本文主要考虑移动环境下带有非局部扩散项和时滞的反应扩散方程

(1.1) $ \begin{equation} u_t(x, t)=d[(J*u)(x, t)-u(x, t)]+f(x-ct, u(x, t), u(x, t-\tau)), \ \ \ x\in {{\mathbb R}}, t>0, \end{equation} $

其中$ d $, $ c $, $ \tau>0 $, $ f\in C^1({{\mathbb R}}\times{{\mathbb R}}_+^2, {{\mathbb R}}) $, $ J*u $是一个空间卷积函数, 定义如下

$ (J*u)(x, t)={ }\int_{{\mathbb R}} J(x-y)u(y, t){\rm d}y={ }\int_{{\mathbb R}} J(y)u(x-y, t){\rm d}y. $

这里$ u(x, t) $代表$ t $时刻位置$ x $处的种群密度, 卷积函数$ d[(J*u)(x, t)-u(x, t)] $为非局部扩散项, 定义参见文献[2, 23], $ d $是扩散速率, $ c $为环境变化的速度, 函数$ f $代表种群的出生和死亡对种群数量的影响. 在后面的讨论中始终做如下假设.

$ (J_1) $函数$ J\in C^1({{\mathbb R}}, {{\mathbb R}}^+) $是对称的并且有紧支集, 满足$ \int_{{\mathbb R}} J(x){\rm d}x=1; $

$ (J_2) $对任意的$ \lambda>0 $, 函数$ J $满足$ \int_{{\mathbb R}} J(x)e^{\lambda x}{\rm d}x<+\infty; $

$ (A_1) $对任意的$ \xi\in{{\mathbb R}} $, $ f(\xi, 0, 0)\equiv 0 $; 对任意的$ (u, v)\in{{\mathbb R}}^2_+ $, $ f(\xi, u, v) $关于$ \xi $是非减的;

$ (A_2) $$ f(\pm\infty, u, v) $, $ \partial_u f(\pm\infty, u, v) $和$ \partial_vf(\pm\infty, u, v) $都存在, 关于$ (u, v)\in{{\mathbb R}}^2_+ $是连续的, 并且满足$ \partial_u f(+\infty, 0, 0)+\partial_v f(+\infty, 0, 0)>0 $;

$ (A_3) $对任意的$ (\xi, u, v)\in {{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}^2_+ $, $ \partial_v f(\xi, u, v)\geq0 $;

$ (A_4) $存在唯一的$ u^*>0 $, 使得$ f(+\infty, u^*, u^*)=0 $;

$ (A_5) $存在两个连续函数$ a(\cdot) $, $ b(\cdot) $和特殊点$ \xi_1\in{{\mathbb R}} $, 使得对任意的$ (u, v)\in {{\mathbb R}}_+^2 $, 都有$ b(\xi_1)\geq 0 $, $ a(\xi_1)+b(\xi_1)<0 $和$ f(\xi_1, u, v)\leq a(\xi_1)u+b(\xi_1)v $成立.

模型(1.1)的强迫行波解$ u(x, t)=\phi(x-ct) $, 其中$ c $为移动速度, $ \phi $满足

(1.2) $ \begin{equation} d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\phi(\xi-y){\rm d}y-\phi(\xi)\right]+c\phi'(\xi)+f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau))=0, \end{equation} $

其中$ \xi=x-ct\in{{\mathbb R}} $. 本文在假设条件$ (J_1) $–$ (J_2) $和$ (A_1) $–$ (A_5) $下, 考虑模型(1.1)的强迫行波解的存在性和唯一性.

近年来, 环境变化对生物种群的影响引起了人们的研究兴趣^{[1, 16, 25]}. 特别地, Berestycki等^[3]提出了移动环境下的反应扩散方程

(1.3) $ \begin{equation} u_t(x, t)=du_{xx}(x, t)+f(x-ct, u(x, t)), \ \ \ \ \ x\in {{\mathbb R}}, t>0, \end{equation} $

其中, $ c $是环境变化的速度. 他们考虑了该模型的强波行波解的存在性和多样性. 他们定义了一个保证种群能够生存的最小的移动环境, 同时, 还得到了在一个移动的环境中种群能够持久存在的条件. Berestycki等^{[5, 6]}分别给出了高维空间环境下带有不同反应项$ f $模型(1.3)的空间动力学行为及其强迫行波解的性质. 当模型(1.3)中$ f(x-ct, u)=u(r(x-ct)-u) $时, Li等^[21]给出了该模型的空间动力学行为是依赖于环境变化的速度$ c $, 在文中给出了决定种群能够传播、持久生存和灭亡的准则. 最近, Hu等^[17]采用了一个依赖于半群理论的新的方法来延伸了文献[21]中的主要结论. 他们给出了生长函数不变号的情况并且还去掉了对初始函数的限制. Berestycki等^[4]研究了移动环境下的Fisher-KPP方程, 建立了强迫行波解的存在性和不存在性理论. 同时, Hu等^[18]采用经典的单调迭代和上下解方法也建立了该强迫行波解的存在性. 对于环境周期性变化, 特别是局部有利环境周期性变化的情形, Vo^[25]给出了种群在这种特定的变化的环境下的动力学行为及其强迫行波解的存在性和唯一性.

经典的反应扩散方程(1.3)是基与种群的相互作用是局部的, 也就是说, 种群个体只会影响其相邻的种群. 但是实际情形中, 种群的移动是随机的, 在很大空间中随机移动, 不仅和临近的种群相互作用, 因为外力可能还和距离很远的种群产生相互作用, 参见文献[23]. 因此, 利用非局部算子来描述种群的这种空间移动模式是非常有必要的. 利用这种形式的算子不仅仅可以描述生态学中的传播问题, 还可以更好地描述基因学以及神经网络等实际问题, 参见文献[2, 15, 19, 20, 24]. 同时, 许多学者也对非局部的反应扩散方程的行波解展开了深入地研究. 他们得到了非局部反应扩散方程的解的性质以及行波解的相应的性质, 参见文献[7, 8, 11, 13, 14]. 最近, Li等^[22]考虑了移动环境下非局部扩散的人口模型

(1.4) $ \begin{equation} u_t(x, t)=d[(J*u)(x, t)-u(x, t)]+u(x, t)[r(x-ct)-u(x, t)], \ \ \ x\in {{\mathbb R}}, t>0. \end{equation} $

他们指出存在常数$ c^* $, 使得当$ c>c^* $时, 种群将会在整个环境中消失; 然而当$ c<c^* $时, 种群将会在整个环境中长期存在, 并且在以$ c^* $为渐进传播速度的边界环境中传播. 通过构造合适的上下解结合不动点定理, 他们建立了模型(1.4)的强迫行波解的存在性. 紧接着, 模型(1.4)的强迫行波解的唯一性和稳定性的结论也由Wang等人给出了严格的讨论, 参见文献[26]. 对于模型(1.4)在周期性变化的环境下的强迫行波解的性质, Zhang等^[29]给出了详细的证明, 得到了在周期变化的环境下, 模型(1.4)的强迫行波解的存在性、唯一性及其稳定性的结论.

实际生活中, 许多传染病不是染病之后立即具有传染性, 而是有一定的滞后性, 病毒达到一定数量才可以传播给其他物种. 同样的, 对于某些捕食者在年幼的时候是不具备捕食能力的. 因此, 实际中的这些问题使得我们经典的模型不足以能够很好的反应这些现象. 也就是这些问题的出现, 在数学理论中我们提出了时滞, 利用泛函微分方程的解来反映这些现象带来的问题. 同时, 带有时滞的非局部反应扩散方程的行波解也受到了人们的广泛关注, 参见文献[9, 10, 12]. Wu等^[27]给出了移动环境下带时滞项的模型(1.3)的强迫行波解的存在性和唯一性. 因此, 考虑一般的带有时滞项的非局部反应扩散方程(1.1)也是很有必要的, 并且具有很强的实际意义. 我们主要使用上下解方法和单调迭代原理.

本篇论文的章节安排如下. 在第二部分, 我们将建立模型(1.1)的强迫行波解的存在性和唯一性. 在第三部分, 我们将所得的结论应用到两个经典的模型中, 体现理论的实际意义. 在文章最后, 我们将给出一个简单的总结.

这一部分主要给出连接两个平衡点$ 0 $和$ u^* $的强迫行波解$ \phi $的存在性和唯一性. 首先引入几个重要的引理.

引理2.1   假设存在足够小的$ \delta>0 $和足够大的$ \xi_0>0 $, 使得对任意的$ \xi\in{{\mathbb R}} $, 函数$ \phi_-(\xi)=\max\{0, \delta(1-e^{-\alpha(\xi-\xi_0)})\} $为方程(1.2)的下解.

证   当$ \xi\leq \xi_0 $时, $ \phi_-(\xi)= 0 $. 由假设$ (A_1) $和$ (A_3) $, 可得

$ d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\phi_-(\xi-y){\rm d}y-\phi_-(\xi)\right]+c\phi'_-(\xi)+f(\xi, \phi_-(\xi), \phi_-(\xi+c\tau))\geq f(\xi, 0, 0)=0. $

当$ \xi> \xi_0 $时, $ \phi_-(\xi)=\delta(1-e^{-\alpha(\xi-\xi_0)}) $和$ \phi_-(\xi+c\tau)=\delta(1-e^{-\alpha(\xi+c\tau-\xi_0)})\geq\phi_-(\xi) $成立. 利用假设条件$ (J_1) $, 可得

$ \begin{eqnarray*} L[\phi_-(\xi)]:&=&d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\phi_-(\xi-y){\rm d}y-\phi_-(\xi)\right]+c\phi'_-(\xi)+f(\xi, \phi_-(\xi), \phi_-(\xi+c\tau))\\ &\geq &d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\cdot\delta(1-e^{-\alpha(\xi-\xi_0-y)}){\rm d}y-\delta(1-e^{-\alpha(\xi-\xi_0)})\right]\\ &&+c\delta \alpha e^{-\alpha(\xi-\xi_0)} +f(\xi, \phi_-(\xi), \phi_-(\xi+c\tau))\\ &=&-\delta e^{-\alpha(\xi-\xi_0)}\left(d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)e^{\alpha y}{\rm d}y-d-c\alpha\right) +f(\xi, \phi_-(\xi), \phi_-(\xi+c\tau)). \end{eqnarray*} $

利用中值定理和$ f(\xi, 0, 0)=0 $, 可得存在$ \theta\in(0, 1) $, 使得

$ \begin{eqnarray*} &&f(\xi, \phi_-(\xi), \phi_-(\xi+c\tau))\\ &=&f(\xi, \phi_-(\xi), \phi_-(\xi+c\tau))-f(\xi, 0, 0)\\ &=&{ }\partial_u f(\xi, \theta\phi_-(\xi), \theta\phi_-(\xi+c\tau))\phi_-(\xi)+\partial_v f(\xi, \theta\phi_-(\xi), \theta\phi_-(\xi+c\tau))\phi_-(\xi+c\tau)\\ &\geq &\left[\partial_u f(\xi, \theta\phi_-(\xi), \theta\phi_-(\xi+c\tau))+\partial_v f(\xi, \theta\phi_-(\xi), \theta\phi_-(\xi+c\tau))\right]\phi_-(\xi). \end{eqnarray*} $

由于$ \partial_u f(+\infty, 0, 0)+\partial_v f(+\infty, 0, 0)>0 $, 可知存在足够大的$ \xi_0>\xi_1 $和充分小的$ \delta>0 $, 使得当$ \xi\geq \xi_0 $时, 有

(2.1) $ \begin{equation} \partial_u f(\xi, \theta\phi_-(\xi), \theta\phi_-(\xi+c\tau))+\partial_v f(\xi, \theta\phi_-(\xi), \theta\phi_-(\xi+c\tau))\geq 0. \end{equation} $

定义函数

$ \Delta_1(\lambda)=d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)e^{\lambda y}{\rm d}y-d-c\lambda. $

利用假设条件$ (J_1) $, 直接计算可得, $ \Delta_1(0)=0 $和$ \left.\frac{\partial \Delta_1(\lambda)}{\partial \lambda}\right|_{\lambda=0}=-c<0 $. 因此, 存在足够小的$ \alpha>0 $, 使得$ \Delta_1(\alpha)<0 $. 由此, 可得

(2.2) $ \begin{equation} -\delta e^{-\alpha(\xi-\xi_0)}\left[d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)e^{\alpha y}{\rm d}y-d-c\alpha\right]\geq 0. \end{equation} $

结合不等式(2.1)和(2.2), 我们可以很容易地得到当$ \xi>\xi_0 $时, 有$ L[\phi_-(\xi)]\geq0 $. 证毕.

定义函数

$ \Delta_2(\lambda)=d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)e^{-\lambda y}{\rm d}y-d+c\lambda+a(\xi_1)+b(\xi_1)e^{\lambda c\tau}, $

其中, 函数$ a(\xi) $和$ b(\xi) $为假设条件$ (A_5) $中定义的辅助函数. 根据假设$ (A_5) $, 直接计算可得

$ \Delta_2(0)=a(\xi_1)+b(\xi_1)<0, \left. \frac{\partial\Delta_2(\lambda)}{\partial\lambda}\right|_{\lambda=0}=c>0, $

并且当$ \lambda\rightarrow +\infty $时, $ \Delta_2(\lambda)\rightarrow +\infty $. 因此, 当$ c>0 $时, 存在$ \beta>0 $, 使得$ \Delta_2(\beta)=0 $.

引理2.2   假设$ \beta $满足上面给出的性质, 那么对任意的$ \xi\in{{\mathbb R}} $, $ \phi_+(\xi)=\min\{u^*, u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}\} $为方程(1.2)的上解.

证   显然, 对任意的$ \xi\in{{\mathbb R}} $, $ 0\leq\phi_+(\xi)\leq u^* $. 当$ \xi\geq\xi_1 $时, 由$ \phi_+(\xi)=u^*\geq \phi_-(\xi) $和$ \phi_+(\xi+c\tau)=u^* $, 可得

$ \begin{eqnarray*} && d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\phi_+(\xi-y){\rm d}y-\phi_+(\xi)\right]+c\phi'_+(\xi)+f(\xi, \phi_+(\xi), \phi_+(\xi+c\tau))\\ &\leq& f(\xi, u^*, u^*) \leq f(+\infty, u^*, u^*)=0. \end{eqnarray*} $

当$ \xi<\xi_1<\xi_0 $时, 有$ \phi_+(\xi)=u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}\geq \phi_-(\xi) $和$ \phi_+(\xi+c\tau)=\min\{u^*, u^*e^{\beta(\xi+c\tau-\xi_1)}\} $. 根据假设条件$ (A_1) $, $ (A_3) $和$ (A_5) $, 可得

$ \begin{eqnarray*} && d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\phi_+(\xi-y){\rm d}y-\phi_+(\xi)\right]+c\phi'_+(\xi)+f(\xi, \phi_+(\xi), \phi_+(\xi+c\tau))\\ &\leq& d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)u^*e^{\beta(\xi-\xi_1-y)}{\rm d}y-u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}\right]+c\beta u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}+f(\xi_1, u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}, u^*e^{\beta(\xi+c\tau-\xi_1)})\\ &\leq& u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}\left[d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)e^{-\beta y}{\rm d}y-d+c\beta\right]+a(\xi_1)u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}+b(\xi_1)u^*e^{\beta(\xi+c\tau-\xi_1)}\\ &\leq& u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}\left[d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)e^{-\beta y}{\rm d}y-d+c\beta+a(\xi_1)+b(\xi_1)e^{\beta c\tau}\right]\\ &=&u^*e^{\beta(\xi-\xi_1)}\Delta_2(\beta)=0. \end{eqnarray*} $

引理2.2证毕.

根据假设条件$ (A_2) $, 可得存在常数$ l>0 $, 使得对任意的$ \xi\in {{\mathbb R}} $和$ u_i, v_i(i=1, 2)\in [0, u^*] $, 都有

(2.3) $ \begin{equation} |f(\xi, u_1, v_1)-f(\xi, u_2, v_2)|\leq l(|u_1-u_2|+|v_1-v_2|). \end{equation} $

定义函数空间

$ C_{[0, u^*]}=\{u|u(\xi)\in C(R), 0\leq u(\xi)\leq u^*, \forall \xi\in {{\mathbb R}}\}, $

$ BC=\{\phi(\xi)\in C_{[0, u^*]}| \phi_-(\xi)\leq \phi(\xi)\leq \phi_+(\xi), \forall \xi\in {{\mathbb R}} \} $

和算子

$ H(\phi)(\xi)=\rho\phi(\xi)+d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\phi(\xi-y){\rm d}y-\phi(\xi)\right]+f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau)), $

其中, $ l+d<\rho<c\beta $. 方程(1.2)可以写为如下的形式

(2.4) $ \begin{equation} c\phi'(\xi)=\rho \phi(\xi)-H(\phi)(\xi). \end{equation} $

接下来, 我们将考虑下面的积分方程

(2.5) $ \begin{equation} \phi(\xi)= \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi)(s){\rm d}s. \end{equation} $

很容易可以得到, 积分方程(2.5)的解$ \phi $满足微分方程(2.4). 因此, 考虑微分方程(2.4)的解转化为求积分方程(2.5)的解. 为了方便, 定义算子

(2.6) $ \begin{equation} {\cal F}(\phi)(\xi)= \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi)(s){\rm d}s, \end{equation} $

那么求问题(1.2)的解转化为考虑算子$ {\cal F} $的不动点的问题.

引理2.3   对任意的$ \phi\in BC $, 算子$ {\cal F}\in BC $. 如果$ \phi(\xi) $关于$ \xi $是非减的, 那么算子$ {\cal F}(\xi) $关于$ \xi $也是非减的.

证   对任意的$ \phi, \psi\in BC $满足$ 0\leq \phi\leq \psi\leq u^* $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} H(\phi)(\xi)-H(\psi)(\xi) &=&\rho[\phi(\xi)-\psi(\xi)]+d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)[\phi(\xi-y)-\psi(\xi-y)]{\rm d}y-d[\phi(\xi)-\psi(\xi)]\\ && +f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau))-f(\xi, \psi(\xi), \psi(\xi+c\tau))\\ &\leq& (\rho-d)[\phi(\xi)-\psi(\xi)]+f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau))-f(\xi, \psi(\xi), \phi(\xi+c\tau))\\ &\leq& (\rho-d)[\phi(\xi)-\psi(\xi)]+l[\psi(\xi)-\phi(\xi)]\\ &=&(\rho-d-l)[\phi(\xi)-\psi(\xi)]\leq0. \end{eqnarray*} $

因此, 可得

$ {\cal F}(\phi)(\xi)-{\cal F}(\psi)(\xi)= \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}[H(\phi)(s)-H(\psi)(s)]{\rm d}s\leq 0. $

由上述不等式和条件$ \phi\in BC $, 可得对所有的$ \xi\in {{\mathbb R}} $, 有

(2.7) $ \begin{equation} {\cal F}(\phi_-)(\xi)\leq {\cal F}(\phi)(\xi)\leq{\cal F}(\phi_+)(\xi). \end{equation} $

为了证明$ {\cal F}(\phi)(\xi)\in BC $, 我们只需要建立对所有的$ \xi\in {{\mathbb R}} $, 都有$ {\cal F}(\phi_-)(\xi)\geq\phi_-(\xi) $和$ {\cal F}(\phi_+)(\xi)\leq\phi_+(\xi). $根据(2.4)式, (2.6)式以及引理2.1和2.2的证明, 可得

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}(\phi_-)(\xi) &=& \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi_-)(s){\rm d}s\\ & =& \frac{1}{c}\left\{\int^{+\infty}_{\xi_0}+\int^{\xi_0}_{\xi}\right\}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}\left[\rho\phi_-(s)-c\phi'_-(s)\right]{\rm d}s\geq\phi_-(\xi), \\ {\cal F}(\phi_+)(\xi) &=& \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi_+)(s){\rm d}s\\ & =& \frac{1}{c}\left\{\int^{+\infty}_{\xi_1}+\int^{\xi_1}_{\xi}\right\}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}\left[\rho\phi_+(s)-c\phi'_+(s)\right]{\rm d}s \leq \phi_+(\xi). \end{eqnarray*} $

结合不等式(2.7), 可得$ {\cal F}(\phi_+)(\xi)\in BC $.

如果$ \phi\in BC $关于$ \xi $是非减的, 那么对任意的$ \xi\in {{\mathbb R}} $和$ \theta>0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&H(\phi)(\xi+\theta)-H(\phi)(\xi)\\ &=&\rho[\phi(\xi+\theta)-\phi(\xi)]+d{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)[\phi(\xi-y+\theta)-\phi(\xi-y)]{\rm d}y-d[\phi(\xi+\theta)-\phi(\xi)]\\ &&+f(\xi+\theta, \phi(\xi+\theta), \phi(\xi+\theta+c\tau))-f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau))\\ &\geq&(\rho-d)[\phi(\xi+\theta)-\phi(\xi)]+f(\xi, \phi(\xi+\theta), \phi(\xi+c\tau))-f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau))\\ &\geq&(\rho-d-l)[\phi(\xi+\theta)-\phi(\xi)]\geq 0. \end{eqnarray*} $

因此, 对任意的$ \xi\in {{\mathbb R}} $和$ \theta>0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}(\phi)(\xi+\theta)&=& \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi+\theta}e^{\frac{\rho}{c}(\xi+\theta-s)}H(\phi)(s){\rm d}s\\ &=& \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi)(s+\theta){\rm d}s\\ &\geq& \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi)(s){\rm d}s={\cal F}(\phi)(\xi). \end{eqnarray*} $

引理2.3证毕.

定理2.1(存在性)   令$ c>0 $并且满足假设条件$ (A_1) $–$ (A_5) $, 那么方程(1.1)存在满足当$ \xi=x-ct\in{{\mathbb R}} $时, $ 0<\phi(\xi)<u^* $,

(2.8) $ \begin{equation} { }\lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}\phi(\xi)=0\ \mbox{ 和}\ { }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\phi(\xi)=u^* \end{equation} $

的强迫行波解$ u(x, t)=\phi(x-ct) $.

证   为了证明问题(1.1)的强迫行波解的存在性, 只需要证明$ \phi $为算子$ {\cal F}(\phi) $的不动点. 定义一个函数序列

$ \phi_1={\cal F}(\phi_+), \phi_{n+1}={\cal F}(\phi_n), \ n\geq 1. $

根据$ \phi_+(\xi) $的定义和引理2.3, 对固定的$ n=1, 2, \cdots $, 函数$ \phi_n\in BC $关于$ \xi $是非减的, 并且满足

$ 0\leq \phi_-(\xi)\leq\phi_{n+1}(\xi)\leq\phi_n(\xi)\leq \phi_+(\xi)\leq u^*, \ \forall \xi\in {{\mathbb R}}, n\geq 1. $

因此, 存在一个非减的函数$ \phi(\xi) $, 使得$ { }\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\phi_n(\xi)=\phi(\xi) $和

(2.9) $ \begin{equation} 0\leq \phi_-(\xi)\leq\phi(\xi)\leq \phi_+(\xi)\leq u^*, \ \forall \xi\in {{\mathbb R}}. \end{equation} $

根据算子$ H $的连续性和Lebesgue's控制收敛定理, 可得

$ \begin{eqnarray*} \phi(\xi)&=&{ }\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\phi_{n+1}(\xi)={ }\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}{\cal F}(\phi_n)(\xi)\\ &=& \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi_n)(s){\rm d}s\\ &=& \frac{1}{c}\int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi)(s){\rm d}s={\cal F}(\phi)(\xi). \end{eqnarray*} $

因此, $ \phi $为积分方程(2.5)的解. 进一步, 证明$ \phi $满足边界条件(2.8). 根据条件(2.9)和$ \phi_-(-\infty)=\phi_+(+\infty)=0 $, 可得$ \phi(-\infty)=0 $. 由于对任意的$ \xi\in {{\mathbb R}} $, $ \phi(\xi)\in[0, u^*] $关于$ \xi $非减的, 因此, 存在常数$ k\in[0, u^*] $, 使得$ { }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\phi(\xi)=k $. 由此可得

$ \begin{eqnarray*} { }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}H(\phi)(\xi) &=&{ }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\left[\rho\phi(\xi)+d{ }\int_{-L}^L J(y)\phi(\xi-y){\rm d}y-d\phi(\xi)+f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau))\right]\\ &=&\rho k+f(\infty, k, k), \end{eqnarray*} $

其中$ [-L, L]={\rm supp}(J) $. 根据L'Hospital's原则, 有

$ \begin{eqnarray*} k&=&{ }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\phi(\xi)={ }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}{\cal F}(\phi)(\xi)\\ &=&{ }\frac{1}{c}\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \int^{+\infty}_{\xi}e^{\frac{\rho}{c}(\xi-s)}H(\phi)(s){\rm d}s={ }\frac{1}{c}\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \frac{H(\phi)(\xi)}{\rho/c}\\ &=&{ }\frac{1}{\rho}[\rho k+f(+\infty, k, k)]=k+{ }\frac{f(+\infty, k, k)}{\rho}. \end{eqnarray*} $

也就是说, $ f(+\infty, k, k)=0 $. 根据假设条件$ (A_2) $和$ (A_4) $, 有$ k=0 $或$ k=u^* $. 当$ k=0 $时, 因为$ \phi $是非减并且$ \phi(\pm\infty)=0 $, 那么$ \xi\in {{\mathbb R}} $时, $ \phi(\xi)\equiv 0 $. 这就和当$ \xi\in {{\mathbb R}} $时, $ \phi(\xi)\geq \phi_-(\xi)\not\equiv 0 $矛盾. 因此, $ k=u^* $. 也就是满足边界条件(2.8). 证毕.

为了建立强迫行波解的唯一性, 需要下面的假设条件.

$ (A_6) $对任意的$ (\xi, u, v)\in {{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}^2_+ $, 存在$ m>1 $, 使得$ mf(\xi, u, v)\geq f(\xi, mu, mv) $. 对任意的$ (u, v)\in(u^*, mu^*)^2 $, 有$ \partial_u f(-\infty, 0, 0)<0 $和$ \partial_u f(+\infty, u, v)<0 $.

定理2.2(唯一性)   设$ c>0 $, 假设条件$ (A_1) $–$ (A_6) $成立, 那么方程(1.1)存在唯一的连接$ 0 $和$ u^* $的非减的强迫行波解$ u(x, t)=\phi(x-ct) $.

证   令$ \hat{\phi}(x-ct)=\hat{\phi}(\xi) $为方程(1.1)满足条件(2.8)的另一个强迫行波解. 因为$ \hat{\phi}(\xi)\not\equiv\phi(\xi) $, 所以对任意的$ \epsilon>0 $, 有

(2.10) $ \begin{equation} { }\lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\frac{\hat{\phi}(\xi)-\epsilon}{\phi(\xi)}=\frac{u^*-\epsilon}{u^*}<1 \mbox{ 和 } { }\lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}\frac{\hat{\phi}(\xi)-\epsilon}{\phi(\xi)}=-\infty. \end{equation} $

定义集合

$ M_\epsilon=\{m\geq 1|\hat{\phi}(\xi)-\epsilon\leq m\phi(\xi), \forall \xi\in {{\mathbb R}}, \epsilon>0\}. $

根据(2.10) 式, 可知集合$ M_\epsilon $是非空的. 记$ m_\epsilon=\inf M_\epsilon\geq 1 $. 显然, $ m_\epsilon $关于$ \epsilon $是非增的. 因此, 存在常数$ m^*:={ }\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0^+}m_\epsilon\geq 1 $. 接下来只需要证明$ m^*=1 $. 反过来, 假设$ m^*>1 $. 考虑函数$ \psi_\epsilon=m_\epsilon \phi-\hat{\phi}+\epsilon\geq 0 $. 注意到

(2.11) $ \begin{equation} \psi={ }\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0^+}\psi_\epsilon=m^*\phi-\hat{\phi}\geq 0. \end{equation} $

因此, 存在$ \epsilon^*>0 $, 使得$ m_\epsilon>1 $, 并且对任意的$ \epsilon\in(0, \epsilon^*] $, 有

$ \psi_\epsilon(+\infty)=(m_\epsilon-1)u^*+\epsilon>0, \psi(-\infty)=\epsilon>0. $

由此, 可以推测当$ \xi_\epsilon\in {{\mathbb R}} $时, $ \psi_\epsilon(\xi_\epsilon)=0 $. 否则, 存在$ \epsilon\in(0, \epsilon^*) $, 使得对任意的$ \xi\in {{\mathbb R}} $, $ \psi_\epsilon(\xi)>0 $. 取常数$ \delta>0 $, 使得$ m_\epsilon-\delta>1 $, $ \psi_\epsilon(\xi)/\phi(\xi)\geq \delta $. 根据$ \psi_\epsilon $的定义, 可得对任意的$ \xi\in {{\mathbb R}} $, $ (m_\epsilon-\sigma)\phi(\xi)\geq \hat{\phi}(\xi)-\epsilon $. 这就和$ m_\epsilon $的定义矛盾.

根据上面的讨论可知, 存在序列$ \{\epsilon_n\}\subseteq(0, \epsilon^*] $和$ \{\xi_{\epsilon_n}\}\subseteq {{\Bbb R}} $满足$ { }\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\epsilon_n=0 $和$ \psi_{\epsilon_n}(\xi_{\epsilon_n})=0 $. 注意到$ \{\xi_{\epsilon_n}\} $是有界的. 反过来, 假设$ \{\xi_{\epsilon_n}\} $是无界的. 只需要考虑当$ n\rightarrow +\infty $时, $ \xi_{\epsilon_n}\rightarrow +\infty $. 因为, 当$ n\rightarrow +\infty $时, $ \xi_{\epsilon_n}\rightarrow -\infty $可以类似地得到.

根据假设条件$ (A_2) $和中值定理可得

(2.12) $ \begin{eqnarray} -c\psi'_{\epsilon_n}(\xi)&=&d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi_{\epsilon_n}(\xi-y){\rm d}y-\psi_{\epsilon_n}(\xi)\right]{}\\ &&+m_{\epsilon_n}f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau)) -f(\xi, \hat{\phi}(\xi), \hat{\phi}(\xi+c\tau)){}\\ &\geq& d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi_{\epsilon_n}(\xi-y){\rm d}y-\psi_{\epsilon_n}(\xi)\right]{}\\ &&+f(\xi, m_{\epsilon_n}\phi(\xi), m_{\epsilon_n}\phi(\xi+c\tau))-f(\xi, \hat{\phi}(\xi), \hat{\phi}(\xi+c\tau)){}\\ &\geq & d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi_{\epsilon_n}(\xi-y){\rm d}y-\psi_{\epsilon_n}(\xi)\right]+\partial_uf(\xi, \Phi_n(\xi), \Psi_n(\xi))[m_{\epsilon_n}\phi(\xi)-\hat{\phi}(\xi)]{}\\ &&+\partial_vf(\xi, \Phi_n(\xi), \Psi_n(\xi))[m_{\epsilon_n}\phi(\xi+c\tau)-\hat{\phi}(\xi+c\tau)]{}\\ &\geq &d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi_{\epsilon_n}(\xi-y){\rm d}y-\psi_{\epsilon_n}(\xi)\right]+\partial_uf(\xi, \Phi_n(\xi), \Psi_n(\xi))[\psi_{\epsilon_n}(\xi)-\epsilon_n]{}\\ &&+\partial_vf(\xi, \Phi_n(\xi), \Psi_n(\xi))[\psi_{\epsilon_n}(\xi+c\tau)-\epsilon_n], \end{eqnarray} $

其中, $ \Phi_n(\xi) $介于$ \hat{\phi}(\xi) $和$ m_{\epsilon_n}\phi(\xi) $之间, $ \Psi_n(\xi) $介于$ \hat{\phi}(\xi+c\tau) $和$ m_{\epsilon_n}\phi(\xi+c\tau) $之间. 注意到$ \psi_{\epsilon_n}(\xi)\geq0 $, $ \psi_{\epsilon_n}(\xi_{\epsilon_n})=0 $和$ \psi'_{\epsilon_n}(\xi_{\epsilon_n})=0 $. 令不等式(2.12)中$ \xi=\xi_{\epsilon_n} $, 有

$ 0\geq \partial_uf(\xi_{\epsilon_n}, \Phi_n(\xi_{\epsilon_n}), \Psi_n(\xi_{\epsilon_n}))(-\epsilon_n) +\partial_vf(\xi_{\epsilon_n}, \Phi_n(\xi_{\epsilon_n}), \Psi_n(\xi_{\epsilon_n})) [\psi_{\epsilon_n}(\xi_{\epsilon_n}+c\tau)-\epsilon_n]. $

根据假设条件$ (A_3) $和$ (A_6) $, 可得上述不等式的右侧当$ n\rightarrow +\infty $时是正的. 因此, 可得矛盾. 也就是说假设不成立, 数列$ \{\xi_{\epsilon_n}\} $是有界的. 因此, 存在子序列$ \widetilde{\xi}_{\epsilon_n} $, 满足当$ n\rightarrow +\infty $时, $ \widetilde{\xi}_{\epsilon_n}\rightarrow \xi^* $. 显然, $ \psi(\xi^*)=0 $. 根据假设条件$ (A_6) $和算子(2.6), 可得

$ \begin{eqnarray*} -c\psi'(\xi)&=&d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi(\xi-y){\rm d}y-\psi(\xi)\right] +m^*f(\xi, \phi(\xi), \phi(\xi+c\tau)) -f(\xi, \hat{\phi}(\xi), \hat{\phi}(\xi+c\tau))\\ &\geq &d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi(\xi-y){\rm d}y-\psi(\xi)\right]+f(\xi, m^*\phi(\xi), m^*\phi(\xi+c\tau))-f(\xi, \hat{\phi}(\xi), \hat{\phi}(\xi+c\tau))\\ &\geq &d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi(\xi-y){\rm d}y-\psi(\xi)\right]+f(\xi, m^*\phi(\xi), \hat{\phi}(\xi+c\tau))-f(\xi, \hat{\phi}(\xi), \hat{\phi}(\xi+c\tau))\\ &\geq& d\left[{ }\int_{{\mathbb R}} J(y)\psi(\xi-y){\rm d}y-\psi(\xi)\right]-C\psi(\xi), \end{eqnarray*} $

其中, $ C>0 $为常数. 根据强最大值定理, 可得在$ {{\mathbb R}} $上, $ \psi\equiv 0 $. 这就和$ \psi(+\infty)=(m^*-1)u^*>0 $矛盾. 因此, $ m^*=1 $. 也就是说在$ {{\mathbb R}} $上, $ \phi\geq \hat{\phi} $. 在上述讨论中交换$ \phi $和$ \hat{\phi} $的位置, 我们可得在$ {{\mathbb R}} $上, $ \hat{\phi}\geq\phi $. 因此, 可得当$ \xi\in {{\mathbb R}} $时, $ \hat{\phi} \equiv\phi $. 定理2.2证毕.

这一部分将给出两个例子来验证定理2.1和2.2的实用性.

例3.1  考虑下面的$ \rm Logistic $人口模型

(3.1) $ \begin{eqnarray} u_t(x, t)&=&d\left[{ }\int_R J(y)u(x-y, t){\rm d}y-u(x, t)\right]{}\\ &&+u(x, t)[a(x-ct)-ru(x, t)]+b(x-ct)u(x, t-\tau), \end{eqnarray} $

其中, $ d $, $ c $, $ r $, $ \tau>0 $, 核函数$ J $满足假设条件$ (J_1) $–$ (J_2) $.

为了得到方程(3.1)的强迫行波解的存在性和唯一性, 只需要方程(3.1)中的函数$ a(\xi) $, $ b(\xi) $满足下面的条件.

(i) $ a\in C({{\mathbb R}}, {{\mathbb R}}) $关于$ \xi $是非减的并且满足$ -\infty<a(-\infty)<0<a(+\infty)<+\infty $;

(ii) $ b\in C({{\mathbb R}}, {{\mathbb R}}_+) $关于$ \xi $是非减的并且满足$ 0\leq b(-\infty)<b(+\infty)<+\infty $;

(iii) $ a(-\infty)+b(-\infty)<0 $.

对于方程(3.1), 我们有$ f(\xi, u, v)=u(a(\xi)-ru)+b(\xi)v $和$ u^*=\frac{1}{r}(a(+\infty)+b(+\infty)) $成立. 显然, $ f(\xi, 0, 0)\equiv 0 $和$ f(+\infty, u^*, u^*)=0 $. 因此, 函数$ f(\xi, u, v) $满足假设条件$ (A_1) $和$ (A_4) $. 由于$ \partial_u f(\xi, u, v)=a(\xi)-2ru $和$ \partial_v f(\xi, u, v)=b(\xi)\geq 0 $, 那么$ \partial_u f(\pm\infty, u, v) $, $ \partial_v f(\pm\infty, u, v) $在$ {{\mathbb R}}^2 $上是连续的, 并且$ \partial_u f(+\infty, 0, 0)+\partial_v f(+\infty, 0, 0)>0 $. 也就是说, 假设条件$ (A_2) $和$ (A_3) $成立. 根据假设条件(ii)–(iii), 可知存在足够小的$ \xi_1\in {{\mathbb R}} $, 使得$ a(\xi_1)+b(\xi_1)<0 $, $ b(\xi_1)\geq 0 $和$ f(\xi_1, u, v)\leq a(\xi_1)u+b(\xi_1)v $成立. 这样我们就得到了满足假设条件$ (A_5) $. 根据$ \partial_u f(-\infty, 0, 0)=a(-\infty)<0 $; 当$ u, v>u^* $时, $ \partial_u f(+\infty, u, v)=a(+\infty)-2ru<a(+\infty)-2ru^*<0 $; 和

$ \begin{eqnarray*} f(\xi, mu, mv)&=&mu(a(\xi)-rmu)+b(\xi)mv=m[u(a(\xi)-mru)+b(\xi)v]\\ &\leq & m[u(a(\xi)-ru)+b(\xi)v]=mf(\xi, u, v), \end{eqnarray*} $

其中, $ m>1 $, 这样我们就可以建立条件$ (A_6) $. 因此, 定理所需要的条件$ (A_1) $–$ (A_6) $都成立. 根据定理2.1和2.2, 我们就可以得到方程(3.1)存在唯一的连接$ \phi(-\infty)=0 $和$ \phi(+\infty)=u^* $的强迫行波解$ \phi(\xi) $, 其中, $ \xi=x-ct $.

例3.2   考虑$ \rm quasi-Nicholson's blowflies $人口模型

(3.2) $ \begin{eqnarray} u_t(x, t)&=&d\left[{ }\int_R J(y)u(x-y, t){\rm d}y-u(x, t)\right]+a(x-ct)u(x, t)e^{ -qu(x, t)}-ru(x, t){}\\ && +b(x-ct)u(x, t-\tau), \end{eqnarray} $

其中, $ d $, $ c $, $ q $, $ r $, $ \tau>0 $, 核函数$ J $满足假设条件$ (J_1) $–$ (J_2) $.

为了得到方程(3.2)的强迫行波解的存在性和唯一性, 只需要函数$ a(\xi) $, $ b(\xi) $满足例3.1中的条件(ⅰ)–(ⅱ)和

(ⅳ) $ a(-\infty)+b(-\infty)<r<a(+\infty)+b(+\infty) $.

对于方程(3.2), 我们有$ f(\xi, u, v)=(a(\xi)e^{ -qu}-r)u+b(\xi)v $和$ u^*=\frac{1}{q}\ln\frac{a(+\infty)}{r-b(+\infty)}>0 $. 很明显, $ f(\xi, 0, 0)\equiv 0 $和$ f(+\infty, u^*, u^*)=0 $. 因此, 函数$ f(\xi, u, v) $满足条件$ (A_1) $和$ (A_4) $. 因为$ \partial_u f(\xi, u, v)=a(\xi)e^{-qu}-r-qa(\xi)ue^{-qu} $和$ \partial_v f(\xi, u, v)=b(\xi)\geq 0 $, 所以在$ {{\mathbb R}}^2 $上, 函数$ \partial_u f(\pm\infty, u, v) $, $ \partial_v f(\pm\infty, u, v) $连续, 满足$ \partial_u f(+\infty, 0, 0)+\partial_v f(+\infty, 0, 0)=a(+\infty)-r+b(+\infty)>0 $. 也就是说条件$ (A_2) $和$ (A_3) $也成立. 根据条件(ii)和(iv), 可知存在足够小的$ \xi_1\in {{\mathbb R}} $, 使得$ a(\xi_1)-r+b(\xi_1)<0 $, $ b(\xi_1)\geq 0 $和$ f(\xi_1, u, v)\leq (a(\xi_1)-r)u+b(\xi_1)v $. 如果我们选取$ a(\xi)=a(\xi)-r $, 就可以得到条件$ (A_5) $成立. 由$ \partial_u f(-\infty, 0, 0)=a(-\infty)-r<0 $; 当$ u, v>u^* $时

$ \begin{eqnarray*} \partial_u f(+\infty, u, v)&=&a(+\infty)e^{-qu}-r-qa(+\infty)ue^{-qu}\\ &<&a(+\infty)[e^{-qu}-e^{-qu^*}]-b(+\infty)-qa(+\infty)ue^{-qu} <0, \\ f(\xi, mu, mv)&=&(a(\xi)e^{-qmu}-r)mu+b(\xi)mv=m[(a(\xi)e^{-qmu}-r)u+b(\xi)v]\\ &\leq &m[(a(\xi)e^{-qu}-r)u+b(\xi)v]=mf(\xi, u, v), \end{eqnarray*} $

其中, $ m>1 $, 我们可以建立条件$ (A_6) $成立. 因此, 条件$ (A_1) $–$ (A_6) $成立. 根据定理2.1和2.2, 我们就可以得到方程(3.2)存在唯一的连接$ \phi(-\infty)=0 $和$ \phi(+\infty)=u^* $的强迫行波解$ \phi(\xi) $, 其中$ \xi=x-ct $.

本文主要建立了模型(1.1)的强迫行波解的存在性和唯一性. 考虑的模型比Li等^[22]和Wang等^[26]考虑的模型更具一般性, 其中, Wang等^[26]没有考虑时滞的影响. 我们主要采用文献[28]中考虑带有时滞项的反应扩散方程行波解的方法来得到强迫行波解的存在性, 再应用文献[5]中考虑椭圆方程强迫行波解的唯一性的引理5.1和定理3.3来得到模型模型(1.1)的强迫行波解的唯一性. 并且, 通过讨论我们发现时滞和种群的扩散形式对强迫行波解的存在性没有影响, 这和没有环境变化的模型的结论一致. 特别地, 如果选取特殊的积分核函数, 我们得到的结论可以包括文献[18, 27]中的结论, 也就是说我们考虑的模型具有一定的统一性.