为了描述Chaplain和Anderson的带趋化效应的肿瘤入侵现象^[5], Fujie等^[12]提出如下系统

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{t}=\nabla\cdot(D(u, v)\nabla u)-\nabla\cdot(S(u, v)u\nabla v) , & x\in\Omega, t>0, \\ v_{t}=\Delta v+wz, & x\in\Omega, t>0, \\ w_{t}=-wz, & x\in\Omega, t>0, \\ z_{t}=\Delta z-z+u, & x\in\Omega, t>0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ u $表示肿瘤细胞的密度, $ v, w, z $分别表示活性细胞外基质(ECM*)、细胞外基质(ECM)和基质降解酶(MDE)的浓度.系统(1.1)的显著特征是趋化信号不是由肿瘤细胞所释放, 而是由细胞外基质(ECM)和基质降解酶(MDE)之间的反应产生的.这种反应机制被称为间接趋化模型^{[17, 38]}, 间接趋化模型解的行为不同于直接趋化模型.直接趋化模型是由细胞自身产生化学信号实现趋化现象, 具体如下

(1.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{t}=\nabla\cdot(D(u, z)\nabla u)-\nabla\cdot(S(u, z)u\nabla z) , & x\in\Omega, t>0, \\ z_{t}=\Delta z-z+u, & x\in\Omega, t>0. \end{array}\right. \end{equation} $

关于直接趋化模型(1.2)的主要结论如下^[4]:

$ \bullet $当$ D(u, z)=S(u, z)=1 $时, 模型在一维空间存在全局有界解^{[15, 31]}.在二维空间($ n=2 $), 存在临界质量$ m_* $, 使得:当$ \int_{\Omega}u_0{\rm d}x<m_* $时, 解全局存在; 当$ \int_{\Omega}u_0{\rm d}x>m_* $时, 解爆破^{[14, 19, 29, 30, 33]}.在高维空间($ n\geq 3 $), 对任意初始质量$ \int_{\Omega}u_0{\rm d}x>0 $, 存在某合适的初值使得相应解在有限时间爆破^{[41, 43]}.

$ \bullet $当$ D(u, z)=\phi (u) $且$ S(u, z)=\psi (u) $时, 若$ \theta>\frac{2}{n} $, 则解在有限时间爆破^{[6-8, 16, 42]}; 若$ 0<\theta<\frac{2}{n} $, 则解全局存在, 其中$ \theta $是比率$ \frac{u\psi (u)}{\phi (u)}\approx u^{\theta} $的关于$ u $的高阶指标^{[9, 10, 18, 36]}.

$ \bullet $当$ D(u, z)=\gamma (z) $且$ S(u, z)=\chi (z) $时, 已知结论均受限于$ \chi (z)=-\gamma' (z) $的情形, 则模型(1.2)可以改写为

$ \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}=\Delta(\gamma(z)u), & x\in\Omega, t>0, \\ z_{t}=\Delta z-z+u, & x\in\Omega, t>0. \end{array}\right. $

当假设动态函数$ \gamma(z) $有正的下限和上限时^[39], 或$ \gamma(z) $在简化的抛物椭圆型系统中呈代数衰减时^[1], 该模型已被证明在二维空间中存在全局有界解.特别地, 当$ \gamma'(z)<0 $时, 文献[11]提出的密度抑制运动模型描述了在文献[26]实验中观察到的斑图现象.对该类模型的有界性、稳定性以及斑图的形成等方面, 可以参考文献[20, 22, 23].

与直接趋化模型(1.2)相比, 间接模型(1.1)的趋化机制增强了解的正则性和有界性.

当$ 1\leq n\leq 3 $时, 对于系统(1.1), 若$ D(u, v)=S(u, v)=1 $, 文献[13, 24]证明了存在唯一全局经典解, 当$ t\rightarrow \infty $时, 该解指数收敛于平衡点$ (\bar{u}_0, \bar{v}_0+\bar{w}_0, 0, \bar{u}_0) $, 其中$ \bar{u}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}u_0{\rm d}x $, $ \bar{v}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}v_0{\rm d}x $, $ \bar{w}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}w_0{\rm d}x $.

当$ D(u, z)=\phi (u) $且$ S(u, z)=\psi (u) $时, 文献[21]证明了解的有界性和稳定性, 相对于系统(1.1)直接趋化模型的临界值, 间接趋化模型将临界值从直接趋化模型的$ \theta=\frac{2}{n} $扩大为$ \theta=\frac{4}{n} $.本文将研究系统(1.1)在$ D(u, z)=\gamma(v)>0 $且$ S(u, z)=-\gamma'(v) $的情况, 也即研究如下的初边值问题

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}=\Delta{(\gamma(v)u)}, & x\in\Omega, t>0, \\ v_{t}=\Delta v+wz, & x\in\Omega, t>0, \\ w_{t}=-wz, & x\in\Omega, t>0, \\ z_{t}=\Delta z+ u- z, & x\in\Omega, t>0, \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu}=\frac{\partial v}{\partial \nu}=\frac{\partial z}{\partial \nu}=0, & x\in\partial\Omega, t>0, \\ (u, v, w, z)(x, 0)=(u_0, v_0, w_0, z_0)(x), & x\in\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中, 有界区域$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^n(1\leqq n\leqq 5) $具有光滑边界$ \partial\Omega $, $ \frac{\partial}{\partial\nu} $表示$ \partial \Omega $的外法向导数, 且细胞运动函数$ \gamma(v)>0 $满足$ \gamma(v)\in C^3[0, \infty) $.基于能量估计和半群理论, 本文建立了经典解的全局存在性以及在$ 1\leq n\leq 5 $带大初值的解的长时间行为.以下先介绍关于有界性与全局存在性的结论.

定理1.1  令$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^n(1\leq n\leq 5) $中带光滑边界的有界区域.假设$ (u_0, v_0, w_0, z_0)\in [W^{1, \infty}]^4 $, 其中$ u_0, v_0, w_0, z_0 $非负且不恒为零, 并且$ 0<\gamma(v)\in C^3[0, \infty) $.则当以下任一条件成立时, 系统(1.3)存在唯一非负的全局经典解$ (u, v, w, z) $:

$ \rm (1) $$ 1\leq n\leq 3 $;

$ \rm (2) $$ 4\leq n\leq 5 $, 在$ [0, \infty) $中有$ 0<\gamma_1\leq\gamma(v)\leq\gamma_2 $, 且$ \left|\gamma'(v)\right|\leq \gamma_3 $, 其中$ \gamma_{i}(i=1, 2, 3) $是某些正常数.

此外, 存在不依赖于时间t的常数$ M>0 $, 使得对任意$ t>0 $有

$ \left\|u \right\|_{L^\infty}+\left\|v \right\|_{W^{1, \infty}}+\left\|w \right\|_{L^\infty}+\left\|z \right\|_{W^{1, \infty}}\leq M. $

基于定理1.1, 当$ n\leq 5 $时, 关于时间一致有界的经典解全局存在.以下定理考虑了系统(1.3)解的大时间行为.

定理1.2  假设定理1.1的条件成立.令$ (u, v, w, z) $是系统(1.3)的解, 则存在两个正的常数$ C $和$ \lambda $, 使得对任意$ t>0 $有

$ \left\|u(\cdot, t)-\bar{u}_0 \right\|_{L^\infty}+\left\|v(\cdot, t)-\bar{v}_0-\bar{w}_0 \right\|_{L^\infty}+\left\|w(\cdot, t) \right\|_{L^\infty}+\left\|z(\cdot, t)-\bar{u}_0 \right\|_{L^\infty}\leq C{{\rm e}}^{-\lambda t}, $

其中$ \bar{u}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}u_0{\rm d}x $, $ \bar{v}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}v_0{\rm d}x $, $ \bar{w}_0=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}w_0{\rm d}x $.

在下文中, 将使用$ c_i(i=1, 2, \cdots) $来代表一类正的常数.此外, 以下简写分别有: $ \left\|f\right\|_{L^p(\Omega)} $简记为$ \left\|f\right\|_{L^p} $, $ \int_{\Omega}f(x, t){\rm d}x $简记为$ \int_{\Omega}f(x, t) $.在证明之初, 我们会先给出系统(1.3)解的局部存在性, 这可以直接由Amann定理^{[2, 3]}或文献[40, 引理2.6]得出.

引理2.1(局部存在性)  令$ n\geq 1 $, $ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^n $的一个光滑有界的区域.假设初值$ u_0, v_0, w_0, z_0 $是非负且不恒为零的函数, 并满足$ (u_0, v_0, w_0, z_0)\in[W^{1, \infty}(\Omega)]^4 $.此外, $ \gamma(s)\subset C^3([0, \infty)) $是正函数.则存在一个$ T_{\max}\in(0, \infty] $, 使得系统(1.3)存在唯一经典解$ (u, v, w, z) $, 对任意$ t>0 $满足$ u, v, w, z $非负且不恒为零.此外, 若$ T_{\max}<\infty $, 则有

$ \left\|u(\cdot, t) \right\|_{L^\infty}+\left\|v(\cdot, t) \right\|_{W^{1, \infty}}+\left\|w(\cdot, t) \right\|_{L^\infty}+\left\|z(\cdot, t) \right\|_{W^{1, \infty}}\rightarrow \infty, \ \mbox{当}\ t\nearrow T_{\max}. $

引理2.2  令$ (u, v, w, z) $是系统(1.3)由引理2.1所得的解, 则对任意$ t\in (0, T_{\max}) $有

(2.1) $ \begin{equation} \left\|u(\cdot, t) \right\|_{L^1}=\left\|u_0 \right\|_{L^1}, \end{equation} $

且

(2.2) $ \begin{equation} \left\|w(\cdot, t) \right\|_{L^{\infty}}\leq\left\|w_0 \right\|_{L^{\infty}}. \end{equation} $

证  首先对系统(1.3)第一个方程关于$ x $积分, 即可直接得到(2.1)式.由于$ w $和$ z $的非负性, 系统(1.3)第三个方程表明$ w_t=-wz<0. $因此(2.2)式成立.

在证明定理1.1前, 首先介绍如下需要使用的预备知识.

引理2.3^[13]  令$ (u, v, w, z) $是系统(1.3)由引理2.1所得的解.假设$ p\geq 1 $且

$ \left\{\begin{array}{ll} { } q\in [1, \frac{np}{n-2p}), \ & \mbox{如果} \ { } p\leq \frac{n}{2}; \\ q\in [1, \infty], &{ } \mbox{如果}\ p>\frac{n}{2}. \end{array}\right. $

如果存在一个正常数M, 使得对某$ T\in (0, T_{\max}) $有

$ \left\|u(\cdot, t) \right\|_{L^p}\leq M, \ \mbox{对任意}\ t\in (0, T), $

则有

$ \left\|z(\cdot, t) \right\|_{L^q}\leq C_z(p, q, M), \ \mbox{对任意}\ t\in (0, T), $

其中$ C_z $是正常数.

引理2.4^[13]  令$ (u, v, w, z) $是系统(1.3)由引理2.1所得的解.假设$ q\geq 1 $且

$ \left\{\begin{array}{ll} { } r\in [1, \frac{nq}{n-q}), \ & \mbox{如果} \ q\leq n; \\ r\in [1, \infty], & \mbox{如果}\ q>n. \end{array}\right. $

如果存在一个正常数$ C_z>0 $, 使得对某$ T\in (0, T_{\max}) $有

$ \left\|z(\cdot, t) \right\|_{L^q}\leq C_z, \ \mbox{对任意}\ t\in (0, T), $

则存在一个正常数$ C_v>0 $, 使得

$ \left\|v(\cdot, t) \right\|_{W^{1, r}}\leq C_v(q, r, C_z), \ \mbox{对任意}\ t\in (0, T). $

以下所介绍的引理将应用于引理3.5的证明中, 它的证明过程详见文献[35, 引理3.4].

引理2.5  假设$ T>0 $且$ \tau\in(0, T) $.令$ a, b $是正的常数.假设$ y:[0, T)\rightarrow [0, \infty) $是绝对连续的且满足

$ y'(t)+ay(t)\leq h(t), \; \; \mbox{对任意}\ t\in (0, T), $

其中某非负函数$ h\in L_{loc}^1 $满足

$ \int_{t}^{t+\tau}h(t)\leq b, \; \; \mbox{对任意}\ t\in [0, T-\tau), $

则对任意$ t\in (0, T) $有

$ y(t)\leq \max \bigg\{y(0)+b, \frac{b}{a\tau}+2b\bigg\}. $

在下文推导解的收敛速度时, 用$ {\rm e}^{t\Delta} $来标记一些常见的诺伊曼热半群的平滑估计.

引理2.6^[44]  令$ ({\rm e}^{t\Delta})_{t\geq 0} $是区域$ \Omega $上的诺伊曼热半群, $ \lambda_1>0 $表示$ -\Delta $在诺伊曼边界条件下区域$ \Omega $上的第一非零特征值.对任意$ t>0 $, 存在某仅依赖区域$ \Omega $的常数$ k_i(i=1, 2, 3, 4) $, 使得

$ \rm (i) $如果$ 1\leq q\leq p\leq\infty $, 则

$ \left\|{\rm e}^{t\Delta}z \right\|_{L^p}\leq k_1\left(1+t^{-\frac{n}{2}\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)}\right){\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|z\right\|_{L^q}, $

对任意满足$ \int_{\Omega}z=0 $的$ z\in L^q(\Omega) $成立.

$ \rm (ii) $如果$ 1\leq q\leq p\leq\infty $, 则

$ \left\|\nabla{\rm e}^{t\Delta}z \right\|_{L^p}\leq k_2\left(1+t^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)}\right){\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|z\right\|_{L^q}, $

对任意$ z\in L^q(\Omega) $成立.

$ \rm (iii) $如果$ 2\leq q\leq p<\infty $, 则

$ \left\|\nabla{\rm e}^{t\Delta}z \right\|_{L^p}\leq k_3\left(1+t^{-\frac{n}{2}\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)}\right){\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|\nabla z\right\|_{L^q}, $

对任意$ z\in W^{1, p}(\Omega) $成立.

$ \rm (iv) $如果$ 1< q\leq p\leq\infty $, 则

$ \left\|{\rm e}^{t\Delta}\nabla\cdot z \right\|_{L^p}\leq k_4\left(1+t^{-\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)}\right){\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|z\right\|_{L^q}, $

对任意$ z\in \left(C_0^{\infty}(\Omega)\right)^n $成立.

在下面的引理中, 我们将引入Moser迭代的介绍.

引理2.7(Moser迭代)  假设$ \Omega\subset {{\Bbb R}} ^n(\geq 1) $是带光滑边界的有界区域.令$ T>0 $, 假设 $ u\in C\left(\bar{\Omega}\times[0, T)\right)\cap C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T)\right) $是非负的且满足

(2.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_t=\Delta(\gamma(v)u), & x\in\Omega, t\geq 0, \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu}=0, &x\in \partial\Omega, t\geq 0, \\ u(x, 0)=u_0(x), &x\in\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ v\in C\left(\bar{\Omega}\times[0, T)\right)\cap C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T)\right) $和$ \gamma(v)\in C^3([0, \infty)) $均为非负函数且满足

$ 0<\gamma_*\leq \gamma(v)\ \mbox{且}\ \left|\gamma'(v)\right|\leq K, $

其中$ \gamma_* $和$ K $为某正常数.如果存在一个常数$ C_v>0 $, 满足

(2.4) $ \begin{equation} \left\|\nabla v(\cdot, t) \right\|_{L^{\infty}}\leq C_v, \mbox{对任意}\ t\in (0, T)\ \mbox{成立}, \end{equation} $

则对任意$ t\in (0, T) $有

$ \left\|u(\cdot, t) \right\|_{L^{\infty}}\leq C_u\left(\left\|u_0 \right\|_{L^{\infty}}, \left|\Omega\right|, C_v, \gamma_*, K\right), $

其中$ C_u $是一个正常数.

证  以下将通过标准的Moser迭代来建立$ u $在$ L^{\infty} $ -范数的有界性.为此, 首先计算$ u $的$ L^p $ -范数, 其中$ p>n $.对任意$ p>n $, 用$ u^{p-1} $乘以系统(2.3)的第一个方程, 结合(2.4)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p&=&\int_{\Omega}\Delta(\gamma(v)u)u^{p-1} =\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\gamma(v)\nabla u+\gamma'(v)u\nabla v\right)u^{p-1}\\ &=&-(p-1)\int_{\Omega}\gamma(v)u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2-(p-1)\int_{\Omega}\gamma'(v)u^{p-1}\nabla u\cdot\nabla v\\ &\leq &-\gamma_*(p-1)\int_{\Omega}u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2+K(p-1)\int_{\Omega}u^{p-1}\left|\nabla u\right|\left|\nabla v\right|\\ &\leq & -\frac{\gamma_*}{2}(p-1)\int_{\Omega}u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2+\frac{K^2}{2\gamma_*}(p-1)\int_{\Omega}u^p\left|\nabla v\right|^2. \end{eqnarray*} $

上式结合(2.4)式以及项$ \int_{\Omega}u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2=\frac{4}{p^2}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2 $, 可得

(2.5) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p+p(p-1)\int_{\Omega}u^p+\frac{2\gamma_*(p-1)}{p}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2\leq c_1p(p-1)\int_{\Omega}u^p, \end{equation} $

其中$ c_1=\frac{K^2C_v^2}{2\gamma_*}+1 $.为估计(2.5)等式右边的项, 引入Gagliardo-Nirenberg不等式和某一正常数$ c_2 $来计算

(2.6) $ \begin{eqnarray} c_1\int_{\Omega}u^p&=&c_1\left\|u^{\frac{p}{2}} \right\|_{L^2}^2 \leq c_1c_2\left(\left\|\nabla u^{\frac{p}{2}} \right\|_{L^2}^{\frac{2n}{n+2}}\left\|u^{\frac{p}{2}} \right\|_{L^1}^{\frac{4}{n+2}}+\left\|u^{\frac{p}{2}} \right\|_{L^1}^2\right){}\\ &\leq & \frac{\gamma_*}{p^2}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2+c_3(1+p)^n\left(\int_{\Omega}u^{\frac{p}{2}}\right)^2, \end{eqnarray} $

其中$ c_3=c_1c_2+\frac{2\gamma_*}{n}\left(\frac{nc_1c_2}{(n+2)\gamma_*}\right)^{\frac{n+2}{2}} $.因此, 结合(2.5)和(2.6)式, 对任意$ t\in (0, T_{\max}) $, 有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p+p(p-1)\int_{\Omega}u^p\leq c_3p(p-1)(1+p)^n\left(\int_{\Omega}u^{\frac{p}{2}}\right)^2, $

由常微分方程的比较准则可得

(2.7) $ \begin{equation} \int_{\Omega}u^p\leq \max\left\{\int_{\Omega}u_0^p, c_3(1+p)^n\left(\int_{\Omega}u^{\frac{p}{2}}\right)^2\right\}. \end{equation} $

根据Moser迭代技术, 由(2.7)式可得$ \left\|u \right\|_{L^{\infty}}\leq c_32^{3n}\left(1+\left|\Omega\right|\right)\left\|u_0 \right\|_{L^{\infty}}. $引理2.7证毕.

本节中, 我们将证明系统(1.3)解的有界性.根据引理2.7, 我们需要推导出$ \gamma(v) $的上界与下界, $ \left|\gamma'(v)\right| $的有界性以及$ \nabla v $的$ L_{\infty} $ -范数.对此, 我们将分两种情形来进行考虑, 分别为:$ 1\leq n\leq 3 $和$ 4\leq n\leq 5 $.

情形1   当$ 1\leq n\leq 3 $.

首先研究$ \left\|v \right\|_{L^{\infty}} $的有界性, 并据此以及$ \gamma(v)\in C^3([0, \infty)) $来推出$ \gamma(v) $和$ \gamma'(v) $的上界与下界.

引理3.1  假设定理1.1的假设成立, 令$ 1\leq n\leq 3 $, 则存在3个不依赖于$ t $的正常数$ {\cal R} _i\ (i=1, 2, 3) $, 使得对任意$ (x, t)\in \Omega\times[0, T_{\max}) $有

(3.1) $ \begin{equation} 0<{\cal R}_1\leq \gamma(v(x, t))\leq {\cal R}_2, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \left|\gamma'(v(x, t))\right|\leq {\cal R}_3. \end{equation} $

此外, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 存在一个正常数$ C_1 $满足

(3.3) $ \begin{equation} \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^4}\leq C_1. \end{equation} $

证  从引理2.2中注意到对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ \left\|u(\cdot, t) \right\|_{L^1}=\left\|u_0 \right\|_{L^1} $.运用引理2.3, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $有

(3.4) $ \begin{equation} \left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^2}\leq c_1, \end{equation} $

结合引理2.4, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $有

(3.5) $ \begin{equation} \left\|v(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_2, \end{equation} $

其中$ c_1, c_2 $是不依赖于$ t $的正常数.由$ 0<\gamma(v)\in C^3([0, \infty)) $和(3.5)式, 通过连续函数的性质可直接得出(3.1)和(3.2)式.结合(3.4)式和引理2.4可直接得出(3.3)式.

接着, 本文将研究$ \nabla v $的$ L^{\infty} $范数.

引理3.2  假设引理3.1的假设成立, 则对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有

$ \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq C_2, $

其中$ C_2>0 $是一个不依赖于$ t $的常数.

证  从引理3.1中注意到$ \gamma(v)\geq\gamma_*>0 $, $ \left|\gamma'(v(x, t))\right|\leq {\cal R}_3 $, 以及$ \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^4}\leq C_1 $.用$ 2u $乘以系统(1.3)的第一个方程, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^2&=&-2\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2-2\int_{\Omega}u\gamma'(v)\nabla u\cdot\nabla v\\ &\leq& -\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2+\int_{\Omega}\frac{\left|\gamma'(v)\right|^2}{\gamma(v)}u^2\left|\nabla v\right|^2\\ &\leq& -{\cal R}_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2+\frac{{\cal R}_3^2}{{\cal R}_1}\left\|u^2\right\|_{L^2}\left\|\left|\nabla v\right|^2\right\|_{L^2}, \end{eqnarray*} $

整理得

(3.6) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^2+{\cal R}_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\leq \frac{{\cal R}_3^2C_1^2}{{\cal R}_1}\left\|u\right\|_{L^4}^2. \end{equation} $

运用Gagliardo-Nirenberg不等式, 存在某一常数$ c_1>0 $, 使得下式成立

$ \left\|u\right\|_{L^4}^2\leq c_1\left\|\nabla u\right\|_{L^2}^{\frac{3n}{n+2}}\left\|u\right\|_{L^1}^{\frac{4-n}{n+2}}+c_1\left\|u\right\|_{L^1}^2\leq \frac{{\cal R}_1^2}{2{\cal R}_3^2C_1^2}\left\|\nabla u\right\|_{L^2}^2+c_2, $

其中$ c_2=c_1\left\|u_0\right\|_{L^1}^2\left(\frac{4-n}{2(n+2)}\left(\frac{3nc_1{\cal R}_3^2C_1^2}{(n+2){\cal R}_1^2}\right)^{\frac{3n}{4-n}}+1\right) $.此时, 运用带$ c_p=c_p(n, \Omega) $的Poincaré不等式, 可得

(3.7) $ \begin{equation} \left\|u\right\|_{L^2}^2\leq \left\|u-\widetilde{u}\right\|_{L^2}^2+\left\|\widetilde{u}\right\|_{L^2}^2\leq c_p\left\|\nabla u\right\|_{L^2}^2+\frac{\left\|u_0\right\|_{L^1}^2}{\left|\Omega\right|}. \end{equation} $

综合(3.6)–(3.7)式可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^2+\frac{{\cal R}_1}{2c_p}\int_{\Omega}u^2\leq c_3, $

其中$ c_3=\frac{c_1{\cal R}_3^2C_1^2}{{\cal R}_1}+\frac{{\cal R}_1\left\|u_0\right\|_{L^1}^2}{2c_p\left|\Omega\right|} $.再使用Grönwall不等式, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有

$ \left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^2}\leq c_4, $

其中$ c_4=\left(\left\|u_0\right\|_{L^2}^2+\frac{2c_pc_3}{{\cal R}_1}\right)^{\frac{1}{2}} $.综合$ u $的$ L^2 $ -范数有界性及引理2.3, 可以推出$ \left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^4}\leq c_5 $, 再由引理2.4可推出$ \left\|\nabla z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_6 $.由此证毕.

最后, 下面将直接从引理2.7推导$ \left\|u\right\|_{L^{\infty}} $的有界性.

引理3.3  假设引理3.1的假设成立, 则存在一个常数$ C_3 $, 使得对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有

(3.8) $ \begin{equation} \left\|u\right\|_{L^{\infty}}\leq C_3. \end{equation} $

证  结合引理3.1和3.2的对任意$ (x, t)\in \Omega\times[0, T_{\max}) $有$ 0<{\cal R}_1\leq \gamma(v(x, t)) $, $ \left|\gamma'(v(x, t))\right|\leq {\cal R}_3 $, 且对任意$ t\in(0, T_{\max}) $有$ \left\|\nabla v(x, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq C_2 $, 通过直接使用引理2.7, 可以得出(3.8)式.

情形2   当$ 4\leq n\leq 5 $.

不同于$ 1\leq n\leq 3 $的情形, 当$ r>n $时, 我们不能得到$ \nabla v $的$ L^r $ -界, 进而$ u $的$ L^2 $ -有界性不再适用.在此情形下, 作为替换, 首先介绍以下基于文献[23, 39]的引理.

引理3.4  假设定理1.1的假设成立, 令$ 4\leq n\leq 5 $, 在$ [0, \infty) $有$ 0<\gamma_1\leq \gamma(v)\leq \gamma_2 $且$ \left|\gamma'(v)\right|\leq\gamma_3 $, 其中$ \gamma_i(i=1, 2, 3) $为正常数.则存在一个常数$ C_3>0 $, 使得系统(1.3)的解$ (u, v, w, z) $满足对任意$ t\in(0, \widetilde{T}_{\max}) $有

$ \int_{t}^{t+\tau}\int_{\Omega}u^2\leq C_3, $

其中

$ \tau :=\min\left\{1, \frac{1}{2}T_{\max}\right\}\ \mbox{且}\ \widetilde{T}_{\max}:=\left\{\begin{array}{ll} T_{\max}-\tau, \ & \mbox{如果}\ T_{\max}\leq \infty, \\ \infty, &\mbox{如果}\ T_{\max}=\infty. \end{array}\right. $

证  首先对任意$ \varphi\in L^1(\Omega) $, 标记$ \bar{\varphi} $为$ \varphi $的平均, 即$ \bar{\varphi}=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}\varphi $.标记$ {\cal A} $为希尔伯特空间$ L_{\perp}^2=\left\{\varphi\in L^2(\Omega)|\int_{\Omega}\varphi=0\right\} $在齐次诺伊曼边界条件下$ -\Delta $的自伴算子.根据椭圆方程理论, $ {\cal A}^{-\alpha}(\alpha>0) $的$ \alpha $是$ {\cal A} $的有界自伴分数幂, 更多细节可参考文献[39, 引理3.1].据此, 系统(1.3)第一个方程可改写为

$ (u-\bar{u})_t=-{\cal A}\left(\gamma(v)u- \overline{\gamma(v)u}\right). $

上面方程等式两边同时乘以$ (u-\bar{u}) $, 再在$ \Omega $上积分, 可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2&=&\int_{\Omega}{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\cdot{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})_t\\ &=&\int_{\Omega}{\cal A}^{-1}(u-\bar{u})\cdot(u-\bar{u})_t\\ &=&-\int_{\Omega}{\cal A}^{-1}(u-\bar{u})\cdot{\cal A}\left(\gamma(v)u- \overline{\gamma(v)u}\right)\\ &=&-\int_{\Omega}(u-\bar{u})\cdot\left(\gamma(v)u- \overline{\gamma(v)u}\right), \end{eqnarray*} $

即

(3.9) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2+I_1=0, \end{equation} $

其中$ I_1=2\int_{\Omega}(u-\bar{u})\cdot\left(\gamma(v)u- \overline{\gamma(v)u}\right). $注意到从引理2.2所得的$ \bar{u}\leq \left\|u_0\right\|_{L^{\infty}} $, 以及假设的条件$ \gamma(v)\geq\gamma_1 $, 则可对$ I_1 $进行如下的估计

$ \begin{eqnarray*} I_1&=&2\int_{\Omega}(u-\bar{u})\left(\gamma(v)(u-\bar{u})+\gamma(v)\bar{u}-\overline{\gamma(v)u}\right)\\ &=&2\int_{\Omega}\gamma(v)(u-\bar{u})^2+2\bar{u}\int_{\Omega}\gamma(v)(u-\bar{u})-2\overline{\gamma(v)u}\int_{\Omega}(u-\bar{u})\\ &\geq & \int_{\Omega}\gamma(v)(u-\bar{u})^2-\int_{\Omega}\gamma(v)\bar{u}^2\\ &\geq& \gamma_1\int_{\Omega}(u-\bar{u})^2-c_2, \end{eqnarray*} $

其中$ c_2=c_1^2\gamma_2\left|\Omega\right| $.由上式与(3.9)式可得:对任意$ t\in(0, \widetilde{T}_{\max}) $有

(3.10) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2+\gamma_1\int_{\Omega}(u-\bar{u})^2\leq c_2. \end{equation} $

在另一方面, 注意到$ \int_{\Omega}{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})=0 $, 运用Poincaré不等式, 对任意$ t\in(0, \widetilde{T}_{\max}) $有

$ \int_{\Omega}\left|{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2\leq\int_{\Omega}\left|\nabla{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2=\int_{\Omega}(u-\bar{u})^2. $

综合上式, (3.10)式与Grönwall不等式, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ \int_{\Omega}\left|{\cal A}^{-\frac{1}{2}}(u-\bar{u})\right|^2\leq c_3. $由此, 对任意$ t\in(0, \widetilde T_{\max}) $, 在$ (t, t+\tau) $上对(3.10)式积分, 有

(3.11) $ \begin{equation} \int_{t}^{t+\tau}\int_{\Omega}(u-\bar{u})^2\leq c_4. \end{equation} $

注意到$ \bar{u}=\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u=\frac{\left\|u_0\right\|_{L^1}}{|\Omega|} $, 可从(3.11)式得:对任意$ t\in(0, \widetilde T_{\max}) $, 有

$ \int_{t}^{t+\tau}\int_{\Omega}u^2\leq \int_{t}^{t+\tau}\int_{\Omega}(u-\bar{u})^2+\int_{t}^{t+\tau}\int_{\Omega}\bar{u}^2\leq c_4+\frac{\tau\left\|u_0\right\|_{L^1}^2}{|\Omega|}. $

由此引理3.4证毕.

引理3.5  假设引理3.4的假设成立, 对某$ q>\frac{n}{2} $, 对任意$ t\in(0, \widetilde{T}_{\max}) $, 有

$ \left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^q}\leq C_4, $

其中$ C_4 $是一个不依赖于$ t $和$ \widetilde{T}_{\max} $的正常数, 其中$ \widetilde{T}_{\max} $同引理3.4所定义的.

证  用$ (z-\Delta z) $乘以系统(1.3)的第四个方程, 并运用Young不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left(z^2+\left|\nabla z\right|^2\right)&=&2\int_{\Omega}z\Delta z-\int_{\Omega}\left|\Delta z\right|^2-\int_{\Omega}z^2+\int_{\Omega}uz-\int_{\Omega}u\Delta z\\ &\leq &-2\int_{\Omega}\left|\nabla z\right|^2-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\left|\Delta z\right|^2-\frac{1}{2}\int_{\Omega}z^2+\int_{\Omega}u^2, \end{eqnarray*} $

由上式可得

(3.12) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left(z^2+\left|\nabla z\right|^2\right)+\int_{\Omega}z^2+4\int_{\Omega}\left|\nabla z\right|^2+\int_{\Omega}\left|\Delta z\right|^2\leq \int_{\Omega}u^2. \end{equation} $

记$ y(t)=\big(z^2+\left|\nabla z\right|^2\big) $和$ h(s)=\int_{\Omega}u^2(\cdot, s) $, 则据引理3.4, 对任意$ t\in(0, \widetilde{T}_{\max}) $, 有$ \int_{t}^{t+\tau}h(s){\rm d}s\leq C_3. $因此, (3.12)式可改写为对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ y'(t)+y(t)\leq h(t), $从上式与引理2.5可导出存在$ c_1>0 $, 使得对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ \left\|z\right\|_{L^2}+\left\|\nabla z\right\|_{L^2}\leq c_1. $由于在$ 4\leq n\leq 5 $时$ \frac{2n}{n-2}>\frac{n}{2} $成立, 对某$ q>\frac{n}{2} $和$ \theta=n(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})\in (0, 1) $, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 存在$ c_2>0 $, 使得以下Gagliardo-Nirenberg不等式成立

$ \left\|z\right\|_{L^q}\leq c_2\left\|\nabla z\right\|_{L^2}^{\theta}\left\|z\right\|_{L^2}^{1-\theta}+c_2\left\|z\right\|_{L^2}\leq c_3, $

其中$ c_3=2c_1c_2 $.引理3.5证毕.

引理3.6  假设引理3.4的假设成立, 对某$ r>n $, 存在一个常数$ C_5>0 $, 使得对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有

(3.13) $ \begin{equation} \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^r}\leq C_5. \end{equation} $

证  由于对任意$ q>\frac{n}{2} $有$ \frac{nq}{n-q} $, 结合引理3.5和引理2.4可直接得到(3.13)式.

引理3.7  假设引理3.4的假设成立, 对任意$ p>n $, 存在一个正常数$ C_6 $, 使得对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有

(3.14) $ \begin{equation} \left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^p}\leq C_6. \end{equation} $

证  类似于引理3.2的证明, 首先用$ pu^{p-1} $乘以系统(1.3)的第一个方程并关于$ x $积分, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p&=&-p(p-1)\int_{\Omega}\gamma(v)u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2-p(p-1)\int_{\Omega}\gamma'(v)u^{p-1}\nabla u\cdot\nabla v\\ &\leq &-\frac{p(p-1)}{2}\int_{\Omega}\gamma(v)u^{p-2}\left|\nabla u\right|^2+\frac{p(p-1)}{2}\int_{\Omega}\frac{\left|\gamma'(v)\right|^2}{\gamma(v)}u^p\left|\nabla v\right|^2\\ &\leq & -\frac{2\gamma_1(p-1)}{p}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2+\frac{\gamma_3^2}{2\gamma_1}p(p-1)\int_{\Omega}u^p\left|\nabla v\right|^2, \end{eqnarray*} $

即

(3.15) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p+\frac{2\gamma_1(p-1)}{p}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2\leq \frac{\gamma_3^2}{2\gamma_1}p(p-1)\int_{\Omega}u^p\left|\nabla v\right|^2. \end{equation} $

结合(3.13)式与运用Hölder不等式, 对某$ r>n $, 可以对(3.15)式右边第一项作如下估计

(3.16) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p\left|\nabla v\right|^2\leq\left\|u^p\right\|_{L^{\frac{r}{r-2}}}\left\|\left|\nabla v\right|^2\right\|_{L^{\frac{r}{2}}}\leq C_5^2\left\|u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^{\frac{2r}{r-2}}}^2. \end{equation} $

再根据Gagliardo-Nirenberg不等式, 存在$ \theta_1=\frac{\frac{p}{2}-\frac{r-2}{2r}}{\frac{p}{2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\in(0, 1) $, $ \theta_2=\frac{\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{p}{2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}\in(0, 1) $和两个正常数$ c_1 $, $ c_3 $, 使得

$ \left\|u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^{\frac{2r}{r-2}}}^2\leq c_1\left\|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^2}^{2\theta_1}\left\| u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^{\frac{2}{p}}}^{2(1-\theta_1)}+c_1\left\| u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^{\frac{2}{p}}}^2\leq \frac{\gamma_1^2}{C_5^2\gamma_3^2p^2}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2+c_2\left\|u\right\|_{L^1}^p $

和

(3.17) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega}u^p=\left\|u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^2}^2&\leq & c_3\left\|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^2}^{2\theta_2}\left\|u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^{\frac{2}{p}}}^{2(1-\theta_2)}+c_3\left\|u^{\frac{p}{2}}\right\|_{L^{\frac{2}{p}}}^2 {}\\ &\leq &\frac{\gamma_1(p-1)}{p}\int_{\Omega}\left|\nabla u^{\frac{p}{2}}\right|^2+c_4\left\|u\right\|_{L^1}^p, \end{eqnarray} $

其中$ c_2=c_1+c_1^{\frac{1}{1-\theta_1}}(1-\theta_1)\left(\frac{\theta_1C_{\nu}^2\gamma_3^2p^2}{\gamma_1^2}\right)^{\frac{\theta_1}{1-\theta_1}} $, $ c_4=c_3+c_3^{\frac{1}{1-\theta_2}}(1-\theta_2)\left(\frac{\theta_2p}{\gamma_1(p-1)}\right)^{\frac{\theta_2}{1-\theta_2}} $.将(3.16)–(3.17)式代入(3.15)式并运用引理2.2, 最终可得

(3.18) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^p+\int_{\Omega}u^p\leq c_5, \end{equation} $

其中$ c_5=\left(\frac{c_2\gamma_3^2p(p-1)C_5^2}{2\gamma_1}+c_4\right)\left\|u_0\right\|_{L^1}^p $.据此, 作用Grönwall不等式于(3.18)式, 可得(3.14)式.引理3.7证毕.

引理3.8  假设引理3.4的假设成立, 则存在一个正常数$ C_7 $, 使得对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有

(3.19) $ \begin{equation} \left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq C_7. \end{equation} $

证  对任意$ p>n $, 引理3.7表明对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ \left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^p}\leq C_6, $上式与引理2.3–2.4相结合, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ \left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_1, $由此, 对任意$ t\in(0, T_{\max}) $, 有$ \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_2, $其中$ c_1 $, $ c_2 $均为正常数.进一步地, 结合引理2.7与(3.24)式以及$ \gamma(v)\geq \gamma_1, \left|\gamma'(v)\right|\leq \gamma_3, $即可得到(3.19)式.由此证毕.

定理1.1的证明  结合引理2.1, 3.3和3.8, 可推出系统(1.3)的解在一致时间上的有界性, 从而完成定理1.1的证明.

在定理1.1的基础上, 本节将研究(1.3)解的大时间行为.为此, 我们将运用半群估计理论^[21].进一步地, 由于系统(1.3)本身的结构, 类似于文献[24, 定理1.1], 可以直接得出$ w $的衰减速率.

引理4.1  假设定理1.2的假设成立, 则对任意$ t\geq 0 $, 系统(1.3)的解$ (u, v, w, z) $满足

$ \left\|w(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq L_1{\rm e}^{-\xi_1t}, $

其中$ \xi_1\in(0, \lambda_1) $, 且$ L_1>0 $是一个不依赖于$ t $的常数.

在推导$ v $的衰变率之前, 回顾对任意$ \varphi\in L^1(\Omega) $, 有$ \bar{\varphi}=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}\varphi $.在引理4.1的基础上, 可通过下面两个引理来研究$ v $的大时间行为.

引理4.2  假设引理4.1的假设成立, 则对任意$ t\geq 0 $, 系统(1.3)的解$ (u, v, w, z) $满足

(4.1) $ \begin{equation} \left\|v(\cdot, t)-\bar{v}(t)\right\|_{L^{\infty}}\leq L_2{\rm e}^{-\xi_1t}, \end{equation} $

其中$ \xi_1 $的定义同引理4.1, 且$ L_2 $是一个不依赖于$ t $的正常数.

证  对任意$ t\geq 0 $, 由系统(1.3)的第二个等式可得

(4.2) $ \begin{equation} (v-\bar{v})_t=\Delta v+wz-\overline{wz}. \end{equation} $

运用常数变异法, 从(4.2)式可得:对任意$ t\geq 0 $, 有

$ v(\cdot, t)-\bar{v}(t)={\rm e}^{\Delta t}(v_0-\bar{v}_0)+\int_{0}^{t}{\rm e}^{\Delta (t-s)}\left((wz)(\cdot, s)-\overline{wz}(s)\right), $

即

(4.3) $ \begin{equation} \left\|v(\cdot, t)-\bar{v}(t)\right\|_{L^{\infty}}\leq \left\|{\rm e}^{\Delta t}(v_0-\bar{v}_0)\right\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}\left\|{\rm e}^{\Delta (t-s)}\left((wz)(\cdot, s)-\overline{wz}(s)\right)\right\|_{L^{\infty}}{\rm d}s. \end{equation} $

接着, 由引理2.6以及$ \int_{\Omega}(v-\bar{v_0})=0 $, 可以对(4.3)式不等号右边第一项进行如下的估计

$ \left\|{\rm e}^{\Delta t}(v_0-\bar{v}_0)\right\|_{L^{\infty}}\leq k_1{\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|v_0-\bar{v}_0\right\|_{L^{\infty}}\leq 2k_1\left\|v_0\right\|_{L^{\infty}}{\rm e}^{-\lambda_1t}. $

此外, 从定理1.1知存在一个常数$ c_2>0 $, 使得$ \left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_2 $.因此, 综合$ \int_{\Omega}(wz-\overline{wz})=0 $, 引理2.6和引理4.1, 可作如下估计

(4.4) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{t}\left\|{\rm e}^{\Delta (t-s)}\left((wz)(\cdot, s)-\overline{wz}(s)\right)\right\|_{L^{\infty}}{\rm d}s &\leq& k_1\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda_1(t-s)}\left\|wz(\cdot, s)-\overline{wz}(s)\right\|_{L^{\infty}}{\rm d}s{}\\ &\leq& 2k_1\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda_1(t-s)}\left\|w(\cdot, s)\right\|_{L^{\infty}}\left\|z(\cdot, s)\right\|_{L^{\infty}}{\rm d}s{}\\ & \leq& 2k_1L_1\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda_1(t-s)}{\rm e}^{-\xi_1 s}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

综合(4.3)–(4.4)式, 取$ L_2=2k_1(\left\|v_0\right\|_{L^{\infty}}+L_1) $, 即可得到(4.1)式.

引理4.3  假设引理4.1的假设成立, 则存在一个不依赖于$ t $的正常数$ L_3 $, 使得系统(1.3)的解满足:对任意$ t\geq 0 $, 有

$ \left\|(v(\cdot, s)-(\bar{v}_0+\bar{w}_0)\right\|_{L^{\infty}}\leq L_3{\rm e}^{-\xi_1 t}, $

其中$ \xi_1 $的定义同引理4.1.

证  将系统(1.3)的第二个与第三个方程相加, 并在$ \Omega $上积分, 对任意$ t\geq 0 $有

$ \bar{v}(t)=\bar{v}_0(t)+\bar{w}_0(t)-\bar{w}(t), $

上式与引理4.1–4.2结合, 对任意$ t\geq 0 $有

$ \begin{eqnarray*} \left\|v(\cdot, t)-(\bar{v}_0+\bar{w}_0)\right\|_{L^{\infty}}&\leq & \left\|v(\cdot, t)-\bar{v}(t)\right\|_{L^{\infty}}+\left\|\bar{v}(t)-(\bar{v}_0+\bar{w}_0)\right\|_{L^{\infty}}\\ &\leq& L_2{\rm e}^{-\xi_1 t}+\left\|\bar{w}(t)\right\|_{L^{\infty}}\\ &\leq& (L_1+L_2){\rm e}^{-\xi_1 t}. \end{eqnarray*} $

取$ L_3=L_1+L_2 $, 即可完成证明.

下面的引理4.4和引理4.5将分别研究$ \left\|\nabla u\right\|_{L^4} $的有界性和$ \left\|\nabla v\right\|_{L^2} $的指数衰减率.在此基础上, 可运用Gagliardo-Nirenberg不等式来证明$ u $指数收敛到$ \bar{u}_0 $.因此, 下文先使用类似于文献[22, 引理4.1]的方法来证明$ \left\|\nabla u\right\|_{L^4} $的有界性.

引理4.4  假设引理4.1的假设成立, 对任意$ t\geq 1 $有

(4.5) $ \begin{equation} \left\|\nabla u\right\|_{L^4}\leq L_4, \end{equation} $

其中$ L_4 $是一个不依赖于$ t $的正常数.

证  由定理1.1可得$ \left\|v\right\|_{L^{\infty}}\leq M $, $ \gamma(v)\geq c_1 $以及$ \left|\gamma(v)\right|+\left|\gamma'(v)\right|+\left|\gamma''(v)\right|\leq c_2 $, 其中$ c_1 $, $ c_2 $是正常数.对系统(1.3)的第一个方程进行微分, 再乘以$ \left|\nabla u\right|^2\nabla u $, 并在区域$ \Omega $上积分, 有

(4.6) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{4}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4&=&-\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\left|\nabla u\right|^2\nabla u\right)\nabla\cdot\left(\gamma(v)\nabla u\right)-\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\left|\nabla u\right|^2\nabla u\right)\nabla\cdot\left(\gamma'(v)u\nabla v\right)\\ &:=&J_1+J_2. \end{eqnarray} $

以下将分别对$ J_1 $, $ J_2 $进行估计.

(4.7) $ \begin{eqnarray} J_1&=&-\int_{\Omega}\nabla\left|\nabla u\right|^2\cdot\nabla u\nabla\cdot\left(\gamma(v)\nabla u\right)-\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\Delta u\nabla\cdot\left(\gamma(v)\nabla u\right){}\\ &=&-\int_{\Omega}\gamma'(v)\left|\nabla u\right|^2\nabla \left|\nabla u\right|^2\cdot\nabla v+\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\nabla u\cdot\nabla\Delta u. \end{eqnarray} $

注意到对某$ \varphi\in C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T_{\max})\right) $, 有$ \frac{1}{2}\Delta\left|\nabla\varphi\right|^2=\nabla\varphi\cdot\nabla\Delta\varphi+\left|D^2\varphi\right|^2 $, 则可对(4.7)式等号右边第二项作如下估计

(4.8) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\nabla u\cdot\nabla\Delta u&=&\frac{1}{2}\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\Delta\left|\nabla u\right|^2-\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2{}\\ &\leq & \frac{1}{2}\int_{\partial\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\frac{\partial\left|\nabla u\right|^2}{\partial\nu}-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\gamma'(v)\left|\nabla u\right|^2\nabla\left|\nabla u\right|^2\cdot\nabla v{}\\ &&-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla\left|\nabla u\right|^2\right|^2-\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2. \end{eqnarray} $

此外, 注意到在$ \partial\Omega $上有某$ \delta>0 $, 使得$ \frac{\partial\left|\nabla u\right|^2}{\partial\nu}\leq 2\delta\left|\nabla \varphi\right|^2 $ (具体可参见文献[18]和[28, 引理4.2]), 再运用迹不等式(参见文献[34, 注52.9]):对任意$ \epsilon>0 $, 有

$ \left\|\varphi\right\|_{L^2(\partial\Omega)}\leq \epsilon\left\|\nabla\varphi\right\|_{L^2(\Omega)}+C_{\epsilon}\left\|\varphi\right\|_{L^2(\Omega)}. $

综合上述的条件, 可计算

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{\partial\Omega}\gamma(v)\left|u\right|^2\frac{\partial\left|\nabla u\right|^2}{\partial\nu}&\leq&\delta c_2\int_{\partial\Omega}\left|\nabla u\right|^4 =\delta c_2\left\|\left|\nabla u\right|^2\right\|_{L^2(\partial\Omega)}^2\\ &\leq&\frac{c_1}{8}\left\|\nabla\left|\nabla u\right|^2\right\|_{L^2}^2+c_3\left\|\left|\nabla u\right|^2\right\|_{L^2}^2, \end{eqnarray*} $

其中$ c_3=\frac{2\delta^2c_2^2}{c_1} $.结合上式与(4.8)式, 可得

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla u\right|^2\nabla u\cdot\nabla\Delta u{}\\ & \leq&-\frac{3c_1}{8}\int_{\Omega}\left|\nabla \left|\nabla u\right|^2\right|^2+c_3\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4+\frac{c_2}{2}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|\nabla \left|\nabla u\right|^2\right|\left|\nabla v\right|-c_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2.{\qquad} \end{eqnarray} $

将(4.9)式代入(4.7)式, 有

(4.10) $ \begin{eqnarray} J_1&\leq & -\frac{3c_1}{8}\int_{\Omega}\left|\nabla \left|\nabla u\right|^2\right|^2+c_3\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4+\frac{3c_2}{2}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|\nabla \left|\nabla u\right|^2\right|\left|\nabla v\right|-c_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2\\ &=&-\frac{c_1}{4}\int_{\Omega}\left|\nabla \left|\nabla u\right|^2\right|^2+c_4\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4-c_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2, \end{eqnarray} $

其中$ c_4=c_3+\frac{9c_2^2}{2c_1} $.接着, 对$ J_2 $进行估计.从定理1.1注意到$ \left\|u\right\|_{L^{\infty}}+\left\|v\right\|_{W^{1, \infty}}\leq M $和$ \left|\gamma(v)\right|+\left|\gamma'(v)\right|+\left|\gamma''(v)\right|\leq c_2 $, 根据标准抛物正则性理论(可参见文献[25], [32, 定理1.3]和[37, 引理3.2]), 可知对任意$ t\geq 1 $, 有$ \left\|\Delta v\right\|_{L^{\infty}}\leq c_5 $, 进一步可得对任意$ t\geq 1 $, 有

(4.11) $ \begin{eqnarray} \left|\nabla\cdot\left(\gamma'(v)u\nabla v\right)\right|&=&\left|\gamma''(v)u\left|\nabla v\right|^2+\gamma'(v)\nabla u\cdot\nabla v+\gamma'(v)u\Delta v\right|{}\\ &\leq & c_2\left(\left\|u\right\|_{L^{\infty}}\left\|v\right\|_{W^{1, \infty}}^2+\left\|v\right\|_{W^{1, \infty}}\left|\nabla u\right|+\left\|u\right\|_{L^{\infty}}\left\|\Delta v\right\|_{L^{\infty}}\right){}\\ &\leq& c_6\left(1+\left|\nabla u\right|\right), \end{eqnarray} $

其中$ c_6=c_2M(1+M^2+c_5) $.已知

$ \nabla\cdot\left(\left|\nabla u\right|^2\nabla u\right)=\nabla u\cdot\nabla\left|\nabla u\right|^2+\left|\nabla u\right|^2\Delta u, $

结合上式与(4.11)式, 可计算

(4.12) $ \begin{eqnarray} J_2&=&-\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\left|\nabla u\right|^2\nabla u\right)\nabla\cdot\left(\gamma'(v)u\nabla v\right){}\\ &\leq & c_6\left(\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|\left|\nabla\left|\nabla u\right|^2\right|+\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|\nabla\left|\nabla u\right|^2\right|+\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|\Delta u\right|+\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^3\left|\Delta u\right|\right){}\\ &\leq&\frac{c_1}{8}\int_{\Omega}\left|\nabla\left|\nabla u\right|^2\right|^2+\frac{c_1}{2n}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|\Delta u\right|^2+c_7\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2+c_7\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4, \end{eqnarray} $

其中$ c_7=\frac{(4+n)c_6^2}{c_1} $.由于对某$ \varphi\in C^{2, 1}\left(\bar{\Omega}\times(0, T_{\max})\right) $, 有$ n\left|D^2\varphi\right|^2\geq\left|\Delta \varphi\right|^2 $, 综合(4.6), (4.10)和(4.12)式可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{4}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4+\frac{c_1}{8}\int_{\Omega}\left|\nabla\left|\nabla u\right|^2\right|^2+c_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2+\frac{1}{4}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4\\ &\leq&\frac{c_1}{2n}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|\Delta u\right|^2+c_7\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2+\left(\frac{1}{4}+c_4+c_7\right)\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4\\ &\leq&\frac{c_1}{2}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2+\left(\frac{1}{4}+c_4+2c_7\right)\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4+\frac{c_7}{4}\left|\Omega\right|, \end{eqnarray*} $

即

(4.13) $ \begin{equation} \frac{1}{4}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4+2c_1\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2+\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4\leq c_8\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4+c_7\left|\Omega\right|, \end{equation} $

其中$ c_8=1+4c_4+8c_7 $.对(4.13)式不等号右边第一项进行估计, 运用一个与文献[27, 引理5.1]相似的方法和Young不等式, 对任意$ \epsilon>0 $, 有如下估计

$ \int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4\leq\epsilon\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2\left|D^2 u\right|^2+C_{\epsilon}\left\|u\right\|_{L^{\infty}}^6, $

上式与(4.13)式相结合, 有

(4.14) $ \begin{equation} y'(t)+y(t)\leq c_9, \end{equation} $

其中$ y(t)=\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^4 $.因此, 在(4.14)式中运用Grönwall不等式可直接得到(4.5)式.

接着, 下面的引理将研究$ \left\|\nabla v\right\|_{L^2} $的收敛性.

引理4.5  假设引理4.1的假设成立, 对任意$ t\geq 0 $, 有

(4.15) $ \begin{equation} \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^2}\leq L_5{\rm e}^{-\xi_1t}, \end{equation} $

其中$ L_5 $是一个不依赖于$ t $的正常数, 且$ \xi_1 $的定义同引理4.1.

证  对系统(1.3)的第二个方程运用常数变异法, 可得对任意$ t\geq 0 $, 有

$ v(\cdot, t)={\rm e}^{t\Delta}v_0+\int_{0}^{t}\left\|\nabla{\rm e}^{(t-s)\Delta}w(\cdot, s)z(\cdot, s)\right\|_{L^2}{\rm d}s. $

综合上式与引理2.6, Hölder不等式, $ \left\|z(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq c_1 $, 以及$ \left\|w(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq L_1{\rm e}^{-\xi_1t} $, 对任意$ t\geq 0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \left\|\nabla v(\cdot, t)\right\|_{L^2}&\leq&\left\|\nabla {\rm e}^{t\Delta}v_0(\cdot, t)\right\|_{L^2}+\int_{0}^{t}\left\|\nabla {\rm e}^{(t-s)\Delta}w(\cdot, s)z(\cdot, s)\right\|_{L^2}{\rm d}s\\ &\leq &k_3{\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|\nabla v_0\right\|_{L^2}+k_2\int_{0}^{t}\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}}\right){\rm e}^{-\lambda_1(t-s)}\left\|w(\cdot, s)z(\cdot, s)\right\|_{L^2}{\rm d}s\\ &\leq &k_3{\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|\nabla v_0\right\|_{L^2}+c_1k_2L_1\int_{0}^{t}\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}}\right){\rm e}^{-\lambda_1(t-s)}{\rm e}^{-\xi_1s}{\rm d}s\\ &\leq &k_3{\rm e}^{-\lambda_1t}\left\|\nabla v_0\right\|_{L^2}+c_2{\rm e}^{-\xi_1t}\\ &\leq &c_3{\rm e}^{-\xi_1t}, \end{eqnarray*} $

其中$ c_2=\frac{c_1k_2L_1}{\lambda_1-\xi_1}\left(1+\sqrt{\pi(\lambda_1-\xi_1)}\right) $, $ c_3=k_3\left\|\nabla v_0\right\|_{L^2}+c_2 $.由此证毕.

引理4.6  假设引理4.1的假设成立, 则对任意$ t\geq 0 $, 系统(1.3)的解$ (u, v, w, z) $满足

(4.16) $ \begin{equation} \left\|u(\cdot, t)-\bar{u}_0\right\|_{L^{\infty}}\leq L_6{\rm e}^{-\xi_2t}, \end{equation} $

其中$ L_6 $和$ \xi_2 $是不依赖于$ t $的正常数.

证  从系统(1.3)第一个方程可得

(4.17) $ \begin{equation} (u(\cdot, t)-\bar{u}_0)_t=\nabla\cdot\left(\gamma(v)\nabla(u-\bar{u}_0)\right)-\nabla\cdot\left(\gamma'(v)u\nabla v\right). \end{equation} $

注意到$ \left\|u(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}}\leq M $, 用($ u-\bar{u}_0 $)乘以(4.17)式, 可得

(4.18) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(u-\bar{u}_0)^2&=&-\int_{\Omega}\gamma(v)\left|\nabla(u-\bar{u}_0)\right|^2+\int_{\Omega}\gamma'(v)u\nabla v\cdot\nabla (u-\bar{u}_0){}\\ &\leq &-c_1\int_{\Omega}\left|\nabla(u-\bar{u}_0)\right|^2+c_2\int_{\Omega}\left|\nabla(u-\bar{u}_0)\right|\left|\nabla v\right|{}\\ &\leq& -\frac{c_2}{2}\int_{\Omega}\left|\nabla(u-\bar{u}_0)\right|^2+\frac{c_2^2}{2c_1}\int_{\Omega}\left|\nabla v\right|^2, \end{eqnarray} $

其中$ c_1=\min \{\gamma_1, {\cal R}_1\} $, $ c_2=\max \{\gamma_3, {\cal R}_3\} $, $ {\cal R}_1 $, $ {\cal R}_3 $的定义同引理3.1.由$ \int_{\Omega}(u-\bar{u}_0)=0 $, 运用Poincaré不等式, 存在一个正常数$ c_3\neq\xi_1 $, 使得

(4.19) $ \begin{equation} c_3\int_{\Omega}\left|u-\bar{u}_0\right|^2\leq\int_{\Omega}\left|\nabla(u-\bar{u}_0)\right|^2. \end{equation} $

结合(4.15), (4.18)和(4.19)式, 可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left|(u-\bar{u}_0)\right|^2+c_3\int_{\Omega}\left|\nabla(u-\bar{u}_0)\right|^2\leq c_4{\rm e}^{-2\xi_1t}, $

再运用Grönwall不等式, 有

$ \left\|u-\bar{u}_0\right\|_{L^2}^2\leq c_5{\rm e}^{-\min\{c_3, 2\xi_1\}t}, $

其中$ c_4=\frac{c_2^2L_5^2}{c_1} $, $ c_5=\left\|u_0\right\|_{L^2}^2+\frac{c_4}{\left|2\xi_1-c_3\right|} $.因此, 从引理4.4知, 对任意$ t\geq 1 $, 存在一个正常数$ L_4 $, 使得

$ \left\|\nabla v\right\|_{L^4}\leq L_4. $

据此, 可运用Gagliardo-Nirenberg不等式, 对任意$ t\geq 1 $, 有如下估计

$ \begin{eqnarray*} \left\|u-\bar{u}_0\right\|_{L^{\infty}}&\leq& c_6\left\|\nabla v\right\|_{L^4}^{\frac{2}{3}}\left\|u-\bar{u}_0\right\|_{L^2}^{\frac{1}{3}}+c_6\left\|u-\bar{u}_0\right\|_{L^2}\\ &\leq& c_6L_4^{\frac{2}{3}}\left\|u-\bar{u}_0\right\|_{L^2}^{\frac{1}{3}}+c_6\left\|u-\bar{u}_0\right\|_{L^2}\\ &\leq &c_7{\rm e}^{-\xi_2t}, \end{eqnarray*} $

其中$ \xi_2=\frac{\min\{c_3, 2\xi_1\}}{6} $, $ c_7=c_6\left(L_4^{\frac{2}{3}}c_5^{\frac{1}{6}}+c_5^{\frac{1}{2}}\right) $.至此, 可直接得到(4.16)式.证毕.

最后, 本文将研究$ z $的大时间行为.

引理4.7  假设引理4.1的假设成立, 则对任意$ t\geq 0 $, 有

(4.20) $ \begin{equation} \left\|z(\cdot, t)-\bar{u}_0\right\|_{L^{\infty}}\leq L_7{\rm e}^{-\xi_3t}, \end{equation} $

其中$ L_7 $是一个正常数, $ \xi_3=\min\{1, \xi_2\} $.

证  从系统(1.3)的第四个方程可得

$ (z-\bar{u}_0)_t=\Delta (z-\bar{u}_0)-z+\bar{u}_0+u-\bar{u}_0, $

对上式使用常数变异法, 对任意$ t>0 $有

$ z(\cdot, t)-\bar{u}_0={\rm e}^{(\Delta-1)t} (z_0(\cdot)-\bar{u}_0)+\int_{0}^{t}{\rm e}^{(\Delta-1)(t-s)}(u(\cdot, s)-\bar{u}_0){\rm d}s. $

结合引理2.6与(4.16)式, 对任意$ t>0 $有

$ \begin{eqnarray*} \left\|z(\cdot, t)-\bar{u}_0\right\|_{L^{\infty}}&\leq &{\rm e}^{-t}\left\|{\rm e}^{t\Delta}(z_0(\cdot)-\bar{u}_0)\right\|_{L^{\infty}}+\int_{0}^{t}{\rm e}^{-(t-s)}\left\|{\rm e}^{(t-s)\Delta}(u(\cdot, s)-\bar{u}_0)\right\|_{L^{\infty}}{\rm d}s\\ &\leq& c_1{\rm e}^{-t}\left\|(z_0(\cdot)-\bar{u}_0)\right\|_{L^{\infty}}+c_2\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda_1s}{\rm e}^{-(t-s)}\left\|u(\cdot, s)-\bar{u}_0\right\|_{L^{\infty}}{\rm d}s\\ &\leq &c_3{\rm e}^{-t}+c_4\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\lambda_1s}{\rm e}^{-(t-s)}{\rm e}^{-\xi_2s}{\rm d}s\\ &\leq &c_3{\rm e}^{-t}+c_5{\rm e}^{-\min\{1, \xi_2\}t}\\ &\leq &c_6{\rm e}^{-\xi_3t}, \end{eqnarray*} $

其中$ \xi_3=\min\{1, \xi_2\} $, 即可得(4.20)式成立.

定理1.2的证明  综合引理4.1, 4.2, 4.6和4.7, 可直接得到定理1.2的结论.