分枝随机游动是概率论中的一个经典模型. 该模型描述了在空间中分枝过程粒子的分布发展的过程, 从而推广了经典的Galton-Watson过程. 尽管此模型已有相当长的历史, 它现在仍是概率论及应用中的重要研究对象. 它在各种应用学科如生物、计算机科学和人口动力学中是一个普适模型. 同时, 该模型揭示了随机动力系统的根本性质, 因此被用在许多重要的随机模型中, 如乘积瀑布、无穷粒子系统、随机分形等. 关于分枝随机游动的经典理论, 可以查阅参考文献[1, 2].

自Harris^{[3, Chapter Ⅲ, §16]}提出了分枝随机游动的中心极限定理以来, 有许多关于此课题的工作, 参见文献[4-16].

此文的目标是对于一类依时变化的随机环境中的分枝随机游动, 推导其粒子分布的二阶渐近展开表达式. Révész^[2]开启了对${\mathbb{Z}}^d$中简单分枝随机游动中的局部极限定理的收敛速度的研究. Chen^[17]在假定二阶矩的条件下, 推出了局部极限定理的精确收敛速度, 这其实相当于其一阶渐近展开. Gao在文献[18]中弱化了文献[17] 中的条件并修正了其结论, 并进一步在文献[19]中得到了局部极限定理的二阶渐近展开. 该文的主要目标是将文献[19] 中的结果推广至依时变化的随机环境中的分枝随机游动的情形. 随机环境的出现使得模型更切合实际, 但同时导致分析非常困难复杂.

当模型中的随机游动服从${\mathbb{R}}$上的非格点分布时, 对应的依时随机环境中的分枝随机游动的中心极限定理的展开问题已经在文献[20, 21] 中得以研究. 这种情形下, 一些相关的其它类型的极限定理已在文献[22] 与^[8]中予以研究. 此外文献[23-25] 详细探讨了与此模型相关的Biggins鞅的性质. 在已有文献中引入过各种形式的随机环境中的分枝随机游动, 参见文献[26-35].

随机环境$\xi=(\xi_n)$是一列给定空间上的独立同分布的随机变量序列. 由$\xi_n$的取值可以确定两个分布律: ${\mathbb{N}}$上的分布律$p(\xi_n)=\{p_k(\xi_n): k\in{\mathbb{N}}\}$, 及${\mathbb{Z}}^d$上的分布律$G_{\xi_n}(\cdot)$.

其中$r_n=r(\xi_n)\in (0, 1)$是依赖于$\xi_n$的数, ${\bf 0}=(0, 0, \cdots, 0)\in {\mathbb{Z}}^d$, ${\bf e}_v(1\leq v\leq d)$是${\mathbb{R}}^d$中的标准正交基.

不失一般性, 取$\xi_n$为$(\Theta, {\cal F}, \tau_0)$的乘积空间$(\Theta^{\mathbb{N}}, {\cal F}^{\bigotimes{\mathbb{N}}}, \tau)$中的坐标函数, 其在$\Theta^{\mathbb{N}}$上的平移变换下$\theta$: $\theta(\xi_0, \xi_1, \cdots)=(\xi_1, \xi_2, \cdots)$下是平稳遍历的.

给定环境$\xi=(\xi_n)$, 拟研究过程可以描述如下. 在时刻$0$, 一个初始粒子位于$S_\varnothing={\bf 0}\in{\mathbb{Z}}^d$; 在时刻$1$, 该粒子被$N=N_\varnothing$个$1$代的新粒子$i=\varnothing{i}(1\leq{i}\leq{N})$替代, 分别位于$S_i=L_i(\varnothing)\in{\mathbb{Z}}^d$, 其中$N, L_1(\varnothing), L_2(\varnothing), \cdots$是相互独立的. $N$服从分布$p(\xi_0)$, $L_i(\varnothing)$服从分布$G_{\xi_0}$. 一般地, 每一个$n$代粒子在$n+1$时刻被$N_u$个$n+1$代的新粒子$ui(1\leq{i}\leq{N_u})$所取代, 且每个$ui$位置为$S_{ui}=S_u+L_i(u)$, 其中$N_u, L_1(u), L_2(u) , \cdots$相互独立, $N_u$服从分布$p(\xi_n)$, $L_{i}(u) (i=1, 2, \cdots)$服从分布$G_{\xi_n}$由定义, 给定环境$\xi$, 随机变量$N_u$和$L_i(u) (1\leq i\leq N_u)$（指标$u$是正整数的有限序列）是彼此相互独立的.

给定环境$\xi\in\Theta^{\mathbb{N}}$, 令$(\Gamma, {\cal G}, {\mathbb{P}}_\xi)$是概率空间, 在其上定义上述过程. 概率${\mathbb{P}}_\xi$常称为quenched分布.全概率空间可定义为乘积空间$(\Theta^{\mathbb{N}}\times\Gamma, \epsilon^{\mathbb{N}}\bigotimes{\cal G}, {\mathbb{P}})$, 其中${\mathbb{P}}={\mathbb{E}}(\delta_\xi\bigotimes{{\mathbb{P}}_\xi})$, $\delta_\xi$在$\xi$处的Dirac测度, ${\mathbb{E}}$是关于随机变量$\xi$的期望. 因此对于所有定义在$\Theta^{\mathbb{N}}\times\Gamma$的可测函数$g$, 有

全概率${\mathbb{P}}$通常称之为annealed分布. 而quenched概率${\mathbb{P}}_\xi$可以看做给定$\xi$时${\mathbb{P}}$的条件概率. 关于${\mathbb{P}}$的期望记为${\mathbb{E}}$. 关于${\mathbb{P}}_\xi$的期望记为${\mathbb{E}}_\xi$.

令${\mathbb{T}}$表示以$\{N_u\}$为组成元素的系谱树. 根据定义, 可得: (a). $\varnothing\in{\mathbb{T}}$; (b). $ui\in{\mathbb{T}}$蕴含了$u\in{\mathbb{T}}$; (c).若$u\in{\mathbb{T}}$, 那么$ui\in{\mathbb{T}}$当且仅当$1\leq{i}\leq{N_u}$. 令

为$n$代粒子的集合, 其中$|u|$表示序列$u$的长度, 也即$u$所属的代数.

令$Z_n(\cdot)$表示$n$粒子的计数测度: 对$B\subset{\mathbb{Z}}^d$, 有

特别地, 通常将$Z_n(\{z\})$简记为$Z_n(z)$, 意指位于$z\in {\mathbb{Z}}^d$处的第$n$代粒子的个数.

根据上述记号定义, $\{Z_n({\mathbb{Z}}^d)\}$组成了随机环境中的分枝过程^[36-38]. 对$n\geq0$, 令$\widehat{N}_n$和$\widehat{L}_n$是在${\mathbb{P}_\xi}$下的条件分布律分别为$p(\xi_n)$和$G_{\xi_n}$的随机变量, 定义

已知正则化序列

是适应于$\sigma$代数族$({\cal F}_n)$的鞅, 其中

下列$\sigma$代数族$\{ {\cal D}_n\}$也将会在后面用到

此文将始终假设下面条件成立

其中$\lambda>0$的具体限制条件将在定理中给出. 在这些条件下, 过程$\big\{Z_n({\mathbb{Z}}^d)\big\}$是上临界的, 意指以正概率有$Z_n\big({\mathbb{Z}}^d\big)\rightarrow \infty$, 并且极限$W=\lim_nW_n$满足${\mathbb{E}}W=1$, $W>0$在$\{Z_n\big({\mathbb{Z}}^d\big)\rightarrow \infty\}$几乎必然(简记为a.s.)成立, 参见文献[37, 39].

对$x=(x_1, \cdots, x_d)\in{\mathbb{R}}^d$和$y=(y_1, \cdots, y_d)\in{\mathbb{R}}^d$, 定义

令

易见${b}_{n}\leq n, {b}_{2, n}\leq n, {b}_{3, n}\leq n.$由大数定律得: 当$n\rightarrow \infty$时, 有

除了已知的鞅$\{ W_n\}$, 该文还将需要下面的序列

这些都是适应于$\{ {\cal D}_n\}$的鞅, 其极限在主要定理中用到. 这些鞅的具体性质和收敛速度由下面结论给出.

命题1.1  序列$\{ N_{q, n} \} (q=1, 2, 3, 4)$及$\{N_{2, n}^z\}$是适应于$\{ {\cal D}_{n}\}_{n\geq0}$的鞅. 进而, 假设对某个$\lambda>4$, 条件(1.3)成立. 那么存在随机变量${\cal V}_q (q=1, 2, 3, 4)$及${\cal V}_2^z$, 使得

该命题将在第2节证明.

利用上面定义的记号, 该文的主要结论可叙述如下.

定理1.1  假设对$\lambda>3(d+6)$, 式(0.3)成立, 及对$\iota>0$, 有${\mathbb{E}}m_0^{-\iota}<\infty$成立. 那么对任意$z=(z_1, \cdots, z_d)\in{\mathbb{Z}}^d$, 当$n$趋于无穷时, 有

其中

为便于比较, 在下面的推论中, 给出了常环境中的简单分枝随机游动的相应结果. 其中的结论(Ⅰ) 是定理1.1的直接推论, 结论(Ⅱ) 已在文献[19]中证得.

推论1.1  在一个简单随机游动中, 后代分布为$\{p_k \}_ {k\in {\mathbb{N}}}$, 运动机制服从分布律${\cal P}$

假定对$\lambda>3(d+6)$, 成立

那么对任意$z=(z_1, \cdots, z_d)\in{\mathbb{Z}}^d$, 当$n$趋于无穷时, 有

(Ⅰ) 当$1>r>0$, 有

(Ⅱ) 当$r=0$, 假设$n\equiv z_1+z_2+\cdots+z_d ( {\rm mod }\ 2)$, 有

其中${\cal V}_1, {\cal V}_2 , { {\cal V}_2^z}, { {\cal V}_3}, { {\cal V}_4}$是一些随机变量, 以及对$r\in [0, 1)$, 有

注1.1  此推论中出现的随机变量${\cal V}_1, {\cal V}_2 , { {\cal V}_2^z}, { {\cal V}_3}, { {\cal V}_4}$是下面序列的极限

其中

最后对定理的证明做一些说明. 论证过程采用了文献[18, 19]中的基本思想, 即通过分枝过程的可加性质将$Z_n(z)$分解为条件独立项的和. 但是证明的细节需要更细致的估计和更多的技巧性. 特别地, 此项工作特别之处在于前面定义的那些新的鞅和展开式的确切表达. 从技术层面上, 证明的计算比没有随机环境的情形复杂很多.

文章的结构安排如下: 在下节中, 证明了一个一般性地结论定理2.1, 作为其推论得到命题1.1. 在第3节中, 推导了${\mathbb{Z}}^d$上依时变化的随机环境中的随机游动的局部极限定理的二阶渐近展开. 在这些辅助结果的基础上, 在最后一节给出了定理1.1的证明.

这一节证明一个一般性的结果定理2.1, 命题1.1作为其推论来推出.

定理2.1  给定环境$\xi$. 令${Q} \geq 0$, $C>0$为给定常数. 假设$f_\xi$是一个定义在${{\mathbb{R}}}^d\times {\mathbb{N}}$上的向量值(或实值) 函数, 满足${\left\Vert {f_\xi(x, n)} \right\Vert}\leq C({\left\Vert {x} \right\Vert}^{ {Q}} +n^{{Q}/2})$及

这里每个$X_n (n\in {\mathbb{N}} )$都是一个服从分布律$G_{\xi_{n}}$的随机向量, 即

那么由下式

定义的序列$\{ {\cal M}_{n} \}$是关于$\{{\cal D}_n\}_{n\geq 0}$的鞅. 进而如果存在$\lambda\geq {Q}$使得(1.3)式成立, 那么$\{ {\cal M}_{n} \}$几乎必然收敛至一个随机变量${\cal V}$, 且

注2.1  当$f_\xi \equiv 1$, ${Q}=0$时, ${\cal M}_{n}$变成了$W_n$, 于是定理化为下面已知的结论.

定理2.2^{[40, 定理1.2]}  设对某个$\lambda>0$, 条件(1.3)成立, 那么有

在Galton-Watson过程情形下, 这一结论首先是$\rm Asmussen$在1976年文献[41] 中得到的.

为证明定理2.1, 此处借鉴了文献[41]中的思想. 该方法中的关键是利用恰当的截断来证明级数$\sum\limits_{n} a_n ( {\cal M}_{n+1} - {\cal M}_{n})$的收敛性, 从而推得${\cal M}_{n}$的收敛速度. 证明依赖于下面引理.

引理2.1^{[41, 引理2]}  设$\{\alpha_n, \beta_n, n\geq 1 \}$是一列实数. 如果$0<\alpha_n\nearrow \infty,$且级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n \beta_n$收敛, 那么

证  先来证明$\{ {\cal M}_{n} \}$是适应于$\{ {\cal D}_n\}$的鞅.

定义条件概率和条件期望

则

由此可以推得$\{ {\cal M}_n\}$是一个适应于$\{ {\cal D}_n\}$的鞅.

下面来证明鞅的收敛速度.

首先引入下面记号

如果能证明级数

那么令$V_3= \sum\limits_{n=1}^\infty {I}_n + {\cal M}_1$, 并应用引理2.1, 即可得所欲证.

为证断言(2.4), 只需证明下列级数几乎必然收敛

而为证明(2.5)式, 需要以下辅助结果.

由零平均独立随机变量和的矩不等式^[42]可得如下结果.

引理2.2  对$j\in {\mathbb{N}}$, 随机向量$\widehat{L}_j$服从分布律$G_{\xi_{j }}$. 令$\widehat{S}_n=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\widehat{L}_j$. 那么对$r\geq 2$, 有

这里$K_r$是一个只依赖于$r$的绝对常数.

由此引理可得, 对于$|u|=n$, 有

对于(2.5)式中的第一个级数, 注意到

由大数定律得

由此可推出存在$\sigma_1>1$, 对$n$充分大, 有

那么可得

易见

其中

这里$\lceil a\rceil =\min\{ k\in {\mathbb{Z}}:k\geq a\}$. 那么

其中$K$是一个充分大的常数. 从而可推出

于是

那么

所以可得到级数$\sum\limits_{n=1}^\infty n^{\lambda_{Q}} ({I}_{ n}-{I}_{ n}')$与$\sum\limits_{n=1}^\infty n^{\lambda_{Q}} {\mathbb{E}}_{\xi, n} {I}_{ n}'$几乎必然收敛.

接下来还需证明$\sum\limits_{n=1}^\infty n^{\lambda_{Q}} ({I}_n'- {\mathbb{E}}_{\xi, n}{I}_n' )$几乎必然收敛. 引用事实$\sum\limits_{k=1}^{n} k^{\lambda_{Q}} ({I}_k'- {\mathbb{E}}_{\xi, k}{I}_k' )$是适应于$\{ {\cal D}_{n+1}\}$的鞅及$L^2$有界鞅的几乎必然收敛性^{[43, p251, Ex 4.9]}, 只需要证明

为此, 注意到

观察到

这里用到了函数$x(\log x)^{-1-\lambda-\nu}$ 在 $x > e^{1+\lambda+\nu}$时是递增的. 易见

注意到

于是级数

几乎必然收敛, 由此可推得级数

几乎必然收敛.

综上已证(2.5)式中三个级数几乎必然收敛, 从而(1.4)式成立.

现在令${\cal V}= \sum\limits_{n=1}^\infty {I}_n + { {\cal M}}_{1}$, 即可得${\cal M}_{n}- {\cal V}= \sum\limits_{j=n}^\infty {I}_j$, 那么定理2.1即由引理2.1推得.

命题1.1的证明  先来证明$\{N_{4, n}\}_n$是适应于$\{{\cal D}_n\}_n$的鞅. 回顾

对于$u\in {\mathbb{T}}_n$, $1\leq i\leq N_u$, 有

于是

于是对于下面定义的函数

可以看到

及

因此所需断言由定理1.2中$Q=4$可得.

同理, 可以证明对$q=1, 2, 3$, $\{ N_{q, n}\}$收敛至${\cal V}_q$, 收敛速度为$o(n^{-(\lambda-q) })$, 及$N_{2, n}^z$收敛至${\cal V}_2^z$, 且收敛速度为$o(n^{-(\lambda-2) })$. 为避免重复, 忽略细节.

令$\xi$为前述环境. 考虑一列随机向量$\{ X_n\}_{n=0}^\infty$. 当给定$\xi=\{\xi_n:n=0, 1, \cdots\}$时, 在${\mathbb{P}}_\xi$下$X_n$服从分布律$G_{\xi_n}(\cdot)$, 即

令

那么$\{S_n\}$是依时变化的随机环境中的随机游动.

设

则有下面结论.

定理3.1  对上面定义的随机游动$\{S_n\}$, 对任意$n$和$x\in {\mathbb{Z}}^d$, 成立

其中对每组$(u, v, w\in {{\mathbb{R}}})$, ${\cal P}(t_1, \dots, t_d, u, v, w)$都表示一个关于$(t_1, \cdots, t_d)$的4次的对称多项式且无常数项; ${b}_{n} , {b}_{2, n}, {b}_{3, n}$及$Q_d(u, v, w)$分别在(1.4)和(1.11)式中定义; $\alpha_n(\xi, x)$是无穷小使得

进而, 对满足式${\left\Vert {x} \right\Vert}<n^{1/6}$的$x\in {\mathbb{Z}}^d$, 有

其中${b}_{n} , {b}_{2, n}, {b}_{3, n}$和$Q_d(u, v, w)$分别如(1.4)和(1.11)式中所定义, 无穷小项$\widetilde{\alpha}_n(x)$满足

注3.1  此结论推广完善了文献[44, 第2章]中的结论.

定理3.1的证明  易见下列事实成立: 对$i=0, 1, 2, \cdots,$有

其中${\bf i}=\sqrt{-1}$表示虚数单位. 由于${\{X_n\}}$独立, 可得

那么由文献[44, 命题2.2.2], 可见

易证

及

若$\|\lambda\|<1$, 由泰勒公式得

从而

而当$\lambda\in[-\pi, \pi]^d$且$\|\lambda\|\geq1$时

则有

基于上述讨论, 可记

其中

利用(3.7)式和$M_n$的定义, 可见

下面估计$I_n(x)$. 令$\alpha=\sqrt{n}\lambda$. 则

为估计此积分, 应用分解式

其中

由不等式(3.6), 有

接下来估计${I}_{2, n}(x)$.

由泰勒展开, 可得

其中余项$M_{s, n} (\alpha)(s=1, 2, 3)$被${\left\Vert { \alpha} \right\Vert}^8$的有界倍控制.

利用微积分和复分析技巧, 可得

其中${\cal P} _v(t_1, \cdots, t_d) (v=1, 2, \cdots, 6)$表示无常数项的(3次或4次)对称多项式, 无穷小项$\epsilon_{s, n}(x)$$(1\leq s\leq 9)$满足

上述积分的计算比较复杂, 但方法相似. 为方便读者, 以(2)的计算为例给出细节.

(2) 的计算  首先注意到

其中

满足

为计算此积分, 做变量替换$\alpha=\sqrt{ \frac{nd}{ {b}_n}}\zeta$, 则

由柯西积分定理, 可得

及

综合以上诸式, 可得

从而得出(2).

利用(1.5)式和关系${b}_n \leq n, {b}_{2, n}\leq n, {b}_{3, n}\leq n$, 将(1)–(10)式代入, 可得

其中对任意$u, v, w\in {{\mathbb{R}}}$, ${\cal P}(t_1, \dots, t_d, u, v, w)$是关于$(t_1, \cdots, t_d)$的不含常数项的4次对称多项式

无穷小$\epsilon_n(x)$满足

然后将(3.8), (3.10), (3.12) 式与估计式(3.9), (3.11), (3.13)结合, 可得到所需式(3.1)及余项$\alpha_n(\xi, x)$满足(3.2)式.

当$x$满足${\left\Vert {x} \right\Vert}<n^{1/6}$时, 有

这里$\zeta_n(x)$是无穷小且满足

易证当$x$满足${\left\Vert {x} \right\Vert}<n^{1/6}$时, 有

将这些估计与式(3.1)和(3.2) 综合起来, 可以推出所需展式(3.3) 及余项$\widetilde{\alpha}_n(\xi, x)$满足(3.4)式. 定理3.1得证.

这一节证明定理1.1. 该定理的证明基于一个重要的分解式. 此分解式早在文献[12]中已经引入, 之后在许多文献中广泛使用, 参见文献[2, 5, 17, 20]. 在介绍此分解之前, 先来引入一些记号.

令${\mathbb{T}}(u)$表示${\mathbb{T}}$的以$u$为端点的平移树, 组成元素为$\{N_{uv}\}$满足: 1) $\varnothing \in {\mathbb{T}}(u)$; 2) $vi\in {\mathbb{T}}(u)\Rightarrow v\in {\mathbb{T}}(u)$; 3) 如果$v\in {\mathbb{T}}(u)$, 那么$vi\in {\mathbb{T}}(u)$当且仅当$1\leq i\leq N_{uv}$. 令${\mathbb{T}}_n(u)=\{v\in {\mathbb{T}}(u): |v|=n\}$. 用$| {\mathbb{T}}_n(u)|$表示${\mathbb{T}}_n(u)$的基数(即$u$的第$n$代子孙的个数).

对$u\in ( {\mathbb{N}}^*)^k (k\geq 0)$及$n\geq 1$, 令$Z_n(u, x )$表示$u$的第$n$代后代中位于$x+S_u\in {\mathbb{Z}}^d$处的粒子个数. 这意味着

那么$Z_n(u, x)$在${ {\mathbb{P}}}_{\xi}$下的分布等同于$Z_n(x)$在${ {\mathbb{P}}}_{\theta^k\xi}$下的分布.

令$\kappa$是一个实数且满足$\frac{d/2+3}{\lambda} <\kappa<\frac{1}{6}$. 设$k_n=\lfloor n^{\kappa}\rfloor$, 表示不大于$n^{\kappa}$的最大整数. 根据分枝过程的可加性质, 有下面的分解式

由定义, 对$u\in{\mathbb{T}}_{k_n}$, 成立

此外将需要下面的$\sigma$ -代数

及相关的条件概率和条件期望

记$\widehat{S}_{n}= S_{1_n}$ ($n\geq 0$), 其中$1_n = \underbrace{1 \cdots 1}_{n}$, 当$n>1$, $1_0= \varnothing$. 那么$\widehat{S}_{n}$是随机环境$\xi$下的随机游动.

因为环境序列是独立同分布的, 故对$u\in {\mathbb{T}}_k$, $Z_n(u, x)$在${ {\mathbb{P}}}_{\xi}$下的分布律等价于$Z_n(x)$在${ {\mathbb{P}}}_{\theta^k\xi}$下的分布律. 则对$u\in {\mathbb{T}}_{k_n}$, 有

其中$\Pi_{n}(\theta^k\xi)=m_k\cdots m_{k+n-1}$.

则有下面的分解式成立

基于(4.3)式, 可将定理1.1的证明归结为两个引理.

引理4.1  假设定理1.1的条件成立. 则

引理4.2  假设定理1.1的条件成立. 则

其中$F_1(z)$, $F_2(z)$及$F_3(z)$分别由式(1.8), (1.9) 与(1.10)定义.

引理4.1的证明  先来引入一些记号. 对$u\in {\mathbb{T}}_{k_n}$, 置

易见下列事实成立

回顾在${\mathbb{P}}_{\xi}$下, $\{W_{n-k_n}(u): u\in {\mathbb{T}}_{k_n}\}$是独立同分布的, 其分布等同于$W_{n-k_n}$在${\mathbb{P}}_{\theta^{k_n}\xi}$下的分布.

如果下面各式成立, 则引理可得

为证明这些结论需要下面引理.

引理4.3^{[45, 推论1.1]}  记$W^*= \sup_n W_n$. 设存在$\delta>0$$\lambda>0$, 使得${\mathbb{E}} m_0^{-\delta}<\infty$与(1.3)式成立. 则

下面证明分三步来证明(4.7), (4.8) 及(4.9)式.

第1步  先来证明(4.7)式. 为此只需证明

观察到

由于$(\Pi_{n})^{\frac{1}{n}}\rightarrow \exp\{ {\mathbb{E}}\log m_0\}$ a.s. 及$k_n\sim n^{\kappa}$, 可知$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\log \Pi_{k_n}}{n^{\kappa}}>0$. 因此可由$\lambda \kappa>1$及(4.10)式得出(4.11)式.

第2步  证明(4.8)式. 为此需要下面不等式(参见文献[46] 中(5.3)式后的段落): 对$1<\alpha<2$, 有

其中$K_a$是一个绝对常数. 在上式两边取条件期望可得

取常数$b\in (1, e^{ {\mathbb{E}} \log m_0})$. 观察到

其中$K(\lambda, \alpha)$是一个与$\lambda$和$\alpha$相关的常数. 则有

那么

取$\alpha$充分接近1, 由$\lambda\kappa>d/2+3$可推出$\lambda\kappa-(d/2+2)\alpha>1$, 从而上式最后一项有限.

第3步  观察发现

那么由$\lambda \kappa > d/2+3$可推得

于是(4.9)式成立.

综上, 引理4.1得证.

引理4.2的证明  容易发现对$u \in {\mathbb{T}}_{k_n}$, ${\left\Vert {S_u} \right\Vert} \leq k_n.$回顾$k_n<n^{1/6}.$故${\left\Vert {z+S_u} \right\Vert}<n^{1/6}$对充分大的$n$成立. 由定理3.1中的(3.3)式可得

其中无穷小项$\epsilon_{n, u}(u\in {\mathbb{T}}_{k_n})$满足

则

从而

其中

当条件(1.3)对$\lambda>0$成立, 由(2.3)式, 可得

根据$\kappa$的选取及$k_n=n^{\kappa}$, 可见

类似地, 由命题1.1可得当$n\rightarrow \infty$时, a.s.

于是可得当$n\rightarrow \infty$时,

而由(4.12)式, 有

综合(4.14), (4.15), (4.16)与(4.13)式, 即可导出所需结论(4.5)式.