本文研究了分数阶Choquard方程

(1.1) $ \begin{equation} \varepsilon^{2s}(-\Delta)^{s}u+V(x)u=\varepsilon^{\mu-N}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u), \quad x\in {{\Bbb R}} ^{N} \end{equation} $

的正解的存在性等, 这里$ \varepsilon>0 $是一个参量, $ s\in(0, 1) $.我们假设位势$ V $满足Rabinowitz^[24]提出的全局性条件:

$ V_{\infty}=\liminf\limits_{|x|\rightarrow \infty} V(x)>\inf\limits_{x\in {{\Bbb R}} ^{N}} V(x)=V_{0}>0, \ \mbox{其中 }\ V_{\infty}\leq \infty. \;\;\;\;{\rm (V)} $

对于非线性项$ f $, 假设

($ f_1 $) $ f\in C^{1}({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $, 且对于$ t\leq 0 $, $ f(t)=0 $;

($ f_2 $) $ \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(t)}{t}=0 $且$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{f(t)}{|t|^{2^{*}_{\mu}-1}}=0 $, 这里$ 2^{*}_{\mu}=\frac{2N-\mu}{N-2s} $;

($ f_3 $) $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} f(t)=\infty $;

($ f_4 $)对于$ t>0 $, $ f'(t)>0 $.

对函数$ u\in C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 分数阶Laplace算子定义为

$ {\cal F}((-\Delta)^{s}u){\xi}=|\xi|^{2s}{\cal F}(u)(\xi), \quad \xi \in{{\Bbb R}} ^{N}, $

其中$ {\cal F} $表示傅里叶变换.从文献[11, Lemma 3.2]可知分数阶Laplace算子的定义等价于

$ (-\Delta)^{s}u(x)=C(N, s)P.V.\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}y, \quad x\in{{\Bbb R}} ^{N}, $

这里$ P.V. $是柯西主值, $ C(N, s) $是正规化的常值.分数阶Laplace算子用于描述L$ \acute{\rm e} $vy稳定扩散过程的无穷小发生器.这个算子来源于等离子体中的异常扩散、人口动力学、地球物理、流体动力学、火焰传播、液体中的化学反应和美式金融期权等.更多关于它的物理意义, 参见文献[6, 16].

方程(1.1)源于下面的分数阶方程

(1.2) $ \begin{equation} {\rm i}\varepsilon\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\varepsilon^{2s}(-\Delta)^{s}\Psi+V(x)\Psi -\varepsilon^{\mu-N}(|x|^{-\mu}\ast F(\Psi))f(\Psi), \quad (t, x)\in {{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} ^{N} \end{equation} $

的孤立波.这个抛物方程产生于相变, 守恒律和分数阶量子力学.更多关于方程(1.1)的物理背景, 参见文献[3, 4, 16, 17].

形如$ \Psi(t, x)=u(x)e^{-\frac{{\rm i}wt}{\varepsilon}} $的解称为方程(1.2)的孤立波解. $ \Psi(t, x) $是方程(1.2)的解当且仅当$ u $是方程(1.1)的解.

当$ s=1 $, 方程(1.1)可以看成方程

(1.3) $ \begin{equation} -\varepsilon^{2}\Delta u+V(x)u=\varepsilon^{\mu-N}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u), \quad x\in {{\Bbb R}} ^{N}, \end{equation} $

这个方程在数学上已经引起了许多研究者的关注.在假设$ \varepsilon=1 $, $ V(x)=1 $且$ f(t)=t^{p} $的情况下, Moroz和Van Schaftingen在文献[19]中研究了其基态解的正则性并且证明了所得基态解是正的, 他们也证明了所有的正基态都是径向对称和单调递减的.随后, 当$ \varepsilon=V=1 $时, 他们在文献[20]中也证明了方程(1.3)非平凡解的存在性, 受Berestycki和Lions的启发, 在假设非线性项$ f $是几乎必要的条件下, 他们证明了他们所得到的解是一个基态解并且得到了解的正则性, 此外, 如果假设$ f $在$ [0, \infty) $是偶的且单调的, 作者指出他们所得到的解是不变号且对称的.当假设$ V $满足条件(V)且$ f $是临界增长的情况下, 利用变分法, Alves等^[1]得到了方程(1.3)的半经典解的存在性, 多重性和集中现象.之后不久, 在假设$ f $既不满足单调条件又不满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件下, Cassani和Zhang^[8]在一些方面拓展了文献[1]的结论.更多关于Choquard方程的解的存在性, 渐进行为和集中现象的结果, 参考文献[10, 14, 21, 27, 28, 32, 34].

关于方程(1.1)的解的多重性和集中现象的结果尚不多见.最近, 当$ f $是次临界增长, 并且$ V $满足局部极小条件时, 即存在开集$ \Lambda\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得

(1.4) $ \begin{equation} 0<V_{0}\leq \gamma=\inf\limits_{x\in \Lambda} V(x)<\min\limits_{x\in \partial \Lambda}V(x), \end{equation} $

利用截断方法和Ljusternik-Schnirelmann理论, Ambrosio^[4]得到了方程(1.1)的解的多重性和集中现象.随后, 他将其推广到带有磁场的分数阶Choquard方程^[5].当非线性项是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上下临界指标的和时, Su等^[25]得到了方程(1.1)的解的多重性和集中现象. Wang等^[33]把文献[1]的结论推广到了方程(1.1).关于分数阶Choquard方程的一些最近成果, 参见文献[15, 30, 31].

受以上工作的启发, 利用变分法和Ljusternik-Schnirelmann理论, 本文研究分数阶Choquard方程(1.1)的基态解的存在性, 多解性以及解的渐进行为.在介绍主要结果之前, 我们首先介绍一下Ljusternik-Schnirelmann筹数的概念.

定义集合

$ M=\{x\in {{\Bbb R}} ^{N}: V(x)=V_{0}\}\quad \mbox{且} \quad M_{\delta}=\{x\in {{\Bbb R}} ^{N}: {\rm dist}(x, M)\leq \delta\}, $

这里$ \delta>0 $.

设$ Y $是拓扑空间$ X $的一个闭子集, 则$ Y $在$ X $中的筹数是$ X $中包含$ Y $的最少的闭的可缩集的个数, 表示为$ {\rm cat}_{X}(Y) $.

我们主要的结果如下:

定理1.1  假设(V)和$ (f_1) $–$ (f_4) $成立, 则对任意的$ \delta>0 $, 存在$ \varepsilon_{\delta}>0 $, 使得对任意的$ \varepsilon\in (0, \varepsilon_{\delta}) $, 方程(1.1)至少有$ {\rm cat}_{M_{\delta}}(M) $个正解.若$ u_{\varepsilon} $是所得到的一个解, 且$ x_{\varepsilon} $是$ u_{\varepsilon} $的最大值点, 则$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} V(x_{\varepsilon})=V_{0}, $并且存在$ C>0 $, 使得

$ 0<u_{\varepsilon}(x)\leq \frac{C\varepsilon^{N+2s}}{\varepsilon^{N+2s}+|x-x_{\varepsilon}|^{N+2s}}, \quad \forall\; x\in {{\Bbb R}} ^{N}. $

我们主要遇到了以下几个方面的困难.首先, 由于非线性项不满足一般的Ambrosetti-Rabinowitz型条件

(1.5) $ \begin{equation} 0<\theta F(t)\leq 2f(t)t, \quad\forall\; t>0, \end{equation} $

这里$ \theta>2 $, 这使得得到变分泛函的紧性变得困难.事实上, 条件(1.5)可以得到$ (f_{2}) $, 所以条件(1.5)是比$ (f_{2}) $更强的一个条件, 例如函数$ f(t)=t\ln(1+t^{2}) $满足我们的假设但不满足条件(1.5).受文献[3]的启发, 为了得到变分泛函的紧性, 我们首先研究了标量方程的解的存在性及它所对应的变分泛函的紧性, 然后利用Nehari流形的一些技巧来得到变分泛函的紧性.值得注意的是, 方程(1.1)的变分泛函的紧性和位势$ V $在无穷远点的行为密切相关.其次, 由于非线性项为一个卷积项, 因此我们需要一些新的技巧.最后, 我们需要$ L^{\infty} $估计来研究解的集中现象.由于卷积项的影响, Moser迭代的方法在本文似乎无法直接应用, 这儿我们用文献[2, 12]中的方法来得到解的$ L^{\infty} $估计.

本文组织如下.在第2部分, 我们介绍一些基本概念.在第3部分, 我们建立变分泛函的框架并且考虑标量方程的解的存在性.在第4部分, 我们得到方程(1.1)的基态解.在第5部分, 我们完成定理1.1的证明.

在这一部分, 我们介绍一些分数阶空间的基本的概念和性质.对$ p\in (1, \infty) $, 我们用$ |u|_{p} $表示$ L^{p}({{\Bbb R}} ^{N}) $的范数.我们用$ C, C_{i} $表示一些固定的常数, 这里$ i=1, 2, \cdots $, 并且用$ o_{n}(1) $表示$ o_{n}(1)\rightarrow 0 $, 当$ n\rightarrow \infty $.固定$ s\in(0, 1) $, $ D^{s, 2}({{\Bbb R}} ^{N}) $的范数是

$ [u]:=[u]_{s}={\int\!\!\!\int}_{{{\Bbb R}} ^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^{2}}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}x{\rm d}y. $

定义空间

$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}):=\bigg\{u\in L^{2}({{\Bbb R}} ^{N}):{\int\!\!\!\int}_{{{\Bbb R}} ^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^{2}}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}x{\rm d}y<\infty \bigg\}, $

它的范数为

$ \|u\|_{\nu}^{2}={\int\!\!\!\int}_{{{\Bbb R}} ^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^{2}}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}x{\rm d}y+\nu\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|u|^{2}{\rm d}x, $

这儿$ \nu>0 $.

现在, 我们介绍Hilbert空间

$ H^{s}_{\varepsilon}:=\left\{u\in D^{s, 2}({{\Bbb R}} ^N): \int_{{{\Bbb R}} ^{N}} V_{\varepsilon}(x) |u|^{2}\, {\rm d}x <\infty\right\}, $

它的内积为

$ \langle u , v \rangle_{\varepsilon}:= {\int\!\!\!\int}_{{{\Bbb R}} ^{2N}} \frac{(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}x{\rm d}y+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}} V_{\varepsilon}(x) u v{\rm d}x, $

对任意的$ u, v\in H^{s}_{\varepsilon} $.它的范数为$ \|u\|_{\varepsilon}^{2}=\langle u , u \rangle_{\varepsilon} $.

回顾嵌入性定理和Lions型引理如下:

引理2.1^[3]  对任意$ r\in [2, 2^{*}_{s}] $, 空间$ H^{s}_{\varepsilon} $连续的嵌入到空间$ L^{r}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 并且对所有的$ r\in [1, 2^{*}_{s}) $, $ H^{s}_{\varepsilon} $紧嵌入到$ L^{r}_{\rm loc}({{\Bbb R}} ^{N}) $.另一方面, 若$ V_\infty=\infty $, 则对任意的$ r\in [2, 2^{*}_{s}) $, $ H^{s}_{\varepsilon} $紧嵌入到$ L^{r}({{\Bbb R}} ^{N}) $.

引理2.2^[3]  假设$ \{u_{n}\} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中有界且对某个$ R>0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup\limits_{y\in {{\Bbb R}} ^{N}} \int_{B_{R}(y)} |u_{n}|^{2} {\rm d}x=0, \end{eqnarray*} $

则对所有的$ t\in (2, 2^{*}_{s}) $, $ u_{n}\rightarrow 0 $在$ L^{t}({{\Bbb R}} ^{N}) $.

为研究方程$ (1.1) $, 我们需要下面的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.

引理2.3^[18]  假设$ t, r>1 $, $ 0<\mu<N $使得$ \frac{1}{t}+\frac{\mu}{N}+\frac{1}{r}=2 $, $ f\in L^{t}({{\Bbb R}} ^{N}) $且$ h\in L^{r}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 则存在最佳常数$ C(t, N, \mu, r) $, 不依赖于$ f $和$ h $, 使得

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\frac{f(x)h(x)}{|x-y|^{\mu}}{\rm d}x{\rm d}y\leq C(t, N, \mu, r)|f|_{t}|h|_{r}. $

受文献[8]的启发, 我们有下面的分离性引理.

引理2.4  假设$ 0<\mu<\min\{4s, N\} $并且$ f $满足$ (f_{2}) $, 若$ u_{n}\rightharpoonup u $在$ H^{s}_{\varepsilon} $, 则通过一个子列, 对任意的$ \varphi\in H^{s}_{\varepsilon} $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))F(u_{n}) {\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}-u))F(u_{n}-u) {\rm d}x\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))F(u) {\rm d}x=o_{n}(1), \end{eqnarray*} $

并且

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))f(u_{n}) \varphi {\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}-u))f(u_{n}-u) \varphi {\rm d}x\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u) \varphi {\rm d}x=o_{n}(1)\|\varphi\|_{\varepsilon}. \end{eqnarray*} $

证  这个证明类似于文献[8]中的证明, 这里我们省略它.

在这一部分, 我们建立一些基本的结论并且考虑方程(1.1)相对应的标量方程的基态解的存在性.

通过变量替换$ x\mapsto \varepsilon x $, 方程(1.1)将转化为下面的方程

(3.1) $ \begin{equation} (-\Delta)^{s}u+V_{\varepsilon}(x)u=(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u), \quad x\in{{\Bbb R}} ^{N}. \end{equation} $

它的变分泛函为

$ {\cal J}_{\varepsilon}(u)=\frac{1}{2}\|u\|_{\varepsilon}^{2}-\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))F(u){\rm d}x. $

根据引理2.1和引理2.3, 可得$ {\cal J}_{\varepsilon}\in C^{1}(H^{s}_{\varepsilon}, {{\Bbb R}} ) $和

$ \langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u), \varphi\rangle=\langle u, \varphi \rangle_{\varepsilon}-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u)\varphi {\rm d}x, \quad \forall\; u, \varphi\in H^{s}_{\varepsilon}. $

它相应的Nehari流形表示为

$ {\cal N}_{\varepsilon}=\{u\in H^{s}_{\varepsilon} \setminus\{0\}:\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u), u \rangle=0 \}. $

根据$ (f_{1}) $和$ (f_{4}) $, 可推断出, 若$ u\in H^{s}_{\varepsilon}\setminus\{0\} $, 并且$ u^{+}\neq0 $, 则存在唯一的$ t_{u}>0 $, 使得$ t_{u}u\in{\cal N}_{\varepsilon} $, 且

$ { } {\cal J}_{\varepsilon}(t_{u}u)=\max\limits_{t\geq0}{\cal J}_{\varepsilon}(tu). $

取

$ { } c_{\varepsilon}=\inf\limits_{u\in{\cal N}_{\varepsilon}}{\cal J}_{\varepsilon}(u). $

利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Sobolev不等式, 则存在$ \alpha_{0}>0 $, 使得

(3.2) $ \begin{equation} \|u\|_{\varepsilon}\geq \alpha_{0}, \quad \forall \; u\in {\cal N}_{\varepsilon}. \end{equation} $

引理3.1  假设$ \{u_{n}\}\subset {\cal N}_{\varepsilon} $, 并且$ {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c $, 则$ \{u_{n}\} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中是有界的.

证  按照假设可得

(3.3) $ \begin{equation} {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})=c+o_{n}(1), \quad \mbox{且}\quad \langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}\rangle=0. \end{equation} $

假设$ \|u_{n}\|\rightarrow \infty $, 取$ v_{n}=\frac{u_{n}}{\|u_{n}\|_{\varepsilon}} $, 下面我们证明:对任意的$ R>0 $, 有

(3.4) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup\limits_{y\in{{\Bbb R}} ^{N}}\int_{B_{R}(y)}v_{n}^{2}\; {\rm d}x=0. \end{equation} $

若假设不成立, 则存在$ \alpha, R>0 $和$ \{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得

$ \begin{eqnarray*} \label{bdd3} \int_{B_{R}(y)}v_{n}^{2}\; {\rm d}x\geq\alpha. \end{eqnarray*} $

定义$ \tilde{v}_{n}=v_{n}(\cdot+y_{n}) $, 则$ \{\tilde{v}_{n}\} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中有界.假设$ \tilde{v}_{n}\rightharpoonup \tilde{v} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中, 且$ \tilde{v}_{n}\rightarrow \tilde{v} $在$ L_{\rm loc}^{2}({{\Bbb R}} ^{N}) $中, 则

$ \int_{B_{R}(0)}\tilde{v}^{2}\; {\rm d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{B_{R}(0)}\tilde{v}_{n}^{2}\; {\rm d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{B_{R}(y_{n})}v_{n}^{2}\; {\rm d}x\geq\alpha. $

因此$ \tilde{v}\neq 0 $.我们有

$ \tilde{u}_{n}:=\|u_{n}\|_{\varepsilon}\tilde{v}_{n}\rightarrow \infty, \quad \mbox{几乎处处于}\; x\in A:=\{x\in{{\Bbb R}} ^{N}:\tilde{v}(x)\neq 0\}. $

由$ (f_{3}) $, 可得

(3.5) $ \begin{equation} \frac{F(\tilde{u}_{n})}{\tilde{u}_{n}}\tilde{v}_{n}\rightarrow \infty, \quad \mbox{几乎处处于}\; x\in A. \end{equation} $

利用(3.3)式, (3.5)式和Fatou引理, 可得

$ \begin{eqnarray*} 1-\frac{c+o_{n}(1)}{\|u_{n}\|_{\varepsilon}^{2}} &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\frac{(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))F(u_{n})}{\|u_{n}\|_{\varepsilon}^{2}}{\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\frac{(|x|^{-\mu}\ast F(\tilde{u}_{n}))F(\tilde{u}_{n})}{\|\tilde{u}_{n}\|_{\varepsilon}^{2}}{\rm d}x\\ &\geq&{\int\!\!\!\int}_{A\times A} \frac{1}{|x-y|^{\mu}} \frac{F(\tilde{u}_{n}(x))}{|\tilde{u}_{n}(x)|}\tilde{v}_{n}(x)\frac{F(\tilde{u}_{n}(y))}{\tilde{u}_{n}(y)}\tilde{v}_{n}(y){\rm d}x{\rm d}y\rightarrow \infty, \end{eqnarray*} $

这是一个矛盾.因此(3.4)式成立.由引理2.2, 有对任意$ r\in (2, 2^{*}_{s}) $, $ u_{n}\rightarrow 0 $在$ L^{r}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.从$ (f_{2}) $可得:对任意$ l, \xi>0 $, 存在$ C_{\xi}>0 $, 使得

$ F(l\xi)\leq\xi |lt|^{2^{*}_{\mu}}+C_{\xi}|lt|^{2}, \quad \forall\; t\in{{\Bbb R}} . $

这个不等式结合Hardy-Littlewood-Sobolev不等式表明

$ \begin{eqnarray*} \bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(lv_{n}))F(lv_{n}){\rm d}x\bigg| &\leq& C_{1}|F(lv_{n})|_{\frac{2N}{2N-\mu}}^{2} \leq C_{1}|\xi |lv_{n}|^{2^{*}_{\mu}}+C_{\xi}|lv_{n}|^{2}|_{\frac{2N}{2N-\mu}}^{2}\\ &\leq& C_{1} \bigg(|\xi |lv_{n}|^{2^{*}_{\mu}}|_{\frac{2N}{2N-\mu}}+|C_{\xi |lv_{n}|}|lv_{n}|^{2}|_{\frac{2N}{2N-\mu}}\bigg)^{2} \\ &=&C_{1}\bigg(\xi l^{2^{*}_{\mu}}|v_{n}|_{2^{*}_{s}}^{\frac{2N-\mu}{N-2s}}+C_{\xi}l^{2}|v_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{2} \bigg)^{2}\\ &\leq& 2C_{1}l^{22^{*}_{s}}\xi^{2}|v_{n}|_{2^{*}_{s}}^{2\frac{2N-\mu}{N-2s}}+2C_{1}l^{4}C_{\xi}^{2}|v_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{4}. \end{eqnarray*} $

因为$ 2<\frac{4N}{2N-\mu}<2^{*}_{s} $, 则$ |v_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}\rightarrow 0 $.我们可以推断出

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(lv_{n}))F(lv_{n}){\rm d}x\bigg|\leq C_{2}\xi^{2}. $

由于$ \xi $是任意的, 所以

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(lv_{n}))F(lv_{n}){\rm d}x\bigg|=0. $

对任意$ l>0 $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})=\max\limits_{t\geq 0}{\cal J}_{\varepsilon}(tu_{n})=\max\limits_{t\geq 0}{\cal J}_{\varepsilon}(\frac{t}{\|u_{n}\|_{\varepsilon}}u_{n})\geq {\cal J}_{\varepsilon}(lv_{n}) =\frac{l^{2}}{2}+o_{n}(1). \end{eqnarray*} $

这说明$ {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow \infty $, 我们得到一个矛盾.

引理3.2  假设$ \{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon} $, $ {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c $, 且$ u_{n}\rightharpoonup 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中, 则存在$ R, \alpha>0 $, 使得

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\sup\limits_{y\in{{\Bbb R}} ^{N}}\int_{B_{R}(y)}|u_{n}|^{2}{\rm d}x\geq \alpha. $

证  反证法.假设结论不成立.由引理2.2可得:对任意$ r\in(2, 2^{*}_{s}) $, $ u_{n}\rightarrow 0 $在$ L^{r}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.利用$ \langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}\rangle=0 $, $ (f_{2}) $, $ \{u_{n}\} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中的有界性和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} \|u_{n}\|_{\varepsilon}^{2}&=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|x|^{-\mu}\ast F(u_{n})f(u_{n})u_{n}{\rm d}x \leq C_{1}|F(u_{n})|_{\frac{2N}{2N-\mu}}|f(u_{n})u_{n}|_{\frac{2N}{2N-\mu}}\\ &\leq &C_{1} |\xi |u_{n}|^{2^{*}_{\mu}}+C_{\xi}|u_{n}|^{2}|_{\frac{2N}{2N-\mu}}^{2} =\bigg(\xi |u_{n}|_{2^{*}_{s}}^{\frac{2N-\mu}{N-2s}}+C_{\xi}|u_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{2}\bigg)^{2}\\ &\leq & 2C_{1}\xi^{2}|u_{n}|_{2^{*}_{s}}^{2\frac{2N-\mu}{N-2s}}+2C_{1}C_{\xi}^{2}|u_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{4} \leq C_{2}\xi^{2}+C_{3}C_{\xi}^{2}|u_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{4}. \end{eqnarray*} $

因为$ 2<\frac{4N}{2N-\mu}<2^{*}_{s} $, 我们有$ |u_{n}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}\rightarrow 0 $, 进而可得

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \|u_{n}\|_{\varepsilon}^{2}\leq C_{2}\xi^{2}. $

由于$ \xi $的任意性, 可以推断出$ \|u_{n}\|_{\varepsilon}\rightarrow 0 $.这与(3.2)式相矛盾.故结论成立.

注3.1  若$ \{u_{n}\} $是一个$ (PS)_{c} $序列.由于$ \langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}^{-}\rangle=o_{n}(1) $和$ (f_{1}) $, 则$ \|u_{n}^{-}\|_{\varepsilon}\rightarrow0 $.因此我们总可以假设$ (PS)_{c} $序列是非负的.

若$ {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c $, 且$ {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n})\rightarrow 0 $, 我们称$ \{u_{n}\} $是$ {\cal J}_{\varepsilon} $的一个$ (PS)_{c} $序列.

引理3.3  假设$ \{u_{n}\} $是$ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ {\cal N}_{\varepsilon} $上的一个$ (PS)_{c} $序列, 则$ \{u_{n}\} $是$ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中的一个$ (PS)_{c} $序列.

证  由Ekeland's变分原理^[29], 存在$ \{\lambda_{n}\}\subset{{\Bbb R}} $, 使得

(3.6) $ \begin{equation} {\cal J}_{\varepsilon}(u_{n})\rightarrow c, \quad \mbox{且} \quad {\cal J}_{\varepsilon}'(u_{n})=\lambda_{n} \phi_{\varepsilon}'(u_{n})+o_{n}(1), \end{equation} $

这里$ \phi_{\varepsilon}(u)=\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u), u \rangle=\|u\|_{\varepsilon}^{2}+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u)u{\rm d}x $.要完成这个证明, 我们只需证明存在$ l\neq 0 $, 使得通过一个子列, 有

$ \langle \phi_{\varepsilon}(u_{n}), u_{n}\rangle\rightarrow l. $

根据$ (f_{4}) $和$ \{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon} $, 可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \langle \phi_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n} \rangle &=&2\|u_{n}\|_{\varepsilon}^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast(f(u_{n})u_{n}))f(u_{n})u_{n}{\rm d}x\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}[|x|^{-\mu}\ast F(u_{n})][f'(u_{n})u_{n}^{2}+f(u_{n})u_{n}]{\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}[|x|^{-\mu}\ast( f(u_{n})u_{n})][F(u_{n})-f(u_{n})u_{n}]{\rm d}x{}\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))f'(u_{n})u_{n}^{2}{\rm d}x\\ &\leq& -\int_{{{\Bbb R}} }(|x|^{-\mu}\ast f(u_{n})u_{n})(f(u_{n})u_{n}-F(u_{n})){\rm d}x. \end{eqnarray} $

类似于引理3.2, 可得存在$ \{y_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N} $, 使得$ \tilde{u}_{n}=u_{n}(\cdot+y_{n}) $在$ H^{s}({{{\Bbb R}} ^{N}}) $中有界, $ \tilde{u}_{n}\rightharpoonup \tilde{u} $在$ H^{s}({{{\Bbb R}} ^{N}}) $中, 并且$ \tilde{u}^{+}\neq 0 $.假设$ \langle \phi_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n} \rangle=o_{n}(1) $.由(3.7)式和Fatou引理, 可得

$ \begin{eqnarray*} 0&\geq&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}[|x|^{-\mu}\ast (f(u_{n})u_{n})][f(u_{n})u_{n}-F(u_{n})]{\rm d}x\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}[|x|^{-\mu}\ast (f(\tilde{u}_{n})\tilde{u}_{n})][f(\tilde{u}_{n})\tilde{u}_{n}-F(\tilde{u}_{n})]{\rm d}x\\ &\geq &\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}[|x|^{-\mu}\ast (f(\tilde{u})\tilde{u})][f(\tilde{u})\tilde{u}-F(\tilde{u})]{\rm d}x>0. \end{eqnarray*} $

因此$ { }\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\langle \phi_{\varepsilon}'(u_{n}), u_{n}\rangle =l<0 $.根据(3.6)式, 我们有$ \lambda_{n}=o_{n}(1) $.这结合(3.6)式可得: $ \{u_{n}\} $是$ {\cal J}_{\varepsilon} $的一个$ (PS)_{c} $序列.

从引理3.3的证明中可以得出:

命题3.1  泛函$ {\cal J}_{\varepsilon} $限制到$ {\cal N}_{\varepsilon} $上的临界点是$ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ H_{\varepsilon}^{s} $中的临界点.

现在, 我们考虑标量方程

(3.8) $ \begin{equation} (-\Delta)^{s}u+\nu u =(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u), \quad x\in {{\Bbb R}} ^{N}, \end{equation} $

这里$ \nu>0 $.相应的变分泛函为

$ I_{\nu}(u)=\frac{1}{2}\|u\|^{2}_{\nu}-\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))F(u){\rm d}x, $

这里$ \|u\|^{2}_{\nu}=[u]^{2}+\nu|u|_{2}^{2} $.通过一个简单的论断可得$ I_{\nu}\in C^{1}(H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}), {{\Bbb R}} ) $, 且

$ \begin{eqnarray*} \langle I_{\nu}'(u), \varphi\rangle&=&{\int\!\!\!\int}_{{{\Bbb R}} ^{2N}} \frac{(u(x)-u(y))(\varphi(x)-\varphi(y))}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}x{\rm d}y+\nu\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}u \varphi {\rm d}x\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u)\varphi {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

这里$ u, \varphi\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $.

相应的Nehari流形表示为

$ {\cal M}_{\nu}=\Big\{u\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N})\setminus\{0\}:\langle I_{\nu}'(u), u \rangle=0\Big\}. $

定义

$ { } m_{\nu}=\inf\limits_{u\in{\cal M}_{\nu}}I_{\nu}. $

和前面的过程类似, 引理3.1, 引理3.2和引理3.3仍然对$ I_{\nu} $成立.因此, 我们可以得到方程(3.8)的一个正的基态解.

定理3.1  假设$ (f_{1}) $–$ (f_{4}) $成立, 则方程(3.8)有一个正的基态解.

证  取$ \{u_{n}\}\subset{\cal M}_{\nu} $, 使得$ \{u_{n}\} $是$ I_{\nu} $在$ {\cal M}_{\nu} $上的一个$ (PS)_{m_{\nu}} $序列.由引理3.3, 有$ \{u_{n}\} $是$ I_{\nu} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中的一个$ (PS)_{m_{\nu}} $序列.换句话说

$ I_{\nu}(u_{n})=m_{\nu}+o_{n}(1), \quad \mbox{且} \quad I_{\nu}'(u_{n})=o_{n}(1). $

由引理3.1, 可得$ \{u_{n}\} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中有界.我们可以假设$ u_{n}\rightharpoonup u $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.根据$ u_{n}\rightharpoonup u $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中和引理2.1, 可得

(3.9) $ \begin{equation} u_{n}\rightharpoonup u, \quad \mbox{在}\; L^{2^{*}_{s}}({{\Bbb R}} ^{N}) \; \mbox{中, 且}\quad u_{n}\rightarrow u, \quad\mbox{ 几乎处处于}\; x\in{{\Bbb R}} ^{N}. \end{equation} $

由$ (f_{1}) $, 有$ |F(u_{n})|\leq C(|u_{n}|^{2}+|u_{n}|^{2^{*}_{\mu}}). $按照上面的不等式和(3.9)式, 可推出$ F(u_{n})\rightharpoonup F(u) $在$ L^{\frac{2N}{2N-\mu}}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 可得Riesz势能定义了一个从$ L^{\frac{2N}{2N-\mu}}({{\Bbb R}} ^{N}) $到$ L^{\frac{2N}{\mu}}({{\Bbb R}} ^{N}) $的线性连续映射.由$ F(u_{n})\rightharpoonup F(u) $, 在$ L^{\frac{2N}{2N-\mu}}({{\Bbb R}} ^{N}) $中, 可得

(3.10) $ \begin{equation} |x|^{-\mu}\ast F(u_{n})\rightharpoonup |x|^{-\mu}\ast F(u)\quad\mbox{在}\; L^{\frac{2N}{\mu}}({{\Bbb R}} ^{N}) \; \mbox{中}. \end{equation} $

再一次由$ (f_{2}) $, 可得$ |f(u_{n})|\leq C(|u_{n}|)+|u_{n}|^{2^{*}_{\mu}-1} $.根据(3.9)式, 有

$ f(u_{n})\rightharpoonup f(u), \quad \mbox{在}\; L^{\frac{2N}{N-\mu+2s}}({{\Bbb R}} ^{N})\; \mbox{中}, \quad \quad\mbox{且}\quad f(u_{n})\rightarrow f(u), \quad \mbox{几乎处处于}\; x\in{{\Bbb R}} ^{N}. $

由以上事实和(3.10)式, 可以推断出

$ (|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))f(u_{n})\rightharpoonup (|x|^{-\mu}\ast F(u))f(u), \quad \mbox{在}\; L^{\frac{2N}{N+2s}}({{\Bbb R}} ^{N})\; \mbox{中}. $

由此有$ I_{\nu}'(u)=0 $.由于$ \langle I_{\nu}'(u), u^{-} \rangle=0 $和$ (f_{1}) $, 则$ u\geq 0 $.若$ u\neq 0 $, 类似于引理5.6和文献[26]的证明, 可得$ u\in C^{\sigma}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 对某个$ \sigma\in(0, 1) $.按照极值原理^[26]有$ u>0 $在$ {{\Bbb R}} ^{N} $.由$ (f_{4}) $, $ u_{n}\rightarrow u $, 几乎处处在$ {{\Bbb R}} ^{N} $和Fatou引理, 可得

$ \begin{eqnarray*} m_{\nu}&=&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\left(I_{\nu}(u_{n})-\frac{1}{2}\langle I_{\nu}'(u_{n}), u_{n} \rangle\right)\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))[f(u_{n})u_{n}-F(u_{n})]{\rm d}x\\ &\geq&\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u))[f(u)u-F(u)]{\rm d}x\\ &=&I_{\nu}(u)-\frac{1}{2}\langle I_{\nu}'(u), u \rangle=I_{\nu}(u)\geq m_{\nu}. \end{eqnarray*} $

因此$ u $是一个正的基态解.当$ u=0 $时, 根据引理3.2, 则存在$ R, \alpha>0 $和$ \{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得

$ \int_{B_{R}(y_{n})}u_{n}^{2}{\rm d}x\geq\frac{\alpha}{2}. $

令$ v_{n}=u_{n}(\cdot+y_{n}) $, 有$ \{v_{n}\} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中有界, 并且$ v_{n}\rightharpoonup v $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.因为$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $紧嵌入到$ L_{\rm loc}^{2}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 有

$ \int_{B_{R}(0)}v^{2}{\rm d}x\geq\frac{\alpha}{2}. $

所以$ v\neq 0 $.注意到

$ {\cal I}_{\nu}(v_{n})=I_{\nu}(u_{n})\rightarrow m_{\nu}, \quad \mbox{且}\quad I_{\nu}'(v_{n})=I_{\nu}'(u_{n})\rightarrow0. $

如同$ u\neq0 $的情况, 可得$ v $是一个正的基态解.

由上面的证明可以看出:

命题3.2  假设$ (f_{1}) $–$ (f_{4}) $成立, $ I_{\nu}(u_{n})\rightarrow m_{\nu} $, 并且$ u_{n}\rightharpoonup u $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.若$ u\neq 0 $, 则$ u $是方程(3.8)的一个正的基态解, 且有$ u_{n}\rightarrow u $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.若$ u=0 $, 则存在$ \{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得$ v_{n}=u_{n}(\cdot+y_{n})\rightarrow v $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中, 并且$ v $是方程(3.8)的一个正的基态解.

引理3.4  假设$ V_{\infty}<\infty $, $ \{v_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon} $是$ {\cal J}_{\varepsilon} $的一个$ (PS)_{d} $序列.若$ v_{n}\rightharpoonup 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中, 且$ v_{n}\nrightarrow 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中, 则$ d\geq c_{V_{\infty}} $.

证  令$ \{t_{n}\}\subset(0, \infty) $, 使得$ \{t_{n}v_{n}\}\subset{\cal M}_{V_{\infty}} $.我们断言

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}t_{n}\leq 1. $

如果断言不成立, 则存在$ \delta>1 $, 通过一个子列, 有$ t_{n}\geq \delta $.因为$ \langle {\cal J}_{\varepsilon}'(v_{n}), v_{n} \rangle=o_{n}(1) $, 且$ \{t_{n}v_{n}\}\subset {\cal M}_{V_{\infty}} $, 即

$ [v_{n}]^{2}+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V_{\varepsilon}v_{n}^{2}{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}} (|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})v_{n}{\rm d}x+o_{n}(1) $

且

$ [v_{n}]^{2}+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V_{\infty}v_{n}^{2}{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(t_{n}v_{n})}{t_{n}}\bigg)f(t_{n}v_{n})v_{n}{\rm d}x . $

可得

(3.11) $ \begin{eqnarray} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(V_{\infty}-V_{\varepsilon}(x))v_{n}^{2}{\rm d}x &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(t_{n}v_{n})}{t_{n}}\bigg)f(t_{n}v_{n})v_{n}{\rm d}x\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})v_{n}{\rm d}x +o_{n}(1). \end{eqnarray} $

由(V), 对任意$ \xi>0 $, 存在$ R=R(\xi)>0 $, 使得

$ V_{\varepsilon}(x)\geq V_{\infty}-\xi, \quad \forall\; |x|>R. $

根据上面的不等式, $ v_{n}\rightarrow0 $在$ L^{2}(B_{R}(0)) $中和$ \{v_{n}\} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中的有界性, 有

(3.12) $ \begin{eqnarray} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(V_{\infty}-V_{\varepsilon}(x))v_{n}^{2}{\rm d}x&=&\int_{B_{R}(0)}(V_{\infty}-V_{\varepsilon}(x))v_{n}^{2}{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}\setminus B_{R}(0)}(V_{\infty}-V_{\varepsilon}(x))v_{n}^{2}{\rm d}x\\ &\leq& V_{\infty}\int_{B_{R}(0)}v_{n}^{2}{\rm d}x+\xi \int_{{{\Bbb R}} ^{N}\setminus B_{R}(0)}v_{n}^{2}{\rm d}x\\ &\leq &o_{n}(1)+C_{1}\xi. \end{eqnarray} $

由引理3.2, 则存在$ R_{0}, \alpha>0 $和$ \{y_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得

$ \int_{B_{R_{0}}(y_{n})}v_{n}^{2}{\rm d}x\geq\frac{\alpha}{2}. $

令$ w_{n}=v_{n}(\cdot+y_{n}) $, 则$ w_{n}\rightharpoonup w $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中, $ w\geq 0 $在$ {{\Bbb R}} ^{N} $中, 且$ \int_{B_{R_{0}}(0)}w^{2}{\rm d}x\geq\frac{\alpha}{2} $. 另一方面, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(t_{n}v_{n})}{t_{n}}\bigg)f(t_{n}v_{n})v_{n}{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})v_{n}{\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(t_{n}v_{n})}{t_{n}}\bigg)(f(t_{n}v_{n})v_{n}-f(v_{n})v_{n}){\rm d}x\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg[|x|^{-\mu}\ast\bigg(\frac{F(t_{n}v_{n})}{t_{n}}-F(v_{n})\bigg)\bigg]f(v_{n})v_{n}{\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(t_{n}w_{n})}{t_{n}w_{n}}w_{n}\bigg)(f(t_{n}w_{n})-f(w_{n}))w_{n}{\rm d}x\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg[|x|^{-\mu}\ast\bigg(\frac{F(t_{n}w_{n})}{t_{n}w_{n}}w_{n}-\frac{F(w_{n})}{w_{n}}w_{n}\bigg)\bigg]f(w_{n})w_{n}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

令$ n\rightarrow \infty $, 按照Fatou引理和$ (f_{4}) $, 有

(3.13) $ \begin{eqnarray} &&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg\{\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(t_{n}v_{n})}{t_{n}}\bigg)f(t_{n}v_{n})v_{n}{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})v_{n}{\rm d}x\bigg\}\\ &\geq&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(\delta w)}{\delta w}w\bigg)(f(\delta w)-f(w))w{\rm d}x>0. \end{eqnarray} $

联立(3.11), (3.12)和(3.13)式, 可以推断出

$ 0<\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\bigg(|x|^{-\mu}\ast \frac{F(\delta w)}{\delta w}w\bigg)(f(\delta w)-f(w))w{\rm d}x\leq C_{1}\xi. $

因为$ \xi $是任意的, 我们得到一个矛盾.下面, 我们分成两种情况来讨论.

情况1   $ { } \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}t_{n}=1 $.不失一般性, 假设$ t_{n}\rightarrow 1 $.由$ m_{V_{\infty}} $的意义, 有

(3.14) $ \begin{eqnarray} d+o_{n}(1)&=&{\cal J}_{\varepsilon}(v_{n})\geq {\cal J}_{\varepsilon}(v_{n})-I_{V_{\infty}}(t_{n}v_{n})+m_{V_{\infty}}\\ &\geq &\frac{1-t_{n}^{2}}{2}[v_{n}]^{2}+\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(V_{\varepsilon}(x)-t_{n}^{2}V_{\infty})v_{n}^{2}{\rm d}x\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{n}v_{n}))F(t_{n}v_{n}){\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))F(v_{n}){\rm d}x.{\qquad} \end{eqnarray} $

根据$ \{v_{n}\} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中有界和$ t_{n}\rightarrow 1 $, 有

(3.15) $ \begin{eqnarray} \frac{1-t_{n}^{2}}{2}[v_{n}]^{2}=o_{n}(1). \end{eqnarray} $

类似于(3.12)式, 有

(3.16) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(V_{\varepsilon}(x)-t_{n}^{2}V_{\infty})v_{n}^{2}{\rm d}x &=&\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(V_{\varepsilon}(x)-V_{\infty})v_{n}^{2}{\rm d}x+\frac{1-t_{n}^{2}}{2}V_{\infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}v_{n}^{2}{\rm d}x\\ &\geq& -C_{1}\xi+o_{n}(1). \end{eqnarray} $

由中值定理和$ (f_{2}) $, 有

$ |F(t_{n}v_{n})-F(v_{n})|\leq C_{2}|t_{n}-1|(|v_{n}|^{2}+|v_{n}|^{2^{*}_{\mu}}). $

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, $ t_{n}\rightarrow 1 $和$ \{v_{n}\} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中的有界性, 可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} &&\bigg|\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{n}v_{n}))F(t_{n}v_{n}){\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))F(v_{n}){\rm d}x\bigg|\\ &=&\bigg|\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}[|x|^{-\mu}\ast (F(t_{n}v_{n})-F(v_{n}))]F(t_{n}v_{n}){\rm d}x\\ &&+\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))[F(t_{n}v_{n})-F(v_{n})]{\rm d}x\bigg|\\ &\leq & C_{2}(|F(t_{n}v_{n})|_{\frac{2N}{2N-\mu}}+|F(v_{n})|_{\frac{2N}{2N-\mu}})|F(t_{n}v_{n})-F(v_{n})|_{\frac{2N}{2N-\mu}}\\ &\leq& C_{3}|t_{n}-1|=o_{n}(1). \end{eqnarray} $

由(3.14)–(3.17)式, 有

$ d\geq m_{V_{\infty}}-C_{1}\xi+o_{n}(1). $

因为$ \xi $是任意的, 可以推断出$ d\geq m_{V_{\infty}} $.

情况2    $ { }\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}t_{n}=t_{0}<1 $.假设$ t_{n}\rightarrow t_{0}<1 $. $ (f_{4}) $说明$ f(t)t-F(t) $在$ (0, \infty) $是增函数.因为$ J_{\varepsilon}(v_{n})=d+o_{n}(1) $和$ \{t_{n}v_{n}\}\subset{\cal M}_{V_{\infty}} $, 有

$ \begin{eqnarray*} d+o_{n}(1)&=&{\cal J}_{\varepsilon}(v_{n})-\frac{1}{2}\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(v_{n}), v_{n} \rangle\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))[f(v_{n})v_{n}-F(v_{n})]{\rm d}x\\ &\geq&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{n}v_{n}))[f(t_{n}v_{n})t(n)v_{n}-F(t_{n}v_{n})]{\rm d}x\\ &=&I_{V_{\infty}}(t_{n}v_{n})-\langle I_{V_{\infty}}'(t_{n}v_{n}), t_{n}v_{n} \rangle \geq m_{V_{\infty}}. \end{eqnarray*} $

因此, $ d\geq m_{V_{\infty}} $, 我们得到了一个矛盾.

证  设$ \{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon} $是一个$ (PS)_{c} $序列, 则$ u_{n} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中有界且$ u_{n}\rightharpoonup u $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中.很容易地可以得到$ {\cal J}_{\varepsilon}'(u)=0 $.我们有$ {\cal J}_{\varepsilon}(u)={\cal J}_{\varepsilon}(u)-\frac{1}{2}\langle {\cal J}_{\varepsilon}'(u), u \rangle\geq0 $.取$ v_{n}=u_{n}-u $, 则$ v_{n}\rightharpoonup 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中.由$ v_{n}\rightharpoonup 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中和引理2.4, 有

$ {\cal J}_{\varepsilon}(v_{n})\rightarrow d, \quad \mbox{且} \quad {\cal J}_{\varepsilon}'(v_{n})=o_{n}(1), $

这里$ d=c-{\cal J}_{\varepsilon}(u)<m_{V_{\infty}} $.

若$ V_{\infty}<\infty $, 因为$ d=c-{\cal J}_{\varepsilon}(u)<m_{V_{\infty}} $, 根据引理3.4, 可得$ v_{n}\rightarrow 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中.因此$ u_{n}\rightarrow u $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中.

若$ V_{\infty}=\infty $.引理2.1表明对$ r\in[2, 2^{*}_{s}) $, $ v_{n}\rightarrow 0 $在$ L^{r}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.注意到$ \langle {\cal J}_{\varepsilon}'(v_{n}), v_{n} \rangle=o_{n}(1) $.正如引理3.2的证明, 我们可得$ v_{n}\rightarrow 0 $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中.也就是说, $ u_{n}\rightarrow u $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中.

命题3.3  若$ V_{\infty}<\infty $, 则对$ c<m_{V_{\infty}} $, $ {\cal J}_{\varepsilon} $满足$ (PS)_{c} $条件; 若$ V_{\infty}=\infty $, 则对任意的$ c\in{{\Bbb R}} $, $ {\cal J}_{\varepsilon} $满足$ (PS)_{c} $条件.

回顾引理3.3和命题3.3, 可得

命题3.4  若$ V_{\infty}<\infty $, 则对任意的$ c<m_{V_{\infty}} $, $ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ {\cal N}_{\varepsilon} $上满足$ (PS)_{c} $条件; 若$ V_{\infty}=\infty $, 则对任意的$ c\in{{\Bbb R}} $, $ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ {\cal N}_{\varepsilon} $上满足$ (PS)_{c} $条件.

在这一部分我们证明方程(1.1)有一个基态解.

定理4.1  假设(V)和$ (f_1) $–$ (f_4) $成立, 则存在$ \varepsilon_{0}>0 $, 使得对任意$ \varepsilon\in (0, \varepsilon_{0}) $, 方程(1.1)有一个基态解.

证  当$ V_{\infty}=\infty $时.假设$ \{u_{n}\}\subset{\cal N}_{\varepsilon} $是$ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ H^{s}_{\varepsilon} $中的一个极小化序列, 根据命题3.4和命题3.1, 可得方程(1.1)有一个基态解.

当$ V_{\infty}<\infty $时, 只需证明$ c_{\varepsilon}<m_{V_{\infty}} $.假设

(4.1) $ \begin{eqnarray} V(0)=V_{0}=\inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^{N}}V(x). \end{eqnarray} $

令$ \nu\in(V_{0}, V_{\infty}) $, 有$ m_{V_{0}}<m_{\nu}<m_{V_{\infty}} $.再假设$ w\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $是方程(3.8)的一个正的基态解.取$ \eta\in C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 满足$ \eta=1 $在$ B_{1}(0) $且$ \eta=0 $ in $ B_{2}^{c}(0) $.定义$ w_{r}=\eta_{r}w $且$ \eta_{r}(x)=\eta(\frac{x}{r}) $.选取$ t_{r}>0 $, 使得$ { } I_{\nu}(t_{r}w_{r})=\max_{t\geq 0}I_{\nu}(tw_{r}). $由文献[23]中的引理$ 5 $, 可得$ w_{r}\rightarrow w $, 当$ r\rightarrow \infty $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $.通过简单的论证, 有$ t_{r}\rightarrow 1 $.因此存在$ r_{0}>0 $, 使得$ I_{\nu}(w_{r_{0}})<m_{V_{\infty}} $.根据(4.1)式和$ V $的连续性, 存在$ \varepsilon_{0}>0 $, 使得$ V_{\varepsilon}(x)\leq \nu, \ \forall \; x\in {\rm supp}(w_{r_{0}}), \; \varepsilon\in(0, \varepsilon_{0}). $因此

$ c_{\varepsilon}\leq \max\limits_{t\geq 0}{\cal J}_{\varepsilon}(tw_{r_{0}})\leq \max\limits_{t\geq0}I_{\nu}(tw_{r_{0}})=I_{\nu}(t_{r_{0}}w_{r_{0}})<m_{V_{\infty}}. $

我们完成了定理4.1的证明.

在这一部分, 我们完成定理1.1的证明.

对于$ \delta>0 $, 选取函数$ \psi $, 使得$ \psi\in C^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}, [0, 1]) $, $ \psi=1 $在$ B_{\frac{\delta}{2}}(0) $且$ \psi=0 $在$ B_{\delta}^{c}(0) $.对任意的$ y\in M $, 定义

$ \Psi_{\varepsilon, y}(x)=\psi(\varepsilon x-y)w(\frac{\varepsilon x-y}{\varepsilon}), \quad \forall\; x\in{{\Bbb R}} ^{N}, $

这里$ \nu=V_{0} $且$ w $是方程(3.8)的一个正的基态解.则存在唯一的$ t_{\varepsilon}>0 $, 使得

$ {\cal J}_{\varepsilon}(t_{\varepsilon}\Psi_{\varepsilon, y})=\max\limits_{t\geq 0}{\cal J}_{\varepsilon}(t\Psi_{\varepsilon, y}). $

我们定义映射$ \Phi_{\varepsilon}:M\rightarrow {\cal N}_{\varepsilon} $满足$ \Phi_{\varepsilon}=t_{\varepsilon}\Psi_{\varepsilon, y} $.

引理5.1  一致地对$ y\in M $, 有

$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{\cal J}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon}(y))=m_{V_{0}}. $

证  假设存在$ \alpha_{0}>0, \{y_{n}\}\subset M $且$ \varepsilon_{n}\rightarrow 0 $, 使得

$ |{\cal J}_{\varepsilon_{n}}(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n}))-m_{V_{0}}|\geq\alpha_{0}. $

下面, 我们证明$ \{t_{\varepsilon_{n}}\} $是有界的.假设这个结论错误, 则通过一个子列, 有$ t_{n}:=t_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \infty $.注意到$ \|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \|w\|_{V_{0}} $.因为$ \langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})), \Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})\rangle=0 $和$ (f_{4}) $, 通过变量替换$ \frac{\varepsilon_{n} x-y_{n}}{\varepsilon_{n}}=z $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}^{2}&=&\frac{1}{t_{n}}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}})) f(t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}) \Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}{\rm d}x\\ &=&\frac{1}{t_{n}}{\int\!\!\!\int}_{{{\Bbb R}} ^{2N}}\frac{F(t_{n}\psi(\varepsilon z_{1})w(z_{1}))f(t_{n}\psi(\varepsilon z_{2})w(z_{2}))\psi(\varepsilon z_{2})w(z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^{\mu}}{\rm d}z_{1}{\rm d}z_{2}\\ &\geq&\frac{1}{t_{n}}\int_{\frac{\delta}{2\varepsilon_{n}}}\int_{\frac{\delta}{2\varepsilon_{n}}}\frac{F(t_{n}w(z_{1}))f(t_{n}w(z_{2}))w(z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^{\mu}}{\rm d}z_{1}{\rm d}z_{2}\\ &\geq&\frac{1}{t_{n}}\int_{\frac{\delta}{2}}\int_{\frac{\delta}{2}}\frac{F(t_{n}w(z_{1}))f(t_{n}w(z_{2}))w(z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^{\mu}}{\rm d}z_{1}{\rm d}z_{2}\\ &\geq &\frac{F(t_{n}l)}{t_{n}l}f(t_{n}l)w(l)l\int_{\frac{\delta}{2}}\int_{\frac{\delta}{2}}\frac{1}{|z_{1}-z_{2}|^{\mu}}{\rm d}z_{1}{\rm d}z_{2}\\ &\geq &C_{1}\frac{F(t_{n}l)}{t_{n}l}f(t_{n}l)w(l)l\rightarrow \infty, \end{eqnarray*} $

这里$ { } l=\min\limits_{x\in \bar{B}_{\frac{\delta}{2}}(0)}w(x) $.这与$ \|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \|w\|_{V_{0}} $相矛盾.因此$ \{t_{n}\} $是有界的.我们可以假设对某个$ t_{0}\geq 0 $, $ t_{n}\rightarrow t_{0} $.接下来, 我们证明$ t_{0}>0 $.根据$ \langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})), \Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})\rangle=0 $, $ (f_{2}) $, Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和引理2.1, 可得

$ \begin{eqnarray*} t_{n}^{2}\|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}^{2}&=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}})) f(t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}) t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}{\rm d}x\\ &\leq& C_{1}|F(t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}) |_{\frac{2N}{2N-\mu}}|f(t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}) t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|_{\frac{2N}{2N-\mu}}\\ &\leq &C_{2}\Big||t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|^{2}+|t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|^{2^{*}_{\mu}} \Big|_{\frac{2N}{2N-\mu}}^{2}\\ &\leq &C_{2}\bigg(\Big||t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|^{2} \Big|_{\frac{2N}{2N-\mu}}+\Big||t_{n}\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|^{2^{*}_{\mu}}\Big|_{\frac{2N}{2N-\mu}}\bigg)^{2}\\ &\leq &C_{2}\bigg(t_{n}^{2}|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{2}+t_{n}^{2^{*}_{\mu}}|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|_{2^{*}_{s}}^{\frac{2N-\mu}{N-2s}}\bigg)^{2}\\ &\leq &C_{3}\bigg(t_{n}^{4}|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|_{\frac{4N}{2N-\mu}}^{4}+t_{n}^{22^{*}_{\mu}}|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}|_{2^{*}_{s}}^{2\frac{2N-\mu}{N-2s}}\bigg)\\ &\leq &C_{4}\bigg(t_{n}^{4}\|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon}^{4}+t_{n}^{22^{*}_{\mu}}\|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon}^{2\frac{2N-\mu}{N-2s}}\bigg). \end{eqnarray*} $

由于$ \|\Psi_{\varepsilon_{n}, y_{n}}\|_{\varepsilon_{n}}\rightarrow \|w\|_{V_{0}} $, 则存在$ C>0 $使得$ t_{n}\geq C $, 因此$ t_{0}>0 $.令$ n\rightarrow \infty $, 按照$ \langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})), \Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})\rangle=0 $, 有

$ \|t_{0}w\|_{V_{0}}^{2}=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{0}w))f(t_{0} w)t_{0} w{\rm d}x. $

所以, $ t_{0}w\in {\cal M}_{V_{0}} $, 这说明$ t_{0}=1 $.因此

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n})))F(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n}){\rm d}x\rightarrow \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(w))F(w){\rm d}x. $

我们得到$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\cal J}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon_{n}}(y_{n}))=I_{V_{0}}(w)=m_{V_{0}} $, 这不可能.至此我们完成了证明.

现在, 我们定义重心映射.选取$ \rho>0 $使得$ M_{\delta}\subset B_{\rho} $.定义$ \Upsilon:{{\Bbb R}} ^{N}\rightarrow {{\Bbb R}} $, 满足

$ \begin{eqnarray*} \Upsilon(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x, &\mbox{ 若 }\ |x|<\rho, \\ { } \frac{\rho x}{|x|}, &\mbox{ 若 }\ |x|\geq \rho. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

重心映射$ \beta_{\varepsilon}: {\cal N}_{\varepsilon}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{N} $定义为

$ \begin{eqnarray*} \beta_{\varepsilon}(u)=\frac{{\int_{{{\Bbb R}} ^{N}} \Upsilon(\varepsilon x)|u(x)|^{2} \, {\rm d}x}}{{\int_{{{\Bbb R}} ^{N}} |u(x)|^{2} \, {\rm d}x}}. \end{eqnarray*} $

如同文献[3], 有

引理5.2  一致地对$ y\in M $, 函数$ \beta_{\varepsilon} $满足下面的极限

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \beta_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon}(y))=y. \end{eqnarray*} $

受文献[3]的启发, 我们可以得到下面的结论.

命题5.1  取$ \varepsilon_{n}\rightarrow 0 $且$ \{u_{n}\}\subset {\cal N}_{\varepsilon_{n}} $, 使得$ {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n})\rightarrow m_{V_{0}} $, 则存在$ \{\tilde{y}_{n}\}\subset {{\Bbb R}} ^{N} $使得$ v_{n}(x)=u_{n}(x+\tilde{y}_{n}) $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中有一个强收敛的子列.况且, 通过一个子列, 对某个$ y\in M $, 有$ y_{n}=\varepsilon_{n} \tilde{y}_{n}\rightarrow y $.

证  根据$ {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n})\rightarrow m_{V_{0}} $和$ \langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}'(u_{n}), u_{n} \rangle=0 $, 则存在$ C_{1}, C_{2}>0 $, 使得$ C_{1}\leq\|u_{n}\|_{\varepsilon_{n}}\leq C_{2} $.类似于引理3.2, 存在$ R, \alpha>0 $和$ \{\tilde{y}_{n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得

(5.1) $ \begin{equation} \int_{B_{R}(\tilde{y}_{n})}u_{n}^{2}{\rm d}x\geq \alpha. \end{equation} $

固定$ v_{n}=u_{n}(\cdot+\tilde{y}_{n}) $, 注意到$ \{v_{n}\} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中有界且$ v_{n}\rightharpoonup v\neq 0 $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.选取$ \{t_{n}\}\subset (0, \infty) $, 使得$ \{t_{n}v_{n}\}\subset {\cal M}_{V_{0}} $.并且取$ y_{n}=\varepsilon_{n}\tilde{y}_{n} $和$ w_{n}=t_{n}v_{n} $, 因为$ V(x)\geq V_{0} $, 有

$ m_{V_{0}}\leq I_{V_{0}}(w_{n})\leq {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(t_{n}v_{n})\leq {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n})\leq m_{V_{0}}+o_{n}(1). $

我们得到$ I_{V_{0}}(w_{n})\rightarrow m_{V_{0}} $.由于$ I_{V_{0}}(w_{n})\rightarrow m_{V_{0}} $和$ \langle I_{V_{0}}'(w_{n}), w_{n} \rangle=0 $, 则存在$ C_{3}, C_{4}>0 $满足$ C_{3}\leq\|w_{n}\|_{V_{0}}\leq C_{4} $.结合$ \{v_{n}\} $的有界性和$ \{v_{n}\} $远离$ 0 $, 有$ t_{n}\rightarrow t_{0}>0 $.假设$ w_{n}\rightharpoonup w=t_{0}v\neq0 $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.回顾命题3.2, 可得$ w_{n}\rightarrow w $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.这说明$ v_{n}\rightarrow v $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中.

接下来, 我们证明对于某个$ y\in M $, 有$ y_{n}\rightarrow y $.首先, 我们证明$ \{y_{n}\} $是有界的.如果不正确, 则存在子列使得$ |y_{n}|\rightarrow \infty $.下面我们分情况讨论.当$ V_{\infty}=\infty $时.因为$ \|u_{n}\|_{\varepsilon_{n}}\leq C_{2} $, 则

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V(\varepsilon_{n}x+y_{n})v_{n}^{2}{\rm d}x\leq\|u_{n}\|^{2}_{\varepsilon_{n}}\leq C_{2}. $

由Fatou引理, 有$ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V(\varepsilon_{n}x+y_{n})v_{n}^{2}{\rm d}x=\infty $.这是一个矛盾.当$ V_{\infty}<\infty $时, 根据$ w_{n}\rightarrow w $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中和$ V_{0}<V_{\infty} $, 可得

(5.2) $ \begin{eqnarray} m_{V_{0}}&=&I_{V_{0}}(w)<I_{V_{\infty}}(w)\\ &\leq& \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg(\frac{1}{2}[w_{n}]^{2}+\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}} V(\varepsilon_{n}x+y_{n})w_{n}^{2}{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(w_{n})) F(w_{n}){\rm d}x)\bigg)\\ &= &\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg(\frac{t_{n}^{2}}{2}[u_{n}]^{2}+\frac{t_{n}^{2}}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x- \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(t_{n}u_{n})) F(t_{n}u_{n}){\rm d}x\bigg)\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}{\cal J}_{\varepsilon_{n}}(t_{n}u_{n})\leq\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n})=m_{V_{0}}. \end{eqnarray} $

这也是一个矛盾.因此$ \{y_{n}\} $是有界的.通过一个子列, 我们可以假设$ y_{n}\rightarrow y $. If $ y\notin M $, 则$ V_{0}<V(y) $.如同(5.2)式, 我们可以得到一个矛盾, 所以$ y\in M $.

我们选取$ {\cal N}_{\varepsilon} $的子集$ \tilde{{\cal N}}_{\varepsilon} $, 定义为

$ \tilde{N}_{\varepsilon}=\{u\in N_{\varepsilon}:{\cal J}_{\varepsilon}(u)\leq m_{V_{0}}+h(\varepsilon)\}, $

这里$ h:{{\Bbb R}} _{+}\rightarrow {{\Bbb R}} _{+} $使得$ h(\varepsilon)\rightarrow 0 $, 当$ \varepsilon\rightarrow 0 $.取$ y\in M $, 由引理5.1, 有$ h(\varepsilon)=|{\cal J}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon}(y))-m_{V_{0}}|\rightarrow 0 $当$ \varepsilon\rightarrow 0 $.所以, $ \Phi_{\varepsilon}\in \tilde{N}_{\varepsilon} $, 且对任意$ \varepsilon>0 $, $ \tilde{N}_{\varepsilon}\neq \emptyset $.

正如文献[3, 13], 有

引理5.3  对任意$ \delta>0 $, 成立

$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup\limits_{u\in \tilde{N}_{\varepsilon}}{\rm dist}(\beta_{\varepsilon}(u), M_{\delta})=0. $

为了证明方程(3.1)的解$ u $属于$ L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 如同文献[22, 25]的证明, 我们需要下面的结果.

引理5.4  假设$ u $是方程(3.1)的一个解, 则对任意$ p\in [2, \frac{N}{N-\mu}2^{*}_{s}) $, 有$ u\in L^{p}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 并且存在$ C_{p}>0 $, 不依赖$ u $, 使得

$ \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|u|^{p}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}}\leq C_{p}\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|u|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}. $

引理5.5  假设$ u $是方程(3.1)的一个解, 则存在$ C>0 $, 不依赖于$ u $, 使得

$ ||x|^{-\mu}\ast F(u)|_{\infty}\leq C. $

证  根据引理5.4, 有对于$ p\in [2, \frac{N}{N-\mu}2^{*}_{s}) $, 成立$ u\in L^{p}({{\Bbb R}} ^{N}) $.由$ (f_{2}) $, 有$ |F(u)|\leq C_{1}(|u|^{2}+|u|^{2^{*}_{s}}) $.因此对任意$ \bar{p}\in [1, \frac{N}{N-\mu}\frac{2N}{2N-\mu}) $, 有$ F(u)\in L^{\bar{p}} $.可以推断出

$ |x|^{-\mu}=|x|^{-\mu}{\cal X}_{B_{1}}(x)+|x|^{-\mu}{\cal X}_{B^{c}_{1}}(x)=I_{1}+I_{2}. $

选取$ \sigma\in (0, \frac{N(N-\mu)}{2N-\mu}) $, 则$ I_{1}\in L^{\frac{N-\sigma}{\mu}} $且$ I_{2}\in L^{\frac{N+\sigma}{\mu}} $.根据卷积型的Young不等式, 有

$ |I_{1}\ast F(u)|_{\infty}\leq C|I_{1}|_{\frac{N-\sigma}{\mu}}|F(u)|_{\frac{N-\sigma}{N-\mu-\sigma}}, $

并且

$ |I_{2}\ast F(u)|_{\infty}\leq C|I_{2}|_{\frac{N+\sigma}{\mu}}|F(u)|_{\frac{N+\sigma}{N-\mu+\sigma}}. $

因为$ \sigma\in (0, \frac{N(N-\mu)}{2N-\mu}) $, 则

$ 1<\frac{N+\sigma}{N-\mu+\sigma}<\frac{N-\sigma}{N-\mu-\sigma}<\frac{N}{N-\mu}\frac{2N}{2N-\mu}. $

所以$ |x|^{-\mu}\ast F(u)\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $.

受Moser迭代方法^{[22, 23]}的启发, 我们有下面的估计.这对研究方程(1.1)的解的渐近行为是非常重要的.

引理5.6  取$ \varepsilon_{n}\rightarrow0 $, 且$ u_{n}=u_{\varepsilon_{n}}\in \tilde{{\cal N}}_{\varepsilon_{n}} $是方程3.1的一个解.则通过一个子列, $ v_{n}:=u_{n}(\cdot+\tilde{y}_{n}) $满足$ v_{n}\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $并且这儿存在$ C>0 $使得

$ |v_{n}|_{\infty}\leq C, \quad \forall\; n\in N, $

这里$ \tilde{y}_{n} $在推论中被给出.另一方面, 一致地对$ n\in {\Bbb N} $, 有

$ \lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}v_{n}(x)=0. $

证  假设$ L, \beta>0 $, 定义$ v_{L, n}=\min\{v_{n}, L\} $和$ \tilde{v}_{L, n}=v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)} $.对任意$ t\geq0 $, 我们考虑函数$ \gamma(t)=\gamma_{L, \beta}(t)=tt_{L}^{2(\beta-1)} $, 这里$ t_{L}=\min\{t, L\} $.因为$ \gamma $是一个单增函数, 则

$ (a-b)(\gamma(a)-\gamma(b))\geq0, \quad\forall\; a, b\in{{\Bbb R}} . $

固定$ \Lambda(t)=\frac{t^{2}}{2} $和$ \Gamma(t)=\int_{0}^{t}|\gamma'(\tau)|^{2}{\rm d}\tau $, 有

(5.3) $ \begin{equation} \Lambda'(a-b)(\gamma(a)-\gamma(b))\geq|\Gamma(a)-\Gamma(b)|^{2}, \quad \forall\; a, b\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

事实上, 由$ a>b $和Jeasen不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} \Lambda'(a-b)(\gamma(a)-\gamma(b))&=&(a-b)\int_{b}^{a}\gamma'(t){\rm d}t =(a-b)\int_{b}^{a}|\Gamma'(t)|^{2}{\rm d}t\\ &\geq&\bigg(\int_{b}^{a}\Gamma'(t){\rm d}t\bigg)^{2}=(\Gamma(a)-\Gamma(b))^{2}. \end{eqnarray*} $

(5.3)式说明

(5.4) $ \begin{eqnarray} |\Gamma(v_{n}(x))-\Gamma(v_{n}(y))|^{2}\leq (v_{n}(x)-v_{n}(y))((v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)})(x)-(v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)})(y)). \end{eqnarray} $

通过直接计算, 可得$ \Gamma(v_{n})\geq\frac{1}{\beta}v_{n}v_{L, n}^{\beta-1} $.按照$ D^{s, 2}({{\Bbb R}} ^{N})\hookrightarrow L^{2^{*}_{s}}({{\Bbb R}} ^{N}) $, 有

(5.5) $ \begin{eqnarray} [\Gamma(v_{n})]^{2}\geq S_{*}|\Gamma(v_{n})|_{2^{*}_{s}}^{2}\geq(\frac{1}{\beta})^{2}S_{*}|v_{n}v_{L, n}^{\beta-1}|_{2^{*}_{s}}^{2}. \end{eqnarray} $

取$ v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)} $是方程(3.1)的一个测试函数, 根据(5.3), (5.4)和(5.5)式, 可得

(5.6) $ \begin{equation} (\frac{1}{\beta})^{2}S_{*}|v_{n}v_{L, n}^{\beta-1}|_{2^{*}_{s}}^{2}+\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}V(\varepsilon_{n}x+y_{n})v_{n}^{2}v_{L, n}^{2(\beta-1)}{\rm d}x \leq\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})v_{n}v_{L, n}^{2(\beta-1)}{\rm d}x. \end{equation} $

由引理5.5, 则存在$ C>0 $使得

(5.7) $ \begin{eqnarray} ||x|^{-\mu}\ast F(v_{n})|_{\infty}\leq C. \end{eqnarray} $

$ (f_{2}) $表明对任意$ \xi>0 $, 存在$ C_{\xi}>0 $, 使得

(5.8) $ \begin{eqnarray} |f(v_{n})v_{n}|\leq \xi|v_{n}|^{2}+C_{\xi}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}. \end{eqnarray} $

让$ \xi $足够小, 由(5.6), (5.7)和(5.8)式, 有

(5.9) $ \begin{eqnarray} \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(v_{n}v_{L, n}^{\beta-1})^{2^{*}_{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{2^{*}_{s}}}\leq C\beta^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}|v_{L, n}|^{2(\beta-1)}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

固定$ \beta=\frac{2^{*}_{s}}{2} $, 因为$ 0\leq v_{L, n}\leq v_{n} $和Höder不等式, 可得

(5.10) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}|v_{L, n}|^{2(\beta-1)}{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}-2}(v_{n}v_{L, n}^{\beta-1})^{2}{\rm d}x{}\\ &\leq&\int_{\{v_{n}\leq R\}}R^{2^{*}_{s}-2}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}{\rm d}x +\int_{\{v_{n}>R\}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}-2}(v_{n}v_{L, n}^{\frac{2^{*}_{s}-2}{2}})^{2}{\rm d}x\\ &\leq&\int_{\{v_{n}\leq R\}}R^{2^{*}_{s}-2}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}{\rm d}x+\bigg(\int_{\{v_{n}>R\}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2^{*}_{s}-2}{2^{*}_{s}}}\bigg(\int_{\{v_{n}>R\}}(v_{n}v_{L, n}^{\frac{2^{*}_{s}-2}{2}})^{2^{*}_{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{2^{*}_{s}}}.{\qquad} \end{eqnarray} $

由$ v_{n}\rightarrow v $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中, 则存在$ R>0 $, 使得

(5.11) $ \begin{eqnarray} \bigg(\int_{\{v_{n}>R\}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2^{*}_{s}-2}{2^{*}_{s}}}\leq \frac{1}{2C\beta^{2}}. \end{eqnarray} $

按照(5.9), (5.10)和(5.11)式, 有

$ \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(v_{n}v_{L, n}^{\frac{2^{*}_{s}-2}{2}})^{2^{*}_{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{2^{*}_{s}}}\leq C\beta^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}R^{2^{*}_{s}-2}|v_{n}|^{2^{*}_{s}}{\rm d}x. $

取$ n\rightarrow \infty $, 根据$ \{v_{n}\} $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中的有界性和Fatou引理, 有$ v_{n}\in L^{\frac{(2^{*}_{s})^{2}}{2}}({{\Bbb R}} ^{N}) $.在(5.9)式中, 让$ L\rightarrow \infty $, 由$ 0\leq v_{L, n}\leq v_{n} $和Fatou引理, 可得

$ \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}\beta}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{2^{*}_{s}}}\leq C\beta^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}+2(\beta-1)}{\rm d}x. $

所以我们可以得到

$ \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}\beta}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2^{*}_{s}(\beta-1)}}\leq (C\beta)^{\frac{1}{\beta-1}}\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}+2(\beta-1)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2(\beta-1)}}. $

对$ m\geq 1 $, 取$ \beta_{m+1} $使得$ 2^{*}_{s} \beta_{m}=2^{*}_{s}+2(\beta_{m+1}-1) $且$ \beta_{1}=\frac{(2^{*}_{s})^{2}}{2} $, 则

$ \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}\beta_{m+1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2^{*}_{s}(\beta_{m+1}-1)}}\leq (C\beta)^{\frac{1}{\beta_{m+1}-1}}\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}\beta_{m}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2^{*}_{s}(\beta_{m}-1)}}. $

定义

$ D_{m+1}=\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|v_{n}|^{2^{*}_{s}\beta_{m+1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2^{*}_{s}(\beta_{m+1}-1)}}, $

则存在$ C_{0}>0 $使得

$ D_{m+1}\leq \bigg(\prod\limits_{k=1}^{m} (C \beta_{k+1})^{\frac{1}{\beta_{k+1}}} \bigg) D_{1}\leq C_{0} D_{1}. $

让$ m\rightarrow \infty $, 我们有对任意$ n\in {\Bbb N} $, $ |v_{n}|_{\infty}\leq C_{0}D_{1} $.如同文献[12]中的证明, 可得$ \{w_{n}\}\subset H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $满足下面的方程

$ (-\Delta)^{s}w_{n}+V_{0}w_{n}=(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n}), \quad x\in {{\Bbb R}} ^{N}. $

另一方面, $ w_{n}={\cal K}\ast[(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})] $, 这里$ {\cal K} $是Bessel核.因为存在$ C>0 $, 使得$ |(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})|_{2}\leq C $, 并且对任意$ n\in{\Bbb N} $, 有$ |(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})|_{\infty}\leq C $, 则一致地对$ n\in{\Bbb N} $, 有

$ w_{n}(x)\rightarrow0, \quad \mbox{当}\; |x|\rightarrow \infty. $

通过比较我们有$ 0\leq v_{n}\leq w_{n} $.我们完成了引理5.6的证明.

下面, 我们完成定理1.1的证明.

我们分成下面的三种情况来完成定理的证明.

多重解  对任意$ \delta>0 $, 引理5.1, 引理5.2和引理5.3表明存在$ \varepsilon_{\delta}>0 $, 对任意$ \varepsilon\in(0, \varepsilon_{\delta}) $, 下面的图

$ M \stackrel{\Phi_{\varepsilon}}{\rightarrow } \widetilde{{\cal N}}_{\varepsilon} \stackrel{\beta_{\varepsilon}}{\rightarrow } M_{\delta} $

是有意义的.况且, $ \beta_{\varepsilon}\circ \Phi_{\varepsilon} $与嵌入映射$ i:M\rightarrow M_{\delta} $是同伦等价的.根据文献[9, Lemma 2.2] (或[7, Lemma 4.3]), 有

$ {\rm cat}_{\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}}(\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon})\geq {\rm cat}_{M_{\delta}}(M). $

注意到命题3.4说明$ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ \tilde{{\cal N}}_{\varepsilon} $上满足$ (PS)_{c} $条件.由Ljusternik-Schnirelmann理论可得$ {\cal J}_{\varepsilon} $在$ \tilde{{\cal N}}_{\varepsilon} $上至少有$ {\rm cat}_{\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}}(\tilde{{\cal N}}_{\varepsilon}) $个临界点.命题3.1说明$ {\cal J}_{\varepsilon} $至少有$ {\rm cat}_{M_{\delta}}(M) $个临界点.让$ u_{\varepsilon} $是其中的一个临界点.按照引理5.6有$ u_{\varepsilon} \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $.因为$ u_{\varepsilon}\geq 0 $在$ {{\Bbb R}} ^{N} $, 则由文献[26]的推论$ 2.8 $, 有$ u_{\varepsilon}>0 $.

集中现象  让$ \varepsilon_{n}\rightarrow 0 $, $ \{u_{\varepsilon_{n}}\} $是方程(3.1)的一个解.令$ v_{n}=u_{n}(\cdot+\tilde{y}_{n}) $, 我们断言存在$ \rho>0 $, 使得$ |v_{n}|_{\infty}\geq\rho $.对任意$ n\in {\Bbb N} $, 假设通过一个子列有$ |v_{n}|_{\infty}\rightarrow0 $, 当$ n\rightarrow \infty $.由引理5.5可$ (f_{2}) $, 可得

$ ||x|^{-\mu}\ast F(v_{n})f(v_{n})|_{\infty}\leq\frac{V_{0}}{2}v_{n}. $

因为$ \langle {\cal J}_{\varepsilon_{n}}(u_{n}), u_{n} \rangle=0 $, 则

$ \begin{eqnarray*} [v_{n}]^{2}+V_{0}|v_{n}|_{2}^{2}&=&[u_{n}]^{2}+V_{0}|u_{n}|_{2}^{2}\leq \|u_{n}\|_{\varepsilon_{n}}^{2}=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(u_{n}))f(u_{n})u_{n}{\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})v_{n}{\rm d}x\leq\frac{V_{0}}{2}|v_{n}|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

这说明$ \|v_{n}\|_{V_{0}}=0 $.这于$ v_{n}\rightarrow v\neq 0 $在$ H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $中矛盾.因此$ \rho\leq|v_{n}|_{\infty}\leq C $.取$ p_{n} $是$ u_{n} $的最大值点, 注意到$ p_{n}\in B_{R}(\tilde{y}_{n}) $, $ p_{n}=\tilde{y}_{n}+q_{n} $且$ |q_{n}|<R $.因为方程(1.1)的解的形式为$ \hat{u}_{\varepsilon_{n}}(x)=u_{\varepsilon_{n}}(\frac{x}{\varepsilon_{n}}) $, 则解的最大值点$ \hat{u}_{\varepsilon_{n}}(x) $能表示为$ \eta_{\varepsilon_{n}}=\varepsilon_{n}\tilde{y}_{n}+\varepsilon_{n}q_{n} $.所以, $ \eta_{\varepsilon_{n}}\rightarrow y\in M $.由$ V $的连续性, 有

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}V(\eta_{\varepsilon_{n}})=V_{0}. $

衰减估计  根据文献[12]的引理$ 4.3 $, 则存在$ w\in H^{s}({{\Bbb R}} ^{N}) $和$ R_{1}>0 $, 使得

(5.12) $ \begin{equation} 0<w(x)\leq \frac{C}{1+|x|^{N+2s}}, \quad \forall\; x\in {{\Bbb R}} ^{N}, \end{equation} $

并且

(5.13) $ \begin{equation} (-\Delta)^{s} w+\frac{V_{0}}{2}w\geq 0, \quad x\in B^{c}_{R_{1}}(0). \end{equation} $

因为当$ |x|\rightarrow \infty $, $ v_{n}(x)\rightarrow 0 $一致地对于$ n\in{\Bbb N} $成立和$ (f_{2}) $, 则存在$ R_{2}>0 $, 使得

(5.14) $ \begin{eqnarray} (|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})\leq \frac{V_{0}}{2}v_{n}, \quad x\in B_{R_{2}}^{c}(0). \end{eqnarray} $

由于$ u_{n} $是方程(3.1)的一个解, 则

(5.15) $ \begin{eqnarray} (-\Delta)^{s}v_{n}+\frac{V_{0}}{2}v_{n}\leq g_{n}, \end{eqnarray} $

这里$ g_{n}=(|x|^{-\mu}\ast F(v_{n}))f(v_{n})-\frac{V_{0}}{2}v_{n} $.取$ w_{n} $是方程

$ \begin{eqnarray*} (-\Delta)^{s}w_{n}+\frac{V_{0}}{2}w_{n}=g_{n}, \quad x\in {{\Bbb R}} ^{N} \end{eqnarray*} $

的唯一解.根据(5.15)式, 可得$ 0\leq v_{n}\leq w_{n} $. (5.14)式表明

$ (-\Delta)^{s}w_{n}+\frac{V_{0}}{2}w_{n}\leq0, \quad x\in B_{R_{2}}^{c}. $

取$ R_{3}=\max\{R_{1}, R_{2}\} $, $ { } c=\inf\limits_{B_{R_{3}}}w(x) $且$ { } d=\sup\limits_{n}|w_{n}|_{\infty}<\infty $, 定义$ \tilde{w}_{n}=(d+1)w-c w_{n} $.我们断言$ \tilde{w}_{n}\geq 0 $在$ {{\Bbb R}} ^{N} $中, 则有

(5.16) $ \begin{equation} \lim\limits_{|x|\rightarrow \infty} \sup\limits_{n\in {\Bbb N}}\tilde{w}_{n}(x)=0, \end{equation} $

(5.17) $ \begin{equation} \tilde{w}_{n}\geq dc+c-dc>0, \quad x\in B_{R_{3}}(0), \end{equation} $

(5.18) $ \begin{equation} (-\Delta)^{s} \tilde{w}_{n}+\frac{V_{0}}{2}\tilde{w}_{n}\geq 0, \quad x\in B^{c}_{R_{3}}(0) . \end{equation} $

假设存在$ \{\bar{x}_{j, n}\}\subset{{\Bbb R}} ^{N} $, 使得

$ \inf\limits_{x\in {{\Bbb R}} ^{N}}\tilde{w}_{n}(x)=\lim\limits_{j\rightarrow \infty}{\tilde{w}}_{n}(\bar{x}_{j, n})<0. $

由(5.16)式, 有$ \{\bar{x}_{j, n}\} $是有界的.假设$ \bar{x}_{j, n}\rightarrow \bar{x}_{n} $, 当$ j\rightarrow \infty $, 则

(5.19) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{x\in {{\Bbb R}} ^{N}}\tilde{w}_{n}(x)=\tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n})<0. \end{eqnarray} $

根据$ \bar{x}_{n} $是最小值点和分数阶Laplace算子的表示公式^{[11, Lemma 3.2]}, 有

(5.20) $ \begin{eqnarray} (-\Delta)^{s}\tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n})=\frac{c_{N, s}}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}} \frac{2\tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n})-\tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n}+\xi)-\tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n}-\xi)}{|\xi|^{N+2s}} {\rm d}\xi\leq 0. \end{eqnarray} $

按照(5.17)和(5.19)式, 可得$ \bar{x}_{n}\in B_{R_{3}}^{c}(0) $. (5.19)和(5.20)式表明

$ (-\Delta)^{s} \tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n})+\frac{V_{0}}{2}\tilde{w}_{n}(\bar{x}_{n})<0, $

这与(5.18)式相矛盾.因此$ \tilde{w}_{n}\geq 0 $在$ {{\Bbb R}} ^{N} $, 也就是说$ v_{n}\leq Cw_{n} $.由(5.12)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} 0\leq v_{n}(x)\leq w_{n}(x)\leq \frac{C}{1+|x|^{N+2s}}, \quad\forall \; n\in {\Bbb N}, \; x\in {{\Bbb R}} ^{N}. \end{eqnarray*} $

最后, 由$ v_{n} $的意义有

$ \begin{eqnarray*} \hat{u}_{n}(x)&=&u_{n}\left(\frac{x}{\varepsilon_{n}}\right)=v_{n}\left(\frac{x}{\varepsilon_{n}}-\tilde{y}_{n}\right) \\ &\leq &\frac{\tilde{C}}{1+|\frac{x}{\varepsilon_{n}}-\tilde{y}_{n}|^{N+2s}}=\frac{\tilde{C} \varepsilon_{n}^{N+2s}}{\varepsilon_{n}^{N+2s}+|x- \varepsilon_{n} \tilde{y}_{n}|^{N+2s}} \\ &\leq &\frac{\tilde{C} \varepsilon_{n}^{N+2s}}{\varepsilon_{n}^{N+2s}+|x-\eta_{\varepsilon_{n}}|^{N+2s}}. \end{eqnarray*} $

至此我们完成了定理1.1的证明.