本文考虑如下一类非线性Choquard方程

基态解的存在性, 其中$N \geq 3$, $0 < \alpha < N$, Riesz^[24]势$I_{\alpha}:{{\Bbb R}} ^{N}\setminus\{0\}\rightarrow {{\Bbb R}}$定义为

位势函数$V\in{\cal C}( {{\Bbb R}} ^{N}, {{\Bbb R}} )$, $F\in {\cal C}^{1}({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$, 且$F'(s)=f(s)$.

方程(1.1) 通常称为非线性Choquard方程, 具有丰富的物理背景, 可以用来描述量子物理中多种不同的现象. 当$N=3$, $\alpha=2$, $V(x)=1$及$F(s)=\frac{s^{2}}{2}$, 方程(1.1) 特别包含Choquard-Pekar方程

1954年, Pekar^[22]利用方程(1.2) 作为描述量子力学中静止极化子的理论模型; 1976年Choquard利用方程(1.2) 描述一个被困于自己空穴中的电子, 这在一定程度上近似于单组分离子体的Hartree-Fock理论^[13]. Jones和Penrose^{[9, 23]}提出方程(1.2) 也可作为自引力物质的模型, 在这种情况下称为Schrödinger-Newton方程. 更多物理方面的应用见文献[5, 18].

近年来, 关于Choquard方程的相关研究引起了数学研究者的广泛关注, 获得了许多重要结果. Lieb ^[13]率先利用变分方法研究了方程(1.2) 的基态解, 同时也证明了基态解径向对称且在不计平移的意义下唯一. 文献[19] 中, Moroz和Van Schaftingen研究了如下问题

当$\frac{N+\alpha}{N} <p< \frac{N+\alpha}{N-\alpha}$时, 他们证明了方程(1.3) 具有正的基态解, 进一步建立了基态解的正则性、径向对称性和在无穷远处的衰减性; 当$p$满足不同假设时, Ghimenti和Van Schaftingen^[7]证明了方程(1.3) 具有最小能量的变号解和最小能量的奇解. 在方程(1.1) 中, 当$f$满足Berestycki-Lions型条件时, Moroz等^[20]获得了方程(1.1) 的基态解. 随后, 罗虎啸^[17]推广了文献[20] 的结果. 在此假设下, Cingolani和Tanaka^[4]考虑了如下半经典态的非线性Choquard方程

当$V(x)$具有局部极小值时, 他们证明了方程(1.4) 解的存在性, 多重性与集中性. 假设$f$满足(AR) 条件, 即存在$\theta >2$使得对所有$s>0$, 有

Alves等^[2]利用罚方法, 证明了当$V(x)$在无穷远处衰减到零时, 方程(1.1) 具有非平凡解. 张慧等^[27]研究了如下问题

利用Nehari流形方法证明了, 当$V(x)$为周期函数, $f$满足单调假设时, 上述方程具有基态解. 当$f$既满足(AR) 条件又满足单调性条件时, 杨敏波等^{[1, 3]}利用Nehari流行方法得到了半经典态非线性Choquard方程基态解的存在性及集中性. 其它的相关研究见文献[6, 12, 16, 21, 25, 26]及其参考文献.

受以上结果启发, 自然的问题就是当$f$既不满足(AR) 条件也不满足单调性条件时, 方程(1.1) 的基态解是否存在? 本文主要回答这一问题. 为描述本文主要结果, 假设$f$满足下列条件

($\mbox{f1}$) $f\in C({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$;

($\mbox{f2}$) 存在$p\in(\frac{N+\alpha}{N}, \frac{N+\alpha}{N-\alpha})$使得$\lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{f(t)}{t^{p-1}}=0$;

($\mbox{f3}$) 存在$q\in(p, \frac{N+\alpha}{N-\alpha})$使得$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{f(t)}{t^{q-1}}=0$.

本文主要研究(1.1) 正解的存在性, 因此不妨假设对所有$t \leq 0$, $f(t)=0$.

另外, 假设位势函数$V(x)$满足以下条件:

($\mbox{V1}$) $V\in C({{\Bbb R}} ^{N}, {{\Bbb R}} )$弱可微, $\langle \nabla V(\cdot), \cdot\rangle \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})\cup L^{\frac{N}{2}}({{\Bbb R}} ^{N})$且

其中$\langle\cdot, \cdot\rangle$为${{\Bbb R}} ^{N}$中的内积.

($\mbox{V2}$) 对几乎每个$x\in {{\Bbb R}} ^{N}$, $V(x) \leq { } V_{\infty}:=\mathop {\lim \inf }\limits_{|x| \to + \infty } V(x)< +\infty$, 且严格不等式在某个正测集上成立;

($\mbox{V3}$) 存在常数$\beta>0$使得

下面给出本文的主要结果：

定理1.1  假设$\rm (f1)–(f3)$和$\rm (V1)–(V3)$成立, 且$\alpha \in (1, N)$. 则方程(1.1) 存在一个正的基态解.

本文利用变分技术证明定理1.1, 主要困难在于方程(1.1) 定义在全空间${{\Bbb R}} ^{N}$上, Sobolev嵌入$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\hookrightarrow L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$$r\in (2, \frac{2N}{N-2})$不是紧嵌入. 为此, 考虑建立整体紧性引理(见引理3.3)以恢复紧性. 另外, 非线性项$f$不满足(AR) 条件(1.4), 标准的变分技巧很难证明方程(1.1) 所对应泛函$I_{V}$ (定义见预备知识) 的(PS) 序列是有界的. 为克服此困难, 利用Jeanjean^[8]提出的间接性方法得到一个特殊的有界(PS) 序列, 进而证明本文的主要结果. 关于Jeanjean^[8]间接性方法的应用见文献[10, 11, 28].

本文安排如下: 第2节给出变分框架及一些证明过程中用到的相关结果. 第3节利用Jeanjean的间接性方法证明定理1.1.

本文使用如下记号. $H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$表示一般的Sobolev空间, 其范数定义为

$L^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$$(1\leq s < +\infty)$表示标准的Lebesgue空间, 范数为$\|u\|_{s} = \left(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}| u|^{s} {\rm d}x\right)^{\frac{1}{s}}$. $B_{R}(x_{0})$表示以$x_{0}$为心, $R$为半径的球. 字母$C$和$C_{1}, C_{2}, C_{3}$表示不同的常数.

假设$V(x)$满足条件$(\mbox{V1})$–$(\mbox{V3})$, 引入空间$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$的等价范数

为了处理方程(1.1) 中的非局部项, 本文需要下面的Hardy-Littlewood-Sobolev^[14]不等式.

引理2.1  设$s, r> 1$, $0<\alpha <N$满足$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{N+\alpha}{N}$. 则对所有$f\in L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$, $g\in L^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$, 存在常值$C = C(N, \alpha, s, r) >0$使得

现定义方程(1.1) 的能量泛函$I_{V}:H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\rightarrow {{\Bbb R}} ^{N}$为

其中${\cal D}(u)=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(I_{\alpha}*F(u))F(u){\rm d}x$. 由条件$(\mbox{f2})$和$(\mbox{f3})$可知, 对任意$\varepsilon >0$, 存在$C_{\varepsilon}>0$使得

其中$\frac{N+\alpha}{N }< p < q < \frac{N+\alpha}{N-2}$. 根据引理2.1、Sobolev嵌入定理及(2.1) 式可得: 对任意$u, v\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, 有

于是, $I_{V}\in {\cal C}^{1}(H^{1}({{\Bbb R}} ^{N}), {{\Bbb R}} )$, 且对任意的$u, \varphi\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, 有

其中${\cal D}'(u)\varphi = \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(I_{\alpha}*F(u))f(u)\varphi {\rm d}x$. 进一步, 方程(1.1) 的弱解对应于泛函$I_{V}$的临界点. 方程(1.1) 的基态解$u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$是指对任意的非平凡解$v$都满足$I_{V}(u)\leq I_{V}(v)$.

引理2.2^[15]  设$\{u_{n}\}\subset H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$是一有界序列且满足

则当$N\geq 3$时, 对任意$s\in (2, \frac{2N}{N-2})$, $u_{n} \rightarrow 0$于$L^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$.

利用标准的证明^[20], 可知对方程(1.1) 的每个解都满足下面的Pohozaev恒等式.

引理2.3  假设$\rm (f1)–(f3)$和$\rm (V1)–(V3)$成立. 若$u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$是方程(1.1) 的解, 则

由文献[12, 19]的证明可得下面引理.

引理2.4  设$N\geq 3$, $\alpha \in (0, N)$, $(\mbox{f1})$和$(\mbox{f2})$成立. 若$u_{n}\rightharpoonup u$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$且$u_{n}\rightarrow u$ a.e.于${{\Bbb R}} ^{N}$, 则当$n\rightarrow \infty$时有

且对任意$\varphi\in {\cal C}^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$

本节将给出定理1.1的证明. 首先回顾Jeanjean^[8]提出的抽象结果.

命题3.1  设$(E, \|\cdot\|)$是一个Banach空间, $J\subset {{\Bbb R}}$为一个区间, $\{\psi_{\lambda}\}_{\lambda\in J}$是定义在$E$上的一簇具有如下形式的${\cal C}^{1}$泛函

若$\psi_{\lambda}$满足条件

$\rm (1)$对任意$u\in E$, $B(u)\geq 0$, 并且当$\|u\|_{E}\rightarrow \infty$时, $A(u)\rightarrow +\infty$或$B(u)\rightarrow +\infty$;

$\rm (2)$存在$E$中的两个点$v_{1}$及$v_{2}$使得

其中$\Gamma = \{\gamma\in {\cal C}([0, 1], E): \gamma(0)=v_{1}, \gamma(1)=v_{2} \}$.

则对几乎处处的$\lambda\in J$, 泛函$\psi_{\lambda}$在$E$中存在一个有界的$(PS)_{c_{\lambda}}$序列.

下面, 我们利用命题3.1证明本文的主要结果. 设$J=[\frac{1}{2}, 1]$. 考虑一簇定义在空间$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$上的泛函

根据命题3.1, 设

其中

显然, 对所有$u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$都有$B(u)\geq 0$, 且当$\|u\|\rightarrow +\infty$时, $A(u)\rightarrow +\infty$.

引理3.1  假设$\rm (f1)–(f3)$和$\rm (V1)–(V3)$成立. 则

$\rm (ⅰ)$存在$e\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\setminus\{0\}$使得对所有$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, $I_{V, \lambda}(e)\leq 0$;

$\rm (ⅱ)$${ } c_{\lambda} = \mathop {\inf }\limits_{\gamma \in {\Gamma _\lambda }} \mathop {\max }\limits_{_{t \in [0,1]}} I_{V, \lambda}(\gamma(t)) > \max\{ I_{V, \lambda}(0), I_{V, \lambda}(e) \}$, 其中

证  $\rm (ⅰ)$对任意的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 给定$u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\setminus\{0\}$, 由$(\mbox{V1})$可知

设$u_{t}(x)=u(t^{-1}x)$, $t>0$. 则当$t\rightarrow +\infty$时

因此, 存在$t_{*} >0$使得$e=u_{t_{*}}$满足

$\rm (ⅱ)$由(2.2) 式可得

因为$\frac{N+\alpha}{N}<p<q<\frac{N+\alpha}{N-2}$, 则$I_{V, \lambda}$在$0$处取严格局部极小值. 进一步, $c_{\lambda}>0$. 引理得证.

由命题3.1和引理3.1可知, 对几乎处处的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 存在一个有界的序列$\{u_{n}(\lambda)\} \subset H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$ (简单起见, 下面用$u_{n}$代替$u_{n}(\lambda)$) 使得, 当$n \rightarrow \infty$时

下面考虑如下极限方程

其中$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$. 方程(3.2) 的能量泛函$I^{\infty}_{\lambda}:{{\Bbb R}} ^{N}\rightarrow {{\Bbb R}}$定义为

令

由文献[20] 可知, 当$f$满足条件$\rm (f1)–(f3)$时, 对任意的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 方程(3.2) 存在正的基态解$u^{\infty}_{\lambda}$满足$I^{\infty}_{\lambda}(u^{\infty}_{\lambda}) = m^{\infty}_{\lambda}$且

其中

引理3.2  假设$\rm (f1)–(f3)$和$\rm (V1)–(V3)$成立. 则对任意的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 有$c_{\lambda} < m^{\infty}_{\lambda}$.

证  设$u^{\infty}_{\lambda}$为方程(3.2) 的解且满足$I^{\infty}_{\lambda}(u^{\infty}_{\lambda}) = m^{\infty}_{\lambda}$. 由文献[20] 可知存在$\gamma(t) \in \Gamma^{\infty}_{\lambda}$使得

进一步, 由$(\mbox{V2})$可得$\gamma(t)\in \Gamma_{\lambda}$. 因此, 由$c_{\lambda}$的定义可知, 对任意的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 有

引理3.2得证.

引理3.3  假设$\rm (f1)–(f3)$和$\rm (V1)–(V3)$成立. 若给定$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 设$\{u_{n}\}$是泛函$I_{V, \lambda}$的一个有界$(PS)_{c_{\lambda}}$序列. 则存在$\{u_{n}\}$的一个子列(仍用$\{u_{n}\}$表示), 整数$k\in {\Bbb N}\cup\{0\}$, 点列$\{z^{j}_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$, $\omega^{j}\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, $1\leq j \leq k$, 使得

$\rm (ⅰ)$$u_{n} \rightharpoonup u_{0}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$且$I'_{V, \lambda}(u_{0})=0$;

$\rm (ⅱ)$$|z^{j}_{n}|\rightarrow +\infty$, 且当$i\neq j$时, $|z^{j}_{n} - z^{i}_{n}|\rightarrow +\infty$;

$\rm (ⅲ)$$\omega^{j} \neq 0$且$I'^{\infty}_{\lambda} (\omega^{j}) =0$, $1\leq j \leq k$;

$\rm (ⅳ)$当$n \rightarrow \infty$时, $\|u_{n}-u_{0} -\sum\limits^{k}_{i=1}\omega^{j}(\cdot - z^{j}_{n})\|\rightarrow 0$;

$\rm (v)$当$n \rightarrow \infty$时, $I_{V, \lambda}(u_{n}) \rightarrow I_{V, \lambda}(u_{0}) + \sum\limits^{k}_{i=1}I^{\infty}_{\lambda}(\omega^{j})$.

其中约定当$k=0$时, 上述结论中不含$\omega^{j}$及$\{z^{j}_{n}\}$.

证  因为$\{u_{n} \} \subset H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$有界, 则存在$u_{0} \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$使得$u_{n} \rightharpoonup u_{0}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$. 任取$\varphi \in {\cal C}^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$, 由$\rm (f1)–(f3)$及Rellich定理, 易得

于是由(3.1) 式可得

即对任意$\varphi \in {\cal C}^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$, $\langle I'_{V, \lambda}(u_{0}), \varphi \rangle =0$. 由于${\cal C}^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$在$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$中稠密, 我们可得$I'_{V, \lambda}(u_{0}) =0.$

令$u^{1}_{n} = u_{n} - u_{0}$. 显然

直接计算可得

由条件$(\mbox{V2})$、(3.3) 式及引理2.4可得

于是, 由(3.4)–(3.6) 式可得

另外, 对任意$\varphi \in {\cal C}^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$, 由条件$(\mbox{V2})$、(3.3) 式及引理2.4可得

由(3.1), (3.8)和(3.9) 式及$I'_{V, \lambda}(u_{0}) =0$可知

根据(3.10) 式及$\{u^{1}_{n} \} \subset H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$的有界性, 有

令

若$\delta_{1} =0$, 由引理2.2可知: $u^{1}_{n} \rightarrow 0$于$L^{s}( {{\Bbb R}} ^{N})$, $s\in (2, \frac{2N}{N-2})$. 由(2.1)式, (2.3) 式及$\frac{N+\alpha}{N} < p < q < \frac{N+\alpha}{N-2}$可得

由上式及(3.11) 式可知$u^{1}_{n} \rightarrow 0$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$. 因此, $u_{n} \rightarrow u_{0}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, 且$k=0$时引理结论成立.

若$\delta_{1} >0$, 则存在点列$\{z^{1}_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$使得

设$\omega^{1}_{n}(x)=u^{1}_{n}(x+z^{1}_{n})$. 则$\{\omega^{1}_{n}\}$为$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界序列. 于是存在$\omega^{1}\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$使得

由(3.12)和(3.13) 式可知$\omega^{1} \neq 0$. 进一步, 由(3.3) 式可得$\{z^{1}_{n}\}$为无界点列. 于是选取一个子列(仍用$\{z^{1}_{n}\}$表示), 有$|z^{1}_{n}|\rightarrow +\infty$. 由(3.10) 式易得$I'^{\infty}_{\lambda}(\omega^{1})=0.$

设$u^{2}_{n}(x) = u^{1}_{n}(x) - \omega^{1}(x - z^{1}_{n}) = u_{n}(x)-u_{0}(x) - \omega^{1}(x - z^{1}_{n})$. 由引理2.4可得

因此, 由(3.7) 式可得

另外, 由引理2.4, (3.10) 式及$I'^{\infty}_{\lambda}(\omega^{1}) =0$可知

令

类似于前面$\delta_{1}$的证明, 若$\delta_{2} =0$, 则$u^{2}_{n} \rightarrow 0$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, 即当$n\rightarrow \infty$时

于是

这时引理结论在$k=1$时成立. 若$\delta_{2} >0$, 则存在一个点列$\{z^{2}_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$及$\omega^{2}\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\backslash \{0\}$使得$\omega^{2}_{n}(x)=u^{2}_{n}(x+z^{2}_{n})\rightharpoonup \omega^{2}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$. 由$I'^{\infty}_{\lambda}(u^{2}_{n}) = o_{n}(1)$可得$I'^{\infty}_{\lambda}(\omega^{2}) = 0$. 进一步, 由$u^{2}_{n} \rightharpoonup 0$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, 可知$\{z^{2}_{n}\}$无界. 因此存在子列(仍用$\{z^{2}_{n}\}$表示), 有$|z^{2}_{n}|\rightarrow +\infty$和$|z^{1}_{n} -z^{2}_{n}|\rightarrow +\infty$.

迭代上述过程, 可得点列$\{z^{j}_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$使得$|z^{j}_{n}|\rightarrow +\infty$和$|z^{i}_{n} -z^{j}_{n}|\rightarrow +\infty$, $i\neq j$, 以及函数列

使得$u^{j}_{n}(x +z^{j}_{n}) \rightharpoonup \omega^{j}$及$I'^{\infty}_{\lambda}(\omega^{j})=0$. 进一步, 我们有

因为$\omega^{j}$为方程(3.2) 的非平凡解, 则$I^{\infty}_{\lambda}(\omega^{j}) \geq m^{\infty}_{\lambda}$. 再由$I_{V, \lambda}(u_{n})$的有界性可知迭代必经过有限$k$次停止, 从而引理3.3得证.

引理3.4  假设$\rm (f1)–(f3)$和$(\mbox{V1})$–$(\mbox{V3})$成立, $\alpha \in (1, N)$. 对任意的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 设$\{u_{n}\}\subset H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$为泛函$I_{V, \lambda}$的有界$(PS)_{c_{\lambda}}$序列. 则存在$u_{\lambda}\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\setminus\{0\}$, 使得$u_{n}\rightarrow u_{\lambda}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$, 且$I_{V, \lambda}(u_{\lambda})=c_{\lambda}$.

证  由引理3.3可知, 任取$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 存在$k\in {\Bbb N}\cup \{0\}$, $u_{\lambda}\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$使得$I'_{V, \lambda}(u_{\lambda})=0$, $u_{n}\rightharpoonup u_{\lambda}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$及

其中$\{w^{i}\}^{k}_{i=1}$是泛函$I^{\infty}_{\lambda}$的临界点. 由引理  可知$u_{\lambda}$满足

此时, 由$(\mbox{V1})$可知

由上式及(3.14) 式可得

这与引理3.2的结论相矛盾. 因此$k=0$, 即$u_{n}\rightarrow u_{\lambda}$于$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$且$I_{V, \lambda}(u_{\lambda})=c_{\lambda}$. 引理3.4得证.

下面给出定理1.1的证明.

定理1.1的证明  由命题3.1、引理3.1及3.4可知, 对几乎处处的$\lambda \in [\frac{1}{2}, 1]$, 泛函$I_{V, \lambda}$具有一个非平凡的临界点$u_{\lambda} \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$且$I_{V, \lambda}(u_{\lambda})=c_{\lambda}$. 选取一列$\{\lambda_{n}\}\subset [\frac{1}{2}, 1]$使得$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\lambda_{n} =1$. 于是, 泛函$I_{V, \lambda_{n}}$具有一列非平凡的临界点$\{u_{\lambda_{n}} \}$且$I_{V, \lambda_{n}}(u_{\lambda_{n}}) = c_{\lambda_{n}}$.

下证$\{u_{\lambda_{n}}\}$的有界性. 显然$u_{\lambda_{n}}$满足

及

注意到, 映射$\lambda\mapsto c_{\lambda}$单调减且左连续^[8]. 由(3.15)式, (3.16) 式及$(\mbox{V1})$可得

因此, $\{u_{\lambda_{n}}\}$在$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界. 由(2.2) 和(2.4) 式可得

及对任意$\varphi \in {\cal C}^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$

于是, $\{u_{\lambda_{n}} \}$为泛函$I_{V}=I_{V, 1}$的有界$(PS)_{c_{1}}$序列. 由引理3.4可知泛函$I_{V}$存在一个非平凡的临界点$u_{0}$, 且$I_{V}(u_{0}) =c_{1}$.

最后证明方程(1.1) 基态解的存在性. 设

易得$0 < m \leq I_{V}(u_{0}) = c_{1}< +\infty$. 设$\{u_{n}\} \subset H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$是$I_{V}$的一列非平凡临界点, 且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}I_{V}(u_{n}) = m$. 类似于前面关于$\{u_{\lambda_{n}}\}$有界性的证明, 可得$\{u_{n}\}$是$H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界列. 再利用引理3.4的讨论可得, 存在$\overline{u} \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{N})\setminus\{0\}$使得$I_{V}(\overline{u}) =m$且$I'_{V}(\overline{u}) =0$. 因此, $\overline{u}$是方程(1.1)的基态解. 利用正则性技巧及强极值原理, 可知$\overline{u}>0$.