本文研究了分数阶Choquard方程

的正解的存在性等, 这里$\varepsilon>0$是一个参量, $s\in(0, 1)$.我们假设位势$V$满足Rabinowitz^[24]提出的全局性条件:

对于非线性项$f$, 假设

($f_1$) $f\in C^{1}({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$, 且对于$t\leq 0$, $f(t)=0$;

($f_2$) $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(t)}{t}=0$且$\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{f(t)}{|t|^{2^{*}_{\mu}-1}}=0$, 这里$2^{*}_{\mu}=\frac{2N-\mu}{N-2s}$;

($f_3$) $\lim\limits_{t\rightarrow \infty} f(t)=\infty$;

($f_4$)对于$t>0$, $f'(t)>0$.

对函数$u\in C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$, 分数阶Laplace算子定义为

其中${\cal F}$表示傅里叶变换.从文献[11, Lemma 3.2]可知分数阶Laplace算子的定义等价于

这里$P.V.$是柯西主值, $C(N, s)$是正规化的常值.分数阶Laplace算子用于描述L$\acute{\rm e}$vy稳定扩散过程的无穷小发生器.这个算子来源于等离子体中的异常扩散、人口动力学、地球物理、流体动力学、火焰传播、液体中的化学反应和美式金融期权等.更多关于它的物理意义, 参见文献[6, 16].

方程(1.1)源于下面的分数阶方程

的孤立波.这个抛物方程产生于相变, 守恒律和分数阶量子力学.更多关于方程(1.1)的物理背景, 参见文献[3, 4, 16, 17].

形如$\Psi(t, x)=u(x)e^{-\frac{{\rm i}wt}{\varepsilon}}$的解称为方程(1.2)的孤立波解. $\Psi(t, x)$是方程(1.2)的解当且仅当$u$是方程(1.1)的解.

当$s=1$, 方程(1.1)可以看成方程

这个方程在数学上已经引起了许多研究者的关注.在假设$\varepsilon=1$, $V(x)=1$且$f(t)=t^{p}$的情况下, Moroz和Van Schaftingen在文献[19]中研究了其基态解的正则性并且证明了所得基态解是正的, 他们也证明了所有的正基态都是径向对称和单调递减的.随后, 当$\varepsilon=V=1$时, 他们在文献[20]中也证明了方程(1.3)非平凡解的存在性, 受Berestycki和Lions的启发, 在假设非线性项$f$是几乎必要的条件下, 他们证明了他们所得到的解是一个基态解并且得到了解的正则性, 此外, 如果假设$f$在$[0, \infty)$是偶的且单调的, 作者指出他们所得到的解是不变号且对称的.当假设$V$满足条件(V)且$f$是临界增长的情况下, 利用变分法, Alves等^[1]得到了方程(1.3)的半经典解的存在性, 多重性和集中现象.之后不久, 在假设$f$既不满足单调条件又不满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件下, Cassani和Zhang^[8]在一些方面拓展了文献[1]的结论.更多关于Choquard方程的解的存在性, 渐进行为和集中现象的结果, 参考文献[10, 14, 21, 27, 28, 32, 34].

关于方程(1.1)的解的多重性和集中现象的结果尚不多见.最近, 当$f$是次临界增长, 并且$V$满足局部极小条件时, 即存在开集$\Lambda\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得

利用截断方法和Ljusternik-Schnirelmann理论, Ambrosio^[4]得到了方程(1.1)的解的多重性和集中现象.随后, 他将其推广到带有磁场的分数阶Choquard方程^[5].当非线性项是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上下临界指标的和时, Su等^[25]得到了方程(1.1)的解的多重性和集中现象. Wang等^[33]把文献[1]的结论推广到了方程(1.1).关于分数阶Choquard方程的一些最近成果, 参见文献[15, 30, 31].

受以上工作的启发, 利用变分法和Ljusternik-Schnirelmann理论, 本文研究分数阶Choquard方程(1.1)的基态解的存在性, 多解性以及解的渐进行为.在介绍主要结果之前, 我们首先介绍一下Ljusternik-Schnirelmann筹数的概念.

定义集合

这里$\delta>0$.

设$Y$是拓扑空间$X$的一个闭子集, 则$Y$在$X$中的筹数是$X$中包含$Y$的最少的闭的可缩集的个数, 表示为${\rm cat}_{X}(Y)$.

我们主要的结果如下:

定理1.1  假设(V)和$(f_1)$–$(f_4)$成立, 则对任意的$\delta>0$, 存在$\varepsilon_{\delta}>0$, 使得对任意的$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{\delta})$, 方程(1.1)至少有${\rm cat}_{M_{\delta}}(M)$个正解.若$u_{\varepsilon}$是所得到的一个解, 且$x_{\varepsilon}$是$u_{\varepsilon}$的最大值点, 则$\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} V(x_{\varepsilon})=V_{0},$并且存在$C>0$, 使得

我们主要遇到了以下几个方面的困难.首先, 由于非线性项不满足一般的Ambrosetti-Rabinowitz型条件

这里$\theta>2$, 这使得得到变分泛函的紧性变得困难.事实上, 条件(1.5)可以得到$(f_{2})$, 所以条件(1.5)是比$(f_{2})$更强的一个条件, 例如函数$f(t)=t\ln(1+t^{2})$满足我们的假设但不满足条件(1.5).受文献[3]的启发, 为了得到变分泛函的紧性, 我们首先研究了标量方程的解的存在性及它所对应的变分泛函的紧性, 然后利用Nehari流形的一些技巧来得到变分泛函的紧性.值得注意的是, 方程(1.1)的变分泛函的紧性和位势$V$在无穷远点的行为密切相关.其次, 由于非线性项为一个卷积项, 因此我们需要一些新的技巧.最后, 我们需要$L^{\infty}$估计来研究解的集中现象.由于卷积项的影响, Moser迭代的方法在本文似乎无法直接应用, 这儿我们用文献[2, 12]中的方法来得到解的$L^{\infty}$估计.

本文组织如下.在第2部分, 我们介绍一些基本概念.在第3部分, 我们建立变分泛函的框架并且考虑标量方程的解的存在性.在第4部分, 我们得到方程(1.1)的基态解.在第5部分, 我们完成定理1.1的证明.

在这一部分, 我们介绍一些分数阶空间的基本的概念和性质.对$p\in (1, \infty)$, 我们用$|u|_{p}$表示$L^{p}({{\Bbb R}} ^{N})$的范数.我们用$C, C_{i}$表示一些固定的常数, 这里$i=1, 2, \cdots$, 并且用$o_{n}(1)$表示$o_{n}(1)\rightarrow 0$, 当$n\rightarrow \infty$.固定$s\in(0, 1)$, $D^{s, 2}({{\Bbb R}} ^{N})$的范数是

定义空间

它的范数为

这儿$\nu>0$.

现在, 我们介绍Hilbert空间

它的内积为

对任意的$u, v\in H^{s}_{\varepsilon}$.它的范数为$\|u\|_{\varepsilon}^{2}=\langle u , u \rangle_{\varepsilon}$.

回顾嵌入性定理和Lions型引理如下:

引理2.1^[3]  对任意$r\in [2, 2^{*}_{s}]$, 空间$H^{s}_{\varepsilon}$连续的嵌入到空间$L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$, 并且对所有的$r\in [1, 2^{*}_{s})$, $H^{s}_{\varepsilon}$紧嵌入到$L^{r}_{\rm loc}({{\Bbb R}} ^{N})$.另一方面, 若$V_\infty=\infty$, 则对任意的$r\in [2, 2^{*}_{s})$, $H^{s}_{\varepsilon}$紧嵌入到$L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$.

引理2.2^[3]  假设$\{u_{n}\}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界且对某个$R>0$, 有

则对所有的$t\in (2, 2^{*}_{s})$, $u_{n}\rightarrow 0$在$L^{t}({{\Bbb R}} ^{N})$.

为研究方程$(1.1)$, 我们需要下面的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.

引理2.3^[18]  假设$t, r>1$, $0<\mu<N$使得$\frac{1}{t}+\frac{\mu}{N}+\frac{1}{r}=2$, $f\in L^{t}({{\Bbb R}} ^{N})$且$h\in L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$, 则存在最佳常数$C(t, N, \mu, r)$, 不依赖于$f$和$h$, 使得

受文献[8]的启发, 我们有下面的分离性引理.

引理2.4  假设$0<\mu<\min\{4s, N\}$并且$f$满足$(f_{2})$, 若$u_{n}\rightharpoonup u$在$H^{s}_{\varepsilon}$, 则通过一个子列, 对任意的$\varphi\in H^{s}_{\varepsilon}$, 有

并且

证  这个证明类似于文献[8]中的证明, 这里我们省略它.

在这一部分, 我们建立一些基本的结论并且考虑方程(1.1)相对应的标量方程的基态解的存在性.

通过变量替换$x\mapsto \varepsilon x$, 方程(1.1)将转化为下面的方程

它的变分泛函为

根据引理2.1和引理2.3, 可得${\cal J}_{\varepsilon}\in C^{1}(H^{s}_{\varepsilon}, {{\Bbb R}} )$和

它相应的Nehari流形表示为

根据$(f_{1})$和$(f_{4})$, 可推断出, 若$u\in H^{s}_{\varepsilon}\setminus\{0\}$, 并且$u^{+}\neq0$, 则存在唯一的$t_{u}>0$, 使得$t_{u}u\in{\cal N}_{\varepsilon}$, 且

取

利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Sobolev不等式, 则存在$\alpha_{0}>0$, 使得

引理3.1  假设$\{u_{n}\}\subset {\cal N}_{\varepsilon}$, 并且${\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c$, 则$\{u_{n}\}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中是有界的.

证  按照假设可得

假设$\|u_{n}\|\rightarrow \infty$, 取$v_{n}=\frac{u_{n}}{\|u_{n}\|_{\varepsilon}}$, 下面我们证明:对任意的$R>0$, 有

若假设不成立, 则存在$\alpha, R>0$和$\{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得

定义$\tilde{v}_{n}=v_{n}(\cdot+y_{n})$, 则$\{\tilde{v}_{n}\}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界.假设$\tilde{v}_{n}\rightharpoonup \tilde{v}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中, 且$\tilde{v}_{n}\rightarrow \tilde{v}$在$L_{\rm loc}^{2}({{\Bbb R}} ^{N})$中, 则

因此$\tilde{v}\neq 0$.我们有

由$(f_{3})$, 可得

利用(3.3)式, (3.5)式和Fatou引理, 可得

这是一个矛盾.因此(3.4)式成立.由引理2.2, 有对任意$r\in (2, 2^{*}_{s})$, $u_{n}\rightarrow 0$在$L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$中.从$(f_{2})$可得:对任意$l, \xi>0$, 存在$C_{\xi}>0$, 使得

这个不等式结合Hardy-Littlewood-Sobolev不等式表明

因为$2<\frac{4N}{2N-\mu}<2^{*}_{s}$, 则$|v_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}\rightarrow 0$.我们可以推断出

由于$\xi$是任意的, 所以

对任意$l>0$, 我们有

这说明${\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow \infty$, 我们得到一个矛盾.

引理3.2  假设$\{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon}$, ${\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c$, 且$u_{n}\rightharpoonup 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中, 则存在$R, \alpha>0$, 使得

证  反证法.假设结论不成立.由引理2.2可得:对任意$r\in(2, 2^{*}_{s})$, $u_{n}\rightarrow 0$在$L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$中.利用$\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}\rangle=0$, $(f_{2})$, $\{u_{n}\}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中的有界性和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 可以得到

因为$2<\frac{4N}{2N-\mu}<2^{*}_{s}$, 我们有$|u_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}\rightarrow 0$, 进而可得

由于$\xi$的任意性, 可以推断出$\|u_{n}\|_{\varepsilon}\rightarrow 0$.这与(3.2)式相矛盾.故结论成立.

注3.1  若$\{u_{n}\}$是一个$(PS)_{c}$序列.由于$\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}^{-}\rangle=o_{n}(1)$和$(f_{1})$, 则$\|u_{n}^{-}\|_{\varepsilon}\rightarrow0$.因此我们总可以假设$(PS)_{c}$序列是非负的.

若${\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c$, 且${\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n})\rightarrow 0$, 我们称$\{u_{n}\}$是${\cal J}_{\varepsilon}$的一个$(PS)_{c}$序列.

引理3.3  假设$\{u_{n}\}$是${\cal J}_{\varepsilon}$在${\cal N}_{\varepsilon}$上的一个$(PS)_{c}$序列, 则$\{u_{n}\}$是${\cal J}_{\varepsilon}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中的一个$(PS)_{c}$序列.

证  由Ekeland's变分原理^[29], 存在$\{\lambda_{n}\}\subset{{\Bbb R}}$, 使得

这里$\phi_{\varepsilon}(u)=\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u), u \rangle=\|u\|_{\varepsilon}^{2}+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u)u{\rm d}x$.要完成这个证明, 我们只需证明存在$l\neq 0$, 使得通过一个子列, 有

根据$(f_{4})$和$\{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon}$, 可得

类似于引理3.2, 可得存在$\{y_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$, 使得$\tilde{u}_{n}=u_{n}(\cdot+y_{n})$在$H^{s}({{{\Bbb R}} ^{N}})$中有界, $\tilde{u}_{n}\rightharpoonup \tilde{u}$在$H^{s}({{{\Bbb R}} ^{N}})$中, 并且$\tilde{u}^{+}\neq 0$.假设$\langle \phi_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n} \rangle=o_{n}(1)$.由(3.7)式和Fatou引理, 可得

因此${ }\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\langle \phi_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}\rangle =l<0$.根据(3.6)式, 我们有$\lambda_{n}=o_{n}(1)$.这结合(3.6)式可得: $\{u_{n}\}$是${\cal J}_{\varepsilon}$的一个$(PS)_{c}$序列.

从引理3.3的证明中可以得出:

命题3.1  泛函${\cal J}_{\varepsilon}$限制到${\cal N}_{\varepsilon}$上的临界点是${\cal J}_{\varepsilon}$在$H_{\varepsilon}^{s}$中的临界点.

现在, 我们考虑标量方程

这里$\nu>0$.相应的变分泛函为

这里$\|u\|^{2}_{\nu}=[u]^{2}+\nu|u|_{2}^{2}$.通过一个简单的论断可得$I_{\nu}\in C^{1}(H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}), {{\Bbb R}} )$, 且

这里$u, \varphi\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$.

相应的Nehari流形表示为

定义

和前面的过程类似, 引理3.1, 引理3.2和引理3.3仍然对$I_{\nu}$成立.因此, 我们可以得到方程(3.8)的一个正的基态解.

定理3.1  假设$(f_{1})$–$(f_{4})$成立, 则方程(3.8)有一个正的基态解.

证  取$\{u_{n}\}\subset{\cal M}_{\nu}$, 使得$\{u_{n}\}$是$I_{\nu}$在${\cal M}_{\nu}$上的一个$(PS)_{m_{\nu}}$序列.由引理3.3, 有$\{u_{n}\}$是$I_{\nu}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中的一个$(PS)_{m_{\nu}}$序列.换句话说

由引理3.1, 可得$\{u_{n}\}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界.我们可以假设$u_{n}\rightharpoonup u$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.根据$u_{n}\rightharpoonup u$在$H^{s}_{\varepsilon}$中和引理2.1, 可得

由$(f_{1})$, 有$|F(u_{n})|\leq C(|u_{n}|^{2}+|u_{n}|^{2^{*}_{\mu}}).$按照上面的不等式和(3.9)式, 可推出$F(u_{n})\rightharpoonup F(u)$在$L^{\frac{2N}{2N-\mu}}({{\Bbb R}} ^{N})$中.由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 可得Riesz势能定义了一个从$L^{\frac{2N}{2N-\mu}}({{\Bbb R}} ^{N})$到$L^{\frac{2N}{\mu}}({{\Bbb R}} ^{N})$的线性连续映射.由$F(u_{n})\rightharpoonup F(u)$, 在$L^{\frac{2N}{2N-\mu}}({{\Bbb R}} ^{N})$中, 可得

再一次由$(f_{2})$, 可得$|f(u_{n})|\leq C(|u_{n}|)+|u_{n}|^{2^{*}_{\mu}-1}$.根据(3.9)式, 有

由以上事实和(3.10)式, 可以推断出

由此有$I_{\nu}'(u)=0$.由于$\langle I_{\nu}'(u), u^{-} \rangle=0$和$(f_{1})$, 则$u\geq 0$.若$u\neq 0$, 类似于引理5.6和文献[26]的证明, 可得$u\in C^{\sigma}({{\Bbb R}} ^{N})$, 对某个$\sigma\in(0, 1)$.按照极值原理^[26]有$u>0$在${{\Bbb R}} ^{N}$.由$(f_{4})$, $u_{n}\rightarrow u$, 几乎处处在${{\Bbb R}} ^{N}$和Fatou引理, 可得

因此$u$是一个正的基态解.当$u=0$时, 根据引理3.2, 则存在$R, \alpha>0$和$\{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得

令$v_{n}=u_{n}(\cdot+y_{n})$, 有$\{v_{n}\}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界, 并且$v_{n}\rightharpoonup v$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.因为$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$紧嵌入到$L_{\rm loc}^{2}({{\Bbb R}} ^{N})$, 有

所以$v\neq 0$.注意到

如同$u\neq0$的情况, 可得$v$是一个正的基态解.

由上面的证明可以看出:

命题3.2  假设$(f_{1})$–$(f_{4})$成立, $I_{\nu}(u_{n})\rightarrow m_{\nu}$, 并且$u_{n}\rightharpoonup u$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.若$u\neq 0$, 则$u$是方程(3.8)的一个正的基态解, 且有$u_{n}\rightarrow u$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.若$u=0$, 则存在$\{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得$v_{n}=u_{n}(\cdot+y_{n})\rightarrow v$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中, 并且$v$是方程(3.8)的一个正的基态解.

引理3.4  假设$V_{\infty}<\infty$, $\{v_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon}$是${\cal J}_{\varepsilon}$的一个$(PS)_{d}$序列.若$v_{n}\rightharpoonup 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中, 且$v_{n}\nrightarrow 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中, 则$d\geq c_{V_{\infty}}$.

证  令$\{t_{n}\}\subset(0, \infty)$, 使得$\{t_{n}v_{n}\}\subset{\cal M}_{V_{\infty}}$.我们断言

如果断言不成立, 则存在$\delta>1$, 通过一个子列, 有$t_{n}\geq \delta$.因为$\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(v_{n}), v_{n} \rangle=o_{n}(1)$, 且$\{t_{n}v_{n}\}\subset {\cal M}_{V_{\infty}}$, 即

且

可得

由(V), 对任意$\xi>0$, 存在$R=R(\xi)>0$, 使得

根据上面的不等式, $v_{n}\rightarrow0$在$L^{2}(B_{R}(0))$中和$\{v_{n}\}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中的有界性, 有

由引理3.2, 则存在$R_{0}, \alpha>0$和$\{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得

令$w_{n}=v_{n}(\cdot+y_{n})$, 则$w_{n}\rightharpoonup w$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中, $w\geq 0$在${{\Bbb R}} ^{N}$中, 且$\int_{B_{R_{0}}(0)}w^{2}{\rm d}x\geq\frac{\alpha}{2}$. 另一方面, 有

令$n\rightarrow \infty$, 按照Fatou引理和$(f_{4})$, 有

联立(3.11), (3.12)和(3.13)式, 可以推断出

因为$\xi$是任意的, 我们得到一个矛盾.下面, 我们分成两种情况来讨论.

情况1   ${ } \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}t_{n}=1$.不失一般性, 假设$t_{n}\rightarrow 1$.由$m_{V_{\infty}}$的意义, 有

根据$\{v_{n}\}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中有界和$t_{n}\rightarrow 1$, 有

类似于(3.12)式, 有

由中值定理和$(f_{2})$, 有

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, $t_{n}\rightarrow 1$和$\{v_{n}\}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中的有界性, 可得

由(3.14)–(3.17)式, 有

因为$\xi$是任意的, 可以推断出$d\geq m_{V_{\infty}}$.

情况2    ${ }\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}t_{n}=t_{0}<1$.假设$t_{n}\rightarrow t_{0}<1$. $(f_{4})$说明$f(t)t-F(t)$在$(0, \infty)$是增函数.因为$J_{\varepsilon}(v_{n})=d+o_{n}(1)$和$\{t_{n}v_{n}\}\subset{\cal M}_{V_{\infty}}$, 有

因此, $d\geq m_{V_{\infty}}$, 我们得到了一个矛盾.

证  设$\{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon}$是一个$(PS)_{c}$序列, 则$u_{n}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中有界且$u_{n}\rightharpoonup u$在$H^{s}_{\varepsilon}$中.很容易地可以得到${\cal J}_{\varepsilon}'(u)=0$.我们有${\cal J}_{\varepsilon}(u)={\cal J}_{\varepsilon}(u)-\frac{1}{2}\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u), u \rangle\geq0$.取$v_{n}=u_{n}-u$, 则$v_{n}\rightharpoonup 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中.由$v_{n}\rightharpoonup 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中和引理2.4, 有

这里$d=c-{\cal J}_{\varepsilon}(u)<m_{V_{\infty}}$.

若$V_{\infty}<\infty$, 因为$d=c-{\cal J}_{\varepsilon}(u)<m_{V_{\infty}}$, 根据引理3.4, 可得$v_{n}\rightarrow 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中.因此$u_{n}\rightarrow u$在$H^{s}_{\varepsilon}$中.

若$V_{\infty}=\infty$.引理2.1表明对$r\in[2, 2^{*}_{s})$, $v_{n}\rightarrow 0$在$L^{r}({{\Bbb R}} ^{N})$中.注意到$\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(v_{n}), v_{n} \rangle=o_{n}(1)$.正如引理3.2的证明, 我们可得$v_{n}\rightarrow 0$在$H^{s}_{\varepsilon}$中.也就是说, $u_{n}\rightarrow u$在$H^{s}_{\varepsilon}$中.

命题3.3  若$V_{\infty}<\infty$, 则对$c<m_{V_{\infty}}$, ${\cal J}_{\varepsilon}$满足$(PS)_{c}$条件; 若$V_{\infty}=\infty$, 则对任意的$c\in{{\Bbb R}}$, ${\cal J}_{\varepsilon}$满足$(PS)_{c}$条件.

回顾引理3.3和命题3.3, 可得

命题3.4  若$V_{\infty}<\infty$, 则对任意的$c<m_{V_{\infty}}$, ${\cal J}_{\varepsilon}$在${\cal N}_{\varepsilon}$上满足$(PS)_{c}$条件; 若$V_{\infty}=\infty$, 则对任意的$c\in{{\Bbb R}}$, ${\cal J}_{\varepsilon}$在${\cal N}_{\varepsilon}$上满足$(PS)_{c}$条件.

在这一部分我们证明方程(1.1)有一个基态解.

定理4.1  假设(V)和$(f_1)$–$(f_4)$成立, 则存在$\varepsilon_{0}>0$, 使得对任意$\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0})$, 方程(1.1)有一个基态解.

证  当$V_{\infty}=\infty$时.假设$\{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon}$是${\cal J}_{\varepsilon}$在$H^{s}_{\varepsilon}$中的一个极小化序列, 根据命题3.4和命题3.1, 可得方程(1.1)有一个基态解.

当$V_{\infty}<\infty$时, 只需证明$c_{\varepsilon}<m_{V_{\infty}}$.假设

令$\nu\in(V_{0}, V_{\infty})$, 有$m_{V_{0}}<m_{\nu}<m_{V_{\infty}}$.再假设$w\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$是方程(3.8)的一个正的基态解.取$\eta\in C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$, 满足$\eta=1$在$B_{1}(0)$且$\eta=0$ in $B_{2}^{c}(0)$.定义$w_{r}=\eta_{r}w$且$\eta_{r}(x)=\eta(\frac{x}{r})$.选取$t_{r}>0$, 使得${ } I_{\nu}(t_{r}w_{r})=\max_{t\geq 0}I_{\nu}(tw_{r}).$由文献[23]中的引理$5$, 可得$w_{r}\rightarrow w$, 当$r\rightarrow \infty$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$.通过简单的论证, 有$t_{r}\rightarrow 1$.因此存在$r_{0}>0$, 使得$I_{\nu}(w_{r_{0}})<m_{V_{\infty}}$.根据(4.1)式和$V$的连续性, 存在$\varepsilon_{0}>0$, 使得$V_{\varepsilon}(x)\leq \nu, \ \forall \; x\in {\rm supp}(w_{r_{0}}), \; \varepsilon\in(0, \varepsilon_{0}).$因此

我们完成了定理4.1的证明.

在这一部分, 我们完成定理1.1的证明.

对于$\delta>0$, 选取函数$\psi$, 使得$\psi\in C^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}, [0, 1])$, $\psi=1$在$B_{\frac{\delta}{2}}(0)$且$\psi=0$在$B_{\delta}^{c}(0)$.对任意的$y\in M$, 定义

这里$\nu=V_{0}$且$w$是方程(3.8)的一个正的基态解.则存在唯一的$t_{\varepsilon}>0$, 使得

我们定义映射$\Phi_{\varepsilon}:M\rightarrow {\cal N}_{\varepsilon}$满足$\Phi_{\varepsilon}=t_{\varepsilon}\Psi_{\varepsilon, y}$.

引理5.1  一致地对$y\in M$, 有

证  假设存在$\alpha_{0}>0, \{y_{n}\}\subset M$且$\varepsilon_{n}\rightarrow 0$, 使得

下面, 我们证明$\{t_{\varepsilon_{n}}\}$是有界的.假设这个结论错误, 则通过一个子列, 有$t_{n}:=t_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \infty$.注意到$\|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \|w\|_{V_{0}}$.因为$\langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})), \Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})\rangle=0$和$(f_{4})$, 通过变量替换$\frac{\varepsilon_{n} x-y_{n}}{\varepsilon_{n}}=z$, 有

这里${ } l=\min\limits_{x\in \bar{B}_{\frac{\delta}{2}}(0)}w(x)$.这与$\|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \|w\|_{V_{0}}$相矛盾.因此$\{t_{n}\}$是有界的.我们可以假设对某个$t_{0}\geq 0$, $t_{n}\rightarrow t_{0}$.接下来, 我们证明$t_{0}>0$.根据$\langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})), \Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})\rangle=0$, $(f_{2})$, Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和引理2.1, 可得

由于$\|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \|w\|_{V_{0}}$, 则存在$C>0$使得$t_{n}\geq C$, 因此$t_{0}>0$.令$n\rightarrow \infty$, 按照$\langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})), \Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})\rangle=0$, 有

所以, $t_{0}w\in {\cal M}_{V_{0}}$, 这说明$t_{0}=1$.因此

我们得到$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\cal J}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n}))=I_{V_{0}}(w)=m_{V_{0}}$, 这不可能.至此我们完成了证明.

现在, 我们定义重心映射.选取$\rho>0$使得$M_{\delta}\subset B_{\rho}$.定义$\Upsilon:{{\Bbb R}} ^{N}\rightarrow {{\Bbb R}}$, 满足

重心映射$\beta_{\varepsilon}: {\cal N}_{\varepsilon}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{N}$定义为

如同文献[3], 有

引理5.2  一致地对$y\in M$, 函数$\beta_{\varepsilon}$满足下面的极限

受文献[3]的启发, 我们可以得到下面的结论.

命题5.1  取$\varepsilon_{n}\rightarrow 0$且$\{u_{n}\}\subset {\cal N}_{\varepsilon_{n}}$, 使得${\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n})\rightarrow m_{V_{0}}$, 则存在$\{\tilde{y}_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$使得$v_{n}(x)=u_{n}(x+\tilde{y}_{n})$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中有一个强收敛的子列.况且, 通过一个子列, 对某个$y\in M$, 有$y_{n}=\varepsilon_{n} \tilde{y}_{n}\rightarrow y$.

证  根据${\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n})\rightarrow m_{V_{0}}$和$\langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(u_{n}), u_{n} \rangle=0$, 则存在$C_{1}, C_{2}>0$, 使得$C_{1}\leq\|u_{n}\|_{\varepsilon_{n}}\leq C_{2}$.类似于引理3.2, 存在$R, \alpha>0$和$\{\tilde{y}_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得

固定$v_{n}=u_{n}(\cdot+\tilde{y}_{n})$, 注意到$\{v_{n}\}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中有界且$v_{n}\rightharpoonup v\neq 0$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.选取$\{t_{n}\}\subset (0, \infty)$, 使得$\{t_{n}v_{n}\}\subset {\cal M}_{V_{0}}$.并且取$y_{n}=\varepsilon_{n}\tilde{y}_{n}$和$w_{n}=t_{n}v_{n}$, 因为$V(x)\geq V_{0}$, 有

我们得到$I_{V_{0}}(w_{n})\rightarrow m_{V_{0}}$.由于$I_{V_{0}}(w_{n})\rightarrow m_{V_{0}}$和$\langle I_{V_{0}}'(w_{n}), w_{n} \rangle=0$, 则存在$C_{3}, C_{4}>0$满足$C_{3}\leq\|w_{n}\|_{V_{0}}\leq C_{4}$.结合$\{v_{n}\}$的有界性和$\{v_{n}\}$远离$0$, 有$t_{n}\rightarrow t_{0}>0$.假设$w_{n}\rightharpoonup w=t_{0}v\neq0$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.回顾命题3.2, 可得$w_{n}\rightarrow w$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.这说明$v_{n}\rightarrow v$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中.

接下来, 我们证明对于某个$y\in M$, 有$y_{n}\rightarrow y$.首先, 我们证明$\{y_{n}\}$是有界的.如果不正确, 则存在子列使得$|y_{n}|\rightarrow \infty$.下面我们分情况讨论.当$V_{\infty}=\infty$时.因为$\|u_{n}\|_{\varepsilon_{n}}\leq C_{2}$, 则

由Fatou引理, 有$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V(\varepsilon_{n}x+y_{n})v_{n}^{2}{\rm d}x=\infty$.这是一个矛盾.当$V_{\infty}<\infty$时, 根据$w_{n}\rightarrow w$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中和$V_{0}<V_{\infty}$, 可得

这也是一个矛盾.因此$\{y_{n}\}$是有界的.通过一个子列, 我们可以假设$y_{n}\rightarrow y$. If $y\notin M$, 则$V_{0}<V(y)$.如同(5.2)式, 我们可以得到一个矛盾, 所以$y\in M$.

我们选取${\cal N}_{\varepsilon}$的子集$\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}$, 定义为

这里$h:{{\Bbb R}} _{+}\rightarrow {{\Bbb R}} _{+}$使得$h(\varepsilon)\rightarrow 0$, 当$\varepsilon\rightarrow 0$.取$y\in M$, 由引理5.1, 有$h(\varepsilon)=|{\cal J}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon}(y))-m_{V_{0}}|\rightarrow 0$当$\varepsilon\rightarrow 0$.所以, $\Phi_{\varepsilon}\in \tilde{N}_{\varepsilon}$, 且对任意$\varepsilon>0$, $\tilde{N}_{\varepsilon}\neq \emptyset$.

正如文献[3, 13], 有

引理5.3  对任意$\delta>0$, 成立

为了证明方程(3.1)的解$u$属于$L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$, 如同文献[22, 25]的证明, 我们需要下面的结果.

引理5.4  假设$u$是方程(3.1)的一个解, 则对任意$p\in [2, \frac{N}{N-\mu}2^{*}_{s})$, 有$u\in L^{p}({{\Bbb R}} ^{N})$, 并且存在$C_{p}>0$, 不依赖$u$, 使得

引理5.5  假设$u$是方程(3.1)的一个解, 则存在$C>0$, 不依赖于$u$, 使得

证  根据引理5.4, 有对于$p\in [2, \frac{N}{N-\mu}2^{*}_{s})$, 成立$u\in L^{p}({{\Bbb R}} ^{N})$.由$(f_{2})$, 有$|F(u)|\leq C_{1}(|u|^{2}+|u|^{2^{*}_{s}})$.因此对任意$\bar{p}\in [1, \frac{N}{N-\mu}\frac{2N}{2N-\mu})$, 有$F(u)\in L^{\bar{p}}$.可以推断出

选取$\sigma\in (0, \frac{N(N-\mu)}{2N-\mu})$, 则$I_{1}\in L^{\frac{N-\sigma}{\mu}}$且$I_{2}\in L^{\frac{N+\sigma}{\mu}}$.根据卷积型的Young不等式, 有

并且

因为$\sigma\in (0, \frac{N(N-\mu)}{2N-\mu})$, 则

所以$|x|^{-\mu}\ast F(u)\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$.

受Moser迭代方法^{[22, 23]}的启发, 我们有下面的估计.这对研究方程(1.1)的解的渐近行为是非常重要的.

引理5.6  取$\varepsilon_{n}\rightarrow0$, 且$u_{n}=u_{\varepsilon_{n}}\in \tilde{{\cal N}}_{\varepsilon_{n}}$是方程3.1的一个解.则通过一个子列, $v_{n}:=u_{n}(\cdot+\tilde{y}_{n})$满足$v_{n}\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$并且这儿存在$C>0$使得

这里$\tilde{y}_{n}$在推论中被给出.另一方面, 一致地对$n\in {\Bbb N}$, 有

证  假设$L, \beta>0$, 定义$v_{L, n}=\min\{v_{n}, L\}$和$\tilde{v}_{L, n}=v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)}$.对任意$t\geq0$, 我们考虑函数$\gamma(t)=\gamma_{L, \beta}(t)=tt_{L}^{2(\beta-1)}$, 这里$t_{L}=\min\{t, L\}$.因为$\gamma$是一个单增函数, 则

固定$\Lambda(t)=\frac{t^{2}}{2}$和$\Gamma(t)=\int_{0}^{t}|\gamma'(\tau)|^{2}{\rm d}\tau$, 有

事实上, 由$a>b$和Jeasen不等式, 有

(5.3)式说明

通过直接计算, 可得$\Gamma(v_{n})\geq\frac{1}{\beta}v_{n}v_{L, n}^{\beta-1}$.按照$D^{s, 2}({{\Bbb R}} ^{N})\hookrightarrow L^{2^{*}_{s}}({{\Bbb R}} ^{N})$, 有

取$v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)}$是方程(3.1)的一个测试函数, 根据(5.3), (5.4)和(5.5)式, 可得

由引理5.5, 则存在$C>0$使得

$(f_{2})$表明对任意$\xi>0$, 存在$C_{\xi}>0$, 使得

让$\xi$足够小, 由(5.6), (5.7)和(5.8)式, 有

固定$\beta=\frac{2^{*}_{s}}{2}$, 因为$0\leq v_{L, n}\leq v_{n}$和Höder不等式, 可得

由$v_{n}\rightarrow v$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中, 则存在$R>0$, 使得

按照(5.9), (5.10)和(5.11)式, 有

取$n\rightarrow \infty$, 根据$\{v_{n}\}$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中的有界性和Fatou引理, 有$v_{n}\in L^{\frac{(2^{*}_{s})^{2}}{2}}({{\Bbb R}} ^{N})$.在(5.9)式中, 让$L\rightarrow \infty$, 由$0\leq v_{L, n}\leq v_{n}$和Fatou引理, 可得

所以我们可以得到

对$m\geq 1$, 取$\beta_{m+1}$使得$2^{*}_{s} \beta_{m}=2^{*}_{s}+2(\beta_{m+1}-1)$且$\beta_{1}=\frac{(2^{*}_{s})^{2}}{2}$, 则

定义

则存在$C_{0}>0$使得

让$m\rightarrow \infty$, 我们有对任意$n\in {\Bbb N}$, $|v_{n}|_{\infty}\leq C_{0}D_{1}$.如同文献[12]中的证明, 可得$\{w_{n}\}\subset H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$满足下面的方程

另一方面, $w_{n}={\cal K}\ast[(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})]$, 这里${\cal K}$是Bessel核.因为存在$C>0$, 使得$|(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})|_{2}\leq C$, 并且对任意$n\in{\Bbb N}$, 有$|(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})|_{\infty}\leq C$, 则一致地对$n\in{\Bbb N}$, 有

通过比较我们有$0\leq v_{n}\leq w_{n}$.我们完成了引理5.6的证明.

下面, 我们完成定理1.1的证明.

我们分成下面的三种情况来完成定理的证明.

多重解  对任意$\delta>0$, 引理5.1, 引理5.2和引理5.3表明存在$\varepsilon_{\delta}>0$, 对任意$\varepsilon\in(0, \varepsilon_{\delta})$, 下面的图

是有意义的.况且, $\beta_{\varepsilon}\circ \Phi_{\varepsilon}$与嵌入映射$i:M\rightarrow M_{\delta}$是同伦等价的.根据文献[9, Lemma 2.2] (或[7, Lemma 4.3]), 有

注意到命题3.4说明${\cal J}_{\varepsilon}$在$\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}$上满足$(PS)_{c}$条件.由Ljusternik-Schnirelmann理论可得${\cal J}_{\varepsilon}$在$\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}$上至少有${\rm cat}_{\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}}(\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon})$个临界点.命题3.1说明${\cal J}_{\varepsilon}$至少有${\rm cat}_{M_{\delta}}(M)$个临界点.让$u_{\varepsilon}$是其中的一个临界点.按照引理5.6有$u_{\varepsilon} \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$.因为$u_{\varepsilon}\geq 0$在${{\Bbb R}} ^{N}$, 则由文献[26]的推论$2.8$, 有$u_{\varepsilon}>0$.

集中现象  让$\varepsilon_{n}\rightarrow 0$, $\{u_{\varepsilon_{n}}\}$是方程(3.1)的一个解.令$v_{n}=u_{n}(\cdot+\tilde{y}_{n})$, 我们断言存在$\rho>0$, 使得$|v_{n}|_{\infty}\geq\rho$.对任意$n\in {\Bbb N}$, 假设通过一个子列有$|v_{n}|_{\infty}\rightarrow0$, 当$n\rightarrow \infty$.由引理5.5可$(f_{2})$, 可得

因为$\langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n}), u_{n} \rangle=0$, 则

这说明$\|v_{n}\|_{V_{0}}=0$.这于$v_{n}\rightarrow v\neq 0$在$H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$中矛盾.因此$\rho\leq|v_{n}|_{\infty}\leq C$.取$p_{n}$是$u_{n}$的最大值点, 注意到$p_{n}\in B_{R}(\tilde{y}_{n})$, $p_{n}=\tilde{y}_{n}+q_{n}$且$|q_{n}|<R$.因为方程(1.1)的解的形式为$\hat{u}_{\varepsilon_{n}}(x)=u_{\varepsilon_{n}}(\frac{x}{\varepsilon_{n}})$, 则解的最大值点$\hat{u}_{\varepsilon_{n}}(x)$能表示为$\eta_{\varepsilon_{n}}=\varepsilon_{n}\tilde{y}_{n}+\varepsilon_{n}q_{n}$.所以, $\eta_{\varepsilon_{n}}\rightarrow y\in M$.由$V$的连续性, 有

衰减估计  根据文献[12]的引理$4.3$, 则存在$w\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})$和$R_{1}>0$, 使得

并且

因为当$|x|\rightarrow \infty$, $v_{n}(x)\rightarrow 0$一致地对于$n\in{\Bbb N}$成立和$(f_{2})$, 则存在$R_{2}>0$, 使得

由于$u_{n}$是方程(3.1)的一个解, 则

这里$g_{n}=(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})-\frac{V_{0}}{2}v_{n}$.取$w_{n}$是方程

的唯一解.根据(5.15)式, 可得$0\leq v_{n}\leq w_{n}$. (5.14)式表明

取$R_{3}=\max\{R_{1}, R_{2}\}$, ${ } c=\inf\limits_{B_{R_{3}}}w(x)$且${ } d=\sup\limits_{n}|w_{n}|_{\infty}<\infty$, 定义$\tilde{w}_{n}=(d+1)w-c w_{n}$.我们断言$\tilde{w}_{n}\geq 0$在${{\Bbb R}} ^{N}$中, 则有

假设存在$\{\bar{x}_{j, n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N}$, 使得

由(5.16)式, 有$\{\bar{x}_{j, n}\}$是有界的.假设$\bar{x}_{j, n}\rightarrow \bar{x}_{n}$, 当$j\rightarrow \infty$, 则

根据$\bar{x}_{n}$是最小值点和分数阶Laplace算子的表示公式^{[11, Lemma 3.2]}, 有

按照(5.17)和(5.19)式, 可得$\bar{x}_{n}\in B_{R_{3}}^{c}(0)$. (5.19)和(5.20)式表明

这与(5.18)式相矛盾.因此$\tilde{w}_{n}\geq 0$在${{\Bbb R}} ^{N}$, 也就是说$v_{n}\leq Cw_{n}$.由(5.12)式, 可得

最后, 由$v_{n}$的意义有

至此我们完成了定理1.1的证明.