近年来, 弱函数空间和鞅空间在调和分析和鞅理论中受到越来越多的关注. 焦、刘、杨等^[1-5]介绍了弱Orlicz鞅空间的基本性质及其应用. 李和刘^{[6, 7]}建立了$ B $值拟鞅空间和弱Orlicz鞅空间的强原子分解定理和弱原子分解定理. 特别地, 作为一个应用, 刘证明了弱Orlicz鞅空间次线性算子的有界性. 郝^[8]给出了可变指数可预测鞅Hardy空间的原子分解. 当随机基是正规时, 得到具有可变指数的可预测鞅Hardy空间上的分数积分的有界性. 马和刘^[9]研究了$ B $值弱Hardy鞅空间中的一些原子分解定理及其对偶性. 杨^[10]讨论了一些Musielak-Orlicz型向量值弱鞅Hardy空间的原子分解, 得到了次线性算子有界的充分条件, 并利用其充分条件, 推导出一些重要的鞅不等式. 于^[11]为鞅空间的弱Hardy-Morrey空间建立了混合型原子分解定理. 作为应用, 给出了弱Hardy-Morrey空间上次线性算子有界的充分条件. 特别是, 一些经典的鞅不等式, 包括伯克霍尔德不等式, 被扩展到弱Morrey空间拟范数的情况. 任和郭^[12]讨论了Hardy-Lorentz空间的一些原子分解定理, 证明了鞅Hardy-Lorentz空间的一些插值定理. 张和钟^[13]研究了一些弱Orlicz-Lorentz鞅空间的弱原子分解, 得到了次线性算子的有界性. 任^[14]建立了三种由凹函数生成的弱Orlicz鞅空间的弱原子分解. 给出了一个次线性算子在弱Orlicz鞅空间上有界的充分条件, 证明了一些弱型鞅不等式, 并证明了弱Orlicz鞅空间的Marcinkiewicz型插值定理.

受到文献[6, 7, 10, 14] 的启发, 该文考虑了弱Orlicz $ \alpha $拟鞅空间的强原子分解, 得到了一些弱Orlicz拟鞅空间的原子分解定理. 借助原子分解这一工具, 证明了弱Orlicz拟鞅空间的次线性算子有界性.

在整篇文章中, 该文用$ Z $表示整数集, 用字母$ C $表示正常数, 使其可以在不同的地方表示不同的值.

设$ (\Omega, \Sigma, P) $是一个完备的概率空间, $ (\Sigma_{n})_{n\geq0} $是$ \Sigma $的一个非降子$ \sigma $ - 代数的序列, $ (B, \|\cdot\|) $表示范数为$ \|\cdot\| $的Banach空间. $ \Sigma_{n} $的期望和条件期望分别用$ E $和$ E_{n} $表示.

假设$ (\alpha\geq 1) $, 称$ f=(f_{n})_{n\geq 0} $为$ \alpha $拟鞅, 若$ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\| {E({f_{n + 1}}|{\Sigma_n}) - {f_n}} \right\|} _\alpha} < \infty $.

对于一个$ B $值$ \alpha $拟鞅$ f=(f_{n})_{n\geq0} $, $ 1\leq\alpha<\infty $, $ 0<p<\infty $, 定义其极大函数, $ p $ -均方函数和$ p $ -条件均方函数如下

$ f_{n}^{*}=\sup\limits_{m\leq n}\Vert f_{m}\Vert, {\qquad} f^{*}=\sup\limits_{n\in N}\Vert f_{n}\Vert; $

$ S_{n}^{(p)}(f)=\bigg(\sum\limits_{m\leq n}\Vert df_{m}\Vert^{p}\bigg)^{1/p}, {\qquad} \ S^{(p)}(f)=\sup\limits_{n\in N}S_{n}^{(p)}(f); $

$ \sigma_{n}^{(p)}(f)=\bigg(\sum\limits_{m\leq n}\Vert E_{m-1}(df_{m})\Vert^{p}\bigg)^{1/p}, {\qquad} \sigma^{(p)}(f)=\sup\limits_{n\in N}\sigma_{n}^{(p)}(f); $

$ R_n(f)=\sum\limits_{m\leq n}\|E_{m-1}(df_m)\|, {\qquad} R(f)=\sup\limits_{n\in Z}R_n(f), $

其中$ df_m $为鞅差.

设$ \Phi $是$ [0, \infty) $上的非负递增凸函数, 满足$ \Phi(0)=0 $, $ \Phi(t)>0 $, $ \forall t>0 $, 并且$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \Phi(t)=\infty $, $ \varphi(t) $是$ \Phi $的右连续导函数. 函数$ \Phi $有以下两个常用的指标

$ q_\Phi=\inf\limits_{t>0}\frac{t\varphi(t)}{\Phi(t)}, {\qquad} p_\Phi=\sup\limits_{t>0}\frac{t\varphi(t)}{\Phi(t)}. $

称$ \Phi $满足$ \Delta_2 $的条件, 若对于任意的$ a>1 $, 存在一个常数$ C_a> 0 $使得$ \Phi(at)\leq C_a\Phi(t), \ \forall t> 0 $. 这个条件等价于$ p_\Phi<\infty $. 如果$ q_\Phi> 1 $, 则$ \Phi $被称为严格凸的. 特别地, 若$ 0 < q_\Phi \leq p_\Phi<\infty $, 函数$ \frac{\Phi(t)}{t^{q_\Phi}} $在$ (0, \infty) $上是单调递增的, 而函数$ \frac{\Phi (t)}{t^{p_\Phi}} $在$ (0, \infty) $上是单调递减的. 空间$ wL_{\Phi} $是所有$ \| \cdot \|_{wL_{\Phi}} $为有限的可测函数$ f $的集合, 其中

$ \| f\|_{wL_{\Phi}}=\inf\bigg\{c>0:\sup\limits_{t>0}\Phi(\frac{t}{c})P(\|f\|>t)\leq1\bigg\}. $

对于$ \alpha\geq 1 $, $ 0<p<\infty $, 定义弱Orlicz $ \alpha $拟鞅空间如下

$ w^{\alpha}H_{\Phi}(B)=\{f=(f_{n})_{n\geq0}:\|f^*\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}<\infty\}, $

$ \|f\|_{w^{\alpha}H_{\Phi}(B)}:=\|f^*\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}; $

$ w_{p}^{\alpha}H_{\Phi}^S(B)=\{f=(f_{n})_{n\geq0}:\|S^{(p)}(f)\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}<\infty\}, $

$ \|f\|_{w_{p}^{\alpha}H_{\Phi}^S(B)}:=\|S^{(p)}(f)\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}; $

$ w_{p}^{\alpha}H_{\Phi}^{\sigma}(B)=\{f=(f_{n})_{n\geq0}:\|\sigma^{(p)}(f)\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}<\infty\}, $

$ \|f\|_{w_{p}^{\alpha}H_{\Phi}^{\sigma}(B)}:=\|\sigma^{(p)}(f)\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}. $

用$ \Lambda $表示非负递增适应序列$ (\lambda_n)_{n\geq0} $的集合, 记$ \lambda_\infty=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\lambda_n $.

$ w_{p}^{\alpha}Q_{\Phi}(B)=\{f=(f_{n})_{n\geq0}:\exists(\lambda_n)_{n\geq0}\in\Lambda, s.t.\ S_n^{(p)}(f)\leq\lambda_{n-1}, \lambda_\infty\in wL_\Phi\}, $

$ \|f\|_{w_{p}^{\alpha}Q_{\Phi}(B)}:=\inf\limits_{(\lambda_n)\in\Lambda}\|\lambda_\infty\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}<\infty; $

$ w^{\alpha}P_{\Phi}(B)=\{f=(f_{n})_{n\geq0}:\exists(\lambda_n)_{n\geq0}\in\Lambda, s.t.\ \|f_n\|\leq\lambda_{n-1}, \lambda_\infty \in wL_\Phi\}, $

$ \|f\|_{w^{\alpha}P_{\Phi}(B)}:=\inf\limits_{(\lambda_n)\in\Lambda}\|\lambda_\infty\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}<\infty. $

定义2.1   设$ B $是Banach空间, 称

$ \rho_B(\tau)=\sup\{(\|x+y\|+\|x-y\|)/2-1:\|x\|=1, \|y\|=\tau\} $

是$ B $的光滑模$ (\tau>0) $. 称$ B $是$ p $一致光滑的, 若$ \rho_B (\tau)\leq c\tau^p, \tau>0 $.

定义2.2   设$ (1<p<\infty) $, 称一个$ \alpha $拟鞅$ f=(f_{n})_{n\geq0} $是一个$ (1, \alpha, p) $拟原子, 若存在一个停时$ \tau $使得

(2.1) $ \begin{equation} f_{n}=E_{n}f=0, n\leq\tau, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} \|f^{*}\|_{p}\vee \|R(f)\|_{p}\leq P(\tau \neq\infty)^{1/p-1/\alpha}, \; n\in N. \end{equation} $

称一个$ \alpha $拟鞅$ f=(f_{n})_{n\geq0} $是一个$ (2, \alpha, p) $拟原子或$ (3, \alpha, p) $拟原子, 若在$ (2.2) $式中分别用$ S^{(p)}(f) $或$ \sigma^{(p)}(f) $来代替$ f^* $, 条件仍然成立.

引理2.1^[6]   令$ 1<p\leq2 $. 假设$ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间, 则存在常数$ C>0 $使得对于任意$ B $值拟鞅$ f=(f_{n})_{n\geq0} $都有$ \|f^*\|_p\leq C(\|\sigma^{(p)}(f)\|_p+\|R(f)\|_p) $和$ \|f^*\|_p\leq C(\|S^{(p)}(f)\|_p+\|R(f)\|_p) $.

引理2.2^[6]   令$ B $是具有RN性质的Banach空间. 假设$ f=(f_{n})_{n\geq0} $是一个$ B $值拟鞅, 满足$ \|f^{*}\|_{p}\vee \|R(f)\|_{p}<\infty(1<p<\infty) $, 那么$ f_n $几乎处处收敛.

注2.1   引理$ 2.1 $和引理$ 2.2 $对于$ \alpha $拟鞅仍然成立, 证明与拟鞅类似.

定理3.1   假设$ 0< p < q_{\Phi} \leq p_{\Phi}< \infty $, $ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间, $ \alpha\geq 1 $且$ 1<p\leq2 $. 则对任意$ f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B) $, 存在一个$ (1, \alpha, p) $拟原子序列$ ({a^{(k)}})_{k \in Z} $和一个非负实数序列$ \mu=(\mu_{k})_{k\in Z}\in l_{p} $使得对于所有的$ n\in N $都有

(3.1) $ \begin{equation} f_{n}=\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}E_{n}a^k=\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}a_{n}^k, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \bigg (\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\mu_{k}^p\bigg)^{1/p}\leq C\Vert f\Vert_{w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)}, \end{equation} $

其中, $ C $是一个与$ f $无关的常数.

证  假设$ f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B) $, 对于每一个整数$ k\in Z $, 定义停时$ \tau_{k}, \rho_{k} $如下

(3.3) $ \begin{equation} \tau_{k}=\inf\{n\in N:\sigma_{n+1}^{(p)}(f)\geq2^k\}, \ \ \rho_{k}=\inf\{n\in N:R_{n+1}(f)\geq2^k\}. \end{equation} $

那么我们可以定义停时: $ \nu_{k}=\tau_{k}\wedge\rho_{k} $满足$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\nu_{k}=\infty $. 现令

(3.4) $ \begin{equation} \mu_k=3\cdot2^kP(\nu_k<\infty)^{1/p}, \ \ \ \ a_n^k=\frac{1}{\mu _k}(f_n^{(\nu_{k+1})}-f_n^{(\nu_{k})}), \ \ \forall n\geq0. \end{equation} $

易得$ a^k=({a_n^k}) $是一个$ B $值$ \alpha $拟鞅. 另外

(3.5) $ \begin{equation} \sigma^{(p)}(a^k)\leq\frac{1}{\mu _k}\big(\sigma^{(p)}_{\nu_{k+1}}(f)+\sigma^{(p)}_{\nu_{k}}(f)\big)\leq\frac{1}{\mu _k}(2^{k+1}+2^k)=P(\nu_k<\infty)^{-1/p}.\nonumber\ \end{equation} $

并且由于在$ \{\nu_k=\infty\} $上$ R(a^k)=\sigma^{(p)}(a^k)=0 $, 那么

(3.6) $ \begin{eqnarray} E(\sigma^{(p)}(a^k))^p&=&E\Big(\big(\sigma^{(p)}(a^k)\big)^p\chi_{\{\nu_{k<\infty}\}}\Big)\\ &\leq& E\Big(P(\nu_{k<\infty})^{-p/\alpha}\chi_{\{\nu_{k<\infty}\}}\Big)\\ &=&P(\nu_k<\infty)^{-p/\alpha}P(\{\nu_k<\infty\})\\ &=&P(\nu_k<\infty)^{1-p/\alpha}. \end{eqnarray} $

类似地, 由于

$ R(a^k)\leq\frac{1}{\mu _k}\Big(R(f^{(\nu_{k+1})})+R(f^{(\nu_k)})\Big)\leq\frac{1}{\mu _k}(2^{k+1}+2^k)\leq P(\nu_k<\infty)^{-1/\alpha}, $

有

(3.7) $ \begin{equation} E(R(a^k))^p=E\Big(\big(R(a^k)\big)^p\chi_{\{\nu_{k<\infty}\}}\Big)\leq P(\nu_k<\infty)^{1-p/\alpha}. \end{equation} $

因为$ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间. 由(3.5), (3.6)式和引理2.1, 可得

(3.8) $ \begin{equation} \|a^{k*}\|_p\leq C\Big(\|\sigma^{(p)}(a^k)\|_p+\|R(a^k)\|_p\Big)\leq CP(\nu_k<\infty)^{1/p-1/\alpha}. \end{equation} $

由于$ p $一致光滑空间具有RN性质, 通过(3.7) 式和引理2.2, 我们知道$ a_n^k $几乎处处收敛到可测函数$ a^k $, 很容易验证$ a^k $是$ (1, \alpha, p) $拟原子.

由于$ f\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B) $, 有

$ \{\nu_{k}<\infty\}\subset\{\tau_{k}<\infty\}\cup\{\rho_{k}<\infty\}=\{\sigma^{(p)}(f)>2^k\}\cup\{R(f)>2^k\}. $

为了估计$ \Big(\sum\limits_{k\in Z}\mu_k^p\Big)^{1/p} $, 不失一般性的假定$ \|f\|_{w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)}=1 $, 此时有

(3.9) $ \begin{eqnarray} \bigg(\sum\limits_{k\in Z}\mu_k^p\bigg)^{1/p}&=&3\bigg(\sum\limits_{k\in Z}2^{kp}P(\nu_k<\infty)\bigg)^{1/p}\\ &\leq&3\bigg(\sum\limits_{k\in Z}2^{kp}P\big(\sigma^{(p)}(f)>2^k\big)+\sum\limits_{k\in Z}2^{kp}P\big(R(f)>2^k\big)\bigg)^{1/p} \\ &\leq&6\bigg(\sum\limits_{k\in Z}\int_{2^{k-1}}^{2^k}y^{p-1}\Big(P(\sigma^{(p)}(f)>y)+P(R^{(p)}(f)>y)\Big){\rm d}y\bigg)^{1/p}\\ &\leq&6\bigg(\int_0^\infty y^{p-1}\Big(P\big(\sigma^{(p)}(f)>y\big)+P\big(R(f)>y\big)\Big){\rm d}y\bigg)^{1/p}\\ &\leq&6\bigg(1+\int_1^\infty y^{p-1}\Big(P\big(\sigma^{(p)}(f)>y\big)+P\big(R(f)>y\big)\Big){\rm d}y\bigg)^{1/p}. \end{eqnarray} $

因为函数$ \frac{\Phi(t)}{t^{q_\Phi}} $在$ (0, \infty) $上单调递增, 以及此时

$ \sup\limits_{t>0}\Phi(t)\Big(P\big(\sigma^{(p)}(f)>t\big)+P\big(R(f)>t\big)\Big)\leq\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma}=1, $

故有

(3.10) $ \begin{eqnarray} \bigg(\sum\limits_{k\in Z}\mu_k^p\bigg)^{1/p}&\leq&6\bigg(1+\int_1^\infty\frac{y^{q_\Phi}y^{p-q_\Phi-1}}{\Phi(y)} \Phi(y)\Big(P\big(\sigma^{(p)}(f)>y\big) +P\big(R(f)>y\big)\Big){\rm d}y\bigg)^{1/p}\\ &\leq&6\bigg(1+\frac{1}{\Phi(1)}\int_1^\infty y^{p-q_\Phi-1}{\rm d}y\bigg)^{1/p}=6\bigg(1+\frac{1}{q_\Phi-p}\Phi(1)\bigg)^{1/p}. \end{eqnarray} $

记最后一项为$ C $, 则

$ \bigg (\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}^p\bigg)^{1/p}\leq C\Vert f\Vert_{w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B)}. $

其中, $ C $是与$ f $无关的常数.

定理3.2   假设$ 0 < p < q_{\Phi} \leq p_{\Phi}< \infty $, $ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间, $ \alpha\geq1 $, $ 1<p\leq2 $. 那么对于任意$ f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}^{\alpha}Q_{\Phi}(B) $, 存在一个$ (2, \alpha, p) $拟原子序列(或$ (3, \alpha, p) $拟原子序列) $ ({a^{(k)}})_{k \in Z} $和一个非负实数序列$ \mu=(\mu_{k})_{k\in Z}\in l_{p} $使得对所有$ n\in N $, 有

(3.11) $ \begin{equation} f_{n}=\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}E_{n}a^k=\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}a_{n}^k, \end{equation} $

(3.12) $ \begin{equation} \bigg(\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\mu_{k}^p\bigg)^{1/p}\leq C\Vert f\Vert_{w_{p}^\alpha Q_{\Phi}(B)}, {\quad} \bigg( \bigg(\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\mu_{k}^p\bigg)^{1/p}\leq C\Vert f\Vert_{w^\alpha P_{\Phi}(B)}\bigg), \end{equation} $

其中, $ C $是与$ f $无关的常数.

证  若$ f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_{p}H_{\Phi}^{\sigma}(B) $, 对每一个整数$ k\in Z $, 定义停时$ \tau_{k}, \rho_{k} $

(3.13) $ \begin{equation} \tau_{k}=\inf\{n\in N:\lambda_{n+1}(f)\geq2^k\}, \ \ \rho_{k}=\inf\{n\in N:R_{n+1}(f)\geq2^k\}. \end{equation} $

与定理3.1相同的方法可证定理3.2成立.

定理3.3   如果$ (\Sigma_n) $是正规的, 强原子分解也适用于$ w_p^\alpha H_\Phi^S(B) $和$ w^\alpha H_\Phi(B) $. 换句话说, 对于任意的$ f=(f_{n})_{n\geq0}\in w_p^\alpha H_\Phi^S(B) $ (或$ f=(f_{n})_{n\geq0} \in w_p^\alpha H_\Phi(B) $), 存在一个$ (2, \alpha, p) $拟原子序列(或$ (3, \alpha, p) $拟原子序列) $ ({a^{(k)}})_{k \in Z} $和一个非负实数序列$ \mu=(\mu_{k})_{k\in Z}\in l_{\alpha} $使得对于所有的$ n\in N $有

(3.14) $ \begin{equation} f_{n}=\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}E_{n}a^k=\sum\limits_{k\in Z}\mu_{k}a_{n}^k; \end{equation} $

(3.15) $ \begin{equation} \bigg(\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\mu_{k}^p\bigg)^{1/p}\leq C\Vert f\Vert_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}, {\quad}\bigg(\bigg(\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\mu_{k}^p\bigg)^{1/p}\leq C\Vert f\Vert_{w^\alpha H_\Phi(B)}\bigg). \end{equation} $

其中, $ C $是与$ f $无关的常数.

证  证明方法类似于定理3.2, 故略.

设$ T:X\rightarrow Y $是一个映射, 其中$ X $是在$ (\Omega, \Sigma, (\Sigma_n)_{n\geq0}, P) $上的某个$ \alpha $拟鞅空间, $ Y $是在$ (\Omega, \Sigma, P) $上的可测函数的某个空间, 称$ T $是次线性的, 若

(4.1) $ \begin{equation} |T(f+g)|\leq|Tf|+|Tg|, \ \ \ |T(\alpha f)|=|\alpha||Tf|, \; {\rm a.e..} \end{equation} $

我们假定在集合$ \{f = 0\} $上$ T f = 0 $. 当$ X $和$ Y $都是拟赋范空间时, 称$ T $是有界的, 若

(4.2) $ \begin{equation} \|T\|=\sup\limits_{\|f\|_X\leq1}\|Tf\|_Y<\infty. \end{equation} $

定理4.1   设$ T:L_p\rightarrow L_p $是有界的次线性算子, $ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间, 满足对任意的$ (1, \alpha, p) $拟原子$ a $, 有

(4.3) $ \begin{equation} P(|Ta|>0)\leq C_0P(\nu<\infty), \end{equation} $

其中$ \nu $是与$ a $有关的停时, $ C_0 $是与$ a $无关的常数. 若$ 0 <p <q_\Phi\leq p_\Phi<\infty $, $ 1<p\leq2 $, 则存在$ C> 0 $使得

(4.4) $ \begin{equation} \|Tf\|_{wL_\Phi}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}\ \ \ \ \forall f=(f_n). \end{equation} $

证  假定$ f\in w_{p}^\alpha H_{\Phi}^{\sigma}(B) $, $ \|f\|_{w_{p}^\alpha H_{\alpha}^{\sigma}(B)}=\|\sigma^{(p)}(f)\|_{wL_\Phi}+\|R(f)\|_{wL_\Phi}=1 $, 由定理3.1, 存在$ f $的$ (1, \alpha, p) $拟原子分解使之满足(3.1) 和(3.2)式.

对于任意的$ y>0 $, 取$ j\in Z $使得$ 2^j\leq y < 2^{j+1} $, 定义

(4.5) $ \begin{equation} g_n=\sum\limits_{k\leq j-1}\mu_ka_n^k, \ \ \ \ h_n=\sum\limits_{k\geq j}\mu_ka_n^k, \ \ \ \ n\geq0. \end{equation} $

首先考虑$ h = (h_n) $. 注意每一个$ a_k $对应的$ \nu_k $满足

$ \begin{eqnarray*} \Phi(2^k)P(\nu_k<\infty)&\leq&\Phi(2^k)\Big(P\big(\sigma^{(p)}(f)>2^k\big)+P\big(R(f)>2^k\big)\Big)\nonumber\\ &\leq&\sup\limits_{t>0}\Phi(t)\Big(P\big(\sigma^{(p)}(f)>t\big)+P\big(R(f)>t\big)\Big)\nonumber\\ &=&\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}=1.\nonumber \end{eqnarray*} $

条件(4.3) 说明

$ \begin{eqnarray*} \Phi(2^j)P(|Th|>2^j)&\leq&\Phi(2^j)P(|Th|>0)\leq\Phi(2^j)P\bigg(\sum\limits_{k\geq j}\mu_k|Ta^k|>0\bigg)\nonumber\\ &\leq&\sum\limits_{k\geq j}\Phi(2^j)P(|Ta^k|>0)\leq C_0\sum\limits_{k\geq j}\Phi(2^j)P(\nu_k<\infty)\nonumber\\ &=&C_0\sum\limits_{k\geq j}\frac{\Phi(2^j)}{\Phi(2^k)}\Phi(2^k)P(\nu_k<\infty)\leq C_0\sum\limits_{k\geq j}\frac{\Phi(2^k2^{-(k-j)})}{\Phi(2^k)}\nonumber\\ &\leq& C_0\sum\limits_{k\geq j}\frac{\Phi(2^k)2^{-(k-j)}}{\Phi(2^k)}\leq {C_0}\sum\limits_{k^{\prime}=0}^{\infty}2^{-k^{\prime}}=2C_0.\nonumber \end{eqnarray*} $

这里运用了基本事实: $ \Phi(at)\leq a\Phi(t), \forall t>0, 0<a\leq1 $, 这得自于$ \Phi $的凸性.

对于$ g = (g_n) $, 从引理2.1知$ \|g^*\|_p\leq C\big(\|\sigma^{(p)}(g)\|_p+\|R(g)\|_p\big) $$ (1< p\leq2) $. 由于$ T:L_p\rightarrow L_p $是有界的次线性算子, 那么

$ \begin{eqnarray*} \|Tg\|_{L_p}&\leq &C\|g\|_{L_p}\leq C\|g^*\|_{L_p}\leq C^{\prime}\Big(\|\sigma^{(p)}(g)\|_{L_p}+\|R(g)\|_{L_p}\Big)\nonumber\\ &\leq &C^{\prime}\bigg( \bigg\|\sum\limits_{k\leq j-1}\mu_k\sigma^{(p)}(a^k)\bigg\|_{L_p}+ \bigg\|\sum\limits_{k\leq j-1}\mu_kR(a^k)\bigg\|_{L_p}\bigg)\nonumber\\ &\leq &C^{\prime}\sum\limits_{k\leq j-1}\mu_k\Big(\|\sigma^{(p)}(a^k)\|_{L_p}+\|R(a^k)\|_{L_p}\Big)\nonumber\\ &\leq &C^{\prime}\bigg(\sum\limits_{k\leq j-1}\mu_k(E\sigma^{(p)}(a^k)^p\chi_{\{\nu_{k<\infty}\}})^{1/p} +\sum\limits_{k\leq j-1}\mu_k(ER(a^k)^p\chi_{\{\nu_{k<\infty}\}})^{1/p}\bigg)\nonumber\\ &\leq &C^{{\prime}{\prime}}\sum\limits_{k\leq j-1}2^kP(\nu_k<\infty)^{1/p}, \nonumber\ \end{eqnarray*} $

于是

$ P(|Tg|>2^j)\leq\frac{1}{2^{pj}}\|Tg\|_{L_p}^p\leq C^{\prime p} \bigg(\frac{1}{2^j}\sum\limits_{k\leq j-1}2^kP(\nu_k<\infty)^{1/p}\bigg)^p. $

因为函数$ \frac{\Phi(t)}{t^{p_\Phi}} $单调递减, 故$ k\leq j $时, $ \frac{\Phi{(2^j)}}{\Phi{{(2^k)}}}\leq\frac{2^{jp_\Phi}}{2^{kp_\Phi}}=2^{(j-k)p_\Phi} $, 从而可得

$ \begin{eqnarray*} \Phi(2^j)P(|Tg|>2^j)&\leq& C^{{\prime}{\prime}p}\bigg(\sum\limits_{k\leq j-1}2^{k-j}\bigg(\frac{\Phi(2^j)}{\Phi(2^k)}\cdot\Phi(2^k)P(\nu_k<\infty)\bigg)^{1/p}\bigg)^p\nonumber\\ &\leq& C^{{\prime}{\prime}p}\bigg(\sum\limits_{k\leq j-1}2^{k-j}\bigg(\frac{\Phi(2^j)}{\Phi(2^k)}\bigg)^{1/p}\bigg)^p \leq C^{{\prime}{\prime}p}\bigg(\sum\limits_{k\leq j-1}2^{k-j}2^{(j-k)\frac{p_\Phi}{p}}\bigg)^p\nonumber\\ &\leq &C^{{\prime}{\prime}p}\bigg(\sum\limits_{k^{\prime}\geq1}2^{-k^{\prime}(1-\frac{p_\Phi}{p})}\bigg)^p\leq C^{{\prime}{\prime}{\prime}p}2^{p_\Phi-p}, \nonumber\ \end{eqnarray*} $

其中, $ C^{{\prime}{\prime}{\prime}} $是与$ f $无关的常数. 这样就有

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{y>0}\Phi(2y)P(|Tf|>2y)&\leq&\sup\limits_{y>0}\Phi(2y)\Big(P(|Tg|>y)+P(|Th|>y)\Big)\nonumber\\ &\leq& C\sup\limits_{j\in Z}\Phi(2^j)\Big(P(|Tg|>2^j)+P(|Th|>2^j)\Big)\nonumber\\ &\leq &C(C^{{\prime}{\prime}{\prime}p}2^{p_\Phi-p}+2C_0):=\tilde{C}.\nonumber\ \end{eqnarray*} $

不失一般性, 假设$ \tilde{C}\geq 1 $, 则

$ \sup\limits_{y>0}\Phi\Big(\frac{2y}{\tilde{C}}\Big)P(|Tf|>2y)\leq\frac{1}{\tilde{C}}\sup\limits_{y>0}\Phi(2y)(P(|Tf|>2y)\leq1. $

最后有

$ \|Tf\|_{wL_\Phi}\leq \tilde{C}=\tilde{C}\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}. $

定理4.1得证.

定理4.2   若$ T:L_p\rightarrow L_p $是有界的次线性算子, $ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间, 分别满足对任意$ (2, \alpha, p) $拟原子或$ (3, \alpha, p) $拟原子, 有

(4.6) $ \begin{equation} P(|Ta|>0)\leq C_0P(\nu<\infty), \end{equation} $

其中$ \nu $是与$ a $有关的停时, $ C_0 $是与$ a $无关的常数. 若$ 0 <p <q_\Phi\leq p_\Phi<\infty $, $ 1<p\leq2 $, 则$ T $是$ w_p^\alpha Q_\Phi(B)\rightarrow wL_\Phi $有界或$ w^\alpha P_\Phi(B) \rightarrow wL_\Phi $有界的, 即存在常数$ C> 0 $使得

(4.7) $ \begin{equation} \|Tf\|_{wL_\Phi}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha Q_\Phi^\sigma(B)}, \ \ \ \ \forall f=(f_n), \end{equation} $

以及

(4.8) $ \begin{equation} \|Tf\|_{wL_\Phi}\leq C\|f\|_{w^\alpha P_\Phi^\sigma(B)}, \ \ \ \ \forall f=(f_n). \end{equation} $

此外, 若$ (\Sigma_n) $是正规的, 并且$ (3.1) $式分别关于$ (2, \alpha, p) $拟原子或$ (3, \alpha, p) $拟原子成立. 则$ T $是$ w_p^\alpha H_\Phi^S(B)\rightarrow wL_\Phi $有界或$ w^\alpha H_\Phi(B)\rightarrow wL_\Phi $有界的, 即存在常数$ C> 0 $使得

(4.9) $ \begin{equation} \|Tf\|_{wL_\Phi}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}, \ \ \ \ \forall f=(f_n), \end{equation} $

以及

(4.10) $ \begin{equation} \|Tf\|_{wL_\Phi}\leq C\|f\|_{w^\alpha H_\Phi(B)}, \ \ \ \ \forall f=(f_n). \end{equation} $

证  证明方法类似于定理4.1, 故略.

定理4.3   设$ \Phi\in\Delta_2 $, $ 0 <p <q_\Phi\leq p_\Phi<\infty $, $ 1<p\leq2 $. 假设$ B $同构于$ p $一致光滑的Banach空间, 则分别存在$ C> 0 $使得每一个$ \alpha $拟鞅$ f = (f_n) $满足

$ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi(B)}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}, \ \ \ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}, $

$ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}\leq C\|f\|_{w^\alpha P_\Phi(B)}, \ \ \ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}\leq C\|f\|_{wP_\Phi(B)}, $

$ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi(B)}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha Q_\Phi(B)}, \ \ \ \|f\|_{w^\alpha H_\Phi(B)}\leq C\|f\|_{wQ_\Phi(B)}. $

若$ (\Sigma_n) $还是正规的, 则每个$ f = (f_n) (f_0 = 0) $满足

$ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}\leq C\|f\|_{w^\alpha H_\Phi(B)}, \ \ \ \|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}\leq C\|f\|_{w^\alpha H_\Phi(B)}, $

$ \|f\|_{w^\alpha H_\Phi(B)}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}, \ \ \ \|f\|_{w^\alpha H_\Phi^\sigma(B)}\leq C\|f\|_{w_p^\alpha H_\Phi^S(B)}, $

其中$ C> 0 $与$ f $无关.

证  取$ T f = \sigma^{(p)}(f) $或$ f^* $, $ S^{(p)}(f) $, 所有这些算子$ T $是$ \alpha $拟鞅空间或相应的正则$ \alpha $ -拟鞅空间的次线性算子, 在集合$ \{f = 0\} $上$ T f = 0 $. 这意味着对任意拟原子$ a $, $ \{|T a|> 0\} \subset \{a\neq 0\}\subset \{ \nu <\infty\} $, 其中$ \nu $是与$ a $相关的停时. 此外, $ p $一致光滑说明对任意$ 1< p \leq2 $, $ T $是$ L_p $有界的, 从而$ T $满足定理4.1的所有条件, 所有以上不等式均成立.