福利支付, 将降低当前福利调整率$ f^* $.

图 (h)反映$ \mu $和$ \sigma $对$ f^*(0) $的影响. 从图 (h)可发现, 当$ \sigma $取值较大时, $ f^*(0) $几乎不随$ \mu $的变化而变化; $ \sigma $取值较小时, $ f^*(0) $随$ \mu $的增大而增大. 当$ \mu $取值较大时, $ f^*(0) $随$ \sigma $的减小而增大; $ \mu $取值较小时, $ f^*(0) $几乎不随$ \sigma $的变化而变化. 这不难解释, 因为当股票的预期收益较大或波动风险较小时, 计划受托人会因股票投资获得的高收益而提高$ f^*(0) $的设定. 反之, 如果股票的波动风险较大或预期收益较小, 这时计划受托人股票投资较保守, 获得的股票收益较低, 则此时参数$ \mu $和$ \sigma $对$ f^*(0) $的影响不大.

图 (i)反映$ \zeta $和$ 1/\Delta $对$ f^*(0) $的影响. 我们发现, $ f^*(0) $受参数$ \zeta $的影响, 且与$ \zeta $存在正向关系. $ \zeta $增大, 即违约损失率增大, 由图 (f)知, 这时计划受托人减少违约债券的投资, 则此时受托人有足够的现金支付给退休人员, 并会通过提高$ f^*(0) $的设定来增加实际福利支付. 而$ 1/\Delta $对$ f^*(0) $的影响较小, 这是因为不管违约前还是违约后, 计划受托人投资于风险资产的财富占例均较小, 因此参数$ 1/\Delta $对$ f^*(0) $的影响也较小.