在偏微分方程中, 二维区域上经典的半线性椭圆方程具有如下形式

(1.1) $ \begin{equation} u_{yy}+u_{xx}=f(y, x, u(y, x)), \quad (y, x)\in(a, b)\times(c, d). \end{equation} $

注意到, 当$ f $与$ u $无关时方程(1.1)为Poisson方程. 当$ f(y, x, u)=k^2u $($ k>0 $)时方程(1.1)为修正Helmholtz方程. $ f(y, x, u)=-k^2u $($ k>0 $)时其为Helmholtz方程, 许多如波散射, 电阻抗断层, 光断层扫描, 解析延拓等物理学与工程中的问题都可通过Helmholtz方程来描述^{[1, 2]}. 当$ f(y, x, u)=\sin(u) $时方程(1.1) 为经典的非线性椭圆Sine-Gordon方程. 在数学上, 该方程首先在微分几何的研究中进入了人们的视线, 这主要是由于出现在该方程中的孤子的碰撞行为引起了学者们的研究兴趣和广泛关注.另外, 此方程还在约瑟夫森效应理论、超导体、铁磁体中的自旋波等科学领域中具有重要应用价值^{[3, 4]}.

设$ T>0 $, $ H $为实Hilbert空间, $ L_x: D(L_x)\subset H\rightarrow H $是一个关于$ x $的线性稠定、自伴正定的二阶椭圆算子. 本文考虑如下抽象的半线性椭圆方程柯西问题

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} u_{yy}(y, x)-L_xu(y, x)=f(y, x, u(y, x)), &x\in\Omega, \quad 0<y<T, \\ u(y, x)=0, &x\in\partial\Omega, \quad 0\leq y\leq T, \\ u(0, x)=\varphi(x), &x\in\Omega, \\ u_y(0, x)=\psi(x), &x\in\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

这里, $ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{n-1}(n>1) $为有界连通区域, $ \partial\Omega $表示其光滑边界. Dirichlet和Neumann数据$ \varphi $, $ \psi $已知, $ f:{{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} ^{n-1}\times H\rightarrow H $为一致Lipschitz连续函数, 即存在常数$ K>0 $, 使得

(1.3) $ \begin{equation} \left\|f(y, x, w)-f(y, x, v)\right\|\leq K\left\|w-v\right\|. \end{equation} $

假设$ \lambda_n(n\geq1) $为算子$ L_x $的特征值, 即边值问题

(1.4) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} L_xX_n(x)=\lambda_nX_n(x), & x\in\Omega, \\ X_n(x)=0, & x\in\partial\Omega \end{array} \right. \end{eqnarray} $

存在非平凡解$ X_n(x)\in H $; 并设$ L_x $的特征值满足

(1.5) $ \begin{equation} 0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq\lambda_3\leq\cdots \quad \mbox{且}\quad\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\lambda_n=\infty, \end{equation} $

特征函数$ X_n(x) $构成Hilbert空间$ H $中的一组标准正交基.

众知, 椭圆方程柯西问题是不适定的, 即解不连续依赖于测量数据或不稳定. 因此, 为了恢复解的稳定性, 必须构造某种正则化方法来克服原问题的不适定性并设计一种高效的算法得到其稳定的数值解. 针对齐次情形($ f=0 $), 目前已有许多研究工作出版^[5-11]. 关于半线性问题($ f=f(y, x, u) $), 相关学者也已发展出一些有意义的正则化技术以克服问题的不适定性, 如修改积分方程方法^[12]、Fourier截断方法^{[13, 14]}、滤波方法^[15-17]、广义基核方法^{[18, 19]}、修正边界Tikhonov型方法^[20]、广义Tikhonov型方法^[21]、广义Lavrentiev型方法^[22], 等等. 接着以上工作, 本文继续考虑半线性问题(1.2).

1996年, 文献[9]选取$ H=L^2(\Omega) $, 并通过构造一种广义Tikhonov方法研究了问题(1.2)的齐次情形($ f=0 $). 2011年, 文献[23]利用一种分数Tikhonov方法研究了离散形式的不适定问题. 2020年, 基于文献[9]和[23]的思想, 选取$ H=L^2(\Omega) $, 文献[11]设计并利用一种广义分数Tikhonov型方法求解了问题(1.2)的齐次情形($ f=0 $). 本文运用一种类似于文献[11]中的方法研究半线性问题(1.2). 由于所构造的正则化解满足一个非线性积分方程, 文章首先证明正则化解的存在唯一性和稳定性; 接着在对精确解的先验假设下给出并证明正则化方法的收敛性; 最后设计一种迭代算法计算正则化解, 并通过相应的计算结果验证所提方法的稳定可行性. 由正则化解满足的积分方程可知, 当$ \gamma>0, q=2 $时, 本文方法为文献[21]中的广义Tikhonov型方法(见方程(2.12)). 同时, 相关比较结果显示, 当$ 1<q<2 $时文中方法在数值模拟效果方面优于文献[21]中的广义Tikhonov型方法. 因此, 本文工作是对文献[11]和[21]中相应工作的推广和延伸.

由于所考虑问题定义在柱形区域上, 故可在形式上采用分离变量法导出问题(1.2)精确解的表达式. 事实上，采用与文献[24, 附录B]中类似的过程, 设

(2.1) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } u(y, x)=\sum \limits_{n = 1}^\infty Q_n(y)X_n(x), {\quad} \varphi(x)=\sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi_nX_n(x), \\ \psi(x)=\sum \limits_{n = 1}^\infty \psi_nX_n(x), {\quad} f(y, x, u)=\sum \limits_{n = 1}^\infty f_n(u)(y)X_n(x), \end{array} \end{equation} $

这里, $ X_n=X_n(x) $是算子$ L_x $的特征函数, 并且

(2.2) $ \begin{equation} \varphi_n=\langle\varphi, X_n\rangle, \quad\psi_n=\langle\psi, X_n\rangle, \quad f_n(u)(y)=\langle f(y, x, u(y, x)), X_n\rangle, \end{equation} $

$ \langle\cdot, \cdot\rangle $表示Hilbert空间$ H $中的内积.

将(2.1)式中四个表达式分别代入问题(1.2)中, 可得常微分方程初值问题

(2.3) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} Q^{\prime\prime}_n(y)-\lambda_nQ_n(y)=f_n(u)(y), \\ Q_n(0)=\varphi_n, \\ Q^{\prime}_n(0)=\psi_n, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

解以上常微分方程初值问题, 则在形式上问题(2.3)的解可表为

(2.4) $ \begin{equation} Q_n(y)=\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi_n +\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)}{\sqrt{\lambda_n}}\psi_n+ \int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))}{\sqrt{\lambda_n}}f_n(u)(\tau){\rm d}\tau, \end{equation} $

结合(2.4)与(2.1)式的第一项, 则可知问题(1.2)的精确解满足以下非线性积分方程

(2.5) $ \begin{equation} u(y, x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \Big(\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi_n+\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)}{\sqrt{\lambda_n}}\psi_n+\int_0^{y} \frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}}f_n(u)(\tau){\rm d}\tau\Big)X_n(x). \end{equation} $

注2.1   在(2.1)–(2.4)式, 我们在形式上利用分离变量法解问题(1.2)并得到了精确解满足的积分方程(2.5). 注意到, 此处的函数$ f_n(u) $依赖于精确解$ u $, 因此方程(2.5)是一个非线性的Volterra积分方程. 然而, 由于以上求解过程将原问题(1.2)等价地转化为积分方程(2.5), 故积分方程(2.5) 的解即为原半线性问题(1.2)的精确解.

易知, 当$ n\rightarrow \infty $时方程(2.5)中的序列$ \{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\} $, $ \{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)/\sqrt{\lambda_n}\} $, $ \{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))/\sqrt{\lambda_n}\} $的极限均为无穷, 这意味着问题(1.2)是不适定的(解不连续依赖于带误差的柯西数据). 此时, 为了恢复解的稳定性就需要构造某种正则化方法以克服其不适定性. 关于一般正则化理论的描述, 可参见文献[25, 26]等.

1996年, 文献[9]取$ H=L^2(\Omega) $, 对齐次方程非齐次Dirichlet数据情形, 通过解变分问题

(2.6) $ \begin{equation} \min\limits_{u\in L^2(\Omega)}J_\mu(u), J_{\mu}(u)=\left\|\frac{1}{\cosh(\sqrt{L_x}y)}u-\varphi^\delta\right\|^2_{L^2} +\mu\left\|L^{\frac{\gamma}{2}}_x\frac{\cosh(\sqrt{L_x}T)} {\cosh(\sqrt{L_x}y)}u\right\|^2_{L^2} \end{equation} $

构造了一种广义Tikhonov正则化解, 这里$ \gamma>0 $, $ \mu>0 $表示正则化参数. 相应的正则化解表为

(2.7) $ \begin{equation} u^{\delta}_{\mu}(y, x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi^\delta_n} {1+\mu\lambda^\gamma_n \cosh^2(\sqrt{\lambda_n}T)}X_n(x), \end{equation} $

其中, $ \varphi^\delta_n=\langle\varphi^\delta, X_n\rangle_{L^2(\Omega)} $, 测量数据$ \varphi^\delta $满足

(2.8) $ \begin{equation} \|\varphi^\delta-\varphi\|_{L^2(\Omega)}\leq\delta. \end{equation} $

2011年, 文献[23]利用一种分数Tikhonov方法研究了离散形式的不适定问题. 注意到, 若采用文献[23]中的方法处理齐次方程非齐次Dirichlet数据情形, 则正则化解可以表示为

(2.9) $ \begin{equation} u^{\delta}_{\mu}(y, x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi^\delta_n} {1+\mu\cosh^q(\sqrt{\lambda_n}y)}X_n(x), \end{equation} $

这里, $ q $为正常数. 2020年, 基于文献[9, 23]的思想, 文献[11]取$ H=L^2(\Omega) $并通过解变分问题

(2.10) $ \begin{equation} \min\limits_{u\in L^2(\Omega)}J_{\alpha}(u), J_{\alpha }(u)=\left\|\frac{1}{\cosh(\sqrt{L_x}y)}u-\varphi^\delta\right\|^2_{L^2} +\alpha\left\|L^{\frac{\gamma}{2}}_x\frac{\cosh^{\frac{q}{2}}(\sqrt{L_x}T)} {\cosh(\sqrt{L_x}y)}u\right\|^2_{L^2} \end{equation} $

发展了齐次方程非齐次Dirichlet数据情形的一种广义分数Tikhonov型正则化解. 此时, 正则化解的表达式为

(2.11) $ \begin{equation} u^{\delta}_{\alpha}(y, x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi^\delta_n} {1+\alpha\lambda^\gamma_n\cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)}X_n(x), \end{equation} $

这里, $ \gamma\geq1 $, $ q>1 $, 且$ \alpha>0 $表示正则化参数.

受到以上思想的启发, 我们定义以下非线性积分方程的解为半线性问题(1.2)的正则化解, 并称之为广义分数Tikhonov正则化解.

(2.12) $ \begin{eqnarray} u^{\delta}_{\alpha}(y, x)&=&\sum\limits_{n=1}^\infty \Big(\frac{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi^\delta_n} {1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)}+\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y) \psi^\delta_n}{\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)}{}\\ &&+\int_0^{y} \frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))f_n(u^{\delta}_{\alpha})(\tau){\rm d}\tau} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)}\Big)X_n(x), \end{eqnarray} $

这里, $ \gamma>0 $, $ q>1 $, $ \varphi^\delta_n=\langle\varphi^\delta, X_n\rangle $, $ \psi^\delta_n=\langle\psi^\delta, X_n\rangle $, $ f_n(u^{\delta}_{\alpha})(y)=\langle f(y, x, u^{\delta}_{\alpha}(y, x)), X_n\rangle $, 且测量数据$ \varphi^\delta $, $ \psi^\delta $满足

(2.13) $ \begin{equation} \|\varphi^\delta-\varphi\|\leq\delta, \quad \|\psi^\delta-\psi\|\leq\delta, \end{equation} $

其中, $ \|\cdot\| $表示$ H $ -范数, $ \delta $为测量误差界.

注意到, 前节仅在形式上定义了非线性积分方程(2.12)的解为半线性问题(1.2)的正则化解. 根据不适定问题的正则化理论, 我们需要证明方程(2.12)解的存在唯一性和稳定性, 同时还需在此基础上考虑正则化解的收敛性. 为了完成相关理论结果的证明, 下面给出一个引理, 其证明方法可参考文献[11].

引理3.1   设$ 0<\alpha<1 $, $ \gamma>0 $, $ q>1 $, 定义函数

(3.1) $ \begin{equation} G(y, \tau, \lambda_n)=\frac{e^{-(qT-(y-\tau)) \sqrt{\lambda_n}}}{\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}}, \end{equation} $

则对固定的$ 0\leq\tau<y\leq T $, 以下不等式成立

(3.2) $ \begin{equation} G(y, \tau, \lambda_n)\leq2C\alpha^{-\frac{y-\tau}{qT}}, \end{equation} $

且当$ \tau=0 $时, 有

(3.3) $ \begin{equation} G(y, \lambda_n)\leq2C\alpha^{-\frac{y}{qT}}. \end{equation} $

这里, $ C=\max\{1, (\lambda^\gamma_1)^{-1}\} $.

现证明正则化方程(2.12)解的存在唯一性和稳定性, 并导出正则化方法的收敛性.

定理3.1 (正则化解的存在唯一性)   假设$ f $满足一致Lipschitz条件(1.3), 柯西数据$ \varphi^\delta, \psi^\delta\in H $, 则问题(2.12)存在唯一解$ u^{\delta}_{\alpha}\in C([0, T]; H) $.

证  设$ w\in C([0, T]; H) $, 定义算子

(3.4) $ \begin{eqnarray} G(w)(y, \cdot)&=&\sum\limits_{n=1}^\infty \Big(\frac{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\varphi^\delta_n} {1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)}+\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)\psi^\delta_n} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^{\gamma}_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)}{}\\ &&+\int_0^{y} \frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))f_n(w)(\tau)}{\sqrt{\lambda_n} \left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)}{\rm d}\tau\Big)X_n, \end{eqnarray} $

对$ w, v \in C([0, T]; H) $, $ p\geq1 $, 我们证明

(3.5) $ \begin{equation} \||G^p(w)(y, \cdot)-G^p(v)(y, \cdot)|\|\leq \frac{(KC_{\alpha}T)^p}{\sqrt{p!}}\||w-v|\|, \end{equation} $

这里$ \||\cdot|\| $表示空间$ C([0, T];H) $的最大范数,

$ C_{\alpha}=2C/\sqrt{\lambda_1}\alpha, $

$ C $由引理3.1所给.

对$ p\geq1 $, 下先由归纳法证明

(3.6) $ \begin{equation} \|G^p(w)(y, \cdot)-G^p(v)(y, \cdot)\|\leq (KC_{\alpha})^p\frac{y^{p/2}T^{p/2}}{\sqrt{p!}}\||w-v|\|. \end{equation} $

由(3.2)式, 对$ 0<\alpha<1 $, 可知$ G(y, \tau, \lambda_n)\leq2C/\alpha $. 并且注意到

$ \cosh(\sqrt{\lambda_n}T)\geq e^{\sqrt{\lambda_n}T}/2, {\quad} \cosh(\sqrt{\lambda_n}y)\leq e^{\sqrt{\lambda_n}y}, {\quad} \sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))\leq e^{\sqrt{\lambda_n}(y-\tau)}. $

当$ p=1 $时, 由(3.4)和(1.3)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \nonumber &&\|G(w)(y, \cdot)-G(v)(y, \cdot)\|^2\\\nonumber &=&\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)} \left(f_n(w)(\tau)-f_n(v)(\tau)\right){\rm d}\tau X_n\right\|^2\\\nonumber &\leq&\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)} \left(f_n(w)(\tau)-f_n(v)(\tau)\right){\rm d}\tau \right)^2\\\nonumber &\leq&\sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}\left(\frac{e^{-(qT-(y-\tau)) \sqrt{\lambda_n}}}{\sqrt{\lambda_1}\left(\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}\right)}\right)^2{\rm d}\tau\int_0^{y} \left(f_n(w)(\tau)-f_n(v)(\tau)\right)^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq& y\left(\frac{2C}{\sqrt{\lambda_1}\alpha}\right)^2 \int_0^{y}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(f_n(w)(\tau)-f_n(v)(\tau)\right)^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq& T\left(\frac{2C}{\sqrt{\lambda_1}\alpha}\right)^2 \int_0^{y}\left\|f(\tau, \cdot, w(\tau, \cdot))-f(\tau, \cdot, v(\tau, \cdot))\right\|^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq& K^2T\left(\frac{2C}{\sqrt{\lambda_1}\alpha}\right)^2 \int_0^{y}\left\|w-v\right\|^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq& K^2C_{\alpha}^2yT \left\||w-v|\right\|^2.\nonumber \end{eqnarray*} $

当$ p=i $时, 假设

(3.7) $ \begin{equation} \|G^i(w)(y, \cdot)-G^i(v)(y, \cdot)\|^2\leq (KC_{\alpha})^{2i}\frac{y^{i}T^{i}}{i!}\left\||w-v\right|\|^2, \end{equation} $

则当$ p=i+1 $时, 通过应用(3.7)式, 可导出

$ \begin{eqnarray*} \nonumber &&\|G^{i+1}(w)(y, \cdot)-G^{i+1}(v)(y, \cdot)\|^2\\\nonumber &=&\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)} \left(f_n(G^i(w))(\tau)-f_n(G^i(v))(\tau)\right){\rm d}\tau X_n\right\|^2\\\nonumber &\leq&\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)} \left(f_n(G^i(w))(\tau)-f_n(G^i(v))(\tau)\right){\rm d}\tau \right)^2\\\nonumber &\leq& y\left(\frac{2C}{\sqrt{\lambda_1}\alpha}\right)^2 \int_0^{y}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(f_n(G^i(w))(\tau)-f_n(G^i(v))(\tau)\right)^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq& K^2T\left(\frac{2C}{\sqrt{\lambda_1}\alpha}\right)^2 \int_0^{y}\left\|G^i(w)(\tau, \cdot)-G^i(v)(\tau, \cdot)\right\|^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq& K^2T\left(\frac{2C}{\sqrt{\lambda_1}\alpha}\right)^2 \int_0^{y}(KC_{\alpha})^{2i}\tau^{i}\frac{T^{i}}{i!}\left\||w-v|\right\|^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq&(KC_{\alpha})^{2i+2}\frac{y^{i+1}T^{i+1}}{(i+1)!}\left\||w-v\right|\|^2.\nonumber \end{eqnarray*} $

根据归纳原理, 则有

(3.8) $ \begin{equation} \|G^p(w)(y, \cdot)-G^p(v)(y, \cdot)\|\leq (KC_{\alpha})^p\frac{y^{p/2}T^{p/2}}{\sqrt{p!}}\left\||w-v\right|\|, \end{equation} $

因此, 容易得出

(3.9) $ \begin{equation} \||G^p(w)(y, \cdot)-G^p(v)(y, \cdot)|\|\leq \frac{(KC_{\alpha}T)^p}{\sqrt{p!}}\||w-v|\|. \end{equation} $

考虑算子$ G: C([0, T]; H)\rightarrow C([0, T]; H) $, 由实分析知识知

(3.10) $ \begin{equation} \lim\limits_{p\rightarrow \infty}\frac{(KC_{\alpha}T)^p}{\sqrt{p!}}=0, \end{equation} $

于是, 存在正整数$ p_0 $, 使得$ 0<\frac{(KC_{\alpha}T)^{p_0}}{\sqrt{p_0!}}<1 $. 从而$ G^{p_0} $为一个压缩映射, 这意味着方程$ G^{p_0}(w)=w $存在唯一解$ u^{\delta}_{\alpha}\in C([0, T]; H) $. 注意到$ G\left(G^{p_0}\left(u^{\delta}_{\alpha}\right)\right) =G\left(u^{\delta}_{\alpha}\right) $, 故$ G^{p_0}\left(G\left(u^{\delta}_{\alpha}\right)\right) =G\left(u^{\delta}_{\alpha}\right) $. 由$ G^{p_0} $不动点的唯一性知$ G(u^{\delta}_{\alpha})=u^{\delta}_{\alpha} $, 因此$ G(w)=w $存在唯一解$ u^{\delta}_{\alpha}\in C([0, T]; H) $. 证毕.

定理3.2 (正则化解的稳定性)   假设$ f $满足一致Lipschitz条件(1.3), $ u^\delta_{\alpha1} $, $ u^\delta_{\alpha2} $分别是方程(2.12)对应于数据$ (\varphi^\delta_1 $, $ \psi^\delta_1) $, $ (\varphi^\delta_2 $, $ \psi^\delta_2) $的解, 则有如下稳定性结果

(3.11) $ \begin{equation} \left\|u^\delta_{\alpha1}(y, \cdot)-u^\delta_{\alpha2}(y, \cdot)\right\| \leq C_1(y)\alpha^{-\frac{y}{qT}}\left( \left\|\varphi_1^\delta-\varphi_2^\delta\right\|^2+ \frac{1}{\lambda_1}\left\|\psi_1^\delta-\psi_2^\delta\right\|^2\right)^{1/2}, \end{equation} $

这里, $ C_1(y)=\sqrt{12C^2\left(1+\frac{12C^2K^2Ty}{\lambda_1} e^{\frac{12C^2K^2Ty}{\lambda_1}}\right)} $.

证  记$ \varphi^\delta_{i, n}=\langle\varphi^\delta_{i}, X_n\rangle $, $ \psi^\delta_{i, n}=\langle\psi^\delta_{i}, X_n\rangle $, $ i=1, 2 $, 由(2.12), (3.2), (3.3)和(1.3)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \nonumber &&\|u^\delta_{\alpha1}(y, \cdot)-u^\delta_{\alpha2}(y, \cdot)\|^2 \\ &\leq&3\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cosh(\sqrt{\lambda_n}y)} {\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)} \left(\varphi^\delta_{1, n}-\varphi^\delta_{2, n}\right)X_n\right\|^2\\\nonumber &&+3\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^{\gamma}_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)} \left(\psi^\delta_{1, n}-\psi^\delta_{2, n}\right)X_n\right\|^2\\\nonumber &&+3\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y} \frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}\left(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)\right)}\left(f_n(u^\delta_{\alpha1})(\tau) -f_n(u^\delta_{\alpha2})(\tau)\right){\rm d}\tau X_n\right\|^2\\\nonumber &\leq& 3 \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{e^{-(qT-y) \sqrt{\lambda_n}}}{\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}}\right)^2 \left(\varphi^\delta_{1, n}-\varphi^\delta_{2, n}\right)^2 +\frac{3}{\lambda_1}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{e^{-(qT-y) \sqrt{\lambda_n}}}{\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}}\right)^2 \left(\psi^\delta_{1, n}-\psi^\delta_{2, n}\right)^2\\\nonumber &&+3\frac{y}{\lambda_1} \sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}\left(\frac{e^{-(qT-(y-\tau)) \sqrt{\lambda_n}}}{\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}}\right)^2 \left(f_n(u^\delta_{\alpha1}) (\tau)-f_n(u^\delta_{\alpha2})(\tau)\right)^2{\rm d}\tau\\\nonumber &\leq&12C^2 \alpha^{-\frac{2y}{qT}} \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\varphi^\delta_{1, n}-\varphi^\delta_{2, n}\right)^2+\frac{12C^2}{\lambda_1} \alpha^{-\frac{2y}{qT}} \sum\limits_{n=1}^\infty\left(\psi^\delta_{1, n}-\psi^\delta_{2, n}\right)^2\\\nonumber &&+12C^2\frac{y}{\lambda_1} \sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}\alpha^{-\frac{2y-2\tau}{qT}}\left(f_n(u^\delta_{\alpha1})(\tau)- f_n(u^\delta_{\alpha2})(\tau)\right)^2{\rm d}\tau \quad \\\nonumber &\leq& 12C^2\alpha^{-\frac{2y}{qT}}\left\|\varphi^\delta_{1}-\varphi^\delta_{2}\right\|^2 +\frac{12C^2}{\lambda_1}\alpha^{-\frac{2y}{qT}} \left\|\psi^\delta_{1}-\psi^\delta_{2}\right\|^2\\\nonumber &&+12C^2\frac{K^2y}{\lambda_1}\alpha^{-\frac{2y}{qT}} \int_0^{y}\alpha^{\frac{2\tau}{qT}}\left\|u^\delta_{\alpha1}(\tau, \cdot) -u^\delta_{\alpha2}(\tau, \cdot)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{eqnarray*} $

并且

$ \begin{eqnarray} \alpha^{\frac{2y}{qT}}\left\|u^\delta_{\alpha1}(y, \cdot) -u^\delta_{\alpha2}(y, \cdot)\right\|^2 &\leq&12C^2\left(\left\|\varphi^\delta_{1}-\varphi^\delta_{2}\right\|^2 +\frac{1}{\lambda_1}\left\|\psi^\delta_{1}-\psi^\delta_{2}\right\|^2\right)\\ &&+12C^2\frac{K^2T}{\lambda_1}\int_0^{y}\alpha^{\frac{2\tau}{qT}} \left\|u^\delta_{\alpha1}(\tau, \cdot)-u^\delta_{\alpha2}(\tau, \cdot)\right\|^2{\rm d}\tau, \end{eqnarray} $

运用Gronwall's不等式^[27], 则有

(3.12) $ \begin{eqnarray} &&\alpha^{\frac{2y}{qT}}\left\|u^\delta_{\alpha1}(y, \cdot) -u^\delta_{\alpha2}(y, \cdot)\right\|^2\\ &\leq&12C^2\Big(1+\frac{12C^2K^2Ty}{\lambda_1}e^{\frac{12C^2K^2Ty} {\lambda_1}}\Big)\Big(\left\|\varphi^\delta_{1}-\varphi^\delta_{2}\right\|^2 +\frac{1}{\lambda_1}\left\|\psi^\delta_{1}-\psi^\delta_{2}\right\|^2\Big). \end{eqnarray} $

最后, 根据不等式(3.12)可导出(3.11)中的稳定性结果. 证毕.

定理3.3 (正则化解的收敛性)   设$ u $, $ u^\delta_{\alpha} $分别是由方程(2.5)和(2.12)给出的精确解和正则化解, $ f $满足一致Lipschitz条件(1.3), 测量数据$ \varphi^\delta, \psi^\delta $满足(2.13)式, 且存在常数$ E>0 $, 使得精确解$ u $满足先验条件

(3.13) $ \begin{equation} \sum \limits_{n = 1}^\infty \lambda^{2\gamma}_n e^{2\sqrt{\lambda_n}(qT-y)}|\langle u(y, \cdot), X_n\rangle|^2\leq E^2. \end{equation} $

若选取正则化参数

(3.14) $ \begin{equation} \alpha=\delta/E, \end{equation} $

则有如下收敛性估计

(3.15) $ \begin{equation} \|u^{\delta}_{\alpha}(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|\leq C_0(y)E^{\frac{y}{qT}}\delta^{1-\frac{y}{qT}}, \end{equation} $

其中, $ C_0(y)=\sqrt{1+\frac{1}{\lambda_1}}C_1(y)+C_2(y) $, $ C_2(y)=\sqrt{8C^2\big(1+\frac{8C^2K^2T y}{\lambda_1} e^{\frac{8C^2K^2Ty}{\lambda_1}}\big)} $, $ C_1(y) $如定理3.2所给.

证  利用三角不等式, 可知

(3.16) $ \begin{equation} \|u^\delta_\alpha(y, \cdot)-u(y, \cdot)\| \leq\|u^\delta_\alpha(y, \cdot)-u_\alpha(y, \cdot)\|+\|u_\alpha(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|, \end{equation} $

这里$ u_\alpha $表示方程(2.12)中对应精确数据$ \varphi $, $ \psi $的解.

首先, 由定理3.2可以得到

(3.17) $ \begin{eqnarray} \|u^\delta_\alpha(y, \cdot)-u_\alpha(y, \cdot)\| \leq C_1(y)\alpha^{-\frac{y}{qT}}\big( \left\|\varphi^\delta-\varphi\right\|^2+ \frac{1}{\lambda_1}\left\|\psi^\delta-\psi\right\|^2\big)^{1/2}. \end{eqnarray} $

另一方面, 由(2.5), (2.12), (3.2), (3.3)和(3.13)式, 可以导出

$ \begin{eqnarray*} &&\|u_\alpha(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|^2\\ &\leq&2\bigg\|\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)} {1+\alpha\lambda^\gamma_n\cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)} \Big(\cosh(\sqrt{\lambda_n}y) \varphi_n+\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)}{\sqrt{\lambda_n}} \psi_n\\ &&+\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))f_n(u)(\tau)} {\sqrt{\lambda_n}}{\rm d}\tau\Big) X_n\bigg\|^2\\ &&+2\bigg\|\sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))(f_n(u_{\alpha})(\tau) -f_n(u)(\tau))}{\sqrt{\lambda_n}(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T))}{\rm d}\tau X_n\bigg\|^2\\ &\leq& 2\sum\limits_{n=1}^\infty\Big(\frac{\alpha\lambda^\gamma_n\cosh^q(\sqrt {\lambda_n}T)}{1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)}\Big)^2 \big(\cosh(\sqrt{\lambda_n}y) \varphi_n +\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)}{\sqrt{\lambda_n}} \psi_n\\ &&+\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))f_n(u)(\tau)} {\sqrt{\lambda_n}}{\rm d}\tau\big)^2\\ &&+2 \sum\limits_{n=1}^\infty\Big(\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T))} \Big(f_n(u_{\alpha}) (\tau)-f_n(u)(\tau)\Big){\rm d}\tau\Big)^2\\ &\leq &2\sum\limits_{n=1}^\infty\Big(\frac{\alpha\lambda^\gamma_n\cosh^q(\sqrt {\lambda_n}T)}{1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T)}\Big)^2 \Big(\cosh(\sqrt{\lambda_n}y) \varphi_n +\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}y)}{\sqrt{\lambda_n}} \psi_n\\ &&+\int_0^{y}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))f_n(u)(\tau)} {\sqrt{\lambda_n}}{\rm d}\tau\Big)^2\\ &&+2 \sum\limits_{n=1}^\infty\int_0^{y}{\rm d}\tau \int_0^{y}\Big(\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_n}(y-\tau))} {\sqrt{\lambda_n}(1+\alpha\lambda^\gamma_n \cosh^q(\sqrt{\lambda_n}T))}\Big)^2\big(f_n(u_{\alpha}) (\tau)-f_n(u)(\tau)\big)^2{\rm d}\tau\\ &\leq&2\alpha^2 \sum\limits_{n=1}^\infty\Big(\frac{e^{-(qT-y) \sqrt{\lambda_n}}}{\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}}\Big)^2\lambda^{2\gamma}_n e^{2\sqrt{\lambda_n}(qT-y)}|\langle u(y, \cdot), X_n\rangle|^2\\ &&+\frac{2}{\lambda_1}\sum \limits_{n = 1}^\infty \int_0^{y}{\rm d}\tau\int_0^{y}\Big(\frac{e^{-(qT-(y-\tau)) \sqrt{\lambda_n}}}{\frac{\alpha}{2^q}\lambda_n^{\gamma}+ e^{-qT\sqrt{\lambda_n}}}\Big)^2\Big(f_n(u_{\alpha})(\tau)-f_n(u)(\tau)\Big)^2{\rm d}\tau\\ &\leq&8C^2\alpha^{-\frac{2y}{qT}}\alpha^2E^2+8C^2\frac{y}{\lambda_1} \int_0^{y}\alpha^{-\frac{2y-2\tau}{qT}} \sum\limits_{n=1}^\infty\Big(f_n(u_\alpha)(\tau)- f_n(u)(\tau)\Big)^2{\rm d}\tau\\ &\leq&8C^2\alpha^{-\frac{2y}{qT}}\alpha^2E^2 +8C^2\frac{y}{\lambda_1} K^2\alpha^{\frac{-2y}{qT}}\int_0^{y}\alpha^{\frac{2\tau}{qT}} \|u_\alpha(\tau, \cdot)-u(\tau, \cdot)\|^2{\rm d}\tau. \end{eqnarray*} $

于是, 有

(3.18) $ \begin{equation} \alpha^{\frac{2y}{qT}}\|u_{\alpha}(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|^2 \leq8C^2\alpha^2E^2 +8C^2\frac{K^2T}{\lambda_1}\int_0^{y}\alpha^{\frac{2\tau}{qT}} \|u_{\alpha}(\tau, \cdot)-u(\tau, \cdot)\|^2{\rm d}\tau, \end{equation} $

利用Gronwall's不等式^[27], 可得

$ \begin{eqnarray*} \alpha^{\frac{2y}{qT}}\|u_{\alpha}(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|^2\leq 8C^2\alpha^2 E^2\left(1+\frac{8C^2K^2T y}{\lambda_1} e^{\frac{8C^2K^2Ty}{\lambda_1}}\right), \end{eqnarray*} $

因此

(3.19) $ \begin{equation} \|u_{\alpha}(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|\leq C_2(y)E\alpha^{1-\frac{y}{qT}}. \end{equation} $

最后, 结合(3.16), (3.17), (3.19), (3.14)及(2.13)式可导出(3.15)式中的收敛性结果. 证毕.

注3.1   定理3.3中收敛性结果的证明主要用到了引理3.1和Gronwall's不等式作为工具. 同时, 由于问题(1.2)是一个非线性的不适定问题, 因此为了导出收敛性估计, 在证明过程中我们对精确解施加了一个较强的先验条件(3.13). 注意到, 如果像处理多数线性不适定问题那样仅要求精确解或其有限阶导数有界的话, 收敛性估计不容易导出或者得到的结果较弱. 然而, 当$ f $与$ u $无关时, 由于此时所考虑问题是线性的, 所以可弱化先验条件(3.13)(如仅要求精确解或其有限阶导数有界即可), 并且通常可导出H$ \ddot{\rm o} $lder或对数型的收敛性结果.

注3.2   当$ L_x=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}:H^2(0, \pi)\bigcap H^1_0(0, \pi)\rightarrow L^2(0, \pi) $, 并取$ f(y, x, u)=-k^2u $时, $ \lambda_n=n^2 $, $ X_n(x)=\sqrt{2/\pi}\sin(nx) $, 此时(1.2)为矩形区域上的Helmholtz方程柯西问题. 采用与定理3.2和定理3.3类似的推导过程可导出稳定性结果

(3.20) $ \begin{equation} \left\|u^\delta_{\alpha1}(y, \cdot)-u^\delta_{\alpha2}(y, \cdot)\right\|_{L^2} \leq \tilde{C}_1(y)\alpha^{-\frac{y}{qT}} \left(\left\|\varphi_1^\delta-\varphi_2^\delta\right\|_{L^2}+ \left\|\psi_1^\delta-\psi_2^\delta\right\|_{L^2}\right)^{1/2}, \end{equation} $

同时, 先验条件(3.13)即为

(3.21) $ \begin{equation} \sum \limits_{n = 1}^\infty n^{4\gamma} e^{2n(qT-y)}|\langle u(y, \cdot), X_n\rangle|^2\leq E^2, \end{equation} $

因此, 可建立如下收敛性结果

(3.22) $ \begin{equation} \|u^{\delta}_{\alpha}(y, \cdot)-u(y, \cdot)\|_{L^2}\leq \tilde{C}_0(y)E^{\frac{y}{qT}}\delta^{1-\frac{y}{qT}}, \end{equation} $

其中, $ \tilde{C}_1(y)=2C\sqrt{3\left(1+12C^2k^4Ty e^{12C^2k^4Ty}\right)} $, $ \tilde{C}_0(y)=\sqrt{2}\tilde{C}_1(y)+\tilde{C}_2(y) $, 并且, $ \tilde{C}_2(y)=2C\sqrt{2\left(1+8C^2k^4Ty e^{8C^2k^4Ty}\right)} $.

本节通过做一些数值实验来考察文中所提正则化方法的模拟效果, 并验证方法的稳定可行性. 为了方便, 仅考虑二维区域上Dirichlet数据非齐次情形. 选取$ T=1 $, $ \Omega=(0, \pi) $, $ H=L^2(0, \pi) $, $ L_x=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}:H^2(0, \pi)\bigcap H^1_0(0, \pi)\rightarrow L^2(0, \pi) $, 则算子$ L_x $的特征值和特征函数分别为$ \lambda_n=n^2 $, $ X_n(x)=\sqrt{2/\pi}\sin(nx) $.

例4.1   考虑非线性Sine-Gordon方程柯西问题

(4.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} u_{yy}+u_{xx}=\sin(u)+g(y, x), &0<x<\pi, \quad 0<y<1, \\ u(0, x)=\varphi(x), &0\leq x\leq\pi, \\ u_y(0, x)=0, &0\leq x\leq\pi, \\ u(y, 0)=u(y, \pi)=0, &0\leq y\leq1. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

取$ u(y, x)=x(\pi-x)(5+y^2) $为问题(4.1)的精确解, 则$ g(y, x)=2x(\pi-x)-2(5+y^2)-\sin(x(\pi-x)(5+y^2)) $, 柯西数据$ \varphi(x)=u(0, x)=5x(\pi-x) $. 令$ x_{\imath}=\imath\Delta x $表示区间$ [0, \pi] $的节点, $ \imath=0, 1, 2, \cdots , N $, $ \Delta x=\pi/N $为变量$ x $的步长, 且$ N=30 $. 误差数据$ \varphi^{\delta} $如下随机产生

(4.2) $ \begin{equation} \varphi^\delta=\varphi+\varepsilon\mbox{randn}(\mbox{size}(\varphi)), \end{equation} $

这里$ \varphi=(\varphi(x_{0}), \varphi(x_{1}), \cdots, \varphi(x_{N}))^{T} $, $ \varepsilon $为噪音水平, 测量误差界

(4.3) $ \begin{equation} \delta:=\|\varphi^\delta-\varphi\|_{l_2} =\Big(\frac{\pi}{N}\sum\limits_{\imath=0}^{N} \left|\varphi^\delta(x_{\imath})-\varphi(x_{\imath})\right|^2\Big)^{1/2}. \end{equation} $

对$ 0=y_0<y_1<\ldots<y_{\ell}<\ldots<y_M=1 $, $ \ell=0, 1, 2, \ldots, M $, 利用以下迭代格式计算$ y_\ell=\frac{\ell}{M} $处的正则化解

(4.4) $ \begin{equation} u^{\delta}_{\alpha}(y_\ell, x)=v_\ell(x)=w_{1, \ell}\sin(x)+w_{2, \ell}\sin(2x)+\ldots+w_{m, \ell}\sin(mx), \end{equation} $

其中$ w_{j, \ell}=\frac{a_{j, \ell}}{1+\alpha j^{2\gamma}\cosh^q(j)} $, 并且

(4.5) $ \begin{eqnarray} a_{j, \ell}&=&\cosh(jy_\ell)\varphi^\delta_{j}+\frac{2}{\pi j}\int^{y_{\ell}}_{y_{\ell-1}}\int^{\pi}_0\sinh\left(j(y_{\ell}-\tau)\right) \left(\sin(v_{\ell-1}(x))+g(\tau, x)\right)\sin(jx){\rm d}x{\rm d}\tau\\ &&+\frac{2}{\pi j}\int^{y_{\ell-1}}_{y_{\ell-2}}\int^{\pi}_0\sinh\left(j(y_{\ell}-\tau)\right) \left(\sin(v_{\ell-2}(x))+g(\tau, x)\right)\sin(jx){\rm d}x{\rm d}\tau\\ &&+\ldots+\frac{2}{\pi j}\int^{y_{2}}_{y_1}\int^{\pi}_0\sinh\left(j(y_{\ell}-\tau)\right) \left(\sin(v_{1}(x))+g(\tau, x)\right)\sin(jx){\rm d}x{\rm d}\tau\\ &&+\frac{2}{\pi j}\int^{y_{1}}_{0}\int^{\pi}_0\sinh\left(j(y_{\ell}-\tau)\right) \left(\sin(v_{0}(x))+g(\tau, x)\right)\sin(jx){\rm d}x{\rm d}\tau, \end{eqnarray} $

(4.6) $ \begin{equation} v_0(x)=\varphi(x)(1+\varepsilon x(2-x)\sin(2x)), \quad \varphi^\delta_{j}=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}\varphi^\delta(x)\sin(jx){\rm d}x. \end{equation} $

同时, 对固定的$ y $计算正则化解和精确解的均方根相对误差

(4.7) $ \begin{equation} \epsilon(u)=\frac{\|u-u^\delta_{\alpha}\|_{l^2}}{\|u\|_{l^2}}=\frac{\sqrt{\frac{\pi}{N}\sum\limits_{\imath=0}^N \left(u(y, x_{\imath})-u^\delta_{\alpha}(y, x_{\imath})\right)^2}} {\sqrt{\frac{\pi}{N}\sum\limits_{\imath=0}^N(u(y, x_{\imath}))^2}}. \end{equation} $

现取$ M=50 $, $ m=10 $, 利用(4.4), (4.5), (4.6)式计算正则化解. 在$ y=0.6, 1 $处, 固定$ \varepsilon=0.001 $, $ \gamma=0.5 $, $ m=10 $, 针对不同的$ q $计算对应精确解和正则化解的误差以考察其对数值结果的影响, 计算结果见表 1. 固定$ \varepsilon=0.001 $, $ q=1.2 $, $ m=10 $, 针对不同的$ \gamma $计算对应精确解和正则化解的误差来考察其对数值结果的影响, 计算结果如表 2所示. 在$ y=0.6, 1 $处, 固定$ q=1.2 $, $ \varepsilon=0.001 $, $ \gamma=3 $, 针对不同的$ m $计算对应精确解和正则化解的误差以考察其对数值结果的影响, 计算结果见表 3. 在计算过程中, 我们通过(3.14) 选取正则化参数$ \alpha $, 并选取先验界$ E=1 $, $ \delta $由式(4.3)计算.

表 1–3中数值结果显示文中所提方法是稳定可行的. 表$ 1 $说明, 对固定的截断项数$ m $, 噪音水平$ \varepsilon $及正数$ \gamma $, 为了得到满意的模拟效果, $ q $应被选取为相对小的正数. 当$ q=2 $时, 文中方法恰为文献[21]中的广义Tikhonov型方法. 表 1中计算结果也显示, 当$ 1<q<2 $时本文方法的模拟效果比广义Tikhonov型方法更好. 由表 2注意到, 对固定的$ \varepsilon $, $ q $及$ m $, 为了保证较好的数值模拟效果, $ \gamma $也应被取为相对较小的正数. 表 3显示, 对固定的$ \varepsilon $, $ q $及$ \gamma $, 截断项数$ m $没有必要被取的太大, 且最优取值为3.

该文构造并利用一种广义分数Tikhonov正则化方法研究了一类带非齐次Dirichlet和Neumann数据的半线性椭圆方程柯西问题. 证明了正则化解的存在唯一性、稳定性及收敛性, 设计并利用一种迭代算法计算了正则化解, 并通过相应的数值结果验证了正则化方法的稳定可行性. 文中方法可用于求解柱形域上Laplace方程柯西问题, 修正Helmholtz方程柯西问题, Helmholtz方程柯西问题等不适定问题. 本文工作是对文献[11]和^[21]中相应工作的推广和延伸.

我们指出, 本文所提方法可被看作为一种滤波函数方法, 这里选取滤子$ 1/(1+\alpha\lambda^{\gamma}_n\cosh^q $$ (\sqrt{\lambda_n}T)) $$ (\gamma>0, q>1) $来消除方程(2.5)中双曲正余弦函数的高频部分. 2018年, 文献[28]采用类似的思想研究了一类非线性发展方程反问题. 注意到, 当$ \gamma=0, q>1 $时, 文中方法类似于文献[29]和[30]中研究Helmholtz柯西问题的正则化方法. 事实上, 基于文献[9]和[23]的思想, 还可选取函数$ 1/(1+\alpha\lambda^{\gamma-1}_n\sinh^q(\sqrt{\lambda_n}T)) $ ($ \gamma>1 $, $ q>1 $)作为滤子来构造正则化解. 另外, 注意到(1.3)式中一致Lipschitz条件太局限, 尽管存在一些函数能够满足该条件, 如$ f(u)=\sin(u) $, $ \cos(u) $, $ \arctan(u) $, $ f(y, x, u)=g(y, x)+\sin(u) $, $ g(y, x)+\cos(u) $, $ g(y, x)+\arctan(u) $等, 但是其不能包含其它一些常见函数, 比如$ f(u)=u^\alpha, \alpha\in {{\Bbb R}} $. 鉴于此, 最近文献[12]和[16]考虑了右端项$ f $满足局部Lipschitz条件的情形. 在接下来的工作中, 很有必要考虑包含更多类型右端项函数的椭圆方程柯西问题或其它偏微分方程反问题.

最后需要说明的是, 为了得到满意的数值结果, 在计算过程中必须合理地选取截断项数$ m $, 正则化参数$ \alpha $, 正数$ \gamma $和$ q $, 这就要求在选取以上参数的过程中必须找到一个平衡. 文中仅利用先验规则选取了$ m $, $ \alpha $, $ \gamma $及$ q $, 而未考虑后验选取规则. 众知, 即使在线性不适定问题的研究中, 参数的选取也是一个较为困难的课题, 因此在处理半线性问题(1.2)时, 考虑以上参数的后验选取规则必有一定研究意义, 尤其是正则化参数$ \alpha $的后验选取更具实际科学价值. 在将来的工作中, 我们将在这方面做进一步的研究和探讨.