为了描述Chaplain和Anderson的带趋化效应的肿瘤入侵现象^[5], Fujie等^[12]提出如下系统

其中, $u$表示肿瘤细胞的密度, $v, w, z$分别表示活性细胞外基质(ECM*)、细胞外基质(ECM)和基质降解酶(MDE)的浓度.系统(1.1)的显著特征是趋化信号不是由肿瘤细胞所释放, 而是由细胞外基质(ECM)和基质降解酶(MDE)之间的反应产生的.这种反应机制被称为间接趋化模型^{[17, 38]}, 间接趋化模型解的行为不同于直接趋化模型.直接趋化模型是由细胞自身产生化学信号实现趋化现象, 具体如下

关于直接趋化模型(1.2)的主要结论如下^[4]:

$\bullet$当$D(u, z)=S(u, z)=1$时, 模型在一维空间存在全局有界解^{[15, 31]}.在二维空间($n=2$), 存在临界质量$m_*$, 使得:当$\int_{\Omega}u_0{\rm d}x<m_*$时, 解全局存在; 当$\int_{\Omega}u_0{\rm d}x>m_*$时, 解爆破^{[14, 19, 29, 30, 33]}.在高维空间($n\geq 3$), 对任意初始质量$\int_{\Omega}u_0{\rm d}x>0$, 存在某合适的初值使得相应解在有限时间爆破^{[41, 43]}.

$\bullet$当$D(u, z)=\phi (u)$且$S(u, z)=\psi (u)$时, 若$\theta>\frac{2}{n}$, 则解在有限时间爆破^{[6-8, 16, 42]}; 若$0<\theta<\frac{2}{n}$, 则解全局存在, 其中$\theta$是比率$\frac{u\psi (u)}{\phi (u)}\approx u^{\theta}$的关于$u$的高阶指标^{[9, 10, 18, 36]}.

$\bullet$当$D(u, z)=\gamma (z)$且$S(u, z)=\chi (z)$时, 已知结论均受限于$\chi (z)=-\gamma' (z)$的情形, 则模型(1.2)可以改写为

当假设动态函数$\gamma(z)$有正的下限和上限时^[39], 或$\gamma(z)$在简化的抛物椭圆型系统中呈代数衰减时^[1], 该模型已被证明在二维空间中存在全局有界解.特别地, 当$\gamma'(z)<0$时, 文献[11]提出的密度抑制运动模型描述了在文献[26]实验中观察到的斑图现象.对该类模型的有界性、稳定性以及斑图的形成等方面, 可以参考文献[20, 22, 23].

与直接趋化模型(1.2)相比, 间接模型(1.1)的趋化机制增强了解的正则性和有界性.

当$1\leq n\leq 3$时, 对于系统(1.1), 若$D(u, v)=S(u, v)=1$, 文献[13, 24]证明了存在唯一全局经典解, 当$t\rightarrow \infty$时, 该解指数收敛于平衡点$(\bar{u}_0, \bar{v}_0+\bar{w}_0, 0, \bar{u}_0)$, 其中$\bar{u}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}u_0{\rm d}x$, $\bar{v}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}v_0{\rm d}x$, $\bar{w}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}w_0{\rm d}x$.

当$D(u, z)=\phi (u)$且$S(u, z)=\psi (u)$时, 文献[21]证明了解的有界性和稳定性, 相对于系统(1.1)直接趋化模型的临界值, 间接趋化模型将临界值从直接趋化模型的$\theta=\frac{2}{n}$扩大为$\theta=\frac{4}{n}$.本文将研究系统(1.1)在$D(u, z)=\gamma(v)>0$且$S(u, z)=-\gamma'(v)$的情况, 也即研究如下的初边值问题

其中, 有界区域$\Omega\subset{{\Bbb R}} ^n(1\leqq n\leqq 5)$具有光滑边界$\partial\Omega$, $\frac{\partial}{\partial\nu}$表示$\partial \Omega$的外法向导数, 且细胞运动函数$\gamma(v)>0$满足$\gamma(v)\in C^3[0, \infty)$.基于能量估计和半群理论, 本文建立了经典解的全局存在性以及在$1\leq n\leq 5$带大初值的解的长时间行为.以下先介绍关于有界性与全局存在性的结论.

定理1.1  令$\Omega$是${{\Bbb R}} ^n(1\leq n\leq 5)$中带光滑边界的有界区域.假设$(u_0, v_0, w_0, z_0)\in [W^{1, \infty}]^4$, 其中$u_0, v_0, w_0, z_0$非负且不恒为零, 并且$0<\gamma(v)\in C^3[0, \infty)$.则当以下任一条件成立时, 系统(1.3)存在唯一非负的全局经典解$(u, v, w, z)$:

$\rm (1)$$1\leq n\leq 3$;

$\rm (2)$$4\leq n\leq 5$, 在$[0, \infty)$中有$0<\gamma_1\leq\gamma(v)\leq\gamma_2$, 且$\left|\gamma'(v)\right|\leq \gamma_3$, 其中$\gamma_{i}(i=1, 2, 3)$是某些正常数.

此外, 存在不依赖于时间t的常数$M>0$, 使得对任意$t>0$有

基于定理1.1, 当$n\leq 5$时, 关于时间一致有界的经典解全局存在.以下定理考虑了系统(1.3)解的大时间行为.

定理1.2  假设定理1.1的条件成立.令$(u, v, w, z)$是系统(1.3)的解, 则存在两个正的常数$C$和$\lambda$, 使得对任意$t>0$有

其中$\bar{u}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}u_0{\rm d}x$, $\bar{v}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}v_0{\rm d}x$, $\bar{w}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}w_0{\rm d}x$.

在下文中, 将使用$c_i(i=1, 2, \cdots)$来代表一类正的常数.此外, 以下简写分别有: $\left\|f\right\|_{L^p(\Omega)}$简记为$\left\|f\right\|_{L^p}$, $\int_{\Omega}f(x, t){\rm d}x$简记为$\int_{\Omega}f(x, t)$.在证明之初, 我们会先给出系统(1.3)解的局部存在性, 这可以直接由Amann定理^{[2, 3]}或文献[40, 引理2.6]得出.

引理2.1(局部存在性)  令$n\geq 1$, $\Omega$是${{\Bbb R}} ^n$的一个光滑有界的区域.假设初值$u_0, v_0, w_0, z_0$是非负且不恒为零的函数, 并满足$(u_0, v_0, w_0, z_0)\in[W^{1, \infty}(\Omega)]^4$.此外, $\gamma(s)\subset C^3([0, \infty))$是正函数.则存在一个$T_{\max}\in(0, \infty]$, 使得系统(1.3)存在唯一经典解$(u, v, w, z)$, 对任意$t>0$满足$u, v, w, z$非负且不恒为零.此外, 若$T_{\max}<\infty$, 则有

引理2.2  令$(u, v, w, z)$是系统(1.3)由引理2.1所得的解, 则对任意$t\in (0, T_{\max})$有

且

证  首先对系统(1.3)第一个方程关于$x$积分, 即可直接得到(2.1)式.由于$w$和$z$的非负性, 系统(1.3)第三个方程表明$w_t=-wz<0.$因此(2.2)式成立.

在证明定理1.1前, 首先介绍如下需要使用的预备知识.

引理2.3^[13]  令$(u, v, w, z)$是系统(1.3)由引理2.1所得的解.假设$p\geq 1$且

如果存在一个正常数M, 使得对某$T\in (0, T_{\max})$有

则有

其中$C_z$是正常数.

引理2.4^[13]  令$(u, v, w, z)$是系统(1.3)由引理2.1所得的解.假设$q\geq 1$且

如果存在一个正常数$C_z>0$, 使得对某$T\in (0, T_{\max})$有

则存在一个正常数$C_v>0$, 使得

以下所介绍的引理将应用于引理3.5的证明中, 它的证明过程详见文献[35, 引理3.4].

引理2.5  假设$T>0$且$\tau\in(0, T)$.令$a, b$是正的常数.假设$y:[0, T)\rightarrow [0, \infty)$是绝对连续的且满足

其中某非负函数$h\in L_{loc}^1$满足

则对任意$t\in (0, T)$有

在下文推导解的收敛速度时, 用${\rm e}^{t\Delta}$来标记一些常见的诺伊曼热半群的平滑估计.

引理2.6^[44]  令$({\rm e}^{t\Delta})_{t\geq 0}$是区域$\Omega$上的诺伊曼热半群, $\lambda_1>0$表示$-\Delta$在诺伊曼边界条件下区域$\Omega$上的第一非零特征值.对任意$t>0$, 存在某仅依赖区域$\Omega$的常数$k_i(i=1, 2, 3, 4)$, 使得

$\rm (i)$如果$1\leq q\leq p\leq\infty$, 则

对任意满足$\int_{\Omega}z=0$的$z\in L^q(\Omega)$成立.

$\rm (ii)$如果$1\leq q\leq p\leq\infty$, 则

对任意$z\in L^q(\Omega)$成立.

$\rm (iii)$如果$2\leq q\leq p<\infty$, 则

对任意$z\in W^{1, p}(\Omega)$成立.

$\rm (iv)$如果$1< q\leq p\leq\infty$, 则

对任意$z\in \left(C_0^{\infty}(\Omega)\right)^n$成立.

在下面的引理中, 我们将引入Moser迭代的介绍.

引理2.7(Moser迭代)  假设$\Omega\subset {{\Bbb R}} ^n(\geq 1)$是带光滑边界的有界区域.令$T>0$, 假设 $u\in C\left(\bar{\Omega}\times[0, T)\right)\cap C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T)\right)$是非负的且满足

其中$v\in C\left(\bar{\Omega}\times[0, T)\right)\cap C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T)\right)$和$\gamma(v)\in C^3([0, \infty))$均为非负函数且满足

其中$\gamma_*$和$K$为某正常数.如果存在一个常数$C_v>0$, 满足

则对任意$t\in (0, T)$有

其中$C_u$是一个正常数.

证  以下将通过标准的Moser迭代来建立$u$在$L^{\infty}$ -范数的有界性.为此, 首先计算$u$的$L^p$ -范数, 其中$p>n$.对任意$p>n$, 用$u^{p-1}$乘以系统(2.3)的第一个方程, 结合(2.4)式, 有

上式结合(2.4)式以及项$\int_{\Omega}u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2=\frac{4}{p^2}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2$, 可得

其中$c_1=\frac{K^2C_v^2}{2\gamma_*}+1$.为估计(2.5)等式右边的项, 引入Gagliardo-Nirenberg不等式和某一正常数$c_2$来计算

其中$c_3=c_1c_2+\frac{2\gamma_*}{n}\left(\frac{nc_1c_2}{(n+2)\gamma_*}\right)^{\frac{n+2}{2}}$.因此, 结合(2.5)和(2.6)式, 对任意$t\in (0, T_{\max})$, 有

由常微分方程的比较准则可得

根据Moser迭代技术, 由(2.7)式可得$\left\|u \right\|_{L^{\infty}}\leq c_32^{3n}\left(1+\left|\Omega\right|\right)\left\|u_0 \right\|_{L^{\infty}}.$引理2.7证毕.

本节中, 我们将证明系统(1.3)解的有界性.根据引理2.7, 我们需要推导出$\gamma(v)$的上界与下界, $\left|\gamma'(v)\right|$的有界性以及$\nabla v$的$L_{\infty}$ -范数.对此, 我们将分两种情形来进行考虑, 分别为:$1\leq n\leq 3$和$4\leq n\leq 5$.

情形1   当$1\leq n\leq 3$.

首先研究$\left\|v \right\|_{L^{\infty}}$的有界性, 并据此以及$\gamma(v)\in C^3([0, \infty))$来推出$\gamma(v)$和$\gamma'(v)$的上界与下界.

引理3.1  假设定理1.1的假设成立, 令$1\leq n\leq 3$, 则存在3个不依赖于$t$的正常数${\cal R} _i\ (i=1, 2, 3)$, 使得对任意$(x, t)\in \Omega\times[0, T_{\max})$有

此外, 对任意$t\in(0, T_{\max})$, 存在一个正常数$C_1$满足

证  从引理2.2中注意到对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$\left\|u(\cdot, t) \right\|_{L^1}=\left\|u_0 \right\|_{L^1}$.运用引理2.3, 对任意$t\in(0, T_{\max})$有

结合引理2.4, 对任意$t\in(0, T_{\max})$有

其中$c_1, c_2$是不依赖于$t$的正常数.由$0<\gamma(v)\in C^3([0, \infty))$和(3.5)式, 通过连续函数的性质可直接得出(3.1)和(3.2)式.结合(3.4)式和引理2.4可直接得出(3.3)式.

接着, 本文将研究$\nabla v$的$L^{\infty}$范数.

引理3.2  假设引理3.1的假设成立, 则对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有

其中$C_2>0$是一个不依赖于$t$的常数.

证  从引理3.1中注意到$\gamma(v)\geq\gamma_*>0$, $\left|\gamma'(v(x, t))\right|\leq {\cal R}_3$, 以及$\left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^4}\leq C_1$.用$2u$乘以系统(1.3)的第一个方程, 有

整理得

运用Gagliardo-Nirenberg不等式, 存在某一常数$c_1>0$, 使得下式成立

其中$c_2=c_1\left\|u_0\right\|_{L^1}^2\left(\frac{4-n}{2(n+2)}\left(\frac{3nc_1{\cal R}_3^2C_1^2}{(n+2){\cal R}_1^2}\right)^{\frac{3n}{4-n}}+1\right)$.此时, 运用带$c_p=c_p(n, \Omega)$的Poincaré不等式, 可得

综合(3.6)–(3.7)式可得

其中$c_3=\frac{c_1{\cal R}_3^2C_1^2}{{\cal R}_1}+\frac{{\cal R}_1\left\|u_0\right\|_{L^1}^2}{2c_p\left|\Omega\right|}$.再使用Grönwall不等式, 对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有

其中$c_4=\left(\left\|u_0\right\|_{L^2}^2+\frac{2c_pc_3}{{\cal R}_1}\right)^{\frac{1}{2}}$.综合$u$的$L^2$ -范数有界性及引理2.3, 可以推出$\left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^4}\leq c_5$, 再由引理2.4可推出$\left\|\nabla z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_6$.由此证毕.

最后, 下面将直接从引理2.7推导$\left\|u\right\|_{L^{\infty}}$的有界性.

引理3.3  假设引理3.1的假设成立, 则存在一个常数$C_3$, 使得对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有

证  结合引理3.1和3.2的对任意$(x, t)\in \Omega\times[0, T_{\max})$有$0<{\cal R}_1\leq \gamma(v(x, t))$, $\left|\gamma'(v(x, t))\right|\leq {\cal R}_3$, 且对任意$t\in(0, T_{\max})$有$\left\|\nabla v(x, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq C_2$, 通过直接使用引理2.7, 可以得出(3.8)式.

情形2   当$4\leq n\leq 5$.

不同于$1\leq n\leq 3$的情形, 当$r>n$时, 我们不能得到$\nabla v$的$L^r$ -界, 进而$u$的$L^2$ -有界性不再适用.在此情形下, 作为替换, 首先介绍以下基于文献[23, 39]的引理.

引理3.4  假设定理1.1的假设成立, 令$4\leq n\leq 5$, 在$[0, \infty)$有$0<\gamma_1\leq \gamma(v)\leq \gamma_2$且$\left|\gamma'(v)\right|\leq\gamma_3$, 其中$\gamma_i(i=1, 2, 3)$为正常数.则存在一个常数$C_3>0$, 使得系统(1.3)的解$(u, v, w, z)$满足对任意$t\in(0, \widetilde{T}_{\max})$有

其中

证  首先对任意$\varphi\in L^1(\Omega)$, 标记$\bar{\varphi}$为$\varphi$的平均, 即$\bar{\varphi}=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}\varphi$.标记${\cal A}$为希尔伯特空间$L_{\perp}^2=\left\{\varphi\in L^2(\Omega)|\int_{\Omega}\varphi=0\right\}$在齐次诺伊曼边界条件下$-\Delta$的自伴算子.根据椭圆方程理论, ${\cal A}^{-\alpha}(\alpha>0)$的$\alpha$是${\cal A}$的有界自伴分数幂, 更多细节可参考文献[39, 引理3.1].据此, 系统(1.3)第一个方程可改写为

上面方程等式两边同时乘以$(u-\bar{u})$, 再在$\Omega$上积分, 可得

即

其中$I_1=2\int_{\Omega}(u-\bar{u})\cdot\left(\gamma(v)u- \overline{\gamma(v)u}\right).$注意到从引理2.2所得的$\bar{u}\leq \left\|u_0\right\|_{L^{\infty}}$, 以及假设的条件$\gamma(v)\geq\gamma_1$, 则可对$I_1$进行如下的估计

其中$c_2=c_1^2\gamma_2\left|\Omega\right|$.由上式与(3.9)式可得:对任意$t\in(0, \widetilde{T}_{\max})$有

在另一方面, 注意到$\int_{\Omega}{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})=0$, 运用Poincaré不等式, 对任意$t\in(0, \widetilde{T}_{\max})$有

综合上式, (3.10)式与Grönwall不等式, 对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$\int_{\Omega}\left|{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2\leq c_3.$由此, 对任意$t\in(0, \widetilde T_{\max})$, 在$(t, t+\tau)$上对(3.10)式积分, 有

注意到$\bar{u}=\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u=\frac{\left\|u_0\right\|_{L^1}}{|\Omega|}$, 可从(3.11)式得:对任意$t\in(0, \widetilde T_{\max})$, 有

由此引理3.4证毕.

引理3.5  假设引理3.4的假设成立, 对某$q>\frac{n}{2}$, 对任意$t\in(0, \widetilde{T}_{\max})$, 有

其中$C_4$是一个不依赖于$t$和$\widetilde{T}_{\max}$的正常数, 其中$\widetilde{T}_{\max}$同引理3.4所定义的.

证  用$(z-\Delta z)$乘以系统(1.3)的第四个方程, 并运用Young不等式, 有

由上式可得

记$y(t)=\big(z^2+\left|\nabla z\right|^2\big)$和$h(s)=\int_{\Omega}u^2(\cdot, s)$, 则据引理3.4, 对任意$t\in(0, \widetilde{T}_{\max})$, 有$\int_{t}^{t+\tau}h(s){\rm d}s\leq C_3.$因此, (3.12)式可改写为对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$y'(t)+y(t)\leq h(t),$从上式与引理2.5可导出存在$c_1>0$, 使得对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$\left\|z\right\|_{L^2}+\left\|\nabla z\right\|_{L^2}\leq c_1.$由于在$4\leq n\leq 5$时$\frac{2n}{n-2}>\frac{n}{2}$成立, 对某$q>\frac{n}{2}$和$\theta=n(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})\in (0, 1)$, 对任意$t\in(0, T_{\max})$, 存在$c_2>0$, 使得以下Gagliardo-Nirenberg不等式成立

其中$c_3=2c_1c_2$.引理3.5证毕.

引理3.6  假设引理3.4的假设成立, 对某$r>n$, 存在一个常数$C_5>0$, 使得对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有

证  由于对任意$q>\frac{n}{2}$有$\frac{nq}{n-q}$, 结合引理3.5和引理2.4可直接得到(3.13)式.

引理3.7  假设引理3.4的假设成立, 对任意$p>n$, 存在一个正常数$C_6$, 使得对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有

证  类似于引理3.2的证明, 首先用$pu^{p-1}$乘以系统(1.3)的第一个方程并关于$x$积分, 有

即

结合(3.13)式与运用Hölder不等式, 对某$r>n$, 可以对(3.15)式右边第一项作如下估计

再根据Gagliardo-Nirenberg不等式, 存在$\theta_1=\frac{\frac{p}{2}-\frac{r-2}{2r}}{\frac{p}{2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\in(0, 1)$, $\theta_2=\frac{\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{p}{2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\in(0, 1)$和两个正常数$c_1$, $c_3$, 使得

和

其中$c_2=c_1+c_1^{\frac{1}{1-\theta_1}}(1-\theta_1)\left(\frac{\theta_1C_{\nu}^2\gamma_3^2p^2}{\gamma_1^2}\right)^{\frac{\theta_1}{1-\theta_1}}$, $c_4=c_3+c_3^{\frac{1}{1-\theta_2}}(1-\theta_2)\left(\frac{\theta_2p}{\gamma_1(p-1)}\right)^{\frac{\theta_2}{1-\theta_2}}$.将(3.16)–(3.17)式代入(3.15)式并运用引理2.2, 最终可得

其中$c_5=\left(\frac{c_2\gamma_3^2p(p-1)C_5^2}{2\gamma_1}+c_4\right)\left\|u_0\right\|_{L^1}^p$.据此, 作用Grönwall不等式于(3.18)式, 可得(3.14)式.引理3.7证毕.

引理3.8  假设引理3.4的假设成立, 则存在一个正常数$C_7$, 使得对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有

证  对任意$p>n$, 引理3.7表明对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$\left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^p}\leq C_6,$上式与引理2.3–2.4相结合, 对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$\left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_1,$由此, 对任意$t\in(0, T_{\max})$, 有$\left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_2,$其中$c_1$, $c_2$均为正常数.进一步地, 结合引理2.7与(3.24)式以及$\gamma(v)\geq \gamma_1, \left|\gamma'(v)\right|\leq \gamma_3,$即可得到(3.19)式.由此证毕.

定理1.1的证明  结合引理2.1, 3.3和3.8, 可推出系统(1.3)的解在一致时间上的有界性, 从而完成定理1.1的证明.

在定理1.1的基础上, 本节将研究(1.3)解的大时间行为.为此, 我们将运用半群估计理论^[21].进一步地, 由于系统(1.3)本身的结构, 类似于文献[24, 定理1.1], 可以直接得出$w$的衰减速率.

引理4.1  假设定理1.2的假设成立, 则对任意$t\geq 0$, 系统(1.3)的解$(u, v, w, z)$满足

其中$\xi_1\in(0, \lambda_1)$, 且$L_1>0$是一个不依赖于$t$的常数.

在推导$v$的衰变率之前, 回顾对任意$\varphi\in L^1(\Omega)$, 有$\bar{\varphi}=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}\varphi$.在引理4.1的基础上, 可通过下面两个引理来研究$v$的大时间行为.

引理4.2  假设引理4.1的假设成立, 则对任意$t\geq 0$, 系统(1.3)的解$(u, v, w, z)$满足

其中$\xi_1$的定义同引理4.1, 且$L_2$是一个不依赖于$t$的正常数.

证  对任意$t\geq 0$, 由系统(1.3)的第二个等式可得

运用常数变异法, 从(4.2)式可得:对任意$t\geq 0$, 有

即

接着, 由引理2.6以及$\int_{\Omega}(v-\bar{v_0})=0$, 可以对(4.3)式不等号右边第一项进行如下的估计

此外, 从定理1.1知存在一个常数$c_2>0$, 使得$\left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_2$.因此, 综合$\int_{\Omega}(wz-\overline{wz})=0$, 引理2.6和引理4.1, 可作如下估计

综合(4.3)–(4.4)式, 取$L_2=2k_1(\left\|v_0\right\|_{L^{\infty}}+L_1)$, 即可得到(4.1)式.

引理4.3  假设引理4.1的假设成立, 则存在一个不依赖于$t$的正常数$L_3$, 使得系统(1.3)的解满足:对任意$t\geq 0$, 有

其中$\xi_1$的定义同引理4.1.

证  将系统(1.3)的第二个与第三个方程相加, 并在$\Omega$上积分, 对任意$t\geq 0$有

上式与引理4.1–4.2结合, 对任意$t\geq 0$有

取$L_3=L_1+L_2$, 即可完成证明.

下面的引理4.4和引理4.5将分别研究$\left\|\nabla u\right\|_{L^4}$的有界性和$\left\|\nabla v\right\|_{L^2}$的指数衰减率.在此基础上, 可运用Gagliardo-Nirenberg不等式来证明$u$指数收敛到$\bar{u}_0$.因此, 下文先使用类似于文献[22, 引理4.1]的方法来证明$\left\|\nabla u\right\|_{L^4}$的有界性.

引理4.4  假设引理4.1的假设成立, 对任意$t\geq 1$有

其中$L_4$是一个不依赖于$t$的正常数.

证  由定理1.1可得$\left\|v\right\|_{L^{\infty}}\leq M$, $\gamma(v)\geq c_1$以及$\left|\gamma(v)\right|+\left|\gamma'(v)\right|+\left|\gamma''(v)\right|\leq c_2$, 其中$c_1$, $c_2$是正常数.对系统(1.3)的第一个方程进行微分, 再乘以$\left|\nabla u\right|^2\nabla u$, 并在区域$\Omega$上积分, 有

以下将分别对$J_1$, $J_2$进行估计.

注意到对某$\varphi\in C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T_{\max})\right)$, 有$\frac{1}{2}\Delta\left|\nabla\varphi\right|^2=\nabla\varphi\cdot\nabla\Delta\varphi+\left|D^2\varphi\right|^2$, 则可对(4.7)式等号右边第二项作如下估计

此外, 注意到在$\partial\Omega$上有某$\delta>0$, 使得$\frac{\partial\left|\nabla u\right|^2}{\partial\nu}\leq 2\delta\left|\nabla \varphi\right|^2$ (具体可参见文献[18]和[28, 引理4.2]), 再运用迹不等式(参见文献[34, 注52.9]):对任意$\epsilon>0$, 有

综合上述的条件, 可计算

其中$c_3=\frac{2\delta^2c_2^2}{c_1}$.结合上式与(4.8)式, 可得

将(4.9)式代入(4.7)式, 有

其中$c_4=c_3+\frac{9c_2^2}{2c_1}$.接着, 对$J_2$进行估计.从定理1.1注意到$\left\|u\right\|_{L^{\infty}}+\left\|v\right\|_{W^{1, \infty}}\leq M$和$\left|\gamma(v)\right|+\left|\gamma'(v)\right|+\left|\gamma''(v)\right|\leq c_2$, 根据标准抛物正则性理论(可参见文献[25], [32, 定理1.3]和[37, 引理3.2]), 可知对任意$t\geq 1$, 有$\left\|\Delta v\right\|_{L^{\infty}}\leq c_5$, 进一步可得对任意$t\geq 1$, 有

其中$c_6=c_2M(1+M^2+c_5)$.已知

结合上式与(4.11)式, 可计算

其中$c_7=\frac{(4+n)c_6^2}{c_1}$.由于对某$\varphi\in C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T_{\max})\right)$, 有$n\left|D^2\varphi\right|^2\geq\left|\Delta \varphi\right|^2$, 综合(4.6), (4.10)和(4.12)式可得

即

其中$c_8=1+4c_4+8c_7$.对(4.13)式不等号右边第一项进行估计, 运用一个与文献[27, 引理5.1]相似的方法和Young不等式, 对任意$\epsilon>0$, 有如下估计

上式与(4.13)式相结合, 有

其中$y(t)=\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4$.因此, 在(4.14)式中运用Grönwall不等式可直接得到(4.5)式.

接着, 下面的引理将研究$\left\|\nabla v\right\|_{L^2}$的收敛性.

引理4.5  假设引理4.1的假设成立, 对任意$t\geq 0$, 有

其中$L_5$是一个不依赖于$t$的正常数, 且$\xi_1$的定义同引理4.1.

证  对系统(1.3)的第二个方程运用常数变异法, 可得对任意$t\geq 0$, 有

综合上式与引理2.6, Hölder不等式, $\left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_1$, 以及$\left\|w(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq L_1{\rm e}^{-\xi_1t}$, 对任意$t\geq 0$, 有

其中$c_2=\frac{c_1k_2L_1}{\lambda_1-\xi_1}\left(1+\sqrt{\pi(\lambda_1-\xi_1)}\right)$, $c_3=k_3\left\|\nabla v_0\right\|_{L^2}+c_2$.由此证毕.

引理4.6  假设引理4.1的假设成立, 则对任意$t\geq 0$, 系统(1.3)的解$(u, v, w, z)$满足

其中$L_6$和$\xi_2$是不依赖于$t$的正常数.

证  从系统(1.3)第一个方程可得

注意到$\left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq M$, 用($u-\bar{u}_0$)乘以(4.17)式, 可得

其中$c_1=\min \{\gamma_1, {\cal R}_1\}$, $c_2=\max \{\gamma_3, {\cal R}_3\}$, ${\cal R}_1$, ${\cal R}_3$的定义同引理3.1.由$\int_{\Omega}(u-\bar{u}_0)=0$, 运用Poincaré不等式, 存在一个正常数$c_3\neq\xi_1$, 使得

结合(4.15), (4.18)和(4.19)式, 可得

再运用Grönwall不等式, 有

其中$c_4=\frac{c_2^2L_5^2}{c_1}$, $c_5=\left\|u_0\right\|_{L^2}^2+\frac{c_4}{\left|2\xi_1-c_3\right|}$.因此, 从引理4.4知, 对任意$t\geq 1$, 存在一个正常数$L_4$, 使得

据此, 可运用Gagliardo-Nirenberg不等式, 对任意$t\geq 1$, 有如下估计

其中$\xi_2=\frac{\min\{c_3, 2\xi_1\}}{6}$, $c_7=c_6\left(L_4^{\frac{2}{3}}c_5^{\frac{1}{6}}+c_5^{\frac{1}{2}}\right)$.至此, 可直接得到(4.16)式.证毕.

最后, 本文将研究$z$的大时间行为.

引理4.7  假设引理4.1的假设成立, 则对任意$t\geq 0$, 有

其中$L_7$是一个正常数, $\xi_3=\min\{1, \xi_2\}$.

证  从系统(1.3)的第四个方程可得

对上式使用常数变异法, 对任意$t>0$有

结合引理2.6与(4.16)式, 对任意$t>0$有

其中$\xi_3=\min\{1, \xi_2\}$, 即可得(4.20)式成立.

定理1.2的证明  综合引理4.1, 4.2, 4.6和4.7, 可直接得到定理1.2的结论.