近年来, 弱函数空间和鞅空间在调和分析和鞅理论中受到越来越多的关注. 焦、刘、杨等^[1-5]介绍了弱Orlicz鞅空间的基本性质及其应用. 李和刘^{[6, 7]}建立了$B$值拟鞅空间和弱Orlicz鞅空间的强原子分解定理和弱原子分解定理. 特别地, 作为一个应用, 刘证明了弱Orlicz鞅空间次线性算子的有界性. 郝^[8]给出了可变指数可预测鞅Hardy空间的原子分解. 当随机基是正规时, 得到具有可变指数的可预测鞅Hardy空间上的分数积分的有界性. 马和刘^[9]研究了$B$值弱Hardy鞅空间中的一些原子分解定理及其对偶性. 杨^[10]讨论了一些Musielak-Orlicz型向量值弱鞅Hardy空间的原子分解, 得到了次线性算子有界的充分条件, 并利用其充分条件, 推导出一些重要的鞅不等式. 于^[11]为鞅空间的弱Hardy-Morrey空间建立了混合型原子分解定理. 作为应用, 给出了弱Hardy-Morrey空间上次线性算子有界的充分条件. 特别是, 一些经典的鞅不等式, 包括伯克霍尔德不等式, 被扩展到弱Morrey空间拟范数的情况. 任和郭^[12]讨论了Hardy-Lorentz空间的一些原子分解定理, 证明了鞅Hardy-Lorentz空间的一些插值定理. 张和钟^[13]研究了一些弱Orlicz-Lorentz鞅空间的弱原子分解, 得到了次线性算子的有界性. 任^[14]建立了三种由凹函数生成的弱Orlicz鞅空间的弱原子分解. 给出了一个次线性算子在弱Orlicz鞅空间上有界的充分条件, 证明了一些弱型鞅不等式, 并证明了弱Orlicz鞅空间的Marcinkiewicz型插值定理.

受到文献[6, 7, 10, 14] 的启发, 该文考虑了弱Orlicz $\alpha$拟鞅空间的强原子分解, 得到了一些弱Orlicz拟鞅空间的原子分解定理. 借助原子分解这一工具, 证明了弱Orlicz拟鞅空间的次线性算子有界性.

在整篇文章中, 该文用$Z$表示整数集, 用字母$C$表示正常数, 使其可以在不同的地方表示不同的值.

设$(\Omega, \Sigma, P)$是一个完备的概率空间, $(\Sigma_{n})_{n\geq0}$是$\Sigma$的一个非降子$\sigma$ - 代数的序列, $(B, \|\cdot\|)$表示范数为$\|\cdot\|$的Banach空间. $\Sigma_{n}$的期望和条件期望分别用$E$和$E_{n}$表示.

假设$(\alpha\geq 1)$, 称$f=(f_{n})_{n\geq 0}$为$\alpha$拟鞅, 若${\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\| {E({f_{n + 1}}|{\Sigma_n}) - {f_n}} \right\|} _\alpha} < \infty$.

对于一个$B$值$\alpha$拟鞅$f=(f_{n})_{n\geq0}$, $1\leq\alpha<\infty$, $0<p<\infty$, 定义其极大函数, $p$ -均方函数和$p$ -条件均方函数如下

其中$df_m$为鞅差.

设$\Phi$是$[0, \infty)$上的非负递增凸函数, 满足$\Phi(0)=0$, $\Phi(t)>0$, $\forall t>0$, 并且$\lim\limits_{t\rightarrow \infty} \Phi(t)=\infty$, $\varphi(t)$是$\Phi$的右连续导函数. 函数$\Phi$有以下两个常用的指标

称$\Phi$满足$\Delta_2$的条件, 若对于任意的$a>1$, 存在一个常数$C_a> 0$使得$\Phi(at)\leq C_a\Phi(t), \ \forall t> 0$. 这个条件等价于$p_\Phi<\infty$. 如果$q_\Phi> 1$, 则$\Phi$被称为严格凸的. 特别地, 若$0 < q_\Phi \leq p_\Phi<\infty$, 函数$\frac{\Phi(t)}{t^{q_\Phi}}$在$(0, \infty)$上是单调递增的, 而函数$\frac{\Phi (t)}{t^{p_\Phi}}$在$(0, \infty)$上是单调递减的. 空间$wL_{\Phi}$是所有$\| \cdot \|_{wL_{\Phi}}$为有限的可测函数$f$的集合, 其中

对于$\alpha\geq 1$, $0<p<\infty$, 定义弱Orlicz $\alpha$拟鞅空间如下

用$\Lambda$表示非负递增适应序列$(\lambda_n)_{n\geq0}$的集合, 记$\lambda_\infty=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\lambda_n$.

定义2.1   设$B$是Banach空间, 称

是$B$的光滑模$(\tau>0)$. 称$B$是$p$一致光滑的, 若$\rho_B (\tau)\leq c\tau^p, \tau>0$.

定义2.2   设$(1<p<\infty)$, 称一个$\alpha$拟鞅$f=(f_{n})_{n\geq0}$是一个$(1, \alpha, p)$拟原子, 若存在一个停时$\tau$使得

称一个$\alpha$拟鞅$f=(f_{n})_{n\geq0}$是一个$(2, \alpha, p)$拟原子或$(3, \alpha, p)$拟原子, 若在$(2.2)$式中分别用$S^{(p)}(f)$或$\sigma^{(p)}(f)$来代替$f^*$, 条件仍然成立.

引理2.1^[6]   令$1<p\leq2$. 假设$B$同构于$p$一致光滑的Banach空间, 则存在常数$C>0$使得对于任意$B$值拟鞅$f=(f_{n})_{n\geq0}$都有$\|f^*\|_p\leq C(\|\sigma^{(p)}(f)\|_p+\|R(f)\|_p)$和$\|f^*\|_p\leq C(\|S^{(p)}(f)\|_p+\|R(f)\|_p)$.

引理2.2^[6]   令$B$是具有RN性质的Banach空间. 假设$f=(f_{n})_{n\geq0}$是一个$B$值拟鞅, 满足$\|f^{*}\|_{p}\vee \|R(f)\|_{p}<\infty(1<p<\infty)$, 那么$f_n$几乎处处收敛.

注2.1   引理$2.1$和引理$2.2$对于$\alpha$拟鞅仍然成立, 证明与拟鞅类似.

定理3.1   假设$0< p < q_{\Phi} \leq p_{\Phi}< \infty$, $B$同构于$p$一致光滑的Banach空间, $\alpha\geq 1$且$1<p\leq2$. 则对任意$f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)$, 存在一个$(1, \alpha, p)$拟原子序列$({a^{(k)}})_{k \in Z}$和一个非负实数序列$\mu=(\mu_{k})_{k\in Z}\in l_{p}$使得对于所有的$n\in N$都有

其中, $C$是一个与$f$无关的常数.

证  假设$f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)$, 对于每一个整数$k\in Z$, 定义停时$\tau_{k}, \rho_{k}$如下

那么我们可以定义停时: $\nu_{k}=\tau_{k}\wedge\rho_{k}$满足$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\nu_{k}=\infty$. 现令

易得$a^k=({a_n^k})$是一个$B$值$\alpha$拟鞅. 另外

并且由于在$\{\nu_k=\infty\}$上$R(a^k)=\sigma^{(p)}(a^k)=0$, 那么

类似地, 由于

有

因为$B$同构于$p$一致光滑的Banach空间. 由(3.5), (3.6)式和引理2.1, 可得

由于$p$一致光滑空间具有RN性质, 通过(3.7) 式和引理2.2, 我们知道$a_n^k$几乎处处收敛到可测函数$a^k$, 很容易验证$a^k$是$(1, \alpha, p)$拟原子.

由于$f\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)$, 有

为了估计$\Big(\sum\limits_{k\in Z}\mu_k^p\Big)^{1/p}$, 不失一般性的假定$\|f\|_{w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)}=1$, 此时有

因为函数$\frac{\Phi(t)}{t^{q_\Phi}}$在$(0, \infty)$上单调递增, 以及此时

故有

记最后一项为$C$, 则

其中, $C$是与$f$无关的常数.

定理3.2   假设$0 < p < q_{\Phi} \leq p_{\Phi}< \infty$, $B$同构于$p$一致光滑的Banach空间, $\alpha\geq1$, $1<p\leq2$. 那么对于任意$f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}^{\alpha}Q_{\Phi}(B)$, 存在一个$(2, \alpha, p)$拟原子序列(或$(3, \alpha, p)$拟原子序列) $({a^{(k)}})_{k \in Z}$和一个非负实数序列$\mu=(\mu_{k})_{k\in Z}\in l_{p}$使得对所有$n\in N$, 有

其中, $C$是与$f$无关的常数.

证  若$f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}H_{\Phi}^{\sigma}(B)$, 对每一个整数$k\in Z$, 定义停时$\tau_{k}, \rho_{k}$

与定理3.1相同的方法可证定理3.2成立.

定理3.3   如果$(\Sigma_n)$是正规的, 强原子分解也适用于$w_p^\alpha H_\Phi^S(B)$和$w^\alpha H_\Phi(B)$. 换句话说, 对于任意的$f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_p^\alpha H_\Phi^S(B)$ (或$f=(f_{n})_{n\geq0} \in w_p^\alpha H_\Phi(B)$), 存在一个$(2, \alpha, p)$拟原子序列(或$(3, \alpha, p)$拟原子序列) $({a^{(k)}})_{k \in Z}$和一个非负实数序列$\mu=(\mu_{k})_{k\in Z}\in l_{\alpha}$使得对于所有的$n\in N$有

其中, $C$是与$f$无关的常数.

证  证明方法类似于定理3.2, 故略.

设$T:X\rightarrow Y$是一个映射, 其中$X$是在$(\Omega, \Sigma, (\Sigma_n)_{n\geq0}, P)$上的某个$\alpha$拟鞅空间, $Y$是在$(\Omega, \Sigma, P)$上的可测函数的某个空间, 称$T$是次线性的, 若

我们假定在集合$\{f = 0\}$上$T f = 0$. 当$X$和$Y$都是拟赋范空间时, 称$T$是有界的, 若

定理4.1   设$T:L_p\rightarrow L_p$是有界的次线性算子, $B$同构于$p$一致光滑的Banach空间, 满足对任意的$(1, \alpha, p)$拟原子$a$, 有

其中$\nu$是与$a$有关的停时, $C_0$是与$a$无关的常数. 若$0 <p <q_\Phi\leq p_\Phi<\infty$, $1<p\leq2$, 则存在$C> 0$使得

证  假定$f\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)$, $\|f\|_{w_{p}^\alpha H_{\alpha}^{\sigma}(B)}=\|\sigma^{(p)}(f)\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}=1$, 由定理3.1, 存在$f$的$(1, \alpha, p)$拟原子分解使之满足(3.1) 和(3.2)式.

对于任意的$y>0$, 取$j\in Z$使得$2^j\leq y < 2^{j+1}$, 定义

首先考虑$h = (h_n)$. 注意每一个$a_k$对应的$\nu_k$满足

条件(4.3) 说明

这里运用了基本事实: $\Phi(at)\leq a\Phi(t), \forall t>0, 0<a\leq1$, 这得自于$\Phi$的凸性.

对于$g = (g_n)$, 从引理2.1知$\|g^*\|_p\leq C\big(\|\sigma^{(p)}(g)\|_p+\|R(g)\|_p\big)$$(1< p\leq2)$. 由于$T:L_p\rightarrow L_p$是有界的次线性算子, 那么

于是

因为函数$\frac{\Phi(t)}{t^{p_\Phi}}$单调递减, 故$k\leq j$时, $\frac{\Phi{(2^j)}}{\Phi{{(2^k)}}}\leq\frac{2^{jp_\Phi}}{2^{kp_\Phi}}=2^{(j-k)p_\Phi}$, 从而可得

其中, $C^{{\prime}{\prime}{\prime}}$是与$f$无关的常数. 这样就有

不失一般性, 假设$\tilde{C}\geq 1$, 则

最后有

定理4.1得证.

定理4.2   若$T:L_p\rightarrow L_p$是有界的次线性算子, $B$同构于$p$一致光滑的Banach空间, 分别满足对任意$(2, \alpha, p)$拟原子或$(3, \alpha, p)$拟原子, 有

其中$\nu$是与$a$有关的停时, $C_0$是与$a$无关的常数. 若$0 <p <q_\Phi\leq p_\Phi<\infty$, $1<p\leq2$, 则$T$是$w_p^\alpha Q_\Phi(B)\rightarrow wL_\Phi$有界或$w^\alpha P_\Phi(B) \rightarrow wL_\Phi$有界的, 即存在常数$C> 0$使得

以及

此外, 若$(\Sigma_n)$是正规的, 并且$(3.1)$式分别关于$(2, \alpha, p)$拟原子或$(3, \alpha, p)$拟原子成立. 则$T$是$w_p^\alpha H_\Phi^S(B)\rightarrow wL_\Phi$有界或$w^\alpha H_\Phi(B)\rightarrow wL_\Phi$有界的, 即存在常数$C> 0$使得

以及

证  证明方法类似于定理4.1, 故略.

定理4.3   设$\Phi\in\Delta_2$, $0 <p <q_\Phi\leq p_\Phi<\infty$, $1<p\leq2$. 假设$B$同构于$p$一致光滑的Banach空间, 则分别存在$C> 0$使得每一个$\alpha$拟鞅$f = (f_n)$满足

若$(\Sigma_n)$还是正规的, 则每个$f = (f_n) (f_0 = 0)$满足

其中$C> 0$与$f$无关.

证  取$T f = \sigma^{(p)}(f)$或$f^*$, $S^{(p)}(f)$, 所有这些算子$T$是$\alpha$拟鞅空间或相应的正则$\alpha$ -拟鞅空间的次线性算子, 在集合$\{f = 0\}$上$T f = 0$. 这意味着对任意拟原子$a$, $\{|T a|> 0\} \subset \{a\neq 0\}\subset \{ \nu <\infty\}$, 其中$\nu$是与$a$相关的停时. 此外, $p$一致光滑说明对任意$1< p \leq2$, $T$是$L_p$有界的, 从而$T$满足定理4.1的所有条件, 所有以上不等式均成立.