在概率测度的量子问题研究中, 人们关心在$ L_r $度量下用离散的概率测度逼近概率测度. 在过去的三十年中, 这个问题已经引起了数学家等极大的兴趣. 该问题在工程技术中有深刻的背景(参考文献[1, 9]), 而测度的量子理论的严格数学基础可参考文献[5, 6]. 更多相关结果见文献[5, 8, 11, 13, 15].

设$ \nu $是$ {{\Bbb R}} ^{q} $上的一个Borel概率测度, $ d $是$ {{\Bbb R}} ^{q} $上的欧氏度量. 记

$ {\cal D}_{n}:=\{\alpha\subset {{\Bbb R}} ^{q}:1\leq card (\alpha)\leq n\}. $

对$ r\in(0, \infty) $, $ \nu $的$ r $阶$ n $ -级量子误差可定义为

(1.1) $ \begin{eqnarray} e_{n, r}(\nu)=\left\{\begin{array}{ll} { } \bigg(\inf\limits_{\alpha\in{\cal D}_n}\int d(x, \alpha)^{r}{\rm d}\nu(x)\bigg)^{1/r}, &r>0, \\ { } \inf\limits_{\alpha\in{\cal D}_n}\exp\bigg(\int\log d(x, \alpha){\rm d}\nu(x)\bigg), &r=0, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ d(x, \alpha):=\inf\limits_{a\in \alpha}d(x, a), x\in{{\Bbb R}} ^{q} $. 记$ d(A, B):=\inf\limits_{x\in A, y\in B }d(x, y), A, B\subset {{\Bbb R}} ^{q} $. 文献[5]中有量子误差的多种等价定义和相关解释. 通常也称$ e_{n, 0}(\nu) $为$ \nu $的$ n $ -级几何平均误差.

由文献[6]可知, 当$ r $递减趋于0时，$ e_{n, r}(\nu)\to e_{n, 0}(\nu) $, 所以关于几何平均误差的量子问题是$ L_r $ -量子问题当$ r $趋于$ 0 $时的极限情形. 为方便, 将$ e_{n, 0}(\nu) $简记为$ e_n(\nu) $.

当(1.1)式的下确界在$ \alpha\in {\cal D}_{n} $取得时，称$ \alpha $为$ \nu $的一个$ r $阶$ n $ -最优集. 如文献[5, 6]一样, 将$ \nu $的所有$ r=0 $的$ n $ -最优集组成的集簇记为$ C_{n}(\nu) $. 根据文献[6, 定理2.5], 当满足条件$ \int_{0}^{1}s^{-1}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^{q}}\nu(B(x, s)){\rm d}s<\infty $时, $ C_{n}(\nu) $非空. 特别地, 如果对于任意$ \epsilon>0 $, 总存在常数$ C, t $, 有

$ \sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^q}\nu(B(x, \epsilon))\leq C\epsilon^t, $

则$ C_{n}(\nu) $非空.

为了方便, 我们考虑下面两个量

$ \begin{eqnarray*} \hat{e}_{n}(\nu)=\log e_{n}(\nu), \;\;\Delta_n(\nu):=\hat{e}_{n}(\nu)-\hat{e}_{n+1}(\nu). \end{eqnarray*} $

关于几何平均误差的相关结论见文献[6, 16, 18].

设$ \alpha $是$ {{\Bbb R}} ^q $上的非空有限集. $ \alpha $对应的一个Voronoi分划(VP)$ \{P_a(\alpha)\}_{a\in\alpha} $是指$ {{\Bbb R}} ^q $的一个满足下列条件的Borel分划

$ P_a(\alpha)\subset\{x\in{{\Bbb R}} ^q:d(x, a)=d(x, \alpha)\}, \; \;\;a\in\alpha. $

Voronoi分划在量子误差的估计中起着非常重要的作用. 设$ \nu $是$ {{\Bbb R}} ^q $上的一个Borel概率测度, 且$ \alpha_n\in C_n(\nu) $. 下文中记$ {\cal V}(\nu, \alpha_n) $为$ \alpha_n $对应的所有Voronoi分划的集合. 将$ {\cal V}(\nu, \alpha_n) $中的每个元素称为$ \nu $的(零阶)最优Voronoi分划.

1979年, Gersho提出下述猜测: 对于绝对连续的测度$ \nu, \alpha_n\in C_{n, r}(\nu) $和任一属于$ {\cal V}(\nu, \alpha_n) $的$ \{P_a(\alpha_n)\}_{a\in\alpha_n} $, 下列形式成立

(1.2) $ \begin{equation} \int_{P_a(\alpha_n)}d(x, a)^r{\rm d}\nu(x)\sim n^{-1}e_{n, r}^r(\nu), \;a\in\alpha_n, \end{equation} $

这里$ a_n\sim b_n $是指$ a_n/b_n\to 1 $($ n\to\infty $). 这个猜测指出一个最优集"应该"体现某种均匀性. 因此, 我们很自然地将这个猜测延伸到所有Borel概率测度. 虽然一般情形远未解决, 但在文献[8]中, Graf, Luschgy和Pagés取得了突破性进展. 对一大类绝对连续的测度$ \nu $, 他们证明了(1.2)的下述弱形式

(1.3) $ \begin{equation} \int_{P_a(\alpha_n)}d(x, a)^r{\rm d}\nu(x)\asymp n^{-1}e_{n, r}^r(\nu), \;a\in\alpha_n, \end{equation} $

其中$ a_{n}\asymp b_{n} $指存在常数$ c $, 使得对所有$ n\geq 1 $, $ cb_{n}\leq a_{n}\leq c^{-1}b_{n} $成立. 对于一般的概率测度, 即便研究上述弱形式(1.3)也是非常难的一件事. 文献[19, 21]包含了一些进展.

令$ r\to 0 $, 可得到弱形式(1.3)的极限形式

(1.4) $ \begin{equation} \nu(P_a(\alpha_n))\asymp n^{-1}, \;a\in\alpha_n. \end{equation} $

关于这方面的研究可查看文献[20, 22]. 本文对$ {{\Bbb R}} ^1 $上的莫朗测度证明了弱形式(1.4).

对所有$ k\geq 1 $, 设$ (n_{k})_{k=1}^{\infty} $是一列正整数且$ n_{k}\geq 2 $. 记$ \theta $是空词. 定义

$ \begin{eqnarray*} &&\Omega_{0}:=\{\theta\}, \;\;\Omega_{k}:=\prod\limits_{j=1}^k\{1, 2, \ldots, n_{j}\}, \\&&\Omega^*:=\bigcup\limits_{ k=0}^\infty \Omega_{k}, \;\;\Omega_\infty:=\prod\limits_{j=1}^\infty\{1, 2, \ldots, n_{j}\}. \end{eqnarray*} $

对$ \{1, \ldots, n_{k+1}\} $中的$ \sigma $和$ j $, 记$ \sigma $和$ j $的连接为$ \sigma\ast j $.

设$ c_{k, j}\in(0, 1), 1\leq j\leq n_{k}, k\geq 1 $, 且

(1.5) $ \begin{eqnarray} \underline{c}:=\inf\limits_{k\geq 1}\min\limits_{1\leq j\leq n_{k}} c_{k, j} >0;\;\;\sum\limits_{j=1}^{n_k}c_{k, j}\leq 1. \end{eqnarray} $

定义1.1  设$ J $是一个非空有界闭区间, 令$ J_{\theta}:=J $. 集合$ A $的直径记为$ |A| $.

(ⅰ) 对于$ \sigma\in\Omega_{1} $, 设$ J_{\sigma} $是$ J_{\theta} $的不重叠的子集, $ J_{\sigma} $与$ J_{\theta} $几何相似且$ |J_\sigma|/|J_\theta|=c_{1, \sigma} $.

(ⅱ) 假设$ J_{\sigma} $由$ \sigma\in\Omega_{k} $确定. 设$ J_{\sigma\ast j}(1\leq j\leq n_{k+1}) $是$ J_{\sigma} $的不重叠的子集, 与$ J_{\sigma} $几何相似且

$ |J_{\sigma*j}|/|J_\sigma|=c_{k, j}, \; 1\leq j\leq n_{k+1}. $

依上述程序, 由归纳法可得$ J_{\sigma}(\sigma\in\Omega^{\ast}) $. 令

(1.6) $ \begin{equation} E:=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{\sigma\in\Omega_{k}}J_{\sigma}, \end{equation} $

称$ E $为一个莫朗集.

不失一般性, 假设$ |J|=1 $. 记$ |\sigma| $为词$ \sigma\in\Omega^* $的长度, 则

$ |J_\sigma|=c_\sigma:=c_{1, \sigma_1}\cdots c_{|\sigma|, \sigma_{|\sigma|}}, \;\sigma\in\Omega^*\setminus\{\theta\}. $

莫朗集和莫朗测度是分形几何中重要研究对象^{[2, 4, 10, 14, 17]}.

设$ (p_{k, j})_{1}^{n_{k}}, k\geq 1 $是一列概率向量, 记

(1.7) $ \begin{eqnarray} \underline{p}:=\inf\limits_{k\geq 1}\min\limits_{1\leq j\leq n_{k}}p_{k, j}>0, \;\; \; \overline{p}:=\sup\limits_{k, j\geq 1}p_{k, j}. \end{eqnarray} $

由Kolmogorov相容性定理, 存在$ \Omega_{\infty} $上的一Borel概率测度$ \nu $, 使得对于$ \Omega^{\ast} $中的$ \sigma=(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{|\sigma|}) $, 有

(1.8) $ \begin{equation} \nu([\sigma])=p_{\sigma}:=p_{1, \sigma_{1}}p_{2, \sigma_{2}}\cdots p_{|\sigma|, \sigma_{|\sigma|}}, \end{equation} $

此处$ [\sigma]=\{\tau\in\Omega_{\infty}:\tau|_{|\sigma|}=\sigma\} $. 设$ \pi:\Omega_\infty\rightarrow E $满足

$ \pi(\tau)=\bigcap\limits_{k\geq 1}J_{\tau|_{k}}, \tau=(\tau_{1}, \cdots, \tau_{k}, \cdots)\in\Omega_{\infty}, \tau|_{k}=(\tau_{1}, \cdots, \tau_{k}). $

我们定义$ \mu:=\nu\circ\pi^{-1} $. 则$ \mu $是$ E $支撑的一个Borel概率测度. 由$ E $的结构, $ \Omega_\infty $中至多存在$ E $的可数个带有两个"位置码"的点. 由于$ \nu $是非原子测度, 我们有

(1.9) $ \begin{eqnarray} &\mu(J_{\sigma})=\nu\circ\pi^{-1}(J_{\sigma})=\nu([\sigma])=p_{\sigma}, \;\;\sigma\in\Omega^{\ast}. \end{eqnarray} $

我们称$ \mu $是$ E $上的莫朗测度.

对于$ n\geq 1 $, 设$ \alpha_n\in C_n(\mu) $和$ \{P_{a}(\alpha_{n})\}_{a\in\alpha_{n}}\in {\cal V}(\mu, \alpha_n) $. 我们记

$ \begin{eqnarray*} &&\underline{P}_n(\mu):=\inf\limits_{\alpha_n\in C_n(\mu)}\min\limits_{a\in\alpha_n}\mu (P_{a}(\alpha_{n}));\\ &&\overline{P}_n(\mu):=\sup\limits_{\alpha_n\in C_n(\mu)}\max\limits_{a\in\alpha_n}\mu (P_{a}(\alpha_{n})). \end{eqnarray*} $

本文的主要结果是

定理1.1  设$ E $和$ \mu $如(1.6)和(1.8)式所定义的. 假设满足条件(1.5)和(1.7), 则有

$ \begin{eqnarray*} \underline{P}_n(\mu), \;\overline{P}_n(\mu), \;\Delta_n(\mu)\asymp n^{-1}. \end{eqnarray*} $

而且, 对于任意$ \alpha_n\in C_n(\mu) $及$ a\in\alpha_{n} $, $ \{P_{a}(\alpha_{n})\} $包含一个以$ a $为中心, 半径为$ d_{2}|P_{a}(\alpha_{n})\cap E| $的闭区间, 其中$ d_{2} $是一个常数.

设$ \sigma=(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{k})\in\Omega_{k} $及$ 1\leq h\leq k $, 定义

$ \begin{eqnarray*} \sigma^{-}=\left\{\begin{array}{ll}\theta, &k=1, \\ (\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{k-1}), &k\geq 2;\end{array}\right. \; \; \sigma|_{h}=\sigma_{1}\cdots\sigma_{h}. \end{eqnarray*} $

对$ \sigma, \tau\in\Omega^{\ast} $满足$ |\sigma|\leq|\tau| $且$ \sigma=\tau|_{|\sigma|} $, 记$ \sigma\prec\tau $. 显然$ \prec $是$ \Omega^{\ast} $上的一个偏序. 定义

(2.1) $ \begin{eqnarray} \Lambda_{k}:=\{\sigma\in\Omega^{\ast}:p_{\sigma^-}\geq\underline{p}^k> p_\sigma\}, \ \ \ \phi_{k}:=\mbox{card}(\Lambda_{k}). \end{eqnarray} $

对于任意$ \sigma, \tau\in\Lambda_{k} $, 有

$ \underline{p}p_\tau\leq p_\sigma\leq\underline{p}^{-1}p_\tau. $

由(1.7)式和文献[20, 引理1]中的论证, 可得存在一个整数$ M_{0}\geq 2 $, 使得

(2.2) $ \begin{equation} \phi_{k}\leq\phi_{k+1}\leq M_{0}\phi_{k}. \end{equation} $

对每个$ \sigma\in\Omega^{\ast} $, 设$ g_{\sigma} $为任一$ {{\Bbb R}} ^{1} $上相似比是$ c_{\sigma} $的相似映射. 对空词$ \theta $, $ g_{\theta} $是恒等映射. 记$ \mu(\cdot|J_{\sigma}) $为$ \mu $在$ J_{\sigma} $上的条件测度. 对$ {{\Bbb R}} ^{1} $上的每个Borel集$ B $, 定义

$ \mu(B|J_{\sigma}):=p_{\sigma}^{-1}\mu(B\cap J_{\sigma}). $

定义

$ \nu_{\sigma}:=\mu(\cdot|J_{\sigma})\circ g_{\sigma}, \;\; \mbox{等价于}\;\; \mu(\cdot|J_{\sigma})=\nu_{\sigma}\circ g_{\sigma}^{-1}. $

记$ K_{\sigma} $为$ \nu_{\sigma} $的支撑, 则有

$ K_{\sigma}\subset g_{\sigma}^{-1}(J_{\sigma}), \;\; |K_{\sigma}|\leq 1. $

设$ h\geq 1 $, $ \sigma\in\Omega^* $, 对$ \omega\in\Omega_{|\sigma|+h}^{\ast} $有$ \sigma\prec\omega $. 定义

$ \nu_{\sigma\setminus\omega}=\mu(\cdot|J_{\sigma}\setminus J_{\omega})\circ g_{\sigma}. $

引理2.1  存在常数$ C_{1}, t> 0 $, 使得对于任意$ \epsilon>0 $, $ \sigma\in\Omega^* $, $ \tau\in\Omega_{|\sigma|+6}^{\ast} $及$ \sigma\prec\tau $, 有

$ \sup\limits_{x\in {{\Bbb R}} ^{1}}\nu_{\sigma\setminus\tau}(B(x, \epsilon))\leq C_{1}\epsilon^{t}. $

证  设$ \tau\in\Omega_{|\sigma|+6}^* $及$ \sigma\prec\tau $. 可得$ \mu(J_{\sigma}\setminus J_\tau)\geq p_{\sigma}(1-\overline{p}^{6}) $. 由文献[21, 引理2.3], 存在常数$ C, t $, 对于任意$ x\in{{\Bbb R}} ^1 $及$ \epsilon>0 $使得$ \nu_{\sigma}(B(x, \epsilon))\leq C\epsilon^{t} $. 所以

$ \begin{eqnarray*} \nu_{\sigma\setminus\tau}(B(x, \epsilon)) &=&\frac{\mu(g_{\sigma}(B(x, \epsilon))\cap (J_{\sigma}\setminus J_\tau))}{\mu(J_{\sigma}\setminus J_\tau)}\\ &\leq&\frac{\mu(B(g_{\sigma}(x), c_{\sigma}\epsilon)\cap J_{\sigma})}{(1-\overline{p}^{6})p_{\sigma}} =\frac{\nu_{\sigma}(B(x, \epsilon))}{1-\overline{p}^{6}}\\ &\leq&\frac{C\epsilon^{t}}{1-\overline{p}^{6}}. \end{eqnarray*} $

令$ C_1:=C(1-\overline{p}^{6})^{-1} $, 即得引理证明. 证明完毕.

设$ \sigma\in\Omega^{\ast} $及$ \emptyset\neq\beta\subset{{\Bbb R}} ^1 $, 定义

$ I_{\sigma}(\beta, \mu):=\int_{J_{\sigma} }\log d(x, \beta){\rm d}\mu(x);\;\;I(\beta, \mu):=I_\theta(\beta, \mu). $

设$ l\geq 1 $及$ L\geq 1 $, 定义

$ \Psi_{l, L}:=\prod\limits_{h=l+1}^{l+L}\{1, \cdots, n_{h}\}. $

对于任一$ \sigma\in\Omega^{\ast} $, $ J_{\sigma} $是一个有界闭区间. 定义

(2.3) $ \begin{equation} x_{1}(\sigma):=\min\limits_{x\in J_{\sigma}}x, \ \ x_{2}(\sigma):=\max\limits_{x\in J_{\sigma}}x, \;\;\sigma\in\Omega^{\ast};\;\;\overline{c}:=\sup\limits_{k, j\geq 1}c_{k, j}. \end{equation} $

引理2.2  设$ L=2([(\overline{c}/\underline{c})^{6}]+1) $及$ \alpha_{n}\in C_{n}(\mu) $. 存在最小的整数$ M_1>L+2 $使得当$ L_\sigma:={\rm card}(\alpha_n\cap J_\sigma)\geq M_1 $时, 对$ \sigma\in\Omega^* $及任一$ \omega\in\Psi_{|\sigma|, 4} $, 我们有$ \alpha_{n}\cap J_{\sigma\ast\omega}\neq\emptyset $.

证  设$ b_1:=\log3+2C_1^{1/2}t^{-1} $及最小的整数$ M_1>L+2 $, 使得对于每个$ x\geq M_1 $, 有

(2.4) $ \begin{equation} \frac{(L+4)b_1}{\sqrt{x-L-2}}<\underline{p}^6\log 2. \end{equation} $

假设$ {\rm card}(\alpha_n\cap J_\sigma)>M_1 $及对某个$ \omega\in\Psi_{|\sigma|, 4} $, $ \alpha_{n}\cap J_{\sigma\ast\omega}=\emptyset $. 下面推出矛盾. 由假设可得存在$ \tau\in\Psi_{|\sigma|, 6} $, 使得$ d(J_{\sigma\ast\tau}, \alpha_{n})\geq \underline{c}^{6}c_{\sigma} $. 从而

(2.5) $ \begin{equation} I_{\sigma\ast\tau}(\alpha_{n}, \mu)\geq p_{\sigma\ast\tau}\log(\underline{c}^{6}c_{\sigma}). \end{equation} $

设$ \gamma_{L}(\sigma\ast\tau) $是均匀分布在$ J_{\sigma\ast\tau} $里的$ L $个点的集合. 定义

$ \begin{eqnarray*} &&\widetilde{\gamma}_{L_{\sigma}-L-2}(\sigma\setminus\sigma\ast\tau)\in C_{L_{\sigma}-L-2}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau});\;\;\widetilde{\gamma}_{L_{\sigma}+2}(\sigma\setminus\sigma\ast\tau)\in C_{L_{\sigma}+2}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau});\\ &&\beta:=(\alpha_{n}\setminus J_{\sigma})\cup\{x_{1}(\sigma), x_{2}(\sigma)\}\cup\widetilde{\gamma}_{L_{\sigma}-L-2}(\sigma\setminus\sigma\ast\tau)\cup\gamma_{L}(\sigma\ast\tau). \end{eqnarray*} $

则有下列推断

$ \begin{eqnarray*} d(J_{\sigma\ast\tau}, \beta)&\leq& d(J_{\sigma\ast\tau}, \gamma_{L}(\sigma\ast\tau))\leq L^{-1}\overline{c}^{6}c_{\sigma}, \\ I_{\sigma\ast\tau}(\beta, \mu)&\leq& p_{\sigma\ast\tau}\log (L^{-1}\overline{c}^{6}c_{\sigma})\leq p_{\sigma\ast\tau}\log(2^{-1}\underline{c}^6c_\sigma). \end{eqnarray*} $

由此及(2.5)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \delta_1(\sigma, \sigma\ast\tau):= I_{\sigma\ast\tau}(\alpha_{n}, \mu)-I_{\sigma\ast\tau}(\beta, \mu)\geq p_{\sigma\ast\tau}\log 2\geq \underline{p}^6p_\sigma\log 2. \end{eqnarray*} $

另一方面, 由引理2.1和文献[6, 引理5.8]证明过程可推得

(2.6) $ \begin{eqnarray} \Delta_n(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau})&=&\hat{e}_{n}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau})-\hat{e}_{n+1}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}) {} \\ &\leq& \frac{1}{n+1}\log3+C_1^{\frac{1}{2}}\frac{2}{t}(\frac{1}{n+1})^{\frac{1}{2}}{}\\ &\leq& \frac{1}{\sqrt{n+1}}\big(\log3+C_1^{\frac{1}{2}}\frac{2}{t}\big) =\frac{b_1}{\sqrt{n+1}}. \end{eqnarray} $

所以当$ L_\sigma\geq M_1 $, 由(2.4)和(2.6)式可推断

(2.7) $ \begin{eqnarray} \delta_2(\sigma, \sigma\ast\tau):&=&I_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}(\mu, \beta)-I_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}(\mu, \alpha_n)\\&\leq& I_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}(\mu, \widetilde{\gamma}_{L_\sigma-L-2}(\sigma\setminus\sigma\ast\tau))-I_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}(\mu, \alpha_n)\\&\leq& I_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}(\mu, \widetilde{\gamma}_{L_\sigma-L-2}(\sigma\setminus\sigma\ast\tau))-I_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}(\mu, \widetilde{\gamma}_{L_\sigma+2}(\sigma\setminus\sigma\ast\tau))\\ &=&\mu(J_\sigma\setminus J_{\sigma\ast\tau})(\hat{e}_{L_\sigma-L-2}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau})-\hat{e}_{L_\sigma+2}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau}))\\&\leq& \mu(J_\sigma)(\hat{e}_{L_\sigma-L-2}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau})-\hat{e}_{L_\sigma+2}(\nu_{\sigma\setminus\sigma\ast\tau})) \\ &\leq& \frac{(L+4)b_1}{\sqrt{L_\sigma-L-2}}p_\sigma\\ &<&\underline{p}^6p_\sigma\log 2\leq\delta_1(\sigma, \sigma\ast\tau) \end{eqnarray} $

且对于每个$ x\in E\setminus J_\sigma $, 我们有$ d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_n) $. 从而

$ \sum\limits_{\varsigma\in\Lambda_n\setminus\{\sigma\}} I_\varsigma(\mu, \beta)\leq\sum\limits_{\varsigma\in\Lambda_n\setminus\{\sigma\}} I_\varsigma(\mu, \alpha_n). $

结合(2.7)式, 推得$ I(\mu, \alpha_n)>I(\mu, \beta) $. 这与$ \alpha_n $的最优性矛盾. 证明完毕.

引理2.3^{[22, 引理3.1]}  设$ \nu $为$ {{\Bbb R}} ^{q} $上具紧支撑$ K_{\nu} $的Borel概率测度. 对于任意$ \epsilon>0 $, 设$ K_{\nu}\leq 1 $且$ \sup\limits_{x\in {{\Bbb R}} ^{1}}\nu(B(x, \epsilon))\leq C\epsilon^{t} $, 则对$ k\geq 2 $, 存在依赖于$ C, t, k, q $的数$ \lambda_{k}>0 $, 使得

$ \Delta_{k-1}(\nu)\geq\lambda_{k}. $

引理2.4  设$ \xi=\underline{p}/\overline{p} $. 存在整数$ M_{2}>M_{1}+4 $, 使得对所有$ l\geq M_{2} $及$ \sigma, \tau\in\Omega^{\ast} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \hat{e}_{l-M_{1}-4}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{l+2}(\nu_\sigma)<\xi (\hat{e}_{M_{1}+1}(\nu_\tau)-\hat{e}_{M_{1}+2}(\nu_\tau)). \end{eqnarray*} $

证  由(2.6)式, 对每个$ n\geq 1 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \Delta_n(\nu_\sigma)=\hat{e}_{n}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{n+1}(\nu_\sigma)\leq\frac{b_1}{\sqrt{n+1}}. \end{eqnarray*} $

令$ M_2:=(M_{1}+6)^{2}b_1^{2}([\xi^{-2}\lambda_{M_{1}+2}^{-2}]+1) $. 对每个$ l\geq M_2 $, 可得

$ \hat{e}_{l}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{l+M_{1}+6}(\nu_\sigma) <\frac{(M_{1}+6)b_1}{\sqrt{l+1}}<\xi \lambda_{M_{1}+2} <\xi (\hat{e}_{M_{1}+1}(\nu_\tau)-\hat{e}_{M_{1}+2}(\nu_\tau)). $

证明完毕.

引理2.5  设$ M_0 $由(2.2)式定义. 存在整数$ M_{3}>M_{0}(M_{2}+2)+7 $, 使得当$ l\geq M_{3} $及$ \sigma, \tau\in\Omega^{\ast} $, 下述估计成立

$ \begin{eqnarray*} \hat{e}_{l-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{l+2}(\nu_\sigma)<\xi \min\limits_{1\leq h\leq M_{0}(M_{2}+4)+2}(\hat{e}_{h}(\nu_\tau)-\hat{e}_{h+1}(\nu_\tau)). \end{eqnarray*} $

证  引理2.4同样的方法即可证得此结论.

设$ M_{i}, i=1, 2, 3 $由第2章定义. 对于每个$ n\geq(M_{2}+2)\phi_{1} $, 存在唯一正整数$ k $, 使得

(3.1) $ \begin{equation} (M_{2}+2)\phi_{k}\leq n<(M_{2}+2)\phi_{k+1}. \end{equation} $

下文总假设$ n\geq(M_{2}+2)\phi_{1} $及$ k $是满足(3.1)式的正整数. $ \alpha_{n}\in C_{n}(\mu) $及$ L_\sigma $如引理2.2定义.

引理3.1  对任一$ \sigma\in\Lambda_{k} $, 有$ L_\sigma\geq M_{1} $.

证  易见对$ \sigma, \tau\in\Lambda_k $, 在$ \alpha_n $中至多有两个点位于相邻区间$ J_\sigma $和$ J_\tau $之间. 且

$ \alpha_n\setminus[\min\limits_{\sigma\in\Lambda_k}x_1(\sigma), \max\limits_{\sigma\in\Lambda_k}x_2(\sigma)]=\emptyset. $

由文献[21, 引理3.2], 知

$ \mbox{card}\big(\alpha_{n}\backslash\bigcup\limits_{\sigma\in\Lambda_{k}}J_{\sigma}\big)\leq 2\phi_{k}. $

由前面的推测, 可得

(3.2) $ \begin{equation} \mbox{card}\big(\alpha_{n}\cap\bigcup\limits_{\sigma\in\Lambda_{k}}J_{\sigma}\big)\geq(M_{2}+2)\phi_{k}-2\phi_{k}=M_2\phi_k. \end{equation} $

设对某个$ \sigma\in\Lambda_{k} $, 有$ L_\sigma< M_{1} $. 下面推出矛盾. 由(3.1)和(3.2)式, 存在某个$ \omega\in\Lambda_{k} $, 使得$ L_\omega\geq M_{2} $. 定义

$ \begin{eqnarray*} &&\widetilde{\gamma}_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\omega)\in C_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\mu(\cdot|J_{\omega})), \widetilde{\gamma}_{M_{1}+2}(\sigma)\in C_{M_{1}+2}(\mu(\cdot|J_{\sigma})); \\&&\beta=(\alpha_{n}\setminus J_{\omega})\cup\widetilde{\gamma}_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\omega)\cup\{{x_{1}(\omega), x_{2}(\omega)}\}\cup\widetilde{\gamma}_{M_{1}+2}(\sigma). \end{eqnarray*} $

易见$ {\rm card}(\beta)\leq n $, 且

$ \begin{eqnarray*} &&I_{\omega}(\beta, \mu)\leq I_{\omega}(\widetilde{\gamma}_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\omega), \mu)=\mu(J_{\omega})\hat{e}_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\nu_\omega), \\ &&I_{\omega}(\alpha_{n}, \mu)\geq I_{\omega}((\alpha_n\cap J_\omega)\cup\{{x_{1}(\omega), x_{2}(\omega)}\}, \mu)\geq\mu(J_{\omega})\hat{e}_{L_{\omega}+2}(\nu_{\omega}). \end{eqnarray*} $

从而

(3.3) $ \begin{equation} I_{\omega}(\beta, \mu)-I_{\omega}(\alpha_{n}, \mu)\leq\mu(J_{\omega})\big(\hat{e}_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\nu_\omega)-\hat{e}_{L_{\omega}+2}(\nu_\omega)\big). \end{equation} $

由假设$ L_\sigma<M_1 $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&I_{\sigma}(\alpha_n, \mu) \geq I_{\sigma}((\alpha_n\cap J_\sigma)\cup\{{x_{1}(\sigma), x_{2}(\sigma)}\}, \mu)\geq\mu(J_{\sigma})\hat{e}_{M_1+1}(\nu_{\sigma}), \\ &&I_{\sigma}(\beta, \mu)\leq I_{\sigma}(\widetilde{\gamma}_{M_1+2}(\sigma), \mu)=\mu(J_{\sigma})\hat{e}_{M_{1}+2}(\nu_\sigma). \end{eqnarray*} $

由此可得

(3.4) $ \begin{equation} I_{\sigma}(\alpha_{n}, \mu)-I_{\sigma}(\beta, \mu)\geq \mu(J_{\sigma})\big(\hat{e}_{M_{1}+1}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{M_{1}+2}(\nu_\sigma)\big). \end{equation} $

综合(3.3)式, (3.4)式和引理2.4, 推得

(3.5) $ \begin{eqnarray} I_{\omega}(\beta, \mu)-I_{\omega}(\alpha_{n}, \mu) &\leq&\mu(J_{\omega})(\hat{e}_{L_{\omega}-M_{1}-4}(\nu_\omega) -\hat{e}_{L_{\omega}+2}(\nu_\omega))\\ &\leq&\xi \mu(J_{\omega})(\hat{e}_{M_{1}+1}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{M_{1}+2}(\nu_\sigma))\\ &<&\mu(J_{\sigma})(\hat{e}_{M_{1}+1}(\nu_\sigma)-\hat{e}_{M_{1}+2}(\nu_\sigma))\\ &\leq& I_{\sigma}(\alpha_{n}, \mu)-I_{\sigma}(\beta, \mu). \end{eqnarray} $

而对每个$ x\in E\setminus (J_\sigma\cup J_\omega) $, 有$ d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_n) $. 故

$ \sum\limits_{\tau\in\Lambda_k\setminus\{\sigma, \omega\}}I_\tau(\beta, \mu)\leq\sum\limits_{\tau\in\Lambda_k\setminus\{\sigma, \omega\}}I_\tau(\alpha_n, \mu). $

由上式及(3.5)式, 推得$ I(\beta, \mu)<I(\alpha_{n}, \mu) $, 矛盾. 证明完毕.

引理3.2  对任一$ \sigma\in\Lambda_{k} $, 有$ L_\sigma\leq M_{3} $.

证  假设对某个$ \sigma\in\Lambda_{k} $, 有$ L_\sigma> M_{3} $. 下面推出矛盾. 由(3.1)式及假设, 存在某个$ \tau\in\Lambda_{k} $, 使得

(3.6) $ \begin{equation} L_\tau< (4+M_{2})M_{0}. \end{equation} $

我们考虑以下集合:

$ \begin{eqnarray*} &&\widetilde{\gamma}_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\tau)\in C_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\mu(\cdot|J_{\tau})), \\&&\widetilde{\gamma}_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\sigma)\in C_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\mu(\cdot|J_{\sigma})); \\&&\beta=(\alpha_{n}\backslash J_{\sigma})\cup\{{x_{1}(\sigma), x_{2}(\sigma)}\}\cup\widetilde{\gamma}_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\sigma)\cup\widetilde{\gamma}_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\tau). \end{eqnarray*} $

易见$ {\rm card}(\beta)\leq n $. 且有

$ \begin{eqnarray*} &&I_{\sigma}(\beta, \mu)\leq I_{\sigma}(\widetilde{\gamma}_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\sigma), \mu) =\mu(J_{\sigma})\hat{e}_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\nu_\sigma), \\ &&I_{\sigma}(\alpha_{n}, \mu)\geq I_{\sigma}((\alpha_{n}\cap J_\sigma)\cup\{x_1(\sigma), x_2(\sigma)\}, \mu)\geq\mu(J_{\sigma})\hat{e}_{L_{\sigma}+2}(\nu_\sigma). \end{eqnarray*} $

故

(3.7) $ \begin{equation} I_{\sigma}(\beta, \mu)-I_{\sigma}(\alpha_{n}, \mu)\leq\mu(J_{\sigma})(\hat{e}_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\nu_\sigma) -\hat{e}_{L_{\sigma}+2}(\nu_\sigma)). \end{equation} $

由(3.6)式及$ \beta $的定义, 有

$ \begin{eqnarray*} &&I_{\tau}(\beta, \mu)\leq I_{\tau}(\widetilde{\gamma}_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\tau), \mu)=\mu(J_{\tau})\hat{e}_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\nu_\tau), \\ &&I_{\tau}(\alpha_{n}, \mu)\geq I_{\tau}((\alpha_{n}\cap J_\tau)\cup\{x_1(\tau), x_2(\tau)\}, \mu)\geq\mu(J_{\tau})\hat{e}_{M_{0}(M_{2}+4)+2}(\nu_\tau). \end{eqnarray*} $

因而

(3.8) $ \begin{equation} I_{\tau}(\alpha_{n}, \mu)-I_{\tau}(\beta, \mu)\geq \mu(J_{\tau})\big(\hat{e}_{M_{0}(M_{2}+4)+2}(\nu_\tau)-\hat{e}_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\nu_\tau)\big). \end{equation} $

综合(3.7)式, (3.8)式和引理2.5, 推得

(3.9) $ \begin{eqnarray} I_{\sigma}(\beta, \mu)-I_{\sigma}(\alpha_{n}, \mu) &\leq&\mu(J_{\sigma})(\hat{e}_{L_{\sigma}-M_{0}(M_{2}+4)-5}(\nu_\sigma) -\hat{e}_{L_{\sigma}+2}(\nu_\sigma))\\ &<&\mu(J_{\tau})(\hat{e}_{M_{0}(M_{2}+4)+2}(\nu_\tau)-\hat{e}_{M_{0}(M_{2}+4)+3}(\nu_\tau))\\ &\leq& I_{\tau}(\alpha_{n}, \mu)-I_{\tau}(\beta, \mu). \end{eqnarray} $

注意到对任意$ x\in E\setminus (J_\sigma\cup J_\tau) $, 有$ d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_n) $. 由此及(3.9)式, 可得$ I(\beta, \mu)<I(\alpha_{n}, \mu) $, 矛盾. 证明完毕.

以下设$ \alpha_{n}\in C_{n}(\mu) $且$ n $, $ k $满足条件(3.1). 由引理2.2和3.1, 对任一$ \sigma\in\Lambda_{k} $和$ \omega\in\Psi_{|\sigma|, 4} $, 有$ \alpha_{n}\cap J_{\sigma\ast\omega}\neq\emptyset $. 故对每个$ a\in\alpha_{n} $, 有

$ \begin{eqnarray*} S_{a}:=\mbox{card}(\{\sigma\in\Lambda_{k}:P_{a}(\alpha_{n})\cap J_{\sigma}\cap E\neq\emptyset\})\leq 2. \end{eqnarray*} $

对任一$ \rho\in\Lambda_{k} $, 记

$ \begin{eqnarray*} \xi_{1}(\rho):=\min\limits_{b\in\alpha_{n}\cap J_{\rho}}b, \ \ \ \xi_{2}(\rho):=\min\limits_{b\in\alpha_{n}\cap J_{\rho}, b>\xi_{1}(\rho)}b; \\ \zeta_{1}(\rho):=\max\limits_{b\in\alpha_{n}\cap J_{\rho}}b, \ \ \ \zeta_{2}(\rho):=\max\limits_{b\in\alpha_{n}\cap J_{\rho}, b<\zeta_{1}(\rho)}b. \end{eqnarray*} $

如文献[22]所述, 得$ M_{1}\geq 4 $, 且有

(4.1) $ \begin{equation} \xi_{1}(\rho)<\xi_{2}(\rho)<\zeta_{2}(\rho)<\zeta_{1}(\rho). \end{equation} $

根据$ S_{a} $的取值, 只需分别考虑如下两种情形.

情形(ⅰ) $ S_{a}=2 $. 此时, 对$ \sigma, \tau\in\Lambda_{k} $确定的相邻柱集$ J_{\sigma}, J_{\tau} $, 有$ P_{a}(\alpha_{n})\cap E\subset J_{\sigma}\cup J_{\tau} $. $ x_{1}(\rho), x_{2}(\rho) $定义如(2.3)式, 假设

(4.2) $ \begin{equation} x_{2}(\sigma)\leq x_{1}(\tau), \ \ \ c_{\sigma}\leq c_{\tau}. \end{equation} $

由(4.1)式, 易见$ \xi_{2}(\sigma)\leq a\leq\zeta_{2}(\tau) $.

情形(ⅱ) $ S_{a}=1 $. 此时, 对某个$ \sigma\in\Lambda_{k} $, 有$ P_{a}(\alpha_{n})\cap E\subset J_{\sigma} $. 记

$ \omega_{1}(\sigma):=\min\{a, \xi_{2}(\sigma)\}, \ \ \ \omega_{2}(\sigma):=\max\{a, \zeta_{2}(\sigma)\}. $

从而$ \omega_{1}(\sigma)<\omega_{2}(\sigma) $且$ \omega_{1}(\sigma)\leq a\leq\omega_{2}(\sigma) $. 定义

(4.3) $ \begin{eqnarray} G_{a}:=\left\{\begin{array}{ll} { } \bigcup\limits_{b\in\alpha_{n}\cap[\xi_{2}(\sigma), \zeta_{2}(\tau)]}P_{b}(\alpha_{n}), &S_a=2, \\ { } \bigcup\limits_{b\in\alpha_{n}\cap[\omega_{1}(\sigma), \omega_{2}(\sigma)]}P_{b}(\alpha_{n}), &S_a=1. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

设$ g_{\sigma} $为任一$ {{\Bbb R}} ^{1} $上相似比是$ c_{\sigma} $的相似映射. 定义

$ \begin{eqnarray*} &&\lambda_{a}:=\mu(\cdot|G_{a})\circ g_{\sigma}, \;\;K_{a}:=\mbox{supp}(\lambda_{a});\\ &&\beta_a:=g_\sigma^{-1}(\alpha_{n}\cap G_{a}), \;\;H_a:=\mbox{card}(\beta_a). \end{eqnarray*} $

为了证明定理1.1, 我们需要建立更多引理. 第一个引理在文献[21]中已获证. 根据条件(4.2), 对文献[21]中的证明作相应的修改, 得到

引理4.1^{[21, 引理4.3]}  存在常数$ C_{2} $, t$ > 0 $, 使得对任一$ \sigma\in\Omega^{\ast} $, 任意$ \epsilon>0 $, 有

$ \sup\limits_{x\in {\bf R}^{1}}\lambda_{a}(B(x, \epsilon))\leq C_{2}\epsilon^{t}. $

下面的引理与文献[21, 引理4.7]类似. 它用于引理4.3的证明, 为方便读者, 在此给出证明.

引理4.2  设$ S_{a}=2 $. $ \lambda_{a} $如前面定义. 对每个$ k\geq 1 $, 存在依赖于$ q, k, t, C_{2} $的数$ \zeta_{k}> 0 $, 使得

$ \Delta_k(\lambda_{a})\geq\zeta_{k}. $

证  设$ k\geq 1 $及$ \alpha_{k}\in C_{k}(\lambda_{a}) $. 设

$ \begin{eqnarray*} \delta_{k, 1}=(4C_{2}k)^{-\frac{1}{t}}D_{1}^{\frac{1}{t}}, \;\;\delta_{k, 2}=(2C_{2}k)^{-\frac{1}{t}}D_{1}^{\frac{1}{t}}. \end{eqnarray*} $

记$ \delta_{k}=\frac{1}{2}\min\{\delta_{k, 1}, \delta_{k, 2}-\delta_{k, 1}\} $. 定义

$ G_{a, \sigma}:=G_a\cap J_\sigma, \;\;K_{a, \sigma}:=K_a\cap g_\sigma^{-1}(G_{a, \sigma}). $

由文献[21, 引理4.7], 可得

(4.4) $ \begin{equation} \lambda_{a}(K_{a, \sigma}\setminus\bigcup\limits_{b\in \alpha_{k}}B(b, \delta_{k, 2}))\geq D_{1}-\frac{1}{2}D_{1}=\frac{1}{2}D_{1}. \end{equation} $

易见$ |K_{a, \sigma}|\leq 1 $. 设$ l_{k} $ (依赖于$ C_{2}, t $及$ k $)是半径为$ \delta_k $、中心在$ K_{a, \sigma}\setminus\bigcup\limits_{b\in \alpha_{k}}B(b, \delta_{k, 2}) $中且覆盖$ K_{a, \sigma}\setminus\bigcup\limits_{b\in \alpha_{k}}B(b, \delta_{k, 2}) $的闭球个数的最小正整数. 由(4.4)式, 存在一个闭球$ B(z_{0}, \delta_{k}) $满足$ \lambda_{a}(B(z_{0}, \delta_k)\cap K_{a, \sigma})\geq (2l_{k})^{-1}D_{1}. $设$ \gamma=\alpha_{k}\cup \{z_{0}\} $. 则有

$ \begin{eqnarray*} \Delta_k(\lambda_a)&\geq& I(\alpha_{k}, \mu)-I(\gamma, \mu)\\ &\geq&\int_{B(z_{0}, \delta_k)\cap K_{a, \sigma}}(\log d(x, \alpha_{k})-\log d(x, \gamma)){\rm d}\lambda_a(x)\\ &\geq&\lambda_{a}(B(z_{0}, \delta_{k})\cap K_{a, \sigma})(\log \delta_{k, 1}-\log\delta_{k})\\ &\geq&\frac{1}{2l_{k}}D_{1}\log 2=:\zeta_{k}. \end{eqnarray*} $

证明完毕.

下面两个引理对定理的证明非常重要. 由于几何平均误差与$ L_r $ -量子误差的巨大差异, 故文献[21, 引理4.9]的结论及证明方法不适用.

引理4.3  设$ S_{a}=2 $. $ \lambda_{a}, \beta_a $如前面定义. 存在数$ \underline{d}_{H_{a}} $, 使得

(4.5) $ \begin{equation} \lambda_{a}(P_{a}(\beta_a))\geq\underline{d}_{H_{a}}. \end{equation} $

证  由文献[5, 定理2.4], 对$ \mu(\cdot|G_{a}) $, $ \alpha_{n}\cap G_{a} $是一$ H_{a} $ -最优集. 由$ g_{\sigma} $的相似性及文献[5, 引理2.3], 有$ \beta_{a}\in C_{H_{a}}(\lambda_{a}) $. 我们定义$ \gamma=\beta_{a}\setminus\{a\} $. 易见对每个$ c\in\beta_a\setminus\{a\} $及$ x\in P_c(\beta_a) $, 有$ d(x, \beta_a)=d(x, \gamma) $. 为方便, 定义

$ \begin{eqnarray*} &&\chi_{1}=\int_{ P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)}\log d(x, \gamma){\rm d}\lambda_a(x)-\int_{ P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)}\log d(x, a){\rm d}\lambda_a(x), \\ &&\chi_{2}=\int_{ P_{a}(\beta_{a})\setminus B(a, 1)}\log d(x, \gamma){\rm d}\lambda_a(x)-\int_{ P_{a}(\beta_{a})\setminus B(a, 1)}\log d(x, a){\rm d}\lambda_a(x). \end{eqnarray*} $

对每个$ x\in P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1) $, 有$ d(x, a)\leq 1 $. 任选$ b\in\beta_{a}\cap K_{a, \sigma} $及$ x_{0}\in K_{a, \sigma}\cap P_{b}(\beta_{a}) $, 有$ d(x_{0}, b)\leq|K_{a, \sigma}|\leq 1 $. 从而

$ d(a, b)\leq d(a, x_{0})+d(x_{0}, b)\leq 2. $

因此有

$ d(x, \gamma)\leq d(x, b)\leq d(x, a)+d(a, b)\leq 3. $

由此, 可推得

(4.6) $ \begin{eqnarray} \int_{ P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)}\log d(x, \gamma){\rm d}\lambda_a(x) \leq\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\log 3 \leq\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))\log 3. \end{eqnarray} $

应用引理4.1及文献[6, 引理3.6], 可得

(4.7) $ \begin{eqnarray} &&\int_{ P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)}\log d(x, a){\rm d}\lambda_a(x) \\ &\geq&\frac{1}{t} \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\log\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))-\frac{C_2}{t}\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)). \end{eqnarray} $

综合(4.6)和(4.7)式知

$ \begin{eqnarray*} \chi_{1}&\leq& \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))\log 3 -\frac{1}{t} \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\log\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\\ &&+\frac{C_2}{t}\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\\ &\leq&(\log 3+t^{-1}C_2) \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})) -\frac{1}{t}\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\log\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)). \end{eqnarray*} $

考虑函数$ g(x)=-x\log x, \ x>0 $. 当$ x\rightarrow 0 $时, $ g(x)\rightarrow 0 $. 因此存在$ \eta_{H_{a}}>0 $, 有$ 0<x<\eta_{H_{a}} $, 使得$ -x\log x<2^{-1}t\zeta_{H_{a}} $. 分两种情况加以讨论:

情形1: $ \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\geq\eta_{H_a} $. 则有$ \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))\geq\eta_{H_a} $.

情形2: $ \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))<\eta_{H_a} $. 此时, 有

$ \chi_{1}\leq (\log 3+t^{-1}C_{2}) \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))+\frac{\zeta_{H_{a}}}{2}. $

下面建立$ \chi_2 $的上界.

$ \begin{eqnarray*} \chi_{2} &=&\int_{ P_{a}(\beta_{a})\setminus B(a, 1)}\log d(x, b){\rm d}\lambda_a(x)-\int_{ P_{a}(\beta_{a})\setminus B(a, 1)}\log d(x, a){\rm d}\lambda_a(x)\\ &=&\int_{ P_{a}(\beta_{a})\setminus B(a, 1)}\log \frac{d(x, b)}{d(x, a)}{\rm d}\lambda_a(x)\\ &=&\int_{ P_{a}(\beta_{a})\setminus B(a, 1)}\log \frac{d(x, a)+d(a, b)}{d(x, a)}{\rm d}\lambda_a(x)\\ &\leq&\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))\log 3. \end{eqnarray*} $

由引理4.2, 可得

$ \begin{eqnarray*} \zeta_{H_{a}} &\leq&\Delta_{H_a}(\lambda_{a})\leq I(\gamma, \lambda_{a})-I(\beta_{a}, \lambda_{a})\\ & \leq&\int_{P_{b}(\beta_{a})}\log d(x, \gamma){\rm d}\lambda_a(x)-\int_{P_{b}(\beta_{a})}\log d(x, a){\rm d}\lambda_a(x)\\ &=&\chi_{1}+\chi_{2} \leq \big(2\log 3+\frac{C_2}{t}\big) \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))+ \frac{\zeta_{H_{a}}}{2}. \end{eqnarray*} $

则有

$ \lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))\geq 2^{-1}\zeta_{H_{a}}\big(2\log 3+\frac{C_2}{t}\big)^{-1}. $

令

$ \underline{d}_{H_{a}}=\min\big\{\eta_{H_{a}}, 2^{-1}\zeta_{H_{a}}\big(2\log 3+\frac{C_2}{t}\big)^{-1}\big\}. $

则引理结论成立. 证明完毕.

引理4.4  $ \lambda_{a}, \beta_a $如前面定义. 存在依赖于$ C_2, t, q $的数$ d_1 $, 使得

$ \min\limits_{a\in\alpha_n}\lambda_a(P_a(\beta_a))\geq d_1. $

证  如果$ S_a=1 $, 由引理4.1及文献[22, 引理3.2], 存在一个数(仍定义为$ d_{H_a} $), 使得$ \lambda_{a}(P_{a}(\beta_a))\geq\underline{d}_{H_{a}} $. 此不等式及引理4.3意味着(4.5)式对$ S_a=1 $和$ S_a=2 $都成立. 易见所有的数$ d_{H_a} $仅仅依赖于$ C_2, t, H_a, q $. 由引理3.1和3.2, 有$ 2M_{1}-2\leq H_{a}\leq 2M_{3} $. 令

$ d_1:=\min\limits_{2M_1-2\leq H_a\leq2M_3}\underline{d}_{H_a}. $

则引理结论成立. 证明完毕.

设$ X, Y $是两个实值变量. $ X\gtrsim Y(X\lesssim Y) $是指对某个常数$ C>0 $, 使得$ X\geq CY(X\leq CY) $成立.

(1) 设$ a\in\alpha_n $. 若$ S_{a}=1 $, 由(4.3)式, 有

$ 2\underline{p}^2p_\sigma\leq\mu (G_{a})\leq p_{\sigma}; $

否则若$ S_{a}=2 $, 有

$ (1-\underline{p}^2)(p_\sigma+p_\tau)\leq\mu (G_{a})\leq p_{\sigma}+p_\tau\asymp p_\sigma. $

由引理4.4, 可知$ \min\limits_{a\in\alpha_n}\lambda_{a}(P_{a}(\beta_a))\geq d_1 $. 故对每个$ a\in\alpha_n $, 由$ \lambda_{a} $及$ \beta_a $的定义, 可得

$ \begin{eqnarray*} \mu(P_{a}(\alpha_{n}))=\lambda_{a}(P_{a}(\beta_a))\mu (G_{a})\geq d_1\mu (G_{a})\asymp p_{\sigma}. \end{eqnarray*} $

由$ P_{a}(\alpha_{n})\subset G_{a} $, 可得$ \mu(P_{a}(\alpha_{n}))\leq \mu( G_{a})\asymp p_{\sigma} $. 从而$ \mu(P_{a}(\alpha_{n}))\asymp p_{\sigma} $. 另一方面, 由(2.1)式, 有

$ 1=\sum\limits_{\omega\in\Lambda_k}p_\omega\asymp np_{\sigma}. $

即$ p_\sigma\asymp n^{-1} $. 由$ a $的任意性, 可得

$ \min\limits_{a\in\alpha_{n}}\mu(P_{a}(\alpha_{n})), \max\limits_{a\in\alpha_{n}}\mu(P_{a}(\alpha_{n}))\asymp \frac{1}{n}. $

(2) 对任一$ \sigma\in \Lambda_{k} $, 设$ \xi_{2}(\sigma), \zeta_{2}(\sigma) $如(4.1)式中定义. 定义

$ \gamma_{\sigma}:=\alpha_{n}\cap[\xi_{2}(\sigma), \zeta_{2}(\sigma)], \;\;T_{\sigma}:=\mbox{card}(\gamma_{\sigma}). $

由引理3.1和3.2, 有$ 2\leq M_{1}-2\leq T_{\sigma}\leq M_{3} $.

设$ a $是$ \gamma_{\sigma} $中的任意一点及$ \Gamma_{a}\in C_{T_{\sigma}+1}(\mu(\cdot\mid G_{a})) $. 定义

$ \beta:=(\alpha_{n}\setminus \gamma_{\sigma})\cup \Gamma_{a}. $

易见

$ \begin{eqnarray*} &&S_{a}=1, \;\; G_{a}=\bigcup\limits_{b\in \gamma_{\sigma}}P_{b}(\alpha_{n}), \;\;\mu(G_{a})\asymp p_{\sigma}.\\ &&{\rm card} (\beta)\leq n+1; \;\;d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_{n}), \;\;x\in E\setminus G_{a}. \end{eqnarray*} $

注意到$ \mu(G_a)\asymp p_\sigma\asymp n^{-1} $. 由引理4.2, 可推得

(4.8) $ \begin{eqnarray} \Delta_{n}(\mu)&\geq& \int_{ G_{a}}\log d(x, \alpha_{n}){\rm d}\mu(x)-\int_{ G_{a}}\log d(x, \beta){\rm d}\mu(x)\\ &\geq& \int_{ G_{a}}\log d(x, \gamma_{\sigma}){\rm d}\mu(x)-\int_{ G_{a}}\log d(x, \Gamma_{a}){\rm d}\mu(x)\\ &\gtrsim& p_{\sigma}(\hat{e}_{T_{\sigma}}(\lambda_{a})-\hat{e}_{T_{\sigma}+1}(\lambda_{a}))\\ &\geq& p_{\sigma}\min\limits_{ M_{1}-2\leq T_{\sigma} \leq M_{3}}\zeta_{T_{\sigma}}\\ &\gtrsim& \frac{1}{n}. \end{eqnarray} $

设$ k $是满足$ (M_{2}+2)\phi_{k}\leq n+1<(M_{2}+2)\phi_{k+1} $的正整数及$ \alpha_{n+1}\in C_{n+1}(\mu) $. 设$ \sigma $是$ \Lambda_{k} $中的任一词且$ G_{a}, \gamma_{\sigma} $定义如前, 用$ \alpha_{n+1} $代替$ \alpha_{n} $. 令$ \widetilde{\Gamma_{a}}\in C_{T_{\sigma}-1}(\mu(\cdot|G_{a})) $. 定义

$ \beta:=(\alpha_{n+1}\setminus \gamma_{\sigma})\cup \widetilde{\Gamma_{a}}. $

易见$ {\rm card}(\beta)\leq n $. 对每个$ x\in E\setminus G_{a} $, 有$ d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_{n+1}) $.

显然, $ \mbox{card} (\beta\cap J_{\sigma})\geq M_{1}-1>2 $. 由(2.6)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \label{z2} \Delta_{n}(\mu)&\leq &\int_{ G_{a}}\log d(x, \beta){\rm d}\mu(x)-\int_{ G_{a}}\log d(x, \alpha_{n+1}){\rm d}\mu(x)\nonumber\\ &\leq& \int_{ G_{a}}\log d(x, \widetilde{\Gamma_{a}}){\rm d}\mu(x)-\int_{ G_{a}}\log d(x, \gamma_\sigma){\rm d}\mu(x)\nonumber\\ &=&\mu(G_a)(\hat{e}_{T_{\sigma}-1}(\lambda_{a})-\hat{e}_{T_{\sigma}}(\lambda_{a})).\nonumber \end{eqnarray*} $

因$ T_{\sigma}\leq M_{3} $, 由引理4.1和文献[6, 引理5.8]知括号里面的差有正的常数上界, 故

(4.9) $ \begin{equation} \Delta_{n}(\mu)\lesssim \frac{1}{n}. \end{equation} $

结合(4.8)和(4.9)式, 可得$ \Delta_{n}(\mu)\asymp n^{-1} $.

(3) 设$ a\in C_n(\mu) $. 我们先证明对每个$ a\in C_n(\mu) $, 存在一个依赖于$ C_2, t, H_a, q $的数$ s_{H_a} $, 使得

(4.10) $ \begin{equation} \min\limits_{b\in\beta_a\setminus\{a\}}d(a, b)\geq s_{H_a}. \end{equation} $

分下列两种情形讨论:

情形(a): $ S_{a}=2 $. 此时, (4.10)式可由引理4.1及文献[22, 引理3.4]得到.

情形(b): $ S_{a}=1 $. 对某个$ \sigma\in\Lambda_k $, 有$ P_{a}(\alpha_{n})\cap E \subset J_{\sigma} $. 此时有两种子情形:

(b1) $ a\in(\xi_{2}(\sigma), \zeta_{2}(\sigma)) $. 这种情况下, 设$ G_a $为(4.3)式所定义的第二种形式. 我们考虑$ \beta_a $和测度$ \lambda_a $. (4.10) 式可由引理4.1和文献[22, 引理3.4]所得.

(b2) $ a\in\{\xi_1(\sigma), \zeta_{1}(\sigma), \xi_2(\sigma), \zeta_{2}(\sigma)\} $. 不失一般性, 假设$ a\leq\zeta_1 $. 考虑左侧的邻柱$ J_{\tau}(\tau\in \Lambda_{k}) $, 设$ G_a $为(4.3)式所定义的第一种形式. 与情形(a)类似, 可得(4.10)式.

令$ { } d_2:=3^{-1}\min\limits_{2M_1-2\leq H_a \leq 2M_3}s_{H_a} $. 由(4.10)式, $ g_\sigma $的定义及相似性, 可得

(4.11) $ \begin{equation} \min\limits_{b\in\alpha_n\cap G_a\setminus\{a\}}d(a, b)\geq 3d_2|E\cap P_a(\alpha_n)|. \end{equation} $

由上面情形中$ G_a $的定义, 可知对每个$ c\in \alpha_n\setminus G_a $, 有

$ d(a, c)>\min\limits_{b\in\alpha_n\cap G_a\setminus\{a\}}d(a, b), $

由此及(4.11)式, 即得

$ B(a, d_2|E\cap P_a(\alpha_n)|)\subset P_a(\alpha_n). $

定理1.1证明完毕.