在概率测度的量子问题研究中, 人们关心在$L_r$度量下用离散的概率测度逼近概率测度. 在过去的三十年中, 这个问题已经引起了数学家等极大的兴趣. 该问题在工程技术中有深刻的背景(参考文献[1, 9]), 而测度的量子理论的严格数学基础可参考文献[5, 6]. 更多相关结果见文献[5, 8, 11, 13, 15].

设$\nu$是${{\Bbb R}} ^{q}$上的一个Borel概率测度, $d$是${{\Bbb R}} ^{q}$上的欧氏度量. 记

对$r\in(0, \infty)$, $\nu$的$r$阶$n$ -级量子误差可定义为

其中$d(x, \alpha):=\inf\limits_{a\in \alpha}d(x, a), x\in{{\Bbb R}} ^{q}$. 记$d(A, B):=\inf\limits_{x\in A, y\in B }d(x, y), A, B\subset {{\Bbb R}} ^{q}$. 文献[5]中有量子误差的多种等价定义和相关解释. 通常也称$e_{n, 0}(\nu)$为$\nu$的$n$ -级几何平均误差.

由文献[6]可知, 当$r$递减趋于0时，$e_{n, r}(\nu)\to e_{n, 0}(\nu)$, 所以关于几何平均误差的量子问题是$L_r$ -量子问题当$r$趋于$0$时的极限情形. 为方便, 将$e_{n, 0}(\nu)$简记为$e_n(\nu)$.

当(1.1)式的下确界在$\alpha\in {\cal D}_{n}$取得时，称$\alpha$为$\nu$的一个$r$阶$n$ -最优集. 如文献[5, 6]一样, 将$\nu$的所有$r=0$的$n$ -最优集组成的集簇记为$C_{n}(\nu)$. 根据文献[6, 定理2.5], 当满足条件$\int_{0}^{1}s^{-1}\sup\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^{q}}\nu(B(x, s)){\rm d}s<\infty$时, $C_{n}(\nu)$非空. 特别地, 如果对于任意$\epsilon>0$, 总存在常数$C, t$, 有

则$C_{n}(\nu)$非空.

为了方便, 我们考虑下面两个量

关于几何平均误差的相关结论见文献[6, 16, 18].

设$\alpha$是${{\Bbb R}} ^q$上的非空有限集. $\alpha$对应的一个Voronoi分划(VP)$\{P_a(\alpha)\}_{a\in\alpha}$是指${{\Bbb R}} ^q$的一个满足下列条件的Borel分划

Voronoi分划在量子误差的估计中起着非常重要的作用. 设$\nu$是${{\Bbb R}} ^q$上的一个Borel概率测度, 且$\alpha_n\in C_n(\nu)$. 下文中记${\cal V}(\nu, \alpha_n)$为$\alpha_n$对应的所有Voronoi分划的集合. 将${\cal V}(\nu, \alpha_n)$中的每个元素称为$\nu$的(零阶)最优Voronoi分划.

1979年, Gersho提出下述猜测: 对于绝对连续的测度$\nu, \alpha_n\in C_{n, r}(\nu)$和任一属于${\cal V}(\nu, \alpha_n)$的$\{P_a(\alpha_n)\}_{a\in\alpha_n}$, 下列形式成立

这里$a_n\sim b_n$是指$a_n/b_n\to 1$($n\to\infty$). 这个猜测指出一个最优集"应该"体现某种均匀性. 因此, 我们很自然地将这个猜测延伸到所有Borel概率测度. 虽然一般情形远未解决, 但在文献[8]中, Graf, Luschgy和Pagés取得了突破性进展. 对一大类绝对连续的测度$\nu$, 他们证明了(1.2)的下述弱形式

其中$a_{n}\asymp b_{n}$指存在常数$c$, 使得对所有$n\geq 1$, $cb_{n}\leq a_{n}\leq c^{-1}b_{n}$成立. 对于一般的概率测度, 即便研究上述弱形式(1.3)也是非常难的一件事. 文献[19, 21]包含了一些进展.

令$r\to 0$, 可得到弱形式(1.3)的极限形式

关于这方面的研究可查看文献[20, 22]. 本文对${{\Bbb R}} ^1$上的莫朗测度证明了弱形式(1.4).

对所有$k\geq 1$, 设$(n_{k})_{k=1}^{\infty}$是一列正整数且$n_{k}\geq 2$. 记$\theta$是空词. 定义

对$\{1, \ldots, n_{k+1}\}$中的$\sigma$和$j$, 记$\sigma$和$j$的连接为$\sigma\ast j$.

设$c_{k, j}\in(0, 1), 1\leq j\leq n_{k}, k\geq 1$, 且

定义1.1  设$J$是一个非空有界闭区间, 令$J_{\theta}:=J$. 集合$A$的直径记为$|A|$.

(ⅰ) 对于$\sigma\in\Omega_{1}$, 设$J_{\sigma}$是$J_{\theta}$的不重叠的子集, $J_{\sigma}$与$J_{\theta}$几何相似且$|J_\sigma|/|J_\theta|=c_{1, \sigma}$.

(ⅱ) 假设$J_{\sigma}$由$\sigma\in\Omega_{k}$确定. 设$J_{\sigma\ast j}(1\leq j\leq n_{k+1})$是$J_{\sigma}$的不重叠的子集, 与$J_{\sigma}$几何相似且

依上述程序, 由归纳法可得$J_{\sigma}(\sigma\in\Omega^{\ast})$. 令

称$E$为一个莫朗集.

不失一般性, 假设$|J|=1$. 记$|\sigma|$为词$\sigma\in\Omega^*$的长度, 则

莫朗集和莫朗测度是分形几何中重要研究对象^{[2, 4, 10, 14, 17]}.

设$(p_{k, j})_{1}^{n_{k}}, k\geq 1$是一列概率向量, 记

由Kolmogorov相容性定理, 存在$\Omega_{\infty}$上的一Borel概率测度$\nu$, 使得对于$\Omega^{\ast}$中的$\sigma=(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{|\sigma|})$, 有

此处$[\sigma]=\{\tau\in\Omega_{\infty}:\tau|_{|\sigma|}=\sigma\}$. 设$\pi:\Omega_\infty\rightarrow E$满足

我们定义$\mu:=\nu\circ\pi^{-1}$. 则$\mu$是$E$支撑的一个Borel概率测度. 由$E$的结构, $\Omega_\infty$中至多存在$E$的可数个带有两个"位置码"的点. 由于$\nu$是非原子测度, 我们有

我们称$\mu$是$E$上的莫朗测度.

对于$n\geq 1$, 设$\alpha_n\in C_n(\mu)$和$\{P_{a}(\alpha_{n})\}_{a\in\alpha_{n}}\in {\cal V}(\mu, \alpha_n)$. 我们记

本文的主要结果是

定理1.1  设$E$和$\mu$如(1.6)和(1.8)式所定义的. 假设满足条件(1.5)和(1.7), 则有

而且, 对于任意$\alpha_n\in C_n(\mu)$及$a\in\alpha_{n}$, $\{P_{a}(\alpha_{n})\}$包含一个以$a$为中心, 半径为$d_{2}|P_{a}(\alpha_{n})\cap E|$的闭区间, 其中$d_{2}$是一个常数.

设$\sigma=(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{k})\in\Omega_{k}$及$1\leq h\leq k$, 定义

对$\sigma, \tau\in\Omega^{\ast}$满足$|\sigma|\leq|\tau|$且$\sigma=\tau|_{|\sigma|}$, 记$\sigma\prec\tau$. 显然$\prec$是$\Omega^{\ast}$上的一个偏序. 定义

对于任意$\sigma, \tau\in\Lambda_{k}$, 有

由(1.7)式和文献[20, 引理1]中的论证, 可得存在一个整数$M_{0}\geq 2$, 使得

对每个$\sigma\in\Omega^{\ast}$, 设$g_{\sigma}$为任一${{\Bbb R}} ^{1}$上相似比是$c_{\sigma}$的相似映射. 对空词$\theta$, $g_{\theta}$是恒等映射. 记$\mu(\cdot|J_{\sigma})$为$\mu$在$J_{\sigma}$上的条件测度. 对${{\Bbb R}} ^{1}$上的每个Borel集$B$, 定义

定义

记$K_{\sigma}$为$\nu_{\sigma}$的支撑, 则有

设$h\geq 1$, $\sigma\in\Omega^*$, 对$\omega\in\Omega_{|\sigma|+h}^{\ast}$有$\sigma\prec\omega$. 定义

引理2.1  存在常数$C_{1}, t> 0$, 使得对于任意$\epsilon>0$, $\sigma\in\Omega^*$, $\tau\in\Omega_{|\sigma|+6}^{\ast}$及$\sigma\prec\tau$, 有

证  设$\tau\in\Omega_{|\sigma|+6}^*$及$\sigma\prec\tau$. 可得$\mu(J_{\sigma}\setminus J_\tau)\geq p_{\sigma}(1-\overline{p}^{6})$. 由文献[21, 引理2.3], 存在常数$C, t$, 对于任意$x\in{{\Bbb R}} ^1$及$\epsilon>0$使得$\nu_{\sigma}(B(x, \epsilon))\leq C\epsilon^{t}$. 所以

令$C_1:=C(1-\overline{p}^{6})^{-1}$, 即得引理证明. 证明完毕.

设$\sigma\in\Omega^{\ast}$及$\emptyset\neq\beta\subset{{\Bbb R}} ^1$, 定义

设$l\geq 1$及$L\geq 1$, 定义

对于任一$\sigma\in\Omega^{\ast}$, $J_{\sigma}$是一个有界闭区间. 定义

引理2.2  设$L=2([(\overline{c}/\underline{c})^{6}]+1)$及$\alpha_{n}\in C_{n}(\mu)$. 存在最小的整数$M_1>L+2$使得当$L_\sigma:={\rm card}(\alpha_n\cap J_\sigma)\geq M_1$时, 对$\sigma\in\Omega^*$及任一$\omega\in\Psi_{|\sigma|, 4}$, 我们有$\alpha_{n}\cap J_{\sigma\ast\omega}\neq\emptyset$.

证  设$b_1:=\log3+2C_1^{1/2}t^{-1}$及最小的整数$M_1>L+2$, 使得对于每个$x\geq M_1$, 有

假设${\rm card}(\alpha_n\cap J_\sigma)>M_1$及对某个$\omega\in\Psi_{|\sigma|, 4}$, $\alpha_{n}\cap J_{\sigma\ast\omega}=\emptyset$. 下面推出矛盾. 由假设可得存在$\tau\in\Psi_{|\sigma|, 6}$, 使得$d(J_{\sigma\ast\tau}, \alpha_{n})\geq \underline{c}^{6}c_{\sigma}$. 从而

设$\gamma_{L}(\sigma\ast\tau)$是均匀分布在$J_{\sigma\ast\tau}$里的$L$个点的集合. 定义

则有下列推断

由此及(2.5)式, 可得

另一方面, 由引理2.1和文献[6, 引理5.8]证明过程可推得

所以当$L_\sigma\geq M_1$, 由(2.4)和(2.6)式可推断

且对于每个$x\in E\setminus J_\sigma$, 我们有$d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_n)$. 从而

结合(2.7)式, 推得$I(\mu, \alpha_n)>I(\mu, \beta)$. 这与$\alpha_n$的最优性矛盾. 证明完毕.

引理2.3^{[22, 引理3.1]}  设$\nu$为${{\Bbb R}} ^{q}$上具紧支撑$K_{\nu}$的Borel概率测度. 对于任意$\epsilon>0$, 设$K_{\nu}\leq 1$且$\sup\limits_{x\in {{\Bbb R}} ^{1}}\nu(B(x, \epsilon))\leq C\epsilon^{t}$, 则对$k\geq 2$, 存在依赖于$C, t, k, q$的数$\lambda_{k}>0$, 使得

引理2.4  设$\xi=\underline{p}/\overline{p}$. 存在整数$M_{2}>M_{1}+4$, 使得对所有$l\geq M_{2}$及$\sigma, \tau\in\Omega^{\ast}$, 有

证  由(2.6)式, 对每个$n\geq 1$, 有

令$M_2:=(M_{1}+6)^{2}b_1^{2}([\xi^{-2}\lambda_{M_{1}+2}^{-2}]+1)$. 对每个$l\geq M_2$, 可得

证明完毕.

引理2.5  设$M_0$由(2.2)式定义. 存在整数$M_{3}>M_{0}(M_{2}+2)+7$, 使得当$l\geq M_{3}$及$\sigma, \tau\in\Omega^{\ast}$, 下述估计成立

证  引理2.4同样的方法即可证得此结论.

设$M_{i}, i=1, 2, 3$由第2章定义. 对于每个$n\geq(M_{2}+2)\phi_{1}$, 存在唯一正整数$k$, 使得

下文总假设$n\geq(M_{2}+2)\phi_{1}$及$k$是满足(3.1)式的正整数. $\alpha_{n}\in C_{n}(\mu)$及$L_\sigma$如引理2.2定义.

引理3.1  对任一$\sigma\in\Lambda_{k}$, 有$L_\sigma\geq M_{1}$.

证  易见对$\sigma, \tau\in\Lambda_k$, 在$\alpha_n$中至多有两个点位于相邻区间$J_\sigma$和$J_\tau$之间. 且

由文献[21, 引理3.2], 知

由前面的推测, 可得

设对某个$\sigma\in\Lambda_{k}$, 有$L_\sigma< M_{1}$. 下面推出矛盾. 由(3.1)和(3.2)式, 存在某个$\omega\in\Lambda_{k}$, 使得$L_\omega\geq M_{2}$. 定义

易见${\rm card}(\beta)\leq n$, 且

从而

由假设$L_\sigma<M_1$, 有

由此可得

综合(3.3)式, (3.4)式和引理2.4, 推得

而对每个$x\in E\setminus (J_\sigma\cup J_\omega)$, 有$d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_n)$. 故

由上式及(3.5)式, 推得$I(\beta, \mu)<I(\alpha_{n}, \mu)$, 矛盾. 证明完毕.

引理3.2  对任一$\sigma\in\Lambda_{k}$, 有$L_\sigma\leq M_{3}$.

证  假设对某个$\sigma\in\Lambda_{k}$, 有$L_\sigma> M_{3}$. 下面推出矛盾. 由(3.1)式及假设, 存在某个$\tau\in\Lambda_{k}$, 使得

我们考虑以下集合:

易见${\rm card}(\beta)\leq n$. 且有

故

由(3.6)式及$\beta$的定义, 有

因而

综合(3.7)式, (3.8)式和引理2.5, 推得

注意到对任意$x\in E\setminus (J_\sigma\cup J_\tau)$, 有$d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_n)$. 由此及(3.9)式, 可得$I(\beta, \mu)<I(\alpha_{n}, \mu)$, 矛盾. 证明完毕.

以下设$\alpha_{n}\in C_{n}(\mu)$且$n$, $k$满足条件(3.1). 由引理2.2和3.1, 对任一$\sigma\in\Lambda_{k}$和$\omega\in\Psi_{|\sigma|, 4}$, 有$\alpha_{n}\cap J_{\sigma\ast\omega}\neq\emptyset$. 故对每个$a\in\alpha_{n}$, 有

对任一$\rho\in\Lambda_{k}$, 记

如文献[22]所述, 得$M_{1}\geq 4$, 且有

根据$S_{a}$的取值, 只需分别考虑如下两种情形.

情形(ⅰ) $S_{a}=2$. 此时, 对$\sigma, \tau\in\Lambda_{k}$确定的相邻柱集$J_{\sigma}, J_{\tau}$, 有$P_{a}(\alpha_{n})\cap E\subset J_{\sigma}\cup J_{\tau}$. $x_{1}(\rho), x_{2}(\rho)$定义如(2.3)式, 假设

由(4.1)式, 易见$\xi_{2}(\sigma)\leq a\leq\zeta_{2}(\tau)$.

情形(ⅱ) $S_{a}=1$. 此时, 对某个$\sigma\in\Lambda_{k}$, 有$P_{a}(\alpha_{n})\cap E\subset J_{\sigma}$. 记

从而$\omega_{1}(\sigma)<\omega_{2}(\sigma)$且$\omega_{1}(\sigma)\leq a\leq\omega_{2}(\sigma)$. 定义

设$g_{\sigma}$为任一${{\Bbb R}} ^{1}$上相似比是$c_{\sigma}$的相似映射. 定义

为了证明定理1.1, 我们需要建立更多引理. 第一个引理在文献[21]中已获证. 根据条件(4.2), 对文献[21]中的证明作相应的修改, 得到

引理4.1^{[21, 引理4.3]}  存在常数$C_{2}$, t$> 0$, 使得对任一$\sigma\in\Omega^{\ast}$, 任意$\epsilon>0$, 有

下面的引理与文献[21, 引理4.7]类似. 它用于引理4.3的证明, 为方便读者, 在此给出证明.

引理4.2  设$S_{a}=2$. $\lambda_{a}$如前面定义. 对每个$k\geq 1$, 存在依赖于$q, k, t, C_{2}$的数$\zeta_{k}> 0$, 使得

证  设$k\geq 1$及$\alpha_{k}\in C_{k}(\lambda_{a})$. 设

记$\delta_{k}=\frac{1}{2}\min\{\delta_{k, 1}, \delta_{k, 2}-\delta_{k, 1}\}$. 定义

由文献[21, 引理4.7], 可得

易见$|K_{a, \sigma}|\leq 1$. 设$l_{k}$ (依赖于$C_{2}, t$及$k$)是半径为$\delta_k$、中心在$K_{a, \sigma}\setminus\bigcup\limits_{b\in \alpha_{k}}B(b, \delta_{k, 2})$中且覆盖$K_{a, \sigma}\setminus\bigcup\limits_{b\in \alpha_{k}}B(b, \delta_{k, 2})$的闭球个数的最小正整数. 由(4.4)式, 存在一个闭球$B(z_{0}, \delta_{k})$满足$\lambda_{a}(B(z_{0}, \delta_k)\cap K_{a, \sigma})\geq (2l_{k})^{-1}D_{1}.$设$\gamma=\alpha_{k}\cup \{z_{0}\}$. 则有

证明完毕.

下面两个引理对定理的证明非常重要. 由于几何平均误差与$L_r$ -量子误差的巨大差异, 故文献[21, 引理4.9]的结论及证明方法不适用.

引理4.3  设$S_{a}=2$. $\lambda_{a}, \beta_a$如前面定义. 存在数$\underline{d}_{H_{a}}$, 使得

证  由文献[5, 定理2.4], 对$\mu(\cdot|G_{a})$, $\alpha_{n}\cap G_{a}$是一$H_{a}$ -最优集. 由$g_{\sigma}$的相似性及文献[5, 引理2.3], 有$\beta_{a}\in C_{H_{a}}(\lambda_{a})$. 我们定义$\gamma=\beta_{a}\setminus\{a\}$. 易见对每个$c\in\beta_a\setminus\{a\}$及$x\in P_c(\beta_a)$, 有$d(x, \beta_a)=d(x, \gamma)$. 为方便, 定义

对每个$x\in P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1)$, 有$d(x, a)\leq 1$. 任选$b\in\beta_{a}\cap K_{a, \sigma}$及$x_{0}\in K_{a, \sigma}\cap P_{b}(\beta_{a})$, 有$d(x_{0}, b)\leq|K_{a, \sigma}|\leq 1$. 从而

因此有

由此, 可推得

应用引理4.1及文献[6, 引理3.6], 可得

综合(4.6)和(4.7)式知

考虑函数$g(x)=-x\log x, \ x>0$. 当$x\rightarrow 0$时, $g(x)\rightarrow 0$. 因此存在$\eta_{H_{a}}>0$, 有$0<x<\eta_{H_{a}}$, 使得$-x\log x<2^{-1}t\zeta_{H_{a}}$. 分两种情况加以讨论:

情形1: $\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))\geq\eta_{H_a}$. 则有$\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a}))\geq\eta_{H_a}$.

情形2: $\lambda_{a}(P_{a}(\beta_{a})\cap B(a, 1))<\eta_{H_a}$. 此时, 有

下面建立$\chi_2$的上界.

由引理4.2, 可得

则有

令

则引理结论成立. 证明完毕.

引理4.4  $\lambda_{a}, \beta_a$如前面定义. 存在依赖于$C_2, t, q$的数$d_1$, 使得

证  如果$S_a=1$, 由引理4.1及文献[22, 引理3.2], 存在一个数(仍定义为$d_{H_a}$), 使得$\lambda_{a}(P_{a}(\beta_a))\geq\underline{d}_{H_{a}}$. 此不等式及引理4.3意味着(4.5)式对$S_a=1$和$S_a=2$都成立. 易见所有的数$d_{H_a}$仅仅依赖于$C_2, t, H_a, q$. 由引理3.1和3.2, 有$2M_{1}-2\leq H_{a}\leq 2M_{3}$. 令

则引理结论成立. 证明完毕.

设$X, Y$是两个实值变量. $X\gtrsim Y(X\lesssim Y)$是指对某个常数$C>0$, 使得$X\geq CY(X\leq CY)$成立.

(1) 设$a\in\alpha_n$. 若$S_{a}=1$, 由(4.3)式, 有

否则若$S_{a}=2$, 有

由引理4.4, 可知$\min\limits_{a\in\alpha_n}\lambda_{a}(P_{a}(\beta_a))\geq d_1$. 故对每个$a\in\alpha_n$, 由$\lambda_{a}$及$\beta_a$的定义, 可得

由$P_{a}(\alpha_{n})\subset G_{a}$, 可得$\mu(P_{a}(\alpha_{n}))\leq \mu( G_{a})\asymp p_{\sigma}$. 从而$\mu(P_{a}(\alpha_{n}))\asymp p_{\sigma}$. 另一方面, 由(2.1)式, 有

即$p_\sigma\asymp n^{-1}$. 由$a$的任意性, 可得

(2) 对任一$\sigma\in \Lambda_{k}$, 设$\xi_{2}(\sigma), \zeta_{2}(\sigma)$如(4.1)式中定义. 定义

由引理3.1和3.2, 有$2\leq M_{1}-2\leq T_{\sigma}\leq M_{3}$.

设$a$是$\gamma_{\sigma}$中的任意一点及$\Gamma_{a}\in C_{T_{\sigma}+1}(\mu(\cdot\mid G_{a}))$. 定义

易见

注意到$\mu(G_a)\asymp p_\sigma\asymp n^{-1}$. 由引理4.2, 可推得

设$k$是满足$(M_{2}+2)\phi_{k}\leq n+1<(M_{2}+2)\phi_{k+1}$的正整数及$\alpha_{n+1}\in C_{n+1}(\mu)$. 设$\sigma$是$\Lambda_{k}$中的任一词且$G_{a}, \gamma_{\sigma}$定义如前, 用$\alpha_{n+1}$代替$\alpha_{n}$. 令$\widetilde{\Gamma_{a}}\in C_{T_{\sigma}-1}(\mu(\cdot|G_{a}))$. 定义

易见${\rm card}(\beta)\leq n$. 对每个$x\in E\setminus G_{a}$, 有$d(x, \beta)\leq d(x, \alpha_{n+1})$.

显然, $\mbox{card} (\beta\cap J_{\sigma})\geq M_{1}-1>2$. 由(2.6)式, 可得

因$T_{\sigma}\leq M_{3}$, 由引理4.1和文献[6, 引理5.8]知括号里面的差有正的常数上界, 故

结合(4.8)和(4.9)式, 可得$\Delta_{n}(\mu)\asymp n^{-1}$.

(3) 设$a\in C_n(\mu)$. 我们先证明对每个$a\in C_n(\mu)$, 存在一个依赖于$C_2, t, H_a, q$的数$s_{H_a}$, 使得

分下列两种情形讨论:

情形(a): $S_{a}=2$. 此时, (4.10)式可由引理4.1及文献[22, 引理3.4]得到.

情形(b): $S_{a}=1$. 对某个$\sigma\in\Lambda_k$, 有$P_{a}(\alpha_{n})\cap E \subset J_{\sigma}$. 此时有两种子情形:

(b1) $a\in(\xi_{2}(\sigma), \zeta_{2}(\sigma))$. 这种情况下, 设$G_a$为(4.3)式所定义的第二种形式. 我们考虑$\beta_a$和测度$\lambda_a$. (4.10) 式可由引理4.1和文献[22, 引理3.4]所得.

(b2) $a\in\{\xi_1(\sigma), \zeta_{1}(\sigma), \xi_2(\sigma), \zeta_{2}(\sigma)\}$. 不失一般性, 假设$a\leq\zeta_1$. 考虑左侧的邻柱$J_{\tau}(\tau\in \Lambda_{k})$, 设$G_a$为(4.3)式所定义的第一种形式. 与情形(a)类似, 可得(4.10)式.

令${ } d_2:=3^{-1}\min\limits_{2M_1-2\leq H_a \leq 2M_3}s_{H_a}$. 由(4.10)式, $g_\sigma$的定义及相似性, 可得

由上面情形中$G_a$的定义, 可知对每个$c\in \alpha_n\setminus G_a$, 有

由此及(4.11)式, 即得

定理1.1证明完毕.